Penyelesaian sistem persamaan diferensial linear dengan tranformasi laplace.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRAK
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatif atau diferensial dari satu atau lebih fungsi. Dalam menyelesaikan persamaan diferensial
biasanya terdapat syarat bantu yang disebut syarat awal. Persamaan diferensial
dengan syarat awalnya disebut masalah nilai awal. Salah satu metode yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal adalah metode transformasi
Laplace. Transformasi Laplace juga dapat digunakan digunakan untuk mencari
penyelesaian dari suatu sistem persamaan diferensial dengan koefisien konstan.
Metode penyelesaian dengan menggunakan transformasi Laplace adalah dengan
mengubah persamaan diferensial dengan parameter t ke dalam persamaan aljabar
dengan parameter s. Kemudian sistem tersebut diselesaikan dengan menggunakan
eliminasi gauss dan menggunakan invers transformasi Laplace untuk mendapatkan penyelesaian khusus dari sistem persamaan diferensial tersebut.
Kata Kunci: Persamaan diferensial, masalah nilai awal, transformasi Laplace, invers transformasi Laplace
viii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRACT
The differential equation is an equation that contains the derivative or differential
of one or more functions. In solving differential equation, usually there is an auxiliary condition, called initial conditions. Differential equations with initial
conditions are called initial value problem. One of the method that can be used to
solve initial value problem in differential equation is Laplace transform method.
Laplace transformation also can be used for solving systems of differential
equations with constant coefficients. Using this method, the differential equations
of the parameter t is change into algebraic equation of the parameter s. Then, the
system is solved using Gauss elimination and inverse Laplace transform to obtain
a special solution of the system of differential equations.
Keyword: differential equation, initial value problem, Laplace transform, inverse
Laplace transform.
ix
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
DENGAN TRANSFORMASI LAPLACE
SKRIPSI
Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh:
Hilaria Heparantiza
NIM: 083114002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2012
i
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
THE SOLUTION OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATION SYSTEM
USING LAPLACE TRANSFORMATION
THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the SARJANA SAINS Degree
In Mathematics
By:
Hilaria Heparantiza
Student Number: 083114002
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2012
ii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Kupersembahkan skripsi ini kepada:
Tuhan Yesus Kristus
Bapak dan Mama Tercinta atas Cinta, Kasih Sayang, Doa Serta
Dukungan secara Moril dan Materiil
Kakakku Angela Hadryana
Adikku Yeserika Lindani
Serta Segenap Keluarga
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………....
Satu-satunya cara untuk melakukan pekerjaan besar adalah dengan mencintai apa yang Anda
lakukan, walaupun sebenarnya anda membencinya.
Hidup ini seperti piano. Berwarna putih dan hitam. Namun, ketika Tuhan yang
memainkannya, semuanya menjadi indah.
Sungguh, Allah itu keselamatanku; aku percaya dengan tidak gemetar,
Sebab TUHAN ALLAH itu kekuatanku dan mazmurku,
Ia telah menjadi keselamatanku
Yes (12:2)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
vi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRAK
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatif atau diferensial dari satu atau lebih fungsi. Dalam menyelesaikan persamaan diferensial
biasanya terdapat syarat bantu yang disebut syarat awal. Persamaan diferensial
dengan syarat awalnya disebut masalah nilai awal. Salah satu metode yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal adalah metode transformasi
Laplace. Transformasi Laplace juga dapat digunakan digunakan untuk mencari
penyelesaian dari suatu sistem persamaan diferensial dengan koefisien konstan.
Metode penyelesaian dengan menggunakan transformasi Laplace adalah dengan
mengubah persamaan diferensial dengan parameter t ke dalam persamaan aljabar
dengan parameter s. Kemudian sistem tersebut diselesaikan dengan menggunakan
eliminasi gauss dan menggunakan invers transformasi Laplace untuk mendapatkan penyelesaian khusus dari sistem persamaan diferensial tersebut.
Kata Kunci: Persamaan diferensial, masalah nilai awal, transformasi Laplace, invers transformasi Laplace
viii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRACT
The differential equation is an equation that contains the derivative or differential
of one or more functions. In solving differential equation, usually there is an auxiliary condition, called initial conditions. Differential equations with initial
conditions are called initial value problem. One of the method that can be used to
solve initial value problem in differential equation is Laplace transform method.
Laplace transformation also can be used for solving systems of differential
equations with constant coefficients. Using this method, the differential equations
of the parameter t is change into algebraic equation of the parameter s. Then, the
system is solved using Gauss elimination and inverse Laplace transform to obtain
a special solution of the system of differential equations.
Keyword: differential equation, initial value problem, Laplace transform, inverse
Laplace transform.
ix
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus, Sang Penerang dan Juru Selamat, yang senantiasa mencurahkan kasih dan karunia-Nya
kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.
Selama penulisan skripsi ini penulis membutuhkan pertolongan dari berbagai
pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1.
Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan selaku
Kaprodi Matematika FST-USD yang dengan rendah hati dan dengan penuh
kesabaran membimbing penulis selama penyusunan skripsi.
2.
P. H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.
3.
M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji dan dosen
pembimbing akademik.
4.
Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., M.Si., selaku dosen penguji.
5.
C.H. Eny Murwaningtyas, S.Si., M.Si., yang pernah menjadi dosen
pembimbing akademik bagi penulis.
6.
Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika FST-USD yang telah
memberikan bekal ilmu yang sangat berguna bagi penulis.
7.
Karyawan sekretariat FST-USD khususnya kepada Bapak Tukija dan Ibu
Linda, serta karyawan perpustakaan USD dan Mas Susilo selaku laboran atas
pelayanan yang baik selama penulis kuliah.
x
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
8.
Kedua orang tuaku, Bapak Herman dan Mama Yulianti serta kakakku Angela
Hadryana dan adikku Yeserika Lindani yang senantiasa memberikan
dukungan, kasih sayang, dan doa bagi penulis.
9.
Dennis Tri Hassapta atas kasih sayang, perhatian dan dukungan yang selalu
diberikan kepada penulis.
10. Teman-teman Matematika angkatan 2008: Yudit, Nopi, Amel, Marcel, Feny,
Etus, Moyo, Widi, serta kakak dan adik angkatan.
11. Teman-teman kos Aulia: Yudit, Nopi, Ao, Sende, Elvira, Wiwik, dan Tesa.
12. Sahabat seperjuangan: Yudit, Nopi, Amel, Pipot dan Marcel.
13. Teman-teman kos Nuvi: Kak Thea, Pipot dan Lita.
14. Teman-teman KKN XLII kelompok 35 Banaran atas semua pengalaman yang
sudah dilalui bersama.
15. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Penulis menyadari masih ada kekurangan dalam skripsi ini, untuk itu saran
serta kritik yang membangun sangat diharapkan dalam peningkatan kualitas
skripsi ini, dan akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi
semua pihak.
Yogyakarta, 31 Januari 2012
Penulis,
Hilaria Heparantiza
xi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .......................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv
PERYATAAN KEASLIAN KARYA .................................................................. v
HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... vi
LEMBAR PERYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI .................................. vii
ABSTRAK ............................................................................................................ viii
ABSTRACT .......................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR .......................................................................................... x
DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................... 1
A. Latar Belakang .......................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 3
C. Pembatasan Masalah ................................................................................. 3
D. Tujuan Penulisan ....................................................................................... 3
E. Manfaat Penulisan ..................................................................................... 3
F. Metode Penulisan ...................................................................................... 4
G. Sistematika Penulisan ............................................................................... 4
xii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB II MASALAH NILAI AWAL DAN SISTEM PERSAMAAN
DIFERENSIAL ....................................................................................... 6
A. Sistem Persamaan Linear .......................................................................... 6
B. Limit, Fungsi Kontinu dan Fungsi Transenden ........................................ 12
C. Deret Geometrik ........................................................................................ 21
D. Persamaan Diferensial dan Penyelesaiannya ............................................ 25
E. Sistem Persamaan Diferensial................................................................... 30
F. Integral Tentu, Integral Tak Wajar dan Integral Parsial ........................... 33
BAB III TRANSFORMASI LAPLACE .............................................................. 44
A. Transformasi Laplace ................................................................................ 44
B. Sifat-sifat Transformasi Laplace ............................................................... 54
C. Fungsi Khusus Transformasi Laplace ....................................................... 63
D. Invers Transformasi Laplace dan Konvolusinya ...................................... 70
BAB IV PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
LINEAR DENGAN TRANSFORMASI LAPLACE ............................. 80
A. Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear dengan
Transformasi Laplace ................................................................................ 81
B. Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Pertama
dengan Transformasi Laplace ................................................................... 97
C. Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Kedua
dengan transformasi Laplace .................................................................... 109
xiii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
D. Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde ke-n
dengan Transformasi Laplace ................................................................... 118
BAB V PENUTUP ............................................................................................... 124
A. Kesimpulan ............................................................................................... 124
B. Saran ......................................................................................................... 125
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 126
xiv
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 3.4.1 Tabel Transformasi Laplace ............................................................ 73
xv
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Sistem merupakan sekumpulan elemen yang saling berkaitan dan saling
mempengaruhi dalam melakukan kegiatan bersama untuk mencapai suatu
tujuan. Sebuah sistem dikatakan linear jika hubungan antara suatu variabel
terhadap variabel lainnya dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan linear.
Persamaan dalam sebuah sistem dapat berupa persamaan diferensial.
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatif
atau diferensial dari satu atau lebih fungsi. Persamaan ini digunakan dalam
berbagai macam bidang. Tidak hanya dalam bidang matematika tetapi juga
dalam bidang ekonomi, fisika, biologi, astronomi, dan yang lainnya.
Persamaan diferensial diklasifikasikan dalam berbagai jenis. Sebuah
persamaan dikatakan persamaan diferensial biasa jika fungsi yang belum diketahui dalam persamaan diferensial bergantung hanya pada satu variabel bebas. Sebuah persamaan dikatakan persamaan diferensial parsial jika fungsi
yang belum diketahui bergantung pada dua atau lebih variabel bebas.
Persamaan diferensial juga dapat dibedakan menurut orde atau tingkat. Orde
persamaan diferensial adalah tingkat derivatif tertinggi yang muncul dalam
persamaan diferensial.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2
Sebuah persamaan diferensial dikatakan linear jika dalam persamaaan
diferensial tersebut fungsi yang belum diketahui derivatif-derivatifnya secara
aljabar berderajat satu dan tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi
yang belum diketahui dengan derivatif-derivatifnya. Selain itu, tidak ada
fungsi transendental dari fungsi yang belum diketahui beserta derivatifderivatifnya dan yang lainnya. Jika salah satu syarat tidak dipenuhi maka
persamaan tersebut dikatakan tidak linear.
Apabila koefisien-koefisien pada persamaan diferensial linear adalah
konstanta real maka persamaan disebut persamaan diferensial linear dengan
koefisien konstan. Dalam menyelesaikan persamaan diferensial terkadang
terdapat syarat bantu yang mengikutinya. Jika syarat bantu pada persamaan
diferensial yang diketahui berhubungan dengan sebuah nilai tertentu, syarat
itu disebut syarat awal. Persamaan diferensial dengan syarat awalnya disebut
masalah nilai awal.
