Metode Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Ganda (Linier Satu Parameter dari Brown) dan Metode Box-Jenkins dalam Meramalkan Curah Hujan di Kota Medan

METODE PEMULUSAN (SMOOTHING) EKSPONENSIAL GANDA

(LINIER SATU PARAMETER DARI BROWN) DAN METODE

BOX-JENKINS DALAM MERAMALKAN CURAH HUJAN

DI KOTA MEDAN

SKRIPSI

AFRIDA NINGSIH

110803001

METODE PEMULUSAN (SMOOTHING) EKSPONENSIAL GANDA

(LINIER SATU PARAMETER DARI BROWN) DAN METODE

BOX-JENKINS DALAM MERAMALKAN CURAH HUJAN

DI KOTA MEDAN

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains

AFRIDA NINGSIH

110803001

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2015

PERSETUJUAN

Judul : Metode Pemulusan (Smoothing) Eksponensial

Ganda (Linier Satu Parameter dari Brown) dan Metode Box-Jenkins dalam Meramalkan Curah Hujan di Kota Medan

Kategori : Skripsi

Nama : Afrida Ningsih

Nomor Induk Mahasiswa : 110803001

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

(FMIPA) Universitas Sumatera Utara

Diluluskan Medan, Mei 2015

Komisi Pembimbing:

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si NIP. 19531218 198003 1 003 NIP. 19500321 198003 1 001

Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

PERNYATAAN

METODE PEMULUSAN (SMOOTHING) EKSPONENSIAL GANDA (LINIER SATU PARAMETER DARI BROWN) DAN METODE

BOX-JENKINS DALAM MERAMALKAN CURAH HUJAN DI KOTA MEDAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Mei 2015

Afrida Ningsih 110803001

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpahan karuniaNya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Metode Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Ganda (Linier Satu Parameter dari Brown) dan Metode Box-Jenkins

dalam Meramalkan Curah Hujan di Kota Medan

Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku dosen pembimbing 1 dan Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si selaku dosen pembimbing 2 yang telah meluangkan waktunya selama penulisan skripsi ini. Terima kasih kepada dosen pembanding penulis Ibu Asima Manurung, S.Si, M.Si dan Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si atas kritik dan saran yang membangun dalam penulisan skripsi penulis. Terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU. Terima kasih kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Wakil Dekan FMIPA USU, seluruh Staff dan Dosen Matematika FMIPA USU, pegawai FMIPA USU serta rekan-rekan kuliah. Akhirnya tidak terlupakan kepada Ayahanda tercinta H. Syafnal, Ibunda tercinta Hj. Wirda, serta saudara–saudara penulis yang tersayang Wisnalda, Yenni Afriani, Yulianisyah, Desmianti, dan Asman serta keluarga dari kedua orang tua yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Allah SWT akan membalasnya.

METODE PEMULUSAN (SMOOTHING) EKSPONENSIAL GANDA (LINIER SATU PARAMETER DARI BROWN) DAN METODE

BOX-JENKINS DALAM MERAMALKAN CURAH HUJAN

DI KOTA MEDAN

ABSTRAK

Pada penelitian ini metode yang digunakan dalam meramalkan atau memprediksi curah hujan adalah metode pemulusan (smoothing) eksponensial ganda (linier satu parameter dari Brown) dan metode Box-Jenkins ARIMA. Pada metode pemulusan (smoothing) eksponensial ganda terlebih dahulu mencari nilai pemulusan eksponensial tunggal kemudian membuat pemulusan eksponensial ganda dari nilai yang telah didapat dari pemulusan eksponensial tunggal, selanjutnya mencari nilai a atau penyesuaian nilai tunggal dan menentukan taksiran kecendrungan dari suatu periode waktu ke periode waktu berikutnya yaitu nilai b dan terakhir adalah melakukan peramalan untuk periode berikutnya. Sementara, metode box-jenkins ARIMA terlebih dahulu melakukan differencing. Tujuannya adalah untuk mendapatkan data stasioner dan langkah selanjutnya adalah mengidentifikasi model, estimasi parameter model, melakukan verifikasi parameter model, menentukan model yang lebih baik dengan melihat nilai error terkecil dari model-model yang dipilih sebelumnya dan terakhirya itu melakukan peramalan untuk periode waktu berikutnya. Berdasarkan hasil dari kedua metode peramalan diperoleh nilai SSE dan MSE Brown secara berurut yaitu 977.828.884 dan 16.859,119. Sementara, nilai SSE dan MSE ARIMA secara berurut adalah 665.432 dan 15,475. Sehingga metode yang dipilih dalam penilitian ini adalah metode box-jenkins ARIMA karena nilai error dari metode box-jenkins ARIMA lebih kecil dari pada metode Brown.

