Pengoptimuman Masalah Penjadwalan Empat Hari Kerja Dalam Seminggu Secara Siklis Berbasis Dual
PENGOPTIMUMAN MASALAH PENJADWALAN
EMPAT HARI KERJA DALAM SEMINGGU SECARA SIKLIS
BERBASIS DUAL
ARIYANTO PAMUNGKAS
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pengoptimuman
Masalah Penjadwalan Empat Hari Kerja dalam Seminggu Secara Siklis Berbasis
Dual adalah benar karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2016
Ariyanto Pamungkas
NIM G54110056
ABSTRAK
ARIYANTO PAMUNGKAS. Pengoptimuman Masalah Penjadwalan
Empat Hari Kerja dalam Seminggu Secara Siklis Berbasis Dual. Dibimbing oleh
AMRIL AMAN dan FARIDA HANUM.
Setiap perusahaan memiliki permasalahan penjadwalan yang disesuaikan
dengan kondisi perusahaannya. Pola penjadwalan empat hari kerja dan tiga hari
libur berturut-turut dalam seminggu dapat menjadi penjadwalan alternatif untuk
beberapa perusahaan. Karya ilmiah ini akan menyelesaikan masalah penjadwalan
tersebut dengan menggunakan algoritme yang disusun berdasarkan solusi masalah
dual dari suatu pemrograman linear. Algoritme tersebut menghasilkan
penjadwalan dengan total pekerja dan biaya yang minimum.
Kata kunci: dual, empat hari kerja, pengoptimuman, penjadwalan.
ABSTRACT
ARIYANTO PAMUNGKAS. On the Dual-Based Optimization of Cyclic
Four-Day Workweek Scheduling. Supervised by AMRIL AMAN and FARIDA
HANUM.
Every company has scheduling problems that be adapted to the
condition of company. Four workdays and three consecutive day-offs per
week can be considered as an alternate scheduling for some companies. This
work addresses the scheduling problem using the algorithm that be arranged
according to the dual-based solution of linear programming. The algorithm
generates the scheduling that minimizes the workforce size and the total of
labor cost.
Keywords: dual, four-day workweek, optimization, scheduling.
PENGOPTIMUMAN MASALAH PENJADWALAN
EMPAT HARI KERJA DALAM SEMINGGU SECARA SIKLIS
BERBASIS DUAL
ARIYANTO PAMUNGKAS
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya dan atas doa serta dukungan kedua orang tua sehingga karya
ilmiah ini berhasil diselesaikan. Disadari bahwa laporan akhir ini tidak akan
tersusun tanpa bantuan berbagai pihak. Oleh sebab itu, disampaikan ucapan terima
kasih yang sebesar-besarnya kepada Bapak Dr Ir Amril Aman, MSc dan Ibu Dra
Farida Hanum, MSi selaku pembimbing serta Bapak Dr Toni Bakhtiar, MSc
selaku dosen penguji. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada
seluruh staf administrasi dan dosen pengajar serta teman-teman mahasiswa
Matematika IPB yang telah membantu membuka wawasan untuk menggali
informasi lebih mendalam dalam proses pembelajaran.
Laporan akhir ini diharapkan dapat memberikan kontribusi pemikiran bagi
semua pihak yang berkepentingan. Oleh karena itu, saran dan kritik membangun
akan diterima untuk perbaikan dan penyempurnaan di masa mendatang.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga,
atas segala doa dan kasih sayangnya.
Bogor, Januari 2016
Ariyanto Pamungkas
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
x
DAFTAR GAMBAR
x
DAFTAR LAMPIRAN
x
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Pemrograman Linear Integer
2
Daerah Fisibel
2
Dualitas
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
3
Model Penjadwalan
3
Pemrograman Linear Masalah (4,7)
4
Penentuan Total Pekerja Minimum
6
Penempatan Pekerja pada Pola-Pola Penjadwalan Masalah (4,7)
10
Alur Penggunaan Algoritme
16
SIMPULAN DAN SARAN
20
Simpulan
20
Saran
20
DAFTAR PUSTAKA
20
RIWAYAT HIDUP
43
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Pola penjadwalan dan banyaknya pekerja masalah (4,7)
Banyak pekerja harian masalah (4,7)
Hasil penyelesaian model dengan LINGO 11.0
Hasil perolehan Solusi III
Hasil perolehan Solusi IV
Biaya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7)
Nilai , , dan
untuk semua kemungkinan nilai �
Nilai dan untuk semua kemungkinan nilai �
Nilai dan untuk semua kemungkinan nilai �
Solusi yang mungkin pada Contoh 1
Hasil penjadwalan Contoh 1
Solusi yang mungkin pada Contoh 2
Hasil Penjadwalan Contoh 2
Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I, II, III, dan IV
Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai V dan VI
Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I dan II
Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai III dan IV
3
4
5
8
9
10
13
14
15
17
18
19
20
26
27
28
29
DAFTAR GAMBAR
1 Hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk masalah (4,7)
2 Solver status software LINGO 11.0 untuk masalah (4,7)
22
23
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk masalah (4,7)
2 Pembuktian bahwa Solusi I lebih baik atau sama dengan solusi yang
diperoleh dengan cara memberi nilai /� pada sembarang �
variabel dual
3 Pencarian Solusi III dan Solusi IV
4 Substitusi Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV ke fungsi
objektif dual masalah (4,7)
5 Penentuan persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap
pola penjadwalan masalah (4,7)
6 Hasil substitusi semua kemungkinan solusi ke fungsi objektif dual pada
Contoh 1 dan Contoh 2
1
22
24
25
30
33
40
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Penjadwalan yang optimal akan menekan anggaran perusahaan dengan
meminimumkan banyak tenaga kerja, sehingga biaya yang dikeluarkan untuk
membayar gaji pekerja dapat diminimumkan. Oleh karena itu, penjadwalan harus
dioptimalkan agar dapat meminimumkan biaya yang dikeluarkan.
Setiap perusahaan memiliki cara yang beragam dalam menyelesaikan masalah
penjadwalan pekerjanya. Umumnya masalah penjadwalan pekerja dapat
diklasifikasikan menjadi tiga jenis, yaitu days-off, shift, dan tour scheduling. Secara
garis besar days-off scheduling adalah penjadwalan hari kerja dan libur pekerja, shift
scheduling adalah penjadwalan yang berfokus pada interval waktu kerja dan libur
pekerja, sedangkan kombinasi antara days-off dan shift scheduling yang membentuk
pola penjadwalan tertentu merupakan masalah penjadwalan yang disebut tour
scheduling (Baker 1976). Karya ilmiah ini membahas pengoptimuman masalah
penjadwalan days-off scheduling dengan merujuk pada artikel Alfares (2000). Karya
ilmiah ini terinspirasi dari karya ilmiah yang berjudul Optimasi berbasis dual
masalah penjadwalan tiga hari kerja dalam seminggu secara siklis (Hadi 2014).
Permasalahan umum dalam days-off scheduling adalah mencari pola hari kerja
yang optimal, yaitu pola penjadwalan hari kerja dan libur. Pola-pola tersebut harus
memenuhi banyak pekerja yang dibutuhkan setiap harinya. Selain itu, masalah
penjadwalan days-off scheduling juga harus mempertimbangkan lebih lanjut apabila
adanya kendala perbedaan biaya pekerja pada masing-masing pola penjadwalan.
Penyelesaian masalah penjadwalan days-off scheduling umumnya menggunakan
metode integer programming (IP) (Alfares 2000). Terkait dengan suatu masalah
pemrograman linear, terdapat masalah pengoptimuman linear lain yang berpadanan.
Kedua masalah ini dikenal dengan masalah primal dan masalah dual dari suatu
pemrograman linear (Luenberger dan Ye 2007). Karya ilmiah ini akan membahas
cara alternatif untuk menyelesaikan masalah penjadwalan days-off scheduling, yaitu
dengan menggunakan algoritme yang disusun berdasarkan solusi masalah dual dari
suatu pemrograman linear. Algoritme tersebut menghasilkan penjadwalan dengan
total pekerja dan biaya yang minimum. Selain itu, algoritme tersebut memiliki
komputasi yang sederhana tanpa iterasi (Alfares 2000). Oleh karena itu, karya ilmiah
ini akan menggunakan algoritme berbasis dual yang merujuk pada artikel Alfares
(2000) untuk menyelesaikan masalah penjadwalan days-off scheduling.
Tujuan Penelitian
Tujuan karya ilmiah ini ialah meminimumkan banyaknya total pekerja dan
menetapkan pola penjadwalan, yaitu empat hari kerja dan tiga hari libur dalam
seminggu secara siklis yang meminimumkan biaya total pekerja dengan
menggunakan metode dual.
TINJAUAN PUSTAKA
Untuk memahami masalah dalam karya ilmiah ini diperlukan beberapa
pengertian sebagai berikut.
Pemrograman Linear Integer
Pemrograman integer atau integer programming (IP) adalah suatu model
pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer).
Jika semua variabel harus berupa integer, masalah tersebut dinamakan pure integer
programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa integer, disebut mixed integer
programming. Adapun IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut
0-1 IP.
Daerah Fisibel
Daerah fisibel dalam pemrograman linear adalah himpunan titik yang
memenuhi semua kendala dalam pemrograman linear dan tanda pembatasnya
(Winston 2004).
Dualitas
Terkait dengan suatu masalah pengoptimuman linear, terdapat masalah
pengoptimuman linear lain yang berpadanan. Kedua masalah ini dikenal dengan
masalah primal dan masalah dual dari suatu pengoptimuman linear.
Bentuk standar dari masalah primal untuk masalah pencarian nilai minimum
(Luenberger dan Ye 2007), adalah sebagai berikut:
�
minimumkan
terhadap
,
dan masalah dual untuk masalah primal di atas adalah sebagai berikut:
maksimumkan
terhadap
�
�
,
�
dengan
×
×
×
×
×
= koefisien fungsi tujuan masalah primal
= variabel keputusan masalah primal
= matriks kendala pemrograman linear
= konstanta ruas kanan kendala masalah primal
= variabel keputusan masalah dual.
Teorema yang menghubungkan antara solusi dual dan primal adalah sebagai
berikut:
∗ ∗
Jika masalah primal memiliki solusi optimal berupa
, , … , ∗ dan
masalah dual memiliki solusi optimal berupa ∗ , ∗ , … , ∗ maka:
∑
=
∗
=∑=
∗
(Chvátal 1983).
Bila dibandingkan, maka hubungan antara masalah primal dan dual
(Luenberger dan Ye 2007), yaitu:
3
1
2
3
4
5
Koefisien fungsi tujuan pada primal menjadi konstanta ruas kanan pada dual.
Sebaliknya, konstanta ruas kanan pada primal menjadi koefisien fungsi tujuan
pada dual.
Tanda ketidaksamaan pada pembatas menjadi terbalik, jika pada primal
berubah menjadi pada dual.
Fungsi tujuan berubah bentuk, minimisasi pada primal akan berubah menjadi
maksimisasi pada dual.
Setiap kolom kendala pada primal berhubungan dengan baris kendala pada dual.
Sebaliknya, setiap baris kendala pada primal akan menjadi kolom kendala pada
dual.
Dual dari dual adalah primal.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Penjadwalan
Karya ilmiah ini akan mengkaji tentang masalah penjadwalan empat hari kerja
dalam tujuh hari yang disebut dengan masalah (4,7). Keterangan notasi yang
digunakan adalah sebagai berikut:
Indeks
i = hari, i = 1, 2,..., 7
j = pola penjadwalan, j = 1, 2,..., 7.
Parameter
� = banyaknya pekerja yang dibutuhkan pada hari i
= banyaknya pekerja yang libur pada hari i.
Variabel keputusan
= banyaknya pekerja yang bekerja pada pola penjadwalan ke-j.
Misalkan hari 1= Senin, 2= Selasa, 3= Rabu, 4= Kamis, 5= Jumat, 6= Sabtu,
7= Minggu, maka pola penjadwalan dan banyak pekerja masalah (4,7) dapat dilihat
di Tabel 1. Adapun banyak pekerja harian masalah (4,7) dapat dilihat di Tabel 2.
Tabel 1 Pola penjadwalan dan banyaknya pekerja masalah (4,7)
Pola ke1
2
3
4
5
6
7
Hari kerja
4, 5, 6, 7
5, 6, 7, 1
6, 7, 1, 2
7, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
2, 3, 4,5
3, 4, 5, 6
Hari libur
1,2,3
2,3,4
3,4,5
4,5,6
5,6,7
1,6,7
1,2,7
Banyak pekerja pada pola ke-
4
Tabel 2 Banyak pekerja harian masalah (4,7)
Hari
ke1
2
3
4
5
6
7
Banyak pekerja
Dibutuhkan
�
�
�
�
�
�
�
Dipekerjakan
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
Libur
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
Pemrograman Linear Masalah (4,7)
Dalam karya ilmiah ini, masalah (4,7) akan dijelaskan menggunakan
pemrograman linear dual serta melalui hubungan primal-dual. Masalah primal dari
masalah (4,7) adalah sebagai berikut:
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah (4,7) adalah meminimumkan banyaknya total
pekerja selama seminggu (�), yaitu:
Kendala
min � = ∑
=
.
(1)
Kendala-kendala pada masalah (4,7) adalah sebagai berikut:
1 Banyaknya pekerja yang bekerja pada hari ke-i harus lebih besar atau sama
dengan banyaknya pekerja yang dibutuhkan pada hari ke-i � . Berdasarkan
informasi yang diberikan pada Tabel 2, maka pertidaksamaan kendala masalah
(4,7) adalah sebagai berikut:
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
�
�
�
�
�
�
�.
(2)
Banyaknya pekerja yang bekerja dengan pola penjadwalan ke- j harus taknegatif,
, = , ,…, .
(3)
5
Sebagai ilustrasi diberikan contoh IP masalah (4,7).
Contoh 1
Misalkan � = , � = , � = , � = , � = , � = , � = .
Dengan bantuan software LINGO 11.0 (Lampiran 1), solusi masalah (4,7)
adalah seperti pada Tabel 3.
