Penyelesaian sistem persamaan non-linear dengan metode broyden dan terapannya - USD Repository

  

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NON-LINEAR

DENGAN METODE BROYDEN DAN TERAPANNYA

Skripsi

  Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

  Program Studi Matematika Disusun oleh :

  Valentina Rian Prastiwi NIM : 033114008

  

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

  BROYDEN’S METHODS TO SOLVE THE SYSTEMS OF NON-LINEAR EQUATIONS AND IT’S APPLICATIONS Final Project

  Presented As Partial Fulfillment Of The Requirements To Obtain The Sarjana Sains Degree In Mathematics

  By : Valentina Rian Prastiwi

  Student Number : 033114008

STUDY PROGRAM OF MATHEMATICS SCIENCE DEPARTEMANT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

  Bila engkau mengarungi air, Aku akan menyertai engkau, engkau tak akan tenggelam dalam kesukaran-kesukaranmu.

  Bila melalui api, engkau takkan hangus, percobaan-percobaan berat tak akan mencelakakan engkau. Jangan takut sebab Aku melindungi engkau.

  (Yesaya 43:2,15) Manfaatkan setiap menit sebagai kunci berharga yang dapat membuka gerbang kebahagiaan masa depan.

  

Hidup ini dipenuhi dengan tantangan

yang jika dimanfaatkan secara kreatif, menjadi sebuah kesempatan.

  Kegagalan masa lalu adalah semangat untuk meraih keberhasilan masa depan.

  

Karya sederhana ini kupersembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus dengan segala pengorbanan dan limpahan berkatNya Bunda Maria dengan kesetiaanNya mendampingiku

  Ibu dan Alm. Ayahku tercinta Kakak-kakakku tersayang Teman-teman dan Sahabat-sahabatku Almamaterku

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya orang lain, kecuali telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, September 2007 Penulis

  

ABSTRAK

Sistem Persamaan non-linear adalah himpunan n persamaan non-linear,

  dengan n > 1 , yang penyelesaiannya harus memenuhi semua persamaan terse- n but. Sistem persamaan non-linear dengan persamaan dan variabel dapat dise- n n lesaikan secara numerik dengan beberapa metode, diantaranya adalah Metode Ti- tik Tetap, Metode Newton, Metode Broyden, dan sebagainya. Dalam penulisan ini hanya akan dibahas penyelesaian sistem persamaan non-linear dengan Metode Broyden.

  Metode Broyden merupakan pengembangan dari Metode Secant, yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Setiap iterasi dalam perhi-

  −

  1 A tungan dengan Metode Broyden melibatkan invers dari Matriks Jacobi . i

  (i ) F x

  Rumus umum untuk mencari penyelesaian sistem persamaan non-linear ( ) dengan menggunakan metode Broyden adalah :

  

i i i

(

1 ) ( ) ( )

x x A F x

  −

• 1

  = − ( )

  i

  Penyelesaian sistem persamaan non-linear dengan Metode Broyden mem- punyai sifat konvergen superlinear-q yang terpenuhi bila dan hanya bila kondisi Dennis-Moré terpenuhi, yakni { E } ≈ , di mana E adalah kesalahan dari Ma-

  i i triks Jacobi.

  Dalam penulisan ini, Metode Broyden akan diterapkan dalam bidang fisika, secara khusus untuk menghitung konsentrasi unsur dalam suatu sampel.

  

ABSTRACT

n

  A system of non-linear equations is sets of non-linear equations, which n > 1 , and the solutions must hold all the n equations. The systems of non- linear equations with the equations and n variables may be solved numerically n with some of methods, such as Fixed Points, Newton Method, Broyden’s Method, etc. However, this final project will only discuss about solving systems of non- linear equations with the Broyden’s method.

  Broyden’s Method is generalization of the Secant Method, which is used to solve the non-linear equations. Every iteration in the calculating with the Broy- den’s Method involve invers from Jacobian Matrix. And the general formula to

  (i )

  solve the systems of non-linear equations F ( x ) with Broyden’s method is

• 1

  

i i i

− (

1 ) ( ) ( )

x = x − A F ( x )

i

  The solution of systems of non-linear equations with Broyden’s Method has q-superlinearly convergence that is hold if and only if Dennis-Moré condition hold, that is { E } ≈ , which E is the error of Jacobian Matrix.

  i i

  In this final project, Broyden’s Method is applied in the area of physics, particularly to calculate the concentration of elements in a sample.