DOUBLE EKSPONENTIAL SMOOTHING METHOD (LINIER ONE PARAMETER OF BROWN) AND BOX-JENKINS METHOD IN

PREDICTING RAINFALL IN MEDAN CITY

ABSTRACT

In this research, method that is used in predicting rain pour are double exponential smoothing method (linier one parameter from brown) and Box-Jenkins ARIMA method. In double exponential smoothing is firstly finding a single exponential smoothing of the value that is got from single exponential smoothing, then, finding a value or adaptation of a single value and determining tendency estimation of a period of time to another that is b value and at last is doing prediction for next period. Meanwhile, box-jenkins ARIMA method is firstly doing differencing. It is for getting stationary data and next step is identifying model, estimating parameter of the model, doing verification parameter of the model, determining better model by looking at least error value of previous chosen model and finally making prediction for next period of time. Based on result of both prediction methods is got SSE and MSE brown value consecutively is 977.828.884 and 16.859,119. While SSE and MSE box-jenkins value consecutively is 665.432 and 15,475. So chosen method in this research is box-jenkins ARIMA method because of less error value than brown method.

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR TABEL viii

DAFTAR GAMBAR xi

DAFTAR LAMPIRAN xiii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3Batasan Masalah 2

1.4Tinjauan Pustaka 3

1.5Tujuan Penelitian 6

1.6Kontribusi Penelitian 6

1.7Metodologi Penelitian 6

BAB 2 LANDASAN TEORI 10

2.1 Peramalan 10

2.2 Curah Hujan 11

2.3 Metode Deret Berkala 11

2.4 Metode Pemulusan (Smoothing) 12

2.4.1 Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Tunggal 12 2.4.2 Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Ganda

(Linier Satu Parameter dari Brown) 13

2.4.3 Ketetapan Ramalan Beberapa Kriteria Digunakan

Untuk Menguji 13

2.5 Identifikasi Pola Data 14

2.6 Metodologi Untuk Menganalisis Data Deret Berkala 15

2.7 Metode ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) 18

2.7.1 Model Autoregressive (AR) 19

2.7.1 Model Moving Average (MA) 20

2.7.3 Model Campuran Autoregressive Moving Average (ARMA) 20 2.7.4 Model Autoregressive Integreted Moving Average (ARIMA) 21

2.8 Model Arima dan Musiman 21

2.9 Estimasi Parameter Model 22

2.10 Verifikasi Parameter Model 22

BAB3 HASIL DAN PEMBAHASAN 25

(Linier Satu Parameter dari Brown) 25 3.1.1 Plot Time Series Curah Hujan Kota Medan 25 3.1.2 Analisa Pemulusan (Smoothing) Eksponensial

Ganda (Linier Satu Parameter dari Brown) 26

3.1.3 Nilai Kesalahan (Galat) 29

3.2Autoregressive Integreted Moving Average (ARIMA) 32 3.2.1 Plot Time Series Curah Hujan Kota Medan 32

3.2.2 Identifikasi Model 35

3.2.3 Estimasi Parameter Model 39

3.2.4 Verifikasi Parameter Model 40

3.2.5 Penentuan Model Yang Lebih Baik 43

3.2.6 Peramalan 43

3.3 Melakukan Perbandingan Hasil Analisis Ramalan 44 3.3.1 Metode Pemulusan (Smoothing) Eksponensial

Ganda (Linier Satu Parameter dari Brown) 44 3.3.2 Metode ARIMA (Autoregressive Integreted

