Analisis Rancangan Penawaran Diskon Dengan Banyak Pelanggan dan Titik Impas Tunggal

(1)

AN ANALISIS RANCANGAN PENAWARAN DISKON

DENGAN BANYAK PELANGGAN

DAN TITIK IMPAS TUNGGAL

Oleh:

Endang Nurjamil

G05497044

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2005

(2)

ABSTRAK

ENDANG NURJAMIL. Analisis Rancangan Penawaran Diskon dengan Banyak Pelanggan dan Titik Impas Tunggal. Di bawah bimbingan SRI NURDIATI dan FARIDA HANUM.

Penawaran diskon yang dilakukan seorang penjual untuk setiap pembelian barang yang melebihi ukuran tertentu merupakan upaya untuk meningkatkan jumlah pesanan para pelanggannya. Namun upaya yang dilakukan penjual tersebut bukan berarti tanpa kendala, karena besarnya diskon dan ukuran minimal barang yang ditawarkan menjadi faktor utama dalam menentukan kebijakannya.

Bagi para pelanggan, ukuran pesanan menjadi faktor yang harus dipertimbangkan karena berkaitan erat dengan biaya inventori (penyimpanan). Terlalu sedikit ukuran pesanan, biaya inventori kecil tetapi biaya pesanan menjadi besar akibat sering melakukan pemesanan dan tidak mendapatkan keringanan biaya dari diskon. Jika ukuran pesanan terlalu besar, pelanggan mendapatkan diskon dan biaya pesanan kecil akibat jarangnya pemesanan tetapi biaya inventori menjadi besar. Dari kedua sudut pandang itu, solusi efektif adalah dengan cara mencari nilai yang optimum sehingga kedua belah pihak saling memperoleh keuntungan.

(3)

ANALISIS RANCANGAN PENAWARAN DISKON

DENGAN BANYAK PELANGGAN

DAN TITIK IMPAS TUNGGAL

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh:

Endang Nurjamil

G05497044

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2005

(4)

Judul

: ANALISIS RANCANGAN PENAWARAN DISKON DENGAN

BANYAK PELANGGAN DAN TITIK IMPAS TUNGGAL

Nama

: Endang Nurjamil

NIM : G05497044

Menyetujui,

Pembimbing I

Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc.

NIP. 131 578 805

Pembimbing II

Dra. Farida Hanum, M.Si.

NIP. 131 956 709

Mengetahui,

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S.

NIP. 131 473 999

(5)

“Bulan bersinar pada malam hari,

sementara matahari bersinar pada siang hari,

namun orang yang hatinya diliputi cinta dan kasih sayang

bersinar siang dan malam.”

(Mutiara Zen)

Kupersembahkan karya tulis ini

bagi orang-orang yang bersinar siang dan malam

(6)

PRAKATA

Alhamdulillah, segala puji penulis panjatkan hanya bagi Allah SWT, atas qudrah dan iradah-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Shalawat serta salam penulis sampaikan kepada Nabi Muhammad sebagai uswah dan rahmat bagi seluruh alam.

Amma ba’du,

Banyak faktor yang harus dihadapi penulis dalam menyelesaikan studi di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor ini sehingga diperlukan perpanjangan masa studi sampai dua semester. Adalah Ibu Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc. dan Ibu Dra. Farida Hanum, M. Si. yang bersedia menjadi pembimbing skripsi saat penulis butuhkan agar dapat memanfaatkan masa perpanjangan studi tersebut. Oleh karena itu penulis ucapkan terima kasih atas segala kebaikan dan ketulusannya.

Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Ir. Hasim, DEA. dan Bapak Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi, M.S. atas waktu yang beliau luangkan untuk memberikan saran dan nasihat kepada penulis. Disamping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Hikmawan Abdul Hasan, Ahmad, Yana, Lukman, Andri, dan Luthfi atas bantuannya dalam penyelenggaraan seminar tugas akhir penulis. Terima kasih juga penulis ungkapkan kepada Abah, Umi, Teh Aih, A’ Hendra, Leli, Dendi, Lalis, Pras, Asti, dan Fauzy atas doa dan kasih sayangnya. Terima kasih juga penulis sampaikan kepada semua pihak yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu atas segala dukungan dan bantuannya.

Akhir kata, semoga karya ilmiah ini menjadi syahidan (saksi) amal soleh baik bagi penulis sendiri maupun bagi orang-orang yang terlibat di dalamnya dan dapat bermanfaat bagi siapa pun yang mempunyai minat dan ketertarikan terhadap karya ilmiah ini. Amin.

Bogor, September 2005

(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan pada tanggal 12 Juni 1976 sebagai anak kedua dari lima bersaudara dari Bapak Duduh Abdurrahman dan Ibu Anon Sumiyati.

Tahun 1995 lulus dari SMA Negeri 1 Cianjur dan dua tahun berikutnya diterima masuk IPB melalui jalur UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) di Jurusan Matematika (sekarang, Departemen Matematika) Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Semasa kuliah penulis pernah aktif di DPM (Dewan Perwakilan Mahasiswa) FMIPA sebagai Ketua Komisi Hubungan Eksternal dan Internal Mahasiswa periode 1997-1998 dan di Himpro Gumatika (Himpunan Profesi Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai Ketua Harian periode 1999-2000. Tahun 1998-1999 pernah menjadi Ketua Himat (Himpunan Mahasiswa Cianjur) cabang Bogor.

Selain aktif di organisasi mahasiswa penulis juga pernah menjadi asisten mata kuliah Agama pada semester genap periode 1998-1999 dan 1999-2000, asisten mata kuliah Pengantar Matematika dan Kalkulus I sejak 1998 sampai 2000.

(8)

vii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR GAMBAR ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

II. LANDASAN TEORI 2.1 Economic Order Quantity (EOQ) ... 2

2.2 Kemonotan dan Kecekungan Fungsi ... 3

III. PERUMUSAN MASALAH 3.1 Model Biaya Inventori Pelanggan ... 4

3.2 Model Fungsi Keuntungan Penjual ... 6

IV. PENGOPTIMUMAN RANCANGAN PENAWARAN DISKON 4.1 Kasus 1. Tingkat diskon yang ditetapkan ... 7

4.2 Kasus 2. Titik impas yang ditetapkan ... 8

V. SIMPULAN DAN SARAN ... 9

DAFTAR PUSTAKA ... 9

(9)

viii

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Data lima pelanggan ... 7

2 Perbandingan keuntungan sebelum dan sesudah penawaran diskon ... 7

3 Ukuran pesanan dan total biaya inventori pelanggan i ... 8

4 Perbandingan keuntungan sebelum dan sesudah penawaran diskon ... 8

5 Ukuran pesanan dan total biaya inventori pelanggan i ... 8

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Variasi tingkat persediaan ... 2

2 Fungsi biaya penjual ... 5

3 Kontribusi pelanggan i terhadap keuntungan penjual (R ditetapkan) ... 6

4 Sketsa kurva ... 16

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Penjabaran Persamaan (1) ... 11

2 Penjabaran Persamaan (5) ... 11

3 Penjabaran Persamaan (6) ... 12

4 Penjabaran Persamaan (7)... 12

5 Bukti Proposisi 1 ... 13

6 Sketsa Gambar 2 ... 19

7 Sketsa Gambar 3 ... 20

8 Bukti Proposisi 3 ... 22

9 Bukti F2i merupakan fungsi konkaf ... 25

10 Pencarian Titik Impas pada Kasus 1 ... 28

(10)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam dunia usaha, banyak cara yang dilakukan penjual untuk meningkatkan pendapatan atau keuntungannya. Bagi penjual yang memproduksi barang sendiri, keuntung-an bisa diperoleh dengkeuntung-an cara meningkatkkeuntung-an kinerja manufaktur yang lebih efektif sehingga menghasilkan produk yang lebih banyak. Selain itu, keuntungan juga bisa diperoleh dengan cara mengurangi jumlah pengepakan dengan memperbanyak ukuran pengepakan yang lebih besar, serta dengan cara mengurangi biaya transportasi, misalnya dengan memuat lebih banyak jumlah pesanan yang dikirimkan. Upaya berikutnya yang dapat diharapkan penjual untuk meningkatkan keuntungannya adalah dengan meningkatkan ukuran pesanan para pembeli atau pelang-gannya. Untuk pencapaian hal itu, tidak jarang penjual menawarkan harga khusus atau diskon harga bagi yang membeli atau memesan barang dalam ukuran yang lebih besar.

