Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

21 Matematika

b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa a a p q p q = . Sifat perkalian dan pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut. Contoh 1.7 1 8 2 2 2 2 3 3 3 3 3 1 = = = = 2 64 2 2 2 2 6 6 6 6 6 1 = = = = 3 4 5 2 7 4 2 5 7 8 35 3 3 3 3 × = × × = 4 3 5 5 5 3 5 5 5 15 5 15 5 5 7 1 5 1 7 12 35 12 35 × = × ×       =       = 5 3 4 4 5 3 4 4 5 3 3 3 = 6 2 3 3 5 2 3 3 5 4 4 4 = Latihan 1.4 1 Buktikan: jika a bilangan real dan a 0, maka a n n = a. 2 Buktikan: jika a, b, c, dan d bilangan real, c 0 dan d 0, maka a c b d ab cd n n n × = . 3 Buktikan: jika a, b, c, dan d bilangan real, c 0 dan d 0, maka a c b d a b c d n n n = .

c. Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti 2 5 3 7 2 6 , , , + − , dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan, maka dikatakan sebagai penyebut irasional. 22 Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Penyebut dalam bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat rasional. Cara merasionalkan penyebut bentuk akar tergantung pada bentuk akar itu sendiri. Akan tetapi, prinsip dasarnya sama; yaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawannya. Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut. 1 Merasionalkan bentuk p q Bentuk p q dirasionalkan dengan cara mengalikannya dengan q q . p q p q q q p q q = = . Diskusi Menurutmu mengapa penyebut bilangan pecahan berbentuk akar harus dirasionalkan? Mengapa kita harus mengalikan p q dengan q q ? Karena q selalu positif, maka q q = 1. Jadi perkalian p q dengan q q tidak akan mengubah nilai p q namun menyebabkan penyebut menjadi bilangan rasional. 2 Merasionalkan bentuk r p q r p q r p q r p q + − + − , , , dan Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atas, perlu kita pahami bentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional. a Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan irasional. Contoh 2 + 7 = 2 + 2,645751.... = 4, 645751... bilangan irasional. b Jika bilangan irasional dijumlahkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan irasional atau rasional, Contoh 1 5 + 7 = 2,236068.... + 2,645575... = 4,881643... bilangan irasional, 2 2 5 + -2 5 = 0 bilangan rasional. Jika dua bilangan irasional dikurangkan, bagaimana hasilnya? 23 Matematika c Jika bilangan rasional dikalikan dengan bilangan irrasional, maka hasilnya bilangan rasional atau irasional. Contoh. 0 2 × = 0 0 adalah bilangan rasional atau 2 5 2 5 × = adalah bilangan irasional d Jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional, maka hasilnya dapat bilangan rasional atau bilangan irasional. Contoh: • 5 × 125 = 5 × 5 5 = 25 25 adalah bilangan rasional • 3 5 15 × = 15 adalah bilangan irasional e a n disebut bentuk akar apabila hasil akar pangkat n dari a adalah bilangan irasional. Untuk merasionalkan bentuk r p q r p q r p q r p q + − + − , , , dan . dapat dilakukan dengan memperhatikan sifat perkalian a + b a – b = a 2 – b 2 , sehingga p q p q p q p q p q p q p q p q + − = − = − + − = − = − 2 2 2 2 2 Bentuk p q + dan bentuk p q − saling sekawan, bentuk p q + dan p q − juga saling sekawan. Jika perkalian bentuk sekawan tersebut dilakukan maka dapat merasionalkan bentuk akar. Untuk p, q dan r bilangan real. r p q r p q p q p q r p q p q + = + − − = − − . 2 dimana q ≥ 0 dan p 2 ≠ q. r p q r p q p q p q r p q p q − = − + + = + − . 2 dimana q ≥ 0 dan p 2 ≠ q. r p q r p q p q p q r p q p q + = + − − = − − . dimana p ≥ 0, q ≥ 0 dan p ≠ q r p q r p q p q p q r p q p q − = − + + = + − . dimana p ≥ 0, q ≥ 0 dan p ≠ q 24 Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Contoh 1.8 Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. a. 