Tabel 3 Hasil penyelesaian model dengan LINGO 11.0
Pola
ke1
2
3
4
5
6
7
Hari kerja
Hari libur
Banyak pekerja
Kamis-Jumat-Sabtu-Minggu
Senin-Jumat-Sabtu-Minggu
Senin-Selasa-Sabtu-Minggu
Senin-Selasa-Rabu-Minggu
Senin-Selasa-Rabu-Kamis
Selasa-Rabu-Kamis-Jumat
Rabu-Kamis-Jumat-Sabtu
Senin-Selasa-Rabu
Selasa-Rabu-Kamis
Rabu-Kamis-Jumat
Kamis-Jumat-Sabtu
Jumat-Sabtu-Minggu
Senin- Sabtu-Minggu
Senin-Selasa- Minggu
0
0
5.5
0
8.5
0
9.5
23.5
�
Contoh tersebut memberikan gambaran bahwa jika masalah (4,7) diselesaikan
secara langsung maka diperoleh solusi yang tidak integer. Padahal terdapat solusi
integer yang memenuhi masalah (4,7), yaitu
= , = , = , = , =
, = , = . Penyelesaian masalah (4,7) tersebut akan dicoba diselesaikan
dengan metode dual. Sebuah algoritme akan disusun berdasarkan solusi masalah dual
dari pemrograman linear tersebut. Algoritme tersebut memiliki komputasi yang
sederhana dalam penggunaannya, yaitu dengan melakukan teknik substitusi ke dalam
formula sederhana tanpa iterasi (Alfares 2000). Oleh karena itu, metode dual akan
digunakan untuk menyelesaikan masalah (4,7) dalam karya ilmiah ini.
Masalah primal dari masalah (4,7) dapat dirangkum dan dituliskan sebagai
berikut:
min � = ∑
terhadap
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
, =
=
+
+
+
+
+
+
+
, ,…,
�
�
�
�
�
�
�
.
Masalah dual dari masalah (4,7) dan keterangan notasi yang diperlukan adalah
sebagai berikut:
6
Variabel Keputusan
= variabel dual yang berpadanan dengan kendala ke i pada masalah primal.
Fungsi Objektif
Berdasarkan hubungan primal-dual, maka fungsi objektif dual dapat dituliskan
sebagai berikut:
max � = ∑ = �
.
(4)
Kendala
1 Berdasarkan hubungan primal-dual, maka kendala dual dapat dituliskan sebagai
berikut:
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
.
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
Setiap nilai variabel dual harus taknegatif,
,
= , ,…, .
(6)
Penentuan Total Pekerja Minimum
Berdasarkan teorema dual dan struktur masalah (4,7), nilai minimum total
ke
pekerja dapat diperoleh dari hasil substitusi solusi optimal dual
, ,…,
fungsi objektifnya, sehingga � = �. Fungsi objektif dual melibatkan banyaknya
. Nilai
kebutuhan pekerja harian � , � , … , � dan variabel dual
, ,…,
� , � , … , � adalah nilai parameter yang tidak tentu nilainya, yaitu bergantung pada
permasalahan yang diinginkan, sehingga solusi optimal yang diperoleh tidak bersifat
universal untuk semua jenis masalah (4,7). Semua solusi yang termasuk dalam
daerah fisibel akan dipilih salah satu di antaranya sebagai solusi optimal. Solusi yang
menghasilkan nilai terbesar dari hasil susbtitusinya ke fungsi objektif merupakan
solusi optimal dalam kasus maksimisasi (Winston 2004). Berikut ini akan ditentukan
solusi-solusi variabel dual ( , , … ,
yang termasuk dalam daerah fisibel sistem
pertidaksamaan (5).
1 Solusi I
Misalkan � = max{� , … , � }, maka Solusi I dapat diperoleh dengan memberi
nilai
= dan semua variabel dual lain bernilai nol. Dalam kasus ini, � = � =
� �� . Solusi ini lebih baik atau sama dengan solusi yang diperoleh dengan cara
memberi nilai ⁄� pada sembarang � variabel dual � = , … , (Bukti di
Lampiran 2). Berdasarkan struktur masalah (4,7), dimungkinkan memberi nilai ⁄�
untuk lebih dari � variabel dual.
7
Contohnya: Misalkan � = , dimungkinkan memberi nilai ⁄ untuk lebih dari 2
variabel dual, yaitu
=
=
= ⁄ . Nilai tersebut memenuhi sistem
pertidaksamaan linear masalah (4,7) sebagai berikut:
+
+
+
menjadi
+
+
+
menjadi +
+
+
+
menjadi +
+
menjadi
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
menjadi +
menjadi +
menjadi +
.
Contoh tersebut memberikan gambaran bahwa dimungkinkan memberi nilai
⁄� untuk lebih dari � variabel dual untuk memperoleh solusi masalah (4,7).
Kemungkinan solusi-solusi tersebut ialah sebagai berikut.
2 Solusi II
Sistem pertidaksamaan linear kendala dual masalah (4,7) merupakan sistem
pertidaksamaan linear dengan tujuh peubah dan tujuh pertidaksamaan. Namun, setiap
pertidaksamaan linearnya hanya memiliki empat peubah. Jadi, masih dapat diperoleh
solusi dengan memberi nilai setiap variabel dual dengan ⁄ ( = ⁄ , ∀
=
, , … , . Dalam kasus ini � = ∑ = � .
3 Solusi III
Empat peubah dalam setiap pertidaksamaan (5) dapat dipilih dua di antaranya
bernilai ⁄ dan yang lainnya bernilai nol, sehingga penjumlahan keempatnya
bernilai satu. Misalkan terdapat empat variabel, kombinasi pemilihan dua variabel
bernilai ⁄ dan dua variabel bernilai nol menghasilkan sebanyak enam kombinasi
pasangan nilai. Enam kombinasi pasang nilai tersebut diterapkan pada ketujuh
pertidaksamaan (5). Berdasarkan sistem pertidaksamaan (5), pemilihan dua variabel
dual bernilai ⁄ pada salah satu pertidaksamaan linear sebagai nilai awal
mengakibatkan semua nilai variabel dual yang lain dapat diperoleh. Penelusuran
enam kombinasi pemilihan dua variabel bernilai ⁄ sebagai nilai awal pada ketujuh
pertidaksamaan (5) dilakukan untuk menghasilkan semua nilai Solusi III (Lampiran
3). Berdasarkan hasil pencarian tersebut, Solusi III yang diperoleh dapat dirangkum
dan dituliskan dalam Tabel 4.
8
Tabel 4 Hasil perolehan Solusi III
�
1
Variabel yang bernilai ⁄
+
+
+
+
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Berdasarkan Tabel 4, dapat disimpulkan bahwa nilai Solusi III membentuk pola
I dan pola II pada urutannya. Pola I dan pola II yaitu, = + = + = ⁄ dan
= + = + = ⁄ . Setiap solusi tersebut akan disubstitusikan ke fungsi
objektif dual (Lampiran 4). Hasil substitusi ke fungsi objektif dual dalam kasus ini
= , … , untuk
ialah � = �� = max{ , … , }, = ⁄ � + � + + � +
kasus yang mengikuti pola I dan � =
},
= ⁄ � +
�� = max{ , … ,
�+ + �+
= , … , untuk kasus yang mengikuti pola II. Masalah (4,7) bersifat
siklis, yaitu dalam seminggu hanya ada tujuh hari dan berulang setiap minggunya,
maka untuk subscript dari � + , � + , dan � + berlaku kelipatan 7. Misalkan jika =
, maka � + = � , � + = � , dan � + = � . Karena bersifat siklis, maka dapat
dituliskan � = � , � = � , dan � = � .
4 Solusi IV
Ruas kiri pertidaksamaan (5) juga dapat bernilai satu, yaitu dengan memilih
tiga dari empat nilai variabel dual bernilai ⁄ dan satu variabel dual bernilai nol.
Misalkan terdapat empat variabel, kombinasi pemilihan tiga variabel bernilai ⁄ dan
satu variabel bernilai nol menghasilkan sebanyak empat kombinasi pasangan nilai.
Empat kombinasi pasangan nilai tersebut diterapkan pada ketujuh pertidaksamaan
9
linear. Berdasarkan sistem pertidaksamaan (5), pemilihan tiga variabel dual bernilai
⁄ pada salah satu pertidaksamaan linear sebagai nilai awal mengakibatkan semua
nilai variabel dual yang lain dapat diperoleh. Penelusuran empat kombinasi
pemilihan tiga variabel bernilai ⁄ sebagai nilai awal pada ketujuh pertidaksamaan
(5), dilakukan untuk menghasilkan Solusi IV (Lampiran 3). Berdasarkan hasil
penelusuran tersebut, Solusi IV yang diperoleh dapat dirangkum dan dituliskan
dalam Tabel 5.
Tabel 5 Hasil perolehan Solusi IV
Variabel yang bernilai ⁄
�
+
1
+
+
+
2
3
4
5
6
7
Setiap solusi tersebut akan disubstitusikan ke fungsi objektif dual (Lampiran 4).
Hasil substitusi ke fungsi objektif dual dalam kasus ini ialah � = �� =
= ⁄ � + �+ + �+ + �+ + �+
= , … , . Masalah
max{ , … , },
(4,7) bersifat siklis, yaitu dalam seminggu hanya ada tujuh hari dan berulang setiap
minggunya, maka untuk subscript dari � + , � + , � + , dan � + berlaku kelipatan 7.
Misalkan jika = , maka � + = � , � + = � , � + = � , dan � + = � . Karena
bersifat siklis, maka dapat dituliskan � = � , � = � , � = � , dan � = � .
Setiap pertidaksamaan (5) memiliki empat variabel, sehingga tidak ada
kombinasi pasangan empat variabel bernilai lebih kecil dari ⁄ yang dapat
menghasilkan ruas kiri pertidaksamaan (5) bernilai satu. Dapat disimpulkan bahwa
selain Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV tidak ada solusi lain yang dapat
menghasilkan nilai maksimum pada fungsi objektif dual masalah (4,7).
Setiap Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV akan disubstitusikan ke
fungsi objektif dual masalah (4,7). Hasil substitusi Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan
Solusi IV ke fungsi objektif dual masalah (4,7) akan dipilih nilai yang terbesar
sebagai nilai minimum total pekerja masalah (4,7), sehingga � = �. Banyaknya
minimum total pekerja merupakan besaran yang harus berupa bilangan bulat.
Apabila memperoleh hasil bukan bilangan bulat, akan dilakukan proses pembulatan
menjadi bilangan bulat terdekat yang lebih besar dari nilai minimum total pekerja
yang diperoleh. Berikut ini adalah perumusan masalah (4,7) untuk menentukan
minimum total pekerja, dapat dirangkum menjadi:
� = max {�
�� ,
∑= � ,
��
,
��
,
��
}.
(7)
10
Penempatan Pekerja pada Pola-Pola Penjadwalan Masalah (4,7)
Setelah diperoleh nilai minimum total pekerja, maka langkah selanjutnya
adalah mencari pola penjadwalan yang meminimumkan biaya. Sejatinya untuk
memperoleh minimum biaya pekerja adalah dengan melakukan pengoptimuman
masalah penjadwalan untuk meminimumkan banyaknya total pekerja. Namun, jika
terdapat perbedaan biaya pada hari tertentu, pengoptimuman lebih lanjut akan
dilakukan agar pola penjadwalan pekerjanya dapat meminimumkan biaya. Misalkan
biaya untuk setiap pekerja pada hari biasa (Senin-Jumat) sebesar dan biaya pekerja
pada akhir pekan (Sabtu dan Minggu) adalah ( + ), sehingga biaya untuk tiap pola
pekerja adalah sebagai berikut:
Tabel 6 Biaya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7)
Hari Kerja
Variabel biaya
Kamis-Jumat-Sabtu-Minggu
Senin-Jumat-Sabtu-Minggu
Senin-Selasa-Sabtu-Minggu
Senin-Selasa-Rabu-Minggu
Senin-Selasa-Rabu-Kamis
Selasa-Rabu-Kamis-Jumat
Rabu-Kamis-Jumat-Sabtu
+
+
+
+
Pola ke1
2
3
4
5
6
7
+
Pengoptimuman masalah penjadwalan yang meminimumkan biaya akan
dilakukan dengan mempertimbangkan kebutuhan pekerja setiap harinya. Prioritas
alokasi pekerja diberikan pada pola penjadwalan mulai dari yang termurah untuk
memperoleh pola penjadwalan yang meminimumkan biaya. Kuota pada pola
penjadwalan yang termurah dipastikan terisi penuh. Jika kuota pada pola
penjadwalan yang termurah sudah terisi penuh, kemudian beranjak pada pola
penjadwalan yang termurah setelahnya. Hal tersebut dilakukan hingga seluruh
pekerja memperoleh jadwal bekerjanya masing-masing dan kebutuhan pekerja setiap
harinya terpenuhi. Berikut ini akan ditentukan pola penjadwalan pekerja yang
meminimumkan biaya akibat adanya perbedaan biaya di setiap jenis pola
penjadwalan. Namun, tetap memenuhi kebutuhan pekerja setiap harinya.
1 Saat � = � ��
Persamaan yang berlaku pada masalah (4,7) digunakan untuk menentukan
banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) (Lampiran 5).
Persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan
masalah (4,7) dalam kasus ini adalah sebagai berikut:
= min{ ,
= min{ ,
= min{ ,
,
−
−
}
,
,
−
−
,� − }
− ,� −
−
}
11
= min{ , − , − −
= min{ , − , − −
= min{ − , − , −
=�− − − − −
,� − −
,� − −
− ,� −
− .
−
−
−
}
−
−
}
−
−
}
2 Saat � = ∑ = �
Persamaan yang berlaku pada masalah (4,7) digunakan untuk menentukan
banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) (Lampiran 5).
Persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan
masalah (4,7) dalam kasus ini adalah sebagai berikut:
=�− −
=�− −
=�− −
=�− −
=�− −
=�− −
=�− − .
