Perumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Vektor Rata-rata Matriks Kovarian

7 suatu metode klasifikasi pola dimana masing-masing unit output mewakili kelas atau kategori tertentu. Vektor bobot untuk unit output sering dinyatakan sebagai sebuah vektor referensi yang mewakili kelas. Selama proses pembelajaran, unit output diatur dengan menyesuaikan bobot melalui pembelajaran terawasi. Serangkaian pola pembelajaran dengan klasifikasi yang diketahui ditentukan bersama dengan vektor referensi awal. Setelah proses pembelajaran, jaringan LVQ mengklasifikasikan vektor input dengan menugaskan ke kelas yang sama sebagai output yang memiliki vektor bobot yang paling dekat dengan vektor input Fausett, 1994 : 187. Mengingat penyakit diabetes mellitus ini merupakan permasalahan yang komplek dan memerlukan penanganan yang tepat, penulis akan melakukan klasifikasi menggunakan dua metode diantaranya dengan analisis diskriminan dan model neural network Learning Vector Quantization agar mendapatkan hasil yang optimal. Berpijak dari hal tersebut, maka penulis menyusun tugas akhir ini dengan judul “Klasifikasi Diabetes Mellitus dengan Analisis Diskriminan dan Model Neural Network Learning Vector Quantization”.

B. Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, permasalahan yang dirumuskan dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut : 1. Bagaimana klasifikasi diabetes mellitus dengan analisis diskriminan? 2. Bagaimana klasifikasi diabetes mellitus dengan model neural network Learning Vector Quantization? 8 3. Bagaimana hasil klasifikasi diabetes mellitus menggunakan analisis diskriminan dan model neural network Learning Vector Quantization?

C. Tujuan Penelitian

Dari rumusan masalah di atas, tujuan dari penulisan skripsi ini adalah : 1. Mendeskripsikan bagaimana klasifikasi diabetes mellitus dengan analisis diskriminan. 2. Mendeskripsikan bagaimana klasifikasi diabetes mellitus dengan model neural network Learning Vector Quantization. 3. Mendeskripsikan hasil klasifikasi diabetes mellitus menggunakan analisis diskriminan dan model neural network Learning Vector Quantization.

D. Manfaat Penelitian

Manfaat yang diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah : 1. Bagi penulis sendiri, dapat menambah wawasan mengenai penggunaan metode klasifikasi analisis diskriminan dan model neural network Learning Vector Quantization pada penyakit diabetes mellitus. 2. Bagi pembaca dapat menambah wawasan tentang penerapan analisis diskriminan dan model neural network Learning Vector Quantization pada kasus dalam kehidupan sehari-hari. 3. Membantu memudahkan dalam mengenali tipe penyakit DM berdasarkan faktor risikonya dengan menggunakan metode klasifikasi analisis diskriminan dan model neural network Learning Vector Quatization sehingga penderita penyakit diabetes mellitus mendapatkan penanganan yang tepat. BAB II LANDASAN TEORI