Salah satu cara penyelesaian masalah nilai awal pada sistem persamaan
diferensial adalah dengan menggunakan metode transformasi Laplace. Metode
ini mentransformasikan masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial
ke dalam masalah aljabar dengan melibatkan suatu variabel. Setelah
ditransformasikan, dari persamaan tersebut ditentukan invers transformasi
Laplacenya untuk mencari penyelesaian dari masalah nilai awal tersebut.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
3
B. RUMUSAN MASALAH
1.
Apa yang dimaksud dengan transformasi Laplace dan bagaimana
sifatnya?
2.
Bagaimana cara menyelesaikan masalah nilai awal pada persamaan
diferensial dengan menggunakan transformasi Laplace?
3.
Bagaimana cara menyelesaikan masalah nilai awal pada sistem
persamaan diferensial dengan menggunakan transformasi Laplace?
C. PEMBATASAN MASALAH
Dalam penulisan karya ilmiah ini, penulis hanya akan membatasi pada
sistem persamaan diferensial hanya sistem persamaan diferensial dengan dua
variabel.
D. TUJUAN PENULISAN
Tujuan dari penulisan ini adalah untuk memahami sifat-sifat dari
transformasi Laplace dan mencari penyelesaian masalah nilai awal pada
sistem persamaan diferensial dengan menggunakan transformasi Laplace.
E. MANFAAT PENULISAN
Manfaat penulisan ini adalah memberikan pemahaman dalam
menyelesaikan masalah nilai awal pada persamaan diferensial dengan
menggunakan metode transformasi Laplace.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
4
F. METODE PENULISAN
Metode penulisan yang digunakan adalah metode studi pustaka, yaitu
dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik tansformasi
Laplace dan persamaan diferensial.
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I:
PENDAHULUAN
Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang masalah,
perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan,
manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan
BAB II: MASALAH NILAI AWAL DAN SISTEM PERSAMAAN
DIFERENSIAL
Dalam bab II akan dibahas tentang sistem persamaan linear, limit,
fungsi kontinu dan fungsi transenden, deret geometrik, persamaan
diferensial dan penyelesaiannya, sistem persamaan diferensial serta
integral tak wajar dan integral parsial.
BAB III: TRANSFORMASI LAPLACE
Dalam bab ini akan dibahas tentang transformasi Laplace, sifatsifat transformasi Laplace, fungsi khusus transformasi Laplace
serta invers transformasi Laplace dan konvolusinya.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
5
BAB IV: PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
LINEAR DENGAN TRANSFORMASI LAPLACE
Dalam bab ini akan dibahas tentang penyelesaian persamaan
diferensial linear dengan transformasi Laplace, penyelesaian sistem
persamaan diferensial linear orde pertama dengan transformasi
Laplace, penyelesaian sistem persamaan diferensial linear orde
kedua dengan transformasi Laplace dan penyelesaian sistem
persamaan diferensial linear orde ke-n dengan transformasi
Laplace.
BAB V: PENUTUP
Bab V berisi kesimpulan dan saran
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB II
MASALAH NILAI AWAL DAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
Dalam bab ini akan dibahas mengenai materi-materi yang akan digunakan
dalam pembahasan bab-bab selanjutnya. Materi-materi tersebut antara lain adalah
sistem persamaan linear, limit, fungsi kontinu dan fungsi transenden, deret geometrik,
persamaan diferensial dan penyelesaiannya, sistem persamaan diferensial serta
integral tentu, integral tak wajar dan integral parsial.
A. Sistem Persamaan Linear
Persamaan linear dengan n variabel y1 , y 2 ,..., y n dapat dinyatakan dalam
bentuk
a1 y1 a2 y 2 ... an y n b
di mana a1 , a2 ,..., an dan b merupakan konstanta real. Suatu sistem dengan m
persamaan linear dan n variabel yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai
a11 y1 a12 y 2 ... a1n y n b1
a 21 y1 a22 y 2 ... a2 n y n b2
am1 y1 am 2 y 2 ... a mn y n bm
(2.1.1)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
7
di mana y1 , y 2 ,..., y n adalah variabel yang tidak diketahui. Bilangan aij
merupakan koefisien persamaan ke-i dari variabel ke-j dan bi menyatakan
konstanta di ruas kanan untuk persamaan ke-i. Koefisien tersebut dapat dituliskan
dalam bentuk matriks, yaitu
a 11
a
21
a m1
a12
a 22
am2
a1n
a 2 n
a mn
yang disebut matriks koefisien. Jika suatu koefisien variabel tidak muncul,
maka pada matriks koefisien akan dituliskan sebagai bilangan nol.
Konstanta di ruas kanan dapat dituliskan dalam bentuk, yaitu
b1
b
2
bm
yang disebut matriks konstanta. Matriks yang terdiri dari matriks koefisien
dengan menambahkan matriks konstanta pada kolom terakhir disebut dengan
matriks lengkap. Dengan demikian matriks lengkap untuk sistem persamaan
linear pada persamaan (2.1.1) adalah
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
8
a11 a12 a1n b1
a
21 a22 a2 n b2
am1 am 2 amn bm
Definisi 2.1.1
Urutan sejumlah bilangan s1 , s 2 , , s n merupakan penyelesaian dari sistem
persamaan (2.1.1) jika y1 s1 , y 2 s2 , , y n sn merupakan penyelesaian dari
setiap persamaan di dalam sistem tersebut.
Contoh 2.1.1
Sistem persamaan
4 y1 y 2 3 y3 1
3 y1 y 2 9 y3 4
(2.1.2)
memiliki penyelesaian y1 1, y 2 2 dan y3 1 karena nilai-nilai tersebut
memenuhi kedua persamaan (2.1.2).
Definisi 2.1.2
Sebuah matriks disebut matriks eselon baris jika memenuhi syarat-syarat
berikut ini:
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
1.
9
Jika sebuah baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka bilangan taknol
pertama pada baris tersebut adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama.
2.
Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari angka nol, maka baris
tersebut dikelompokkan di baris paling bawah matriks.
3.
Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka
1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan
dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.
Contoh 2.1.2
Berikut adalah contoh matriks yang sudah dalam bentuk eselon baris
1 4 3 4 1 1 0
0 1 6 2 , 0 1 0 ,
0 0 1 5 0 0 0
0 1 2 6 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 1
Definisi 2.1.3
Operasi Baris Elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi:
1. Menukar letak dari dua baris matriks tersebut.
2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.
3. Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan
baris lain.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
10
Salah satu metode yang digunakan untuk meyelesaikan sistem persamaan
linear adalah metode eliminasi Gauss. Metode ini menghasilkan matriks sampai
pada bentuk eselon baris. Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss ini
adalah:
1. Menentukan matriks lengkap dari suatu sistem persamaan linear.
2. Mencari kolom paling kiri yang memuat unsur tak nol.
3. Jika elemen pertama kolom yang diperoleh pada langkah pertama sama
dengan nol maka baris pertama dari matriks ditukar dengan unsur pada kolom
tersebut yang taknol.
4. Setelah elemen pertama dari kolom diperoleh pada langkah pertama tak sama
dengan nol, maka elemen di bawahnya diubah menjadi nol dengan operasi
baris elementer.
Contoh 2.1.3
Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan eleminasi
Gauss
y1 y 2 2 y3 9
2 y1 4 y 2 3 y3 1
3 y1 6 y 2 5 y3 0.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
11
Penyelesaian:
Matriks lengkap dari sistem persamaan linear di atas adalah
1 1 2 9
2 4 - 3 1
3 6 - 5 0
Kemudian matriks tersebut di ubah kedalam bentuk eselon baris menjadi
2
9
1 1
0 1 7 2 - 17 2
0 0
3
1
Sistem yang bersesuaian dengan matriks adalah
y1 y 2 2 y3 9
y2
7
17
y3
2
2
y3 3
atau
y1 9 y2 2 y3
(2.1.3)
17 7
y3
2 2
(2.1.4)
y2
y3 3.
(2.1.5)
Dengan mensubstitusikan nilai y3 ke persamaan (2.1.4) diperoleh y 2 2 dan
dengan mensubstitusikan y2 ke persamaan (2.1.3) diperoleh y1 1. Jadi
diperoleh y1 = 1, y2 = 2 dan y3 = 3.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
12
B. Limit, Fungsi Kontinu dan Fungsi Transenden
1.
Limit
Definisi 2.2.1
Pengertian yang tepat tentang limit mengatakan bahwa lim f t L
t c
berarti bahwa untuk tiap 0 yang diberikan, terdapat 0 yang
berpadanan
sedemikian
sehingga
f x L
0 x c yakni
0 x c f x L
Contoh 2.2.1
Buktikan bahwa lim 3t 7 5.
t 4
Penyelesaian:
Andaikan bilangan positif sebarang sedemikian sehingga
0 t 4 3t 7 5
Kemudian pandang ketaksamaan pada ruas kanan
asalkan
bahwa
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
13
3t 7 5 3t 12
3t 4
3t4
t4
3
Andaikan diberikan 0. Jika dipilih
3
,
maka 0 t 4
mengimplikasikan
3t 7 5 3t 12 3t 4 3 t 4 3
Jadi, terbukti bahwa lim 3t 7 5.
t 4
Definisi 2.2.2
Misalkan f didefinisikan pada c, untuk suatu bilangan c, dikatakan
bahwa
lim f t L
t
jika untuk setiap 0, terdapat bilangan M sedemikian sehingga
t M f t L
Contoh 2.2.2
2t 3 3t 2 2
t 5t 3 3t 4
Hitunglah nilai limit dari lim
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
14
Penyelesaian:
Untuk menghitung nilai limit, pembilang dan penyebut dibagi dengan
pangkat tertinggi yang muncul yaitu t3, sehingga diperoleh
t3
t2 2
3 2
3
2 3
3
3
3
t t
t
t lim
lim t 3
t
3 4
t
t
4 t
5 2 3
5 3 3 3 3
t
t
t
t
t
1
1
lim 2 3 lim 2 lim 3
t
t t
t t
1
1
lim 5 3 lim 2 4 lim 3
t
t t
t t
2
5
2
2.
Fungsi Kontinu
Definisi 2.2.3
Andaikan f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung c, f
kontinu di c jika
lim f t f c
x c
Definisi di atas menyatakan bahwa f kontinu jika syarat-syarat berikut
dipenuhi:
i).
lim f t ada,
ii).
Fungsi f terdefinisi di c, yaitu f c ada,
tc
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
iii).
15
lim f t f c .
t c
Jika salah satu dari ketiga syarat tidak dipenuhi, maka f tak kontinu di c.
Contoh 2.2.3
Fungsi f yang didefinisikan
t 2 1
f t
t 1
tidak kontinu untuk t 1 , karena lim
t 1
t 2 1
lim t 1 2 f 1 maka f
t 1 t 1
tidak kontinu di t 1 .
