BAB XII. SUKU BANYAK - 12. Suku banyak

BAB XII. SUKU BANYAK

A n = a n A n – 1 = A n. h + a n – 1 Pengertian: _{n – 2 n– 1 . n – 2} A = A h + a . . _{n n −} _{1 n −} ₂ _{2 . .} . .

f(x) = a x + a x + a x +…+ a x +a x + a _{n n} _{1 n} ₂ ₂ ₁

− − A _{1 = A} ^{2 = A} _{2. h + a} ^{3. h + a} ₁ ² A

adalah suku banyak (polinom) dengan : _1.

A = A h + a

a , a , a , ….,a , a , a adalah koefisien- _{n n −} _{1 n −}

₂

₁

a a

a a a

_{n n}

_{1 n}

₂

₁

− −

a adalah suku tetap yang merupakan konstanta real
n merupakan pangkat tertinggi dari x

A _{n n} .h A . h A .h A .h A .h ₁ ₃ ₂ ₁

− Menghitung nilai suku banyak: _{n n – 1 n – 2} ₂ ₁ A A A A A A f(h)

1. Metoda Substitusi :

Cara penyelesaian contoh metoda substitusi dapat

Nilai suku banyak : _{n n} _{1 n} ₂ ₂ diselesaikan dengan cara Horner sbb:

− − ₃ ₂

f(x) = a x + a x + a x +…+ a x +a x + a _{n n −} _{1 n −} ₂ ₂ ₁ f(x) = 4x + 2x + x - 3 untuk x = h adalah : untuk x = -2 didapat : _{n n} _{1 n} ₂ ₂

− −

f(h) = a h + a h + a h +…+ a h +a h + a _{n n} _{1 n} ₂ ₂ ₁

− − x = -2 4 2 1 -3

contoh:

(+) (+) ₃ ₂ -8 12 -26 (+) jika f(x) = 4x + 2x + x - 3

nilai suku banyak untuk x = -2 adalah : ₃ ₂ 4 -6 13 -29 hasil dari f(-2) f(-2) = 4 . (-2) + 2 .(-2) + (-2) – 3 = -32 + 8 - 2 - 3 = - 29

= kalikan dengan x = -2

2. Metoda Horner: didapat f(-2) = -29

Nilai suku banyak : _{n n −} _{1 n −} ₂ ₂ Pembagian Suku Banyak: f(x) = a x + a x + a x +…+ a x +a x + a _{n n} _{1 n} ₂ ₂ ₁

− −

1. Dengan Pembagian Biasa:

untuk x = h adalah f(h) menggunakan Metoda Horner

Sisa pembagian oleh (x – h) terhadap

diperlihatkan sbb: _{n n −} _{1 n −} ₂ ₂ f(x) = a x + a x + a x +…+ a x +a x + a _{n n} _{1 n} ₂ ₂ ₁

− − adalah P(h) atau f(x) = (x – h) H(h)+ P(h) www.belajar-matematika.com - 1

12. SOAL-SOAL SUKU BANYAK

UN2004

1. Suku banyak x ⁴ -3x ³ - 5 x ² + x – 6 dibagi oleh x ² - x – 2, sisanya sama dengan…

A. 16x+ 8 C. -8x+16 E. -8x -24 B 16x -8 D. -8x – 16 jawab:

x ² - 2x -5 x ² - x -2 x ⁴ - 3x ³ - 5x ² + x – 6 x ⁴

B. 12x + 19 D. -12x + 29 jawab: Jika f(x) dibagi oleh x ² -2x = x (x – 2) mempunyai sisa 2x+1 maka : f(0) = 2.0 + 1 = 1 f(2) = 2.2 + 1 = 5 Jika f(x) dibagi oleh x ² -3x = x (x – 3) mempunyai sisa 5x+2 maka : f(0) = 5.0 + 2 = 2 f(3) = 5.3 + 2 = 17 Jika f(x) dibagi oleh x ² - 5x + 6 sisanya adalah.. x ² - 5x + 6 = (x - 2) (x -3) f(x) = g(x) h(x) + Ax+B

A. 22x – 39 C. 12x – 19 E. -22x + 49

3. Jika f(x) dibagi oleh x ² -2x dan x ² -3x masing-masing mempunyai sisa 2x+1 dan 5x+2, maka f(x) dibagi oleh x ² - 5x + 6 mempunyai sisa…

