Distribusi Normal Multivariat Uji Kesamaan Matriks Kovarian

18 12 kovarian yang berbeda � �� � � terkandung dalam matriks varian-kovarian simetris � = �� − �� − � ′ . Secara khusus, �� = � �� 1 �� 2 ⋮ �� � � = � � 1 � 2 ⋮ � � � = � dan � = �[� − �� − �′] = � �� � 1 − � 1 � 2 − � 2 ⋮ � � − � � � � 1 − � 1 , � 2 − � 2 , ⋯ , � � − � � � = � ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ � 1 − � 1 2 � 1 − � 1 � 2 − � 2 � 2 − � 2 � 1 − � 1 � 2 − � 2 2 ⋯ � 1 − � 1 � � − � � ⋯ � 2 − � 2 � � − � � ⋮ ⋮ �� � − � � �� 1 − � 1 � � − � � � 2 − � 2 ⋱ ⋮ ⋯ � � − � � 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = � �� 1 − � 1 2 �[� 1 − � 1 � 2 − � 2 ] �[� 2 − � 2 � 1 − � 1 ] �� 2 − � 2 2 ⋯ �[� 1 − � 1 � � − � � ] ⋯ �[� 2 − � 2 � � − � � ] ⋮ ⋮ �[� � − � � � − � 1 ] �[� � − � � � 2 − � 2 ] ⋱ ⋮ ⋯ �� � − � � 2 � = � � 11 � 12 � 21 � 22 ⋯ � 1� ⋯ � 2� ⋮ ⋮ � �1 � �2 ⋱ ⋮ ⋯ � �� �

C. Distribusi Normal Multivariat

Densitas normal multivariat adalah bentuk umum dari densitas normal untuk dimensi p ≥ 2 Johnson Wichern, 2007 : 149-150. Densitas normal berdimensi p untuk vektor acak � ′ = �� 1 , � 2 , … , � � � mempunyai bentuk �� = 1 2 � �2 | �| 12 � −12�−�′ � −1 �−� 19 dengan −∞ � � ∞, � = 1,2, … , � dan densitas normal dimensi-p dinyatakan dengan � � � , � yang merupakan analogi dari densitas normal kasus univariat. `Jika � 1 , � 2 , … , � � berdistribusi normal multivariate maka � − � ′ � −1 � − � berdistribusi � � 2 . Berdasarkan sifat ini maka pemeriksaan distribusi multinormal dapat dilakukan dengan cara membuat plot chi-square dari nilai � � 2 = �� � − ��� ′ � −1 �� � − ���, � = 1,2, … , �. Langkah-langkah membangun plot chi-square Johnson Wichern, 2007 : 182-187 : 1. Menghitung nilai jarak kuadrat dengan rumus : � � 2 = �� � − ��� ′ � −1 �� � − ���, � = 1,2, … , � dengan : x j = vektor pengamatan ke-j � � 2 = nilai jarak kuadrat ke-j � −1 = invers matriks varian-kovarian 2. Mengurutkan nilai jarak kuadrat tersebut dari yang terkecil sampai terbesar yaitu � 1 2 ≤ � 2 2 ≤ ⋯ ≤ � � 2 . 3. Menyusun pasangan �� �.� � �− 1 2 � � , � � 2 �, dengan � �.� � �− 1 2 � � merupakan kuantil ke 100 � �− 1 2 � � dari distribusi chi-square dengan derajat kebebasan p. Secara umum � �.� � �− 1 2 � � = � � 2 � �−�+ 1 2 � �. Data dikatakan berasal dari populasi berdistribusi normal multivariat apabila sekitar 50 nilai � � 2 ≤ � �.� 0,5 atau plot chi-square cenderung membentuk garis lurus. 20

D. Uji Kesamaan Matriks Kovarian

Salah satu uji yang umum digunakan untuk kesamaan matriks kovarian adalah uji Box M Rencher, 1998 : 138-140. Dengan g populasi, hipotesis nol nya adalah H : � 1 = � 2 = ... = � ℊ dan hipotesis H 1 adalah ∃� � ≠ � � dengan i ≠ j ; i, j = 1, 2, ... ,g. Statistik uji yang digunakan adalah � = [∑ � ℓ − 1 ℓ ] ���� ���. � − ∑ [� ℓ − 1��|� ℓ |] ℓ 2.1 dengan � ���. = 1 ∑ � ℓ −1 ℓ �� 1 − 1� 1 + � 2 − 1� 2 + ⋯ + �� ℊ − 1�� ℊ � 2.2 dengan � ℓ merupakan ukuran sampel untuk grup ke- ℓ, � ℓ merupakan matriks kovarian sampel grup ke- ℓ dan � ���. merupakan kombinasi matriks kovarian sampel. M dapat didekati dengan distribusi F dengan aturan � = −2� 1 ln � jika � 2 � 1 2 atau � = −� 2 � 2 ln � � 1 1+2� 2 ln � jika � 2 � 1 2 dengan : � 1 = �∑ 1 � � − 1 ∑ � � � �=1 � �=1 � � 2� 2 +3�−1 6�+1�−1 �, dengan � � = � � − 1 , p banyak variabel dan g banyak grup dan � 2 = � �−1�+2 6�−1 � �∑ 1 � � − 1 �∑ � � � �=1 � 2 � �=1 �, � 1 = 1 2 � − 1�� + 1 ; � 2 = � 1 +2 �� 2 +� 1 2 � � 1 = 1−� 1 −� 1 � 2 � 1 ; � 2 = 1−� 1 −2� 2 � 2 Kriteria keputusannya adalah p ada taraf signifikansi α, tolak H jika F hitung F tabel dengan derajat bebas a 1 ,a 2 . 21

E. Jaringan Syaraf Tiruan Artificial Neural Network