Definisi 2.2.4
Fungsi f kontinu kanan di a jika lim f t f a dan kontinu kiri b jika
t a
lim f t f b .
t b
Definisi 2.2.5
Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka
a, b
jika fungsi f
kontinu di setiap titik pada a, b . Fungsi f dikatakan kontinu pada selang
tertutup a, b jika fungsi f kontinu pada selang terbuka a, b , kontinu
kanan di a dan kontinu kiri di b.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
16
Pada Gambar 2.2.1, fungsi f kontinu pada (a,b) kecuali di titik-titik t1, t2, t3.
Fungsi f tak kontinu di t1 karena lim f t tidak ada, tidak kontinu di t2
t t1
karena nilai lim f t tidak sama dengan nilai fungsi di t2, dan f tak kontinu
t t 2
di t3 karena fungsi di t3 tidak ada.
t1
t2
t3
Gambar 2.2.1
Contoh 2.2.4
Akan diperlihatkan bahwa fungsi f t yang didefinisikan dengan
f t 9 t 2
untuk setiap t 3, 3 kontinu pada selang tertutup 3, 3.
Fungsi f t 9 t 2 kontinu pada selang terbuka 3,3 . Fungsi f kontinu
kanan di t 3 yaitu lim 0 dan kontinu kiri di t 3 yaitu lim 0 . Ini
t 3
berarti fungsi f kontinu pada selang tertutup 3,3 .
t 3
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
17
Definisi 2.2.6
Fungsi f t dikatakan kontinu bagian demi bagian pada interval tertutup
a, b
jika f kontinu pada setiap titik dalam a, b kecuali untuk sejumlah
berhingga titik-titik di mana f t mempunyai ketakontinuan lompat. Fungsi
f t dikatakan kontinu bagian demi bagian pada 0, jika f kontinu ba-
gian demi bagian pada 0, N untuk setiap N 0 .
Contoh 2.2.5
Perlihatkan bahwa sebuah fungsi f yang dinyatakan dengan
0 t 1
2t ,
1 t 2
f t
3t ,
2t 3
kontinu bagian demi bagian pada interval 0,3.
t2,
Penyelesaian:
f t
2
1
t
0
1
2
Gambar 2.2.2
3
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
18
Gambar 2.2.2 tersebut memperlihatkan f t kontinu pada interval 0,1 ,
1,2
dan 2,3 . Pada titik yang tidak kontinu yaitu untuk t 2 , fungsi f
mempunyai ketakkontinuan lompat karena
lim f t 0 dan lim f t 1 .
t 2
t 2
Jadi fungsi f kontinu bagian demi bagian pada interval 0,3 .
Contoh 2.2.6
Perlihatkan bahwa fungsi sebuah fungsi f yang dinyatakan dengan
f t t 2 4t 3
tidak kontinu bagian demi bagian.
Penyelesaian:
Gambar 2.2.3
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
19
Grafik tersebut di atas memperlihatkan bahwa f(t) kontinu pada interval
,1
dan 3, tetapi f(t) tidak kontinu pada interval 1, 3 . Untuk
lim f t 0 tetapi untuk lim f t tidak terdefinisi. Ini berarti bahwa fungsi
t 2
t 1
tersebut tidak kontinu bagian demi bagian.
3.
Fungsi Transenden
Fungsi transenden merupakan fungsi yang tidak dapat dinyatakan sebagai
sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan y = k dan fungsi
y = x. Fungsi-fungsi transenden antara lain yaitu:
i).
Fungsi Logaritma Natural
Contoh: ln y
ii).
Fungsi Eksponensial
Contoh: e y ,3e 5 y , dan e ln y .
iii).
Fungsi Trigonometri
Contoh: sin y, cos y, dan tan y.
iv).
Fungsi Siklometri
Contoh: arc sin y dan arc cos y.
v).
Fungsi Hiperbolik
Contoh: sinh y, cosh y dan tanh y
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
20
Definisi 2.2.7
Sebuah fungsi f dikatakan berorde eksponensial jika terdapat konstanta α
dan konstanta positif t 0 dan M sedemikian rupa sehingga
e t f t M untuk setiap t t 0
di mana f t terdefinisi.
Contoh 2.2.7
Jika diketahui f t sin bt maka
e t f t e t sin bt .
Untuk setiap 0
lim e t sin bt 0.
t
Ini
berarti
untuk
setiap
0
e t f t e t sin bt M untuk
ada
t t0 .
t0 0
sehingga
f t sin bt
berorde
M 0 dan
Jadi
eksponensial, dengan konstanta α sama dengan semua bilangan positif.
Contoh 2.2.8
Tentukan apakah f t e t berorde eksponensial atau tidak.
2
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
21
Penyelesaian:
Diketahui bahwa f t e t maka
2
e t f t e t e t .
2
Untuk setiap 0
lim e t e t lim e t t .
2
t
t
2
2
Ini berarti bahwa fungsi e t tidak berorde eksponensial karena e t membesar
lebih cepat daripada e t untuk berapapun nilai α.
C. Deret Geometrik
Definisi 2.3.1
Deret tak berhingga
a
n 1
n
konvergen dan mempunyai jumlah S jika
barisan jumlah-jumlah parsial S n konvergen menuju S atau lim S n S . Jika
n
Sn
divergen, maka deret tersebut divergen. Deret divergen tidak mempunyai
jumlah.
Contoh 2.3.1
Diberikan deret tak berhingga
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2n 1
n n 1
2
2
n 1
Selidikilah apakah deret tak hingga di atas divergen atau konvergen.
Penyelesaian:
Diketahui bahwa
an
2n 1
n n 1
2
2
.
Kemudian an ditulis dalam bentuk pecahan parsial berikut
an
1
1
.
2
n
n 12
Maka pecahan parsial deret yang diberikan dapat ditulis menjadi
Sn
n 1
2n 1
n 2 n 1
2
1
1
2
n 12
n 1 n
1
1
1 1 1
1 ... 2
n 12
4 4 9
n
1
1
n 12
Oleh karena itu,
1
S lim S n lim 1
2
n
n
n 1
1.
Jadi deret tak hingga yang diberikan konvergen dan jumlahnya adalah 1.
22
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
23
Definisi 2.3.2
Deret berbentuk
ar
n 1
a ar ar 2 ar 3 ... ar n1 ...
k 1
di mana a 0 disebut deret geometrik.
Contoh 2.3.2
Deret
4 4 4
4
4
1
adalah deret geometrik dengan a dan r .
3 9 27 81
3
3
Teorema 2.3.1
Deret geometrik konvergen ke S
a
jika r 1, dan divergen jika r 1.
1 r
Jumlahan parsial n suku pertama adalah S n
a 1 rn
.
1 r
Bukti:
Deret jumlahan parsial suku pertama adalah:
S n a ar ar 2 ar 3 ar 4 ... ar n1
rS n ar ar 2 ar 3 ar 4 ar 5 ... ar n
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
24
maka
S n rS n a ar ar 2 ... ar n1 ar ar 2 ar 3 ... ar n
1 r S n a ar n .
Jadi,
Sn
a 1 r n
a
1 rn
.
1 r
1 r 1 r
Jika r 1, maka lim r n 0. Sehingga diperoleh
n
a 1 rn
n
n
1 r
a
ar n
lim
lim
n 1 r
n 1 r
a
.
1 r
S lim S n lim
Dengan kata lain, deret geometri konvergen jika r 1. Jika r 1 maka
lim r n , sehingga
n
n
a 1 r n
.
n
1 r
S lim S n lim
Deret divergen jika r 1 . Jadi terbukti bahwa deret geometri konvergen jika
r 1 dan divergen jika r 1.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
25
D. Persamaan Diferensial dan Penyelesaiannya
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatif atau
diferensial dari satu atau lebih fungsi. Persamaan diferensial diklasifikasikan
menjadi dua jenis, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial
parsial. Jika fungsi yang belum diketahui dalam persamaan diferensial hanya
bergantung pada satu variabel bebas saja, maka persamaan tersebut dikatakan
persamaan diferensial biasa. Jika fungsi yang belum diketahui bergantung pada
dua atau lebih variabel bebas, maka persamaan tersebut dikatakan persamaan
diferensial parsial.
Definisi 2.4.1
Orde suatu persamaan diferensial adalah tingkat derivatif tertinggi yang muncul
dalam persamaan.
Bentuk umum dari persamaan diferensial biasa tingkat ke-n adalah
dy d 2 y
dny
F t , y, , 2 ,..., n 0
dt dt
dt
Bila y
dny
d2y
dy
n
, y 2 , ..., y n maka persamaan di atas dapat ditulis
dt
dt
dt
menjadi
F t , y, y ' , y '' ,..., y n 0
di mana F adalah suatu fungsi real dengan argumen-argumen t , y, y ' , y '' ,..., y n
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
26
Contoh 2.4.1
y '' 3 y ' 3 y x 3 merupakan persamaan diferensial orde kedua karena pada
persamaan ini tingkat derivatif tertinggi yang muncul adalah dua dan
y 4 x 2 y 3 x 3 y xe x adalah persamaan diferensial orde keempat.
Definisi 2.4.2
Sebuah persamaan diferensial biasa orde ke-n dikatakan linear, di mana y adalah
variabel tak bebas dan t adalah variabel bebas dapat ditulis dalam bentuk
dny
d n 1 y
dy
a0 t n a1 t n 1 ... an 1 t an t y b(t )
dt
dt
dt
(2.4.1)
di mana a0 , a1 ,..., an dan b adalah fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval yang
memuat y dan a0 t 0 pada interval itu. Fungsi a k t disebut fungsi-fungsi
koefisien.
Definisi di atas menyatakan bahwa persamaan diferensial adalah linear jika
syarat-syarat berikut dipenuhi:
i).
Fungsi yang belum diketahui dan derivatif-derivatifnya secara aljabar
berderajat satu.
ii).
Tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi yang belum diketahui
dengan satu atau lebih derivatif-derivatifnya.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
iii).
27
Tidak ada fungsi transendental dari y dan derivatif-derivatifnya misalnya
sin y dan e y .
Jika salah satu syarat tersebut tidak dipenuhi maka persamaan diferensial
tersebut tidak linear atau nonlinear. Persamaan diferensial yang tidak linear disebut persamaan diferensial non linear.
Contoh 2.4.2:
y 3 5 y '' 3 y sin t dan y '' 5 y ' 6 y 0 berturut-turut adalah contoh-contoh
persamaan diferensial linear, sedangkan
yy '' 5 y'6 y 0 adalah contoh
persamaan diferensial non linear.
Definisi 2.4.3
Jika bt 0 untuk setiap t, maka persamaan (2.4.1) menjadi
a0 t
dny
d n 1 y
dy
a
t
... an 1 t an t y 0
1
n
n 1
dt
dt
dt
dan disebut persamaan diferensial linear homogen. Jika bt 0 untuk setiap t,
maka persamaan (2.4.1) disebut persamaan diferensial tak homogen.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
28
Contoh 2.4.3
Persamaan y 3 y 0 adalah persamaan diferensial homogen orde pertama,
sedangkan y y 2 y e 3t adalah persamaan diferensial tak homogen orde
kedua. Persamaan ini tak homogen karena bt 0 pada ruas kanan.