^{3<2 x
^{22x ³ -3 x ² + 2x
³ +2 x ² +4x 5x
² -5x
² +5x+108x – 16 Æ sisa Hasil bagi adalah x
^{2<2x -5 dan sisa - 8x – 16
A = - 12 A = 12
7A = -14 A = 2
5A + B = 10 B = 10 + 5A = 10 + 5.2 = 20 sisa = Ax+B = 2.x + 20 jawabannya adalah D EBTANAS1991}}}

f(x) = g(x) (x-2) + 24 Æ f(2) = 24 f(x) = g(x) (x+5) + 10 Æ f(-5) = 10 f(x) = g(x)(

x ² +3x -10)+ Ax+B = g(x) (x +5) (x-2) + Ax+B f(-5) = 0 – 5A + B = 10 f(2) = 0 + 2A + B =24 -

x ² +3x -10 sisanya adalah… A. x + 34 C. x + 10 E. 2x - 20

2. Suku banyak f(x) jika dibagi (x-2) sisanya 24 dan dibagi (x+5) sisanya 10. Apabila f(x) tersebut dibagi

Jawabannya adalah D EBTANAS1990

= (x - 2) (x -3) h(x) + Ax +B f(2) = 0 .h(x) + 2A + B = 5 f(3) = 0 .h(x)+ 3A + B = 17 -

2A + B = 5 B = 5 – 2A = 5 – 2.12 = - 19 Ax + B = 12.x – 19 Jadi sisanya adalah 12.x – 19 jawabannya adalah C

B. x – 34 D 2x + 20 jawab:

UN2004

4. Suku banyak f(x) dibagi (x+5) memberikan sisa (2x-1) dan dibagi oleh (x-3) memberikan sisa 7. Sisa pembagian f(x) oleh (x ² + 2x – 15) adalah….

1 B. 3x + 1 D. x

A. 3x – 2 C. 9x + 1 E. x

5. Suku banyak (2x ³ + ax ² -bx + 3) dibagi oleh (x ² -4) bersisa (x+23). Nilai a + b = … A. -1 B. -2 C. 2 D. 9 E. 12 Jawab:

Jika f(x) dibagi oleh x+5 mempunyai sisa 2x+1 maka :
8 x -
Jika f(x) dibagi oleh x -3 memberikan sisa 7 f(x) = (x-3) h(x) + 7 f(3) = 7 jika f(x) dibagi oleh (x

8A = -18 A =

6. Suku banyak 6x ³ + 7x ² + px – 24 habis dibagi oleh 2x -3 Nilai p = ….

jawabannya adalah E UN2002

2x + a x ² - 4 2x ³ + ax ² - bx + 3

2x ³

ax ² +x (8-b) + 3 ax ² + - 4a - x (8-b) +3+4a Æ sisa x (8-b) +3+4a = x +23 8 – b = 1 b = 8 – 1 = 7 3 + 4a = 23 4a = 23 – 3 = 20 a =

20 = 5 maka a + b = 5 + 7 = 12

Jawabannya adalah E Ebtanas1992

A. -24 B. -9 C. -8 D.24 E. 9 jawab: Gunakan metoda Horner: 2x -3 Æ x =

x +

3 x =

6 7 p -24 9 24

3 p+36 + 6 16 p+24

p+12 Æ sisa

3 Jawab:

f(x)= (x+5) h(x) + 2x -1 f(-5) = 2. -5 – 1 = -11

3A + B = 7 B = 7 – 3A = 7 – 3.

18 = 7 -

54 =

54 56 − =

1 Maka sisanya adalah Ax + B =

18 Jika suku banyak habis dibagi berarti sisanya adalah= 0 UAN2002 ₃ ₂

x +

8. Salah satu factor dari 2x + px - 10x – 24 ialah x + 4 .

3 Faktor-faktor lainnya adalah…

p+12 = 0

2 A. 2x + 1 dan x + 2 D. 2x - 3 dan x - 2

p = -12 B. 2x + 3 dan x +2 E . 2x + 3 dan x -2

2 C. 2x - 3 dan x +2

2 − p = = -12 . = -8 jawab: 3 /

3 Salah satu factor berarti apabila dibagi maka sisanya Jawabannya adalah C adalah 0. x = -4 2 p -10 -24

SPMB2005 ₄ ₃ ₂

7. Jika P(x) = x + 5x + 9x + 13x + a dibagi dengan x + 3

8 -4p+32 -88+16p + 2 p-8 22 - 4p 16p - 112 Æ sisa

A. 2 B. -3 C. 4 D. -5 E. 6 jawab: Sisa 16p-112= 0 16p = 112 x + 3 Æ x = -3

112 p = = 7 16 x = -3 1 5 9 13 a

Hasil pembagian adalah :

