Metrik Einstein (Anti-) Self-Dual Berdimensi Empat dengan Metode Cartan

METRIK EINSTEIN (ANTI-) SELF-DUAL BERDIMENSI
EMPAT DENGAN METODE CARTAN

AINOL YAQIN

DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR

2013

vii

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Metrik Einstein (Anti-)
Self-Dual Berdimensi Empat dengan Metode Cartan adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah

disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juni 2013
Ainol Yaqin
NIM G74080001

vii

ABSTRAK
AINOL YAQIN. Metrik Einstein (Anti-) Self-Dual Berdimensi Empat dengan
Metode Cartan. Dibimbing oleh HUSIN ALATAS dan M. FAKHRUL ROZI
ASHADI.
Persamaan medan gravitasi dapat dirumuskan dengan differential forms
(differential geometry), yang menggambarkan gravitasi sebagai manifestasi
kelengkungan ruang-waktu. Kelengkungan ruang-waktu tersebut dikarakterisasi
oleh metrik yang memenuhi persamaan medan gravitasi. Dengan differential
forms dapat dirumuskan persamaan (anti-) self-dual Einstein, yang merupakan
modifikasi dari struktur Cartan dalam basis (anti-) self-dual. Dalam empat

dimensi, metrik dapat dikelompokkan sebagai self-dual dan anti-self-dual.
Perhitungan (anti-) self-dual dari sebuah metrik dapat dilakukan dengan metode
tensor yang melibatkan simbol Christoffel. Tetapi, perhitungan metrik (anti-) selfdual dengan persamaan (anti-) self-dual Einstein lebih sederhana dari pada
perhitungan dengan simbol Christoffel.
Kata kunci: (anti-) self-dual, differential forms, differential geometry, simbol
Christoffel, struktur Cartan

ABSTRACT
AINOL YAQIN. (Anti-) Self-Dual Einstein Metric Four Dimention with Cartan
Method. Supervised by HUSIN ALATAS and M. FAKHRUL ROZI ASHADI.
Gravitational field equation can be formulated in differential forms
(differential geometry), which describes gravity as a manifestation of the
curvature of space-time. Curvature of space-time is characterized by a metric that
satisfies the gravitational field equation. With differential forms it can be
formulated the (anti-) self-dual Einstein equation, which is a modification of the
Cartan structure in (anti-) self-dual basis. Calculation of (anti-) self-dual metric
with (anti-) self-dual Einstein equation is simpler than the calculation using
Christoffel symbols.
Keywords: (anti-) self-dual, Christoffel symbols, differential forms, differential
geometry, Cartan structure

METRIK EINSTEIN (ANTI-) SELF-DUAL BERDIMENSI
EMPAT DENGAN METODE CARTAN

AINOL YAQIN

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Fisika

DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR

2013

vii

Judul Penelitian : Metrik Einstein (Anti-) Self-Dual Berdimensi Empat dengan
Metode Cartan
Nama
: Ainol Yaqin
NIM
: G74080001

Disetujui oleh

Dr. Husin Alatas
Pembimbing I

M. Fakhrul Rozi Ashadi, S.Si, M.Si
Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr. Akhiruddin Maddu, M.Si
Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

vii

PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan
hidayahnya, penulis dapat menyelesaikan usulan penelitian yang berjudul “Metrik
Einstein (Anti-) Self-Dual Berdimensi Empat dengan Metode Cartan”. Hasil
penelitian ini sebagai syarat untuk melakukan seminar hasil pada Departemen
Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor.
Dalam penulisan karya ilmiah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak,
oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Dr. Husin Alatas dan M. Fakhrul Rozi Ashadi, S.Si, M.Si selaku dosen
pembimbing skripsi
2. Ayah, ibu dan semua keluarga besar yang selalu memberikan doa, nasehat,
semangat, motivasi dan kasih sayang kepada penulis
3. Bapak Moh. Nur indro, M.Sc dan Bapak Dr. Akhiruddin Maddu, M.Si sebagai
dosen penguji, Bapak Hanedi Darmasetiawan, M.S selaku editor, beserta
semua dosen dan staff Departemen Fisika IPB

4. Teman-teman fisika 45, 46, 47 yang membantu dan memberi semangat dan
motivasi kepada penulis
Selanjutnya, penulis menyadari bahwa penelitian ini masih jauh dari
sempurna, sehingga kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan .
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Juni 2013
Ainol Yaqin

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

viii

DAFTAR GAMBAR

viii

DAFTAR LAMPIRAN

viii

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

1

Perumusan Masalah

1

Hipotesis

2

Manfaat Penelitian

2

Ruang Lingkup Penelitian

2

TINJAUAN PUSTAKA

2

Manifold

2

Tangent dan Cotangent Space

3

Medan Vektor dan 1-Form

4

Tensor

5

Differential Forms

8

Struktur Cartan
METODE

10
10

Waktu dan Tempat Penelitian

10

Bahan dan Alat Penelitian

10

Metode Penelitian

11

HASIL DAN PEMBAHASAN

11

Curvature 2-Forms dan Persamaan Medan Einstein

11

Hodge Dual 2-Forms dalam 4-dimensi

12

Metrik (Anti-) Self-Dual 4-dimensi dengan Differential Form

14

Metrik dan Simbol Christoffel

19

SIMPULAN DAN SARAN

20

Simpulan

20

Saran

20

DAFTAR PUSTAKA

21

vii
LAMPIRAN

22

RIWAYAT HIDUP

39

DAFTAR TABEL
1 p-forms pada ℝ2
2 p-forms pada ℝ3

8
8

DAFTAR GAMBAR
1 Sebuah kurva parametrik
2 Sebuah kurva terdeformasi, dengan ujung P dan Q tetap

26
27

DAFTAR LAMPIRAN
A Aturan Penjumlahan Einstein
B Manifold
C Persamaan Medan Gravitasi
D Perhitungan Metrik

23
24
30
32

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Sebelum teori relativitas umum (TRU) diperkenalkan oleh Einstein pada
tahun 1915, mekanika Newton dan hukum gravitasi Newton digunakan untuk
menganalisis orbit planet. Fenomena gerak benda-benda langit khususnya planet
yang mengitari matahari menempuh lintasan elips. Gravitasi Newton berhasil
menerangkan interaksi gravitasi antara benda-benda langit tersebut dengan ketelitian tinggi, tetapi hukum gravitasi Newton gagal menghitung gerak presisi planet
Merkurius.1,2
Pada tahun 1915, Einstein3 mengemukakan idenya tentang gravitasi (teori
relativitas umum). Ia mengemukakan saran yang cukup revolusioner bahwa gravitasi bukanlah seperti gaya-gaya yang lain, tetapi gravitasi merupakan efek dari
kelengkungan ruang-waktu karena adanya penyebaran massa dan energi dalam
ruang-waktu tersebut. Tahun 1916, Einstein3 mempuplikasikan persamaan medan
gravitasi yang disebut juga persamaan medan Einstein. Dalam TRU, waktu merupakan faktor yang juga harus diperhitungkan. Kelengkungan ruang-waktu tersebut
dikarakterisasi oleh sebuah metrik yang memenuhi persamaan medan gravitasi.
Persamaan medan tersebut dapat diperoleh dengan prinsip aksi, dengan
melakukan variasi terhadap tensor Ricci dari simbol Christoffel yang diturunkan
dari tensor metrik.4,5
Pada penelitian ini persamaan medan gravitasi akan dirumuskan kembali
dengan metode Cartan atau disebut juga differential forms yang merupakan
modern differential geometry. Dalam differential geometry, ruang-waktu diperkenalkan sebagai suatu differentiable manifold berdimensi empat. Dalam dimensi
empat, metrik dapat dikelompokkan menjadi metrik self-dual dan anti-self-dual.
Metrik (anti-) self-dual diperoleh dari perhitungan tensor Weyl yang dapat
dikelompokkan dalam bagian self-dual dan anti-self-dual. Tetapi, dalam
penelitian ini, metrik (anti-) self-dual akan dihitung menggunakan struktur Cartan
yang dinyatakan dalam basis-basis self-dual dan anti-self-dual.

Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk memperkenalkan aplikasi modern differential
geometry dalam relativitas umum. Yaitu, menurunkan persamaan medan Einstein
serta menghitung sebuah metrik berdimensi empat yang bersifat self-dual dan
anti-self-dual.

