Jurnal Matematika Vol. 10, No.2, Agustus 2007:43-50
1.1. Estimator deret Fourier
Diasumsikan bahwa f
L
2
R dengan
dx x
f f
R L
2 2
:
, ma- ka L
2
R merupakan ruang Hilbert [6]. Sebuah hasil kali dalam pada ruang L
2
R adalah fungsi yang mengasosiasikan bila-
ngan riil
g ,
f
, dengan masing-masing pasangan fungsi fx dan gx pada L
2
R. Hasil kali dalam L
2
R dari dua fungsi dan norma sebuah fungsi didefinisikan
dx x
g x
f g
f
,
,
dx x
f f
f f
2
,
. Andaikan
,... ,
j j
2 1
sistem ortonormal lengkap CONS dari L
2
R, maka sembarang f
L
2
R dapat dinya- takan sebagai
1 j
j j
f
dengan
j j
, f
, dan memenuhi identitas Parseval
1 2
2 j
j
f
. Karena
dx x
f
2
maka
n j
j 1
2
sehingga
j
, untuk
j
. Oleh karena itu, f dapat didekati oleh
J j
j j
f
1
untuk bilangan bulat J cukup besar. Khususnya jika f
L
2
[0,2 ],
maka f dapat didekati dengan deret Fou- rier,
J j
j j
J
jx b
jx a
a x
f
1
sin cos
2 1
, 1.2
dengan koefisien Fourier
2
cos 1
. cos
, 1
dx jx
x f
j f
a
j
dengan j=0,1,…,J dan
dx jx
x f
j f
b
j
sin 1
. sin
, 1
2
dengan j=1,2,…,J. Jika
n i
i i
Y ,
X
1
merupakan data observasi independen mempunyai model
1.1 dengan
n i
X
i
2
dan
2
0, X
i
, maka estimator regresi f adalah
, sin
ˆ cos
ˆ ˆ
2 1
ˆ
1
J
j j
j J
jx b
jx a
a x
f
1.3 dengan
n i
i i
j
jX Y
n a
1
cos 2
ˆ , j = 0,1,
…,J dan
n i
i i
j
jX Y
n b
1
sin 2
ˆ , j = 1,2,3,
…,J. 1.2. Fungsi Wavelet
Fungsi wavelet adalah suatu fungsi dengan sifat-sifat tertentu diantaranya yang
berosilasi di sekitar nol seperti fungsi si- nus dan cosinus, terlokalisasi dalam do-
main waktu dan frekuensi serta mem- bentuk basis ortogonal dalam L
2
R [7].
Fungsi wavelet dibedakan atas dua jenis, yaitu wavelet ayah
dan wavelet ibu yang mempunyai sifat:
1 dx
x
dan
dx x
. Dengan dilatasi diadik dan translasi in-
teger, wavelet ayah dan wavelet ibu mela- hirkan keluarga wavelet yaitu
2 2
2 1
,
k x
p p
x
j j
k j
dan
2 2
2 1
,
k x
p p
x
j j
k j
, untuk suatu skalar p0, dan tanpa me-
ngurangi keumuman dapat diambil p=1, sehingga
2 2
2 ,
k x
x
j j
k j
dan
2 2
2 ,
k x
x
j j
k j
. Fungsi
x
k ,
j
dan
x
k ,
j
mempunyai sifat
,
, ,
k k
k j
k j
dx x
x
,
,
,
dx x
x
k j
k j
,
,
, ,
, k
k j
j k
j k
j
dx x
x
, dengan
j. i
jika j
i jika
1
j ,
i
Contoh wavelet paling sederhana adalah wavelet Haar yang mempunyai rumus
44
Suparti, Achmad Mustofa dan Agus Rusgiyono Estimasi Regresi Wavelet Thresholding dengan Metode...
lain
yang 1
2 1
1 2
1 1
x, x
, x
, x
dan
lain yang
1 1
x, x
, x
Gambar 1 adalah beberapa contoh wavelet yang meliputi wavelet Haar, wavelet Dau-
bechies Daublet, symmetris Symmlet, dan Coifman Coiflet [8].
Gambar 1. Beberapa contoh wavelet
2. ANALISIS MULTIRESOLUSI
Kategori