Dalam kasus ini, untuk menentukan nilai , , … , diperoleh persamaan
yang unik. Meskipun terdapat perbedaan biaya, setiap nilai , , … ,
tidak
mendapatkan prioritas dalam pemenuhan kuotanya karena telah diperoleh persamaan
yang unik untuk menentukan nilai , , … , .
3 Saat � =
��
Persamaan untuk menentukan nilai
, ,…,
diperoleh dengan
menggunakan persamaan yang berlaku pada masalah (4,7) (Lampiran 5). Misalkan
, persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap pola
�=
�� =
penjadwalan masalah (4,7) dalam kasus ini adalah sebagai berikut:
=
=�− −
= −
= −
= −
+ = − .
Berdasarkan beberapa persamaan tersebut, dapat disimpulkan bahwa semua
nilai unik diperoleh kecuali dan . Penentuan nilai dan
dapat dilakukan
dengan pengoptimuman lebih lanjut. Agar meminimumkan biaya, sisa nilai yang
tersedia
−
diprioritaskan untuk pola penjadwalan yang memiliki biaya
termurah di antara dan . Kuota pada pola penjadwalan yang termurah dipastikan
terisi penuh. Jika kuota pada pola penjadwalan yang termurah sudah terisi penuh,
kemudian beranjak pada pola penjadwalan yang termurah setelahnya. Cara yang
digunakan untuk semua
sama dengan cara penyelesaian saat � =
�� =
kemungkinan kasus saat � =
�� . Solusi secara spesifik dan lengkap diberikan
dalam Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9.
12
4 Saat � =
��
5 Saat � =
��
Persamaan untuk menentukan banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan
masalah (4,7) dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan yang berlaku pada
, persamaan untuk
masalah (4,7) (Lampiran 5). Misalkan � =
�� =
memperoleh banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) dalam
kasus ini adalah sebagai berikut:
=
=
=
=
+ + =�− − .
Berdasarkan beberapa persamaan tersebut, dapat disimpulkan bahwa semua
nilai unik diperoleh kecuali , , dan . Penentuan nilai , , dan
dapat
dilakukan pengoptimuman lebih lanjut. Agar meminimumkan biaya, sisa nilai yang
tersedia � − −
diberikan dan diprioritaskan untuk pola penjadwalan yang
termurah di antara , , dan . Kuota pada pola penjadwalan yang termurah
dipastikan terisi penuh. Jika kuota pada pola penjadwalan yang termurah sudah terisi
penuh, kemudian beranjak pada pola penjadwalan yang termurah setelahnya. Cara
digunakan untuk
yang sama dengan cara penyelesaian saat � =
�� =
semua kemungkinan kasus saat � =
�� . Solusi secara spesifik dan lengkap
diberikan dalam Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9.
Persamaan yang berlaku pada masalah (4,7) digunakan untuk menentukan
banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) (Lampiran 5). Misalkan
, persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap pola
�=
�� =
penjadwalan masalah (4,7) dalam kasus ini adalah sebagai berikut:
=
=
=
+ + + =�− .
Berdasarkan beberapa persamaan tersebut, dapat disimpulkan bahwa
persamaan untuk menentukan nilai
,
,
, dan
tidak unik diperoleh.
Penentuan nilai ,
, , dan
dapat dilakukan pengoptimuman lebih lanjut.
Agar meminimumkan biaya, sisa nilai yang tersedia � −
diberikan dan
diprioritaskan untuk pola penjadwalan yang termurah di antara , , , dan .
Kuota pada pola penjadwalan yang termurah dipastikan terisi penuh. Jika kuota pada
pola penjadwalan yang termurah sudah terisi penuh, kemudian beranjak pada pola
penjadwalan yang termurah setelahnya. Cara yang sama dengan cara penyelesaian
digunakan untuk semua kemungkinan kasus saat � =
saat � =
�� =
.
Solusi
secara
spesifik
dan lengkap diberikan dalam Tabel 7, Tabel 8, dan
��
Tabel 9.
13
Tabel 7 Nilai
�
�
��
∑�
�−
,
untuk semua kemungkinan nilai �
, dan
− −
− −
�−
−
−
min{ − , − ,
− − ,� − −
− − − }
�− −
�−
−
−
�−
−
−
−
min{ ,
−
}
min{ ,
−
}
−
min{
,
−
−
−
−
−
−
,
−
−
−
}
min{
− ,
−
−
−
−
− ,
− −
min{ ,
−
}
−
min{ ,
−
}
−
−
−
−
−
min{ − , −
, − − }
min{ , − , −
}
−
−
−
−
−
�−
−
−
−
0
−
min{ , − ,
− − ,� −
− − − }
�− −
−
−
}
14
Tabel 8 Nilai
�
�
��
∑�
untuk semua kemungkinan nilai �
dan
min{ ,
−
,
−
�−
�−
−
−
−
,� −
−
}
min {
�−
−
�−
−
min{
−
,
min{ ,
−
−
−
−
−
}
−
−
−
,
−
,
−
−
}
min{ ,
min{ ,
min{ ,
−
min{ ,
−
}
min{ ,
−
}
−
−
,
−
−
−
,
}
−
−
,
−
}
−
,
−
}
−
min{ ,
,
−
min{ ,
−
−
}
min{ ,
−
}
min{ ,
−
}
}
}
15
Tabel 9 Nilai
�
�
��
∑�
untuk semua kemungkinan nilai �
dan
min{
,
−
�−
,
−
−
−
,� −
}
min{ , − , − −
,� − − − }
�− −
−
−
−
�−
−
−
−
�−
−
min{
min{
−
,
−
,
−
−
min{ ,
−
,
−
}
min{ ,
−
}
min{ ,
−
}
−
,
−
−
−
,
−
−
}
}
min{
−
,
−
−
−
,
−
min{ ,
−
}
min{ ,
−
}
min{ ,
−
−
−
−
−
,
−
−
}
}
16
Alur Penggunaan Algoritme
1
Minimum total pekerja ditentukan dengan menggunakan persamaan (7).
2
Nilai , , … , menggambarkan banyaknya pekerja yang tidak berkerja pada
suatu hari. Nilai tersebut dapat ditentukan dengan mengurangi banyaknya total
pekerja dengan banyaknya pekerja yang bekerja pada hari tersebut. Nilai
, , … , juga bisa diperoleh dengan menggunakan informasi pada Tabel 2.
3
(a) Saat � = � �� maka Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9 digunakan untuk
memperoleh nilai , , … , .
(b) Saat � = ∑ �⁄ maka:
Jika nilai ∑ �⁄ bukan bilangan bulat, salah satu nilai � dipilih dan
ditambahkan dengan nilai
� − ∑ � untuk membuat ∑ � menjadi
kelipatan 4.
Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9 digunakan untuk memperoleh nilai
, ,…, .
(c) Saat � =
�� , maka:
Jika nilai
�� bukan bilangan bulat, salah satu nilai � yang
disubstitusikan ke fungsi objektif dual masalah (4,7) harus dipilih dan
ditambahkan dengan nilai � − �� untuk membuat
�� menjadi
bilangan bulat.
Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9 digunakan untuk memperoleh nilai
, ,…, .
(d) Saat � =
�� , maka:
Jika nilai
yang
�� bukan bilangan bulat, salah satu nilai �
disubstitusikan ke fungsi objektif dual masalah (4,7) akan dipilih dan
ditambahkan dengan nilai � − �� untuk membuat
�� menjadi
bilangan bulat.
Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9 digunakan untuk memperoleh nilai
, ,…, .
(e) Saat � =
�� , maka:
Jika nilai
�� bukan bilangan bulat, salah satu nilai � yang
disubstitusikan ke fungsi objektif dual masalah (4,7) akan dipilih dan
ditambahkan dengan nilai � −
�� menjadi
�� untuk membuat
bilangan bulat.
Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9 digunakan untuk memperoleh nilai
, ,…, .
17
Contoh 1
Misalkan � =
,� =
,� = ,� =
,� = ,� =
,� = .
Tabel 10 Solusi yang mungkin pada Contoh 1
i
Solusi I
Solusi II
Solusi III
Solusi IV
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
1
11
11
2
14
14
14
3
9
4
18
9
9
5
8
8
6
15
18
18
14
5
8
8
15
15
9
9
8
14
18
9
11
11
5
18
14
11
11
15
8
11
11
5
5
18
15
8
11
5
9
14
14
14
15
18
9
9
9
14
14
Total
80
33
38
32
37
37
29
34
28
47
22
44
27
35
37
57
61
51
66
51
58
56
15
11
11
11
7
5
5
8
18
18
18
9
9
18
18
14
15
15
8
8
8
5
5
15
15
15
5
5
5
8
Berdasarkan hasil substitusi Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV, maka
dapat diperoleh nilai � �� = � = ; ∑ �⁄ = ;
=
;
�� =
�� =
=
;
= . (Lampiran 6). Nilai minimum pekerja dapat
�� =
ditentukan, yaitu:
� = max{�
� = max{
�� ,
,
∑ �⁄ ,
,
,
��
,
,
. }=
= ,
=
��
.
,
=
��
.
}
Nilai
= . bukan bilangan bulat, maka harus dibulatkan dengan
�� =
menambahkan salah satu � di antara � , � , dan � , yaitu � =
dengan � −
=
,
sehingga
nilai
�
=
dan
�
=
.
��
,
=
,
= ,
=
,
,
= ,
=
.
Persamaan dari Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9, digunakan untuk mencari nilai
, … , . Berikut ini penyelesaiannya:
18
=
=
= min{ , − } = min{ ,
= min{ , − } = min{ ,
= − = − =
= − = − =
=
= .
}=
}=
Tabel 11 Hasil penjadwalan Contoh 1
Pekerja ke
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
�
0: libur; 1: masuk
Senina
Selasa
Rabu
Kamis
Jumat
Sabtu
Minggu
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
14
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
18
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
15
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
19
Contoh 2
Misalkan � = , � = , � = , � = , � = , � = , � = .
Tabel 12 Solusi yang mungkin pada Contoh 2
i
Solusi I
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Solusi II
Solusi III
Solusi IV
1
5
5
2
1
1
1
3
2
4
2
2
2
5
3
3
6
1
1
2
2
5
1
4
3
3
1
1
2
5
5
7
4
4
4
2
2
3
1
2
2
1
3
5
4
2
1
1
3
5
4
2
1
1
1
5
5
5
2
2
2
2
1
1
5
5
1
4
3
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
3
3
3
4
4
1
1
1
4
4
4
3
Total
18
9
4
8
10
5
7
11
10
4
9
8
8
8
7
12
10
16
12
11
14
15
Berdasarkan hasil substitusi Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV, maka
dapat diperoleh nilai � �� = � = ; ∑ �⁄ = . ;
= . ;
�� =
�� =
= . ;
= (Lampiran 6). Nilai minimum pekerja dapat ditentukan,
�� =
yaitu:
� = max{�
� = max{ ,
�� ,
∑ �⁄ ,
. ,
.
,
��
. ,
,
��
}=
,
.
��
}
= .
Nilai �� = = . bukan bilangan bulat maka harus dibulatkan dengan
menambahkan salah satu � di antara � , � , dan � , yaitu � = dengan � −
dan � = .
�� = , sehingga nilai � =
,
= ,
= ,
= ,
= ,
= ,
= ,
= .
Persamaan dari Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9, digunakan untuk mencari nilai
, … , . Berikut ini penyelesaiannya:
20
= =
=
=
= min{ , − , −
= min{ − , − ,
= − − =
=
= .
} = min{ , , } =
− − } = min{ , , } =
Tabel 13 Hasil Penjadwalan Contoh 2
Pekerja ke
1
2
3
4
5
6
�
a
Senina
0
1
1
1
1
1
5
Selasa
0
1
1
1
0
0
1
Rabu
0
1
1
1
0
0
2
Kamis
1
1
1
0
0
0
2
Jumat
1
0
0
0
1
1
3
Sabtu
1
0
0
0
1
1
1
Minggu
1
0
0
1
1
1
4
0: libur; 1: masuk
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Masalah (4,7) dapat diselesaikan dengan algoritme berbasis dual secara manual.
Hasil akhirnya berupa minimum total pekerja dan pola penjadwalan yang
meminimumkan biaya, sehingga algoritme tersebut sangat bermanfaat untuk
perusahaan yang beroperasi setiap hari.
Saran
Penelitian selanjutnya dapat melakukan pembahasan tentang pengoptimuman
berbasis dual masalah penjadwalan lima hari kerja dalam seminggu secara siklis.
DAFTAR PUSTAKA
Alfares HK. 2000. Dual-based optimization of cyclic four-day workweek scheduling.
IMA Journal of Mathematics Applied in Business and Industry. 11: 269-283.
DOI: 10.1093/imaman/11.4.269.
Baker KR. 1976. Workforce allocation in cyclical scheduling problem: a survey.
Operational Research Quarterly. 27: 155-167. doi: 10.1057/jors.1976.30.
Chvátal V. 1983. Linear Programming. New York (US): WH Freeman & Company.
Hadi N. 2014. Optimasi berbasis dual masalah penjadwalan tiga hari kerja dalam
seminggu secara siklis [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
21
Luenberger DG, Ye Y. 2007. Linear and Nonlinear Programming 3thed. California
(US): Springer.
Winston WL. 2004. Operations Research Applications and Algorithms 4thed. New
York (US): Duxbury.
22
Lampiran 1 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk masalah (4,7)
x2+x3+x4+x5>=11;
x3+x4+x5+x6>=14;
x4+x5+x6+x7>=9;
x1+x5+x6+x7>=18;
x1+x2+x6+x7>=8;
x1+x2+x3+x7>=15;
x1+x2+x3+x4>=5;
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7;
Hasil yang diperoleh sebagai berikut:
Gambar 1 Hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk masalah (4,7)
23
Gambar 2 Solver status software LINGO 11.0 untuk masalah (4,7)
24
Lampiran 2 Pembuktian bahwa Solusi I lebih baik atau sama dengan solusi yang
diperoleh dengan cara memberi nilai ⁄� pada sembarang � variabel
dual
Misalkan diberikan nilai ⁄� pada � sembarang variabel dual � = , … , .