Secara umum, terdapat dua tipe diskon harga yang ditawarkan penjual, yaitu diskon untuk semua unit barang yang dibeli atau dipesan dan diskon untuk setiap tambahan pesanan dalam ukuran tertentu. Pada tipe yang kedua, biasanya ditawarkan terhadap para pelanggan yang memiliki permintaan setiap unit waktunya dalam ukuran yang cukup besar, sehingga diharapkan dapat mening-katkan jumlah pesanannya.

Upaya yang ditawarkan penjual ini tidak begitu saja dapat diterima oleh para pelanggannya, karena bagi para pelanggan sendiri ukuran pesanan berkaitan erat dengan masalah biaya inventori atau penyimpanan. Semakin banyak pesanan yang dipesan para pelanggan, semakin besar biaya inventori yang harus dikeluarkan. Akibatnya, para pelanggan berupaya untuk melindungi biaya inventorinya.

Berkenaan dengan upaya penjual yang ingin meningkatkan keuntungannya dengan menawarkan diskon tersebut dan para pelanggan yang berupaya untuk melindungi biaya inventorinya, ada hal yang menarik untuk dikaji, yaitu bagaimana si penjual dapat

merancang penawaran diskon tersebut dengan melibatkan sudut pandang para pelanggannya. Kim dan Hwang (1988) mencoba membuat model permasalahan di atas. Kedua penulis ini mula-mula memformulasi fungsi biaya pelanggan dan fungsi keuntungan penjual serta membuat prosedur dalam pengambilan keputusan keduanya, kemudian membangun algoritme untuk mendapatkan nilai optimum bagi penjual maupun pelanggan untuk tiga kasus berikut ini:

a. Jika tingkat diskon ditetapkan, bagaimana mencari titik impas yang optimum. b. Jika titik impas ditetapkan, bagaimana

mencari tingkat diskon yang optimum. c. Jika tingkat diskon dan titik impas tidak

diketahui, bagaimana mencari nilai yang optimum untuk keduanya.

1.2Tujuan

Tulisan ini bertujuan mempelajari dan membahas artikel karya Kim dan Hwang (1988) di atas. Oleh karena itu, sebagian besar materi yang disajikan merupakan hasil karya keduanya dengan pokok bahasan disesuaikan dengan yang terdapat pada tulisan tersebut. Berikut adalah pokok-pokok bahasannya: • Pada Bab II diberikan landasan teori yang

mencakup penjelasan beberapa istilah dan teorema yang dipergunakan dalam tulisan ini.

• Bab III membahas formulasi masalah yang dilengkapi dengan bukti-bukti proposisi yang ada.

• Bab IV, membahas tentang konsep pengoptimuman diskon yang meliputi dua permasalahan pertama di atas, dan melengkapinya dengan contoh kasus. • Pada Bab V diberikan simpulan dan saran

sebagai usulan topik yang menarik untuk diteliti lebih lanjut.

(11)

AN ANALISIS RANCANGAN PENAWARAN DISKON

DENGAN BANYAK PELANGGAN

DAN TITIK IMPAS TUNGGAL

Oleh:

Endang Nurjamil

G05497044

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2005

(12)

ABSTRAK

ENDANG NURJAMIL. Analisis Rancangan Penawaran Diskon dengan Banyak Pelanggan dan Titik Impas Tunggal. Di bawah bimbingan SRI NURDIATI dan FARIDA HANUM.

(13)

ANALISIS RANCANGAN PENAWARAN DISKON

DENGAN BANYAK PELANGGAN

DAN TITIK IMPAS TUNGGAL

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh:

Endang Nurjamil

G05497044

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2005

(14)

Judul

: ANALISIS RANCANGAN PENAWARAN DISKON DENGAN

BANYAK PELANGGAN DAN TITIK IMPAS TUNGGAL

Nama

: Endang Nurjamil

NIM : G05497044

Menyetujui,

Pembimbing I

Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc.

NIP. 131 578 805

Pembimbing II

Dra. Farida Hanum, M.Si.

NIP. 131 956 709

Mengetahui,

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S.

NIP. 131 473 999

(15)

“Bulan bersinar pada malam hari,

sementara matahari bersinar pada siang hari,

namun orang yang hatinya diliputi cinta dan kasih sayang

bersinar siang dan malam.”

(Mutiara Zen)

Kupersembahkan karya tulis ini

bagi orang-orang yang bersinar siang dan malam

(16)

PRAKATA

Amma ba’du,

Bogor, September 2005

(17)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan pada tanggal 12 Juni 1976 sebagai anak kedua dari lima bersaudara dari Bapak Duduh Abdurrahman dan Ibu Anon Sumiyati.

(18)

vii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR GAMBAR ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

II. LANDASAN TEORI 2.1 Economic Order Quantity (EOQ) ... 2

2.2 Kemonotan dan Kecekungan Fungsi ... 3

III. PERUMUSAN MASALAH 3.1 Model Biaya Inventori Pelanggan ... 4

3.2 Model Fungsi Keuntungan Penjual ... 6

IV. PENGOPTIMUMAN RANCANGAN PENAWARAN DISKON 4.1 Kasus 1. Tingkat diskon yang ditetapkan ... 7

4.2 Kasus 2. Titik impas yang ditetapkan ... 8

V. SIMPULAN DAN SARAN ... 9

DAFTAR PUSTAKA ... 9

(19)

viii

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Data lima pelanggan ... 7

2 Perbandingan keuntungan sebelum dan sesudah penawaran diskon ... 7

3 Ukuran pesanan dan total biaya inventori pelanggan i ... 8

4 Perbandingan keuntungan sebelum dan sesudah penawaran diskon ... 8

5 Ukuran pesanan dan total biaya inventori pelanggan i ... 8

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Variasi tingkat persediaan ... 2

2 Fungsi biaya penjual ... 5

3 Kontribusi pelanggan i terhadap keuntungan penjual (R ditetapkan) ... 6

4 Sketsa kurva ... 16

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Penjabaran Persamaan (1) ... 11

2 Penjabaran Persamaan (5) ... 11

3 Penjabaran Persamaan (6) ... 12

4 Penjabaran Persamaan (7)... 12

5 Bukti Proposisi 1 ... 13

6 Sketsa Gambar 2 ... 19

7 Sketsa Gambar 3 ... 20

8 Bukti Proposisi 3 ... 22

9 Bukti F2i merupakan fungsi konkaf ... 25

10 Pencarian Titik Impas pada Kasus 1 ... 28

(20)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

a. Jika tingkat diskon ditetapkan, bagaimana mencari titik impas yang optimum. b. Jika titik impas ditetapkan, bagaimana

mencari tingkat diskon yang optimum. c. Jika tingkat diskon dan titik impas tidak

diketahui, bagaimana mencari nilai yang optimum untuk keduanya.

1.2Tujuan

mencakup penjelasan beberapa istilah dan teorema yang dipergunakan dalam tulisan ini.

• Bab III membahas formulasi masalah yang dilengkapi dengan bukti-bukti proposisi yang ada.

