Bab 4: Analisis Sistem Kendali EL303 Sistem Kendali ANALISIS SISTEM KENDALI o PENDAHULUAN o ANALISIS WAKTU ALIH
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
ANALISIS SISTEM KENDALI
o
PENDAHULUAN
o
ANALISIS WAKTU ALIH
♦ Tanggapan Waktu Alih Orde 1
♦ Tanggapan Waktu Alih Orde 2
♦ Spesifikasi Tanggapan Waktu Alih
♦ Penurunan Rumus Spesifikasi
♦ Tanggapan Waktu Alih Orde Tinggi
o
ANALISIS GALAT KEADAAN TUNAK
♦ Klasifikasi Sistem Kendali
♦ Konstanta Galat Statik
o
ANALISIS KEPEKAAN
o
ANALISIS KESTABILAN
♦ Prinsip Dasar Kestabilan
♦ Metoda Kestabilan Routh Hurwitz
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 1 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
o PENDAHULUAN
♦ Langkah pertama analisis : penurunan model matematis sistem.
♦ Ada beberapa metoda analisis unjuk kerja sistem :
− Analisis Kestabilan : Routh Hurwith, Root Locus, Bode Plot,
Nyquist Plot.
− Analisis Waktu Alih : spesifikasi koefisien redaman dan
frekuensi natural.
− Analisis Keadaan Tunak : Kosntanta tunak statik
− Analisis Kepekaan
♦ Untuk memudahkan analisis, digunakan beberapa sinyal uji dengan
fungsi waktu sederhana.
♦ Sinyal-Sinyal Pengujian :
− fungsi step
: ganguan yang muncul tiba-tiba
− fungsi ramp
: fungsi berubah bertahap terhadap waktu
− fungsi percepatan
− fungsi impuls
: gangguan sesaat yang muncul tiba-tiba
− fungsi sinusoidal : linearitas sistem
♦ Pemilihan sinyal uji harus mendekati bentuk input sistem pada kondisi
kerjanya.
♦ Tanggapan waktu :
− waktu alih : keadaan awal hingga keadaan akhir.
− keadaan tunah : tanggapan pada waktu t → ∼
♦ Kriteria Unjuk Kerja Sistem Kendali :
♦ Kestabilan mutlak : sistem stabil bila keluarannya dapat kembali ke
nilai semula setelah ada gangguan.
♦ Kestabilan relatif (tanggapan waktu alih) : sistem harus cukup cepat
tanggapannya terhadap perubahan masukan dan kembali ke keadaan
mantapnya.
♦ Galat keadaan mantap : perbedaan antara keluaran dengan masukan
yang menunjukkan ketelitian sistem.
♦ Kepekaan sistem terhadap perubahan karakteristik komponennya.
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 2 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
o ANALISIS WAKTU ALIH
Fungsi alih sistem linear invarian waktu :
Y ( s)
X ( s)
G ( s) =
sehingga
Y ( s) = G ( s) X ( s)
Dalam domain waktu
t
y ( t ) = ∫ x ( τ ) g ( t − τ ) dτ
0
t
= ∫ g ( τ ) x ( t − τ ) dτ
0
dengan
g(t) = x(t) = 0 untuk t < 0
(kondisi mula = 0)
Tanggapan Impuls :
X(s) = 1
Y(s) = G(s)
atau
y(t) = g(t) = fungsi tanggapan impuls.
Kesimpulan :
• Informasi lengkap tentang karakteristik dinamis sistem dapat diperoleh
dengan mengukur tanggapan sistem tersebut terhadap impuls.