Moving Average) 44 3.4Menetapkan Metode yang Lebih Efektif Berdasarkan

Hasil Peramalan Curah Hujan di Kota Medan 44

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 46

4.1 Kesimpulan 46

4.2 Saran 46

DAFTAR PUSTAKA 47

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

3.1 Data Curah Hujan Kota Medan 25

3.2 Peramalan Curah Hujan 27

3.3 Nilai Kesalahan 30

3.4 Hasil Nilai Kesalahan 31

3.5 Diffencing Data Curah Hujan Kota Medan 33

3.6 Nilai Keofisien Autokorelasi 35

3.7 Final Estimates of parameters ARIMA (2,1,0)(1,1,0) 40

3.8 Final Estimates of parameters ARIMA (2,1,0)(2,1,0) 40

3.9 Uji Signifikansi Nilai-Nilai Parameter Model ARIMA 42

3.10 Peramalan Curah Hujan Kota Medan 2015 43

3.11 Hasil Nilai Kesalahan dari Brown 44

3.12 Hasil Nilai Kesalahan dari ARIMA 44

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

3.1 Plot Data Curah Hujan 25

3.2 Plot Ramalan Data Curah Hujan 2015 29

3.3 Plot Data Time Series Curah Hujan 32

3.4 Plot Trend Curah Hujan 33

3.5 Plot Trend Curah Hujan Setelah Pembedaan Pertama 34

3.6 Plot Autokorelasi 38

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Halaman

Lamp

1 Nilai Autokorelasi 49

2 Nilai Autokorelasi Parsial 51

3 Tabel Distribusi t 53

METODE PEMULUSAN (SMOOTHING) EKSPONENSIAL GANDA (LINIER SATU PARAMETER DARI BROWN) DAN METODE

BOX-JENKINS DALAM MERAMALKAN CURAH HUJAN

DI KOTA MEDAN

ABSTRAK

Pada penelitian ini metode yang digunakan dalam meramalkan atau memprediksi curah hujan adalah metode pemulusan (smoothing) eksponensial ganda (linier satu parameter dari Brown) dan metode Box-Jenkins ARIMA. Pada metode pemulusan (smoothing) eksponensial ganda terlebih dahulu mencari nilai pemulusan eksponensial tunggal kemudian membuat pemulusan eksponensial ganda dari nilai yang telah didapat dari pemulusan eksponensial tunggal, selanjutnya mencari nilai a atau penyesuaian nilai tunggal dan menentukan taksiran kecendrungan dari suatu periode waktu ke periode waktu berikutnya yaitu nilai b dan terakhir adalah melakukan peramalan untuk periode berikutnya. Sementara, metode box-jenkins ARIMA terlebih dahulu melakukan differencing. Tujuannya adalah untuk mendapatkan data stasioner dan langkah selanjutnya adalah mengidentifikasi model, estimasi parameter model, melakukan verifikasi parameter model, menentukan model yang lebih baik dengan melihat nilai error terkecil dari model-model yang dipilih sebelumnya dan terakhirya itu melakukan peramalan untuk periode waktu berikutnya. Berdasarkan hasil dari kedua metode peramalan diperoleh nilai SSE dan MSE Brown secara berurut yaitu 977.828.884 dan 16.859,119. Sementara, nilai SSE dan MSE ARIMA secara berurut adalah 665.432 dan 15,475. Sehingga metode yang dipilih dalam penilitian ini adalah metode box-jenkins ARIMA karena nilai error dari metode box-jenkins ARIMA lebih kecil dari pada metode Brown.