3 -6 -9 -12 +

₂

₄

₃

₂

2x +(7-8)x + 22 – 4.7 adalah 2, dengan menggunakan metoda Horner didapat ₂ = 2x - x - 6 sisanya adalah a – 12, maka a – 12 = 2 Æ a = 12 + 2 = 14 difaktorkan menjadi : Sehingga P(x) dibagi dengan x + 1 adalah: ₂

2x - x - 6 = (2x + 3 ) (x - 2 ) sudah diketahui a = 14 sehingga faktor-faktor lainnya adalah x = -1 1 5 9 13 14 (2x + 3 ) dan (x - 2 )

1 -4 -5 - 8 +

Jawabannya adalah E 1 4 5 8 6 Æ sisa EBTANAS1995 ₃ ₂

9. Salah satu akar persamaan 2x -7x -7x+30 adalah 3, Didapat sisanya adalah 6 maka jumlah dua akar yang lain adalah… jawabannya adalah E

1 A. -

C. 1 E. 5

1 B.

D. 3

2 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 jawab: catatan: akar-akar rasional bulat adalah

b a

11. Banyaknya akar-akar rasional bulat dari persamaan 4x ⁴ - 15x ² + 5x + 6 = 0 adalah …..

, a dan b ∈ bilangan bulat, b

Jawab: Salah satu akar persamaan adalah 3, sehingga persamaan 2x ³ -7x ² -7x+30 habis dibagi dengan x-3 dengan sisa pembagian 0. x = 3 2 -7 -7 30 6 -3 -30 + 2 -1 -10 0 Æ sisa Hail bagi adalah 2x ² -x – 10