• Pembangkitan Impuls secara praktis dilakukan dengan membuat pulsa
dengan lebar yang sangat sempit dibandingkan dengan konstanta waktu
sistem.
memadai untuk t1 < 0,1 T
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 3 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
♦ Tanggapan Waktu Alih Sistem Orde –1
Fungsi alih :
C( s)
1
=
R( s) Ts + 1
♦ untuk input unit step : R( s) =
C(s) =
T 1 1
T
⋅ = −
Ts + 1 s s Ts + 1
1
s
(
)
sehingga c(t ) = 1 − e − t / T u(t )
• Untuk t = T : C(T) = 0,632
• Makin kecil T, makin cepat
tanggapan sistem
• Kemiringan kurva pada t = 0 :
dc 1
=
dt T
• Galat lebih kecil 2 % dicapai pada t
=4T
• Bila Kurva log c(t ) − c(~) ≡ garis lurus, maka sistem orde-1
• Konstanta waktu T ditentukan dari
c(T ) − c(~) = 0,368[c(0) − c(~) ]
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 4 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
♦ Untuk input unit ramp R (s) =
1
s2
(
)
1
1 1 T
T2
−t / T
u( t )
⋅ 2= 2− +
C(s) =
sehingga c( t ) = t − T + Te
Ts + 1 s
s Ts + 1
s
Galat keadaan mantap : e(~)=T
♦ Untuk input unit Impuls : R(s) = 1
C( s) =
1
Ts + 1
sehingga
1
C( t ) = e − t / T u ( t )
T
Sifat Penting Sistem Linear Invarian-Waktu : Fungsi Singular.
(
)
: C(t ) = (1 − e t / T )u(t ) (turunkan dari tanggapan unit ramp)
Tanggapan unit ramp: C(t ) = t − T + Te − t / T u(t )
Tanggapan unit step
1
T
Tanggapan unit impuls: C(t ) = e − t / T u(t ) (turunkan dari tanggapan unit
step)
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 5 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
♦ Tanggapan Waktu alih Sistem Orde-2
• Sistem Kendali Posisi
Error Detector :
er = K 0 r
ec = K 0 c
dengan K0 = konstanta proporsionalitas arm detector
Torsi motor :
T = K2 ia
dengan K2 = konstanta torsi motor
ia = arus jangkar
Rangkaian jangkar :
La
dia
dθ
+ Ra ia + K 3
= K1e
dt
dt
(1)
dengan K3 = konstanta back emf motor
θ = sudut putaran poros motor
Persamaan Torsi :
(2)
dengan :
J0 = momen inersi motor + beban + roda gigi terhadap poros motor
b0 = koefisien gesekan motor + beban + roda gigi terhadap poros
motor
Dari (1) dan (2) diperoleh :
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 6 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
Output :
Dengan
Maka :
Mengingat La = kecil, maka diperoleh penjabaran sebagai berkut
Daya penyederhanaan diperoleh :
G ( s) =
K
Js 2 + Bs
Atau :
Definisikan :
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 7 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
ω n = frekuensi natural tak teredam
σ
ζ
= redaman (attenuation)
= faktor / koefisien redaman
B
B
ζ =
=
Bc 2 JK
Diperoleh :
K
= ω n2
J
dan
B
= 2ζω n = 2σ
J
Sehingga diperoleh bentuk umum fungsi alih orde-2 balikan satuan :
ω n2
C ( s)
=
R( s) s 2 + 2ζω n s + ω n2
Perilaku dinamis sistem orde-2 dapat dijelaskan melalui ζ dan ω n .
Tiga kasus tanggapan :
1. Teredam kurang
2. Teredam kritis
3. Teredam lebih
(0 < ζ < 1)
(ζ = 1)
(ζ > 1)
• Teredam kurang
C ( s)
ωn2
=
R( s) ( s + ζωn + jωd )( s + ζωn + jωd )
dengan
ωd = ωn 1 − ζ 2
= frekuensi natural teredam
jωd
X
− ξωn
Untuk input unit step :
σ
X
− jωd
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 8 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
C ( s) =
EL303 Sistem Kendali
ωn2
(s2 + 2ζωn s + ωn2 )s
=
s + ζωn
ζωn
1
−
−
2
2
s ( s + ζω ) + ω
( s + ζωn )2 + ωd2
n
d
sehingga
sin ωd t
2
1− ζ
ζ
c(t ) = 1 − e −ζωnt cos ωd t +
2
−1 1 − ζ
sin ωd t + tan
= 1−
ζ
1−ζ2
e −ζωnt
(t ≥ 0)
• Waktu setting tercepat bila 0,5 < ζ < 0,8
• sistem teredam kritis lebih cepat dari pada sistem dengan ζ > 1.