• Bab IV, membahas tentang konsep pengoptimuman diskon yang meliputi dua permasalahan pertama di atas, dan melengkapinya dengan contoh kasus. • Pada Bab V diberikan simpulan dan saran

sebagai usulan topik yang menarik untuk diteliti lebih lanjut.

(21)

Qi/Di _{Waktu (}_t₎

0 2Qi/Di 3Qi/Di

Tingkat Persediaan

Qi-Dit

BAB II

LANDASAN TEORI

Sebagai pengantar untuk memahami tulisan Kim dan Hwang (1988) di bawah ini diberikan landasan teori dan penjelasan beberapa istilah dan notasi yang digunakan: 2.1 Economic Order Quantity (EOQ) Definisi 1 [Economic Order Quantity atau

EOQ]

Inventori atau persediaan merupakan hal penting dalam sistem produksi dan kegiatan pemasaran karena terhambatnya persediaan berarti terhambat pula kegiatan produksi dan pemasaran, sehingga mengakibatkan kerugian bagi perusahaan. Akan tetapi inventori yang berlebihan juga bukan berarti suatu keuntungan karena banyak biaya perawatan yang harus dikeluarkan dan barang yang disimpan berpeluang mengalami kerusakan atau ketinggalan jaman.

Dengan demikian diperlukan strategi untuk meminimumkan kedua efek negatif di atas. Tujuannya adalah untuk menentukan

berapa banyak produk yang harus dipesan (diproduksi) dan berapa sering pemesanan (produksi) harus dilakukan agar biaya yang dikeluarkan perusahaan atau pelanggan menjadi minimum.

Permasalahan ini dari sisi permintaan disebut sebagai economic order quantity problem (EOQ) atau economic production lot-size problem bila dilihat dari sisi produksi; dan seringkali cukup disebut sebagai model persediaan.

Ada beberapa macam klasifikasi dari model persediaan ini jika ditinjau dari sifat permintaannya, yaitu:

• Permintaan bersifat deterministik, dapat bersifat statis dengan laju permintaan tetap sepanjang waktu, atau dinamis dengan laju permintaan diketahui dengan pasti tetapi bervariasi satu periode ke periode berikutnya.

• Permintaan bersifat probabilistik, yang memiliki dua klasifikasi serupa: kasus stasioner, dengan fungsi kepadatan peluang permintaan tetap sepanjang waktu, dan kasus nonstasioner, dengan fungsi kepadatan peluang bervariasi sepanjang waktu.

Selain jenis permintaan yang merupakan faktor utama dalam perancangan model persediaan, faktor-faktor berikut juga dapat mempengaruhi cara perumusan model yang bersangkutan:

• tenggang waktu pengiriman (lag/lead time), yaitu waktu antara pengajuan pesanan dan penerimaannya; dapat bersifat deterministik atau probabilistik,

• pengisian kembali persediaan, dapat terjadi dengan segera ataupun dengan sebagian demi sebagian,

• horison waktu, mendefinisikan perioide dengan tingkat persediaan dikendalikan, • banyaknya produk, dapat melibatkan lebih

dari satu produk atau komoditas,

serta masih banyak lagi kriteria yang dapat dipakai.

Model Persediaan Statis Satu Produk Asumsi-asumsi yang digunakan adalah sebagai berikut:

• hanya ada satu jenis produk,

• laju permintaan produk adalah tetap sepanjang waktu,

• continuous review, pesanan dapat segera dilakukan kapan saja bila waktu telah menunjukkan reorder point (waktu pemesanan kembali),

• lead time tetap,

• pengisian kembali persediaan terjadi dengan segera, tidak terjadi kekurangan produk pesanan.

Gambar 1 berikut mengilustrasikan variasi tingkat persediaan dari model persediaan ini (notasi i = 1, 2, 3, ..., n digunakan untuk menyatakan perusahaan atau pelanggan i).

Gambar 1 Variasi tingkat persediaan. Tingkat persediaan tertinggi terjadi ketika barang (produk) sejumlah Qi dipesan.

(22)

Misalkan laju permintaan adalah Di per unit waktu, sehingga tingkat persediaan akan berada pada titik nol setelah Qi/Diunit waktu dari waktu pemesanan. Qi/Didisebut sebagai panjang cycle, yaitu tenggang waktu antara dua pemesanan.

Semakin kecil ukuran pesanan Qi, akan menyebabkan semakin sering pemesanan harus dilakukan. Ini bisa berarti biaya akan lebih besar karena adanya biaya pesananyang harus dikeluarkan setiap kali melakukan pemesanan. Akan tetapi ini juga bisa berarti biaya akan lebih kecil karena akan menyebabkan rata-rata tingkat persediaan menurun (lebih sedikit biaya yang harus dikeluarkan untuk penyimpanan). Sebaliknya ukuran pesanan yang besar akan mengakibatkan rata-rata tingkat persediaan lebih tinggi, dan tenggang waktu antar pemesanan lebih panjang. Sehingga diperlukan upaya untuk menentukan ukuran pesanan Qi yang meminimumkan total biaya inventori per unit waktu.

(Setiawan, 2002) Definisi 2 [Titik impas atau price break point

atau break even point]

Titik impas adalah titik (level) operasi perusahaan sedemikian sehingga total biaya produksi dengan total pendapatan sama besar, biasanya dinyatakan dalam bentuk ukuran unit barang atau unit uang (dollar).

(Thacker,1978) Definisi 3 [Ukuran lot]

Ukuran lot adalah banyaknya persediaan barang baik melalui pembelanjaan atau hasil produksi dalam jumlah yang cukup untuk mengantisipasi permintaan.

(Lewis, 2004) Definisi 4 [Biaya set-up]

Biaya set-up adalah biaya yang dikeluarkan berkenaan dengan ukuran lot.

(Kim & Hwang, 1988) 2.2 Kemonotan dan Kecekungan Fungsi Definisi 5 [Kemonotonan Fungsi]

Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang I

(terbuka, tertutup, atau tak satupun). Dikatakan bahwa:

i. f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

)

(

)

(

1 2

x

f

x

f

x

<

⇒

<

ii. f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

)

(

)

(

1 2

x

f

x

f

x

<

⇒

>

iii.f monoton murni pada I jika ia naik pada I

atau turun pada I

(Purcell & Varberg, 1999) Definisi 6 [Kecekungan Fungsi]

Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I = (a, b). Fungsi (dan grafik) f

dikatakan :

i. konveks atau cekung ke atas jika

f

′

naik pada I.

ii. konkaf atau cekung ke bawah jika

f

′

turun pada I.

(Purcell & Varberg, 1999) Teorema 1 [Kemonotonan Fungsi]

Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik-dalam dari I.

i. Jika f′(x)>0untuk semua titik-dalam x

dari I, maka f naik pada I.

ii. Jika f′(x)<0untuk semua titik-dalam x

dari I, maka f turun pada I.

(Purcell & Varberg, 1999) Teorema 2 [Kecekungan Fungsi]

Andaikan f terdiferensialkan dua kali pada selang terbuka (a, b).

i. Jika f ′′(x)>0untuk semua x dalam (a, b), maka f konveks atau cekung ke atas pada (a, b).

ii. Jika f ′′(x)<0untuk semua x dalam (a, b), maka f konkaf atau cekung ke bawah pada (a, b).

(23)

BAB III

PERUMUSAN MASALAH

Dalam matematika, model merupakan tiruan dari suatu permasalahan sedemikian rupa sehingga operasi matematis bisa diterapkan padanya. Konstruksi model dilaku-kan dengan cara memasukdilaku-kan serangkaian asumsi awal sebagai penyederhanaan, tanpa terlalu menyederhanakan permasalahan itu sendiri.