  

Kata Pengantar

  Segala puji dan syukur penulis haturkan kehadirat Bapa Yang Maha Pe- ngasih atas berkat kasih karunia dan limpahan Roh Kudus yang telah diberikan kepada penulis. Sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini. Sungguh besar berkat dan penyertaan yang penulis rasakan. Tanpa kemurahan dan penyer- taan-Nya penulis tidak akan mampu menyelesaikan tugas akhir ini dan melewati setiap hambatan dan tantangan yang penulis alami selama proses penulisan tugas akhir ini.

  Tugas akhir ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat guna mencapai gelar Sarjana Sains pada Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Tugas akhir ini diberi judul “Penyelesaian Sistem Persamaan Non-Linear dengan Metode Broyden dan Terapannya.”

  Selesainya penulisan tugas akhir ini tidak lepas dari dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, baik bantuan moril maupun materiil, yaitu saran, nasehat, bimbingan, pemikiran, serta waktu dan tenaga yang penulis terima selama ini. Ucapan terima kasih ini penulis haturkan kepada: 1.

  Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Kaprodi Mate- matika Fakultas Sains dan Teknologi USD dan dosen pembimbing skripsi yang sabar dan penuh pengertian dalam membimbing, menga- rahkan, serta memberikan saran dan koreksi kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini.

  2. Bapak Dr. Ign Edi Santosa, S.Si., M.Sc., yang telah menyelenggarakan percobaan kalibrasi untuk mengukur konsentrasi larutan parasetamol dan kafein, sehingga penulis memperoleh data untuk menerapkan Me- tode Broyden, serta atas bimbingan, arahan, koreksi, dan saran yang te- lah diberikan.

  3. Romo. Ir. Gregorius Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.Sc., M.A., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi USD, atas motivasi dan petunjuk yang telah diberikan.

  4. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing akademik dan seluruh dosen Fakultas Sains dan Teknologi USD yang telah memberikan arahan, petunjuk, dan motivasi kepada penulis se- lama kuliah di USD.

  5. Mas Tukijo dan Ibu Linda atas pelayanan yang diberikan selama men- jalani perkuliahan sampai selesai dan selama penulisan skripsi ini.

  6. Ayahku (Alm. Ag. Suratman) dan Ibuku (Endang Sulastri) tercinta, serta kakak-kakakku tersayang, mbak Lisa dan Kak Agung, atas segala cinta, perhatian, pengertian, dukungan, pengorbanan, dan doa yang tiada henti-hentinya untukku.

  7. Teman-temanku di prodi Matematika angkatan ’03: Mekar tempatku berkeluh kesah tanpa dukunganmu aku takkan seperti ini, Anin yang selalu setia menemaniku kuliah dan menghadirkan kecerian dengan banyolannya, Dewi sobatku seperjuangan yang lugu tapi baik dan se- lalu kasih semangat, Merry yang asyik dan familiar banget ama orang, Anggi temanku senasib dan seperjuangan, Jegul yang selalu kasih se- mangat dan jadi teman ngobrol yang seru, Septi yang nyantai tapi smart, Sisil yang baik dan selalu kasih semangat, Eko yang baik dan penuh semangat, Koko yang selalu mendoakan dan memberi sema- ngat, dan Ita. Kalian telah mengajariku arti persahabatan. Meski sedikit pokoknya KOMPAK terus.

  8. Sobat-sobatku tersayang Wawan, Popeye, kalian selalu ngingetin aku untuk rajin berdoa dan kasih semangat, Cupid yang jadi dokter kom- puterku, Mas Adit thanks bantuan dan semangatnya, Gendrot, Erna, dan teman-teman gerejaku. Kalian semua tempatku berbagi susah dan senang.

  9. Buat keluargaku di Jogja, keluarga besar Adi Sumarto dan Kromo Di-

  Risky, Dea, Erwin, Tia, Tyo, Shandhy, Upie, Andre, yang telah mem- beriku semangat, doa dan dukungan.

  10. Buat teman-teman angkatan ’02: Mbak Priska makasih pinjaman bu- kunya, Mbak Ijup, Aan, Bani, Felix, Markus, Galih, dan teman-teman yang lain.

  11. Buat teman-teman di prodi Matematika, baik kakak angkatan maupun adik angkatanku semua.

  12. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu-persatu yang telah membantu dan mendukung dalam proses penulisan tugas akhir ini.

  Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari sempurna, masih banyak kekurangan dan kelemahan. Oleh karena itu penulis terbuka akan segala kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca demi sempurnanya tugas akhir ini.

  Yogyakarta, September 2007 Penulis

  

Daftar Isi

  Halaman Halaman Judul …………………...…………………….……………..... i Halaman Judul (Inggris)……...………………………………………… ii Halaman Persetujuan Pembimbing……………..………….…………… iii Halaman Pengesahan…………………………………………………… iv Halaman Persembahan……………………………………..…………… v Pernyataan Keaslian Karya………………………………...…………… vi Abstrak……………………………………………………..…………… vii Abstract…………………………………………………….…………… viii Kata Pengantar……………………………………………..…………… ix Daftar Isi…………………………………………………...…………… xii Daftar Tabel……………………………………………….……………. xvi

  Bab I PENDAHULUAN………………………………………………

  1 A. Latar Belakang Masalah………………………..…………… 1 B.

  Rumusan Masalah ……………………………...…………… 3 C. Batasan Masalah………………………………..…………… 4 D.

  Tujuan Penulisan……………………………….…………… 4 E. Manfaat Penulisan ……………………………...…………… 4 F. Metode Penulisan……………………………….…………… 4 G.

  Sistematika Penulisan…………………………...…………… 5

  Bab II MATRIKS, RUANG VEKTOR, NORMA, KONVERGENSI, DAN PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR …………… 6 A. Matriks, Ruang Vektor, dan Norma……………..…………... 6 B. Teorema Kalkulus …………………………………………… 13 C. Konvergensi……………………………………..…………… 16 D. Penyelesaian Persamaan Non-Linear dengan Satu Variabel………………………………………… 20

  Bab III PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NON-LINEAR ….. 26 A. Sistem Persamaan Non-Linear…………………..…………… 26 B. Penyelesaian Sistem Persamaan Non-Linear dengan Metode Broyden……………………………………… 29 C.

  Kondisi Dennis-More…………………………….…………… 61 D.

  Analisis Konvergensi Metode Broyden………….…………… 71 1.

  Bounded Deterioration…………………..…………… 75 2. Konvergen Linear Lokal……………………………… 80 3. Pembuktian Kondisi Dennis-More……....…………… 84

  BAB IV PENERAPAN METODE BROYDEN DALAM MENGHITUNG KONSENTRASI UNSUR DALAM SUATU SAMPEL…….… 86 A. Metode Penyerapan Cahaya……………………..…………… 86 B. Penerapan Metode Broyden untuk Menghitung Konsentrasi Unsur…………..……………. 88

  C.

  Analisis Perhitungan Konsentrasi Unsur dengan Metode Broyden……………………………………… 91

  1. Analisis Sifat Konvergensi pada Hasil…...…………… 91 2.

  Pengaruh Nilai Awal pada Hasil………….………….. 93 3. Perbandingan Nilai Absorban Hasil Pengukuran dengan Hasil Perhitungan…………………………… 95

4. Konsentrasi Parasetamol dan

  Kafein yang Memenuhi…………………..…………… 95

  BAB V PENUTUP……………………………………………………….. 97 A. Kesimpulan………………………………………..………….. 97 B. Saran……………………………………………...…………... 101 DAFTAR PUSTAKA ……………………………………….…………… 102 LAMPIRAN……………………………………………………………… 104 Lamp.1 Program Metode Broyden………………………………………. 105 Lamp.2 Program untuk Fungsi Contoh 3.2.1……………………………. 106 Lamp.3 Program untuk Turunan Fungsi Contoh 3.2.1………………….. 107 Lamp.4 Program BroydenMethods……………………………………... 108 Lamp.5 Program untuk SPNL Parasetamol dan Kafein 1………………. 109 Lamp.6 Program untuk Turunan SPNL Parasetamol dan Kafein 1……. 110 Lamp.7 Program untuk SPNL Parasetamol dan Kafein 2………………. 111 Lamp.8 Program untuk Turunan SPNL Parasetamol dan Kafein 2……. 112

  Lamp.9 Program untuk SPNL Parasetamol dan Kafein 3………………. 113 Lamp.10 Program untuk Turunan SPNL Parasetamol dan Kafein 3..…. 114 Lamp.11 Program BroydenMethods_identitas…………………………. 115 Lamp.12 Program untuk Plot Grafik…………………………………… 116 Lamp.13 Keluaran SPNL dengan Metode Broyden.……………………. 117 Lamp.14 Keluaran SPNL dengan Nilai Awal Berbeda…………………. 118 Lamp.15 Keluaran SPNL dengan Pendekatan Matriks Identitas……….. 119