• Sistem orde-2 dengan ζ sama dan ωn berbeda : bertanggapan sama untuk
simpangan dan pola osilasi, disebut memiliki kestabilan relatif sama.
• Sinyal galat :
e( t ) = r ( t ) − c( t )
=e
untuk
cos ωd t +
sin ωd t
2
1−ζ
−ζω n t
ζ
( t ≥ 0)
ζ = 0 : sistem berosilasi pada amplitudo tetap
c( t ) = 1 − cos ωnt
t≥0
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 9 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
‚
EL303 Sistem Kendali
Teredam Kritis
jω
bid-s
σ
− ωn
Respon unit step :
C ( s) =
sehingga
ωn2
(s + ωn )2 s
c( t ) = 1 − e−ω nt (1 + ωnt )
t≥0
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 10 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
ƒTeredam lebih
Letak pole-pole
jω
bid-s
σ
− s1 =
− ζω n − ω n ζ 2 − 1
− s2 =
− ζωn + ωn ζ 2 − 1
Respon unit step :
sehingga
dengan
s1 = ζ + ζ 2 − 1 ω n
s2 = ζ − ζ 2 − 1 ω n
Bila s2 1,
c( t ) =
ωn
2 ζ 2 −1
e
(ζ − ζ 2 −1)
−
ωn
2 ζ 2 −1
e
−(ζ − ζ 2 −1)ω n t
(t ≥ 0)
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 19 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 20 dari 20
_______________________________________________________________________________
EL303 Sistem Kendali
ANALISIS SISTEM KENDALI
o
PENDAHULUAN
o
ANALISIS WAKTU ALIH
♦ Tanggapan Waktu Alih Orde 1
♦ Tanggapan Waktu Alih Orde 2
♦ Spesifikasi Tanggapan Waktu Alih
♦ Penurunan Rumus Spesifikasi
♦ Tanggapan Waktu Alih Orde Tinggi
o
ANALISIS GALAT KEADAAN TUNAK
♦ Klasifikasi Sistem Kendali
♦ Konstanta Galat Statik
o
ANALISIS KEPEKAAN
o
ANALISIS KESTABILAN
♦ Prinsip Dasar Kestabilan
♦ Metoda Kestabilan Routh Hurwitz
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 1 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
o PENDAHULUAN
♦ Langkah pertama analisis : penurunan model matematis sistem.
♦ Ada beberapa metoda analisis unjuk kerja sistem :
− Analisis Kestabilan : Routh Hurwith, Root Locus, Bode Plot,
Nyquist Plot.
− Analisis Waktu Alih : spesifikasi koefisien redaman dan
frekuensi natural.
− Analisis Keadaan Tunak : Kosntanta tunak statik
− Analisis Kepekaan
♦ Untuk memudahkan analisis, digunakan beberapa sinyal uji dengan
fungsi waktu sederhana.
♦ Sinyal-Sinyal Pengujian :
− fungsi step
: ganguan yang muncul tiba-tiba
− fungsi ramp
: fungsi berubah bertahap terhadap waktu
− fungsi percepatan
− fungsi impuls
: gangguan sesaat yang muncul tiba-tiba
− fungsi sinusoidal : linearitas sistem
♦ Pemilihan sinyal uji harus mendekati bentuk input sistem pada kondisi
kerjanya.
♦ Tanggapan waktu :
− waktu alih : keadaan awal hingga keadaan akhir.
