Hasil dan Pembahasan ISI
6
d. Nilai penyebut q pada parameter b menjadi jumlah ujung pada kurva
hypocycloid. Namun jika nilai q
p dapat disederhanakan ,maka nilai q yang
paling sederhana tersebut yang akan menjadi jumlah ujung kurva hypocycloid. Beberapa bentuk hypocycloid sudah diberikan nama seperti deltoid dan juga astroid.
Berikut adalah kurva yang akan diperluas ke dalam 3 dimensi dengan sistem koordinat bola
Gambar 11. Bentukhypocycloid yang akandiperluaske 3 dimensi dengan sistem koordinat bola
Persamaan 1 akan dibentuk ke dalam persamaan 3 dimensi dengan mengikuti sistem koordinat bola. Permukaan bola dianggap sebagai perluasan dari titik-titik yang setiap
titiknya mempunyai jari-jari
dan juga sudut dari pusat bola. Demikian pula setiap titik di
permukaan hasil perluasan kurva hypocycloid juga mempunyai jari-jari dan juga sudut.Persamaan hypocycloid menjadi
; sin
sin sin
; cos
cos sin
b b
a b
b a
y b
b a
b b
a x
4 dengan
sin ;
2 2
r y
x r
maka dikonstruksi
cos
z 5
Terdapat dua parameter berbeda pada persamaan 4 dan 5 yaitu dan . Dari hasil
turunan persamaan tersebut akan diperoleh persamaan baru yang kemudian dikombinasikan sebagai bentuk perluasan yang baru.
Persamaan 4 diturunkan terhadap
b b
a b
b a
d dy
b b
a b
b a
d dx
sin sin
cos cos
cos cos
Persamaan 4 diturunkan terhadap
; cos
cos sin
b b
a b
a b
a d
dy
; sin
sin sin
b b
a b
a b
a d
dx
Persamaan 5 diturunkan terhadap
sin
d
dz
-1 -0.5
0.5 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1
7
Bentuk 1 Deltoid
Bentuk deltoid diperoleh dari persamaan 1 dengan parameter a=1 dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai
−
1 3
dan −
2 3
. Bentukumum deltoid ini kemudian diperluas dengan sistem koordinat bola . Hasil turunan dari masing-masing parameternya dikombinasikan
sehingga menghasilkan persamaan baru dan divisualisasikan. Perlakuan ini juga diterapkan pada bentuk astroid, star, dan juga bentuk 4. Hasil perluasan ditunjukkan oleh gambar 12.
Gambar 12. Deltoid dan perluasan 3 dimensi dengan sistem koordinat bola dilanjutkan visualisasi dari kombinasi turunannya
z d
dy d
dx z
d dy
d dx
d dz
d dy
d dx
, ,
, ,
, ,
, ,
dan
d
dz d
dy d
dx d
dz d
dy d
dx d
dz d
dy d
dx z
d dy
d dx
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
,
Bentuk 2 Astroid
Bentuk Astroid diperoleh dari persamaan 1 dengan parameter a=1 dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai
−
1 4
dan −
3 4
. Hasil perluasan ditunjukan oleh gambar 13.
-1 -0.5
0.5 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1
8 Gambar 13. Astroid dan perluasan 3 dimensi dengan sistem koordinat bola dilanjutkan visualisasi dari
kombinasi turunannya
z d
dy d
dx z
d dy
d dx
d dz
d dy
d dx
, ,
, ,
, ,
, ,
dan
d
dz d
dy d
dx d
dz d
dy d
dx d
dz d
dy d
dx z
d dy
d dx
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
,
Bentuk 3 Star
Bentuk star diperoleh dari persamaan 1 dengan parameter a=1 dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai
−
2 5
dan −
3 5
. Hasil perluasan ditunjukkan oleh gambar 14.
Gambar 14. Star dan perluasan 3 dimensi dengan sistem koordinat bola dilanjutkan visualisasi dari kombinasi turunannya
z d
dy d
dx z
d dy
d dx
d dz
d dy
d dx
, ,
, ,
, ,
, ,
dan
d
dz d
dy d
dx d
dz d
dy d
dx d
dz d
dy d
dx z
d dy
d dx
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
,
-0 .8
-0 .6
-0 .4
-0 .2
0.2 0.4
0.6 0.8
-0 .8
-0 .6
-0 .4
-0 .2
0.2 0.4
0.6 0.8
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
9
Bentuk 4
Bentuk 4 diperoleh dari persamaan 1 dengan parameter a=1 dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai
−
2 7
dan −
5 7
. Hasil perluasan ditunjukan oleh gambar 15.
Gambar 15. Bentuk 4 dan perluasan 3 dimensi dengan sistem koordinat bola dilanjutkan visualisasi dari kombinasi turunannya
z d
dy d
dx z
d dy
d dx
d dz
d dy
d dx
, ,
, ,
, ,
, ,
dan
d
dz d
dy d
dx d
dz d
dy d
dx d
dz d
dy d
dx z
d dy
d dx
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, Hasil perluasan hypocycloid dengan sistem koordinat bola menghasilkan bentuk 3
dimensi yang mempunyai kemiripan dengan bentuk bola. Bentuk yang dihasilkan mempunyai Hanya saja kontur dari hasil perluasan dipaksakan seperti bentuk dasar dari
hypocycloid yang diperluas dan bukan lagi lingkaran yang menjadi bentuk dasar bola. Hasil turunan persamaan yang kemudian dikombinasikan juga menghasilkan berbagai bentuk 3
dimensi yang bermacam-macam.