Perumusan Masalah
Menghitung persamaan medan gravitasi dengan differential forms,
mendapatkan rumusan metrik self-dual dan anti-self-dual 4-dimensi, serta
membandingkannya dengan metode yang melibatkan penurunan simbol
Christoffel /koneksi Affine.

2
Hipotesis
Metrik Einstein self-dual dan anti-self-dual dapat dirumuskan secara lebih
sederhana dengan menggunakan differential forms dibandingkan perhitungan
dengan simbol Christoffel.

Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah perhitungan persamaan medan Einstein
dan (anti-) self-dual dari sebuah metrik dengan differential forms. Penelitian ini
dapat menambah perbendaharaan pengetahuan tentang differential geometry dan
gravitasi sebagai kelengkungan ruang-waktu.

Ruang Lingkup Penelitian
Penelitian ini melingkupi perhitungan matematis menggunakan differential
forms untuk memperoleh persamaan medan Einstein dan (anti-) self-dual Einstein
serta perhitungan (anti-) self-dual dari sebuah metrik secara analitik. Metrik yang
dihitung dikhususkan pada metrik yang merupakan (anti-) self-dual.

TINJAUAN PUSTAKA
Manifold
Sebuah manifold M secara lokal adalah ruang yang terlihat seperti ruang
Euclidean. Artinya, manifold merupakan ruang topologi yang secara lokal dapat
dipetakan satu-satu pada ruang euclidean.4 Secara formal, manifold didefinisikan
segagai berikut.
Definisi 2.15 Sebuah manifold n-dimensi (M) memenuhi kondisi:
(i) M merupakan ruang Hausdorff
(ii) untuk setiap pemetaan x dari sub-himpunan U ⊂�M yang merupakan
himpunan buka (open set) dan x : U → ℝ, adalah homeomorfisme ke subhimpunan buka (open subset)
ℝ .

Sebuah ruang topologi M disebut Hausdorff jika setiap pasangan ,
,
terdapat lingkungan buka (open neighborhoods) ∋ dan ′ ∋ memenuhi
′
= ∅. Himpunan bagian U dari ℝn disebut buka (open) jika setiap titik p di
U terdapat sebuah bilangan positif sedemikian sehingga setiap titik u di ℝn
dengan jarak dari p berada di U:
dan

−

<

.

(1)

3
Jika
ℝ dan
ℝ , maka sebuah pemetaan : → disebut kontinu
pada sebuah titik
jika titik-titik di dekat p dipetakan ke titik-titik
dekat ( ). Secara matematik dituliskan:
dan

−

( )− ( ) < .

<

(2)

dengan , > 0. Kemudian disebut kontinu jika kontinu pada setiap titik di .
Jika : → kontinu dan bijektif, serta −1 : → juga kontinu maka
disebut homeomorfisme, dan disebut homeomorfis. Dan fungsi f disebut
differentiable manifold jika turunan ke-∞ ada ( ∞ ).5
Tangent dan Cotangent Space
Ditinjau sebuah titik di ℝ3 pada sebuah permukaan bola. Koordinat titik p
dapat dinyatakan dengan vektor seperti persamaan (1) yang dinyatakan dalam
basis-basis koordinat kartesian. Basis koordinat tersebut dapat didefinisikan
seperti persamaan (4), dengan arah ∂/∂r , / , / � , saling tegak lurus. Dan
basis ortonormal diberikan pada persamaan (5). 6
� = sin cos � + sin sin � + cos
�
=
= sin cos � + sin sin � + cos
=

�

=

�

= cos cos �

�
= − sin sin �
�
1
,
=
= ,

+ cos sin �

+ sin cos �
�

=

1
sin

(3)
(4a)

− sin

(4b)
(4c)
(5)

�

Dari uraian di atas, vektor dalam ruang euklidean 3-dimensi dapat dituliskan
dalam persamaan (6), dengan , , adalah vektor satuan pada arah x, y, z, dan
, , � vektor satuan pada arah , , �. Secara umum untuk ℝn persamaan (6)
dapat dituliskan dalam bentuk persamaan (7) dengan
didefinisikan sebagai
n
vektor tangensial pada sebuah titik di ℝ , yang secara eksplisit diberikan oleh
persamaan (8)
=

+

+

atau
=
=

=

+

+

� �

(6)
(7)
(8)

Dengan demikian, vektor v pada
dapat dinyatakan dalam basis
seperti
persamaan (8) yang membentuk ruang vektor yang disebut tangent space T(p)(M).

4
Definisi 2.24 Tangent space T(p)(M) adalah ruang vektor yang direntang (span)
oleh tangent vector (vektor tangensial) di p untuk semua kurva yang melewati
.
Dalam aljabar linier sering dipelajari ruang yang merupakan pemetaan linier
dari sebuah ruang vektor V. Ruang vektor hasil pemetaan tersebut disebut dual
ruang vektor V yang dinotasikan V*. Pada ruang vektor V terdapat vektor-vektor
v, sedangkan V* terdapat kovektor-kovektor ω.4
Definisi 2.34 Jika
merupakan basis-basis sebuah ruang vektor V, maka �
merupakan basis-basis V* sedemikian sehingga
� ,

=

,

(9)

Dengan menggunakan persamaan (9), duality antara sebuah vektor =
dan 1-form � = � dapat dituliskan seperti persamaan (10). Dan komponen dari vektor dan 1-form � dapat dituliskan dalam persamaan (11) dan (12).
�,

=�
=
= � , =�
=
,� =

�

(10)
(11)
(12)

Definisi 2.44 Diberikan sebuah differentiable manifold M, jika T(p)(M) adalah
tangent space pada
maka cotangent space (∗ ) ( ) didefinisikan sebagai
dual dari T(p)(M).

Medan Vektor dan 1-Form
Pada bagian sebelumnya, telah dijelaskan bahwa terdapat pemetaan pada
T(M) dan T*(M). Pemetaan V yang didefinisikan pada setiap p disebut medan
vektor (vector field). Sedangkan pemetaan V* yang didefinisikan pada setiap p
disebut medan kovektor atau disebut juga 1-form.
Dalam koordinat lokal, dapat dituliskan basis-basis
=∂ ∂
untuk
∗
( ). Sehingga medan vektor dan 1-form dapat
T(p)(M) dan � =
untuk
dituliskan seperti persamaan (13) yang memenuhi transformasi koordinat
→
′ seperti persamaan (14) serta basis koordinat persamaan (15). Sehingga berlaku
invarian yang dinyatakan dalam persamaan (6). Dari persamaan (16) diperoleh
bentuk delta kronecker yang memenuhi transformasi koordinat, persamaan (17).4,6
=

(13a)

�=

(13b)

′ =

′ =

′
′

(14a)
(14b)

5
=

′

→ ′

�→

′

=

′

′ =
′

′ =

′

(15a)

′
′

=

′
′

(15b)

′

=

=

(16a)

=

=�

(16b)

′

(17)

Tensor
Tensor merupakan generalisasi dari skalar dan vektor. Jika terdapat tensor
dengan dim(Q) = 1 maka q disebut vektor, dan jika dim(Q) = 0 maka q
disebut skalar. Seperti yang dijelaskan sebelumnya, sebuah vektor secara umum
dapat dituliskan dalam komponen vektor dan basis vektor seperti persamaan (7)
dengan transformasi mengikuti persamaan (13a) dan persamaan (14a). Vektor
dapat menggambarkan posisi atau koodinat sebuah titik. Dalam relativitas umum,
terdapat dua jenis sistem koordinat, yaitu koordinat kovarian dan kontravarian.
Untuk membedakan dua sistem koordinat ini, digunakan indeks atas untuk
kontravarian dan indeks bawah untuk kovarian. Untuk sebuah vektor kovarian dan
kontravarian berlaku transformasi:6
∶

vektor kovarian

vektor kontravarian ∶

′

( )=

′

( )=

′
′

( )

(18a)

( ) ( )

(18b)

Dari tangent dan cotangent space, dapat dibentuk cartesian product seperti
persamaan (19). Jika ditinjau suatu pemetaan multilinier ∶
→ ℝ, persamaan
(20) maka pemetaan multilinear T tersebut dinamakan tensor tipe ( , ) dengan p
jumlah indeks atas dan q jumlah indeks bawah. Dengan menerapkan persamaan
(18), pada tensor berlaku aturan transformasi seperti persamaan (21).
=
�1 , … , � ,
′ …