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 − = − × + + kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya = + − + 2 3 2 3 2 3 2 = + − = + = + 2 3 2 9 2 6 2 2 7 6 7 2 7 7 b. 3 6 3 3 6 3 6 3 6 3 3 6 3 6 3 6 3 + = + × − − = − + − kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya = − − = − = − 18 3 3 36 3 18 3 3 33 6 11 3 11 25 Matematika c. 4 7 5 4 7 5 7 5 7 5 4 7 5 7 5 7 5 4 7 5 7 5 4 7 4 5 2 2 7 2 5 − = − × + + = + − + = + − = + = + kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya Contoh 1.9 Pikirkan cara termudah untuk menghitung jumlah bilangan-bilangan berikut 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 99 100 + + + + + + + + + = ... ...? Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara merasionalkan penyebut tiap suku; yaitu, = 1 1 2 1 2 1 2 + × − − + 1 2 3 2 3 2 3 + × − − + 1 3 4 3 4 3 4 + × − − + 1 4 5 4 5 4 5 + × − − + ... + 1 99 100 99 100 99 100 + × − − = 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 99 100 1 − − + − − + − − + − − + + − − ... = – 1 2 2 3 3 4 4 5 99 100 + − + − + − + − − + ... = − + = − + = 1 100 1 10 9 . 26 Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Contoh 1.10 Tentukan nilai dari 1 3 1 3 1 3 + + + ... Alternatif Penyelesaian Perhatikan pola bilangan berikut. Misalkan, P = + + + 3 1 3 1 3 ... atau P P = + 3 1 ⇔ P 2 – 3P – 1 = 0 Dengan mengubah ke bentuk kuadrat sempurna diperoleh: ⇔ P − − = 3 2 13 4 2 ⇔ P = + 6 2 13 4 Jadi, nilai 1 3 1 3 1 3 1 6 2 13 4 4 6 2 13 + + + = + = + ... Dengan merasionalkan bentuk tersebut, maka 4 6 2 13 4 6 2 13 6 2 13 6 2 13 4 6 2 13 16 + = + − − = − − . = − 2 13 6 2 Jadi, 1 3 1 3 1 3 2 13 6 2 + + + = − ... 27 Matematika 3 Menyederhanakan bentuk p q pq + ± 2 Sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk khusus; yaitu, bentuk p q pq + ± 2 . Perhatikan proses berikut ini Diskusikanlah masalah berikut dengan temanmu a. p q p q + + b. p q p q − − Dari hasil kegiatan yang kamu lakukan, kamu akan memperoleh bentuk sederhananya menjadi p q pq + ± 2 . Selanjutnya, perhatikan contoh berikut Contoh 1.11 Sederhanakan bentuk akar berikut ini a. 8 2 15 + = 5 3 2 5 3 5 2 5 3 3 + + × = + × + = 5 3 5 3 2 + = + b. 9 4 5 − = 5 4 5 4 5 2 5 2 2 − + = − = − 28 Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Uji Kompetensi 1.2 1. Rasionalkan penyebut pecahan- pecahan berikut ini a. 5 15 d. 6 24 b. 2 20 e. 2 2 48 c. 3 18 f. 2 3 a a 2. Rasionalkan penyebut pecahan- pecahan berikut ini a. 1 5 3 − b. 4 2 4 2 − + c. 2 3 5 a a + d. 3 5 1 − e. xy x y + f. 24 54 150 96 + − 3. Sederhanakanlah bentuk berikut ini a. 15 75 1 2 3 − − b. 7 2 8 11 2 8 + + − c. 4 3 2 3 2 1 5 3 2 + − − + − d. 10 5 6 12 6 7 14 7 8 + + + + + 4. Jika 2 3 2 3 6 − + = + a b , tentukan nilai a + b 5. Sederhanakan bentuk akar berikut ini a. 19 8 3 + b. 5 2 6 + c. 43 12 7 + d. 21 4 5 − e. 18 8 2 11 6 2 + + − f. 3 14 6 5 21 12 3 − + + 29 Matematika SOAL TANTANGAN 1. Tentukanlah nilai dari: a. 2 3 2 3 2 3 ... 3 3 3 3 b. 2 2 2 2 2 + + + + + ... c. 1 1 1 1 1 1 + + + ... 2. Jika a, b bilangan asli dengan a ≤ b dan 3 4 + + a b adalah bilangan rasional, tentukan pasangan a,b. OSN 20052006 Projek Tidak semua bilangan pecahan desimal tak hingga adalah bilangan irrasional. Sebagai contoh 0,333... bukanlah bilangan irrasional, karena dapat dinyatakan sebagai pecahan 1 3 . Kenyataannya, bilangan pecahan desimal tak hingga dengan desimal berulang seperti 0,333... dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan. a. Rancang sebuah prosedur untuk mengkonversi bilangan pecahan desimal tak hingga dengan desimal berulang menjadi bilangan pecahan. Beri contoh penerapan prosedur yang kamu rancang. b. Berdasarkan penjelasan di atas, karena bilangan irasional π tidak mungkin sama dengan 22 7 , karena 22 7 hanyalah pendekatan untuk nilai π sebenarnya. 3. Nyatakan b dalam a dan c dari persamaan b c c a 3 3 = abc. 4. Sederhanakan bentuk 49 20 6 4 − . 5. Tentukan nilai a dan b dari 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 1 000 000 1 000 001 + + + + + + + + = − ... . . . . a b 6. Hitunglah 54 14 5 12 2 35 32 10 7 + + − + − = 7. Jika3+43 2 +4 2 3 4 +4 4 3 8 +4 8 3 16 +4 16 3 32 +4 32 = 4 x –3 y , tentukan nilai x–y . 30 Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi

9. Menemukan Konsep Logaritma