Berikut adalah asumsi-asumsi yang dipergunakan dalam pemodelan masalah ini: 1) Pelanggan tidak tunggal.

2) Penjual menawarkan diskon dengan titik impas tunggal.

3) Dalam menentukan ukuran pesanan, setiap pelanggan mengikuti model Economic Order Quantity (EOQ) statis satu produk. 4) Banyaknya pelanggan dan total

permintaan per unit waktu tetap, tidak bergantung pada perancangan diskon. 5) Banyaknya unit barang diperlakukan

sebagai variabel kontinu.

6) Biaya pesanan dan biaya inventori pelanggan diberitahukan kepada penjual. Jika salah satu diketahui, yang lain dapat diturunkan dengan menggunakan asumsi ketiga.

Pemodelan ini dibangun dari dua sudut. Pertama dari sudut pelanggan yang berupaya meminimumkan biaya inventori dan kedua dari sudut penjual yang berupaya memaksi-mumkan keuntungan.

3.1 Model Biaya Inventori Pelanggan

• Misalkan

C1i = biaya pesanan pelanggan i (i = 1, 2, 3, ..., n)

C2i = biaya inventori, dinyatakan sebagai persentase dari harga barang.

Pi = fungsi harga (biaya) pembelian pelanggan i

R = tingkat diskon (0 < R < 1)

Q = titik impas

• Misalkan harga per unit barang yang diberikan oleh penjual adalah P untuk Qi <

Q, dan P(1–R) untuk unit barang di atas Q,

maka total biaya pembelian yang dikeluarkan pelanggan i menjadi PQi untuk

Qi < Q, dan PQ+P(1–R)(Qi–Q) untuk Qi≥

Dengan demikian, fungsi harga untuk pelanggan i menjadi: Pi = P untuk Qi<Q, danuntuk Qi≥ Q, Pi=P(1−R)+PRQ/Qi (lihat Lampiran 1). Secara umum dapat ditulis sebagai berikut:

⎩ ⎨ ⎧

+ − =

, / ) 1 ( ,

i i

Q PRQ R P P P

selainnya

Q Qi <

(1) • Biaya pemesanan per cycle sejumlah Qi

pesanan adalah C1i+PiQi; dengan panjang

cycleQi/Di maka biaya pemesanan per unit waktu sejumlah Qi unit pesanan adalah

C1iDi/Qi+PiDi,

• Karena tingkat persediaan tertinggi adalah

Qi (ketika pemesanan dilakukan) dan tingkat terendah adalah nol (setelah Qi/Di unit waktu dari waktu pemesanan), maka rata-rata tingkat persediaan adalah Qi/2 dan biaya penyimpanan per unit waktu adalah

C2iPiQi/2, sehingga total biaya inventori per unit waktu sejumlah Qi pesanan adalah:

Ei(Qi) ≈ biaya pemesanan + biaya penyimpanan

= C1iDi/Qi+PiDi+ C2iPiQi/2

= C1iDi/Qi+Pi(C2iQi/2+ Di) (2) Misalkan Ei(Qi) dinotasikan dengan

E1i(Qi) untuk Qi < Q dan E2i(Qi) untuk Qi≥

Q. Maka untuk mendapatkan nilai economic order quantity atau Qi yang meminimum-kan setiap Ei(Qi) tersebut digunakan konsep diferensial, yakni menurunkan Ei(Qi) terhadap Qi, dan menyamakannya dengan nol.

Dengan cara tersebut diperoleh Qi yang meminimumkan Ei(Qi) untuk kedua kondisi di atas:

• Ukuran pesanan optimum pada kondisi tanpa diskon

Misalkan Qi yang meminimumkan

E1i(Qi) dinotasikan dengan Qai. Karena harga Pi = P untuk Qi < Q, maka

i i i i i i i

iQ C D Q C PQ PD

E1( )= 1 / + 2 /2+ , (3)

sehingga diperoleh :

2 / /

) (

2 2 1 1

i i i i i

i _C _D _Q _PC

dQ Q

dE ₌₋ ₊

(24)

dan 1(₂ ) 2 1₃ 0

> =

i i i i

i i

Q D C dQ

Q E d

, ∀Q_i>0. Jadi E1i(Qi) merupakan fungsi konveks untuk setiap Q_i >0. Dengan demikian diperoleh Qai yang meminimumkan E1i(Qi) diperoleh dari:

0 ) (

1 ₌

i i i

dQ Q dE

, 0 2 /

/ 2 ₂

1 + =

−

⇔ C_iD_i Q_i PC_i

i i i i

PC D C Q

2 1 2₌2

⇔ , sehingga

P C

D C Q

i i i i

2 1

= ,

atau yang dinotasikan dengan

P C

D C Q

i i i ai

2 1

= . (4)

Dengan demikian, diperoleh: i i i i ai

i Q C C PD PD

E₁( )= 2 ₁ ₂ + . (5) (lihat Lampiran 2)

• Ukuran pesanan optimum pada kondisi terdapat diskon

) 1 (

) (

2 1

R P C

D RPQ C

i i

bi ₋

= , atau

) 1 (

2 2 2

R C

RQD C

Q Q

i i

bi ₋

= (6)

(lihat Lampiran 3), dan

(

)

(

)

i Q C RPQC P RD

E2( )= 2 1 + 2 1−

+C₂_iPRQ/2+P(1−R)D_i

(7)

(lihat Lampiran 4)

Proposisi 1 Misalkan

Qci=

i i i i ai

C D C

D Q R

2 2

2 2 )

1 1 (

2 _⎟⎟−

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣

⎡ ₋ ₋

(8) maka Qai ≤ Qci ≤Qbi dan

E1i(Qai) ≥ E2i(Qbi) untuk Q ≤Qci,

E1i(Qai) < E2i(Qbi) untuk Q > Qci.

Bukti. (lihat Lampiran 5) ■.

Proposisi 1 menyatakan bahwa untuk R

yang diberikan, pesanan optimal Q_i* dari pelanggan i bergantung pada titik impas Q,

yakni:

. untuk

, untuk

ci ci ai

bi i

Q Q

Q Q Q

Q Q

> ≤ ⎩

⎨ ⎧

= (9)

Gambar 2 di bawah ini mengilustrasikan kurva biaya pelanggan i dan Q_i* yang bergantung pada posisi antara Q dan Qci (lihat Lampiran 6).

Ei(Qi)

E1i (Qai)

E2i (Qbi)

QaiQ Qci Qbi

E1i

E2i

(a) Q ≤Qci

Ei(Qi)

E2i(Qbi)

(b) Q >Qci

E1i (Qai)

QaiQci Q Qbi

E1i

Q E2i

(25)

3.2 Model Fungsi Keuntungan Penjual Misalkan Si adalah biaya set-up per pesanan oleh pelanggan i dan C adalah biaya variabel per unit barang, maka biaya yang dikeluarkan penjual per unit waktu dari pelanggan i dinyatakan dengan Si(Di/Qi)+CDi.

Dengan demikian total keuntungan penjual per unit waktu adalah:

∑ − −

i i i i i i i

CD Q D S D P

1[ ( ) ]

(10) Dengan adanya rencana diskon (R,Q), maka suku terakhir pada (10) tidak menjadi variabel keputusan, sehingga penjual hanya dihadapkan pada masalah memaksimumkan keuntungan yang dinyatakan oleh fungsi:

F(R,Q)=∑

= −

i i i i i i

Q D S D P 1

)] (

[ (11) Misalkan Fi(R,Q) adalah kontribusi pelanggan i terhadap keuntungan penjual per unit waktu. Dari persamaan (11) diperoleh,

Fi(R,Q)= PiDi –SiDi/Qi. (12) Misalkan diberikan nilai (R, Q), maka para pelanggan dapat dibagi ke dalam dua kelompok berikut ini:

(i) G1 ={i|Qci< Q}.