Definisi 2.4.4
Jika syarat bantu pada persamaan diferensial yang diketahui berhubungan dengan
sebuah nilai t, syarat itu disebut syarat awal. Persamaan diferensial dengan syarat
awalnya disebut Masalah Nilai Awal (MNA).
Definisi 2.4.5
Masalah nilai awal dari persamaan diferensial orde ke-n dengan n syarat
awal dapat ditulis dalam bentuk
yt 0 c1 , y t 0 c2 , y t 0 c3 ,..., y n1 t 0 cn
yang harus dipenuhi oleh penyelesaian persamaan diferensial dan derivatifderivatifnya pada titik awal t 0 .
Contoh 2.4.4
dy
2 y 3t , y0 2 adalah contoh masalah nilai awal pada persamaan
dt
diferensial
di
mana
titik
awalnya
adalah
t 0.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
y t 5 y t sin t 0, x1 0, x1 7
29
adalah contoh masalah nilai awal
pada persamaan diferensial di mana titik awalnya adalah t 1.
Definisi 2.4.6
Masalah Nilai Awal untuk persamaan diferensial linear homogen orde ke-n
dengan koefisien konstan terdiri dari penyelesaian persamaan diferensial
a0
d n1 y
dny
dy
... a n1
an y 0
a
1
n
n 1
dt
dt
dt
di mana a0 , a1 ,..., an adalah konstanta dan a0 0 dengan syarat awalnya adalah
yt 0 c1 , y t 0 c2 , y t 0 c3 ,..., y n1 t 0 cn
di mana c1 , c2 ,..., cn adalah konstanta.
Contoh 2.4.5
d 2 y dy
6 y 0 dengan syarat y0 6 dan y 0 2 adalah contoh masalah
dt 2 dt
nilai awal untuk persamaan diferensial linear homogen orde kedua.
Definisi 2.4.7
Masalah Nilai Awal untuk persamaan diferensial linear tak homogen orde
ke-n dengan koefisien konstan terdiri dari penyelesaian persamaan diferensial
dy
d n 1 y
dny
a0 n a1 n1 ... a n 1
a n y bt
dt
dt
dt
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
30
di mana a0 , a1 ,..., an adalah konstanta dan a0 0 dengan syarat awalnya adalah
yt 0 c1 , y t 0 c2 , y t 0 c3 ,..., y n1 t 0 cn
di mana c1 , c2 ,..., cn adalah konstanta.
Contoh 2.4.6
y 5 y sin t dengan syarat awalnya y0 0 dan y0 1 adalah contoh
masalah nilai awal untuk persamaan diferensial linear tak homogen karena
bt sin t .
E. Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial linear adalah persamaan yang melibatkan n
persamaan dengan m fungsi yang tidak diketahui. Sistem persamaan diferensial
linear dapat juga disebut dengan sistem linear. Bentuk umum sistem persamaan
diferensial linear orde pertama dengan dua persamaan dalam fungsi x dan y yang
tidak diketahui adalah
a1 t
dy
dx
a 2 t a 3 t x a 4 t y F1 t
dt
dt
dy
dx
b1 t b2 t b3 t x b4 t y F2 t
dt
dt
(2.5.1)
Penyelesaian di atas dinyatakan dalam pasangan terurut dari fungsi real
f , g
demikian sehingga x f t , y g t memenuhi kedua persamaan dari
sistem (2.5.1) pada interval a t b .
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
31
Contoh 2.5.1
Sebuah sistem persamaan yang didefinisikan dengan
dx
dy
3 2x t 2
dt
dt
dx
dy
2 3x 4 y e t
dt
dt
2
adalah sistem persamaan diferensial linear orde pertama dengan koefisien
konstan.
Sistem linear dari dua persamaan diferensial orde kedua dari dua fungsi
yang tidak diketahui x dan y ditulis dalam bentuk
dy
d2y
dx
d 2x
a
t
a 3 t a 4 t a 5 t x a 6 t y F1 t
2
2
2
dt
dt
dt
dt
2
2
d y
dy
d x
dx
b1 t 2 b2 t 2 b3 t b4 t b5 t x b6 t y F2 t
dt
dt
dt
dt
a1 t
(2.5.2)
Penyelesaian di atas dinyatakan dalam pasangan terurut dari fungsi real
f , g
demikian sehingga x f t , y g t memenuhi kedua persamaan dari
sistem (2.5.2) pada interval a t b .
Contoh 2.5.2
Sebuah sistem persamaan yang didefinisikan dengan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2
32
d 2x
d2y
dx
dy
3
7 3 2y t 1
2
2
dt
dt
dt
dt
2
2
d x
d y
3 2 2 2 3x 4 y 0
dt
dt
adalah sistem persamaan diferensial linear orde kedua dengan koefisien konstan.
Secara umum sistem persamaan diferensial linear dengan n persamaan
diferensial orde pertama dan n fungsi yang tidak diketahui ditulis dalam bentuk
dy1
a11 t y1 a12 t y 2 a1n t y n F1 t ,
dt
dy 2
a 21 t y1 a 22 t y 2 a 2 n t y n F2 t ,
dt
(2.5.3)
dy n
a n1 t y1 a n 2 t y 2 a nn t y n Fn t .
dt
Persamaan diferensial orde ke-n adalah
a 0 t
dny
d n 1 y
dy
a
t
...
a
t
a n t y F (t )
n
1
1
dt
dt n
dt n 1
dengan satu fungsi yang tak diketahui y. Didefinisikan
y1 y , y 2
d n 1 y
d n2 y
d2y
dy
, y 3 2 , ..., y n 1 n 2 , y n n 1 .
dt
dt
dt
dt
(2.5.4)
Dari persamaan (2.5.4)
dy dy1 d 2 y dy 2
d n 1 y dy n 1 d n y dy n
,
,
...,
,
.
dt
dt dt 2
dt
dt
dt
dt n 1
dt n
(2.5.5)
Dengan menggunakan persamaan (2.5.4) dan (2.5.5) maka persamaan
(2.5.3) dapat dituliskan menjadi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
dy1
y2
dt
dy 2
y3
dt
33
(2.5.6)
dy n 1
yn
dt
dy n
a n t y1 a n 1 t y 2 a1 t y n F t ,
dt
yang merupakan kasus khusus dari sistem linear pada persamaan (2.5.3) dengan
n persamaan dan n fungsi yang tak diketahui. Jadi suatu persamaan diferensial
linear orde ke-n dari persamaan (2.5.1) dalam satu fungsi yang tidak diketahui
berhubungan erat dengan sistem linear dari n persamaan diferensial orde pertama
dalan n fungsi yang tidak diketahui.
F. Integral Tentu, Integral Tak Wajar dan Integral Parsial
1.
Integral Tentu
Definisi 2.6.1
Jika f adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup a, b .
Misalkan P adalah partisi dari a, b dengan titik-titik partisi t 0 , t1 , t 2 , , t n
dan P maxt i . Integral tentu f dari a ke b adalah
b
a
n
f t dt lim f ti ti
p 0
i 1
(2.6.1)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
34
jika limitnya ada. Jika limitnya ada, maka f dikatakan terintegral pada
interval a, b .
Teorema 2.6.1
Jika f kontinu pada seluruh selang a, b , maka f terintegralkan pada
a, b .
Bukti:
Menurut Definisi 2.6.1, untuk membutikan Teorema 2.6.1 akan ditunjukan
bahwa untuk sebarang 0 , terdapat sedemikian sehingga
f t f t
(2.6.2)
2b a
dengan t dan t adalah titik-titik dari
t t . Pertimbangkan sebarang partisi
a, b
sedemikian sehingga
t 0 , t1 , t 2 , , t n sedemikian
sehingga semua subinterval mempunyai panjang kurang dari . Pada
subinterval tertutup
ti 1 , ti ,
misalkan
mi
dan
Mi
masing-masing
mengatakan batas bawah terbesar dan batas atas terkecil dari nilai f. Maka
dapat dibentuk
s m1 t1 t 0 m2 t 2 t1 mn t n t n1
S M 1 t1 t 0 M 2 t 2 t1 M n t n t n1 .
(2.6.3)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
35
Pada interval t n1 , t n , pilih titik t sedemikian sehingga f t dekat ke M i
f t dekat ke mi . Dengan demikian
dan t sedemikian sehingga
persamaan (2.6.2) menjadi
M i mi
(2.6.4)
2b a
Dari persamaan (2.6.3) dapat diperoleh
S s M 1 m1 t1 t 0 M m2 t 2 t1 M n mn t n t n1
S s M 1 m1 t1 t 0 M 2 m2 t 2 t1 M n mn t n t n 1
M 1 m1 t1 t 0 M 2 m2 t 2 t1 M n mn t n t n 1
Dari persamaan (2.6.4)
S s
2b a
t1 t 0
2b a
t 2 t1
2b a
t n t n1
maka
S s
2b a
t1 t 0 t 2 t1 t n t n1 .
2
Jadi, terbukti f terintegral pada interval a, b .
Teorema 2.6.2
Jika f kontinu bagian demi bagian pada interval tertutup a, b maka f
terintegral pada a, b .
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
36
Bukti:
Karena f kontinu bagian demi bagian, maka f kontinu pada a, b kecuali
pada titik-titik
a t1 t 2 t n b.
Berdasarkan Teorema 2.6.1, f terintegral pada selang t1 , t 2 sedemikian
t2
t3
t4
t1
t2
t3
sehingga f t dt ada. Begitupun juga untuk
tt
f t dt
f t dt , f t dt ,
ada. Karena f terintegral pada setiap selang ti , ti1 di mana
tn 1
i 1, 2, , n dan
tn
t2
t3
tn
t1
t1
t2
tn-1
f t dt f t dt f t dt f t dt
tn
maka
f t dt ada. Jadi terbukti bahwa
f terintegral pada a, b .
t1
2.
,
Integral Tak Wajar
Dalam mendefinisikan integral tentu
b
f t dt
a
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
37
fungsi f dimisalkan terdefinisi pada interval tertutup a, b . Namun bila
integral tersebut mempunyai batas tak berhingga maka integral tersebut
adalah integral tak wajar. Contoh untuk integral tak wajar tersebut adalah
e
t
dt
0
Definisi 2.6.2
Jika f kontinu untuk setiap t a , maka
b
f t dt lim f t dt
a
b
a
Bilamana limitnya ada dan nilainya berhingga, integral tak wajar tersebut
konvergen. Jika tidak, integral tak wajar tesebut divergen.
Contoh 2.6.1
Hitunglah e t dt , jika ada
0
Penyelesaian:
R
t
t
e dt lim e dt
0
R
0
lim e R
R
R
0
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
lim e R 1
R
lim e R lim 1
R
R
0 1
1
Jadi
e
0
Contoh 2.6.2
Hitunglah
0
dt
t 1
, jika ada.
