54
Mmt Aplikasi SMA 3 Bhs
Dari pengertian di atas, jika A suatu matriks persegi berordo m, A
2
= A
×
A, A
3
= A
×
A
×
A = A
2
×
A, dan seterusnya.
Contoh:
Diketahui A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
2 2
1 . Tentukan
a. A
2
; b.
2A
2
– 3A.
Penyelesaian:
a. A
2
= A
×
A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 8
8 3
3 2
2 1
3 2
2 1
b. 2A
2
– 3A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
2 2
1 3
5 8
8 3
2
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ +
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
9 6
6 3
10 16
16 6
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
10 10
9 Sekarang, coba kalian selidiki, apakah A
2
×
A = A
×
A
2
= A
3
? Selidiki pula, apakah A
3
×
A = A
×
A
3
= A
2
×
A
2
= A
4
?
Contoh:
Misalkan diberikan matriks A berordo m ×
n, dengan m n dan
m , n bilangan asli.
Untuk A
k
, k bilangan asli, dapatkah ditentukan nilainya? Mengapa?
Berpikir Kritis
Diskusi
6. Sifat-Sifat Perkalian Matriks
Untuk memahami sifat-sifat perkalian matriks, perhatikan contoh-contoh berikut.
1. Diketahui A =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
4 3
1 , B =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 2
2 1
, dan C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
1 1
2 .
a. Tentukan A
×
B, B
×
C, dan A
×
C. b.
Apakah A
×
B
×
C = A
×
B
×
C? c.
Apakah A
×
B + C = A
×
B + A
×
C?
Di unduh dari : Bukupaket.com
55
Matriks
Penyelesaian:
a. A
×
B = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
6 5
2 1
3 2
2 1
4 3
1
B
×
C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 7
3 4
1 1
1 2
3 2
2 1
A
×
C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
1 2
1 2
1 1
1 2
4 3
1
b. A
×
B
×
C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
11 16
3 4
5 7
3 4
4 3
1
A
×
B
×
C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
11 16
3 4
1 1
1 2
6 5
2 1
Ternyata A
×
B
×
C = A
×
B
×
C. Berarti, perkalian matriks bersifat asosiatif. c.
A
×
B + C = µ
³
´´
¦ ¥
²² ¤
£ +
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
1 1
1 2
3 2
2 1
4 3
1
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 7
1 1
2 1
1 1
4 3
1
A
×
B + A
×
C = 1
2 5
6 2
1 2
1 £
¤ ²
¥ ¦
´ + £
¤ ²
¥ ¦
´
= £
¤ ²
¥ ¦
´ 1
1 7
5 Ternyata A
×
B + C = A
×
B + A
×
C berarti perkalian matriks bersifat distributif kanan. Dengan menggunakan contoh di atas, dapat ditunjukkan bahwa perkalian
matriks juga bersifat distributif kiri, yaitu A + B
×
C = A
×
C + B
×
C. 2.
Diketahui A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 4
7 5
4 dan O =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
. Tentukan OA dan AO.
OA =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 4
7 5
4
AO =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 4
7 5
4 Dengan demikian, OA = AO = O.
Di unduh dari : Bukupaket.com
56
Mmt Aplikasi SMA 3 Bhs
3. Diketahui A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 2
1 3
dan B = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
1 2
4 .
Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini. a.
3AB b.
3AB c.
A 3B
Penyelesaian:
a. 3AB =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
µ
³
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 1
2 4
2 1
3 3
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
12 24
9 33
3 1
2 4
6 3
9
b. 3AB = 3
3 1
2 4
2 1
3 £
¤ ²
¥ ¦
´ £
¤ ²
¥ ¦
´
³
µ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 12
24 9
33 4
8 3
11 3
c. A3B =
µ
³
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 1
2 4
3 2
1 3
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
12 24
9 33
9 3
6 12
2 1
3 Dari hasil perkalian tersebut, tampak bahwa 3AB = 3AB = A3B. Apakah 3AB =
AB3? Apakah hal ini termasuk sifat asosiatif? Kemukakan alasanmu.
Berdasarkan contoh-contoh di atas dan pembahasan sebelumnya, untuk setiap matriks A, B, dan C yang dapat
dikalikan atau dijumlahkan, dengan k adalah suatu skalar anggota himpunan bilangan real, pada perkalian matriks berlaku sifat-
sifat berikut:
a. Tidak komutatif, yaitu A
×
B B
×
A b.