Jika i

∈

G1, maka Q_i*= Qai dan Fi= F1i, dengan F1i = PDi–SiDi/Qai (13) (ii) G2 ={i|Qci ≥ Q}.

Jika i

∈

G2, maka Qi*= Qbidan Fi= F2i, dengan

bi i i i bi i

Q D S D Q RPQ R P

F _⎟⎟ −

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ − = (1 )

i bi

i _D

Q S RPQ R

P _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

+ −

= (1 ) ( ) (14)

Pelanggan yang termasuk pada G1 adalah pelanggan yang ukuran pesanannya tidak dipengaruhi oleh rencana diskon. Tetapi pelanggan pada G2 mengubah ukuran pesanannya dari Qai menjadi Qbi ketika terdapat penawaran diskon. Dengan demikian

F(R,Q) pada persamaan (11) dapat ditulis kembali sebagai

∑ ∑ =

= ∈

2 1

) , ( )

, (

j i Gj ji

Q R F Q

F (15) Kontribusi pelanggan i terhadap keun-tungan penjual ditunjukkan pada Gambar 3 (lihat Lampiran 7).

Keuntungan maksimum diperoleh pada ci

Q= atau pada Q > Qci. Dalam hal ini, pada kasus Q > Qci, berarti penjual tidak

mengharapkan pelanggan i memanfaatkan diskonnya.

Qci

Qai Qbi

F2i

Q F1i

Qci

F1i

Qai Qbi

F2i

Q Fi

Gambar 3 Kontribusi pelanggan i

(26)

BAB IV

PENGOPTIMUMAN RANCANGAN

PENAWARAN DISKON

Pada bab ini akan dianalisis bagaimana penjual mengoptimumkan rancangan pena-waran diskonnya sehingga kedua permasalah-an ypermasalah-ang telah dirumuskpermasalah-an pada Bab III itu masing-masing mencapai nilai optimum, penjual dapat memaksimumkan keuntungan-nya sedangkan pelanggan dapat meminimum-kan biaya inventorinya.

Pengoptimuman rancangan penawaran diskon tersebut dianalisis untuk dua kasus berikut ini:

a.menentukan titik impas yang dapat mengoptimumkan keuntungan jika tingkat diskon ditetapkan.

b.menentukan tingkat diskon yang dapat mengoptimumkan keuntungan jika titik impas ditetapkan.

4.1 Kasus 1. Tingkat diskon ditetapkan Pada kasus ini penjual dihadapkan pada masalah bagaimana menentukan titik impas yang optimum sehingga kedua belah pihak baik pelanggan maupun penjual itu sendiri mendapat keuntungan. Misalkan tingkat diskon yang ditentukan dinotasikan dengan

Rp, maka Qci dapat ditentukan untuk semua pelanggan. Dalam hal ini misalkan terdapat paling banyak n nilai Qci yang berbeda, sebab beberapa pelanggan dapat memiliki Qci yang sama. Andaikan nilai-nilai Qci yang berbeda dinotasikan dengan Xi, i = 0, 1, 2, 3,..., r≤ n, dan disusun kembali dalam urutan naik dengan: X0 = 0 dan Xr = maxi Qci. Untuk setiap selang (Xi, Xi+1] pada Q, G1 dan G2 ditentukan

secara tunggal, yaitu pelanggan k dengan Qck ≤ Xi, k∈G1 dan Qck ≥ Xi+1, k∈G2. Dengan

demikian, setiap pelanggan termasuk pada G1

untuk Q∈(Xr,∞).

Proposisi 2

Nilai maksimum dari F(Rp,Q) terjadi pada ck

Q= untuk beberapa k, atau pada sembarang Q yang lebih besar dari Xr.

Bukti

F2i(Rp,Q) monoton naik pada Q∈(Xk, Xk+1]

untuk k < r sedangkan F1i konstan (lihat Gambar 3). Pada (Xr,∞), F(Rp,Q) menjadi konstan dan sama dengan F(0,0).

Dengan kata lain untuk mendapatkan Q

yang memaksimumkan F(Rp,Q), evaluasi

F(Rp,Q) pada Q = Qci dan pada Q>Xr untuk setiap pelanggan i, kemudian pilih nilai Q

yang memaksimumkan F. ■ Contoh kasus

Misalkan diberikan data lima pelanggan beserta data yang relevan pada Tabel 1.

Tabel 1 Data lima pelanggan Plgg.

(i)

Permintaan per waktu

(Di)

Ukuran Pesanan (Qi)

Total Inventori

Ei(Qi) ($) 1 50 10 265 2 300 20 1530 3 250 22 1283 4 200 30 1045 5 350 40 1810 Harga per unit (P) = $5

Biaya tetap (Si) = $25 Biaya inventori (C2i) = 0.3

Keterangan: Plgg. menyatakan pelanggan Misalkan penjual menawarkan tingkat diskon (R) sebesar 0.3. Dengan merujuk prosedur di atas, diperoleh titik impas yang optimum sebesar 172.18 (lihat Lampiran 10). Tabel 2 Perbandingan keuntungan sebelum

dan sesudah penawaran diskon

Tanpa diskon

Dengan (R=0.3, Q=172.18) Total frekuensi

pemesananplgg. 46.8 14 Total keuntungan ($) 4580.5 4651.4

Pada Tabel 2, ditunjukkan nilai optimum penawaran diskon (R=0.3 , Q=172.18) dan keuntungan yang diharapkan penjual. Total frekuensi pemesanan pelanggan berkurang dari 46.8 menjadi 14 kali per unit waktu sebagai akibat dari pelanggan yang mengubah ukuran pesanannya menjadi lebih besar karena adanya penawaran diskon tersebut.

(27)

Tabel 3 Ukuran pesanan dan total biaya inventori pelanggan i

Ukuran pesanan Total biaya Plgg.

(i) Tanpa diskon

Dengan (R*,Q*)

Tanpa diskon

Dengan (R*,Q*) 1 10 10 265 265

2 20 384.9 1530 1323

3 22 351.7 1283 1125

4 30 30 1045 1045

5 40 417.7 1810 1521

Pada Tabel 3, setiap pelanggan merespon penawaran diskon secara optimal. Pelanggan 2, 3, dan 5 memanfaatkan penawaran diskon tersebut dan mendapatkan keuntungan, sementara pelanggan 1 dan 4 tidak melakukannya.

4.2 Kasus 2. Titik impas ditetapkan Dalam kasus ini, penjual dihadapkan pada masalah bagaimana mendapatkan tingkat diskon yang optimum untuk nilai Q yang telah ditetapkan (Qp).

Proposisi 3

(i) Qci merupakan fungsi monoton naik terhadap R.

(ii)Untuk pelanggan i yang memenuhi

Qai<Qp<2Qai+2Di/C2i, maka berlaku

Qci= Qp, pada

2 2 2

) / 2 (

) )(

/ 2 ( 4

i i p

ai p i i ai i

C D Q

Q Q C D Q R

− +

= (16)

Bukti

(lihat Lampiran 8)■

Proposisi 3 berimplikasi bahwa bila R

berkurang, maka Qci juga berkurang. Dalam proses ini, beberapa perubahan pada Gk terjadi bila Qci = Qp untuk beberapa i dan kemudian menjadi lebih kecil dari Qp.

Andaikan terdapat sebanyak t nilai Ri yang berbeda yang diperoleh dari Persamaan (16) dan disusun dengan urutan naik menjadi Yi, i = 0, 1, 2, ..., t ≤ n, dengan Y0 = 0 dan Yt+1 = 1.