− keadaan tunah : tanggapan pada waktu t → ∼
♦ Kriteria Unjuk Kerja Sistem Kendali :
♦ Kestabilan mutlak : sistem stabil bila keluarannya dapat kembali ke
nilai semula setelah ada gangguan.
♦ Kestabilan relatif (tanggapan waktu alih) : sistem harus cukup cepat
tanggapannya terhadap perubahan masukan dan kembali ke keadaan
mantapnya.
♦ Galat keadaan mantap : perbedaan antara keluaran dengan masukan
yang menunjukkan ketelitian sistem.
♦ Kepekaan sistem terhadap perubahan karakteristik komponennya.
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 2 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
o ANALISIS WAKTU ALIH
Fungsi alih sistem linear invarian waktu :
Y ( s)
X ( s)
G ( s) =
sehingga
Y ( s) = G ( s) X ( s)
Dalam domain waktu
t
y ( t ) = ∫ x ( τ ) g ( t − τ ) dτ
0
t
= ∫ g ( τ ) x ( t − τ ) dτ
0
dengan
g(t) = x(t) = 0 untuk t < 0
(kondisi mula = 0)
Tanggapan Impuls :
X(s) = 1
Y(s) = G(s)
atau
y(t) = g(t) = fungsi tanggapan impuls.
Kesimpulan :
• Informasi lengkap tentang karakteristik dinamis sistem dapat diperoleh
dengan mengukur tanggapan sistem tersebut terhadap impuls.
• Pembangkitan Impuls secara praktis dilakukan dengan membuat pulsa
dengan lebar yang sangat sempit dibandingkan dengan konstanta waktu
sistem.
memadai untuk t1 < 0,1 T
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 3 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
♦ Tanggapan Waktu Alih Sistem Orde –1
Fungsi alih :
C( s)
1
=
R( s) Ts + 1
♦ untuk input unit step : R( s) =
C(s) =
T 1 1
T
⋅ = −
Ts + 1 s s Ts + 1
1
s
(
)
sehingga c(t ) = 1 − e − t / T u(t )
• Untuk t = T : C(T) = 0,632
• Makin kecil T, makin cepat
tanggapan sistem
• Kemiringan kurva pada t = 0 :
dc 1
=
dt T
• Galat lebih kecil 2 % dicapai pada t
=4T
• Bila Kurva log c(t ) − c(~) ≡ garis lurus, maka sistem orde-1
• Konstanta waktu T ditentukan dari
c(T ) − c(~) = 0,368[c(0) − c(~) ]
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 4 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
♦ Untuk input unit ramp R (s) =
1
s2
(
)
1
1 1 T
T2
−t / T
u( t )
⋅ 2= 2− +
C(s) =
sehingga c( t ) = t − T + Te
Ts + 1 s
s Ts + 1
s
Galat keadaan mantap : e(~)=T
♦ Untuk input unit Impuls : R(s) = 1
C( s) =
1
Ts + 1
sehingga
1
C( t ) = e − t / T u ( t )
T
Sifat Penting Sistem Linear Invarian-Waktu : Fungsi Singular.