A. Matriks

Matriks memegang peranan penting dalam dunia statistika dan matematika. Dengan matriks penulisan persamaan matematika menjadi lebih singkat dan efektif. Dalam bab ini dibahas mengenai matriks dan beberapa definisinya. Definisi 1. Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan Anton, 1987 : 22-23. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Ukuran ordo suatu matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris garis horisontal dan banyaknya kolom garis vertikal yang terdapat dalam matriks tersebut. Notasi nama matriks biasanya menggunakan huruf kapital dan cetak tebal. Jika A adalah sebuah matriks, maka digunakan a ij untuk menyatakan entri atau elemen yang terdapat di dalam baris i dan kolom j dari A. Jadi, matriks dengan ukuran m × n beserta entri-entrinya secara umum dapat dituliskan sebagai berikut: � �×� = � � 11 � 12 � 21 � 22 ⋯ � 1� ⋯ � 2� ⋮ ⋮ � �1 � �2 ⋮ ⋮ ⋯ � �� � atau �� �� � �×� Sebuah matriks dengan n baris dan n kolom dinamakan matriks kuadrat berordo n square matrix of order n, dan entri-entri a 11 , a 22 , ... , a nn dikatakan berada pada diagonal utama dari A, 9 10 � � 11 � 12 � 21 � 22 ⋯ � 1� ⋯ � 2� ⋮ ⋮ � �1 � �2 ⋱ ⋮ ⋯ � �� � Sebuah matriks berukuran m × 1 disebut sebagai vektor kolom. Sebuah matriks 1 × n disebut sebagai vektor baris Johnson Wichern, 2007 : 88. Notasi nama vektor menggunakan huruf kecil dan cetak tebal. Definisi 2. Dua matriks A m×n = {a ij } dan B m×n = {b ij } dikatakan sama, ditulis A = B, jika a ij = b ij , i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n. Jadi, dua matriks adalah sama jika : a. Ukuran kedua matriks adalah sama. b. Setiap elemen yang bersesuaian adalah sama. Definisi 3. Berdasarkan ukuran dan elemennya terdapat beberapa jenis matriks yaitu sebagai berikut Anton, 1987: 23-66 : 1. Matriks Bujur Sangkar Persegi Sebuah matriks dengan n baris dan n kolom dinamakan matriks kuadrat berordo n matriks bujur sangkar. 2. Matriks Diagonal Matriks kuadrat yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol atau elemennya berada pada diagonal utama dinamakan matriks diagonal. 3. Matriks Segitiga Matriks kuadrat dinamakan segitiga atas upper triangular jika semua entri di bawah diagonal utama adalah nol. Begitu juga matriks kuadrat 11 dinamakan segitiga bawah lower triangular, jika semua entri di atas diagonal utama adalah nol. Sebuah matriks baik yang merupakan segitiga atas maupun yang merupakan segitiga bawah dinamakan segitiga triangular. 4. Matriks Nol Sebuah matriks yang semua elemennya sama dengan nol, dinamakan matriks nol zero matrix. Matriks nol dinyatakan oleh 0 ; jika ukurannya penting untuk ditekankan, maka dituliskan 0 m×n untuk matriks nol m×n. 5. Matriks Identitas Matriks kuadrat dengan bilangan 1 terletak pada diagonal utama dinamakan matriks satuan identity matrix dan dinyatakan dengan I. Jika ukurannya penting untuk ditekankan maka dituliskan I n untuk matriks satuan n × n. 6. Matriks Simetri Matriks kuadrat yang setiap elemennya selain elemen diagonal adalah simetri terhadap diagonal utama dinamakan matriks simetri. Matriks dapat digunakan untuk menyingkatkan kerja dalam memecahkan sistem persamaan linear. Untuk penerapan dalam hal lain, maka perlu dikembangkan suatu ilmu hitung atau operasi matriks yang mana matriks-matriks tersebut dapat ditambahkan, dikurangkan, dan dikalikan sesuai dengan penggunaannya. Berikut ini adalah pembahasan mengenai operasi matriks dan sifat-sifatnya menurut Kollo Rosen 2005 : 3. 12 Definisi 4. Misal terdapat matriks A dan B keduanya berukuran m × n dengan sebarang elemen a ij dan b ij , i = 1, 2, ... , m, j = 1, 2, ... , n. Jumlah dari kedua matriks A dan B diperoleh sebagai berikut � + � = � �� + � �� � = 1, 2, … , �, � = 1, 2, … , � Penjumlahan matriks hanya terdefinisi pada matriks yang ukurannya sama. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. Definisi 5. Jika A m×k = {a ij } dan B m×k = {b ij } adalah dua matriks yang berukuran sama. Maka selisih antara A dan B, ditulis A – B, adalah sebuah matriks C = {c ij } berukuran m×k diperoleh sebagai berikut C = A – B = A + -1B yaitu � �� = � �� + −1� �� = � �� − � �� , � = 1,2, … , �, � = 1,2, … , �. Definisi 6. Hasil kali sebuah matriks A m×n oleh suatu skalar c adalah sebuah matriks cA berukuran m×n, dimana elemen-elemen dari A dikalikan oleh c �� = ��� �� �. Saat membahas tentang matriks maka sudah lazim menyebut kuantitas numerik sebagai skalar. Pada pembahasan ini semua skalar akan merupakan bilangan real. Penjumlahan dan perkalian skalar ini memenuhi sifat utama sebagai berikut :