1, … ,
…

+

=

′

,…,

× ⋯×

−faktor

⋯

=

′

×

∗

( ) × ⋯×

∗

( )

(19)

�1 , … , � , 1 , … , , … ,
+
�1 , … , � , 1 , … , , … ,

(20)

′

−faktor

⋯

′

…

…

(21)

6
Operasi pada Tensor
1. Kontraksi
Jika T adalah tensor jenis ( + 1, + 1) , sebuah tentor S jenis ( , ) dapat
diperoleh dengan kontransi indeks atas pertama dan indeks bawah pertama:
…

=

…

…

(22)

…

Kontraksi juga dapat dilakukan pada urutan indeks yang lain.
2. Simetri dan Anti-simetri
Sebuah tensor jenis ( , ) disebut simetri jika memenuhi persamaan (23), dan
disebut anti-simetri jika memenuhi persamaan (24).4,6
…
…

…
…

1
…
semua permutasi indeks … dari
…
!
1 penjumlahan ganti tanda semua permutasi
=
…
… dari
!
…

=

1
2!
1
=
2!

contoh ∶
3.

=

+
+

salah satu tensor berjenis

indeks

+

… (24)

−

Hukum Quosient

Sebuah tensor jenis

(23)

diperoleh dari perkalian luar dua buah tensor. Jika
maka tensor yang lain berjenis

. Contoh:

=
jika jenis tensor T

1
0
1
.
maka jenis tensor W haruslah
dan jenis V
3
2
1

Tensor Metrik
Tensor metrik digunakan untuk menggambarkan jarak ds antara dua titik
yang berdekatan (Lampiran B). Jika diberikan metrik:
d

2

tensor metrik dari metrik (25):

g

=d

2

−d

1
0
= 0
0

2

−d

2

−d

0
−1
0
0

0
0
−1
0

0
0
0
−1

2

(25)

(26)

7
Secara umum, g

simetri:
g

=g

(27)

Tensor metrik dapat digunakan untuk menaikkan atau menurunkan indeks:
=g
=g
dengan g

(28a)
(28b)

adalah tensor metrik kontravarian.9,11

Curvature Tensor : Tensor Riemann
Pada Lampiran B, tensor Riemann telah diturunkan dengan parallel
adalah koefisien koneksi atau
transport seperti persamaan (29), dengan Г
simbol Christoffel.

Kesimetrian tensor Riemann:6

=Г

,

−Г

,

+Г Г

=−
=−
=
+

−Г Г

+

(29)

(30a)
(30b)
(30c)
(30d)

=0

Tensor Ricci dan Skalar Ricci
Tensor Ricci diperoleh dengan kontraksi indeks pertama dan ketiga pada
tensor Riemann seperti persamaan (31a), dan skalar Ricci didefinisikan dalam
persamaan (31b). Jika tensor Riemann nol, maka permukaan yang digambarkan
datar (flat). Jika tensor Riemann nol, maka tensor Ricci nol yang mengakibatkan
skalar Ricci juga nol. Tetapi penyataan tersebut tidak berlaku sebaliknya.1,6,7
=
=g

(31a)
(31b)

Tensor Weyl
Tensor Weyl merupakan salah tensor fundamental yang juga dapat
menggambarkan ruang-waktu akibat medan gravitasi. Tensor Weyl dalam ndimensi didefinisikan dalam persamaan (32), dengan > 3. Pada tensor Weyl
berlaku kesimetrian seperti tensor Riemann, persamaan (33).9
=

−

1
−2

−1

−

−2

−

+
−

(32)

8
=−
=−
=
+

+

(33a)
(33b)
(33c)
(33d)

=0

Differential Forms
Differential forms pertama kali dikembangkan oleh E. Cartan pada awal
abad 20. Metode ini mampu memadukan berbagai konsep dalam fisika
matematika, seperti: cross-product , divergensi dan curl, orientasi arah manifold
dan integrasi manifold, Teorema Stokes dan Gauss, serta syarat integrasi dari
sistem persamaan diferensial parsial.10
Exterior Product dan Hodge Duality
Dari penjelasan sebelumnya, 1-form merupakan dual dari vektor. Dan 2forms dapat didefinisikan dari perkalian anti-simetri seperti persamaan (35).
Perkalian anti-simetri ini sering disebut wedge product atau exterior product. Jika
diperhatikan, 1-form merupakan diferensial elemen garis sedangkan 2-forms
merupakan diferensial dari elemen luas. Dengan analogi yang sama 3-forms
merupakan diferensial elemen volume. Beberapa p-forms di ℝ2 dan ℝ3 dirangkum
dalam Tabel 1 dan Tabel 2.6
∧

⊗

=

−

⊗

(34)

Dari Tabel 1 dan Tabel 2, bilangan bebas p-forms sama dengan bilangan
bebas (n-p)-forms, untuk ruang n-dimensi. Keadaan ini tidak terbatas pada kasus
dalam tabel, dan hal ini memberikan kemungkinan sebuah pemetaan antara dua
ruang p-forms dan (n-p)-forms. Pemetaan ini disebut operator Hodge star yang
Tabel 1 p-forms pada ℝ2
p

Basis p-forms

Kedimensian

0
1
2

1
dx, dy
dx∧dy

1
2
1

Tabel 2 p- forms pada ℝ3
p
0
1
2

3

p- forms
f(x0,x1,x2)
A0 dx0 + A1 dx1 + A2 dx2
1
2
∧ 2+
∧
+
( , , )

0

∧

1

∧

0
0

∧

2

1

Basis p- forms
1
dx0, dx1, dx2
1
∧ 2,
2
∧ 0
0
∧ 1
0
∧ 1∧

Kedimensian
1
3
3

2

1

9
dirumuskan seperti persamaan (36) atau persamaan (37).4,6,10

∗

1

dengan

∧

2

∗

∧⋯∧

1⋯

− forms =
1
=
− !

−

1⋯

− forms

+1 ⋯

(35)
∧⋯∧

+1 permutasi genap
= −1 permutasi ganjil
0 indeks lainnya

(36)

(37)

Operator Hodge star diterapkan pada basis-basis forms untuk n = 2,
∗1=
∗

2!
=

0

=

∧

=
=

0

∧

∗

∧

∗

=

=−

01 1

=1

.

Jika kita gunakan operator Hodge star sekali lagi, maka
∗∗ 1 = 1
∗∗
=−

∗∗
∗∗

Untuk n = 3,

dan

∗1=
∗
=
∗∗ 1 = 1
∗∗
=
∗∗
∧

∧

∧

,
∧

∧

∗
∗

dst.

∗∗
=

∧
=
=− .

=
∧

∧
∧

,
∧

∧
∧
=

∗∗

= 1.
dst.

=

Secara umum untuk sebuah p-forms,
∗∗ � = (−1)

( − )

�

(38)

Duality sebuah tensor diperoleh dengan menerapkan operator Hodge star,
→

∗

=

1
2

(39)

Exterior Derivative
Terdapat relasi antara 1-form dan 2-forms, 2-forms dan 3-forms, yang
didefinisikan dengan operator exterior derivative d. Operator tersebut memetakan
secara linear p-forms ke (p+1)-forms. Secara umum, jika diberikan p-forms seperti

10
persamaan (40) maka exterior derivative dari p-forms tersebut menghasilkan
persamaan (41). 4,6,10
�=

1⋯

1⋯

1

( )

∧

∧ ⋯∧

(40)

∧⋯∧

(41)

� ∧ � = � ∧ � + (−1) � ∧ �

(42)

�=

1

Operator exterior derivative memenuhi sifat:
(i) memetakan 1-form menjadi 2-forms, 2-forms menjadi 3-forms dsb.
(ii) Poincare lemma 2 � =
� =0
(iii) jika � sebuah p-forms dan � sebuah q-forms berlaku:
Struktur Cartan

Struktur Cartan pertama dan kedua, dirumuskan dalam persamaan (43).
Notasi
merupakan koneksi 1-form dan
merupakan curvature 2-forms.4,6,10
� =−
∧� ,
=−
,
= � +� ∧�

(43a)
(43b)
(43c)

METODE
Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan pada bulan Februari 2012 sampai bulan Februari
2013. Tempat penelitian dilakukan di laboratorium Fisika Teori dan Komputasi,
Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor (IPB).