Penyelesaian:
0
dt
t 1
R
lim
R
0
R
dt
t 1
lim t 1
R
1
2
dt
0
R
1
1
lim
t 1 2
R
1
2
0
li
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRAK
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatif atau diferensial dari satu atau lebih fungsi. Dalam menyelesaikan persamaan diferensial
biasanya terdapat syarat bantu yang disebut syarat awal. Persamaan diferensial
dengan syarat awalnya disebut masalah nilai awal. Salah satu metode yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal adalah metode transformasi
Laplace. Transformasi Laplace juga dapat digunakan digunakan untuk mencari
penyelesaian dari suatu sistem persamaan diferensial dengan koefisien konstan.
Metode penyelesaian dengan menggunakan transformasi Laplace adalah dengan
mengubah persamaan diferensial dengan parameter t ke dalam persamaan aljabar
dengan parameter s. Kemudian sistem tersebut diselesaikan dengan menggunakan
eliminasi gauss dan menggunakan invers transformasi Laplace untuk mendapatkan penyelesaian khusus dari sistem persamaan diferensial tersebut.
Kata Kunci: Persamaan diferensial, masalah nilai awal, transformasi Laplace, invers transformasi Laplace
viii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRACT
The differential equation is an equation that contains the derivative or differential
of one or more functions. In solving differential equation, usually there is an auxiliary condition, called initial conditions. Differential equations with initial
conditions are called initial value problem. One of the method that can be used to
solve initial value problem in differential equation is Laplace transform method.
Laplace transformation also can be used for solving systems of differential
equations with constant coefficients. Using this method, the differential equations
of the parameter t is change into algebraic equation of the parameter s. Then, the
system is solved using Gauss elimination and inverse Laplace transform to obtain
a special solution of the system of differential equations.
Keyword: differential equation, initial value problem, Laplace transform, inverse
Laplace transform.
ix
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
DENGAN TRANSFORMASI LAPLACE
SKRIPSI
Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh:
Hilaria Heparantiza
NIM: 083114002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2012
i
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
THE SOLUTION OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATION SYSTEM
USING LAPLACE TRANSFORMATION
THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the SARJANA SAINS Degree
In Mathematics
By:
Hilaria Heparantiza
Student Number: 083114002
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2012
ii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Kupersembahkan skripsi ini kepada:
Tuhan Yesus Kristus
Bapak dan Mama Tercinta atas Cinta, Kasih Sayang, Doa Serta
Dukungan secara Moril dan Materiil
Kakakku Angela Hadryana
Adikku Yeserika Lindani
Serta Segenap Keluarga
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………....
Satu-satunya cara untuk melakukan pekerjaan besar adalah dengan mencintai apa yang Anda
lakukan, walaupun sebenarnya anda membencinya.
Hidup ini seperti piano. Berwarna putih dan hitam. Namun, ketika Tuhan yang
memainkannya, semuanya menjadi indah.
Sungguh, Allah itu keselamatanku; aku percaya dengan tidak gemetar,
Sebab TUHAN ALLAH itu kekuatanku dan mazmurku,
Ia telah menjadi keselamatanku
Yes (12:2)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
vi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRAK
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatif atau diferensial dari satu atau lebih fungsi. Dalam menyelesaikan persamaan diferensial
biasanya terdapat syarat bantu yang disebut syarat awal. Persamaan diferensial
dengan syarat awalnya disebut masalah nilai awal. Salah satu metode yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal adalah metode transformasi
Laplace. Transformasi Laplace juga dapat digunakan digunakan untuk mencari
penyelesaian dari suatu sistem persamaan diferensial dengan koefisien konstan.
Metode penyelesaian dengan menggunakan transformasi Laplace adalah dengan
mengubah persamaan diferensial dengan parameter t ke dalam persamaan aljabar
dengan parameter s. Kemudian sistem tersebut diselesaikan dengan menggunakan
eliminasi gauss dan menggunakan invers transformasi Laplace untuk mendapatkan penyelesaian khusus dari sistem persamaan diferensial tersebut.
Kata Kunci: Persamaan diferensial, masalah nilai awal, transformasi Laplace, invers transformasi Laplace
viii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRACT
The differential equation is an equation that contains the derivative or differential
of one or more functions. In solving differential equation, usually there is an auxiliary condition, called initial conditions. Differential equations with initial
conditions are called initial value problem. One of the method that can be used to
solve initial value problem in differential equation is Laplace transform method.
Laplace transformation also can be used for solving systems of differential
equations with constant coefficients. Using this method, the differential equations
of the parameter t is change into algebraic equation of the parameter s. Then, the
system is solved using Gauss elimination and inverse Laplace transform to obtain
a special solution of the system of differential equations.
Keyword: differential equation, initial value problem, Laplace transform, inverse
Laplace transform.
ix
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus, Sang Penerang dan Juru Selamat, yang senantiasa mencurahkan kasih dan karunia-Nya
kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.
Selama penulisan skripsi ini penulis membutuhkan pertolongan dari berbagai
pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1.
Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan selaku
Kaprodi Matematika FST-USD yang dengan rendah hati dan dengan penuh
kesabaran membimbing penulis selama penyusunan skripsi.
2.
P. H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.
3.
M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji dan dosen
pembimbing akademik.
4.
Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., M.Si., selaku dosen penguji.
5.
C.H. Eny Murwaningtyas, S.Si., M.Si., yang pernah menjadi dosen
pembimbing akademik bagi penulis.
6.
Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika FST-USD yang telah
memberikan bekal ilmu yang sangat berguna bagi penulis.
7.
Karyawan sekretariat FST-USD khususnya kepada Bapak Tukija dan Ibu
Linda, serta karyawan perpustakaan USD dan Mas Susilo selaku laboran atas
pelayanan yang baik selama penulis kuliah.
x
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
8.
Kedua orang tuaku, Bapak Herman dan Mama Yulianti serta kakakku Angela
Hadryana dan adikku Yeserika Lindani yang senantiasa memberikan
dukungan, kasih sayang, dan doa bagi penulis.
9.
Dennis Tri Hassapta atas kasih sayang, perhatian dan dukungan yang selalu
diberikan kepada penulis.
10. Teman-teman Matematika angkatan 2008: Yudit, Nopi, Amel, Marcel, Feny,
Etus, Moyo, Widi, serta kakak dan adik angkatan.
11. Teman-teman kos Aulia: Yudit, Nopi, Ao, Sende, Elvira, Wiwik, dan Tesa.
12. Sahabat seperjuangan: Yudit, Nopi, Amel, Pipot dan Marcel.
13. Teman-teman kos Nuvi: Kak Thea, Pipot dan Lita.
14. Teman-teman KKN XLII kelompok 35 Banaran atas semua pengalaman yang
sudah dilalui bersama.
15. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Penulis menyadari masih ada kekurangan dalam skripsi ini, untuk itu saran
serta kritik yang membangun sangat diharapkan dalam peningkatan kualitas
skripsi ini, dan akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi
semua pihak.
Yogyakarta, 31 Januari 2012
Penulis,
Hilaria Heparantiza
xi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .......................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv
PERYATAAN KEASLIAN KARYA .................................................................. v
HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... vi
LEMBAR PERYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI .................................. vii
ABSTRAK ............................................................................................................ viii
ABSTRACT .......................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR .......................................................................................... x
DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................... 1
A. Latar Belakang .......................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 3
C. Pembatasan Masalah ................................................................................. 3
D. Tujuan Penulisan ....................................................................................... 3
E. Manfaat Penulisan ..................................................................................... 3
F. Metode Penulisan ...................................................................................... 4
G. Sistematika Penulisan ............................................................................... 4
xii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB II MASALAH NILAI AWAL DAN SISTEM PERSAMAAN
DIFERENSIAL ....................................................................................... 6
A. Sistem Persamaan Linear .......................................................................... 6
B. Limit, Fungsi Kontinu dan Fungsi Transenden ........................................ 12
C. Deret Geometrik ........................................................................................ 21
D. Persamaan Diferensial dan Penyelesaiannya ............................................ 25
E. Sistem Persamaan Diferensial................................................................... 30
F. Integral Tentu, Integral Tak Wajar dan Integral Parsial ........................... 33
BAB III TRANSFORMASI LAPLACE .............................................................. 44
A. Transformasi Laplace ................................................................................ 44
B. Sifat-sifat Transformasi Laplace ............................................................... 54
C. Fungsi Khusus Transformasi Laplace ....................................................... 63
D. Invers Transformasi Laplace dan Konvolusinya ...................................... 70
BAB IV PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
LINEAR DENGAN TRANSFORMASI LAPLACE ............................. 80
A. Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear dengan
Transformasi Laplace ................................................................................ 81
B. Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Pertama
dengan Transformasi Laplace ................................................................... 97
C. Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Kedua
dengan transformasi Laplace .................................................................... 109
xiii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
D. Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde ke-n
dengan Transformasi Laplace ................................................................... 118
BAB V PENUTUP ............................................................................................... 124
A. Kesimpulan ............................................................................................... 124
B. Saran ......................................................................................................... 125
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 126
xiv
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 3.4.1 Tabel Transformasi Laplace ............................................................ 73
xv
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Sistem merupakan sekumpulan elemen yang saling berkaitan dan saling
mempengaruhi dalam melakukan kegiatan bersama untuk mencapai suatu
tujuan. Sebuah sistem dikatakan linear jika hubungan antara suatu variabel
terhadap variabel lainnya dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan linear.
Persamaan dalam sebuah sistem dapat berupa persamaan diferensial.
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatif
atau diferensial dari satu atau lebih fungsi. Persamaan ini digunakan dalam
berbagai macam bidang. Tidak hanya dalam bidang matematika tetapi juga
dalam bidang ekonomi, fisika, biologi, astronomi, dan yang lainnya.
Persamaan diferensial diklasifikasikan dalam berbagai jenis. Sebuah
persamaan dikatakan persamaan diferensial biasa jika fungsi yang belum diketahui dalam persamaan diferensial bergantung hanya pada satu variabel bebas. Sebuah persamaan dikatakan persamaan diferensial parsial jika fungsi
yang belum diketahui bergantung pada dua atau lebih variabel bebas.
Persamaan diferensial juga dapat dibedakan menurut orde atau tingkat. Orde
persamaan diferensial adalah tingkat derivatif tertinggi yang muncul dalam
persamaan diferensial.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2
Sebuah persamaan diferensial dikatakan linear jika dalam persamaaan
diferensial tersebut fungsi yang belum diketahui derivatif-derivatifnya secara
aljabar berderajat satu dan tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi
yang belum diketahui dengan derivatif-derivatifnya. Selain itu, tidak ada
fungsi transendental dari fungsi yang belum diketahui beserta derivatifderivatifnya dan yang lainnya. Jika salah satu syarat tidak dipenuhi maka
persamaan tersebut dikatakan tidak linear.
Apabila koefisien-koefisien pada persamaan diferensial linear adalah
konstanta real maka persamaan disebut persamaan diferensial linear dengan
koefisien konstan. Dalam menyelesaikan persamaan diferensial terkadang
terdapat syarat bantu yang mengikutinya. Jika syarat bantu pada persamaan
diferensial yang diketahui berhubungan dengan sebuah nilai tertentu, syarat
itu disebut syarat awal. Persamaan diferensial dengan syarat awalnya disebut
masalah nilai awal.
