Perbandingan Metode MKT, LTS, WIN, dan Theil pada Pendugaan Parameter Regresi Apabila Galatnya Menyebar Eksponensial
PERBANDINGAN METODE MKT, LTS, WIN, DAN THEIL
PADA PENDUGAAN PARAMETER REGRESI APABILA
GALATNYA MENYEBAR EKSPONENSIAL
HELGA ARINA PRAMUDITYA
STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perbandingan Metode
MKT, LTS, WIN, dan Theil pada Pendugaan Parameter Regresi Apabila Galatnya
Menyebar Eksponensial adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Maret 2015
Helga Arina Pramuditya
NIM G14100007
ABSTRAK
HELGA ARINA PRAMUDITYA. Perbandingan Metode MKT, LTS, WIN, dan
Theil pada Pendugaan Parameter Regresi Apabila Galatnya Menyebar
Eksponensial. Dibimbing oleh KUSMAN SADIK dan CICI SUHAENI.
Pendugaan parameter pada analisis regresi linier sederhana dapat dilakukan
dengan Metode Kuadrat Terkecil (MKT). Metode ini mensyaratkan asumsi bahwa
galat harus menyebar Normal. Namun dalam praktik nyata di lapangan galat tidak
selalu menyebar Normal, melainkan memiliki sebaran yang lain, misalnya
Eksponensial. Akibatnya, pendugaan terhadap parameter dengan menggunakan
MKT menjadi tidak optimal. Permasalahan ini dapat diatasi dengan menerapkan
regresi kekar. Penelitian ini menerapkan metode Least Trimmed Square (LTS),
Winsorized Least Square (WIN), dan metode Theil sebagai solusinya. Data yang
digunakan adalah data simulasi. Peubah penjelas (x) dibangkitkan dari sebaran
Normal, sementara galat dibangkitkan dari sebaran Eksponensial. Hasil
pendugaan dievaluasi dengan kriteria KTG dan KTG Relatif. Hasilnya
menunjukkan bahwa LTS merupakan metode terbaik yang dapat digunakan ketika
galat menyebar Eksponensial.
Kata kunci: LTS, Metode Theil, MKT, WIN
ABSTRACT
HELGA ARINA PRAMUDITYA. Comparison of OLS, LTS, WIN, and Theil’s
Method in Parameter Regression Estimation for Error is Exponentially
Distributed. Supervised by KUSMAN SADIK and CICI SUHAENI.
Parameter estimation in simple linear regression analysis can be done with
Ordinary Least Square (OLS). This method requires the assumption that error
must be Normally distributed. However, in reality error is not always Normally
distributed, but has another distribution, for example Exponential. Concequently,
parameter estimation by MKT is not optimal. This problem can be solved by
applying robust regression. This research applied Least Trimmed Square (LTS)
method, Winsorized Least Square (WIN) method, and Theil’s method as a
solution. The data used in this study was simulation data. Explanatory variables
(x) is generated from the Normal distribution, while the error generated from the
Exponential distribution. The results of estimation are evaluated with MSE and
Relative MSE. The results showed that LTS was the best method when the error is
Exponentially distributed.
