Hasil dan Pembahasan ISI

6 d. Nilai penyebut q pada parameter b menjadi jumlah ujung pada kurva hypocycloid. Namun jika nilai q p dapat disederhanakan ,maka nilai q yang paling sederhana tersebut yang akan menjadi jumlah ujung kurva hypocycloid. Beberapa bentuk hypocycloid sudah diberikan nama seperti deltoid dan juga astroid. Berikut adalah kurva yang akan diperluas ke dalam 3 dimensi dengan sistem koordinat bola Gambar 11. Bentukhypocycloid yang akandiperluaske 3 dimensi dengan sistem koordinat bola Persamaan 1 akan dibentuk ke dalam persamaan 3 dimensi dengan mengikuti sistem koordinat bola. Permukaan bola dianggap sebagai perluasan dari titik-titik yang setiap titiknya mempunyai jari-jari  dan juga sudut  dari pusat bola. Demikian pula setiap titik di permukaan hasil perluasan kurva hypocycloid juga mempunyai jari-jari dan juga sudut.Persamaan hypocycloid menjadi     ; sin sin sin ; cos cos sin                                                   b b a b b a y b b a b b a x 4 dengan   sin ; 2 2 r y x r    maka dikonstruksi   cos  z 5 Terdapat dua parameter berbeda pada persamaan 4 dan 5 yaitu  dan . Dari hasil turunan persamaan tersebut akan diperoleh persamaan baru yang kemudian dikombinasikan sebagai bentuk perluasan yang baru. Persamaan 4 diturunkan terhadap                                                      b b a b b a d dy b b a b b a d dx sin sin cos cos cos cos Persamaan 4 diturunkan terhadap  ; cos cos sin                            b b a b a b a d dy ; sin sin sin                             b b a b a b a d dx Persamaan 5 diturunkan terhadap     sin   d dz -1 -0.5 0.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 7 Bentuk 1 Deltoid Bentuk deltoid diperoleh dari persamaan 1 dengan parameter a=1 dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai − 1 3 dan − 2 3 . Bentukumum deltoid ini kemudian diperluas dengan sistem koordinat bola . Hasil turunan dari masing-masing parameternya dikombinasikan sehingga menghasilkan persamaan baru dan divisualisasikan. Perlakuan ini juga diterapkan pada bentuk astroid, star, dan juga bentuk 4. Hasil perluasan ditunjukkan oleh gambar 12. Gambar 12. Deltoid dan perluasan 3 dimensi dengan sistem koordinat bola dilanjutkan visualisasi dari kombinasi turunannya                   z d dy d dx z d dy d dx d dz d dy d dx , , , , , , , ,        dan                                    d dz d dy d dx d dz d dy d dx d dz d dy d dx z d dy d dx , , , , , , , , , , , Bentuk 2 Astroid Bentuk Astroid diperoleh dari persamaan 1 dengan parameter a=1 dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai − 1 4 dan − 3 4 . Hasil perluasan ditunjukan oleh gambar 13. -1 -0.5 0.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 8 Gambar 13. Astroid dan perluasan 3 dimensi dengan sistem koordinat bola dilanjutkan visualisasi dari kombinasi turunannya                   z d dy d dx z d dy d dx d dz d dy d dx , , , , , , , ,        dan                                    d dz d dy d dx d dz d dy d dx d dz d dy d dx z d dy d dx , , , , , , , , , , , Bentuk 3 Star Bentuk star diperoleh dari persamaan 1 dengan parameter a=1 dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai − 2 5 dan − 3 5 . Hasil perluasan ditunjukkan oleh gambar 14. Gambar 14. Star dan perluasan 3 dimensi dengan sistem koordinat bola dilanjutkan visualisasi dari kombinasi turunannya                   z d dy d dx z d dy d dx d dz d dy d dx , , , , , , , ,        dan                                    d dz d dy d dx d dz d dy d dx d dz d dy d dx z d dy d dx , , , , , , , , , , , -0 .8 -0 .6 -0 .4 -0 .2 0.2 0.4 0.6 0.8 -0 .8 -0 .6 -0 .4 -0 .2 0.2 0.4 0.6 0.8 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 9 Bentuk 4 Bentuk 4 diperoleh dari persamaan 1 dengan parameter a=1 dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai − 2 7 dan − 5 7 . Hasil perluasan ditunjukan oleh gambar 15. Gambar 15. Bentuk 4 dan perluasan 3 dimensi dengan sistem koordinat bola dilanjutkan visualisasi dari kombinasi turunannya                   z d dy d dx z d dy d dx d dz d dy d dx , , , , , , , ,        dan                                    d dz d dy d dx d dz d dy d dx d dz d dy d dx z d dy d dx , , , , , , , , , , , Hasil perluasan hypocycloid dengan sistem koordinat bola menghasilkan bentuk 3 dimensi yang mempunyai kemiripan dengan bentuk bola. Bentuk yang dihasilkan mempunyai Hanya saja kontur dari hasil perluasan dipaksakan seperti bentuk dasar dari hypocycloid yang diperluas dan bukan lagi lingkaran yang menjadi bentuk dasar bola. Hasil turunan persamaan yang kemudian dikombinasikan juga menghasilkan berbagai bentuk 3 dimensi yang bermacam-macam.