DOUBLE EKSPONENTIAL SMOOTHING METHOD (LINIER ONE PARAMETER OF BROWN) AND BOX-JENKINS METHOD IN

PREDICTING RAINFALL IN MEDAN CITY

ABSTRACT

In this research, method that is used in predicting rain pour are double exponential smoothing method (linier one parameter from brown) and Box-Jenkins ARIMA method. In double exponential smoothing is firstly finding a single exponential smoothing of the value that is got from single exponential smoothing, then, finding a value or adaptation of a single value and determining tendency estimation of a period of time to another that is b value and at last is doing prediction for next period. Meanwhile, box-jenkins ARIMA method is firstly doing differencing. It is for getting stationary data and next step is identifying model, estimating parameter of the model, doing verification parameter of the model, determining better model by looking at least error value of previous chosen model and finally making prediction for next period of time. Based on result of both prediction methods is got SSE and MSE brown value consecutively is 977.828.884 and 16.859,119. While SSE and MSE box-jenkins value consecutively is 665.432 and 15,475. So chosen method in this research is box-jenkins ARIMA method because of less error value than brown method.

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Di Indonesia sejak tahun enam puluhan telah diterapkan Badan Meteorologi, Klimatologi, dan Geofisika di Jakarta menjadi suatu direktorat perhubungan udara. Direktorat BMKG tersebut bertugas mengadakan penelitian dan pelayanan meteorologi dan geofisika yang salah satu bidangnya adalah iklim. Indonesia merupakan negara dengan iklim tropis dan memiliki dua musim, musim kemarau dan musim penghujan. Iklim merupakan kebiasaan alam yang digerakkan oleh gabungan beberapa unsur yaitu radiasi matahari, temperatur, kelembapan, curah hujan, tekanan udara dan kecepatan angin.

Curah hujan adalah banyaknya air yang jatuh ke permukaan bumi. Curah hujan yang terus menerus selama beberapa hari mengakibatkan bencana alam yang berdampak terhadap manusia, ternak dan tumbuh-tumbuhan, seperti banjir, badai, kekeringan, dan lain sebagainya. Perkiraan curah hujan sangat besar dampaknya dan penting untuk diperhatikan dan dipelajari sebaik-baiknya, karena berpengaruh besar terhadap manusia serta makhluk lainnya.

Peramalan merupakan upaya memperkirakan apa yang terjadi pada masa mendatang berdasarkan data pada masa lalu. Banyak metode dalam statistika yang dapat digunakan untuk peramalan suatu deret waktu, seperti metode smoothing,

Box-Jenkins, ekonometrika, regresi fungsi transfer dan sebagainya. Metode-metode tersebut diharapkan dapat mengidentifikasi model yang digunakan untuk meramalkan kondisi pada waktu yang akan datang sehingga error-nya menjadi seminimal mungkin.

model, dan bila nilai observasi baru tersedia maka dapat menghitung nilai kesalahan (forcasting error).

Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan metode yang secara intensif dikembangkan oleh George Box dan Gwilym Jenkins. ARIMA adalah teknik untuk mencari pola yang paling cocok dari sekelompok data. Metode ini merupakan gabungan dari metode regresi dan metode dekomposisi.

Dari uraian di atas, penulis ingin menguraikan penelitian terhadap data curah hujan pada masa lalu, untuk meramalkan curah hujan pada masa yang akan datang. Untuk itu penulis mengambil judul “Metode Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Ganda (Linier Satu Parameter dari Brown) dan Metode

Box-Jenkins Dalam Meramalkan Curah Hujan di Kota Medan.”

1.2Perumusan Masalah

Yang menjadi perumusan masalah adalah curah hujan yang tinggi di Kota Medan seringkali mengganggu kegiatan masyarakat Kota Medan. Oleh karena itu, diperlukan hasil ramalan curah hujan untuk periode mendatang dan memilih salah satu metode peramalan yang lebih baik dengan menggunakan metode pemulusan (smoothing) eksponensial ganda (linier satu parameter dari Brown) dan metode

Box-Jenkins berdasarkan hasil nilai error peramalan curah hujan di periode mendatang.