Salah satu cara penyelesaian masalah nilai awal pada sistem persamaan
diferensial adalah dengan menggunakan metode transformasi Laplace. Metode
ini mentransformasikan masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial
ke dalam masalah aljabar dengan melibatkan suatu variabel. Setelah
ditransformasikan, dari persamaan tersebut ditentukan invers transformasi
Laplacenya untuk mencari penyelesaian dari masalah nilai awal tersebut.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
3
B. RUMUSAN MASALAH
1.
Apa yang dimaksud dengan transformasi Laplace dan bagaimana
sifatnya?
2.
Bagaimana cara menyelesaikan masalah nilai awal pada persamaan
diferensial dengan menggunakan transformasi Laplace?
3.
Bagaimana cara menyelesaikan masalah nilai awal pada sistem
persamaan diferensial dengan menggunakan transformasi Laplace?
C. PEMBATASAN MASALAH
Dalam penulisan karya ilmiah ini, penulis hanya akan membatasi pada
sistem persamaan diferensial hanya sistem persamaan diferensial dengan dua
variabel.
D. TUJUAN PENULISAN
Tujuan dari penulisan ini adalah untuk memahami sifat-sifat dari
transformasi Laplace dan mencari penyelesaian masalah nilai awal pada
sistem persamaan diferensial dengan menggunakan transformasi Laplace.
E. MANFAAT PENULISAN
Manfaat penulisan ini adalah memberikan pemahaman dalam
menyelesaikan masalah nilai awal pada persamaan diferensial dengan
menggunakan metode transformasi Laplace.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
4
F. METODE PENULISAN
Metode penulisan yang digunakan adalah metode studi pustaka, yaitu
dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik tansformasi
Laplace dan persamaan diferensial.
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I:
PENDAHULUAN
Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang masalah,
perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan,
manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan
BAB II: MASALAH NILAI AWAL DAN SISTEM PERSAMAAN
DIFERENSIAL
Dalam bab II akan dibahas tentang sistem persamaan linear, limit,
fungsi kontinu dan fungsi transenden, deret geometrik, persamaan
diferensial dan penyelesaiannya, sistem persamaan diferensial serta
integral tak wajar dan integral parsial.
BAB III: TRANSFORMASI LAPLACE
Dalam bab ini akan dibahas tentang transformasi Laplace, sifatsifat transformasi Laplace, fungsi khusus transformasi Laplace
serta invers transformasi Laplace dan konvolusinya.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
5
BAB IV: PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
LINEAR DENGAN TRANSFORMASI LAPLACE
Dalam bab ini akan dibahas tentang penyelesaian persamaan
diferensial linear dengan transformasi Laplace, penyelesaian sistem
persamaan diferensial linear orde pertama dengan transformasi
Laplace, penyelesaian sistem persamaan diferensial linear orde
kedua dengan transformasi Laplace dan penyelesaian sistem
persamaan diferensial linear orde ke-n dengan transformasi
Laplace.
BAB V: PENUTUP
Bab V berisi kesimpulan dan saran
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB II
MASALAH NILAI AWAL DAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
Dalam bab ini akan dibahas mengenai materi-materi yang akan digunakan
dalam pembahasan bab-bab selanjutnya. Materi-materi tersebut antara lain adalah
sistem persamaan linear, limit, fungsi kontinu dan fungsi transenden, deret geometrik,
persamaan diferensial dan penyelesaiannya, sistem persamaan diferensial serta
integral tentu, integral tak wajar dan integral parsial.
A. Sistem Persamaan Linear
Persamaan linear dengan n variabel y1 , y 2 ,..., y n dapat dinyatakan dalam
bentuk
a1 y1 a2 y 2 ... an y n b
di mana a1 , a2 ,..., an dan b merupakan konstanta real. Suatu sistem dengan m
persamaan linear dan n variabel yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai
a11 y1 a12 y 2 ... a1n y n b1
a 21 y1 a22 y 2 ... a2 n y n b2
am1 y1 am 2 y 2 ... a mn y n bm
(2.1.1)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
7
di mana y1 , y 2 ,..., y n adalah variabel yang tidak diketahui. Bilangan aij
merupakan koefisien persamaan ke-i dari variabel ke-j dan bi menyatakan
konstanta di ruas kanan untuk persamaan ke-i. Koefisien tersebut dapat dituliskan
dalam bentuk matriks, yaitu
a 11
a
21
a m1
a12
a 22
am2
a1n
a 2 n
a mn
yang disebut matriks koefisien. Jika suatu koefisien variabel tidak muncul,
maka pada matriks koefisien akan dituliskan sebagai bilangan nol.
Konstanta di ruas kanan dapat dituliskan dalam bentuk, yaitu
b1
b
2
bm
yang disebut matriks konstanta. Matriks yang terdiri dari matriks koefisien
dengan menambahkan matriks konstanta pada kolom terakhir disebut dengan
matriks lengkap. Dengan demikian matriks lengkap untuk sistem persamaan
linear pada persamaan (2.1.1) adalah
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
8
a11 a12 a1n b1
a
21 a22 a2 n b2
am1 am 2 amn bm
Definisi 2.1.1
Urutan sejumlah bilangan s1 , s 2 , , s n merupakan penyelesaian dari sistem
persamaan (2.1.1) jika y1 s1 , y 2 s2 , , y n sn merupakan penyelesaian dari
setiap persamaan di dalam sistem tersebut.
Contoh 2.1.1
Sistem persamaan
4 y1 y 2 3 y3 1
3 y1 y 2 9 y3 4
(2.1.2)
memiliki penyelesaian y1 1, y 2 2 dan y3 1 karena nilai-nilai tersebut
memenuhi kedua persamaan (2.1.2).
Definisi 2.1.2
Sebuah matriks disebut matriks eselon baris jika memenuhi syarat-syarat
berikut ini:
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
1.
9
Jika sebuah baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka bilangan taknol
pertama pada baris tersebut adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama.
2.
Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari angka nol, maka baris
tersebut dikelompokkan di baris paling bawah matriks.
3.
Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka
1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan
dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.
Contoh 2.1.2
Berikut adalah contoh matriks yang sudah dalam bentuk eselon baris
1 4 3 4 1 1 0
0 1 6 2 , 0 1 0 ,
0 0 1 5 0 0 0
0 1 2 6 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 1
Definisi 2.1.3
Operasi Baris Elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi:
1. Menukar letak dari dua baris matriks tersebut.
2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.
3. Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan
baris lain.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
10
Salah satu metode yang digunakan untuk meyelesaikan sistem persamaan
linear adalah metode eliminasi Gauss. Metode ini menghasilkan matriks sampai
pada bentuk eselon baris. Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss ini
adalah:
1. Menentukan matriks lengkap dari suatu sistem persamaan linear.
2. Mencari kolom paling kiri yang memuat unsur tak nol.
3. Jika elemen pertama kolom yang diperoleh pada langkah pertama sama
dengan nol maka baris pertama dari matriks ditukar dengan unsur pada kolom
tersebut yang taknol.
4. Setelah elemen pertama dari kolom diperoleh pada langkah pertama tak sama
dengan nol, maka elemen di bawahnya diubah menjadi nol dengan operasi
baris elementer.
Contoh 2.1.3
Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan eleminasi
Gauss
y1 y 2 2 y3 9
2 y1 4 y 2 3 y3 1
3 y1 6 y 2 5 y3 0.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
11
Penyelesaian:
Matriks lengkap dari sistem persamaan linear di atas adalah
1 1 2 9
2 4 - 3 1
3 6 - 5 0
Kemudian matriks tersebut di ubah kedalam bentuk eselon baris menjadi
2
9
1 1
0 1 7 2 - 17 2
0 0
3
1
Sistem yang bersesuaian dengan matriks adalah
y1 y 2 2 y3 9
y2
7
17
y3
2
2
y3 3
atau
y1 9 y2 2 y3
(2.1.3)
17 7
y3
2 2
(2.1.4)
y2
y3 3.
(2.1.5)
Dengan mensubstitusikan nilai y3 ke persamaan (2.1.4) diperoleh y 2 2 dan
dengan mensubstitusikan y2 ke persamaan (2.1.3) diperoleh y1 1. Jadi
diperoleh y1 = 1, y2 = 2 dan y3 = 3.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
12
B. Limit, Fungsi Kontinu dan Fungsi Transenden
1.
Limit
Definisi 2.2.1
Pengertian yang tepat tentang limit mengatakan bahwa lim f t L
t c
berarti bahwa untuk tiap 0 yang diberikan, terdapat 0 yang
berpadanan
sedemikian
sehingga
f x L
0 x c yakni
0 x c f x L
Contoh 2.2.1
Buktikan bahwa lim 3t 7 5.
t 4
Penyelesaian:
Andaikan bilangan positif sebarang sedemikian sehingga
0 t 4 3t 7 5
Kemudian pandang ketaksamaan pada ruas kanan
asalkan
bahwa
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
13
3t 7 5 3t 12
3t 4
3t4
t4
3
Andaikan diberikan 0. Jika dipilih
3
,
maka 0 t 4
mengimplikasikan
3t 7 5 3t 12 3t 4 3 t 4 3
Jadi, terbukti bahwa lim 3t 7 5.
t 4
Definisi 2.2.2
Misalkan f didefinisikan pada c, untuk suatu bilangan c, dikatakan
bahwa
lim f t L
t
jika untuk setiap 0, terdapat bilangan M sedemikian sehingga
t M f t L
Contoh 2.2.2
2t 3 3t 2 2
t 5t 3 3t 4
Hitunglah nilai limit dari lim
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
14
Penyelesaian:
Untuk menghitung nilai limit, pembilang dan penyebut dibagi dengan
pangkat tertinggi yang muncul yaitu t3, sehingga diperoleh
t3
t2 2
3 2
3
2 3
3
3
3
t t
t
t lim
lim t 3
t
3 4
t
t
4 t
5 2 3
5 3 3 3 3
t
t
t
t
t
1
1
lim 2 3 lim 2 lim 3
t
t t
t t
1
1
lim 5 3 lim 2 4 lim 3
t
t t
t t
2
5
2
2.
Fungsi Kontinu
Definisi 2.2.3
Andaikan f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung c, f
kontinu di c jika
lim f t f c
x c
Definisi di atas menyatakan bahwa f kontinu jika syarat-syarat berikut
dipenuhi:
i).
lim f t ada,
ii).
Fungsi f terdefinisi di c, yaitu f c ada,
tc
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
iii).
15
lim f t f c .
t c
Jika salah satu dari ketiga syarat tidak dipenuhi, maka f tak kontinu di c.
Contoh 2.2.3
Fungsi f yang didefinisikan
t 2 1
f t
t 1
tidak kontinu untuk t 1 , karena lim
t 1
t 2 1
lim t 1 2 f 1 maka f
t 1 t 1
tidak kontinu di t 1 .