  8. Tabel 4.3.2 Perbandingan nilai absorban hasil perhitungan dan nilai absorban hasil pengukuran…..…………… 95

  3

  7. Tabel 4.3.1. Hasil Perhitungan Konsentrasi Parasetamol dan Kafein pada panjang gelombang 272,2 nm dan 249,1 nm dengan nilai awal yang berbeda-beda…………………….…………… 93

  6. Tabel 4.2.4. Hasil Perhitungan Konsentrasi Parasetamol dan Kafein…………………………………...…………… 91

  5. Tabel 4.2.3. Hasil Perhitungan Konsentrasi Parasetamol dan Kafein antara panjang gelombang 249,1 nm dengan 260,0 nm…..…………… 90

  4. Tabel 4.2.2 Hasil pengukuran absorban dari satu sampel yang mengandung 500 ppm parasetamol dan 500 ppm kafein……………… 89

  hubungan antara absorban dan konsentrasi dari parasetamol dan kafein untuk berbagai panjang gelombang………….……………. 89

  1 A c a c a c a a

  2

  2

  3

  

Daftar Tabel

  3. Tabel 4.2.1 Koefisien polinomial

  2. Tabel 3.2.1 Hasil Iterasi……………………………………………… 59

  = − − x x dengan metode Secant………………...…………… 24

  3

  2

  2

  5

  1. Tabel 2.4.1 Hasil Pengukuran Persamaan Non-Linear ,

  Halaman

• =

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Saat ini matematika banyak diterapkan dalam kehidupan nyata, sehingga

  tidak heran kalau banyak persoalan yang muncul berkaitan dengan penerapan matematika tersebut. Banyak metode yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan tersebut. Metode analitis adalah metode yang menggunakan metode-metode aljabar yang sederhana untuk menyelesaikan suatu persoalan.

  Namun terkadang persoalan-persoalan tersebut sulit atau bahkan tidak bisa diselesaikan secara analitis sehingga diperlukan metode lain yang memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat diselesaikan dengan menggunakan operasi-operasi aritmatika. Metode ini sering disebut dengan metode numeris. Metode numeris banyak dipakai untuk menyelesaikan persamaan, baik linear maupun non-linear.

  Persamaan non-linear adalah persamaan di mana tiap fungsinya

  melibatkan bentuk eksponensial, trigonometri, logaritma, rasional, polinomial berderajat dua atau lebih, ada hasil kali antara fungsi yang belum diketahui dengan turunannya, atau fungsi transenden lainnya. Persamaan non-linear sendiri dibagi menjadi persamaan non-linear dengan satu variabel dan persamaan non-

  n n >

  1 linear dengan variabel, dengan . Bentuk umum persamaan non-linear dengan satu variabel adalah

  

=

f ( x ) .

  n

  Sedangkan bentuk umum persamaan non-linear dengan variabel adalah

f ( x , x ,........, x ) = .

  1

2 n

Sistem Persamaan non-linear atau sering disingkat SPNL adalah

  himpunan n persamaan non-linear, dengan n > 1 , yang penyelesaiannya harus memenuhi semua persamaan tersebut. n Bentuk umum sistem persamaan non-linear dengan persamaan dan variabel n n adalah :

  = f ( x , x ,......, x ) = untuk j 1 , 2 , 3 ,......... n j

  1 2 n t n

  ℜ

  di mana tiap fungsi f merupakan pemetaan vektor x = ( x , x ,......, x ) dari

  n

  1

  2

  ℜ ke , sistem ini dapat ditulis dalam bentuk lain dengan mendefinisikan fungsi F,

  n n

  suatu pem etaan dari ℜ ke ℜ , yakni

  t F ( x , x ,...., x ) = ( f ( x , x ,...., x ), f ( x , x ,...., x ),...., f ( x , x ,...., x )) n n n n n

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2 Dengan menggunakan notasi vektor, sistem di atas dapat ditulis dalam bentuk :

F(x) = 0

  Penyelesaian sistem persamaan non-linear bukan merupakan akar-akar yang merupakan penyelesaian yang eksak, melainkan penyelesaian yang mendekati dengan tingkat konvergensi yang tinggi.