Keywords: LTS, OLS, Theil’s Method, WIN
PERBANDINGAN METODE MKT, LTS, WIN, DAN THEIL
PADA PENDUGAAN PARAMETER REGRESI APABILA
GALATNYA MENYEBAR EKSPONENSIAL
HELGA ARINA PRAMUDITYA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika
pada
Departemen Statistika
STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Perbandingan Metode MKT, LTS, WIN, dan Theil pada Pendugaan
Parameter Regresi Apabila Galatnya Menyebar Eksponensial
Nama
: Helga Arina Pramuditya
NIM
: G14100007
Disetujui oleh
Dr Kusman Sadik, MSi
Pembimbing I
Cici Suhaeni, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Anang Kurnia, MSi
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penelitian ini
berjudul Perbandingan Metode MKT, LTS, WIN, dan Theil pada Pendugaan
Parameter Regresi Apabila Galatnya Menyebar Eksponensial.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Kusman Sadik, MSi dan
Ibu Cici Suhaeni, MSi selaku pembimbing yang telah banyak memberikan
bimbingan, arahan, serta saran selama proses penulisan karya ilmiah ini. Di
samping itu, penulis juga ucapkan terima kasih kepada Ayah, Ibu, dan Mbak
Amanda atas doa, semangat, dan kasih sayangnya. Bapak Dr Anang Kurnia, MSi
beserta seluruh staf pengajar Departemen Statistika Institut Pertanian Bogor yang
telah memberikan bekal ilmu selama penulis melaksanakan studi di Departemen
Statistika. Seluruh staf adminidtrasi dan karyawan Departemen Statistika yang
selalu membantu penulis dalam menyelesaikan berbagai keperluan terkait
penyelesaian karya ilmiah ini. Penulis juga ingin menyampaikan terima kasih
untuk teman-teman Statistika 47 dan teman-teman KSR PMI Unit I IPB, yang
telah memberikan dukungan kepada penulis.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi semua orang yang membacanya.
Bogor, Maret 2015
Helga Arina Pramuditya
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Regresi Linier Sederhana
2
Least Trimmed Squares (LTS)
2
Winsorized Least Squares (WIN)
3
Metode Theil
3
Kuadrat Tengah Galat (KTG) dan KTG Relatif
4
DATA DAN METODE
4
Data
4
Metode
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
SIMPULAN DAN SARAN
9
Simpulan
Saran
9
10
DAFTAR PUSTAKA
10
RIWAYAT HIDUP
15
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Nilai KTG penduga intersep (β̂ 0 )
Nilai KTG penduga koefisien kemiringan garis (β̂ 1 )
Nilai KTG Relatif penduga intersep (β̂ 0 )
Nilai KTG Relatif penduga koefisien kemiringan garis (β̂ 1 )
6
7
8
9
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
Rataan, ragam, bias, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif untuk penduga
intersep (β̂ 0 ) hasil simulasi
Rataan, ragam, bias, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif untuk penduga
koefisien kemiringan garis (β̂ ) hasil simulasi
11
13
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Analisis regresi merupakan salah satu alat statistika yang sering digunakan
untuk melihat hubungan antara peubah respon dengan satu atau lebih peubah
penjelas. Regresi linier sederhana merupakan analisis regresi dengan satu peubah
respon dan satu peubah penjelas. Linier yang dimaksud adalah adanya hubungan
linier antara peubah respon dengan peubah penjelas (Draper dan Smith 1992).
Salah satu metode pendugaan parameter regresi yang sering digunakan
adalah Metode Kuadrat Terkecil (MKT). MKT merupakan metode pendugaan
parameter regresi dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisaan. Salah satu
asumsi yang harus dipenuhi dalam MKT adalah galat menyebar Normal dengan
nilai tengah nol serta ragam yang konstan σ2 (Draper dan Smith 1992). Namun
dalam praktik nyata di lapangan galat tidak selalu menyebar Normal, melainkan
memiliki sebaran yang lain, misalnya Eksponensial. Jika tidak memenuhi asumsi
kenormalan, maka akan menyebabkan pendugaan terhadap parameter menjadi
tidak optimal (Mutan 2009).
Terdapat beberapa alternatif regresi kekar yang dapat digunakan ketika
galat tidak menyebar Normal, diantaranya adalah Least Trimmed Square (LTS),
Winsorized Least Square (WIN), dan metode Theil. LTS merupakan salah satu
metode pendugaan parameter regresi yang kekar terhadap pencilan, prinsipnya
adalah dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisaan dari sebagian atau total
pengamatan (Mutan 2009). WIN merupakan salah satu regresi kekar dengan
prinsip mengubah nilai pada data berdasarkan besarnya sisaan (Mutan 2009).
