2.5 Akar primitif
Jika ada suatu bilangan bulat m dan order dari m modulo n adalah �n, maka m
disebut akar primitif modulo n. Dapat juga dituliskan sebagai ord
n
m = �n.
Mollin, 2007 Sebagai contoh, akan dicari akar primitif modulo 7.
�7 = 7 – 1 = 6 Ord
7
1 = 1 �7, maka 1 bukan akar primitif modulo 7
Ord
7
2 = 3 �7, maka 2 bukan akar primitif modulo 7
Ord
7
3 = 6 = �7, maka 3 adalah akar primitif modulo 7
Apabila p adalah bilangan prima, maka disebut akar primitf modulo p
apabila pemetaan
r
mod p terhadap r {1, 2, 3, …, p-1} akan menghasilkan
permutasi dari r.
Sebagai contoh, apakah 3 adalah akar primitif modulo 7?
r
r
mod p 1
3 2
2 3
6 4
4 5
5 6
1
Karena hasil
r
mod p merupakan permutasi dari r, maka 3 merupakan akar primitif modulo 7.
Teorema: Banyaknya jumlah akar primitif modulo n adalah tepat sebanyak ��n akar primitif yang tidak saling kongruen. Mollin, 2007
Dari teorema ini, maka banyaknya akar primitif modulo 7 adalah:
��7 = �6 = 2 akar primitif.
Universitas Sumatera Utara
2.6 Fermat’s Little Theorem
Teorema : Untuk bilangan prima p dan bilangan bulat a, a
p
≡ amod p dan jika a tidak dapat dibagi oleh p, maka a
p-1
≡ 1 mod p.
Teorema ini dapat digunakan untuk mempermudah kalkulasi pemangkatan modulo bilangan prima. Sebagai contoh, kita coba kalkulasi 2
74
mod 13. Karena 13 adalah bilangan prima dan 2 tidak dapat dibagi 13, maka teorema ini dapat
digunakan untuk mengkalkulasi
2
12
≡ 2
13-1
mod 13 ≡ 1 mod 13. Jadi
2
74
= 2
12 6
× 2
2
≡ 1
6
× 2
2
≡ 4 mod 13.
Meskipun dapat digunakan untuk mempermudah kalkulasi, dalam kriptografi, peran terpenting dari
Fermat’s little theorem adalah sebagai dasar dari berbagai teknik enkripsi asimetris. Untuk memudahkan pembuatan program untuk
pembangkitan bilangan prima maka digunakan teknik iterasi. Untuk bilangan yang lebih kecil dari 100 maka akan dilakukan pengujian sebanyak tiga kali,
untuk bilangan yang lebih besar dari 100 maka dilakukan pengujian sebanyak
digit bilangan tersebut. Kromodimoeljo. 2010
2.7 Modulus Exponential