D. Simpulan dan Saran

Hypocycloid merupakan persamaan parametrik yang mempunyai berbagai bentuk tergantung nilai parameternya. Bentuk-bentuk dasar hypocycloid dapat diperluas kedalam bentuk 3 dimensi dengan menggunakan sistem koordinat bola. Persamaan perluasan hypocycloid 3 dimensi yang diturunkan terhadap parameter-parameternya membentuk persamaan baru yang dapat dikombinasikan dan membentuk perluasan baru. Setiap gambar yang diperoleh dengan masing-masing bentuk dasarnya didapatkan kemiripan dalam setiap kombinasi yang dibuat. Setiap kombinasi hypocycloid yang diperluas dengan sistem koordinat bola tersebut dipolakan ke dalam bentuk 3 dimensi dan menjadi satu bentuk keluarga. Hypocycloid merupakan satu dari berbagai persamaan parametrik, sehingga sangat dimungkinkan persamaan-persamaan yang lain untuk diperluas ke dalam 3 dimensi dengan sistem koordinat bola. Terdapat banyak program komputer yang dapat digunakan sebagai alat bantu visualisasi 3 dimensi seperti 3D-XplorMath, Surfer, dan lain-lain. -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10

E. Daftar Pustaka

[1] Ayres.F., Mendelson.E. 2009. Schaum’s Outlines Calculus, FifthEdition. McGraw-Hill, Singapore. [2] Hsu MH, Yan HS, Liu JY, Hsieh LC 2008. Epicycloid Hypocycloid Mechanisms Design Proceedings of the International Multi Conference of Engineers and Computer Scientists, IMECS, Hong Kong,2. [3] Greuel G.M, Matt A.D ,” IMAGINARY-Through the eyes of mathematics” Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 2008,ISBN 978-3-00-026939-4, Oberwolfach-German. [4] Parhusip H.A, 2014. Arts revealed in calculus and its extension. International Journal of Statistics and Mathematics, 13: 002-009, Premier-Publisher,online. : https:www.academia.edu8236790Arts_revealed_in_calculus_and_its_extension or https:www.facebook.compremierpublisherposts788548327863008 or http:premierpublishers.orgijsmarticles [4] Purcell,Edwin J. Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 2, edisi kelima,Terj. I Nyoman Susila, Jakarta: Erlangga. [5] Rovenskii, Vladimir Y,2000. Geometry of Curves and Surfaces with Maple. New York: Birkhauser Bolton [6] Suryaningsih, V, Parhusip,H.A, Mahatma, T, 2013. Kurva Parametrik dan Transformasinya untuk Pembentukan Motif Dekoratif, Prosiding, Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNY,9 Nov, ISBN:978-979-16353-9-4,hal. MT – 249-258. [7] O’Connor, J.J, Robertson,E.F, 2006. Famous curves index. http:www-history.mcs.st- andrews.ac.ukCurvesCurves.html Di akses pada 29 September 2014 11 Hasil review 28 Januari 2015: 1. Perubahan pada pendahuluan paragraph pertama kalimat terakhir: Rujukan Web 1 menjadi O’Connor,2006 2. Perubahan pada tinjauan pustaka paragraf pertama kalimat kedua : t x x  dan t y y  menjadi  x x  dan  x x  3. Perubahan pada metode penelitian: mengganti judul Mengenal bentuk dan persamaan hypocycloidmenjadiKeterkaitan kurva hypocycloid dan epicycloid di dalam satu persamaan parametrik. 4. Penambahan rujukanRovenskii,2000 pada metode penelitian paragraf pertama kalimat kedua. 5. Contoh 1 pada turunan persamaan parametrik :                 b b a b a b a d dx x sin sin ˆ                b b a b a b a d dy y cos cos ˆ 6. Penulisan daftar pustaka [7] menjadi O’Connor, J.J, Robertson,E.F, 2006. Famous curves index. http:www- history.mcs.st-andrews.ac.ukCurvesCurves.html Di akses pada 29 September 2014 7. Perubahan pada penjelasan gambar 5-10 : Bentuk Hypocycloid diubah menjadi Bentuk Kurva persamaan parametrik