1.3Batasan Masalah

Batasan masalah dalam penelitian ini adalah:

1. Pembuatan model peramalan curah hujan di Kota Medan dengan menggunakan metode pemulusan (smoothing) eksponensial ganda (linier satu parameter dari

2. Data yang diambil adalah dari BMKG (Badan Meteorologi, Klimatologi dan Geofisika).

3. Data yang diolah adalah data curah hujan tahun 2010-2014 di Kota Medan.

4. _{Hasil ramalan dalam penelitian ini diarahkan untuk satu tahun mendatang.}

1.4Tinjauan Pustaka

Lerbin R. Aritonang R dalam bukunya “Peramalan Bisnis” (2002) menyatakan eksponensial ganda linier satu parameter Brown adalah teknik yang digunakan untuk data runtut waktu yang memiliki komponen trend yang linier, jika parameternya (∝) tidak mendekati nol, pengaruh proses awalnya secara cepat menjadi kurang berarti begitu waktu berlalu. Jika parameternya mendekati nol, proses awalnya dapat berperan penting untuk beberapa periode.

Sedangkan Metode ARIMA Box-Jenkins mengemukakan bahwa data yang dianalisa dalam model ARIMA Box-Jenkins adalah data yang bersifat stasioner, yaitu data yang mempunyai rata-rata dan variansi yang konstan dari periode ke periode.

Spyros Makridakis dalam bukunya berjudul “Metode Dan Aplikasi Peramalan” (1992) menyatakan bahwa metode pemulusan (smoothing) eksponensial dijelaskan sekelompok metode yang menunjukkan pembobotan menurun secara eksponensial terhadap nilai observasi yang lebih tua.

ARIMA Box-Jenkins mengemukakan bahwa hal yang penting dalam analisa deret berkala adalah koefisien autokorelasi yang menunjukkan hubungan antara suatu data deret berkala dengan deret berkala itu sendiri pada suatu keterlambatan waktu (time lag) k periode. Autokorelasi untuk time lag dapat dicari dengan notasi sebagai berikut:

=meandari data aktual

= dataaktualpadaperiodet dengan lag k

Model Box-Jenkins (ARIMA) dibagi ke dalam tiga kelompok yaitu model

Autoregressive (AR), Moving Average (MA), dan model campuran

Autoregressive Moving Average (ARIMA) yang mempunyai karakteristik dari dua model pertama.

1. Model Autoregressive (AR)

Bentuk umum model Autoregressive dengan ordo p (AR (p)) atau model ARIMA (p,0,0) dinyatakan sebagai berikut:

= ′+ + + ⋯ + +

di mana:

′ _{= suatu konstanta}

= nilaipengamatanperiode ke-p

= parameter Autoregressiveke-p = nilaikesalahanpadasaat t 2. Model Moving Average (MA)

Bentu kumum model Moving Averageordoq (MA(q)) atau ARIMA (0,0,q) dinyatakan sebagai berikut:

= ′+ − + + ⋯ +

di mana:

′ _{= suatu konstanta}

, = parameter-parameter moving average

= nilai kesalahan pada saat t-q 3. Model Campuran

a. Proses ARMA

Model umum untuk campuran proses AR (p) murni dan MA (q) murni, misalnya ARMA (p,q) dinyatakan sebagai berikut:

= ′+ + + ⋯ + − − − ⋯ − +

b. Proses ARIMA

Apabila non stasioneritas ditambah pada campuran proses ARMA, maka model umum ARIMA (p,d,q) terpenuhi. Persamaan untuk kasus sederhana ARIMA (p,d,q) adalah sebagai berikut:

= ′+ + + ⋯ + + − − − ⋯ −

Hal yang perlu diperhatikan adalah bahwa kebanyakan deret berkala bersifat nonstasioner dan bahwa aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA hanya berkenaan dengan deret berkala yang stasioner. Stasioneritas berarti tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan pada data.Data secara kasarnya harus horizontal sepanjang sumbu waktu. Suatu deret waktu yang tidak stasioner harus diubah menjadi data stasioner dengan melakukan differencing. Yang dimaksud dengan differencing adalah menghitung perubahan atau selisih nilai observasi. Nilai selisih yang diperoleh dicek lagi apakah stasioner atau tidak. Jika belum stasioner maka dilakukan differencing lagi. Jika varians tidak stasioner, maka dilakukan transformasi logaritma.