Metode Theil merupakan salah satu metode nonparametrik. Prinsipnya adalah
menduga koefisien kemiringan garis regresi dengan cara mencari median
kemiringan garis dari pasangan titik-titik pengamatan (Daniel 1990).
Wulandari et al. (2013) membandingkan metode LTS dan penduga M
dalam mengatasi pencilan dan hasilnya metode LTS memberikan hasil yang lebih
baik jika dibandingkan dengan penduga M. Azizah et al. (2013) melakukan
penelitian dengan menggunakan metode LTS pada regresi berganda yang
mengandung pencilan dengan berbagai ukuran contoh dan didapatkan kesimpulan
bahwa LTS memang salah satu metode regresi yang kekar terhadap pencilan.
Mutan (2009) melakukan penelitian tentang perbandingan pendugaan regresi
linier sederhana jika galat menyebar Long Tailed Symmetric dengan
membandingkan metode MKT, Modified Maximum Likelihood, Least Absolute
Deviation, LTS, WIN, Theil, dan Weighted Theil. Hasil dari penelitian Mutan
diperoleh bahwa metode WIN dan metode Theil cukup baik digunakan ketika
galat menyebar long tailed symmetric. Penelitian ini akan membandingkan
metode MKT, LTS, WIN, dan Theil untuk mengetahui metode yang paling efisien
digunakan ketika galatnya menyebar Eksponensial.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah membandingkan metode MKT, LTS, WIN,
dan Theil pada pendugaan parameter regresi apabila galatnya menyebar
Eksponensial.
TINJAUAN PUSTAKA
Regresi Linier Sederhana
Model umum regresi linier sederhana yaitu Y = β + β X + ε, dengan Y
merupakan peubah respon, X merupakan peubah penjelas, β serta β
merupakan parameter regresi, dan ε merupakan besaran yang membuat nilai Y
menyimpang dari garis regresinya. Pada pendugaan parameter regresi, metode
yang sering digunakan adalah Metode Kuadrat Terkecil (MKT). Prinsip dari MKT
adalah meminimumkan jumlah kuadrat sisaan, sehingga dapat ditulis sebagai
berikut:
n
n
min ∑ εi = min ∑ (yi - β0 - β1 xi )2
2
i=1
i
i=1
dengan i : 1, 2, 3,... n. Untuk mendapatkan ∑ni=1 ei 2 yang minimum, caranya adalah
dengan melakukan diferensiasi terhadap β0 dan β . Dengan melakukan
diferensiasi, maka akan didapatkan nilai β̂ 0 dan β̂ 1 sebagai berikut:
n
∑ (x - ̅)(y
x i - y̅ )
dan β̂ 0 = y̅- β̂ 1 x̅
β̂ 1 = i=1 n i
2
∑i=1(xi -x̅ )
dengan:
y̅ : rata-rata peubah respon
x̅ : rata-rata peubah penjelas
β̂ 0 : dugaan intersep
β̂ 1 : dugaan koefisien kemiringan garis.
Terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi dalam menduga parameter
dengan MKT. Diantaranya yaitu galat bebas satu sama lain dan galat menyebar
Normal dengan nilai tengah nol serta ragam yang konstan σ2 (Draper dan Smith
1992).
Least Trimmed Squares (LTS)
Least Trimmed Square (LTS) merupakan salah satu metode pendugaan
parameter regresi yang kekar terhadap pencilan. Prinsip pendugaan parameternya
hampir sama dengan metode MKT, yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat
sisaan. Namun pada metode LTS jumlah kuadrat sisaan yang diminimumkan
adalah jumlah kuadrat sisaan dari h pengamatan. Sehingga dapat ditulis bahwa
prinsip dari metode LTS adalah untuk meminimumkan:
3
h
∑ (yi - ŷ i )2
i=1
dengan:
ŷ i : dugaan peubah respon
h : konstanta pemotongan.
n
Nilai h berada pada interval ≤ h ≤ n . Regresi terbaik yang didapat dengan
2
menggunakan metode LTS ini ketika h merupakan 50% dari data atau h= n/2
(Mutan 2009).
