Suparti, Achmad Mustofa dan Agus Rusgiyono Estimasi Regresi Wavelet Thresholding dengan Metode...
lain
yang 1
2 1
1 2
1 1
x, x
, x
, x
dan
lain yang
1 1
x, x
, x
Gambar 1 adalah beberapa contoh wavelet yang meliputi wavelet Haar, wavelet Dau-
bechies Daublet, symmetris Symmlet, dan Coifman Coiflet [8].
Gambar 1. Beberapa contoh wavelet
2. ANALISIS MULTIRESOLUSI
Analisis multiresolusi L
2
R adalah ruang bagian tertutup {V
j
,j Z} yang me-
menuhi i …
V
-2
V
-1
V V
1
V
2
… ii
Z j
V
j
= {0},
Z j
V
j
= L
2
R iii f
V
j
1
. 2
j
V f
iv
Z k
V k
f V
f
,
.
v Terdapat sebuah fungsi
V
se-hingga
Z k
, k
.
k ,
mem-bentuk basis ortonormal untuk V
dimana untuk semua j,k
Z,
k x
x
j j
k ,
j
2 2
2
. Jika {V
j
, j Z} analisis multiresolusi
dari L
2
R, maka ada basis ortonormal
Z k
,j ;
k ,
j
untuk L
2
R:
, 2
2
2 ,
k x
j j
k j
sehingga untuk sembarang f pada L
2
R,
Z k
k j
k j
j j
f f
P f
P .
,
, 1
, 1
1
, yaitu
x
yang diturunkan dari
Z k
k k
k
x c
x 1
, 1
1
.
Akibat. Bila
adalah fungsi skalar yang membangun analisis multiresolusi
dan
Z
k ,k
k k
x c
ψx
1 1
1
, maka dekomposisi sembarang f
L
2
R ke dalam wavelet ortonormal adalah
ψ d
jo j
Z k
k j,
k j,
, ,
x x
c x
f
Z k
k jo
k jo
, 2.1 dengan
k jo
k jo
f c
, ,
,
dan
k j
k j
f d
, ,
,
. 3. ESTIMATOR WAVELET LINEAR
Misalkan terdapat sekumpulan data independen
n i 1
Yi Xi,
yang mempunyai model 1.1 dan n = 2
m
dengan m bilangan bulat positip. Jika X
i
rancangan titik reguler pada interval [0,1] dengan X
i
= in, maka proyeksi f pada ruang V
J
dapat ditulis menjadi
Z
k k
J k
J J
x c
f P
, ,
atau
Z k
k J
k J
J
x c
x f
, ,
, dengan
1 ,
, ,
, dx
x x
f f
c
k J
k J
k J
. Untuk J→ ∞ maka f
J
x → fx. Berdasarkan dekomposisi fungsi ke dalam
wavelet ortonormal 2.1 untuk sembarang fungsi
2
R L
f
diperoleh
, ψ
d
1 J
jo j
Z k
k j,
k j,
, ,
x x
c x
f
Z k
k jo
k jo
J
dengan
k jo
k jo
f c
, ,
,
=
1 ,
dx x
x f
k jo
dan
k j
k j
f d
, ,
,
=
1 ,
dx x
x f
k j
.
45
Jurnal Matematika Vol. 10, No.2, Agustus 2007:43-50
Karena fungsi regresi f tidak diketahui maka estimator f pada ruang V
J
dapat ditulis sebagai
Z k
k J
k J
J
x c
x f
ˆ ˆ
, ,
dengan
k J
c
,
ˆ
n
i i
k J
i
X Y
n
1 ,
1
, atau
ψ dˆ
ˆ ˆ
1 J
jo j
Z k
k j,
k j,
, ,
x x
c x
f
Z k
k jo
k jo
J
3.1 dengan
n i
i k
, jo
i k
, jo
X Y
n cˆ
1
1
,
n i
i k
, j
i k
, j
X Y
n dˆ
1
1
. Estimator wavelet 5 dinamakan estimator
wavelet linear.
4. ESTIMATOR WAVELET THRESHOLDING