a. A

+ B = B + A Hukum komutatif untuk penjumlahan 13 b. A + B + C = A+ B + C Hukum asosiatif untuk penjumlahan c. A + – 1 A = 0 d. c 1 + c 2 A = c 1 A + c 2 A e. cA + B = cA + cB f. c 1 c 2 A = c 1 c 2 A Definisi 7. Perkalian matriks dengan matriks mungkin terjadi apabila jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Misalkan A : m×n dan B : n×r, maka hasil kali C = AB dari matriks A = a ij dan B = b ij adalah matriks C = c ij berukuran m×r, dimana : � �� = � � �� � �� . � �=1 Perkalian matriks tidak komutatif pada umumnya, tetapi sifat-sifat berikut berlaku, asalkan ukuran matriks adalah dari urutan yang tepat :

a. A

BC=ABC b. A B+C=AB+AC c. A+BC=AC+BC Definisi 8. Transpose dari suatu matriks A yaitu A merupakan matriks yang diperoleh dengan menukarkan baris-baris dan kolom-kolomnya Stevens, 2009 : 44. Baris pertama matriks A menjadi kolom pertama dari matriks A dan baris kedua matriks A menjadi kolom kedua dari matriks A. Secara umum, jika matriks A berukuran 14 � × �, maka ukuran dari matriks A adalah � × �. Biasanya transpose A juga dapat dinyatakan oleh A t . Operasi transpose memenuhi hubungan dasar berikut :

a. A

t t = A b. A + B t = A t + B t c. kA t = kA t , dengan k adalah sebarang skalar. d. AB t = B t A t Definisi 9. Determinan dari matriks kuadrat berukuran k × k yaitu A = {a ij }, dinotasikan oleh |A| atau detA, adalah skalar | �| = � � 11 , ���� � = 1 � � 1� �� 1� �−1 1+� � �=1 , ���� � 1 dengan A 1j adalah matriks k – 1 × k – 1 yang diperoleh dengan menghapus baris pertama dan kolom ke-j dari A Johnson Wichern, 2007 : 93. Demikian juga, | �| = ∑ � �� �� �� �−1 �+� � �=1 , dengan baris ke-i ditempatkan di baris pertama. Definisi 10. Matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I dinamakan invers dari A dan dinotasikan dengan A -1 .Pada kenyataannya, jika BA = I atau AB = I,maka B = A -1 , dan hasil kali keduanya harus sama dengan I. Secara umum, invers A diperoleh dari � −1 = 1 | �| ��� � 15 Jika A adalah sebarang matriks n × n dan C ij adalah kofaktor a ij , maka matriks � � 11 � 12 � 21 � 22 ⋯ � 1� ⋯ � 2� ⋮ ⋮ � �1 � �2 ⋱ ⋮ ⋯ � �� � dinamakan matriks kofaktor A Anton, 1987 : 81. C ij diperoleh dari -1 i+j M ij dengan M ij merupakan minor dari a ij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihapus dari A. Transpose dari matriks kofaktor inilah yang dinamakan dengan adjoin A dan dinotasikan dengan adjA. Misalkan A dan B matriks kuadrat berukuran sama, dan misal mempunyai invers, maka a. A -1 t = A t -1 b. AB -1 = B -1 A -1 Determinan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut. Misalkan A dan B matriks kuadrat berukuran k × k. a. |A| = |A t | b. Jika setiap elemen dari sebuah baris atau kolom dari A adalah nol, maka |A| = 0 c. Jika ada dua baris atau kolom dari A yang identik, maka |A| = 0 d. Jika |A | ≠ 0, maka A dikatakan nonsingular e. Jika A nonsingular, maka |A| = 1|A -1 | ; yaitu |A||A -1 | = 1 f. |AB| = |A| |B| g. |cA| = c k |A|, dimana c adalah skalar. 16 Definisi 11. Menurut Kollo Rosen 2005 : 8, vektor-vektor � 1 , � 2 , ⋯ , � � dikatakan bebas linear, jika persamaan � 1 � 1 + � 2 � 2 + ⋯ + � � � � = 0, hanya memiliki solusi trivial, yaitu � 1 = 0, � 2 = 0, … , � � = 0. Selain itu, maka dikatakan tidak bebas linear. Definisi 12. Misalkan A merupakan sebuah matriks berukuran m × n. Rank matriks A dilambangkan rA adalah banyaknya vektor baris atau kolom yang bebas linear dalam matriks A. Untuk matriks A berukuran m × n maka rA ≤ min m,n. Definisi 13. Misal A = {a ij }, trace dari sebuah matriks A berukuran n × n, ditulis trA, adalah jumlah dari elemen-elemen diagonal, yaitu ��� = ∑ � �� � �=1 Rencher, 1998 : 410. Jika A dan B matriks n × n dan c adalah skalar. a. tr cA = c tr A b. tr A ± B = tr A ± tr B c. tr AB = tr BA d. jika � = � � 1 ′ � 2 ′ ⋮ � � ′ � ,maka tr�� ′ = ∑ � � ′ � � � �=1 e. jika � = �� 1 , � 2 , … , � � �, maka tr AA = ∑ � � ′ � � � �=1 . 17 Definisi 14. Misal A suatu matriks kuadrat k × k dan I matriks identitas k × k, maka skalar λ 1 , λ 2 , ... ,λ k yang memenuhi persamaan polinomial |A – λI| = 0 dinamakan nilai eigen atau akar karakteristik dari matriks A. Persamaan |A – λI| = 0 sebagai fungsi dari λ dinamakan persamaan karakteristik Johnson Wichern, 2007 : 97- 99. Misal A suatu matriks kuadrat berukuran k × k dan misal λ merupakan nilai eigen dari A. Jika x k×1 adalah vektor tak nol x k×1 ≠0 k×1 sehingga �� = �� maka x dikatakan menjadi vektor eigen vektor karakteristik dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Untuk menentukan vektor eigen sehingga memiliki kesatuan panjang yaitu jika Ax = λx, maka e = � √�′� ⁄ sebagai vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.