Bahan dan Alat Penelitian
Pada penelitian kali ini alat-alat yang digunakan berupa alat tulis
(kertas/buku tulis, pena, pensil), laptop/komputer milik pribadi dengan processor
Intel (R) Atom (TM) CPU N270 dengan memori 1GB dan menggunakan
Windows 7 Professonal.

11
Metode Penelitian
Studi Pustaka
Pada penelitian ini studi pustaka dilakukan untuk memahami prinsip aksi,
differential forms, serta mengnalisis persamaan Medan Einstein/manifold Einstein.
Penurunan Persamaan Medan Einstein
Proses ini dilakukan untuk membandingkan penurunan persamaan medan
Einstein dengan koneksi Levi-Civita dan differential forms.
Perhitungan Metrik (Anti-) Self-Dual
Proses ini dilakukan untuk membandingkan perhitungan metrik (anti-) selfdual dengan simbol Christoffel dan differential forms.

HASIL DAN PEMBAHASAN
Curvature 2-Forms dan Penurunan Persamaan Medan Einstein
Pada Lampiran C, persamaan medan Einstein diturunkan dengan kalkulus
variasi. Persamaan medan tersebut dapat diperoleh dengan cara berbeda yang akan
dihahas berikut ini. Dari struktur Cartan, curvature 2-forms dinyatakan dalam
persamaan (44), dengan
dapat dinyatakan dalam tensor dan basis 2-forms
seperti persamaan (45).
= �
=1 2

+�

∧�
� ∧�

(44)
(45)

Dalam kasus lokal
dapat dinyatakan dalam persamaan (47), yang merupakan tensor Riemann seperti persamaan (B.41) pada Lampiran B.
= � +� ∧�
= (Γ � ) + Γ Γ � ∧ �
= Γ
∧� +Γ
� +Γ Γ � ∧�
=Γ , � ∧� +Γ Γ � ∧�
= 1 2 Γ , −Γ , + Γ Γ
−Γ Γ
= Γ , −Γ , + Γ Γ
−Γ Γ

� ∧�

(46)
(47)

Jika operator d diterapkan pada persamaan (44), diperoleh persamaan (48).
Persamaan (49) dan persamaan (48) dapat dituliskan menjadi persamaan (50)
yang sering disebut identitas Bianchi dalam bentuk curvature 2-forms.

�

∧

= � ∧� −� ∧ �
=� ∧ � +� ∧� ∧ �

,

(48)
(49a)

12
∧�

= �
=

∧�
∧�

+� ∧�
−� ∧

∧�

(49b)
(50)

Jika operator d diterapkan pada persamaan (45), akan diperoleh persamaan
(51). Untuk koordinat lokal,
= 0 , sehingga dari persamaan (51) dapat
dituliskan menjadi persamaan (52) yang dapat dinyatakan juga dalam turunan
kovarian seperti persamaan (53).
=1 2
,
;

,

+
+

,
;

∧
+
+

,
;

∧

=0
=0

(51)
(52)
(53)

Dengan mengontraksi ν dan , persamaan (53) dapat dituliskan menjadi
persamaan (54),
dinamakan tensor Ricci kovarian. Jika dikontraksi lagi dan
ρ, diperoleh persamaan (55) dengan merupakan skalar dari tensor Ricci atau
kelengkungan Gauss.
;
;

+
−

;
;

−

−

=0
=0
;

;

(54)
(55)

Persamaan (55) dapat dituliskan dalam persamaan (56), dengan
;
disebut tensor Einstein. Dengan syarat kelengkapan konstanta kosmologi
persamaan (56) dapat dituliskan menjadi persamaan (58), yang merupakan
persamaan medan Einstein untuk ruang vakum seperti persamaan (C.5) pada
Lampiran C.
;

=0

(56)

dengan
;

=
;

− 1 2g
+ �g = 0

(57)
(58)

= �g

(59)

Pada persamaan (56),
berbanding lurus dengan g ,
= g dan = 4
untuk empat dimensi dengan k konstanta kesebandingan. Sehingga persamaan
(58) dalam 4-dimensi dapat disederhanakan menjadi:

Hodge Dual 2-Forms dalam 4-dimensi
Didefinisikan basis-basis 1-form dalam 4-dimensi, �0 , �1 , �2 , �3 , dan basis
2-forms: �0 ∧ �1 , �0 ∧ �2 , �0 ∧ �3 , �1 ∧ �2 , �1 ∧ �3 , �2 ∧ �3 . Jika Hodge star
dioperasikan pada basis-basis 2-forms di atas, diperoleh

13
∗ �0 ∧ �1 = �2 ∧ �3
∗ �0 ∧ �3 = �1 ∧ �2
∗ �1 ∧ �3 = − �0 ∧ �2

∗ �0 ∧ �2 = − �1 ∧ �3
∗ �1 ∧ �2 = �0 ∧ �3
∗ �2 ∧ �3 = �0 ∧ �1

(60)

Hodge star memetakan secara linier basis-basis 2-forms, ∗ ∶ Λ2 ( ) →
Λ2 ( ) . Hodge star merupakan operator dengan nilai eigen ±1 , Λ2 ( ) →
Λ2+( ) ⊕ Λ2−( ), Λ2+( ) disebut self-dual forms dan Λ2−( ) anti-self-dual forms.
Sehingga Λ2 ( ) mempunyai basis-basis:
1
0
1
2
3
± =� ∧� ±� ∧�
2
0
2
3
1
± =� ∧� ±� ∧�
3
0
3
1
2
± =� ∧� ±� ∧�

(61a)
(61b)
(61c)

tanda (+) untuk self-dual dan (–) anti-self-dual.
Dengan menerapkan operator Hodge star pada tensor Riemann
,
diperoleh dual tensor Riemann seperti persamaan (62) dan (anti-) self-dual tensor
Riemaan persamaan (63).
1
2
=±

∗

=

∗

′ ′

(62)

′ ′

(63)

Dari uraian di atas, tensor Riemann dalam geometri dapat dinyatakan sebagai
pemetaan pada 2-forms, ∶ Λ2 ( ) → Λ2 ( ) dengan R dapat dinyatakan dalam
blok matrik,12
(64)

=
dengan
∶ Λ2+
∶ Λ2+

Didefinisikan

→ Λ2+
→ Λ2−
+
−

dengan

+

+

−

∶ Λ2−
∶ Λ2−

,
,

=
=

→ Λ2+
→ Λ2−

1
− Tr
3
1
− Tr( )
3

(65a)
(65b)

= tracefree tensor Weyl. 4,12

Definisi 4.1 Jika − = 0, sebuah metrik g adalah self-dual dan Jika
sebuah metrik g adalah anti-self-dual

+

= 0,

Syarat self-dual dan anti-self-dual sebuah metrik dapat dihitung dengan cara
berbeda tanpa harus menghitung tensor Weyl. Yaitu, dengan menggunakan

14
persamaan (anti-) self-dual Einstein berikut. Analog dengan persamaan (43a),
persamaan koneksi dapat dituliskan menjadi persamaan (66). Sedangkan
persamaan medan Eintein dapat dituliskan menjadi persamaan (67) dengan �
adalah konstanta kosmologi dan
simbol Levi-Civita. Persamaan (67)
selanjutnya disebut persamaan (anti-) self-dual Einstein karena memenuhi syarat
Einstein dan syarat (anti-) self-dual. Persamaan (66) dan (67) akan memenuhi
sebuah mertik self-dual jika = − dan anti-self-dual jika = +.
=−
∧
+
∧

, = 1,2,3

(66)
(67)

=�

Metrik (Anti-) Self-Dual 4-Dimensi dengan Differential Forms
Pada bagain ini, sebuah metrik akan dihitung syarat self-dual dan anti-selfdual dengan persamaan (66) dan (67). Didefinisikan sebuah metrik13 berikut:
2
2

=

0

1−

2

+

1 0

+

2

(

−

0

0

dengan 0 , 1 , 0 , 1 merupakan fungsi dari dan .
Dengan memilih 0 = , 1 = , 2 = , dan
metriknya dapat dinyatakan dalam bentuk 2 = g
merupakan matrik 4×4 seperti persamaan (69).