Definisi 2.2.4
Fungsi f kontinu kanan di a jika lim f t f a dan kontinu kiri b jika
t a
lim f t f b .
t b
Definisi 2.2.5
Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka
a, b
jika fungsi f
kontinu di setiap titik pada a, b . Fungsi f dikatakan kontinu pada selang
tertutup a, b jika fungsi f kontinu pada selang terbuka a, b , kontinu
kanan di a dan kontinu kiri di b.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
16
Pada Gambar 2.2.1, fungsi f kontinu pada (a,b) kecuali di titik-titik t1, t2, t3.
Fungsi f tak kontinu di t1 karena lim f t tidak ada, tidak kontinu di t2
t t1
karena nilai lim f t tidak sama dengan nilai fungsi di t2, dan f tak kontinu
t t 2
di t3 karena fungsi di t3 tidak ada.
t1
t2
t3
Gambar 2.2.1
Contoh 2.2.4
Akan diperlihatkan bahwa fungsi f t yang didefinisikan dengan
f t 9 t 2
untuk setiap t 3, 3 kontinu pada selang tertutup 3, 3.
Fungsi f t 9 t 2 kontinu pada selang terbuka 3,3 . Fungsi f kontinu
kanan di t 3 yaitu lim 0 dan kontinu kiri di t 3 yaitu lim 0 . Ini
t 3
berarti fungsi f kontinu pada selang tertutup 3,3 .
t 3
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
17
Definisi 2.2.6
Fungsi f t dikatakan kontinu bagian demi bagian pada interval tertutup
a, b
jika f kontinu pada setiap titik dalam a, b kecuali untuk sejumlah
berhingga titik-titik di mana f t mempunyai ketakontinuan lompat. Fungsi
f t dikatakan kontinu bagian demi bagian pada 0, jika f kontinu ba-
gian demi bagian pada 0, N untuk setiap N 0 .
Contoh 2.2.5
Perlihatkan bahwa sebuah fungsi f yang dinyatakan dengan
0 t 1
2t ,
1 t 2
f t
3t ,
2t 3
kontinu bagian demi bagian pada interval 0,3.
t2,
Penyelesaian:
f t
2
1
t
0
1
2
Gambar 2.2.2
3
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
18
Gambar 2.2.2 tersebut memperlihatkan f t kontinu pada interval 0,1 ,
1,2
dan 2,3 . Pada titik yang tidak kontinu yaitu untuk t 2 , fungsi f
mempunyai ketakkontinuan lompat karena
lim f t 0 dan lim f t 1 .
t 2
t 2
Jadi fungsi f kontinu bagian demi bagian pada interval 0,3 .
Contoh 2.2.6
Perlihatkan bahwa fungsi sebuah fungsi f yang dinyatakan dengan
f t t 2 4t 3
tidak kontinu bagian demi bagian.
Penyelesaian:
Gambar 2.2.3
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
19
Grafik tersebut di atas memperlihatkan bahwa f(t) kontinu pada interval
,1
dan 3, tetapi f(t) tidak kontinu pada interval 1, 3 . Untuk
lim f t 0 tetapi untuk lim f t tidak terdefinisi. Ini berarti bahwa fungsi
t 2
t 1
tersebut tidak kontinu bagian demi bagian.
3.
Fungsi Transenden
Fungsi transenden merupakan fungsi yang tidak dapat dinyatakan sebagai
sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan y = k dan fungsi
y = x. Fungsi-fungsi transenden antara lain yaitu:
i).
Fungsi Logaritma Natural
Contoh: ln y
ii).
Fungsi Eksponensial
Contoh: e y ,3e 5 y , dan e ln y .
iii).
Fungsi Trigonometri
Contoh: sin y, cos y, dan tan y.
iv).
Fungsi Siklometri
Contoh: arc sin y dan arc cos y.
v).
Fungsi Hiperbolik
Contoh: sinh y, cosh y dan tanh y
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
20
Definisi 2.2.7
Sebuah fungsi f dikatakan berorde eksponensial jika terdapat konstanta α
dan konstanta positif t 0 dan M sedemikian rupa sehingga
e t f t M untuk setiap t t 0
di mana f t terdefinisi.
Contoh 2.2.7
Jika diketahui f t sin bt maka
e t f t e t sin bt .
Untuk setiap 0
lim e t sin bt 0.
t
Ini
berarti
untuk
setiap
0
e t f t e t sin bt M untuk
ada
t t0 .
t0 0
sehingga
f t sin bt
berorde
M 0 dan
Jadi
eksponensial, dengan konstanta α sama dengan semua bilangan positif.
Contoh 2.2.8
Tentukan apakah f t e t berorde eksponensial atau tidak.
2
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
21
Penyelesaian:
Diketahui bahwa f t e t maka
2
e t f t e t e t .
2
Untuk setiap 0
lim e t e t lim e t t .
2
t
t
2
2
Ini berarti bahwa fungsi e t tidak berorde eksponensial karena e t membesar
lebih cepat daripada e t untuk berapapun nilai α.
C. Deret Geometrik
Definisi 2.3.1
Deret tak berhingga
a
n 1
n
konvergen dan mempunyai jumlah S jika
barisan jumlah-jumlah parsial S n konvergen menuju S atau lim S n S . Jika
n
Sn
divergen, maka deret tersebut divergen. Deret divergen tidak mempunyai
jumlah.
Contoh 2.3.1
Diberikan deret tak berhingga
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2n 1
n n 1
2
2
n 1
Selidikilah apakah deret tak hingga di atas divergen atau konvergen.
Penyelesaian:
Diketahui bahwa
an
2n 1
n n 1
2
2
.
Kemudian an ditulis dalam bentuk pecahan parsial berikut
an
1
1
.
2
n
n 12
Maka pecahan parsial deret yang diberikan dapat ditulis menjadi
Sn
n 1
2n 1
n 2 n 1
2
1
1
2
n 12
n 1 n
1
1
1 1 1
1 ... 2
n 12
4 4 9
n
1
1
n 12
Oleh karena itu,
1
S lim S n lim 1
2
n
n
n 1
1.
Jadi deret tak hingga yang diberikan konvergen dan jumlahnya adalah 1.
22
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
23
Definisi 2.3.2
Deret berbentuk
ar
n 1
a ar ar 2 ar 3 ... ar n1 ...
k 1
di mana a 0 disebut deret geometrik.
Contoh 2.3.2
Deret
4 4 4
4
4
1
adalah deret geometrik dengan a dan r .
3 9 27 81
3
3
Teorema 2.3.1
Deret geometrik konvergen ke S
a
jika r 1, dan divergen jika r 1.
1 r
Jumlahan parsial n suku pertama adalah S n
a 1 rn
.
1 r
Bukti:
Deret jumlahan parsial suku pertama adalah:
S n a ar ar 2 ar 3 ar 4 ... ar n1
rS n ar ar 2 ar 3 ar 4 ar 5 ... ar n
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
24
maka
S n rS n a ar ar 2 ... ar n1 ar ar 2 ar 3 ... ar n
1 r S n a ar n .
Jadi,
Sn
a 1 r n
a
1 rn
.
1 r
1 r 1 r
Jika r 1, maka lim r n 0. Sehingga diperoleh
n
a 1 rn
n
n
1 r
a
ar n
lim
lim
n 1 r
n 1 r
a
.
1 r
S lim S n lim
Dengan kata lain, deret geometri konvergen jika r 1. Jika r 1 maka
lim r n , sehingga
n
n
a 1 r n
.
n
1 r
S lim S n lim
Deret divergen jika r 1 . Jadi terbukti bahwa deret geometri konvergen jika
r 1 dan divergen jika r 1.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
25
D. Persamaan Diferensial dan Penyelesaiannya
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatif atau
diferensial dari satu atau lebih fungsi. Persamaan diferensial diklasifikasikan
menjadi dua jenis, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial
parsial. Jika fungsi yang belum diketahui dalam persamaan diferensial hanya
bergantung pada satu variabel bebas saja, maka persamaan tersebut dikatakan
persamaan diferensial biasa. Jika fungsi yang belum diketahui bergantung pada
dua atau lebih variabel bebas, maka persamaan tersebut dikatakan persamaan
diferensial parsial.
Definisi 2.4.1
Orde suatu persamaan diferensial adalah tingkat derivatif tertinggi yang muncul
dalam persamaan.
Bentuk umum dari persamaan diferensial biasa tingkat ke-n adalah
dy d 2 y
dny
F t , y, , 2 ,..., n 0
dt dt
dt
Bila y
dny
d2y
dy
n
, y 2 , ..., y n maka persamaan di atas dapat ditulis
dt
dt
dt
menjadi
F t , y, y ' , y '' ,..., y n 0
di mana F adalah suatu fungsi real dengan argumen-argumen t , y, y ' , y '' ,..., y n
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
26
Contoh 2.4.1
y '' 3 y ' 3 y x 3 merupakan persamaan diferensial orde kedua karena pada
persamaan ini tingkat derivatif tertinggi yang muncul adalah dua dan
y 4 x 2 y 3 x 3 y xe x adalah persamaan diferensial orde keempat.
Definisi 2.4.2
Sebuah persamaan diferensial biasa orde ke-n dikatakan linear, di mana y adalah
variabel tak bebas dan t adalah variabel bebas dapat ditulis dalam bentuk
dny
d n 1 y
dy
a0 t n a1 t n 1 ... an 1 t an t y b(t )
dt
dt
dt
(2.4.1)
di mana a0 , a1 ,..., an dan b adalah fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval yang
memuat y dan a0 t 0 pada interval itu. Fungsi a k t disebut fungsi-fungsi
koefisien.
Definisi di atas menyatakan bahwa persamaan diferensial adalah linear jika
syarat-syarat berikut dipenuhi:
i).
Fungsi yang belum diketahui dan derivatif-derivatifnya secara aljabar
berderajat satu.
ii).
Tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi yang belum diketahui
dengan satu atau lebih derivatif-derivatifnya.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
iii).
27
Tidak ada fungsi transendental dari y dan derivatif-derivatifnya misalnya
sin y dan e y .
Jika salah satu syarat tersebut tidak dipenuhi maka persamaan diferensial
tersebut tidak linear atau nonlinear. Persamaan diferensial yang tidak linear disebut persamaan diferensial non linear.
Contoh 2.4.2:
y 3 5 y '' 3 y sin t dan y '' 5 y ' 6 y 0 berturut-turut adalah contoh-contoh
persamaan diferensial linear, sedangkan
yy '' 5 y'6 y 0 adalah contoh
persamaan diferensial non linear.
Definisi 2.4.3
Jika bt 0 untuk setiap t, maka persamaan (2.4.1) menjadi
a0 t
dny
d n 1 y
dy
a
t
... an 1 t an t y 0
1
n
n 1
dt
dt
dt
dan disebut persamaan diferensial linear homogen. Jika bt 0 untuk setiap t,
maka persamaan (2.4.1) disebut persamaan diferensial tak homogen.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
28
Contoh 2.4.3
Persamaan y 3 y 0 adalah persamaan diferensial homogen orde pertama,
sedangkan y y 2 y e 3t adalah persamaan diferensial tak homogen orde
kedua. Persamaan ini tak homogen karena bt 0 pada ruas kanan.