Winsorized Least Squares (WIN)
Winsorized Least Square (WIN) merupakan salah satu regresi kekar yang
digunakan pada data yang mengandung pencilan dengan metode iterasi. Prinsip
dari WIN adalah dengan mengubah data berdasarkan besarnya sisaan (Mutan
2009).
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah melakukan pendugaan
parameter dengan metode MKT untuk mendapatkan β̂ 0(MKT) dan β̂ 1(MKT) .
Kemudian menghitung nilai dugaan peubah respon (ŷ i ) dan didapatkan sisaan
ε̂i = yi - ŷ i . Nilai ε̂i kemudian diurutkan, sehingga ε̂(1) ≤ ε̂ 2 ≤ . . . ≤ ε̂(n) . Langkah
selanjutnya adalah iterasi, yaitu sisaan data yang ekstrem digantikan dengan
sisaan data yang berada di dekatnya atau dapat ditulis: yi ' = ŷ i + ε̂i '. Kemudian
dengan peubah respon yang baru akan didapatkan penduga parameter dan sisaan
yang baru, selanjutnya dilakukan iterasi kedua. Hasilnya yaitu yi ''= ŷ i ' + ε̂i ''
digunakan untuk iterasi ketiga dan begitu seterusnya sehingga didapatkan penduga
parameter (β̂ ) yang konvergen (Mutan 2004).
Metode Theil
Metode Theil merupakan salah satu metode nonparametrik. Prinsip dari
metode Theil yaitu menduga koefisien kemiringan garis regresi dengan cara
mencari median kemiringan seluruh garis dari pasangan titik-titik pengamatan
(Daniel 1990).
Tahap pertama yang harus dilakukan adalah mengurutkan peubah penjelas
dari terkecil hingga terbesar sehingga x1 < x2 < .. . .< xn . Untuk setiap pasangan
(xj , yj ) dan (xk , yk ) nilai kemiringannya dinotasikan dengan bjk dan dirumuskan
sebagai berikut:
yk - yj
bjk =
,j
PADA PENDUGAAN PARAMETER REGRESI APABILA
GALATNYA MENYEBAR EKSPONENSIAL
HELGA ARINA PRAMUDITYA
STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perbandingan Metode
MKT, LTS, WIN, dan Theil pada Pendugaan Parameter Regresi Apabila Galatnya
Menyebar Eksponensial adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Maret 2015
Helga Arina Pramuditya
NIM G14100007
ABSTRAK
HELGA ARINA PRAMUDITYA. Perbandingan Metode MKT, LTS, WIN, dan
Theil pada Pendugaan Parameter Regresi Apabila Galatnya Menyebar
Eksponensial. Dibimbing oleh KUSMAN SADIK dan CICI SUHAENI.
Pendugaan parameter pada analisis regresi linier sederhana dapat dilakukan
dengan Metode Kuadrat Terkecil (MKT). Metode ini mensyaratkan asumsi bahwa
galat harus menyebar Normal. Namun dalam praktik nyata di lapangan galat tidak
selalu menyebar Normal, melainkan memiliki sebaran yang lain, misalnya
Eksponensial. Akibatnya, pendugaan terhadap parameter dengan menggunakan
MKT menjadi tidak optimal. Permasalahan ini dapat diatasi dengan menerapkan
regresi kekar. Penelitian ini menerapkan metode Least Trimmed Square (LTS),
Winsorized Least Square (WIN), dan metode Theil sebagai solusinya. Data yang
digunakan adalah data simulasi. Peubah penjelas (x) dibangkitkan dari sebaran
Normal, sementara galat dibangkitkan dari sebaran Eksponensial. Hasil
pendugaan dievaluasi dengan kriteria KTG dan KTG Relatif. Hasilnya
menunjukkan bahwa LTS merupakan metode terbaik yang dapat digunakan ketika
galat menyebar Eksponensial.