Asosiatif, yaitu A
×
B
×
C = A
×
B
×
C c.
Distributif kanan, yaitu A
×
B + C = A
×
B + A
×
C d.
Distributif kiri, A + B
×
C = A
×
C + B
×
C e.
Perkalian dengan skalar k, yaitu kA
×
B = kA
×
B. f.
Jika perkalian hanya memuat matriks-matriks persegi, terdapat unsur identitas, yaitu I sehingga AI = IA = A
g. Perkalian dengan matriks O, yaitu AO = OA = O.
Di unduh dari : Bukupaket.com
57
Matriks
Uji Kompetensi 5
Kerjakan di buku tugas
Investigasi
Tugas
Kerjakan di buku tugas
Misalkan A, B, C, dan D matriks. Apakah berlaku sifat-sifat berikut?
a. Jika AB = AC dan A bukan matriks C.
b. Jika AD matriks nol maka A atau D matriks nol.
Jika ”ya”, buktikan. Jika ’tidak”, carilah contoh matriks A, B, C
, dan D sehingga a.
AB = BC dan A bukan matriks tetapi B
C. b.
AD matriks nol tetapi A dan D bukan matriks nol.
1. Diketahui A =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 1
3 , B =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
1 1
1 2
, dan C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
2 2
1 1
. Tentukan hasil perkalian berikut.
a. A
×
B d.
C
t
×
A b.
B
×
C e.
C
t
×
B c.
A
×
C f.
C
t
×
A
t
2. Diketahui P =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 1
1 2
, Q = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
1 2
, dan R = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
1 3
2 .
Tentukan hasil perkalian berikut. a.
P
×
Q
×
R d.
Q
t
×
R b.
Q
×
R
×
P e.
P
×
Q
t
c. P + Q
×
R f.
P
×
Q
t
×
R
t
3. Tentukan nilai a dan b yang memenuhi persamaan berikut.
a.
2 1
1 5
a b
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
4 6
d.
a b
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
1 3
2 1
2 2
4 3
1
b.
a b
1 2
8 £
¤ ²
¥ ¦
´ £
¤ ²
¥ ¦
´ = £
¤ ²
¥ ¦
´ 5
19
e.
a b
2 3
1 4
2 3
24 14
23 13
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
c.
3 1
2 4
2 6
a b
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
4. Tentukan matriks persegi X ordo 2 yang memenuhi persamaan berikut.
a.
1 2
2 1
4 2
3 1
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
X
b.
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
3 4
1 2
2 2
X
Di unduh dari : Bukupaket.com
58
Mmt Aplikasi SMA 3 Bhs
5. Diketahui A =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 1
1 2
. Tentukan hasil operasi berikut. a.
A
2
c. A
2
×
A b.
A
×
A
2
d. A
4
6. Diketahui
A =
£ ¤
² ¥
¦ ´
1 4
3 3
dan B = 1
1 2
5 £
¤ ²
¥ ¦
´ . Tentukan hasil operasi berikut.
a. A + B
2
c. B – A
2
b. A
2
+ 2AB + B
2
d. B
2
– 2BA + A
2
Soal Terbuka
Kerjakan di buku tugas
1. Jika X =
3 2
4 3
£ ¤
² ¥
¦ ´
dan I = 1
1 £
¤ ²
¥ ¦
´ .
Tunjukkan bahwa X
2
+ 2X + I = 4 2
1 2
1 £
¤ ²
¥ ¦
´ . Selidiki apakah
X – I
2
= X
2
– 2X + I. 2.
Diketahui matriks A =
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
1 1
2 3
1 1
3 2
1
dan B =
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
1 3
1 2
2 2
2 1
4
. Tentukan hasil operasi berikut.
a. A
2
d. A – B
×
A + B b.
B
2
e. A
×
B + B
t
c. A
×
B f.
A
t
×
A
t
+ B
t
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Jika matriks
A =
1 2
4 3
£ ¤
² ¥
¦ ´
maka nilai x yang memenuhi per-
samaan |A – xI| = 0 dengan I matriks satu-
an dan |A – xI| deter- minan dari A – xI ada-
lah .... a. 1 dan –5
b. –1 dan –5 c. –1 dan 5
d. –5 dan 0 e. 1 dan 0
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2001
D. Balikan atau Invers Matriks