  Banyak metode numeris yang telah ditemukan untuk mencari penyelesaian persamaan non-linear, dan yang paling terkenal adalah Metode Newton-Raphson.

  Meskipun Metode Newton-Raphson telah banyak digunakan, namun metode ini mempunyai beberapa kelemahan, yaitu terkadang turunan fungsi-fungsinya sulit dievaluasi, dan memerlukan pendekatan awal yang baik agar mempunyai tingkat

  konvergensi yang tinggi. Untuk mengatasi kelemahan itu muncul metode baru, yaitu Metode Secant. Metode Secant adalah pengembangan Metode Newton- Raphson untuk menyelesaikan persamaan non-liear yang tidak harus menghitung turunan di setiap iterasi. Sedangkan pengembangan Metode Secant untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan n persamaan dan n variabel disebut Metode Broyden atau sering disebut juga Metode Quasi-Newton.

  Bidang lain di luar matematika, khususnya bidang fisika, juga membutuhkan analisis matematis untuk menyelidiki suatu persoalan yang sulit atau bahkan tidak dapat diselesaikan hanya dengan menggunakan rumus atau teori fisika saja. Dalam hal ini Metode Broyden dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan non-linear yang muncul dalam persoalan di bidang fisika, seperti untuk menghitung konsentrasi unsur dalam sampel yang menggunakan metode penyerapan cahaya oleh atom.

B. Rumusan Masalah

  Dari uraian yang dikemukakan dalam latar belakang, dapat dirumuskan beberapa masalah :

  1. Bagaimana mencari penyelesaian sistem persamaan non-linear secara numeris dengan menggunakan Metode Broyden?

  2. Bagaimana terapan Metode Broyden dalam mencari penyelesaian sistem persamaan non-linear dalam bidang fisika untuk menghitung konsentrasi unsur dalam sampel yang menggunakan metode penyerapan cahaya oleh atom?

C. Batasan Masalah 1.

  Sistem persamaan non-linear yang akan diselesaikan adalah sistem dengan

  n persamaan dan n variabel.

2. Bahasa pemrograman yang digunakan untuk membantu mencari pe- nyelesaian sistem persamaan non-linear adalah Matlab.

  D. Tujuan Penulisan

  Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan non-linear secara numeris dengan menggunakan Metode Broyden dan menerapkan Metode Broyden untuk menyelesaikan sistem persamaan non-linear yang dimodelkan dari persoalan dalam bidang fisika, khususnya untuk menghitung konsentrasi unsur dalam suatu sampel.

  E. Manfaat Penulisan

  Manfaat penulisan skripsi ini adalah agar pembaca mengetahui dan mendalami Metode Broyden untuk menyelesaikan sistem persamaan non-linear, serta untuk mengetahui penerapan Metode Broyden dalam bidang fisika terutama untuk menghitung konsentrasi unsur dalam suatu sampel.

  F. Metode Penulisan

  Metode penulisan yang dilakukan adalah dengan menggunakan metode studi pustaka dan analisa data.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

  (Bagian ini berisi tentang latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan). BAB

II MATRIKS, RUANG VEKTOR, NORMA, KONVERGENSI

  DAN PENYELESAIAN PERSAMAAN NON-LINEAR (Penjelasan tentang matriks, ruang vektor, norma, dan proyeksi orthogonal, serta teorema-teorema kalkulus, konvergensi, dan penyelesaian persamaan non-linear dengan satu variabel terdapat pada bagian ini).

  BAB III PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NON-LINEAR (Pengertian sistem persamaan non-linear, penyelesaian sistem persamaan non-linear dengan Metode Broyden, Kondisi Dennis- Moré, serta analisis konvergensi Metode Broyden disajikan pada bagian ini).

  BAB IV MENGHITUNG KONSENTRASI UNSUR DALAM SUATU SAMPEL DENGAN METODE BROYDEN (Penerapan Metode Broyden untuk menghitung konsentrasi unsur dalam suatu sampel, dan analisis perhitungan konsentrasi unsur dengan Metode Broyden disajikan pada bagian ini).

  BAB V PENUTUP (Penutup mencakup kesimpulan dan saran).

BAB II MATRIKS , RUANG VEKTOR, NORMA, KONVERGENSI DAN PENYELESAIAN PERSAMAAN NON-LINEAR Dalam Bab II ini akan dibahas tentang matriks, konvergensi, dan

  penyelesaian persamaan non-linear yang akan digunakan sebagai dasar untuk membahas bab-bab selanjutnya.