g

=

2 −2

0
0
0

0
−2

0
0

�)2 + ( 1 −
0 1− 1 0
4

+
−

0

…(68)

0
0
1)
−2

−2

�)2

= � , maka persamaan
. Tensor metrik g

0
0
(

1

−
( 0+

−2

1)

(69)
−2

dengan 2 = 0 1 + 1 0 dan = 0 0 + 1 1 .
Selanjutnya metrik dihitung dengan melibatkan struktur Cartan.
Didefinisikan basis 1-form ( � ) seperti persamaan (70), dan tensor metrik
persamaan (71).
� =

0 1

�2 =

0

0

� =
1

�3 =

0 1

0 1
1
0

−

−

−

−
−

1−

1
1 0

(70a)
1

1 0

0

2

2

70b
�

1
2
1 0
1 �
1
2
1 0

(70c)
(70d)

15
1
0
=
0
0

0
1
0
0

0
0
1
0

0
0
0
1

(71)

Pada proses perhitungan dengan metode Cartan, terlebih dahulu dihitung koneksi
1-form ( ) dengan persamaan (66), diperoleh persamaan (72) untuk basis selfdual dan persamaan (73) untuk basis anti-self-dual. Selanjutnya curvature 2-forms
dihitung dengan persamaan (67) yang akan menghasilkan persamaan (anti)-selfdual Einstein untuk metrik (68). Metrik (68) disebut anti-self-dual jika memenuhi
persamaan (74) dan self-dual jika memenuhi persamaan (75).
12
+
13
+
23
+

=−

=−

31
+

=−

21
−

=−

32
−

=−

12
−

13
−

23
−

=−

21
+

=−

=−

=−

32
+

31
−

=

3
3

2

3

3

4

=−
2

3

1

=

0

2

=

0

3

=

1

4

=

1

=

−

�0 +
1
2

−

4

+

�0 −

2

3

dengan

1
2
1
4−
2
4

0

1

0

1

2

+

3

2

+

3

3

2
2

+

3

2

+

1
2
3

�1

0
1

−

0
0

−

1
1

−

�2 +

1

3

1

3

�2 +

3

1
2
1
1−
2
+

1

3

�2 −

�1
0

−

�2 +

−

1
2

1

3

+

3

2

+

3

�3 (72a)

�3 (72b)

(72c)

2

+

2

+

3

2

+

1
2

�3

3

(73a)
�3 (73b)
(73c)

0

,

1

=

0

,

2

=

0

,

3

=

1

,

4

=

1

−

1

−

0

−

1

−

0
0
1
0
0
1
1
1

Syarat anti-self-dual dari metrik (68) diberikan dalam 10 persamaan berikut.
3
− 4+
2

2
6

1
4−
2

2

−

+

=0

7
2
7

2
2

1
2
1
1+
2
4

−

+
2

3

+

2+

−

3
3

4

4

1 1
1

−

−

1−

1
2

6

+

7

+

1

3 1
2
3 1

+

2

6

4

−

1
2

2

+

3

(74a)

16
2
3+

4

8−

2

−

4

7

−

1
2

10 +
2

+

7

=�

+

2

−

1
4−
2

7

2

2
1

6
1

7

+

+

+

+

−

1
2

2

1
2

−

2

3

4 0

3
2

1

6

2
1+

7

+

−

1
2

−

3
2

4

+

3
2

4

6

2

−
2
6

4

−

1
2

−

7

= −�
2

+

2

+

+

3

2 0

+

+

3

2

7
2

−

7

=0
2

−

7

1
4−
2

2

+

−

−

+

4
2
7
2

2

6

9

4

1
2
1
1−
2
1
1+
2
1

+

2
4

6

2

2

−

+

1

2

−

1
2

2

+

1
2

5

+

1 0

+

+

6

+

1
2

−

1 0

+

+

+

2 1

3

6

+

3
+
2

3

8

−

6

+

−

−

2

6

7

3 0

3

+

=0

−

−

1
2

−

1
2

2

+

3

(74b)

++

2
1

6

6

+

−

+

3

1
2

2

+

3

(74c)

7

1

6

2
2

2

3

2

+

4

6

2

2

2

2 0

1−

2 1

3

+
2

1

3

+

−

1 1

3

2

3 0

3
2

−

0−

4

−

2+

−

1

1
12 +
2

4

3

3

2

1
2
1
1−
2
4

4 1

−

2

+

−

2

4

3 0

3

2+

−

3

2

−

2

1
2
1
1−
2
4

7
2

−

1
2

4 1

4

=0
2

3

2

+

1
2

−

1−

+

1 0

+

2

2 1

3

2+

1
2

4

6

2

3
2

+

2

3 0

2

=�

−

+

3

3
2

+

2

1
2
1
4−
2

1

7
2

−

1
2

11

2

3
2

+

1
2

−

2

+

3

(74d)

3

3 1
2
3 1

−

4

6

2

−

1
2

2

+

3

(74e)

7
4 1
2
4 1

+

1
1−
2
1 0

−

4

6

2
2

4

+

−

1
2

2

+

3

(74f)

3

1

−

1
2

2

+

3

(74g)

17
2

3
2

1−

6

2+

1

+

2
1

6

1−

2

−

2
1
4−
2

2

+

1
2

1
2

2

−

1
2

2

+

11

10

4 0

3

=�

4

2

0 −

4

3

+

+

3

+

2

+

3

4

+

−

2 0

2

2+

2

4

1

1
2

−

5

−

4

7

+

6
1

−

+

2

7

=�

4

3

4
2

−

4

−

2

−

2

−

2

1
2

1
4

2

−

−

2 0

1

6

2

1
2

+

2

+

3

(74h)
(74i)

+

3

2

+

1
4

2

+

1 4

=�

2

3

(74j)

Syarat self-dual dari metrik (68) diberikan dalam 10 persamaan berikut.
−
4

2

3
2

6

4−

−

7

+

4

7

−

2

7

+

−

3
2

−

7

4

−

1
2

−

2
1

6

2
1

7

=�
2

−

3 0

3

+
2

1
2
1
4 −
2

1

7
2

= −�

1
2

11

+

3
2

+
=0

2
7

−

−

2

1

+
+

4

2

+

2+

−

−

1 1

3
2

2 1

3

2

2

1
1−
2

1
2

−

2

3

+

1

4

+

+

+

3

4

3 0

3

−

2 0
2

+

+

7

+

1

2

−

3 1

2

−

+

3 1

−

2

1
2

6

+

4

6

2

1
2

+

+

3

3

3

2

−

4

6

2

+

−

1
2

2

+

3

(75b)
1
2
5

2

+

1 0

+

6

+

−

2

3

1
2

2

+

3

2
1

6

+

1
2

2

+

3

(75c)
12

3

+

4 1

−

4

4 0

+

(75a)

−

1
2

2

+

6

+

7

1

+

2
2

2

4 1

1−

2

−

1
2

1
4−
2

6

1 0

4

1 1

3

3
+
2

1
2

2
6

2

4 0

3

+

3

−

+

10
2

+
2

1
2
1
1−
2
4

7
2

=0
1
3+ 8−
2

4

2+

2

+
+

2

2

1
2

2 0

−

2

6

1
2

2

+

3

(75d)

18
−

+
4

2

3
2

4 +

6

2

−

3
2

2

1
2

+

4

6

7

= −�
2

+

3

+

2

9

4

1
2
1
1+
2
4

7

+

+

2

1
2

2

+

−

1
4+
2

7

+

2

2

+

1
2
1
1+
2
1

4
2

+

−

3 0

3

7

+

+

1

6

+

7

2

1
1−
2

6

2

+

2
2

+
2

+

−

4

1

+

2
6

1 4

dengan

−

1
2

7

= −�

4

−

1

3 0

3

−

1
4

1
4+
2

7
5

1+

1
2

+

1
2

10

+

2

2
6

2

4
2

+

1

=

3

=

1

=

3

=

+

3

3

3 1

−

4

6

2

−

2
4 1

+

4

6

2

2

1
1+
2

6

2

2

0

0

1

1

3

1 0

−

4 0

11
4

3

+
−

2

1
4

4

2

=�

+

3

2

1

6

2
−

−

−

−

0

2
0

2
1

2
1

2

,

2

=

,

4

=

,

2

=

,

4

=

+

3

(75e)