Sedangkan dengan metode peramalan pemulusan (smoothing) eksponensial ganda (linier satu parameter dari Brown) persamaan yang digunakan sebagai berikut:

′ = ∝ + (1−∝) ′

" = ∝ ′ + (1−∝) ′

di mana:

′ = _{nilai pemulusan eksponensial tunggal}

" = nilai pemulusan eksponensial ganda

∝ = parameter pemulusan eksponensial yang besarnya 0 < α _{< 1}

! = ′ _{+ (} ′ _{− " )}

! = 2 ′ − "

# = ∝

∝ (

′ _{− " )}

$ _% = ! + # (&) di mana:

! , # = konstanta pemulusan

1.5Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah meramalkan curah hujan di Kota Medan untuk tahun 2015 dengan metode peramalan pemulusan (smoothing) eksponensial ganda (linier satu parameter dari Brown) dan metode Box-Jenkins serta pemilihan metode peramalan berdasarkan nilai errror hasil peramalan.

1.6Kontribusi Penelitian

Kontribusi dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Dapat menjadi suatu bahan masukan atau sebagai pertimbangan yang berguna bagi BMKG dalam mengambil suatu kebijaksanaan.

2. Membantu penulis dalam menerapkan ilmu dan pengetahuan yang didapat selama masa perkuliahan kedalam dunia nyata.

3. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang akan melakukan penelitian dalam peramalan.

1.7Metodologi Penelitian

Dalam penelitian ini tahapan-tahapan yang dilakukan sebagai berikut: 1. Mengumpulkan data curah hujan dari BMKG.

2. Penelusuran referensi ini bersumber dari buku, jurnal maupun penelitian yang telah ada sebelumnya mengenai hal-hal yang berhubungan dengan metode yang dipakai.

3. Menganalisis data menggunakan metode pemulusan (smoothing) eksponensial ganda

Mulai

Membuat Pemulusan (Smoothing) Ekponensial

Tunggal

Membuat Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Ganda

Penyesuaian Nilai Tunggal (Nilai a)

Menentukan Taksiran Kecenderungan dari Periode

Waktu ke Periode Waktu Berikutnya (Nilai b)

Melakukan Peramalan

Selesa Pengumpulan

4. Menganalisa data menggunakan metode Box-Jenkins

Selesa Mulai

• Membuat Time Series Plot

• Membuat Plot ACF dan PACF

Data Sudah

Melakukan

Differencing

Identifikasi Model

Estimasi Parameter Model

Verifikasi Parameter Model

Penentuan Model

Melakukan Peramalan Pengumpulan

Data

Tidak

4. Melakukan perbandingan hasil analisis ramalan dengan menggunakan metode pemulusan (smoothing) eksponensial ganda (linier satu parameter dari Brown) dan metode Box-jenkins berdasarkan hasil nilai error peramalan curah hujan. 5. Menetapkan metode yang lebih efektif berdasarkan hasil peramalan curah

hujan di Kota Medan. 6. Kesimpulan.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Peramalan

Peramalan digunakanan sebagai acuan pencegah yang mendasari suatu keputusan untuk yang akan datang dalam upaya meminimalis kendala atau memaksimalkan pengembangan baik dalam dunia usaha, peramalan cuaca dan sebagainya. Dalam keefektifannya haruslah suatu peramalan tersebut adalah hasil dari proses perhitungan yang sistematis. Dalam statistika, peramalan sangat bergantung pada data histori.

Secara ilmiah metode peramalan dapat diklasifikasikan dalam dua kelompok yaitu metode kualitatif dan metode kuantitatif. Metode peramalan kualitatif lebih mengandalkan intuisi manusia dari pada penggunaan data historis yang dimiliki. Metode ini banyak digunakan dalam banyak pengambilan keputusan sehari-hari. Dalam hal ini ramalan dikatakan baik atau tidak bergantung dari banyak hal antara lain pengalaman, perkiraan, dan pengetahuan yang didapat.