A. Matriks, Ruang Vektor, dan Norma

  Pada subbab ini akan dibahas mengenai sifat-sifat matriks, vektor, norma dan proyeksi orthogonal.

  Definisi 2.1.1

  Jika A adalah sebarang matriks m x n , maka transpos A dinyatakan

  T

  dengan A , didefinisikan sebagai matriks n x m yang didapatkan dengan

  T

A

  mempertukarkan baris dan kolom dari ; yaitu kolom pertama dari A adalah

  T A A

  baris pertama dari , kolom kedua dari A adalah baris kedua dari , dan seterusnya.

  T T A B

  Jika A dan B berturut-turut adalah transpos matriks dan , maka

  T T T

  berlaku sifat : ( AB ) = B A

  Bukti :

1 Maka elemen baris ke- j kolom ke- dari

  p k ij kj ik pj ip j i j i ip pj i j i j ip i i pj j j c b a b a b a b a a b a b a b a a a b b b

  2

  1

  2

  2

  

1

  1

  2

  2

  

1

  1

  2

  1

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  L M L (2.1.2)

1 L

  Dari persamaan (2.1.1) dan persamaan (2.1.2)

  T T T A B AB = ) (

  ■

  Definisi 2.1.2

  Suatu matriks bujursangkar

  ij A a = disebut matriks simetri jika

  atau

  T A A = a a , ∀ = .

  ⎦ ⎤

  Maka elemen baris ke-

  

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

  i

  , kolom ke- j dari B A C . = adalah yang merupakan elemen baris ke-

  ∑ =

  =

  p k kj ik ij b a c

  1 . j , kolom ke- dari

i

  T T B A C ) . ( = (2.1.1)

  Elemen-elemen kolom ke- dari adalah elemen baris ke- i dari i

  T A A

  ,

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ip i i a a a

  = =

  M

  2

  1

  dan baris ke- j dari

  T B adalah

  [ ] pj j j b b b

  

L

  2

  i T T

  A B adalah [ ]

• =
• = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

  ∑ =

  Definisi 2.1.3 A

  Suatu matriks bujursangkar dikatakan invertibel atau non singular jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA =

  I . Matriks B tersebut

  1 − A dinamakan invers dari , dan biasanya ditulis A .

  Teorema 2.1.1 A Invers dari adalah tunggal.

  Bukti:

  Misalkan dan C invers dari , Maka = = dan AC = CA =

  I B A AB BA

  I = = = = B = C

  Di lain pihak B BI B ( AC )

  IC C , yaitu Jadi terbukti bahwa invers dari adalah tunggal. A

  ■

  Teorema 2.1.2

  1

  1

  1 − − − A invertibel dan ( A ) = A

  Bukti : −

1 Misalkan A merupakan invers dari matriks A maka berlaku

  1

  1 − − AA = A A =

  I

  1

  1

  1

− − −

A

  Jadi, merupakan invers dari A , yaitu ( A ) = A ■

  Definisi 2.1.4 Grup adalah suatu himpunan G dengan operasi * pada G yang

  memenuhi setiap aksioma berikut ini: 1.

  Bersifat asosiatif

  a ( b c ) = ( a b ) c , ∀ a , b , c ∈ * * * * G 2.

  Terdapat Elemen Identitas

• Terdapat elemen e ∈ G sedemikian sehingga a e = * e a = a , ∀ a ∈ G

3. Terdapat Invers

  ∀ ∈ , ∃ ∈ , sedemikian sehingga a b = * b a = e * a G b G

  Definisi 2.1.5 Grup Komutatif adalah grup yang operasi perkaliannya bersifat

  komutatif, yaitu

  ∀ , ∈ a b = b a , a b G * *

  Definisi 2.1.6 Lapangan adalah himpunan tak kosong F dengan dua operasi yang

  disebut penjumlahan dan perkalian, dengan sifat:

i. F dengan operasi penjumlahan membentuk Grup

  Himpunan

  −

ii. F { } dengan operasi perkalian membentuk Grup Komutatif

  Himpunan iii. Berlaku sifat Distributif :

• ) = + ∀ ∈

  a ( b c ab ac , a , b , c F

  Definisi 2.1.7

  Andaikan V merupakan suatu himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi, yakni penjumlahan dan perkalian dengan skalar dalam lapangan F . Didefinisikan