2x -x – 10 = (2x - 5 ) (x + 2) didapat x =

≠

himpunan bilangan bulat = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

misal f(x) = 4x

⁴

ⁿ

_{1<
a
_{2<…+ a
₂ x ² +a ₁ x + a = 0 berarti a _n = 4 dan a = 6 m adalah factor bulat positif dari a = 6 yaitu 1, 2, 3, 6 n adalah factor bulat dari a _n = 4 yaitu -1, 1, -2, 2 ,-4 , 4 akar-akar yang mungkin (}
5
x ²
4 5 − =
− ⁿ
1 Jawabannya adalah B EBTANAS1992
x ¹
− ⁿ
5 dan x = -2 yang ditanyakan adalah jumlah kedua akar ini:
2
− ⁿ
− ⁿ
2 =
2
n m
=
1 1 − ,
1
1 −
,
2 2 − ,
2
2 −
= -1 f(-1) = 4 . (-1) ⁴ - 15. (-1) ² + 5. (-1) + 6 = 4 - 15 -5 + 6 = -10 Æ bukan 0 maka bukan akar
=
) adalah :
1
1 ,
1
1 − −
,
2
2 ,
2
2 − −
= 1 f(1) = 4 – 15 + 5 + 6 = 0 Æ akar persamaan dapat 1 cari1 akar yang lain.
n m
n m
1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6 karena persamaan adalah akar pangkat 4 maka cari 2 akar terlebih dahulu : Ambil nilai-nilai dari akar yang mungkin:
1 D.
3
jawab: rumus umum : ax ³ + bx ² + cx +d = 0 x ₁ + x ₂ + x ₃ = -
a b
b= -3 ; a = 2 sehingga -
a b
= -
2 3 −
=
2
3
2
B. -
1 E. 3
2
3 C.
2
A. -
10. Jumlah akar-akar dari persamaan 2x ³ -3x ² -11x + 6=0 adalah …..
2
2
2
jawabannya adalah D EBTANAS1990
m
2 −
2 4 −
4 = , , , = -2
n −
1 1 − ₄
2
2 ₂ f(-2) = 4 . (-2) - 15.(-2) + 5 . (-2) + 6 = 4 . 16 – 15. 4 – 10 + 6 = 64 – 60 – 10 + 6 = 0 Æ akar persamaan sudah didapat 2 akar rasional bulat yaitu 1 dan -2, kemudian cari akar-akar yang lain dengan cara membagi f(x) dengan (x-1) (x+2) dengan pembagian biasa: ₂
(x-1) (x+2) = x + x - 2 ₂
4x -4x-3 ₂ ₄ ₂ x + x -2 4x - 15x +5x + 6 ₄ ₃ ₂ x x -8 x
4 + 4 ₃ ₂
4x -7 x +5x + 6
₃ _{2<4x -4 x +8x -
_{2<3x -3x +6
_{2<3x -3x+ 6 - 0 Æ sisa Didapat hasil pembagian f(x) dengan (x-1) (x+2)
₂
4x -4x-3 dengan sisa 0
adalah ₂ Cek D dari persamaan 4x -4x-3 ₂ D= b - 4ac = 16 + 48 = 64 > 0 D > 0 Æ mempunyai 2 akar persamaan real
(2x + 1 )(2x -3)
1
3 didapat x = - dan x =
2
2 Didapat persamaan mempunyai 4 akar rasional bulat Jawabannya adalah E.
8
26 (+) 4 -6 13 -29 Hasil bagi =: 4x
² - 6x + 13 dengan sisa 6 x
² +x (-6x . (x+2))Æ - 6 x ²
sisa Contoh : Tentukan hasil bagi dan sisa dari 12x
³ + 4x ² - 27x – 9 dibagi (2x + 3)
18 21 9
12 -14 -6 0
3 12 4 -27 -9
2
jawab: x = -
(ax + b) H(h) + sisa = (ax + b) a H h ) (
1
) H(h) + sisa = a
) memberikan hubungan berikut. f (x) = (x + a b
) Pembagian suku banyak f(x) oleh (x + a b
) ) = ( x + a b
Diketahui, h = – a b maka bentuk (x – h) dapat dinyatakan sebagai : x – h = ( x – (- a b
b. Pembagian suku banyak dengan ax + b Pembagian suatu suku banyak oleh (ax + b) dinyatakan sebagai berikut :
(+)
12
(+)
x = -2 4 2 1 -3
f(x) = 4x ³ + 2x ² + x - 3 dibagi dengan x+2
a. Pembagian suku banyak dengan x - h
2. Pembagian suku banyak dengan cara Horner
Sisa = P(h) = -29 Proses pengerjaan: urutan 1 : 4x ³ dibagi dengan x+2 didapat 4x ² 2 : kalikan 4x ² dengan x+2 didapat 4x ³ +8 x ² 3 : kurangi 4x ³ + 2x ² dengan 4x ³ +8 x ² didapat - 6 x ² kemudian turunkan x sehingga menjadi - 6 x ² +x 4 : bagi - 6 x ² dengan x+2 didapat - 6x 5 : kalikan - 6x dengan x +2 didapat - 6 x ² - 12x 6 : Kurangi - 6 x ² +x dengan - 6 x ² -12x didapat 13x kemudian turunkan -3 sehingga menjadi 13x – 3 7 : bagi 13 x dengan x + 2 didapat 13 8 : kalikan 13 dengan x+2 didapat 13x + 26 9 : Kurangi 13x – 3 dengan 13x + 26 didapat – 29 didapat hasil bagi = 4x ² - 6x +13 dengan sisa = -29
(4x ² . (x+2))Æ 4x ³ + 8 x ² -
(x+2) (1) (2) (3) 4x ² - 6x +13 x +2 4x ³ + 2x ² + x - 3
Contoh sebelumnya : Suku banyak f(x) = 4x ³ + 2x ² + x - 3 dengan x = -2 atau
(x – h) = pembagi H(h) = hasil bagi P(h) = sisa
13x – 3 (13 . (x+2))Æ 13x +26 -
29 Hasil bagi = H (h) = 4x
² - 6x +13
www.belajar-matematika.com - 2 Dimana :
2
12 x − x 14 −
6 Jadi hasil baginya adalah
Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a)=0 , f(b) =0 dan
2 ₂ f(c)= 0 maka f(x) habis dibagi (x-a) (x-b) (x –c)
= 6x - 7x - 3 dan sisanya adalah 0 ₂ - jika f(a) = 0 maka x-a adalah faktor dari f(x)
c. Pembagian suku banyak dengan ax + bx + c
jika (x-a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar Dengan cara pembagian biasa: dari f(x) contoh:
₃ ₂ ₂
x - x + 4x – 4 dibagi oleh x - 1 Akar-akar Suku banyak
(1) (2) x - 1 ₂ ₃ ₂
1. Jika x , x dan x adalah akar-akar persamaan ₃ ₁ ₂ ₂ ₃ ax + bx + cx +d = 0 maka
x - 1 x - x + 4x – 4 ₂ ₃
(x . ( x -1))Æ x - x -
b ₂ x + x + x = - ₁ ₂ ₃ a
x +5x
₂ ₂
c
(-1 . ( x -1))Æ -x + 1 - x x + x x + x x = ₁ ₂ ₁ ₃ ₂ ₃
a
5x – 5 ₂
d x - 1, maka
(berderajat lebih kecil dari x x x = - ₁ ₂ ₃
perhitungan selesai dan ini merupakan sisa) a
2. Jika x , x , x dan x adalah akar-akar persamaan Hasil bagi adalah x – 1 dan sisa 5x - 5 ₄ ₁ ₃ ₂ ₃ ₂ ₄ ax + bx + cx + dx + e = 0 maka
Teorema Sisa: b
x + x + x + x = - Jika f(x) dibagi g(x) mempunyai hasil h(x) dan sisa ¹ ² ³ ⁴
a
s(x) ditulis :
c
f(x) = g(x) h(x) + s(x) x x + x x + x x + x x + x x + x x = ₁ ₂ ₁ ₃ ₁ ₄ ₂ ₃ ₂ ₄ ₃ ₄
a f (x) = suku banyak yang dibagi g(x)= pembagi d
x x x + x x x + x x x + x x x = - ₁ ₂ ₃ ₁ ₃ ₄ ₁ ₂ ₄ ₂ ₃ ₄
h (x) = hasil bagi a s(x) = sisa pembagian Jika f(x) berderajat n dan g(x) berderajat m (m ≤ n) maka e
x x x x = derajat h(x) dan s(x) masing-masing sebagai berikut. ₁ ₂ ₃ ₄
a
derajat h(x) adalah (n – m)
derajat maksimum s(x) adalah (m – 1)
Akar-akar Rasional dari persamaan suku banyak:
jika h(x) = ax +b maka s(x) = konstan
₂ Persamaan suku banyak jika g(x) = ax + bx +c maka s(x) = Ax + B _{n n} _{1 n}
₂ ₂ − −
a x + a x + a x +…+ a x +a x + a =0 _{n n −} _{1 n −} ₂ ₂ ₁ Apabila suku banyak f(x) :
dibagi (x-a) maka sisanya adalah f (a). dapat diselesaikan dengan mencari nilai pengganti x yang
b memenuhi persamaan suku banyak itu. Nilai x tersebut
dibagi (ax-b) maka sisanya adalah f( ) dinamakan penyelesaian atau akar persamaan suku
a banyak tersebut.
habis dibagi (x-a) maka f(a) = 0
Teorema Faktor: www.belajar-matematika.com - 3 Jika f(x) adalah suku banyak maka (x-h) merupakan f(2) = 16 – 60 – 20 + 24 = -40 Æ x= 2 bukan akar faktor dari f(x) jika h adalah akar dari persamaan suku banyak f(x) = 0 . ambil nilai x = -2