Misalkan Ii= [Yi,Yi+1), i = 0, 1, 2, ..., t. Pada

setiap Ii, Gk ditentukan secara unik serta tidak mengalami perubahan jika R∈Ii. Dengan demikian, pelanggan j dengan Rj >Yi, maka

j∈G1, dan jika Rj ≤Yi, maka j∈G2.

Untuk pelanggan i yang memiliki Ri tak fisibel (Ri ≤ 0 atau Ri≥ 1) maka pelanggan tersebut masuk ke dalam kelompok G2 jika

Qai≥Qp, dan ke dalam kelompok G1 jika Qp≥ 2Qai + 2Di/C2i.

Dapat ditunjukkan bahwa d2F2i/dR

negatif (lihat Lampiran 9), maka F(R,Qp) yang terdefinisi pada Ii adalah konkaf, sehingga

) , ( max max ) ,

( * _p

I R i

p F RQ

Q R F

∈

Contoh Kasus

Misalkan diberikan data yang sama seperti pada Tabel 1. Misalkan penjual menetapkan titik impas (Q) sebesar 50 unit.

Dengan merujuk prosedur di atas, diperoleh tingkat diskon yang optimum sebesar 0.065 (lihat Lampiran 11).

Tabel 4 Perbandingan keuntungan sebelum dan sesudah penawaran diskon

Tanpa diskon

Dengan (R=0.065,

Q=50) Total frekuensi

pemesananplgg. 46.8 17.8 Total keuntungan ($) 4580.5 5155.1

Pada Tabel 4, ditunjukkan nilai optimal penawaran diskon (R=0.065 , Q=50) dan keuntungan yang diharapkan penjual. Total frekuensi pemesanan berkurang dari 46.8 menjadi 17.8 kali per unit waktu sebagai akibat dari pelanggan yang mengubah ukuran pesanannya menjadi lebih besar karena adanya penawaran diskon tersebut.

Pada Tabel 5, setiap pelanggan merespon penawaran diskon secara optimal. Pelanggan 2, 3, 4, dan 5 memanfaatkan penawaran diskon tersebut dan mendapatkan keuntungan, sementara pelanggan 1 tidak melakukannya. Tabel 5 Ukuran pesanan dan total biaya

inventori pelanggan i

Ukuran pesanan Total biaya Plgg.

(i) Tanpa diskon

Dengan (R*,Q*)

Tanpa diskon

Dengan (R*,Q*) 1 10 10 265 265

2 20 85.9 1530 1325

3 22 79.4 1283 1283

4 30 74.8 1045 1042

(28)

BAB V

SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

Dari contoh kasus yang diujikan dapat disimpulkan bahwa keuntungan penjual meningkat tanpa membebankan biaya kepada para pelanggannya. Pada fakta tersebut biaya inventori yang dikeluarkan beberapa pelanggan menjadi lebih kecil dibanding dengan kondisi sebelum adanya penawaran diskon. Dengan kata lain penjual dan pelanggan saling berbagi keuntungan.

5.2 Saran

Sebagai saran untuk penelitian lebih lanjut, beberapa hal di bawah ini dapat dijadikan bahan pertimbangan:

1 Kasus tingkat diskon dan titik impas tidak ditetapkan.

2 Sistem diskon dengan titik impas tidak tunggal.

3 Jumlah unit barang diperlakukan sebagai variabel diskret.

DAFTAR PUSTAKA

Kim KH, Hwang H. 1988. An incremental discount pricing schedule with multiple customers and single price break.

European Journal of Operational Research 35:71-79.

Lewis CJ. 2004. Economic Order Quantity. [terhubung berkala].

http://fozzy.wvsc.edu/~lewis/handouts/eoq

.html [14 Maret 2005].

Purcell J, Varberg D. 1999. Kalkulus dan Geometri Analitis. Susila IN et al, penerjemah. Jilid 1. Ed. Ke-4. Airlangga. Jakarta.

Setiawan MI. 2002. Analisis Biaya Inventori dan Transportasi pada Network Terkendala [Skripsi]. Bogor. Institut Pertanian Bogor.

Thacker RJ. 1978. Accounting Principles.

(29)

(30)

Lampiran 1

.

Penjabaran Persamaan (1)

Total biaya yang dikeluarkan pelanggan untuk Qi≥ Q adalah PQ + P(1–R)(Qi–Q), sehingga harga barang per unit sama dengan total biaya dibagi ukuran pesanan, Qi.

Dengan demikian diperoleh:

Pi =

i i

Q Q R P

PQ+ (1− )( − )

i i

Q Q R Q

P( +(1− )( − ))

i i

Q R Q R Q

P( +(1− ) −(1− ) )

i i

RQ Q Q R Q

P( +(1− ) − + )

i i

Q RQ Q R

P((1− ) + )

i i

Q PRQ Q R P(1− ) +

Pi =P(1−R)+PRQ/Qi, Qi≥ Q.

Lampiran 2 Penjabaran Persamaan (5)

Diketahui untuk Qi < Q,E1i(Qi)=C1iDi/Qi+C2iPQi/2+PDi, maka i

ai i ai i i ai

iQ C D Q C PQ PD

E1( )= 1 / + 2 /2+ .

Dari Persamaan (5) diketahui Qai = 2C1iDi/C2iP, sehingga diperoleh:

i i i i i i i i

i i ai

i C D C P PD

P C P C D C

D C Q

E = + 1 2 + 2

2 1

1 2 /

2 /

2 ) (

i i i i i i

i i

i i i i i

PD P C D C P C P C D C

P C D C D C

+ +

= 2 ₁ ₂

2 1

2 1 1

/ 2 2 /

/ 2

i i

i i i i

i i

i _PD

P C

D C P C P C

D C P

C ₊ ₊

2 1 2 2 1

2 2

i i

i PD

P C

D C P

C +

2 1 2

i i

i i i

PD P

C P C D C

+ =

2 2 2

1 ( )

i i i

iDC P PD

C +

(31)

Lampiran 3 Penjabaran Persamaan (6)

Misalkan Qi yang meminimumkan E2i(Qi) dinotasikan dengan Qbi. Karena

(

)

(

)

i P R PRQ Q

P = 1− + / untuk Qi ≥ Q,maka

(

)

(

)

(

)

i i i i i

i Q C D Q C P R PRQ Q Q P R PRQ Q D E2( )= 1 / + 2 1− + / /2+ 1− + /

i i i i i i i i

iD Q C P RQ C PRQ P R D PRQD Q C1 / + 2 (1− ) /2+ 2 /2+ (1− ) + /

(

i i i

)

i i i i i

iQ C D PRQD Q C P RQ C PRQ P RD

E2( )= 1 + / + 2 (1− ) /2+ 2 /2+ (1− ) , sehingga diperoleh

(

)

/ (1 )/2

) ( 2 2 1 2 R P C Q PRQD D C dQ Q dE i i i i i i i

i ₌₋ ₊ ₊ ₋ _.

(

)

0 2 ) ( 3 0 1 2 2 2 > + = > i i i i i i i Q PRQD D C dQ Q E d

,∀Qi >0. Jadi E2i(Qi) merupakan fungsi konveks untuk setiap Qi > 0.

Dengan demikian diperoleh Qbi yang meminimumkan E2i(Qi): 0 ) ( 2 ₌ i i i dQ Q dE

(

1 +

)

/ 2+ 2 (1− )/2=0

−

⇔ CiDi PRQDi Qi C iP R

2 1 2 2 ) 1 ( i i i i i Q PRQD D C R P

C − ₌ +

⇔

(

)

) 1 ( 2 2 1 2 R P C PRQD D C Q i i i i i ₋ + = ⇔

(

)

) 1 ( 2 2 1 R P C D PRQ C Q i i i i ₋ + = ⇔ ) 1 ( / ) ( 2 2 1 R C P D PRQ C i i i − + = ) 1 ( / 2 / 2 2 1 R C P PRQD P D C i i i i − + = ) 1 ( 2 / 2 2 2 2 1 R C RQD P C C D C i i i i i i − + = .