Definisi 2.4.4
Jika syarat bantu pada persamaan diferensial yang diketahui berhubungan dengan
sebuah nilai t, syarat itu disebut syarat awal. Persamaan diferensial dengan syarat
awalnya disebut Masalah Nilai Awal (MNA).
Definisi 2.4.5
Masalah nilai awal dari persamaan diferensial orde ke-n dengan n syarat
awal dapat ditulis dalam bentuk
yt 0 c1 , y t 0 c2 , y t 0 c3 ,..., y n1 t 0 cn
yang harus dipenuhi oleh penyelesaian persamaan diferensial dan derivatifderivatifnya pada titik awal t 0 .
Contoh 2.4.4
dy
2 y 3t , y0 2 adalah contoh masalah nilai awal pada persamaan
dt
diferensial
di
mana
titik
awalnya
adalah
t 0.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
y t 5 y t sin t 0, x1 0, x1 7
29
adalah contoh masalah nilai awal
pada persamaan diferensial di mana titik awalnya adalah t 1.
Definisi 2.4.6
Masalah Nilai Awal untuk persamaan diferensial linear homogen orde ke-n
dengan koefisien konstan terdiri dari penyelesaian persamaan diferensial
a0
d n1 y
dny
dy
... a n1
an y 0
a
1
n
n 1
dt
dt
dt
di mana a0 , a1 ,..., an adalah konstanta dan a0 0 dengan syarat awalnya adalah
yt 0 c1 , y t 0 c2 , y t 0 c3 ,..., y n1 t 0 cn
di mana c1 , c2 ,..., cn adalah konstanta.
Contoh 2.4.5
d 2 y dy
6 y 0 dengan syarat y0 6 dan y 0 2 adalah contoh masalah
dt 2 dt
nilai awal untuk persamaan diferensial linear homogen orde kedua.
Definisi 2.4.7
Masalah Nilai Awal untuk persamaan diferensial linear tak homogen orde
ke-n dengan koefisien konstan terdiri dari penyelesaian persamaan diferensial
dy
d n 1 y
dny
a0 n a1 n1 ... a n 1
a n y bt
dt
dt
dt
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
30
di mana a0 , a1 ,..., an adalah konstanta dan a0 0 dengan syarat awalnya adalah
yt 0 c1 , y t 0 c2 , y t 0 c3 ,..., y n1 t 0 cn
di mana c1 , c2 ,..., cn adalah konstanta.
Contoh 2.4.6
y 5 y sin t dengan syarat awalnya y0 0 dan y0 1 adalah contoh
masalah nilai awal untuk persamaan diferensial linear tak homogen karena
bt sin t .
E. Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial linear adalah persamaan yang melibatkan n
persamaan dengan m fungsi yang tidak diketahui. Sistem persamaan diferensial
linear dapat juga disebut dengan sistem linear. Bentuk umum sistem persamaan
diferensial linear orde pertama dengan dua persamaan dalam fungsi x dan y yang
tidak diketahui adalah
a1 t
dy
dx
a 2 t a 3 t x a 4 t y F1 t
dt
dt
dy
dx
b1 t b2 t b3 t x b4 t y F2 t
dt
dt
(2.5.1)
Penyelesaian di atas dinyatakan dalam pasangan terurut dari fungsi real
f , g
demikian sehingga x f t , y g t memenuhi kedua persamaan dari
sistem (2.5.1) pada interval a t b .
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
31
Contoh 2.5.1
Sebuah sistem persamaan yang didefinisikan dengan
dx
dy
3 2x t 2
dt
dt
dx
dy
2 3x 4 y e t
dt
dt
2
adalah sistem persamaan diferensial linear orde pertama dengan koefisien
konstan.
Sistem linear dari dua persamaan diferensial orde kedua dari dua fungsi
yang tidak diketahui x dan y ditulis dalam bentuk
dy
d2y
dx
d 2x
a
t
a 3 t a 4 t a 5 t x a 6 t y F1 t
2
2
2
dt
dt
dt
dt
2
2
d y
dy
d x
dx
b1 t 2 b2 t 2 b3 t b4 t b5 t x b6 t y F2 t
dt
dt
dt
dt
a1 t
(2.5.2)
Penyelesaian di atas dinyatakan dalam pasangan terurut dari fungsi real
f , g
demikian sehingga x f t , y g t memenuhi kedua persamaan dari
sistem (2.5.2) pada interval a t b .
Contoh 2.5.2
Sebuah sistem persamaan yang didefinisikan dengan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2
32
d 2x
d2y
dx
dy
3
7 3 2y t 1
2
2
dt
dt
dt
dt
2
2
d x
d y
3 2 2 2 3x 4 y 0
dt
dt
adalah sistem persamaan diferensial linear orde kedua dengan koefisien konstan.
Secara umum sistem persamaan diferensial linear dengan n persamaan
diferensial orde pertama dan n fungsi yang tidak diketahui ditulis dalam bentuk
dy1
a11 t y1 a12 t y 2 a1n t y n F1 t ,
dt
dy 2
a 21 t y1 a 22 t y 2 a 2 n t y n F2 t ,
dt
(2.5.3)
dy n
a n1 t y1 a n 2 t y 2 a nn t y n Fn t .
dt
Persamaan diferensial orde ke-n adalah
a 0 t
dny
d n 1 y
dy
a
t
...
a
t
a n t y F (t )
n
1
1
dt
dt n
dt n 1
dengan satu fungsi yang tak diketahui y. Didefinisikan
y1 y , y 2
d n 1 y
d n2 y
d2y
dy
, y 3 2 , ..., y n 1 n 2 , y n n 1 .
dt
dt
dt
dt
(2.5.4)
Dari persamaan (2.5.4)
dy dy1 d 2 y dy 2
d n 1 y dy n 1 d n y dy n
,
,
...,
,
.
dt
dt dt 2
dt
dt
dt
dt n 1
dt n
(2.5.5)
Dengan menggunakan persamaan (2.5.4) dan (2.5.5) maka persamaan
(2.5.3) dapat dituliskan menjadi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
dy1
y2
dt
dy 2
y3
dt
33
(2.5.6)
dy n 1
yn
dt
dy n
a n t y1 a n 1 t y 2 a1 t y n F t ,
dt
yang merupakan kasus khusus dari sistem linear pada persamaan (2.5.3) dengan
n persamaan dan n fungsi yang tak diketahui. Jadi suatu persamaan diferensial
linear orde ke-n dari persamaan (2.5.1) dalam satu fungsi yang tidak diketahui
berhubungan erat dengan sistem linear dari n persamaan diferensial orde pertama
dalan n fungsi yang tidak diketahui.
F. Integral Tentu, Integral Tak Wajar dan Integral Parsial
1.
Integral Tentu
Definisi 2.6.1
Jika f adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup a, b .
Misalkan P adalah partisi dari a, b dengan titik-titik partisi t 0 , t1 , t 2 , , t n
dan P maxt i . Integral tentu f dari a ke b adalah
b
a
n
f t dt lim f ti ti
p 0
i 1
(2.6.1)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
34
jika limitnya ada. Jika limitnya ada, maka f dikatakan terintegral pada
interval a, b .
Teorema 2.6.1
Jika f kontinu pada seluruh selang a, b , maka f terintegralkan pada
a, b .
Bukti:
Menurut Definisi 2.6.1, untuk membutikan Teorema 2.6.1 akan ditunjukan
bahwa untuk sebarang 0 , terdapat sedemikian sehingga
f t f t
(2.6.2)
2b a
dengan t dan t adalah titik-titik dari
t t . Pertimbangkan sebarang partisi
a, b
sedemikian sehingga
t 0 , t1 , t 2 , , t n sedemikian
sehingga semua subinterval mempunyai panjang kurang dari . Pada
subinterval tertutup
ti 1 , ti ,
misalkan
mi
dan
Mi
masing-masing
mengatakan batas bawah terbesar dan batas atas terkecil dari nilai f. Maka
dapat dibentuk
s m1 t1 t 0 m2 t 2 t1 mn t n t n1
S M 1 t1 t 0 M 2 t 2 t1 M n t n t n1 .
(2.6.3)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
35
Pada interval t n1 , t n , pilih titik t sedemikian sehingga f t dekat ke M i
f t dekat ke mi . Dengan demikian
dan t sedemikian sehingga
persamaan (2.6.2) menjadi
M i mi
(2.6.4)
2b a
Dari persamaan (2.6.3) dapat diperoleh
S s M 1 m1 t1 t 0 M m2 t 2 t1 M n mn t n t n1
S s M 1 m1 t1 t 0 M 2 m2 t 2 t1 M n mn t n t n 1
M 1 m1 t1 t 0 M 2 m2 t 2 t1 M n mn t n t n 1
Dari persamaan (2.6.4)
S s
2b a
t1 t 0
2b a
t 2 t1
2b a
t n t n1
maka
S s
2b a
t1 t 0 t 2 t1 t n t n1 .
2
Jadi, terbukti f terintegral pada interval a, b .
Teorema 2.6.2
Jika f kontinu bagian demi bagian pada interval tertutup a, b maka f
terintegral pada a, b .
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
36
Bukti:
Karena f kontinu bagian demi bagian, maka f kontinu pada a, b kecuali
pada titik-titik
a t1 t 2 t n b.
Berdasarkan Teorema 2.6.1, f terintegral pada selang t1 , t 2 sedemikian
t2
t3
t4
t1
t2
t3
sehingga f t dt ada. Begitupun juga untuk
tt
f t dt
f t dt , f t dt ,
ada. Karena f terintegral pada setiap selang ti , ti1 di mana
tn 1
i 1, 2, , n dan
tn
t2
t3
tn
t1
t1
t2
tn-1
f t dt f t dt f t dt f t dt
tn
maka
f t dt ada. Jadi terbukti bahwa
f terintegral pada a, b .
t1
2.
,
Integral Tak Wajar
Dalam mendefinisikan integral tentu
b
f t dt
a
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
37
fungsi f dimisalkan terdefinisi pada interval tertutup a, b . Namun bila
integral tersebut mempunyai batas tak berhingga maka integral tersebut
adalah integral tak wajar. Contoh untuk integral tak wajar tersebut adalah
e
t
dt
0
Definisi 2.6.2
Jika f kontinu untuk setiap t a , maka
b
f t dt lim f t dt
a
b
a
Bilamana limitnya ada dan nilainya berhingga, integral tak wajar tersebut
konvergen. Jika tidak, integral tak wajar tesebut divergen.
Contoh 2.6.1
Hitunglah e t dt , jika ada
0
Penyelesaian:
R
t
t
e dt lim e dt
0
R
0
lim e R
R
R
0
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
lim e R 1
R
lim e R lim 1
R
R
0 1
1
Jadi
e
0
Contoh 2.6.2
Hitunglah
0
dt
t 1
, jika ada.
Penyelesaian:
0
dt
t 1
R
lim
R
0
R
dt
t 1
lim t 1
R
1
2
dt
0
R
1
1
lim
t 1 2
R
1
2
0
li