−

2 0

+

1
2

+

3

(75f)
2

−

2

+

1
2

3

2

+

3

(75g)

2 0

1

6

2

−

1
2

2

+

3

75h
(75i)

+

1 4

+

1
2

1

=�
−

2

4 1

3

0−

1
2

7

2

2+

+

−

+

2

2

−

−

+

2

4
2

+
2

3

+

2

=0
3
2

2

2

3
−
4
2

+

1 0

−

1
2

+

3 1

+

−

2 1

=0
2

−

6

2 1

3

8

1−

1

3

+

2

1 1

3

+

+

6

4

3

2+

−

3

7
2

+

+

−

2

2

−

2+

1
2
1
1+
2
4

7
2

+

2

1
2

0

0

1

1

−

−

−

−

0

2
0

2
1

2
1

2

−

4

2

+

3

75j

19

=

0

1

=

1

3

=

0

5

1

=

0

=

0

1

+

1

−

1

0

−

0

1

1
1
0
2

1 =

0
2

0
2

3

=

0
2

1
2

0

5 =

0
2
0

7 =

1
2

9 =

1
2

1
2

11

=

1

0
2

=

0

1

=

0

2

0

+

1

−

0

0
1

=

0

0

,

=

0

1

4

,

=

1

1

6

,

2 =

1
2

0

0
2

,

4

0

,

6 =

,

8 =

,

10 =

=

1
2

1

2

2

0

1

1

−

−
−

−

1
1

2

2
1
2

1

1
2

0

2

2
0
2

1

1

−

2
0

1

−

0

2

−

0

2

1

−

1

−

2

−

0

2
0
2

0

−

1

−

2

,

1

−

1

2

−

−

0

0

−

−
−

,

12

=

0

+

1

0

1

0

+

1

0

−

0
2

0

1

−

−
−

−

0

0

1

0

1

1
2
1
2

0
2

1
2

1
2

1
0
2
1
1
2
1
2

0
2

0
2

0

0

1

0

1

Metrik dan Simbol Christoffel
Sebelum metode Cartan dikembangkan dalam fisika-matematika, sebuah
metrik dapat dihitung dengan metode tensor klasik diawali dengan mencari simbol
Christoffel/koneksi Affine, persamaan (B.25). Tensor metrik yang digunakan
dalam perhitungan ini diberikan oleh persamaan (69), dan basis-basis tensor
metrik (69) dituliskan sebagai berikut.
0

=

,

1

=

,

2

=

,

3

=

�

(76)

Setelah simbol Christoffel, dihitung tensor Riemann yang jika dikontraksi
akan diperoleh tensor Ricci untuk disubstitusi ke persamaan medan Einstein.
Tensor metrik (69) memiliki elemen tidak hanya pada diagonal utama. Jika simbol
Christoffel dihitung akan diperoleh lebih dari 12 buah termasuk simetrinya dan
tensor Riemann lebih dari 24 buah dengan simetrinya. Jika semua elemen matriks
ada, maka simbol Christoffel dihitunng lebih banyak lagi. Analisis kualitatif ini

20
dilakukan dengan membandingkannya pada perhitungan metrik Schwarzschild.
Metrik Schwarzschild hanya memiliki elemen diagonal pada tensor metrik.
Sehingga, jumlah simbol Christoffel yang dihitung pada metrik Schwarzschild
sebanyak 12 dan tensor Riemann 24 termasuk simetrinya.6,7
Jika metrik (68) dihitung dengan differential forms, persamaan (66) dan
(67), seperti yang telah dilakukan pada bagian sebelumnya; pertama dibutuhkan
enam perhitungan untuk memperoleh koneksi 1-form. Kemudian menghitung
curvature sebanyak enam buah sehingga diperoleh syarat (anti-) self-dual
Einstein. Perhitungan tersebut lebih mudah dan lebih efisien daripada perhitungan
dengan simbol Christoffel.

SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Metode Cartan yang sering disebut differential forms digunakan sebagai
pendekatan yang lebih formal dalam relativitas umum dengan merumuskan ruangwaktu sebagai differential manifold 4-dimensi. Metode Cartan dapat digunakan
untuk merumuskan persamaan medan Einstein. Hasil perumusannya sama seperti
yang diperoleh dengan kalkulus variasi. Persamaan medan Einstein memberikan
paradigma cukup menarik tentang gravitasi. Medan gravitasi muncul sebagai
gejala geometri belaka, yaitu sebagai manifestasi kelengkungan ruang-waktu.
Dengan differential form, dapat dirumuskan persamaan (anti-) self-dual
Einstein yang dapat digunakan untuk menghitung syarat self-dual dan anti-selfdual dari sebuah metrik. Persamaan tersebut diturunkan dari struktur Cartan yang
ditambahkan syarat (anti-) self-dual dengan operator Hodge dual. Berbeda dengan
metode tensor klasik yang membutuhkan perhitungan tensor Weyl dalam
menghitung syarat (anti-) self-dual dari sebuah metrik. Tensor Weyl bagian tensor
Riemann yang diperoleh dengan menghitung simbol Christoffel terlebih dahulu.
Sehingga jumlah perhitungan dengan differential forms dalam mencari syarat
(anti-) self-dual dari sebuah metrik lebih efisien dan lebih mudah daripada metode
tensor klasik yang melibatkan simbol Christoffel.

Saran
Pada penelitian ini hanya ditinjau persamaan medan gravitasi vakum. Saran
untuk penelitian selanjutnya, ada baiknya meninjau kasus yang melibatkan medan
elektromagnetik. Dalam hal ini diperhitungkan tensor momentum-energi
Maxwell.

21

DAFTAR PUSTAKA
1.
2.
3.
4.

5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

14.

Anugraha R. Teori Relativitas dan Kosmologi. Yogyakarta (ID): UGM Pr.
hlm 76-77. 2011.
Einstein A. Relativity, The Special and the General Theory. Lawson Robert
W, editor. London (GB): Routledge Classics. hlm 127-129. 2001.
Lorentz H.A, Einstein A, Minkowski H, Weyl H. The Principle of Relativity.
United States (US): Dover Puplications, Inc. hlm 117-196. 1923.
Eguchi T, Gilkey P.B, & Hanson A.J. Gravitation, Gauge Theories and
Differential Geometry. Amsterdam (NL): Nort-Holland Puplishing Company.
hlm 7-46. 1980.
Pressley A. Elementary Differential Geometry. London (GB): Springer
London Dordrecht Heidelberg. hlm 1-79. 2010.
Ryder L. Introduction to General Relativity. Cambridge (GB): Cambridge
University Press. hlm 63-316. 2009.
d’Inverno R.A. Introducing Einstein's Relativity. London (GB): Oxford
University Press. hlm 55-99. 1992.
Dirac P.A.M. General Theory of Relativity. New York (US): John Wiley &
Sons. hlm 24. 1975.
Weinberg S. Gravitation Principles and Aplications of The General Theory of
Relativity. New York (US): J Wiley. hlm 125-145. 1972.
Baez J, Muniain J.P. Gauge Fields, Knots and Gravity. London (GB): World
Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. hlm 74-79. 1994.
Schutz Bernard F. A First Course in General Relativity. Cambridge (GB):
Cambridge University Press. hlm 9-70. 2009.
Atiyah M.F., Hitchin N.J., Singer I.M. Self-duality in four-dimensional
Riemannian geometry. Proc.R.Soc.Lond.A.362.425-461. 1978.
Calderbank D.M.J., Pedersen H. Self Dual Einstein Metrics with Torus
Symmetry. 2001. http://people.bath.ac.uk/dmjc20/Papers/emt2.pdf [diunduh
12 November 2012]
Morris Sidney A. Topologi without Tears. hlm 17-117. 2011.
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=morris%20sidney%20a.%202011.
%20topologi%20without%20tears&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CDI
QFjAA&url=http%3A%2F%2Fu.math.biu.ac.il%2F~megereli%2Ftopbook.p
df&ei=TzpJUe2L4SGrAfy6YHAAw&usg=AFQjCNFIWZ7zfgiXrF7Lybgum
ElduISMkQ&bvm=bv.44011176,d.bmk [diunduh 24 Februari 2012]