Kata kunci: LTS, Metode Theil, MKT, WIN
ABSTRACT
HELGA ARINA PRAMUDITYA. Comparison of OLS, LTS, WIN, and Theil’s
Method in Parameter Regression Estimation for Error is Exponentially
Distributed. Supervised by KUSMAN SADIK and CICI SUHAENI.
Parameter estimation in simple linear regression analysis can be done with
Ordinary Least Square (OLS). This method requires the assumption that error
must be Normally distributed. However, in reality error is not always Normally
distributed, but has another distribution, for example Exponential. Concequently,
parameter estimation by MKT is not optimal. This problem can be solved by
applying robust regression. This research applied Least Trimmed Square (LTS)
method, Winsorized Least Square (WIN) method, and Theil’s method as a
solution. The data used in this study was simulation data. Explanatory variables
(x) is generated from the Normal distribution, while the error generated from the
Exponential distribution. The results of estimation are evaluated with MSE and
Relative MSE. The results showed that LTS was the best method when the error is
Exponentially distributed.
Keywords: LTS, OLS, Theil’s Method, WIN
PERBANDINGAN METODE MKT, LTS, WIN, DAN THEIL
PADA PENDUGAAN PARAMETER REGRESI APABILA
GALATNYA MENYEBAR EKSPONENSIAL
HELGA ARINA PRAMUDITYA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika
pada
Departemen Statistika
STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Perbandingan Metode MKT, LTS, WIN, dan Theil pada Pendugaan
Parameter Regresi Apabila Galatnya Menyebar Eksponensial
Nama
: Helga Arina Pramuditya
NIM
: G14100007
Disetujui oleh
Dr Kusman Sadik, MSi
Pembimbing I
Cici Suhaeni, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Anang Kurnia, MSi
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penelitian ini
berjudul Perbandingan Metode MKT, LTS, WIN, dan Theil pada Pendugaan
Parameter Regresi Apabila Galatnya Menyebar Eksponensial.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Kusman Sadik, MSi dan
Ibu Cici Suhaeni, MSi selaku pembimbing yang telah banyak memberikan
bimbingan, arahan, serta saran selama proses penulisan karya ilmiah ini. Di
samping itu, penulis juga ucapkan terima kasih kepada Ayah, Ibu, dan Mbak
Amanda atas doa, semangat, dan kasih sayangnya. Bapak Dr Anang Kurnia, MSi
beserta seluruh staf pengajar Departemen Statistika Institut Pertanian Bogor yang
telah memberikan bekal ilmu selama penulis melaksanakan studi di Departemen
Statistika. Seluruh staf adminidtrasi dan karyawan Departemen Statistika yang
selalu membantu penulis dalam menyelesaikan berbagai keperluan terkait
penyelesaian karya ilmiah ini. Penulis juga ingin menyampaikan terima kasih
untuk teman-teman Statistika 47 dan teman-teman KSR PMI Unit I IPB, yang
telah memberikan dukungan kepada penulis.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi semua orang yang membacanya.
Bogor, Maret 2015
Helga Arina Pramuditya
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Regresi Linier Sederhana
2
Least Trimmed Squares (LTS)
2
Winsorized Least Squares (WIN)
3
Metode Theil
3
Kuadrat Tengah Galat (KTG) dan KTG Relatif
4
DATA DAN METODE
4
Data
4
Metode
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
SIMPULAN DAN SARAN
9
Simpulan
Saran
9
10
DAFTAR PUSTAKA
10
RIWAYAT HIDUP
15
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Nilai KTG penduga intersep (β̂ 0 )
Nilai KTG penduga koefisien kemiringan garis (β̂ 1 )
Nilai KTG Relatif penduga intersep (β̂ 0 )
Nilai KTG Relatif penduga koefisien kemiringan garis (β̂ 1 )
6
7
8
9
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
Rataan, ragam, bias, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif untuk penduga
intersep (β̂ 0 ) hasil simulasi
Rataan, ragam, bias, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif untuk penduga
koefisien kemiringan garis (β̂ ) hasil simulasi
11
13
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Analisis regresi merupakan salah satu alat statistika yang sering digunakan
untuk melihat hubungan antara peubah respon dengan satu atau lebih peubah
penjelas. Regresi linier sederhana merupakan analisis regresi dengan satu peubah
respon dan satu peubah penjelas. Linier yang dimaksud adalah adanya hubungan
linier antara peubah respon dengan peubah penjelas (Draper dan Smith 1992).