• + ∀ ∈ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∈

  x V , x y V yang disebut penjumlahan dan x V dan a F , a x V yang

  disebut dengan perkalian skalar, maka V dinamakan dengan ruang vektor atas

  F bila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

  1. ∀ x , y ∈ , x y = y x

  V

  2. ∀ x, y, z ∈ , ( x y) z = x (y z )

  V

  V , ∀ x ∈ V , x = x

• 3. ∃ ∈
• 4. ∀ x ∈ , ∃ y ∈ , x y =

  V V

  5. ∀ x ∈ ,

  1 x = x

  V

  6. ∀ + x ∈ , ∀ , ∈ , ( ) x = + x x

  V a b F a b a b

  7. ∀ x ∈ , ∀ ∈ , ( x y ) = x y

  V a F a a a

  8. ∀ x ∈ , ∀ , ∈ , ( ) x = ( x )

  V a b F ab a b Definisi 2.1.8

  2

  3 ℜ ℜ

  Vektor-vektor dan di dalam x y (atau ) dikatakan orthogonal jika

  T

x y = .

  Definisi 2.1.9 n n n

  Hasil kali dalam untuk ℜ adalah sebuah pemetaan dari ℜ ℜ ke ℜ x n x ℜ

  yang menunjuk setiap pasang vektor-vektor dan y di dalam dengan sebuah bilangan real yang memenuhi syarat sebagai berikut:

  < x > ≥ < > = ⇔ =

  (i) x , dan x , x x

  n

  (ii) < x , y >=< y , x > untuk semua dan di dalam x y ℜ (iii) < α x β + + y , z >= α < x , z > β < y , z > untuk semua x , y , z di dalam

  n ℜ α β dan semua skalar dan .

  Definisi 2.1.10 n T

  ℜ Hasil kali dalam untuk adalah hasil kali skalar < , x y >= x y .

  Definisi 2.1.11 (Norma Vektor) n

  Sebuah ruang vektor ℜ dikatakan ruang linear bernorma jika untuk setiap

  n

∈ ℜ dikaitkan dengan sebuah bilangan real yang disebut norma dari x

x

  || x ||

  yang memenuhi: (i) ≥ dan = ⇔ =

  || x || || x || x

  (ii) = untuk setiap skalar α

  || α x || | α | || x || n

  (iii) || x y || ≤ || x || || y || untuk semua x, y ∈ ℜ

  Definisi 2.1.12 n

  Jika x adalah sebuah vektor dalam sebuah ruang hasil kali dalam ℜ , panjang atau norma dari diberikan oleh x || x || = || x || = < x, x > (2.1.5)

2 Definisi 2.1.13

  mxn

  || ⋅ || : ℜ → ℜ adalah suatu norma matriks jika memenuhi :

  mxn ∈ ℜ

  (i) || A || ≥ untuk semua A dan || A || = ⇔ A =

  

mxn

  (ii) = untuk semua A ∈ ℜ dan α ∈ ℜ

  || α A || | α | || A ||

• mxn
• (iii) || A B || ≤ || A || || B || untuk semua A , B ∈ ℜ

  (iv) || AB || ≤ || A || || B || untuk semua matriks yang sesuai

  Definisi 2.1.14 mxn nx

  1 ∈ ℜ ∈ ℜ

  Jika A dan x , panjang atau norma dari A diberikan oleh :

  || A || max || Ax || λ = = 2 2 maks || x || =

  1

  di mana adalah nilai λ terbesar sedemikian sehingga A − λ

  I bersifat

  λ

  maks singular.

  Definisi 2.1.15

  Sifat-sifat norma matriks-2 adalah sebagai berikut: (i)

  || A || = * max max | y Ax |

  2 || x || = 1 || y || =

  1

• (ii) || A || = || A ||

  2

  2

• (iii) || A A || =

  || A ||

  2

2 A

  ⎛ ⎞ (iv) = max { || A || , || B || }

  2

  2

  ⎜⎜ ⎟⎟

  B

  ⎝ ⎠

  2

• * *

  (v) || U AV || || A || di mana = dan = = U U

  I V

  V I

  2

2 Definisi 2.1.16

  nxn

  2 Misalkan ∈ ℜ adalah suatu proyeksi, P P P = . Pernyataan-pernyataan

  berikut ini ekuivalen dengan P adalah suatu Proyeksi Orthogonal, yaitu : (i) R ( P ) ⊥ N ( P )

  T

  2 T

  (ii) P = P (Proyeksi Orthogonal ⇔ P = P = P ) (iii) || P || =

  1

2 B. Teorema Kalkulus

  Dalam subbab ini akan dibahas tentang teorema-teorema dalam kalkulus, terutama yang berkaitan dengan integral, yaitu Teorema Dasar Kalkulus, yang akan digunakan dalam pembahasan bab-bab selanjutnya.