22

LAMPIRAN

23
Lampiran A Aturan Penjumlahan Einstein

Pada persamaan-persamaan dalam tulisan ini, digunakan aturan
penjumlahan Einstein. Jika sebuah kuantitas mempunyai indeks atas atau indeks
bawah atau keduanya, maka penjumlahan dilakukan terhadap semua nilai indeks
yang mungkin.
Contoh:
(A. 1)
dengan

mempunyai nilai sebanyak n buah,

=

0

0

+

1

Indek Greek : , , , = 0, 1, 2, …
Indek Latin : , , , = 1, 2, 3, …

1

+ ⋯+

−1

−1

=

−1
=0

(A. 2)

24
Lampiran B Manifold

Topologi Manifold dan Ruang Metrik
Definisi B.114 Misalkan ≠ ∅ adalah suatu himpunan dan adalah keluarga dari
subhimpunan-subhimpunan dari X. Dan disebut topologi jika:
(i) X, ∅
;
(ii)
⊂�
�;
(iii)
⊂�
� (k berhingga)
pasangan (X, ) disebut ruang topologi.
Contoh B.1: diberikan = , , , , , ,
�1 = , ∅,
, , , , , , , , , ,
,
�2 = , ∅,
, , , , , , , ,
, dan
�3 = , ∅,
,
, , , , , , , , , ,
�1 merupakan topologi pada X, tetapi �2 dan �3 bukan topologi pada X karena
tidak memenuhi aturan (ii) dan (iii) pada Definisi B.1.
Ruang topologi dapat digambarkan salah satunya dengan fungsi jarak yang
disebut juga dengan metrik. Fungsi jarak dalam ℝ biasa dirumuskan:
1
2

,

=
=1

−

(B. 1)

Definisi B.214 Suatu metrik pada himpunan X adalah fungsi
sedemikian sehingga untuk 1 , 2 , 3
memenuhi:
(i) ( 1 , 2 ) 0 ∀( 1 , 2 )
,
(ii) ( 1 , 2 ) = 0
1 = 2,
(iii) ( 1 , 2 ) = ( 2 , 1 ),
(iv) ( 1 , 3 )
( 1, 2 ) + ( 2, 3 )
dan pasangan (X,d) disebut ruang metrik.

∶

×

→ℝ

Kurva dan Fungsi
Contoh dari kurva, garis lurus ( = + 3), lingkaran ( 2 + 2 = 4) atau
parabola ( = 2 − 5 ) merupakan contoh dari kurva. Setiap kurva dapat
digambarkan dalam koordinat kartesian
, = , dengan f fungsi dari x dan y,
c adalah konstanta. Kurva merupakan sekumpulan titik di ℝ2 , secara matematik
dinyatakan dalam persamaan (B.2). Untuk kurva di ℝ3 , misal sumbu-x merupakan
garis lurus yang dipenuhi oleh = 0 dan = 0. Dan secara umum kurva di ℝ3 ,
didefinisikan sebagai pasangan persamaan (B.3)
�=
,
=
1 , ,

ℝ2
1, 2

,

=
, , =

2

(B. 2)
(B. 3)

25
Terdapat cara berbeda untuk mengungkapakan kurva-kurva di atas, antara
lain kurva dapat digambarkan sebagai lintasan dari gerakan sebuah titik. Didefinisikan ( ) sebagai posisi sebuah titik pada waktu t, kurva digambarkan oleh
sebuah fungsi dari sebuah parameter skalar t. Ide ini akan digunakan untuk
definisi formal dari sebuah kurva di ℝ .5
Definisi B.3 Sebuah kurva parametrik di ℝ adalah sebuah pemetaan ∶
( , ) → ℝ untuk beberapa , dengan −∞
<
∞ . Simbol ( , )
notasi dari interval terbuka , =
ℝ
< < .
Dalam hal ini kurva akan didefinisikan dalam bentuk fungsi smooth. Sebuah
fungsi ∶ ( , ) → ℝ dikatakan smooth jika turunan
/
ada untuk semua
5
1 dan semua
( , ).
Jika adalah kurva parametrik, turunan pertamanya
disebut vektor
tangent dari
pada titik
( ) . Seperti vektor (
+
− ( ))/ yang
menghubungkan titik ( ) dan
+
, dapat juga dituliskan menjadi /
untuk → 0. Jika = ( 1 , ⋯ ⋯ , ) sebuah vektor di ℝ , maka panjang vektor
v dinyatakan dalam persamaan (B.4).
=

2
1

+⋯+

2 1 2

(B. 4)

Jika terdapat vektor u di ℝ , maka
−
merupakan panjang garis yang
menhubungkan titik-titik u dan v di ℝ . Untuk menemukan rumusan dari panjang
kurva parametrik , kita tinjau dua titik yang berdekatan ( ) dan
+
.
Jarak dua titik tersebut pada kurva � diberikan oleh,
+
− ( ) . Karena
sangat kecil, bentuk tersebut dapat dituliskan menjadi:
( )
Sehingga panjang kurva parametrik
menjadi,5

.

(B. 5)
( 0 ) ke

dari titik

=

( )

.

( ) dirumuskan

(B. 6)

0

Tensor Metrik dan Koefisien Koneksi
Pada bagian sebelumnya, metrik merupakan jarak dua titik. Selanjutnya
metrik akan dinyatakan dalam bentuk koordinat umum. Sebuah vektor v pada
koordinat lokal ℝ3 didefinisikan oleh persamaan (B.7). Besar vektor (B.7)
dinyatakan oleh persamaan (B.8) dan secara umum bentuk tersebut mengikuti
persamaan (B.9).6
, ,
= 0, 1, 2
(B. 7)
2
2
2
2
= ∙ =
+
+
(B. 8)
2 2
1 2
0 2
+ g 01 + g10 0 1
+ g 22
+ g11
= g 00
0 2
(B. 9)
+ g12 + g 21 1 2
+ g 02 + g 20
=

∙

=

2

=g

26
Dengan membandingkan persamaan (B.7) dan (B.8), diperoleh g 00 = g11 =
g 22 = 1, g 01 = g10 = g 02 = g 20 = g12 = g 21 = 0, dalam bentuk matriks:
1 0 0
= 0 1 0
0 0 1

g

Koordinat
kartesian

(B. 10)

Sehingga jarak ds antara dua titik
dan
+ d dapat dituliskan dalam
2
persamaan (B.11).
disebut kuadrat elemen jarak dan g disebut metrik atau
tensor metrik kovarian, dengan besar metrik dinyatakan dalam persamaan (B.12).
dan didefinisikan g (tensor metrik kontravarian), dengan indeks atas, sebagai
invers dari g yang memenuhi identitas (B.13).
2

=g d
g = det g
g g =

d

(B. 11)
(B. 12)
(B. 13)

dengan
=

1 untuk
0 untuk

=
≠

(B. 14)

Selanjutnya ditinjau titik P dan Q (Gambar B.1) yang panjangnya diberikan oleh
persamaan (B.15). Jika kurva diparameterisasi dengan , dengan batas-batas P( 1)
dan Q( 2) tetap, serta
=d
d , maka persamaan (B.15) menjadi (B.16).

=

g ( )d

d

1 2

(B. 15)

2
1 2

=

d

(B. 16)

1

dengan
=

,

=g

Gambar B.1 Sebuah kurva parametrik6

(B. 17)

27

Gambar B.2 Sebuah kurva terdeformasi dengan ujung P dan Q tetap6
Dalam prinsip aksi, geodesik terkait dapat diturunkan dengan mencari
dengan melakukan variasi terhadapnya sedemikian rupa sehingga
= 0, dimana
→
+
 menyatakan simbol variasi. Sebuah kurva terdeformasi,
( ) (Gambar B.2) dengan
1 =
2 = 0 , jika dilakukan variasi
pada persamaan (B.16) diperoleh:
2

1

Karena
=d
dituliskan menjadi:

d

2

1

−1 2

d = 0.

+

(B. 18)

dan sifat integral parsial maka persamaan (B.18) dapat

−1 2

−

d
d

d = 0.