Salah satu metode pendugaan parameter regresi yang sering digunakan
adalah Metode Kuadrat Terkecil (MKT). MKT merupakan metode pendugaan
parameter regresi dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisaan. Salah satu
asumsi yang harus dipenuhi dalam MKT adalah galat menyebar Normal dengan
nilai tengah nol serta ragam yang konstan σ2 (Draper dan Smith 1992). Namun
dalam praktik nyata di lapangan galat tidak selalu menyebar Normal, melainkan
memiliki sebaran yang lain, misalnya Eksponensial. Jika tidak memenuhi asumsi
kenormalan, maka akan menyebabkan pendugaan terhadap parameter menjadi
tidak optimal (Mutan 2009).
Terdapat beberapa alternatif regresi kekar yang dapat digunakan ketika
galat tidak menyebar Normal, diantaranya adalah Least Trimmed Square (LTS),
Winsorized Least Square (WIN), dan metode Theil. LTS merupakan salah satu
metode pendugaan parameter regresi yang kekar terhadap pencilan, prinsipnya
adalah dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisaan dari sebagian atau total
pengamatan (Mutan 2009). WIN merupakan salah satu regresi kekar dengan
prinsip mengubah nilai pada data berdasarkan besarnya sisaan (Mutan 2009).
Metode Theil merupakan salah satu metode nonparametrik. Prinsipnya adalah
menduga koefisien kemiringan garis regresi dengan cara mencari median
kemiringan garis dari pasangan titik-titik pengamatan (Daniel 1990).
Wulandari et al. (2013) membandingkan metode LTS dan penduga M
dalam mengatasi pencilan dan hasilnya metode LTS memberikan hasil yang lebih
baik jika dibandingkan dengan penduga M. Azizah et al. (2013) melakukan
penelitian dengan menggunakan metode LTS pada regresi berganda yang
mengandung pencilan dengan berbagai ukuran contoh dan didapatkan kesimpulan
bahwa LTS memang salah satu metode regresi yang kekar terhadap pencilan.
Mutan (2009) melakukan penelitian tentang perbandingan pendugaan regresi
linier sederhana jika galat menyebar Long Tailed Symmetric dengan
membandingkan metode MKT, Modified Maximum Likelihood, Least Absolute
Deviation, LTS, WIN, Theil, dan Weighted Theil. Hasil dari penelitian Mutan
diperoleh bahwa metode WIN dan metode Theil cukup baik digunakan ketika
galat menyebar long tailed symmetric. Penelitian ini akan membandingkan
metode MKT, LTS, WIN, dan Theil untuk mengetahui metode yang paling efisien
digunakan ketika galatnya menyebar Eksponensial.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah membandingkan metode MKT, LTS, WIN,
dan Theil pada pendugaan parameter regresi apabila galatnya menyebar
Eksponensial.