Dari Persamaan (4) diketahui Q_ai C1_iD_i PC2_i

2 ₌₂ _/ _{, sehingga}

) 1 ( 2 2 2 2 R C RQD C Q Q i i i ai bi ₋ + = .

Lampiran 4 Penjabaran Persamaan (7)

Dari Lampiran 3 diketahui

(

i i i

)

i i i i i

i Q C D PRQD Q C P RQ C PRQ P RD

E2( )= 1 + / + 2 (1− ) /2+ 2 /2+ (1− ) , maka

(

i i i

)

bi i bi i i

i Q C D PRQD Q C P RQ C PRQ P RD

E2( )= 1 + / + 2 (1− ) /2+ 2 /2+ (1− ) , dengan

(

)

) 1 ( 2 2 1 R P C D PRQ C Q i i i bi ₋ +

= , sehingga diperoleh:

(

)

(

)

(

)

i i

i i i i i i i i i i bi

i C PRQ P R D

R P C D PRQ C R P C R P C D PRQ C PRQD D C Q

E /2 /2 (1 ) ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) ( 2 2 1 2 2 1 1

2 + + −

− + − + − + + =

(32)

(

)

(

)

(

)

(

)

i i i i i i i i i i i i i i i bi i D R P PRQ C R P C D PRQ C R P C R P C D PRQ C D PRQ C PRQD D C R P C Q E ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 ) 1 ( ) ( 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 − + + − + − + − + + + − = ⇒

(

)

(

)

i i i i i i i i i i D R P PRQ C R P C D PRQ C R P C R P C D PRQ C R P C ) 1 ( 2 / ) 1 ( 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 1 2 2 1

2 ₊ ₊ ₋

− + − + − + − =

(

)

i i i i i

i C PRQ P RD

R P C D PRQ C R P

C /2 (1 ) ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 1

2 ₋ + + −

+ − =

(

)

i i i i i

i _C _PRQ _P _R_D

R P C D R P C PRQ C ) 1 ( 2 / ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2

1 ₊ ₊ ₋

− − +

= , sehingga

(

)

i i i i

iQ C PRQC P RD C PRQ P RD

E2( )= 2 1 + 2 (1− ) + 2 /2+ (1− ) .

Lampiran 5 Bukti Proposisi 1

• Pertama akan ditunjukkan bahwa Qai ≤ Qbi.

P C D C

Qai = 2 1i i/ 2i dan Qbi= (2(C1i+RPQ)Di)/(C2iP(1−R)) = (2C₁iDi+2RPQDi)/(C₂iP(1−R)

= 2C₁_iD_i/C₂_iP(1−R)+2RPQD_i/C₂_iP(1−R) = 2C₁_iD_i/C₂_iP(1−R)+2RQD_i/C₂_i(1−R). Karena C1i, C2i, P, Q, dan Di bernilai positif,0< R < 1, maka

P C D C₁_i _i/ ₂_i

2 <2C₁_iD_i/C₂_iP(1−R). Nilai 2RQD_i/C₂_i(1−R) positif, sehingga

P C D C1i i/ 2i

2 < 2C1iDi/C2iP(1−R)+2RQDi/C2i(1−R). Jadi Qai < Qbi.

Jika R = 0 (tanpa diskon), maka Qai = Qbi. Dengan demikian Qai ≤ Qbi □ • Misalkan E2i(Qai|Q = Qai) menyatakan fungsi dari E2i(Qai) dengan Q = Qai dan

E2i(Qbi|Q = Qbi) menyatakan fungsi dari E2i(Qbi) dengan Q = Qbi. Akan ditunjukkan bahwa E2i(Qai|Q = Qai) = E1i(Qai) dan E2i(Qbi|Q = Qbi) = E1i(Qbi). o Akan ditunjukkan E2_i(Q_ai|Q = Q_ai) = E1_i(Q_ai):

Dari Lampiran 3 diketahui bahwa

(

)

(

)

i i i i i

iQ C D Q C P R PRQ/Q Q/ P R PRQ/Q D E( )= 1 / + 2 (1 − )+ 2+ (1− ) + , maka

i ai ai ai ai ai i ai i i ai ai

iQ Q Q C D Q C P R PRQ /Q Q / P R PRQ /Q D E2( = )= 1 / + 2( (1− )+ ) 2+( (1− ) + )

i ai

i ai i

iD Q C P R PRQ / P R PRD C1 / + 2( (1− )+ ) 2+( (1− ) + )

= i ai i ai i

iD Q C PQ / PD

C + +

= 1 / 2 2 .

Dari Lampiran 2 diketahui E1i(Qai) =C1iDi/Qai+C2iPQai/2+PDi, sehingga

(33)

o Akan ditunjukkan E2_i(Q_bi|Q =Q_bi) = E1_i(Q_bi): Dengan cara yang sama diperoleh

i i i

i i

i i i i

i Q C D Q C P R PRQ/Q Q/ P R PRQ/Q D

E( )= ₁ / + ₂( (1− )+ ) 2+ (1− ) + ) , sehingga i bi bi bi

bi bi i

bi i i bi bi

iQ Q Q C D Q C P R PRQ /Q Q / P R PRQ /Q D E2( = )= 1 / + 2( (1 − )+ ) 2+( (1− ) + )

i bi

i bi i

iD Q C P R PRQ / P R PRD C1 / + 2( (1− )+ ) 2+( (1− ) + )

i bi i bi i

iD Q C PQ / PD C + +

= 1 / 2 2 .

Dari Lampiran 2 diketahui

E1i(Qbi) =C1iDi/Qbi+C2iPQbi/2+PDi, sehingga E2i(Qbi|Q =Qbi) =E1i(Qbi)

Karena Qai meminimumkan E1i untuk setiap Q dan Qbi meminimumkan E2i untuk setiap Q, maka:

E1i(Qai) ≤E1i(Qbi) = E2i(Qbi|Q =Qbi), dan E2i(Qbi|Q =Qai)≤ E2i(Qai|Q = Qai)= E1i(Qai) sehingga

E2i(Qbi|Q =Qai)≤ E1i(Qai)≤ E2i(Qbi|Q =Qbi) □

• Akan ditunjukkan E2i(Qbi) monoton naik terhadap Q Dari Lampiran 4 diketahui

(

)

i i i i

iQ C PRQC P RD C PRQ P RD

E2( )= 2 1 + 2 (1− ) + 2 /2+ (1− ) .