(B. 19)

Secara umum
≠ 0 , sehingga diperoleh persamaan Euler-Lagrange untuk
geodesik (persamaan (B.20)) dengan ( , ) disebut fungsi lagrange yang
dinyatakan oleh persamaan (B.17).
−

d
d

=0

(B. 20)

Dengan menerapkan persamaan (B.20) ke persamaan (B.17), diperoleh persamaan
(B.21). Jika persamaan (B.21) dikalikan g dan bentuk g , dapat dituliskan
1/2 g , + g , , serta sifat simetri, maka persamaan (B.21) dapat dinyatakan
oleh persamaan (B.22).
g

dengan
Г

,

− 2g
+Г
= 1 2g

g

− 2g
=0

,

,

+g

,

−g

=0

,

(B. 21)
(B. 22)

(B. 23)

28
yang disebut koefisien koneksi atau simbol Christoffel /koneksi Affin.6,11

Turunan Kovarian dan Koneksi Levi-Civita
Ditinjau vektor
ℝn yang dapat dituliskan oleh persamaan (B.24).
Diferensial persamaan (B.26) dinyatakan dalam persamaan (B.27) dengan
merupakan turunan parsial dalam indeks .
=
=

+

,

(B. 24)
(B. 25)

,

Kuantitas , di atas dihitung dengan meninjau perhitungan berikut. Diberikan
basis koordinat polar dalam koordinat kartesian,
= cos �
+ (sin �) dan
sin �
+ ( cos �) . Diferensial basis-basis tersebut terhadap dan
� =−
1

.
�:
+ cos �
, �, =
� , � ,� = −
, = 0,
,� = − sin �
Dan
, pada persamaan (B.25) dapat dituliskan dalam persamaan (B.26).
Sehingga persamaan (B.25) dituliskan menjadi persamaan (B.27).
,

=Г
=

(B. 26)
(B. 27)

;

dengan
=

;

+

,

Г

(B. 28)

yang disebut dengan turunan kovarian dari sebuah vektor kontravarian. Notasi
didefinisikan sebagai koneksi Levi-Civita yang menghubungkan ruang-ruang
vektor dan tensor pada sebuah titik.6,11

Parallel Transport dan Curvature Tensor
Analog dengan persamaan (B.28), turunan V dalam arah U dapat dituliskan
dalam persamaan (B.29). Dengan memilih
=
, diperoleh persamaan (B.30).
=

;

=
= −Г

κ

,

+Г

κ

=0

(B. 29)
(B. 30)

Selanjutnya sebuah medan vektor
dilakukan parallel transport
mengelilingi loop tertutup ABCDA pada sebuah permukaan. Koordinat
untuk
1
2
1
2
1
masing-masing titik: A( = ,
= ), B( = + ,
= ), C( = +
, 2 = + ), D( 1 = , 2 = + ). Dengan menerapkan persamaan
(B.30), parallel transport A ke B, B ke C, C ke D, dan D ke A menghasilkan,

29
−

i

=−

−

=−

−

=

f

−

2=

1=

2=

Г
Г

+

Г

+

Г

=
1=

=−

d

2=

1

d

1

2

d

2

Г

(B. 31)

(B. 32)

1

d

1

(B. 33)

2

d

2

(B. 34)

dengan subskrip i dan f menyatakan posisi awal dan akhir. Penjumlahan dari
keempat persamaan di atas menghasilkan
f

−

i

≈
=

≈

−

1

Г

d

2

− 1 Г2
+
−Г 2,1 + Г 1,2

2

+

Г1
−Г

2

2

,1

2

Dengan menerapkan persamaan (B.30), diperoleh
∆

≈

Г

dengan menuliskan
sebagai
di atas secara umum dituliskan

dengan ∆

=

1,2
1

−Г

2

2,1

+ Г 2Г

+Г

1

,2

1

− Г 1Г

d

2

1

(B. 35)

(B. 36)

dan sifat anti-simetri, maka persamaan

=1 2

∆

1

Г

∆

(B. 37)

luas daerah loop ABCDA dan
=Г

,

−Г

,

+Г Г

−Г Г

(B. 38)

yang merupakan Riemann-Christoffel atau tensor kelengkungan.6,11
Dua kuantitas yang lain yang mempunyai peranan penting dalan relativitas
umum, tensor Ricci
(persamaan (B.39)) dan curvature scalar atau Ricci
scalar (persamaan (B.40)).
=

=g
=g

(B. 39)
(B. 40)

30
Lampiran C Persamaan Medan Gravitasi

Prinsip Aksi pada Medan Gravitasi
Ekspresi total aksi
medan gravitasi:6,7

merupakan penjumlahan dari kontribusi materi dan

=
g

+

(C. 1)

g

diberikan oleh persamaan:
g

dimana =
gravitasi:

Variasi
(

=

g

=

−g

( + 2�) −g
(

1 2

−g

1 2

d4

(C. 2)

dan � adalah konstanta kosmologi. Variasi terhadap medan

g

g

( + 2�) −g

=

,

−g

1 2

1 2

d4

) d4 + 2�

) = ( −g 1 2
δg
= −g 1 2

1 2

−g

g )
+
−g

1 2

d4

1 2

(C. 3)

+ −g

1 2

g

Dengan menggunakan identitas Palatini
= ( Г ); − ( Г ); dan
1 2
−1 2
); diperoleh sebuah total divergensi.
( −g
identitas
; = −g
−g

1 2

g

=

Г ); − ( −g
= ( −g 1 2 g
1 2
g
Г − −g 1 2 g
−g

1 2

g
Г

Г
=

);

Jika kita evaluasi Ω
−g 1 2 pada daerah Ω dengan g = 0 pada batas Ω,
berdasarkan teorema Gauss total divergensi Ω tidak memberikan kontribusi.10
Dan variasi −g 1 2 , −g 1 2 = −1/2 −g 1 2 g δg . Sehingga total variasi
untuk medan gravitasi
g

=

g
Ω

−g

1 2

(

1
− g
2

Diperoleh persamaan medan Einstein ruang vakum,
1
− g
2

− �g

− �g )d4

=0

(C. 4)

(C. 5)

31
Kehadiran materi akan memberikan:
=−

dan

2

=−

2

( ) −g
( ) −g

1 2

g d4

1 2

(C. 6)

g d4

Diperoleh persamaan medaan Einstein dengan kehadiran materi,

dengan

=8

/

4

1
− g
2

− �g

=

yang diperoleh dari pendekatan Newton.

(C. 7)

32
Lampiran D Perhitungan Metrik
Diketahui Metrik[
2
2

=

0 1

−

2

+

1 0

+

2

(

−

0

0

dengan 0 , 1 , 0 , 1 fungsi dan .
Basis-basis 1-form didefinisikan:

�)2 + ( 1 −
0 1− 1 0

1

… (D.1)

�0 =

�1 =

�2 =

�3 =

dan

=
=
=
�=

dengan

�)2

(D.2a)
(D.2b)
−

0

−

1

�

0

(D.2c)

�

1

(D.2d)

�0

�1

1�

1�

2

2

(D.3a)
(D.3b)
−

0�

−

0�

3

(D.3c)

3

(D.3d)
0 1

Tensor metrik dari metrik (D.1),
1
0
=
0
0

−

1 0

0
1
0
0

0
0
1
0

=

2

(D.4)

0
0
0
1

(D.5)

Exterior derivative pada basis 1-form:
�0 =

�1 =

2

2
2
� =−

3
3

�1 ∧ �0 = −

�0 ∧ �1 = −

4

1 1

−

−

4

2

3

2

3

3 1

3 0

�0 ∧ �1

�1 ∧ �0

�2 ∧ �0 −

−

1 0

(D. 6a)
(D. 6b)
4

2 1

�3 ∧ �0 −

−

4

4 1
4 0

�2 ∧ �1

−

2 0

�3 ∧ �1

… (D. 6c)

33
dengan

�3 = −

4

−

dengan

1

=

3

=

1 1

0

0

=

0

−

1

=

3

=

−

−

1

=

2 1

4

0

1

2
0

2

,

2

=

,

4

=

0

+

1

+

1

0

�2 ∧ �0 −

3 1

−

0

4 1

1

1

−

−

1

2
1

2

1
0

−

�2 ∧ �1 −

0

0

−

4

0

1

3 0

−

−

2

=

,

4

=

+

dan

0

−

2
1

1
0

1 0

−
1

,

2

0

−

4 0

4

0

−

1

�3 ∧ �0

�3 ∧ �1

2 0

−