Solusi tersebut menghasilkan nilai fungsi objektif dual dengan persamaan � =
∑ � ⁄�. Berikut ini akan dibuktikan bahwa nilai fungsi objektif dual yang berasal
dari persamaan � = � �� akan lebih besar atau sama dengan nilai fungsi objektif
dual yang berasal dari persamaan � = ∑ � ⁄�.
� × � = � × � ��
� × � = � �� + � �� … + � �� (dijumlahkan sebanyak � .
Nilai � �� = max{� , … , � }, sehingga � �� � , � �� � , � ��
� �� � , � �� � , dan � �� � . Hal tersebut mengakibatkan:
� ,�
��
�,
… + � �� � + ⋯ + � = ∑ �
� × � �� ∑ �
� �� ∑ � ⁄� ∎
Terbukti bahwa Solusi I lebih baik atau sama dengan solusi yang diperoleh dengan
cara memberi nilai ⁄� pada sembarang � variabel dual.
�
��
+�
��
25
Lampiran 3 Pencarian Solusi III dan Solusi IV
Pencarian Solusi III dengan Menentukan Dua Variabel Dual Bernilai ⁄
sebagai Nilai Awal
Kombinasi pasangan nilai I pada pertidaksamaan (5.1)
Misalkan pada pertidaksamaan (5.1), dipilih =
nilai tersebut sebagai berikut:
+
+
+
menjadi + +
+
+
+
menjadi
+
= . Hasil substitusi nilai.
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai
+ = , karena ,
maka
=
= . Adapun dari pertidaksamaan (5.6) dan (5.7) diperoleh :
+
+
+
menjadi
+
+
+
menjadi
+ +
+
+ + +
.
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai + = , karena
maka
=
= . Adapun dari pertidaksamaan (5.2) diperoleh:
+ + +
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai
,
.
,
, maka nilai terbesar
adalah . Agar menghasilkan solusi yang memaksimumkan hasil substitusinya ke
fungsi objektif dual maka dapat ditentukan nilai
(5.3), (5.4), dan (5.5) diperoleh:
+
+
+
+
+
+
+
+
+
= . Adapun dari pertidaksamaan
menjadi + +
menjadi + +
menjadi +
+
+
+
+
.
Berdasarkan hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I sebagai nilai awal
pada pertidaksamaan (5.1) diperoleh nilai
= =
= dan
=
=
=
= . Cara yang sama dengan cara penelusuran kombinasi pasangan nilai I sebagai
nilai awal pada pertidaksamaan (5.1) digunakan untuk penelusuran semua kombinasi
pasangan nilai pada pertidaksamaan linear (5.1), (5.2), (5.3), (5.4), (5.5), (5.6), dan
(5.7). Hasil penelusuran secara lengkap ditulis dalam Tabel 14.
26
Tabel 14 Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I, II, III, dan IV
Kombinasi Pertidaksamaan
(5.1)
(5.2)
(5.3)
I
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.1)
(5.2)
(5.3)
II
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.1)
(5.2)
(5.3)
III
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.1)
(5.2)
(5.3)
IV
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
Nilai awal
Nilai variabel dual lain yang diperoleh
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
27
Tabel 15 Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai V dan VI
Kombinasi Pertidaksamaan
Nilai awal
(5.1)
(5.2)
=
=
=
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.2)
=
=
=
(5.3)
=
(5.4)
=
(5.5)
=
(5.6)
=
(5.7)
=
=
=
(5.1)
=
=
=
(5.7)
VI
=
=
(5.3)
V
=
=
Nilai variabel dual lain yang diperoleh
=
= =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Pencarian Solusi IV dengan Menentukan Tiga Variabel Dual Bernilai ⁄
sebagai Nilai Awal
Kombinasi pasangan nilai I pada pertidaksamaan (5.1)
Misalkan pada pertidaksamaan (5.1), dipilih =
nilai-nilai tersebut sebagai berikut:
+
+
+
=
menjadi + + +
.
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai
pertidaksamaan (5.7) diperoleh:
+ + +
menjadi + + +
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai
pertidaksamaan (5.2) diperoleh:
+ + +
menjadi + + +
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai
= . Hasil substitusi
=
=
. Adapun dari
.
. Adapun dari
.
, maka nilai terbesar
adalah . Agar menghasilkan solusi yang memaksimumkan hasil substitusinya ke
fungsi objektif dual maka dapat ditentukan nilai
(5.3) diperoleh:
= . Adapun dari pertidaksamaan
28
+
+
+
menjadi +
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai
+ +
= .
, maka nilai terbesar
adalah . Agar menghasilkan solusi yang memaksimumkan hasil substitusinya ke
fungsi objektif dual maka dapat ditentukan nilai
(5.4), (5.5), dan (5.6) diperoleh:
+
+
+
+
+
+
= . Adapun dari pertidaksamaan
menjadi + + +
+
menjadi + + +
+
menjadi + + +
+
.
Berdasarkan hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I sebagai nilai awal
pada pertidaksamaan (5.1) diperoleh pasangan nilai
=
= =
=
=
dan
=
= . Cara yang sama dengan cara penelusuran kombinasi pasangan
nilai I sebagai nilai awal pada pertidaksamaan (5.1) digunakan untuk penelusuran
semua kombinasi pasangan nilai pada pertidaksamaan linear (5.1), (5.2), (5.3), (5.4),
(5.5), (5.6), dan (5.7). Hasil penelusuran secara lengkap ditulis dalam Tabel 15.
Tabel 16 Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I dan II
Kombinasi Pertidaksamaan
(5.1)
(5.2)
(5.3)
I
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.1)
(5.2)
(5.3)
II
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
Nilai awal
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Nilai variabel dual lain yang diperoleh
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
29
Tabel 17 Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai III dan IV
Kombinasi Pertidaksamaan
(5.1)
(5.2)
(5.3)
III
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.1)
(5.2)
(5.3)
IV
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
Nilai awal
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Nilai variabel dual lain yang diperoleh
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
30
Lampiran 4 Substitusi Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV ke fungsi objektif
dual masalah (4,7)
1
Hasil substitusi Solusi III ke fungsi objektif dual masalah (4,7)
Berdasarkan Tabel 4,
yang akan disubstitusikan ke
tersebut dinotasikan dengan
Misalkan dipilih =
=
=∑= �
= � + � + �
Misalkan dipilih
=
=∑= �
= � + � + �
= + = + = ( = , , … , ), adalah Solusi III
fungsi objektif dual masalah (4,7). Hasil substitusi
( = , , … , ).
= &
=
=
=
= maka:
=
= &
=
=
=
=
maka:
Misalkan dipilih
=
=∑= �
= � + � + �
=
= &
=
=
=
=
maka:
Misalkan dipilih =
=∑= �
= � + � + �
=
= &
=
=
=
=
maka:
Misalkan dipilih
=
=∑= �
= � + � + �
=
= &
=
=
=
=
maka:
Misalkan dipilih
=
=∑= �
= � + � + �
=
= &
=
=
=
=
maka:
Misalkan dipilih
=
=
=∑= �
= � + � + � .
= &
=
=
=
=
maka:
Nilai
, , , , , } merupakan nilai terbesar hasil
�� = max{ ,
substitusi Solusi III dengan pola I ke fungsi objektif dual masalah (4,7). Nilai tersebut
akan dipilih sebagai calon nilai minimum total pekerja yang berasal dari Solusi III.
Berdasarkan Tabel 4, = + = + = ( = , , … , ), adalah Solusi III
yang akan disubstitusikan ke fungsi objektif dual masalah (4,7). Hasil substitusi
tersebut dinotasikan dengan ( = , , … , ).
=
=
= maka:
Misalkan dipilih =
=
= & =
=∑= �
=
� +
� +
�.
31
Misalkan dipilih
= =
=∑= �
= � + � + �.
= &
=
=
=
=
maka:
= &
=
=
=
=
maka:
Misalkan dipilih =
=
=∑= �
= � + � + �.
= &
=
=
=
=
maka:
= &
=
=
=
=
maka:
Misalkan dipilih
=
=
=∑= �
= � + � + �.
= &
=
=
=
=
maka:
= &
=
=
=
=
maka:
Misalkan dipilih
=
=
=∑= �
= � + � + �.
Misalkan dipilih
=
=
=∑= �
= � + � + �.
Misalkan dipilih
=
=
=∑= �
= � + � + �.
Nilai
, , , , , } merupakan nilai terbesar hasil
�� = max{ ,
substitusi Solusi III dengan pola II ke fungsi objektif dual masalah (4,7). Nilai tersebut
akan dipilih sebagai calon nilai minimum total pekerja yang berasal dari Solusi III.
2
Hasil substitusi Solusi IV ke fungsi objektif dual masalah (4,7)
Berdasarkan Tabel 5,
= + = + = + = + = ( = , , … , ),
adalah Solusi IV yang akan disubstitusikan ke fungsi objektif dual masalah (4,7).
Hasil substitusi tersebut dinotasikan dengan ( = , , … , ).
Misalkan dipilih =
=
=∑= �
� + � + � +
=
=
� +
=
Misalkan dipilih
=
=
=
=
=∑= �
= � + � + � + � + �.
�.
= &
=
=
maka:
= &
=
=
maka:
32
Misalkan dipilih
= =
=
=
=∑= �
= � + � + � + � + �.
Misalkan dipilih =
=
=
=
=∑= �
= � + � + � + � + �.
Misalkan dipilih
=
=
=
=
=∑= �
= � + � + � + � + �.
Misalkan dipilih
=
=
=
=∑= �
= � + � + � + � + �.
= &
=
=
maka:
= &
=
=
maka:
= &
=
=
maka:
=
= &
=
=
maka:
Misalkan dipilih
=
=
= =
=∑= �
= � + � + � + � + �.
= &
=
=
maka:
Nilai
, , , , , } merupakan nilai terbesar hasil
�� = max{ ,
substitusi Solusi IV ke fungsi objektif dual masalah (4,7). Nilai tersebut akan dipilih
sebagai calon nilai minimum total pekerja yang berasal dari Solusi IV.
33
Lampiran 5 Penentuan persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap
pola penjadwalan masalah (4,7)
a. Menentukan banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) saat
� = � ��
Berikut ini, dalam penentuan banyaknya pekerja akan diberikan prioritas
alokasi nilai untuk pola penjadwalan tertentu. Tingkat prioritas tersebut diberikan
berdasarkan Tabel 6. Adapun prioritas yang diberikan mulai dari biaya yang
termurah hingga termahal.
Pola penjadwalan
merupakan pola penjadwalan dengan biaya termurah
dalam masalah (4,7), sehingga
diberikan prioritas alokasi nilai untuk terlebih
dahulu dipenuhi kuotanya. Berdasarkan informasi pada Tabel 2, maka persamaan
berikut ini akan digunakan untuk menentukan nilai .
+
+
+
+
+
+
=
=
=
(saat =
(saat =
(saat =
.
Setiap nilai ruas kanan persamaan tersebut merupakan nilai parameter yang
harus dipenuhi oleh hasil penjumlahan ruas kirinya. Misalkan di setiap persamaan
tersebut, seluruh alokasi nilai ruas kiri yang tersedia diberikan untuk . Namun, agar
tetap memenuhi persamaan banyaknya pekerja yang libur saat = , saat = dan
saat = , maka
,
dan
. Dapat ditentukan nilai terbesar dari
yang mungkin adalah
= min{ , , }.
Biaya pola penjadwalan sama dengan biaya pola penjadwalan . Setelah
nilai diperoleh, selanjutnya nilai dapat diberikan prioritas alokasi nilai untuk
terlebih dahulu dipenuhi kuotanya. Berdasarkan informasi pada Tabel 2 dan fungsi
objektif primal masalah (4,7), maka persamaan berikut ini akan digunakan untuk
menentukan nilai .
+
+
=
(saat =
+
+
=
(saat =
+
+
=
(saat =
� = � �� =
+
+
+
+
+
+
.
Nilai telah ditentukan sehingga persamaan-persamaan yang akan digunakan
berubah menjadi:
+
+
+
+
=
=
+
+
−
−
=
+
(saat
(saat
(saat
+
=
=
=
+
=�−
.
Misalkan di setiap persamaan tersebut, seluruh alokasi nilai ruas kiri yang
tersedia diberikan untuk . Namun, agar tetap memenuhi persamaan banyaknya
pekerja yang libur saat = , saat = , saat = dan persamaan total pekerja,
maka
− ,
− ,
dan
� − . Dapat ditentukan
nilai terbesar dari yang mungkin adalah
= min{ , − , − , � − }.
Biaya pola penjadwalan merupakan biaya yang termurah setelah biaya pola
penjadwalan
. Setelah nilai
dan
diperoleh, selanjutnya nilai
dapat
diberikan prioritas alokasi nilai untuk terlebih dahulu dipenuhi kuotanya.
34
Berdasarkan informasi pada Tabel 2 dan fungsi objektif primal masalah (4,7), maka
persamaan berikut ini akan digunakan untuk menentukan nilai .
+
+
=
(saat =
+
+
=
(saat =
+
+
=
(saat =
� = � �� =
+
+
+
+
+
−
.
+
.
Nilai
dan
telah ditentukan sehingga persamaan-persamaan yang akan
digunakan berubah menjadi:
+
+
=
+
+
=
−
+
=
(saat =
−
(saat =
− (saat =
+
+ =�−
Misalkan di setiap persamaan tersebut, seluruh alokasi nilai ruas kiri yang
tersedia diberikan untuk . Namun, agar tetap memenuhi persamaan banyaknya
pekerja yang libur saat = , saat = , saat = dan persamaan total pekerja,
maka
− ,
− − ,
dan
� − − . Dapat
ditentukan nilai terbesar dari
yang mungkin adalah
= min{ , − , −
− , � − − }.