Dari Teorema 1 diketahui fungsi f naik pada I jika f′(x)>0untuk semua titik dalam x

dari I, sehingga diperoleh:

(

)

₀

2 0

2 1

0 2 2

2 _/₂

) 1 ( 2

) 1 ( 2 )

( >

> >

+ − +

−

= C PR

D R P C PRQ C

D R R P C dQ

Q dE

i i i

i i

bi i

0 ) (

2 _>

⇒

dQ Q

dEi bi _{, artinya}_E2

i(Qbi) monoton naik terhadap Q □

Dengan demikian terdapat Qci dengan Qai ≤Qci ≤Qbi yang memenuhi E1i(Qai)= E2i(Qbi) pada saat Q = Qci atau ditulis dengan E1i

( )

Qai =E2i

(

QbiQ=Qci

)

. Akibatnya

jika Q < Qci maka E1i(Qai) > E2i(Qbi)

jika Q > Qcimaka E1i(Qai) < E2i(Qbi)□

Nilai Qci diperoleh dengan cara sebagai berikut:

( )

ai i

(

bi ci

)

i Q E Q Q Q

E1 = 2 =

(

bi ci

)

( )

i Q Q Q E Q

E2 = = 1

⇔

i i

i RPQ C P RD

C ) (1 )

(

2 1 + 2 −

⇔ + C2iRPQci/2 + P(1-R)Di= 2C1iC2iPDi +PDi i

i ci

i RPQ C P RD

C ) (1 )

(

2 1 + 2 −

⇔ = 2C1iC2iPDi +RPDi−C2iRPQci/2 (i) Dengan menguadratkan kedua ruas Persamaan (i) dan mengatur Qci sedemikian rupa sehingga diperoleh:

(34)

(

)

1 ) (1 )

( 2

( C_i+RPQ_ci C _iP −RD_i

⇔ =

(

2C₁_iC₂_iPD_i +RPD_i−C₂_iRPQ_ci /2

)

2 i

i ci

i RPQ C P R D

C ) (1 )

(

2 ₁ + ₂ −

⇔ =2C₁_iC₂_iPD_i+

(

RPD_i

) (

2+ C₂_iRPQ_ci /2

)

2−RPD_iC₂_iRPQ_ci

(

)

(

)

2 C₁_iC₂_iPD_i RPD_i−C₂_iRPQ_ci

(

)

i i

(

)

i ci

iC P RD C P RRDQ

C − + −

⇔2 1 2 1 2 2 21

(

)

2 1

2C_iC _iPD_i+ RPD_i

= i i i ci i i i i i ci i i ci

iRPQ _R _P _D_C _Q _C _C _PD _RPD _C _RPQ _C _C _PD

C 2 1 2 2 1 2 2 2 2

2 ₂ ₂ ₂

2 ⎟⎟_⎠ − + −

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ci i i ci i i i i i i i

iC PD C C PRD C P RDQ C P R DQ

C 2 2 2

2 2 2

1 2

1 2 2 2

2 − + −

⇔

(

)

ci i i ci

i i

i Q C P R DQ

RP C RPD PD C

C 2 ₂ 2 2

2 2 2 2 1 2

2 _⎟⎟ −

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = i i i ci i i i i

i C C PD C RPQ C C PD

RPD 2 1 2 2 2 1 2

2 − + ci i i i i ci i i ci i i ci i Q PD C C RP C Q D R P C Q RD P C Q RP C 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2

2 ₂ ₂

2 ⎟⎟_⎠ − + −

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⇔ i i i i i i

iC PRD RPD C C PD

C1 2 2 2 1 2

2 +

+ = 0

(

)

(

)

(

i i i i i i

)

ci i Q PD C C PRD PD RP C Q RP C 2 1 2 2 2

2 ₂ ₂

2 ⎟⎟_⎠ − − +

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⇔

(

2 1 2 + +2 1 2

)

+PD_iR C_iC _i PD_iR C_iC _iPRD_i

Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi: 0

2₊ ₊ ₌

⇔XQci YQci Z (ii)

dengan , ) 2 / ( 0 2 2 >

= C RP X _i

}, 2

2 ){

(C2iRP PDi PRDi C1iC2iPDi

Y=− − +

( )

{

(

)

}

0 2 1 0 2 > > + + − −

= CiRP RPDi PDi CiCiPDi

0 2 1 2

1 2 2 }

2 {

+ +

=PD_iR C_iC _i PD_iR C_iC _iPD_i

Z .

Misalkan Q10 dan 0 2

Q adalah solusi dari (ii) dengan

X XZ Y Y Q 2 4 2 0 2 , 1 − ± −

= . Nilai Q10

dan Q20 ada jika 4 0.

2₋ _≥

XZ Y

(

)

{

}

(

)

(

)

{

i i i i i i

}

i i i i i i i PD C C R PD C C R PD RP C PD C C PRD PD RP C XZ Y 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − = −

(1)

Plgg. i Perbandingan Qck dengan Xi

Kelompok Qbi Fi

4 151.25 ≥ 151.25 G2 296.16 836.32 5 251.07 ≥ 151.25 G2 391.83 1405.32

Total keuntungan 4612.52 Pada selang (151.25, 172.18] diperoleh data sebagai berikut: Plgg. i Perbandingan

Qck dengan Xi

Kelompok Qbi Fi

1 40.53 < 172.18 G1 10.00 125.00 2 199.65 ≥ 172.18 G2 384.91 1231.81 3 172.18 ≥

172.18

G2 351.68 1040.83 4 151.25 < 172.18 G1 30.00 833.33 5 251.07 ≥ 172.18 G2 417.69 1420.46

Total keuntungan 4651.43 Pada selang (172.18, 199.65] diperoleh data sebagai berikut: Plgg. i Perbandingan

Qck dengan Xi

Kelompok Qbi Fi

1 40.53 < 199.65 G1 10.00 125.00 2 199.65 ≥ 199.65 G2 414.36 1266.82 3 172.18 < 199.65 G1 22.00 965.91 4 151.25 < 199.65 G1 30.00 833.33 5 251.07 ≥ 199.65 G2 449.37 1438.78

Total keuntungan 4629.83 Pada selang (199.65, 251.07]. diperoleh data sebagai berikut: Plgg. i Perbandingan

Qck dengan Xi

Kelompok Qbi Fi

1 40.53 < 251.07 G1 10.00 125.00 2 199.65 < 251.07 G1 20.00 1125.00 3 172.18 < 251.07 G1 22.00 965.91 4 151.25 < 251.07 G1 30.00 833.33 5 251.07 ≥ 251.07 G2 503.34 1469.49

Total keuntungan 4518.73 Langkah 4 Mencari total keuntungan terbesar

Dari kelima total keuntungan di atas diperoleh nilai yang paling besar, yaitu: 4651.43. Dengan demikian diperoleh titik impas yang optimal (Q*) sebesar 172.18.

Perbandingan frekuensi pemesanan (Di/Qi) sebelum dan sesudah penawaran diskon. Pelanggan

Sebelum penawaran diskon

Sesudah penawaran diskon

1 5.00 5.00

2 15.00 0.78

3 11.36 0.71

4 6.67 6.67

5 8.75 0.84

(2)

Lampiran 11 Pencarian Tingkat Diskon pada Kasus 2

Langkah 1 Mencari Ri untuk semua pelanggan

Dari Persamaan (16) diketahui ₂ 2 2 ) / 2 ( ) )( / 2 ( 4 i i p ai p i i ai i C D Q Q Q C D Q R + − +

= , sehingga diperoleh:

Pelanggan i 1 2 3 4 5

Ri 0.374 0.058 0.064 0.057 0.017

Langkah 2 Mengurutkan nilai Ri dari nol sampai satu, kemudian membuat selang di antara

nilai yang terdekat

Dari Ri yang diketahui, diperoleh urutan naik berikut: {0, 0.017, 0.057, 0.058, 0.064, 0.374, 1}. Dengan demikian diperoleh selang-selang berikut ini: (0, 0.017], (0.017, 0.057], (0.057, 0.058], (0.058, 0.064], (0.064, 0.374], dan (0.374, 1).

Langkah 3 Menentukan kelompok pelanggan pada setiap selang Ii, kemudian menghitung

Qbi dan Fi

Untuk pelanggan j dengan Rj > Yi, maka j∈G1, dan jika Rj ≤Yi, maka j∈G2

Pada setiap selang Ii,Fi merupakan fungsi konkaf terhadap R. Oleh karena itu pencarian nilai tertinggi Fi menggunakan bantuan Microsoft Excel dengan mengambil tiga angka desimal.

Berikut adalah penentuan kelompok para pelanggan untuk setiap selang Ii, Pada selang Ii = (0, 0.017] diperoleh: