11
Hasil review 28 Januari 2015: 1.
Perubahan pada pendahuluan paragraph pertama kalimat terakhir: Rujukan Web 1 menjadi O’Connor,2006
2. Perubahan pada tinjauan pustaka paragraf pertama kalimat kedua :
t x
x
dan t
y y
menjadi
x
x
dan
x x
3.
Perubahan pada metode penelitian: mengganti judul Mengenal bentuk dan persamaan
hypocycloidmenjadiKeterkaitan kurva hypocycloid dan epicycloid di dalam satu persamaan parametrik.
4. Penambahan rujukanRovenskii,2000 pada metode penelitian paragraf pertama
kalimat kedua. 5.
Contoh 1 pada turunan persamaan parametrik :
b b
a b
a b
a d
dx x
sin sin
ˆ
b
b a
b a
b a
d dy
y cos
cos ˆ
6. Penulisan daftar pustaka [7] menjadi
O’Connor, J.J, Robertson,E.F, 2006. Famous curves index. http:www-
history.mcs.st-andrews.ac.ukCurvesCurves.html Di akses pada 29 September 2014 7.
Perubahan pada penjelasan gambar 5-10 : Bentuk Hypocycloid diubah menjadi Bentuk Kurva persamaan parametrik
5
MAKALAH II
1
KOMPUTASI LUAS PERMUKAAN PADA HYPOCYCLOID 3 DIMENSI
Purwoto
1
, Hanna Arini Parhusip
2
, Tundjung Mahatma
3
13
Program Studi Matematika,Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen SatyaWacana
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
1
662011010student.uksw.edu ,
2
hannaariniparhusipyahoo.co.id ,
3
t.mahatmastaff.uksw.edu
A. Pendahuluan
Persamaan parametrik hypocycloid dalam 2 dimensi telah dikembangkan sebagai permukaan 3 dimensi Purwoto,dkk,2014 yaitu
; sin
sin sin
; cos
cos sin
b b
a b
b a
y b
b a
b b
a x
a
cos
z b
dengan .
; sin
2 2
y x
r r
Perluasan ini didasarkan oleh sistem koordinat bola.
Koordinat bola merupakan salah satu dari banyak cara pemerincian posisi titik di ruang dimensi-tiga Purcell,1987. Permukaan bola dianggap sebagai perluasan dari titik-
titik yang setiap titiknya mempunyai jari-jari
dan sudut dari pusat bola. Demikian
pula setiap titik di permukaan hasil perluasan kurva hypocycloid juga mempunyai jari-jari dan sudut.
Hasil persamaan hypocycloid yang diperluas menjadi persamaan baru yang mempunyai kemiripan dengan persamaan bola dengan jari-jari yang lebih bervariasi.
Selain itu, persamaan-persamaan yang diperoleh dapat diturunkan dan diperoleh persamaan baru. Persamaan-persamaan itu dikombinasikan sehingga didapatkan berbagai
macam bentuk perluasan permukaan 3 dimensi. Ilustrasi untuk berbagai permukaan ditunjukkan pada penelitian pertama Purwoto,dkk,2014.
Pada makalah ini dibahas turunan dari persamaan hypocycloid yang juga merupakan kurva parametrik baru dan dapat diperluas dalam bentuk 3 dimensi. Salah satu kurva
dalam keluarga hypocycloid yaitu epicycloid juga dibahas pada penelitian ini.
2
Setiap permukaan yang diperoleh dicari luasnya yang dinyatakan dalam bentuk vektor. Pembahasan dibatasi untuk permukaan yang dianggap sederhana yaitu pada
perluasan kurva hypocycloid dalam koordinat bola.
B. Metode Penelitian
Persamaan Hypocycloid dan Epicycloid
Secara umum terdapat sebuah persamaan parametrik yang dituliskan sebagai berikut
; sin
sin ;
cos cos
b b
a b
b a
y b
b a
b b
a x
1 Persamaan 1 merupakan sebuah persamaan parametrik yang mendasari kurva
hypocycloid dan epicycloid. Perlakuan berbeda pada nilai-nilai parameter a dan b yang membuat kedua bentuk kurva berbeda.
Hypocycloid terbentuk oleh sebuah titik P pada keliling sebuah lingkaran kecil dengan radius b yang menggelinding di dalam lingkaran yang lebih besar dengan radius a
ab Hsu,et al.2008. Bermacam ukuran dari lingkaran menghasilkan hypocycloid yang berbeda.
Secara umum persamaan hypocycloid sendiri dapat dituliskan sebagai berikut
; sin
sin ;
cos cos
b b
a b
b a
y b
b a
b b
a x
2 Sedikit berbeda dengan hypocycloid, epicycloid terbentuk oleh sebuah titik P pada
keliling lingkaran kecil dengan radius b yang menggelinding di luar lingkaran dengan radius a Hsu,et al.2008. Secara umum persamaan epicycloid dapat dituliskan sebagai
berikut
; sin
sin ;
cos cos
b b
a b
b a
y b
b a
b b
a x
3
Turunan Persamaan parametrik
Persamaan 1 diturunkan terhadap
sehingga membentuk sebuah persamaan parametrik baru. Hasil dari turunannya adalah
b
b a
b a
b a
d dx
x sin
sin ˆ
4
3
b b
a b
a b
a d
dy y
cos cos
ˆ
5
Kurva pada persamaan 2 dan 3 dianggap sebagai persamaan
x dan
y
yang baru. Dengan memperhatikan koordinat bola persamaan 2 dan 3 dikonstruksi menjadi
b b
a b
a b
a x
sin sin
sin ˆ
6
b b
a b
a b
a y
cos cos
sin ˆ
7
dengan ;
2 2
y x
r
dan
sin r
maka
cos
ˆ z
8 Persamaan 6, 7, dan 8 kembali diturunkan , sehingga terjadi dua kali penurunan pada
persamaan hypocycloid. Hasil persamaan dikombinasikan untuk mendapat permukaan- permukaan yang baru pada satu persamaan parametrik sebagai berikut:
b b
a b
a b
a d
x d
sin sin
cos ˆ
b b
a b
a b
a d
y d
cos cos
cos ˆ
b b
a b
b a
b a
d x
d cos
cos sin
ˆ
2
b b
a b
b a
b a
d y
d sin
sin sin
ˆ
2
sin ˆ
d z
d
Notasi Vektor permukaan
Sebuah permukaan parametrik dengan dua parameter Hopkins, 2013 dinyatakan ,
x x
,
,
y
y
, ,
z z
9
atau zk
yj xi
T
,