Biaya pola penjadwalan yang termurah selanjutnya adalah . Setelah nilai ,
, dan diperoleh, nilai
dapat diberikan prioritas alokasi nilai untuk terlebih
dahulu dipenuhi kuotanya. Berdasarkan informasi pada Tabel 2 dan fungsi objektif
primal masalah (4,7), maka persamaan ber
EMPAT HARI KERJA DALAM SEMINGGU SECARA SIKLIS
BERBASIS DUAL
ARIYANTO PAMUNGKAS
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pengoptimuman
Masalah Penjadwalan Empat Hari Kerja dalam Seminggu Secara Siklis Berbasis
Dual adalah benar karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2016
Ariyanto Pamungkas
NIM G54110056
ABSTRAK
ARIYANTO PAMUNGKAS. Pengoptimuman Masalah Penjadwalan
Empat Hari Kerja dalam Seminggu Secara Siklis Berbasis Dual. Dibimbing oleh
AMRIL AMAN dan FARIDA HANUM.
Setiap perusahaan memiliki permasalahan penjadwalan yang disesuaikan
dengan kondisi perusahaannya. Pola penjadwalan empat hari kerja dan tiga hari
libur berturut-turut dalam seminggu dapat menjadi penjadwalan alternatif untuk
beberapa perusahaan. Karya ilmiah ini akan menyelesaikan masalah penjadwalan
tersebut dengan menggunakan algoritme yang disusun berdasarkan solusi masalah
dual dari suatu pemrograman linear. Algoritme tersebut menghasilkan
penjadwalan dengan total pekerja dan biaya yang minimum.
Kata kunci: dual, empat hari kerja, pengoptimuman, penjadwalan.
ABSTRACT
ARIYANTO PAMUNGKAS. On the Dual-Based Optimization of Cyclic
Four-Day Workweek Scheduling. Supervised by AMRIL AMAN and FARIDA
HANUM.
Every company has scheduling problems that be adapted to the
condition of company. Four workdays and three consecutive day-offs per
week can be considered as an alternate scheduling for some companies. This
work addresses the scheduling problem using the algorithm that be arranged
according to the dual-based solution of linear programming. The algorithm
generates the scheduling that minimizes the workforce size and the total of
labor cost.
Keywords: dual, four-day workweek, optimization, scheduling.
PENGOPTIMUMAN MASALAH PENJADWALAN
EMPAT HARI KERJA DALAM SEMINGGU SECARA SIKLIS
BERBASIS DUAL
ARIYANTO PAMUNGKAS
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya dan atas doa serta dukungan kedua orang tua sehingga karya
ilmiah ini berhasil diselesaikan. Disadari bahwa laporan akhir ini tidak akan
tersusun tanpa bantuan berbagai pihak. Oleh sebab itu, disampaikan ucapan terima
kasih yang sebesar-besarnya kepada Bapak Dr Ir Amril Aman, MSc dan Ibu Dra
Farida Hanum, MSi selaku pembimbing serta Bapak Dr Toni Bakhtiar, MSc
selaku dosen penguji. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada
seluruh staf administrasi dan dosen pengajar serta teman-teman mahasiswa
Matematika IPB yang telah membantu membuka wawasan untuk menggali
informasi lebih mendalam dalam proses pembelajaran.
Laporan akhir ini diharapkan dapat memberikan kontribusi pemikiran bagi
semua pihak yang berkepentingan. Oleh karena itu, saran dan kritik membangun
akan diterima untuk perbaikan dan penyempurnaan di masa mendatang.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga,
atas segala doa dan kasih sayangnya.
Bogor, Januari 2016
Ariyanto Pamungkas
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
x
DAFTAR GAMBAR
x
DAFTAR LAMPIRAN
x
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Pemrograman Linear Integer
2
Daerah Fisibel
2
Dualitas
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
3
Model Penjadwalan
3
Pemrograman Linear Masalah (4,7)
4
Penentuan Total Pekerja Minimum
6
Penempatan Pekerja pada Pola-Pola Penjadwalan Masalah (4,7)
10
Alur Penggunaan Algoritme
16
SIMPULAN DAN SARAN
20
Simpulan
20
Saran
20
DAFTAR PUSTAKA
20
RIWAYAT HIDUP
43
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Pola penjadwalan dan banyaknya pekerja masalah (4,7)
Banyak pekerja harian masalah (4,7)
Hasil penyelesaian model dengan LINGO 11.0
Hasil perolehan Solusi III
Hasil perolehan Solusi IV
Biaya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7)
Nilai , , dan
untuk semua kemungkinan nilai �
Nilai dan untuk semua kemungkinan nilai �
Nilai dan untuk semua kemungkinan nilai �
Solusi yang mungkin pada Contoh 1
Hasil penjadwalan Contoh 1
Solusi yang mungkin pada Contoh 2
Hasil Penjadwalan Contoh 2
Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I, II, III, dan IV
Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai V dan VI
Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I dan II
Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai III dan IV
3
4
5
8
9
10
13
14
15
17
18
19
20
26
27
28
29
DAFTAR GAMBAR
1 Hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk masalah (4,7)
2 Solver status software LINGO 11.0 untuk masalah (4,7)
22
23
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk masalah (4,7)
2 Pembuktian bahwa Solusi I lebih baik atau sama dengan solusi yang
diperoleh dengan cara memberi nilai /� pada sembarang �
variabel dual
3 Pencarian Solusi III dan Solusi IV
4 Substitusi Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV ke fungsi
objektif dual masalah (4,7)
5 Penentuan persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap
pola penjadwalan masalah (4,7)
6 Hasil substitusi semua kemungkinan solusi ke fungsi objektif dual pada
Contoh 1 dan Contoh 2
1
22
24
25
30
33
40
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Penjadwalan yang optimal akan menekan anggaran perusahaan dengan
meminimumkan banyak tenaga kerja, sehingga biaya yang dikeluarkan untuk
membayar gaji pekerja dapat diminimumkan. Oleh karena itu, penjadwalan harus
dioptimalkan agar dapat meminimumkan biaya yang dikeluarkan.
Setiap perusahaan memiliki cara yang beragam dalam menyelesaikan masalah
penjadwalan pekerjanya. Umumnya masalah penjadwalan pekerja dapat
diklasifikasikan menjadi tiga jenis, yaitu days-off, shift, dan tour scheduling. Secara
garis besar days-off scheduling adalah penjadwalan hari kerja dan libur pekerja, shift
scheduling adalah penjadwalan yang berfokus pada interval waktu kerja dan libur
pekerja, sedangkan kombinasi antara days-off dan shift scheduling yang membentuk
pola penjadwalan tertentu merupakan masalah penjadwalan yang disebut tour
scheduling (Baker 1976). Karya ilmiah ini membahas pengoptimuman masalah
penjadwalan days-off scheduling dengan merujuk pada artikel Alfares (2000). Karya
ilmiah ini terinspirasi dari karya ilmiah yang berjudul Optimasi berbasis dual
masalah penjadwalan tiga hari kerja dalam seminggu secara siklis (Hadi 2014).
Permasalahan umum dalam days-off scheduling adalah mencari pola hari kerja
yang optimal, yaitu pola penjadwalan hari kerja dan libur. Pola-pola tersebut harus
memenuhi banyak pekerja yang dibutuhkan setiap harinya. Selain itu, masalah
penjadwalan days-off scheduling juga harus mempertimbangkan lebih lanjut apabila
adanya kendala perbedaan biaya pekerja pada masing-masing pola penjadwalan.
Penyelesaian masalah penjadwalan days-off scheduling umumnya menggunakan
metode integer programming (IP) (Alfares 2000). Terkait dengan suatu masalah
pemrograman linear, terdapat masalah pengoptimuman linear lain yang berpadanan.
Kedua masalah ini dikenal dengan masalah primal dan masalah dual dari suatu
pemrograman linear (Luenberger dan Ye 2007). Karya ilmiah ini akan membahas
cara alternatif untuk menyelesaikan masalah penjadwalan days-off scheduling, yaitu
dengan menggunakan algoritme yang disusun berdasarkan solusi masalah dual dari
suatu pemrograman linear. Algoritme tersebut menghasilkan penjadwalan dengan
total pekerja dan biaya yang minimum. Selain itu, algoritme tersebut memiliki
komputasi yang sederhana tanpa iterasi (Alfares 2000). Oleh karena itu, karya ilmiah
ini akan menggunakan algoritme berbasis dual yang merujuk pada artikel Alfares
(2000) untuk menyelesaikan masalah penjadwalan days-off scheduling.
Tujuan Penelitian
Tujuan karya ilmiah ini ialah meminimumkan banyaknya total pekerja dan
menetapkan pola penjadwalan, yaitu empat hari kerja dan tiga hari libur dalam
seminggu secara siklis yang meminimumkan biaya total pekerja dengan
menggunakan metode dual.
TINJAUAN PUSTAKA
Untuk memahami masalah dalam karya ilmiah ini diperlukan beberapa
pengertian sebagai berikut.
Pemrograman Linear Integer
Pemrograman integer atau integer programming (IP) adalah suatu model
pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer).
Jika semua variabel harus berupa integer, masalah tersebut dinamakan pure integer
programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa integer, disebut mixed integer
programming. Adapun IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut
0-1 IP.
Daerah Fisibel
Daerah fisibel dalam pemrograman linear adalah himpunan titik yang
memenuhi semua kendala dalam pemrograman linear dan tanda pembatasnya
(Winston 2004).
Dualitas
Terkait dengan suatu masalah pengoptimuman linear, terdapat masalah
pengoptimuman linear lain yang berpadanan. Kedua masalah ini dikenal dengan
masalah primal dan masalah dual dari suatu pengoptimuman linear.
Bentuk standar dari masalah primal untuk masalah pencarian nilai minimum
(Luenberger dan Ye 2007), adalah sebagai berikut:
�
minimumkan
terhadap
,
dan masalah dual untuk masalah primal di atas adalah sebagai berikut:
maksimumkan
terhadap
�
�
,
�
dengan
×
×
×
×
×
= koefisien fungsi tujuan masalah primal
= variabel keputusan masalah primal
= matriks kendala pemrograman linear
= konstanta ruas kanan kendala masalah primal
= variabel keputusan masalah dual.
Teorema yang menghubungkan antara solusi dual dan primal adalah sebagai
berikut:
∗ ∗
Jika masalah primal memiliki solusi optimal berupa
, , … , ∗ dan
masalah dual memiliki solusi optimal berupa ∗ , ∗ , … , ∗ maka:
∑
=
∗
=∑=
∗
(Chvátal 1983).
Bila dibandingkan, maka hubungan antara masalah primal dan dual
(Luenberger dan Ye 2007), yaitu:
3
1
2
3
4
5
Koefisien fungsi tujuan pada primal menjadi konstanta ruas kanan pada dual.
Sebaliknya, konstanta ruas kanan pada primal menjadi koefisien fungsi tujuan
pada dual.
Tanda ketidaksamaan pada pembatas menjadi terbalik, jika pada primal
berubah menjadi pada dual.
Fungsi tujuan berubah bentuk, minimisasi pada primal akan berubah menjadi
maksimisasi pada dual.
Setiap kolom kendala pada primal berhubungan dengan baris kendala pada dual.
Sebaliknya, setiap baris kendala pada primal akan menjadi kolom kendala pada
dual.
Dual dari dual adalah primal.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Penjadwalan
Karya ilmiah ini akan mengkaji tentang masalah penjadwalan empat hari kerja
dalam tujuh hari yang disebut dengan masalah (4,7). Keterangan notasi yang
digunakan adalah sebagai berikut:
Indeks
i = hari, i = 1, 2,..., 7
j = pola penjadwalan, j = 1, 2,..., 7.
Parameter
� = banyaknya pekerja yang dibutuhkan pada hari i
= banyaknya pekerja yang libur pada hari i.
Variabel keputusan
= banyaknya pekerja yang bekerja pada pola penjadwalan ke-j.
Misalkan hari 1= Senin, 2= Selasa, 3= Rabu, 4= Kamis, 5= Jumat, 6= Sabtu,
7= Minggu, maka pola penjadwalan dan banyak pekerja masalah (4,7) dapat dilihat
di Tabel 1. Adapun banyak pekerja harian masalah (4,7) dapat dilihat di Tabel 2.
Tabel 1 Pola penjadwalan dan banyaknya pekerja masalah (4,7)
Pola ke1
2
3
4
5
6
7
Hari kerja
4, 5, 6, 7
5, 6, 7, 1
6, 7, 1, 2
7, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
2, 3, 4,5
3, 4, 5, 6
Hari libur
1,2,3
2,3,4
3,4,5
4,5,6
5,6,7
1,6,7
1,2,7
Banyak pekerja pada pola ke-
4
Tabel 2 Banyak pekerja harian masalah (4,7)
Hari
ke1
2
3
4
5
6
7
Banyak pekerja
Dibutuhkan
�
�
�
�
�
�
�
Dipekerjakan
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
Libur
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
Pemrograman Linear Masalah (4,7)
Dalam karya ilmiah ini, masalah (4,7) akan dijelaskan menggunakan
pemrograman linear dual serta melalui hubungan primal-dual. Masalah primal dari
masalah (4,7) adalah sebagai berikut:
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah (4,7) adalah meminimumkan banyaknya total
pekerja selama seminggu (�), yaitu:
Kendala
min � = ∑
=
.
(1)
Kendala-kendala pada masalah (4,7) adalah sebagai berikut:
1 Banyaknya pekerja yang bekerja pada hari ke-i harus lebih besar atau sama
dengan banyaknya pekerja yang dibutuhkan pada hari ke-i � . Berdasarkan
informasi yang diberikan pada Tabel 2, maka pertidaksamaan kendala masalah
(4,7) adalah sebagai berikut:
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
�
�
�
�
�
�
�.
(2)
Banyaknya pekerja yang bekerja dengan pola penjadwalan ke- j harus taknegatif,
, = , ,…, .
(3)
5
Sebagai ilustrasi diberikan contoh IP masalah (4,7).
Contoh 1
Misalkan � = , � = , � = , � = , � = , � = , � = .
Dengan bantuan software LINGO 11.0 (Lampiran 1), solusi masalah (4,7)
adalah seperti pada Tabel 3.
Tabel 3 Hasil penyelesaian model dengan LINGO 11.0
Pola
ke1
2
3
4
5
6
7
Hari kerja
Hari libur
Banyak pekerja
Kamis-Jumat-Sabtu-Minggu
Senin-Jumat-Sabtu-Minggu
Senin-Selasa-Sabtu-Minggu
Senin-Selasa-Rabu-Minggu
Senin-Selasa-Rabu-Kamis
Selasa-Rabu-Kamis-Jumat
Rabu-Kamis-Jumat-Sabtu
Senin-Selasa-Rabu
Selasa-Rabu-Kamis
Rabu-Kamis-Jumat
Kamis-Jumat-Sabtu
Jumat-Sabtu-Minggu
Senin- Sabtu-Minggu
Senin-Selasa- Minggu
0
0
5.5
0
8.5
0
9.5
23.5
�
Contoh tersebut memberikan gambaran bahwa jika masalah (4,7) diselesaikan
secara langsung maka diperoleh solusi yang tidak integer. Padahal terdapat solusi
integer yang memenuhi masalah (4,7), yaitu
= , = , = , = , =
, = , = . Penyelesaian masalah (4,7) tersebut akan dicoba diselesaikan
dengan metode dual. Sebuah algoritme akan disusun berdasarkan solusi masalah dual
dari pemrograman linear tersebut. Algoritme tersebut memiliki komputasi yang
sederhana dalam penggunaannya, yaitu dengan melakukan teknik substitusi ke dalam
formula sederhana tanpa iterasi (Alfares 2000). Oleh karena itu, metode dual akan
digunakan untuk menyelesaikan masalah (4,7) dalam karya ilmiah ini.
Masalah primal dari masalah (4,7) dapat dirangkum dan dituliskan sebagai
berikut:
min � = ∑
terhadap
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
, =
=
+
+
+
+
+
+
+
, ,…,
�
�
�
�
�
�
�
.
Masalah dual dari masalah (4,7) dan keterangan notasi yang diperlukan adalah
sebagai berikut:
6
Variabel Keputusan
= variabel dual yang berpadanan dengan kendala ke i pada masalah primal.
Fungsi Objektif
Berdasarkan hubungan primal-dual, maka fungsi objektif dual dapat dituliskan
sebagai berikut:
max � = ∑ = �
.
(4)
Kendala
1 Berdasarkan hubungan primal-dual, maka kendala dual dapat dituliskan sebagai
berikut:
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
.
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
Setiap nilai variabel dual harus taknegatif,
,
= , ,…, .
(6)
Penentuan Total Pekerja Minimum
Berdasarkan teorema dual dan struktur masalah (4,7), nilai minimum total
ke
pekerja dapat diperoleh dari hasil substitusi solusi optimal dual
, ,…,
fungsi objektifnya, sehingga � = �. Fungsi objektif dual melibatkan banyaknya
. Nilai
kebutuhan pekerja harian � , � , … , � dan variabel dual
, ,…,
� , � , … , � adalah nilai parameter yang tidak tentu nilainya, yaitu bergantung pada
permasalahan yang diinginkan, sehingga solusi optimal yang diperoleh tidak bersifat
universal untuk semua jenis masalah (4,7). Semua solusi yang termasuk dalam
daerah fisibel akan dipilih salah satu di antaranya sebagai solusi optimal. Solusi yang
menghasilkan nilai terbesar dari hasil susbtitusinya ke fungsi objektif merupakan
solusi optimal dalam kasus maksimisasi (Winston 2004). Berikut ini akan ditentukan
solusi-solusi variabel dual ( , , … ,
yang termasuk dalam daerah fisibel sistem
pertidaksamaan (5).
1 Solusi I
Misalkan � = max{� , … , � }, maka Solusi I dapat diperoleh dengan memberi
nilai
= dan semua variabel dual lain bernilai nol. Dalam kasus ini, � = � =
� �� . Solusi ini lebih baik atau sama dengan solusi yang diperoleh dengan cara
memberi nilai ⁄� pada sembarang � variabel dual � = , … , (Bukti di
Lampiran 2). Berdasarkan struktur masalah (4,7), dimungkinkan memberi nilai ⁄�
untuk lebih dari � variabel dual.
7
Contohnya: Misalkan � = , dimungkinkan memberi nilai ⁄ untuk lebih dari 2
variabel dual, yaitu
=
=
= ⁄ . Nilai tersebut memenuhi sistem
pertidaksamaan linear masalah (4,7) sebagai berikut:
+
+
+
menjadi
+
+
+
menjadi +
+
+
+
menjadi +
+
menjadi
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
menjadi +
menjadi +
menjadi +
.
Contoh tersebut memberikan gambaran bahwa dimungkinkan memberi nilai
⁄� untuk lebih dari � variabel dual untuk memperoleh solusi masalah (4,7).
Kemungkinan solusi-solusi tersebut ialah sebagai berikut.
2 Solusi II
Sistem pertidaksamaan linear kendala dual masalah (4,7) merupakan sistem
pertidaksamaan linear dengan tujuh peubah dan tujuh pertidaksamaan. Namun, setiap
pertidaksamaan linearnya hanya memiliki empat peubah. Jadi, masih dapat diperoleh
solusi dengan memberi nilai setiap variabel dual dengan ⁄ ( = ⁄ , ∀
=
, , … , . Dalam kasus ini � = ∑ = � .
3 Solusi III
Empat peubah dalam setiap pertidaksamaan (5) dapat dipilih dua di antaranya
bernilai ⁄ dan yang lainnya bernilai nol, sehingga penjumlahan keempatnya
bernilai satu. Misalkan terdapat empat variabel, kombinasi pemilihan dua variabel
bernilai ⁄ dan dua variabel bernilai nol menghasilkan sebanyak enam kombinasi
pasangan nilai. Enam kombinasi pasang nilai tersebut diterapkan pada ketujuh
pertidaksamaan (5). Berdasarkan sistem pertidaksamaan (5), pemilihan dua variabel
dual bernilai ⁄ pada salah satu pertidaksamaan linear sebagai nilai awal
mengakibatkan semua nilai variabel dual yang lain dapat diperoleh. Penelusuran
enam kombinasi pemilihan dua variabel bernilai ⁄ sebagai nilai awal pada ketujuh
pertidaksamaan (5) dilakukan untuk menghasilkan semua nilai Solusi III (Lampiran
3). Berdasarkan hasil pencarian tersebut, Solusi III yang diperoleh dapat dirangkum
dan dituliskan dalam Tabel 4.
8
Tabel 4 Hasil perolehan Solusi III
�
1
Variabel yang bernilai ⁄
+
+
+
+
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Berdasarkan Tabel 4, dapat disimpulkan bahwa nilai Solusi III membentuk pola
I dan pola II pada urutannya. Pola I dan pola II yaitu, = + = + = ⁄ dan
= + = + = ⁄ . Setiap solusi tersebut akan disubstitusikan ke fungsi
objektif dual (Lampiran 4). Hasil substitusi ke fungsi objektif dual dalam kasus ini
= , … , untuk
ialah � = �� = max{ , … , }, = ⁄ � + � + + � +
kasus yang mengikuti pola I dan � =
},
= ⁄ � +
�� = max{ , … ,
�+ + �+
= , … , untuk kasus yang mengikuti pola II. Masalah (4,7) bersifat
siklis, yaitu dalam seminggu hanya ada tujuh hari dan berulang setiap minggunya,
maka untuk subscript dari � + , � + , dan � + berlaku kelipatan 7. Misalkan jika =
, maka � + = � , � + = � , dan � + = � . Karena bersifat siklis, maka dapat
dituliskan � = � , � = � , dan � = � .
4 Solusi IV
Ruas kiri pertidaksamaan (5) juga dapat bernilai satu, yaitu dengan memilih
tiga dari empat nilai variabel dual bernilai ⁄ dan satu variabel dual bernilai nol.
Misalkan terdapat empat variabel, kombinasi pemilihan tiga variabel bernilai ⁄ dan
satu variabel bernilai nol menghasilkan sebanyak empat kombinasi pasangan nilai.
Empat kombinasi pasangan nilai tersebut diterapkan pada ketujuh pertidaksamaan
9
linear. Berdasarkan sistem pertidaksamaan (5), pemilihan tiga variabel dual bernilai
⁄ pada salah satu pertidaksamaan linear sebagai nilai awal mengakibatkan semua
nilai variabel dual yang lain dapat diperoleh. Penelusuran empat kombinasi
pemilihan tiga variabel bernilai ⁄ sebagai nilai awal pada ketujuh pertidaksamaan
(5), dilakukan untuk menghasilkan Solusi IV (Lampiran 3). Berdasarkan hasil
penelusuran tersebut, Solusi IV yang diperoleh dapat dirangkum dan dituliskan
dalam Tabel 5.
Tabel 5 Hasil perolehan Solusi IV
Variabel yang bernilai ⁄
�
+
1
+
+
+
2
3
4
5
6
7
Setiap solusi tersebut akan disubstitusikan ke fungsi objektif dual (Lampiran 4).
Hasil substitusi ke fungsi objektif dual dalam kasus ini ialah � = �� =
= ⁄ � + �+ + �+ + �+ + �+
= , … , . Masalah
max{ , … , },
(4,7) bersifat siklis, yaitu dalam seminggu hanya ada tujuh hari dan berulang setiap
minggunya, maka untuk subscript dari � + , � + , � + , dan � + berlaku kelipatan 7.
Misalkan jika = , maka � + = � , � + = � , � + = � , dan � + = � . Karena
bersifat siklis, maka dapat dituliskan � = � , � = � , � = � , dan � = � .
Setiap pertidaksamaan (5) memiliki empat variabel, sehingga tidak ada
kombinasi pasangan empat variabel bernilai lebih kecil dari ⁄ yang dapat
menghasilkan ruas kiri pertidaksamaan (5) bernilai satu. Dapat disimpulkan bahwa
selain Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV tidak ada solusi lain yang dapat
menghasilkan nilai maksimum pada fungsi objektif dual masalah (4,7).
Setiap Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV akan disubstitusikan ke
fungsi objektif dual masalah (4,7). Hasil substitusi Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan
Solusi IV ke fungsi objektif dual masalah (4,7) akan dipilih nilai yang terbesar
sebagai nilai minimum total pekerja masalah (4,7), sehingga � = �. Banyaknya
minimum total pekerja merupakan besaran yang harus berupa bilangan bulat.
Apabila memperoleh hasil bukan bilangan bulat, akan dilakukan proses pembulatan
menjadi bilangan bulat terdekat yang lebih besar dari nilai minimum total pekerja
yang diperoleh. Berikut ini adalah perumusan masalah (4,7) untuk menentukan
minimum total pekerja, dapat dirangkum menjadi:
� = max {�
�� ,
∑= � ,
��
,
��
,
��
}.
(7)
10
Penempatan Pekerja pada Pola-Pola Penjadwalan Masalah (4,7)
Setelah diperoleh nilai minimum total pekerja, maka langkah selanjutnya
adalah mencari pola penjadwalan yang meminimumkan biaya. Sejatinya untuk
memperoleh minimum biaya pekerja adalah dengan melakukan pengoptimuman
masalah penjadwalan untuk meminimumkan banyaknya total pekerja. Namun, jika
terdapat perbedaan biaya pada hari tertentu, pengoptimuman lebih lanjut akan
dilakukan agar pola penjadwalan pekerjanya dapat meminimumkan biaya. Misalkan
biaya untuk setiap pekerja pada hari biasa (Senin-Jumat) sebesar dan biaya pekerja
pada akhir pekan (Sabtu dan Minggu) adalah ( + ), sehingga biaya untuk tiap pola
pekerja adalah sebagai berikut:
Tabel 6 Biaya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7)
Hari Kerja
Variabel biaya
Kamis-Jumat-Sabtu-Minggu
Senin-Jumat-Sabtu-Minggu
Senin-Selasa-Sabtu-Minggu
Senin-Selasa-Rabu-Minggu
Senin-Selasa-Rabu-Kamis
Selasa-Rabu-Kamis-Jumat
Rabu-Kamis-Jumat-Sabtu
+
+
+
+
Pola ke1
2
3
4
5
6
7
+
Pengoptimuman masalah penjadwalan yang meminimumkan biaya akan
dilakukan dengan mempertimbangkan kebutuhan pekerja setiap harinya. Prioritas
alokasi pekerja diberikan pada pola penjadwalan mulai dari yang termurah untuk
memperoleh pola penjadwalan yang meminimumkan biaya. Kuota pada pola
penjadwalan yang termurah dipastikan terisi penuh. Jika kuota pada pola
penjadwalan yang termurah sudah terisi penuh, kemudian beranjak pada pola
penjadwalan yang termurah setelahnya. Hal tersebut dilakukan hingga seluruh
pekerja memperoleh jadwal bekerjanya masing-masing dan kebutuhan pekerja setiap
harinya terpenuhi. Berikut ini akan ditentukan pola penjadwalan pekerja yang
meminimumkan biaya akibat adanya perbedaan biaya di setiap jenis pola
penjadwalan. Namun, tetap memenuhi kebutuhan pekerja setiap harinya.
1 Saat � = � ��
Persamaan yang berlaku pada masalah (4,7) digunakan untuk menentukan
banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) (Lampiran 5).
Persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan
masalah (4,7) dalam kasus ini adalah sebagai berikut:
= min{ ,
= min{ ,
= min{ ,
,
−
−
}
,
,
−
−
,� − }
− ,� −
−
}
11
= min{ , − , − −
= min{ , − , − −
= min{ − , − , −
=�− − − − −
,� − −
,� − −
− ,� −
− .
−
−
−
}
−
−
}
−
−
}
2 Saat � = ∑ = �
Persamaan yang berlaku pada masalah (4,7) digunakan untuk menentukan
banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) (Lampiran 5).
Persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan
masalah (4,7) dalam kasus ini adalah sebagai berikut:
=�− −
=�− −
=�− −
=�− −
=�− −
=�− −
=�− − .
Dalam kasus ini, untuk menentukan nilai , , … , diperoleh persamaan
yang unik. Meskipun terdapat perbedaan biaya, setiap nilai , , … ,
tidak
mendapatkan prioritas dalam pemenuhan kuotanya karena telah diperoleh persamaan
yang unik untuk menentukan nilai , , … , .
3 Saat � =
��
Persamaan untuk menentukan nilai
, ,…,
diperoleh dengan
menggunakan persamaan yang berlaku pada masalah (4,7) (Lampiran 5). Misalkan
, persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap pola
�=
�� =
penjadwalan masalah (4,7) dalam kasus ini adalah sebagai berikut:
=
=�− −
= −
= −
= −
+ = − .
Berdasarkan beberapa persamaan tersebut, dapat disimpulkan bahwa semua
nilai unik diperoleh kecuali dan . Penentuan nilai dan
dapat dilakukan
dengan pengoptimuman lebih lanjut. Agar meminimumkan biaya, sisa nilai yang
tersedia
−
diprioritaskan untuk pola penjadwalan yang memiliki biaya
termurah di antara dan . Kuota pada pola penjadwalan yang termurah dipastikan
terisi penuh. Jika kuota pada pola penjadwalan yang termurah sudah terisi penuh,
kemudian beranjak pada pola penjadwalan yang termurah setelahnya. Cara yang
digunakan untuk semua
sama dengan cara penyelesaian saat � =
�� =
kemungkinan kasus saat � =
�� . Solusi secara spesifik dan lengkap diberikan
dalam Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9.
12
4 Saat � =
��
5 Saat � =
��
Persamaan untuk menentukan banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan
masalah (4,7) dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan yang berlaku pada
, persamaan untuk
masalah (4,7) (Lampiran 5). Misalkan � =
�� =
memperoleh banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) dalam
kasus ini adalah sebagai berikut:
=
=
=
=
+ + =�− − .
Berdasarkan beberapa persamaan tersebut, dapat disimpulkan bahwa semua
nilai unik diperoleh kecuali , , dan . Penentuan nilai , , dan
dapat
dilakukan pengoptimuman lebih lanjut. Agar meminimumkan biaya, sisa nilai yang
tersedia � − −
diberikan dan diprioritaskan untuk pola penjadwalan yang
termurah di antara , , dan . Kuota pada pola penjadwalan yang termurah
dipastikan terisi penuh. Jika kuota pada pola penjadwalan yang termurah sudah terisi
penuh, kemudian beranjak pada pola penjadwalan yang termurah setelahnya. Cara
digunakan untuk
yang sama dengan cara penyelesaian saat � =
�� =
semua kemungkinan kasus saat � =
�� . Solusi secara spesifik dan lengkap
diberikan dalam Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9.
Persamaan yang berlaku pada masalah (4,7) digunakan untuk menentukan
banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) (Lampiran 5). Misalkan
, persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap pola
�=
�� =
penjadwalan masalah (4,7) dalam kasus ini adalah sebagai berikut:
=
=
=
+ + + =�− .
Berdasarkan beberapa persamaan tersebut, dapat disimpulkan bahwa
persamaan untuk menentukan nilai
,
,
, dan
tidak unik diperoleh.
Penentuan nilai ,
, , dan
dapat dilakukan pengoptimuman lebih lanjut.
Agar meminimumkan biaya, sisa nilai yang tersedia � −
diberikan dan
diprioritaskan untuk pola penjadwalan yang termurah di antara , , , dan .
Kuota pada pola penjadwalan yang termurah dipastikan terisi penuh. Jika kuota pada
pola penjadwalan yang termurah sudah terisi penuh, kemudian beranjak pada pola
penjadwalan yang termurah setelahnya. Cara yang sama dengan cara penyelesaian
digunakan untuk semua kemungkinan kasus saat � =
saat � =
�� =
.
Solusi
secara
spesifik
dan lengkap diberikan dalam Tabel 7, Tabel 8, dan
��
Tabel 9.
13
Tabel 7 Nilai
�
�
��
∑�
�−
,
untuk semua kemungkinan nilai �
, dan
− −
− −
�−
−
−
min{ − , − ,
− − ,� − −
− − − }
�− −
�−
−
−
�−
−
−
−
min{ ,
−
}
min{ ,
−
}
−
min{
,
−
−
−
−
−
−
,
−
−
−
}
min{
− ,
−
−
−
−
− ,
− −
min{ ,
−
}
−
min{ ,
−
}
−
−
−
−
−
min{ − , −
, − − }
min{ , − , −
}
−
−
−
−
−
�−
−
−
−
0
−
min{ , − ,
− − ,� −
− − − }
�− −
−
−
}
14
Tabel 8 Nilai
�
�
��
∑�
untuk semua kemungkinan nilai �
dan
min{ ,
−
,
−
�−
�−
−
−
−
,� −
−
}
min {
�−
−
�−
−
min{
−
,
min{ ,
−
−
−
−
−
}
−
−
−
,
−
,
−
−
}
min{ ,
min{ ,
min{ ,
−
min{ ,
−
}
min{ ,
−
}
−
−
,
−
−
−
,
}
−
−
,
−
}
−
,
−
}
−
min{ ,
,
−
min{ ,
−
−
}
min{ ,
−
}
min{ ,
−
}
}
}
15
Tabel 9 Nilai
�
�
��
∑�
untuk semua kemungkinan nilai �
dan
min{
,
−
�−
,
−
−
−
,� −
}
min{ , − , − −
,� − − − }
�− −
−
−
−
�−
−
−
−
�−
−
min{
min{
−
,
−
,
−
−
min{ ,
−
,
−
}
min{ ,
−
}
min{ ,
−
}
−
,
−
−
−
,
−
−
}
}
min{
−
,
−
−
−
,
−
min{ ,
−
}
min{ ,
−
}
min{ ,
−
−
−
−
−
,
−
−
}
}
16
Alur Penggunaan Algoritme
1
Minimum total pekerja ditentukan dengan menggunakan persamaan (7).
2
Nilai , , … , menggambarkan banyaknya pekerja yang tidak berkerja pada
suatu hari. Nilai tersebut dapat ditentukan dengan mengurangi banyaknya total
pekerja dengan banyaknya pekerja yang bekerja pada hari tersebut. Nilai
, , … , juga bisa diperoleh dengan menggunakan informasi pada Tabel 2.
3
(a) Saat � = � �� maka Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9 digunakan untuk
memperoleh nilai , , … , .
(b) Saat � = ∑ �⁄ maka:
Jika nilai ∑ �⁄ bukan bilangan bulat, salah satu nilai � dipilih dan
ditambahkan dengan nilai
� − ∑ � untuk membuat ∑ � menjadi
kelipatan 4.
Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9 digunakan untuk memperoleh nilai
, ,…, .
(c) Saat � =
�� , maka:
Jika nilai
�� bukan bilangan bulat, salah satu nilai � yang
disubstitusikan ke fungsi objektif dual masalah (4,7) harus dipilih dan
ditambahkan dengan nilai � − �� untuk membuat
�� menjadi
bilangan bulat.
Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9 digunakan untuk memperoleh nilai
, ,…, .
(d) Saat � =
�� , maka:
Jika nilai
yang
�� bukan bilangan bulat, salah satu nilai �
disubstitusikan ke fungsi objektif dual masalah (4,7) akan dipilih dan
ditambahkan dengan nilai � − �� untuk membuat
�� menjadi
bilangan bulat.
Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9 digunakan untuk memperoleh nilai
, ,…, .
(e) Saat � =
�� , maka:
Jika nilai
�� bukan bilangan bulat, salah satu nilai � yang
disubstitusikan ke fungsi objektif dual masalah (4,7) akan dipilih dan
ditambahkan dengan nilai � −
�� menjadi
�� untuk membuat
bilangan bulat.
Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9 digunakan untuk memperoleh nilai
, ,…, .
17
Contoh 1
Misalkan � =
,� =
,� = ,� =
,� = ,� =
,� = .
Tabel 10 Solusi yang mungkin pada Contoh 1
i
Solusi I
Solusi II
Solusi III
Solusi IV
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
1
11
11
2
14
14
14
3
9
4
18
9
9
5
8
8
6
15
18
18
14
5
8
8
15
15
9
9
8
14
18
9
11
11
5
18
14
11
11
15
8
11
11
5
5
18
15
8
11
5
9
14
14
14
15
18
9
9
9
14
14
Total
80
33
38
32
37
37
29
34
28
47
22
44
27
35
37
57
61
51
66
51
58
56
15
11
11
11
7
5
5
8
18
18
18
9
9
18
18
14
15
15
8
8
8
5
5
15
15
15
5
5
5
8
Berdasarkan hasil substitusi Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV, maka
dapat diperoleh nilai � �� = � = ; ∑ �⁄ = ;
=
;
�� =
�� =
=
;
= . (Lampiran 6). Nilai minimum pekerja dapat
�� =
ditentukan, yaitu:
� = max{�
� = max{
�� ,
,
∑ �⁄ ,
,
,
��
,
,
. }=
= ,
=
��
.
,
=
��
.
}
Nilai
= . bukan bilangan bulat, maka harus dibulatkan dengan
�� =
menambahkan salah satu � di antara � , � , dan � , yaitu � =
dengan � −
=
,
sehingga
nilai
�
=
dan
�
=
.
��
,
=
,
= ,
=
,
,
= ,
=
.
Persamaan dari Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9, digunakan untuk mencari nilai
, … , . Berikut ini penyelesaiannya:
18
=
=
= min{ , − } = min{ ,
= min{ , − } = min{ ,
= − = − =
= − = − =
=
= .
}=
}=
Tabel 11 Hasil penjadwalan Contoh 1
Pekerja ke
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
�
0: libur; 1: masuk
Senina
Selasa
Rabu
Kamis
Jumat
Sabtu
Minggu
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
14
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
18
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
15
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
19
Contoh 2
Misalkan � = , � = , � = , � = , � = , � = , � = .
Tabel 12 Solusi yang mungkin pada Contoh 2
i
Solusi I
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Solusi II
Solusi III
Solusi IV
1
5
5
2
1
1
1
3
2
4
2
2
2
5
3
3
6
1
1
2
2
5
1
4
3
3
1
1
2
5
5
7
4
4
4
2
2
3
1
2
2
1
3
5
4
2
1
1
3
5
4
2
1
1
1
5
5
5
2
2
2
2
1
1
5
5
1
4
3
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
3
3
3
4
4
1
1
1
4
4
4
3
Total
18
9
4
8
10
5
7
11
10
4
9
8
8
8
7
12
10
16
12
11
14
15
Berdasarkan hasil substitusi Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV, maka
dapat diperoleh nilai � �� = � = ; ∑ �⁄ = . ;
= . ;
�� =
�� =
= . ;
= (Lampiran 6). Nilai minimum pekerja dapat ditentukan,
�� =
yaitu:
� = max{�
� = max{ ,
�� ,
∑ �⁄ ,
. ,
.
,
��
. ,
,
��
}=
,
.
��
}
= .
Nilai �� = = . bukan bilangan bulat maka harus dibulatkan dengan
menambahkan salah satu � di antara � , � , dan � , yaitu � = dengan � −
dan � = .
�� = , sehingga nilai � =
,
= ,
= ,
= ,
= ,
= ,
= ,
= .
Persamaan dari Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9, digunakan untuk mencari nilai
, … , . Berikut ini penyelesaiannya:
20
= =
=
=
= min{ , − , −
= min{ − , − ,
= − − =
=
= .
} = min{ , , } =
− − } = min{ , , } =
Tabel 13 Hasil Penjadwalan Contoh 2
Pekerja ke
1
2
3
4
5
6
�
a
Senina
0
1
1
1
1
1
5
Selasa
0
1
1
1
0
0
1
Rabu
0
1
1
1
0
0
2
Kamis
1
1
1
0
0
0
2
Jumat
1
0
0
0
1
1
3
Sabtu
1
0
0
0
1
1
1
Minggu
1
0
0
1
1
1
4
0: libur; 1: masuk
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Masalah (4,7) dapat diselesaikan dengan algoritme berbasis dual secara manual.
Hasil akhirnya berupa minimum total pekerja dan pola penjadwalan yang
meminimumkan biaya, sehingga algoritme tersebut sangat bermanfaat untuk
perusahaan yang beroperasi setiap hari.
Saran
Penelitian selanjutnya dapat melakukan pembahasan tentang pengoptimuman
berbasis dual masalah penjadwalan lima hari kerja dalam seminggu secara siklis.
DAFTAR PUSTAKA
Alfares HK. 2000. Dual-based optimization of cyclic four-day workweek scheduling.
IMA Journal of Mathematics Applied in Business and Industry. 11: 269-283.
DOI: 10.1093/imaman/11.4.269.
Baker KR. 1976. Workforce allocation in cyclical scheduling problem: a survey.
Operational Research Quarterly. 27: 155-167. doi: 10.1057/jors.1976.30.
Chvátal V. 1983. Linear Programming. New York (US): WH Freeman & Company.
Hadi N. 2014. Optimasi berbasis dual masalah penjadwalan tiga hari kerja dalam
seminggu secara siklis [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
21
Luenberger DG, Ye Y. 2007. Linear and Nonlinear Programming 3thed. California
(US): Springer.
Winston WL. 2004. Operations Research Applications and Algorithms 4thed. New
York (US): Duxbury.
22
Lampiran 1 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk masalah (4,7)
x2+x3+x4+x5>=11;
x3+x4+x5+x6>=14;
x4+x5+x6+x7>=9;
x1+x5+x6+x7>=18;
x1+x2+x6+x7>=8;
x1+x2+x3+x7>=15;
x1+x2+x3+x4>=5;
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7;
Hasil yang diperoleh sebagai berikut:
Gambar 1 Hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk masalah (4,7)
23
Gambar 2 Solver status software LINGO 11.0 untuk masalah (4,7)
24
Lampiran 2 Pembuktian bahwa Solusi I lebih baik atau sama dengan solusi yang
diperoleh dengan cara memberi nilai ⁄� pada sembarang � variabel
dual
Misalkan diberikan nilai ⁄� pada � sembarang variabel dual � = , … , .