B. Vektor Rata-rata Matriks Kovarian

Vektor acak adalah vektor yang elemen-elemennya terdiri dari p variabel acak dapat ditulis sebagai � ′ = �� 1 , � 2 , … , � � �. Vektor rata-rata adalah vektor yang elemen-elemennya terdiri dari p rata-rata variabel acak dapat ditulis sebagai berikut : � � × 1 = � � 1 � 2 ⋮ � � � Mean dan kovarian dari p × 1 vektor acak X dapat ditetapkan sebagai matriks Johnson Wichern, 2007 : 69-70. Nilai harapan dari setiap elemen yang terkandung dalam vektor rata-rata � = ��, dan p variansi � �� dan pp – 18 12 kovarian yang berbeda � �� � � terkandung dalam matriks varian-kovarian simetris � = �� − �� − � ′ . Secara khusus, �� = � �� 1 �� 2 ⋮ �� � � = � � 1 � 2 ⋮ � � � = � dan � = �[� − �� − �′] = � �� � 1 − � 1 � 2 − � 2 ⋮ � � − � � � � 1 − � 1 , � 2 − � 2 , ⋯ , � � − � � � = � ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ � 1 − � 1 2 � 1 − � 1 � 2 − � 2 � 2 − � 2 � 1 − � 1 � 2 − � 2 2 ⋯ � 1 − � 1 � � − � � ⋯ � 2 − � 2 � � − � � ⋮ ⋮ �� � − � � �� 1 − � 1 � � − � � � 2 − � 2 ⋱ ⋮ ⋯ � � − � � 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = � �� 1 − � 1 2 �[� 1 − � 1 � 2 − � 2 ] �[� 2 − � 2 � 1 − � 1 ] �� 2 − � 2 2 ⋯ �[� 1 − � 1 � � − � � ] ⋯ �[� 2 − � 2 � � − � � ] ⋮ ⋮ �[� � − � � � − � 1 ] �[� � − � � � 2 − � 2 ] ⋱ ⋮ ⋯ �� � − � � 2 � = � � 11 � 12 � 21 � 22 ⋯ � 1� ⋯ � 2� ⋮ ⋮ � �1 � �2 ⋱ ⋮ ⋯ � �� �

C. Distribusi Normal Multivariat