(
)
: C(t ) = (1 − e t / T )u(t ) (turunkan dari tanggapan unit ramp)
Tanggapan unit ramp: C(t ) = t − T + Te − t / T u(t )
Tanggapan unit step
1
T
Tanggapan unit impuls: C(t ) = e − t / T u(t ) (turunkan dari tanggapan unit
step)
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 5 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
♦ Tanggapan Waktu alih Sistem Orde-2
• Sistem Kendali Posisi
Error Detector :
er = K 0 r
ec = K 0 c
dengan K0 = konstanta proporsionalitas arm detector
Torsi motor :
T = K2 ia
dengan K2 = konstanta torsi motor
ia = arus jangkar
Rangkaian jangkar :
La
dia
dθ
+ Ra ia + K 3
= K1e
dt
dt
(1)
dengan K3 = konstanta back emf motor
θ = sudut putaran poros motor
Persamaan Torsi :
(2)
dengan :
J0 = momen inersi motor + beban + roda gigi terhadap poros motor
b0 = koefisien gesekan motor + beban + roda gigi terhadap poros
motor
Dari (1) dan (2) diperoleh :
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 6 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
Output :
Dengan
Maka :
Mengingat La = kecil, maka diperoleh penjabaran sebagai berkut
Daya penyederhanaan diperoleh :
G ( s) =
K
Js 2 + Bs
Atau :
Definisikan :
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 7 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
ω n = frekuensi natural tak teredam
σ
ζ
= redaman (attenuation)
= faktor / koefisien redaman
B
B
ζ =
=
Bc 2 JK
Diperoleh :
K
= ω n2
J
dan
B
= 2ζω n = 2σ
J
Sehingga diperoleh bentuk umum fungsi alih orde-2 balikan satuan :
ω n2
C ( s)
=
R( s) s 2 + 2ζω n s + ω n2
Perilaku dinamis sistem orde-2 dapat dijelaskan melalui ζ dan ω n .
Tiga kasus tanggapan :
1. Teredam kurang
2. Teredam kritis
3. Teredam lebih
(0 < ζ < 1)
(ζ = 1)
(ζ > 1)
• Teredam kurang
C ( s)
ωn2
=
R( s) ( s + ζωn + jωd )( s + ζωn + jωd )
dengan
ωd = ωn 1 − ζ 2
= frekuensi natural teredam
jωd
X
− ξωn
Untuk input unit step :
σ
X
− jωd
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 8 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
C ( s) =
EL303 Sistem Kendali
ωn2
(s2 + 2ζωn s + ωn2 )s
=
s + ζωn
ζωn
1
−
−
2
2
s ( s + ζω ) + ω
( s + ζωn )2 + ωd2
n
d
sehingga
sin ωd t
2
1− ζ
ζ
c(t ) = 1 − e −ζωnt cos ωd t +
2
−1 1 − ζ
sin ωd t + tan
= 1−
ζ
1−ζ2
e −ζωnt
(t ≥ 0)
• Waktu setting tercepat bila 0,5 < ζ < 0,8
• sistem teredam kritis lebih cepat dari pada sistem dengan ζ > 1.
• Sistem orde-2 dengan ζ sama dan ωn berbeda : bertanggapan sama untuk
simpangan dan pola osilasi, disebut memiliki kestabilan relatif sama.
• Sinyal galat :
e( t ) = r ( t ) − c( t )
=e
untuk
cos ωd t +
sin ωd t
2
1−ζ
−ζω n t
ζ
( t ≥ 0)
ζ = 0 : sistem berosilasi pada amplitudo tetap
c( t ) = 1 − cos ωnt
t≥0
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 9 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
‚
EL303 Sistem Kendali
Teredam Kritis
jω
bid-s
σ
− ωn
Respon unit step :
C ( s) =
sehingga
ωn2
(s + ωn )2 s
c( t ) = 1 − e−ω nt (1 + ωnt )
t≥0
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 10 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
ƒTeredam lebih
Letak pole-pole
jω
bid-s
σ
− s1 =
− ζω n − ω n ζ 2 − 1
− s2 =
− ζωn + ωn ζ 2 − 1
Respon unit step :
sehingga
dengan
s1 = ζ + ζ 2 − 1 ω n
s2 = ζ − ζ 2 − 1 ω n
Bila s2 1,
c( t ) =
ωn
2 ζ 2 −1
e
(ζ − ζ 2 −1)
−
ωn
2 ζ 2 −1
e
−(ζ − ζ 2 −1)ω n t
(t ≥ 0)
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 19 dari 20
_______________________________________________________________________________
Bab 4: Analisis Sistem Kendali
EL303 Sistem Kendali
Teknik Elektro ITB
[EYS-1998]
hal 20 dari 20
_______________________________________________________________________________