TINJAUAN PUSTAKA
Regresi Linier Sederhana
Model umum regresi linier sederhana yaitu Y = β + β X + ε, dengan Y
merupakan peubah respon, X merupakan peubah penjelas, β serta β
merupakan parameter regresi, dan ε merupakan besaran yang membuat nilai Y
menyimpang dari garis regresinya. Pada pendugaan parameter regresi, metode
yang sering digunakan adalah Metode Kuadrat Terkecil (MKT). Prinsip dari MKT
adalah meminimumkan jumlah kuadrat sisaan, sehingga dapat ditulis sebagai
berikut:
n
n
min ∑ εi = min ∑ (yi - β0 - β1 xi )2
2
i=1
i
i=1
dengan i : 1, 2, 3,... n. Untuk mendapatkan ∑ni=1 ei 2 yang minimum, caranya adalah
dengan melakukan diferensiasi terhadap β0 dan β . Dengan melakukan
diferensiasi, maka akan didapatkan nilai β̂ 0 dan β̂ 1 sebagai berikut:
n
∑ (x - ̅)(y
x i - y̅ )
dan β̂ 0 = y̅- β̂ 1 x̅
β̂ 1 = i=1 n i
2
∑i=1(xi -x̅ )
dengan:
y̅ : rata-rata peubah respon
x̅ : rata-rata peubah penjelas
β̂ 0 : dugaan intersep
β̂ 1 : dugaan koefisien kemiringan garis.
Terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi dalam menduga parameter
dengan MKT. Diantaranya yaitu galat bebas satu sama lain dan galat menyebar
Normal dengan nilai tengah nol serta ragam yang konstan σ2 (Draper dan Smith
1992).
Least Trimmed Squares (LTS)
Least Trimmed Square (LTS) merupakan salah satu metode pendugaan
parameter regresi yang kekar terhadap pencilan. Prinsip pendugaan parameternya
hampir sama dengan metode MKT, yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat
sisaan. Namun pada metode LTS jumlah kuadrat sisaan yang diminimumkan
adalah jumlah kuadrat sisaan dari h pengamatan. Sehingga dapat ditulis bahwa
prinsip dari metode LTS adalah untuk meminimumkan:
3
h
∑ (yi - ŷ i )2
i=1
dengan:
ŷ i : dugaan peubah respon
h : konstanta pemotongan.
n
Nilai h berada pada interval ≤ h ≤ n . Regresi terbaik yang didapat dengan
2
menggunakan metode LTS ini ketika h merupakan 50% dari data atau h= n/2
(Mutan 2009).
Winsorized Least Squares (WIN)
Winsorized Least Square (WIN) merupakan salah satu regresi kekar yang
digunakan pada data yang mengandung pencilan dengan metode iterasi. Prinsip
dari WIN adalah dengan mengubah data berdasarkan besarnya sisaan (Mutan
2009).
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah melakukan pendugaan
parameter dengan metode MKT untuk mendapatkan β̂ 0(MKT) dan β̂ 1(MKT) .
Kemudian menghitung nilai dugaan peubah respon (ŷ i ) dan didapatkan sisaan
ε̂i = yi - ŷ i . Nilai ε̂i kemudian diurutkan, sehingga ε̂(1) ≤ ε̂ 2 ≤ . . . ≤ ε̂(n) . Langkah
selanjutnya adalah iterasi, yaitu sisaan data yang ekstrem digantikan dengan
sisaan data yang berada di dekatnya atau dapat ditulis: yi ' = ŷ i + ε̂i '. Kemudian
dengan peubah respon yang baru akan didapatkan penduga parameter dan sisaan
yang baru, selanjutnya dilakukan iterasi kedua. Hasilnya yaitu yi ''= ŷ i ' + ε̂i ''
digunakan untuk iterasi ketiga dan begitu seterusnya sehingga didapatkan penduga
parameter (β̂ ) yang konvergen (Mutan 2004).
Metode Theil
Metode Theil merupakan salah satu metode nonparametrik. Prinsip dari
metode Theil yaitu menduga koefisien kemiringan garis regresi dengan cara
mencari median kemiringan seluruh garis dari pasangan titik-titik pengamatan
(Daniel 1990).
Tahap pertama yang harus dilakukan adalah mengurutkan peubah penjelas
dari terkecil hingga terbesar sehingga x1 < x2 < .. . .< xn . Untuk setiap pasangan
(xj , yj ) dan (xk , yk ) nilai kemiringannya dinotasikan dengan bjk dan dirumuskan
sebagai berikut:
yk - yj
bjk =
,j