Solusi tersebut menghasilkan nilai fungsi objektif dual dengan persamaan � =
∑ � ⁄�. Berikut ini akan dibuktikan bahwa nilai fungsi objektif dual yang berasal
dari persamaan � = � �� akan lebih besar atau sama dengan nilai fungsi objektif
dual yang berasal dari persamaan � = ∑ � ⁄�.
� × � = � × � ��
� × � = � �� + � �� … + � �� (dijumlahkan sebanyak � .
Nilai � �� = max{� , … , � }, sehingga � �� � , � �� � , � ��
� �� � , � �� � , dan � �� � . Hal tersebut mengakibatkan:
� ,�
��
�,
… + � �� � + ⋯ + � = ∑ �
� × � �� ∑ �
� �� ∑ � ⁄� ∎
Terbukti bahwa Solusi I lebih baik atau sama dengan solusi yang diperoleh dengan
cara memberi nilai ⁄� pada sembarang � variabel dual.
�
��
+�
��
25
Lampiran 3 Pencarian Solusi III dan Solusi IV
Pencarian Solusi III dengan Menentukan Dua Variabel Dual Bernilai ⁄
sebagai Nilai Awal
Kombinasi pasangan nilai I pada pertidaksamaan (5.1)
Misalkan pada pertidaksamaan (5.1), dipilih =
nilai tersebut sebagai berikut:
+
+
+
menjadi + +
+
+
+
menjadi
+
= . Hasil substitusi nilai.
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai
+ = , karena ,
maka
=
= . Adapun dari pertidaksamaan (5.6) dan (5.7) diperoleh :
+
+
+
menjadi
+
+
+
menjadi
+ +
+
+ + +
.
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai + = , karena
maka
=
= . Adapun dari pertidaksamaan (5.2) diperoleh:
+ + +
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai
,
.
,
, maka nilai terbesar
adalah . Agar menghasilkan solusi yang memaksimumkan hasil substitusinya ke
fungsi objektif dual maka dapat ditentukan nilai
(5.3), (5.4), dan (5.5) diperoleh:
+
+
+
+
+
+
+
+
+
= . Adapun dari pertidaksamaan
menjadi + +
menjadi + +
menjadi +
+
+
+
+
.
Berdasarkan hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I sebagai nilai awal
pada pertidaksamaan (5.1) diperoleh nilai
= =
= dan
=
=
=
= . Cara yang sama dengan cara penelusuran kombinasi pasangan nilai I sebagai
nilai awal pada pertidaksamaan (5.1) digunakan untuk penelusuran semua kombinasi
pasangan nilai pada pertidaksamaan linear (5.1), (5.2), (5.3), (5.4), (5.5), (5.6), dan
(5.7). Hasil penelusuran secara lengkap ditulis dalam Tabel 14.
26
Tabel 14 Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I, II, III, dan IV
Kombinasi Pertidaksamaan
(5.1)
(5.2)
(5.3)
I
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.1)
(5.2)
(5.3)
II
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.1)
(5.2)
(5.3)
III
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.1)
(5.2)
(5.3)
IV
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
Nilai awal
Nilai variabel dual lain yang diperoleh
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
27
Tabel 15 Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai V dan VI
Kombinasi Pertidaksamaan
Nilai awal
(5.1)
(5.2)
=
=
=
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.2)
=
=
=
(5.3)
=
(5.4)
=
(5.5)
=
(5.6)
=
(5.7)
=
=
=
(5.1)
=
=
=
(5.7)
VI
=
=
(5.3)
V
=
=
Nilai variabel dual lain yang diperoleh
=
= =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Pencarian Solusi IV dengan Menentukan Tiga Variabel Dual Bernilai ⁄
sebagai Nilai Awal
Kombinasi pasangan nilai I pada pertidaksamaan (5.1)
Misalkan pada pertidaksamaan (5.1), dipilih =
nilai-nilai tersebut sebagai berikut:
+
+
+
=
menjadi + + +
.
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai
pertidaksamaan (5.7) diperoleh:
+ + +
menjadi + + +
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai
pertidaksamaan (5.2) diperoleh:
+ + +
menjadi + + +
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai
= . Hasil substitusi
=
=
. Adapun dari
.
. Adapun dari
.
, maka nilai terbesar
adalah . Agar menghasilkan solusi yang memaksimumkan hasil substitusinya ke
fungsi objektif dual maka dapat ditentukan nilai
(5.3) diperoleh:
= . Adapun dari pertidaksamaan
28
+
+
+
menjadi +
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai
+ +
= .
, maka nilai terbesar
adalah . Agar menghasilkan solusi yang memaksimumkan hasil substitusinya ke
fungsi objektif dual maka dapat ditentukan nilai
(5.4), (5.5), dan (5.6) diperoleh:
+
+
+
+
+
+
= . Adapun dari pertidaksamaan
menjadi + + +
+
menjadi + + +
+
menjadi + + +
+
.
Berdasarkan hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I sebagai nilai awal
pada pertidaksamaan (5.1) diperoleh pasangan nilai
=
= =
=
=
dan
=
= . Cara yang sama dengan cara penelusuran kombinasi pasangan
nilai I sebagai nilai awal pada pertidaksamaan (5.1) digunakan untuk penelusuran
semua kombinasi pasangan nilai pada pertidaksamaan linear (5.1), (5.2), (5.3), (5.4),
(5.5), (5.6), dan (5.7). Hasil penelusuran secara lengkap ditulis dalam Tabel 15.
Tabel 16 Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I dan II
Kombinasi Pertidaksamaan
(5.1)
(5.2)
(5.3)
I
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.1)
(5.2)
(5.3)
II
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
Nilai awal
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Nilai variabel dual lain yang diperoleh
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
29
Tabel 17 Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai III dan IV
Kombinasi Pertidaksamaan
(5.1)
(5.2)
(5.3)
III
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.1)
(5.2)
(5.3)
IV
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
Nilai awal
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Nilai variabel dual lain yang diperoleh
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
30
Lampiran 4 Substitusi Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV ke fungsi objektif
dual masalah (4,7)
1
Hasil substitusi Solusi III ke fungsi objektif dual masalah (4,7)
Berdasarkan Tabel 4,
yang akan disubstitusikan ke
tersebut dinotasikan dengan
Misalkan dipilih =
=
=∑= �
= � + � + �
Misalkan dipilih
=
=∑= �
= � + � + �
= + = + = ( = , , … , ), adalah Solusi III
fungsi objektif dual masalah (4,7). Hasil substitusi
( = , , … , ).
= &
=
=
=
= maka:
=
= &
=
=
=
=
maka:
Misalkan dipilih
=
=∑= �
= � + � + �
=
= &
=
=
=
=
maka:
Misalkan dipilih =
=∑= �
= � + � + �
=
= &
=
=
=
=
maka:
Misalkan dipilih
=
=∑= �
= � + � + �
=
= &
=
=
=
=
maka:
Misalkan dipilih
=
=∑= �
= � + � + �
=
= &
=
=
=
=
maka:
Misalkan dipilih
=
=
=∑= �
= � + � + � .
= &
=
=
=
=
maka:
Nilai
, , , , , } merupakan nilai terbesar hasil
�� = max{ ,
substitusi Solusi III dengan pola I ke fungsi objektif dual masalah (4,7). Nilai tersebut
akan dipilih sebagai calon nilai minimum total pekerja yang berasal dari Solusi III.
Berdasarkan Tabel 4, = + = + = ( = , , … , ), adalah Solusi III
yang akan disubstitusikan ke fungsi objektif dual masalah (4,7). Hasil substitusi
tersebut dinotasikan dengan ( = , , … , ).
=
=
= maka:
Misalkan dipilih =
=
= & =
=∑= �
=
� +
� +
�.
31
Misalkan dipilih
= =
=∑= �
= � + � + �.
= &
=
=
=
=
maka:
= &
=
=
=
=
maka:
Misalkan dipilih =
=
=∑= �
= � + � + �.
= &
=
=
=
=
maka:
= &
=
=
=
=
maka:
Misalkan dipilih
=
=
=∑= �
= � + � + �.
= &
=
=
=
=
maka:
= &
=
=
=
=
maka:
Misalkan dipilih
=
=
=∑= �
= � + � + �.
Misalkan dipilih
=
=
=∑= �
= � + � + �.
Misalkan dipilih
=
=
=∑= �
= � + � + �.
Nilai
, , , , , } merupakan nilai terbesar hasil
�� = max{ ,
substitusi Solusi III dengan pola II ke fungsi objektif dual masalah (4,7). Nilai tersebut
akan dipilih sebagai calon nilai minimum total pekerja yang berasal dari Solusi III.
2
Hasil substitusi Solusi IV ke fungsi objektif dual masalah (4,7)
Berdasarkan Tabel 5,
= + = + = + = + = ( = , , … , ),
adalah Solusi IV yang akan disubstitusikan ke fungsi objektif dual masalah (4,7).
Hasil substitusi tersebut dinotasikan dengan ( = , , … , ).
Misalkan dipilih =
=
=∑= �
� + � + � +
=
=
� +
=
Misalkan dipilih
=
=
=
=
=∑= �
= � + � + � + � + �.
�.
= &
=
=
maka:
= &
=
=
maka:
32
Misalkan dipilih
= =
=
=
=∑= �
= � + � + � + � + �.
Misalkan dipilih =
=
=
=
=∑= �
= � + � + � + � + �.
Misalkan dipilih
=
=
=
=
=∑= �
= � + � + � + � + �.
Misalkan dipilih
=
=
=
=∑= �
= � + � + � + � + �.
= &
=
=
maka:
= &
=
=
maka:
= &
=
=
maka:
=
= &
=
=
maka:
Misalkan dipilih
=
=
= =
=∑= �
= � + � + � + � + �.
= &
=
=
maka:
Nilai
, , , , , } merupakan nilai terbesar hasil
�� = max{ ,
substitusi Solusi IV ke fungsi objektif dual masalah (4,7). Nilai tersebut akan dipilih
sebagai calon nilai minimum total pekerja yang berasal dari Solusi IV.
33
Lampiran 5 Penentuan persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap
pola penjadwalan masalah (4,7)
a. Menentukan banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) saat
� = � ��
Berikut ini, dalam penentuan banyaknya pekerja akan diberikan prioritas
alokasi nilai untuk pola penjadwalan tertentu. Tingkat prioritas tersebut diberikan
berdasarkan Tabel 6. Adapun prioritas yang diberikan mulai dari biaya yang
termurah hingga termahal.
Pola penjadwalan
merupakan pola penjadwalan dengan biaya termurah
dalam masalah (4,7), sehingga
diberikan prioritas alokasi nilai untuk terlebih
dahulu dipenuhi kuotanya. Berdasarkan informasi pada Tabel 2, maka persamaan
berikut ini akan digunakan untuk menentukan nilai .
+
+
+
+
+
+
=
=
=
(saat =
(saat =
(saat =
.
Setiap nilai ruas kanan persamaan tersebut merupakan nilai parameter yang
harus dipenuhi oleh hasil penjumlahan ruas kirinya. Misalkan di setiap persamaan
tersebut, seluruh alokasi nilai ruas kiri yang tersedia diberikan untuk . Namun, agar
tetap memenuhi persamaan banyaknya pekerja yang libur saat = , saat = dan
saat = , maka
,
dan
. Dapat ditentukan nilai terbesar dari
yang mungkin adalah
= min{ , , }.
Biaya pola penjadwalan sama dengan biaya pola penjadwalan . Setelah
nilai diperoleh, selanjutnya nilai dapat diberikan prioritas alokasi nilai untuk
terlebih dahulu dipenuhi kuotanya. Berdasarkan informasi pada Tabel 2 dan fungsi
objektif primal masalah (4,7), maka persamaan berikut ini akan digunakan untuk
menentukan nilai .
+
+
=
(saat =
+
+
=
(saat =
+
+
=
(saat =
� = � �� =
+
+
+
+
+
+
.
Nilai telah ditentukan sehingga persamaan-persamaan yang akan digunakan
berubah menjadi:
+
+
+
+
=
=
+
+
−
−
=
+
(saat
(saat
(saat
+
=
=
=
+
=�−
.
Misalkan di setiap persamaan tersebut, seluruh alokasi nilai ruas kiri yang
tersedia diberikan untuk . Namun, agar tetap memenuhi persamaan banyaknya
pekerja yang libur saat = , saat = , saat = dan persamaan total pekerja,
maka
− ,
− ,
dan
� − . Dapat ditentukan
nilai terbesar dari yang mungkin adalah
= min{ , − , − , � − }.
Biaya pola penjadwalan merupakan biaya yang termurah setelah biaya pola
penjadwalan
. Setelah nilai
dan
diperoleh, selanjutnya nilai
dapat
diberikan prioritas alokasi nilai untuk terlebih dahulu dipenuhi kuotanya.
34
Berdasarkan informasi pada Tabel 2 dan fungsi objektif primal masalah (4,7), maka
persamaan berikut ini akan digunakan untuk menentukan nilai .
+
+
=
(saat =
+
+
=
(saat =
+
+
=
(saat =
� = � �� =
+
+
+
+
+
−
.
+
.
Nilai
dan
telah ditentukan sehingga persamaan-persamaan yang akan
digunakan berubah menjadi:
+
+
=
+
+
=
−
+
=
(saat =
−
(saat =
− (saat =
+
+ =�−
Misalkan di setiap persamaan tersebut, seluruh alokasi nilai ruas kiri yang
tersedia diberikan untuk . Namun, agar tetap memenuhi persamaan banyaknya
pekerja yang libur saat = , saat = , saat = dan persamaan total pekerja,
maka
− ,
− − ,
dan
� − − . Dapat
ditentukan nilai terbesar dari
yang mungkin adalah
= min{ , − , −
− , � − − }.
Biaya pola penjadwalan yang termurah selanjutnya adalah . Setelah nilai ,
, dan diperoleh, nilai
dapat diberikan prioritas alokasi nilai untuk terlebih
dahulu dipenuhi kuotanya. Berdasarkan informasi pada Tabel 2 dan fungsi objektif
primal masalah (4,7), maka persamaan ber