  Teorema 2.2.1 (Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan)

  Jika f kontinu pada selang tertutup a , b dan terdiferensial pada titik-titik

  [ ]

  dalam dari ( b , ) , maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam ( b , )

  a a

  dimana :

  ( ) ( ) f b − f a '

  = f ( c ) (2.2.1) b a

  −

  atau ekuivalen dengan

  ' f ( b ) − f ( a ) = f ( c ) ( b − a ) (2.2.2)

  Bukti:

  Pembuktian ini didasarkan pada analisis dari fungsi = −

  s ( x ) f ( x ) g ( x ),

  sedangkan = adalah persamaan garis yang melalui dan

  y g (x ) ( a , f ( a ))

  . Karena garis ini mempunyai kemiringan − − dan

  ( b , f ( b )) [ f ( b ) f ( a )] /( b a )

  melalui , bentuk titik kemiringan untuk persamaannya adalah

  ( a , f ( a ))

f ( b ) − f ( a )

g ( x ) − f ( a ) = ( x − a )

b − a

  Kemudian menghasilkan rumus untuk s (x ) , yaitu,

  f ( b ) − f ( a ) s ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − ( x − a ) b − a

  = a =

  Perhatikan bahwa s ( b ) s ( ) dan untuk x dalam ( b a , )

  f ( b ) − f ( a ) s ' ( x ) = f ' ( x ) − b − a

  Jika diketahui bahwa terdapat suatu bilangan dalam c ( b a , ) yang memenuhi

  s ' ( c ) = , pembuktian selesai. Karena persamaan terakhir mengatakan f ( b ) f ( a ) − = f ' ( c ) − b − a

  =

  Untuk melihat bahwa s ' ( c ) untuk suatu dalam c ( b a , ) , alasannya adalah jelas kontinu pada s [ b a , ] , karena merupakan selisih dua fungsi kontinu. Jadi harus mencapai baik nilai maksimum maupun nilai minimum pada s [ b , ] .

  a

  Jika kedua nilai ini kebetulan adalah 0, maka (x ) secara identik adalah 0 pada

  s [ b , ] , akibatnya ' ( ) = untuk semua x dalam ( b , ) . a s x a

  Jika salah satu nilai maksimum atau nilai minimum berlainan dengan 0, maka

  = b =

  nilai tersebut dicapai sebuah titik dalam , karena c s ( a ) s ( ) . Sekarang s

  = mempunyai turunan di setiap titik dari ( b a , ) , sehingga s ' ( c ) .

  ■

  Teorema 2.2.2 (Teorema Dasar Kalkulus)

  , Misalkan f kontinu (karenanya terintegralkan) pada [ ] a b dan andaikan

  F sebarang anti turunan dari f di sana. Maka, b f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) (2.2.3)

  ∫ a

  Bukti:

  Andaikan p : a = x < x < x < L < x < x = b adalah partisi sebarang

  1

2 n −1 n

  dari a , b , maka dengan mengurangkan dan menambahkan secara baku diperoleh:

  [ ] L

  2

  F ( b ) − F ( a ) = F ( x ) − F ( x ) F ( x ) − F ( x ) F ( x ) − F ( x ) + + + n n 1 n 1 n

  1 − − − n

  = [ F ( x ) − F ( x )]

  1 i i −

  ∑ i

  1 = F

  Menurut Teorema 2.2.1 untuk turunan yang diterapkan pada pada selang [ x , x ]

  i − 1 i

'

i

  F ( x ) − F ( x ) = F ( x )( x − x ) i i 1 i i

  1 − − i

  = f ( x ) Δ x i

  i

  untuk suatu pilihan x dalam selang terbuka ( x , x ) . Jadi,

  i 1 i − n i

  F ( b ) − F ( a ) = f ( x ) Δ x i

  ∑

i

  1 =

  pada ruas kiri merupakan konstanta, sedangkan ruas kanan merupakan jumlah Riemann untuk pada . Bila kedua ruas diambil limitnya untuk → ,

  f [ b a , ] | p |

  diperoleh

  b n i