Akar-akar persamaan suku banyak f(0) dapat dicari f(-2) = 16 - 60 + 20 + 24 = 0 Æ x = -2 adalah akar
dengan menggunakan urutan langkah-langkah sbb: persamaan
1. Menentukan akar-akar yang mungkin dari f(x) =0, didapat dua nilai yaitu x = 1 dan x = -2
m
kalikan dua nilai sbb: yaitu ,
n ₂
(x-1)(x+2) = x + x - 2 dimana: Bagi persamaan dengan nilai tsb : m = factor bulat positif dari a n = factor bulat dari a ₂
x -x -12 ₂ ₄ ₂ m x +x- 2 x - 15x - 10x + 24
2. Akar-akar yang sebenarnya harus memenuhi f ( ) = 0
n ₄ ₃ ₂ x + x - -2x ₃ ₂ Contoh: ₄ ₂
x -13x -10x
₃ _{2<x -x + 2 x - f(x) = x - 15x - 10x + 24 = 0 maka
_{2<12x -12x + 24 a = 1 dan a = 24 _n
_{2<12x -12x + 24 - m = faktor bulat positif dari a = 24, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}}}
( sisa 0 ) n = faktor bulat dari a yaitu , -1, 1, -2,2, -3,3, -6,6, -8,8 sehingga hasil akhirnya didapat :
12, 12, -24,24
₂ f(x)= (x-1)(x+2)( x -x -12) = 0 atau
m
akar yang mungkin adalah( ) : 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4, 6,-6
n (x-1)(x+2) (x -4 ) (x +3) = 0
,8,-8
didapat akar-akar persamaan :
substitusikan akar yang mungkin ke dalam persamaan
m x = 1 ; x = -2 ; x= -3 dan x = 4
apakah f( ) = 0 ?
n
Karena soal berderajat 4 maka cari minimal 2 nilai akar terlebih dahulu: ambil nilai x=1 : f(1) = 1 – 15 – 10 + 24 = 0 Æ x = 1 adalah akar persamaan ambil nilai x = 2
www.belajar-matematika.com - 4}}}}

BAB XII. SUKU BANYAK - 12. Suku banyak