Metode peramalan kuantitatif merupakan peramalan yang didasarkan pada data-data variabel yang bersangkutan di masa sebelumnya. Metode ini menggunakan analisis statistik dan tanpa intuisi atau penilaian subyektif orang yang melakukan peramalan. Menurut Makridakis dkk. (1992), peramalan dengan menggunakan metode kuantitatif dapat diterapkan apabila terdapat tiga kondisi berikut:

1. Tersedia informasi tentang masa lalu,

2. Informasi tersebut dapat dikuantitatifkan dalam bentuk data numerik, 3. Dapat diasumsikan bahwa beberapa aspek pola masa lalu akan terus

2.2 Curah Hujan

Curah hujan adalah banyaknya air yang jatuh ke permukaan bumi. Satuan yang digunakan adalah millimeter per jam (mm/jam). Dalam meteorologi butiran hujan dengan diameter lebih dari 0,5 mm disebut hujan dan diameter antara 0,1-0,5 mm disebut gerimis. Semakin besar butiran hujan maka akan semakin besar pula kecepatan jatuhnya. Ketelitian alat ukur curah hujan adalah 1/10 mm. Pembacaan dilakukan satu kali dalam sehari dan dicatat sebagai curah hujan hari terdahulu (Suyono,1985).

Curah hujan di suatu daerah tidak sama dengan curah hujan di daerah lain. Ada suatu daerah yang pada akhir tahun hujannya mulai meningkat tinggi dan mencapai puncaknya dan pertengahan tahun mencapai titik terendahnya. Sebaliknya, di daerah lain pada akhir tahun hujannya mencapai titik terendah, sedangkan pada pertengahan tahun mencapai titik tertinggi (Suyono,1985).

Rata-rata curah hujan di Indonesia untuk setiap tahunnya tidak sama. Namun masih tergolong cukup banyak, yaitu rata-rata 2000-3000 mm/tahun. Curah hujan menurut BMKG dibagi menjadi empat kelompok, yaitu:

1. Curah hujan rendah: 0-20 mm, 21-50 mm, 51-100 mm.

2. Curah hujan menengah: 101-150 mm, 151-200 mm, 201-300 mm. 3. Curah hujan tinggi: 301-400 mm.

4. Curah hujan sangat tinggi: 401-500 mm, >500 mm.

2.3 Metode Deret Berkala

Data berkala (Time Series) adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk memberikan gambaran tentang perkembangan suatu kegiatan dari waktu ke waktu. Metode (Time Series) merupakan metode peramalan kuantitatif yang

Sedangkan data deret berkala adalah serangkaian nilai-nilai variabel yang disusun berdasarkan waktu. Pada analisis data deret berkala ada empat komponen salah satunya adalah variasi musim. Variasi musim merupakan gerakan suatu deret berkala yang diklasifikasikan kedalam periode kurang dari satu tahun seperti kwartalan, bulanan atau harian, atau gerakan periodik yang berulang (Kustituanto,1984).

Data sebuah deret berkala dapat mempunyai atau tidak variasi musim, oleh karena itu perlu dilakukan identifikasi terlebih dahulu untuk mengetahui apakah deret tersebut mempunyai variasi musim atau tidak sebelum dilakukan perhitungan. Metode yang paling sederhana untuk mengetahui adanya variasi musim adalah dengan melihat pola yang ada pada plot time series. Pola variasi musim dapat diklasifikasikan dalam dua bentuk yakni spesifik dan tipical. Pola spesifik menunjukkan variasi musim dalam periode misalnya kwartalan. Sedangkan pola tipical menunjukkan rata-rata variasi musim dalam sejumlah periode seperti lima tahunan.

2.4 Metode Pemulusan (Smoothing)

Metode pemulusan (smoothing) adalah suatu metode peramalan dengan melakukan penghalusan terhadap masa lalu, yaitu dengan mengambil rata-rata dari nilai beberapa tahun untuk menaksir nilai pada beberapa tahun ke depan.

2.4.1 Pemulusan (Smoothing) Eksonensial Tunggal

Teknik eksponensial tunggal linier satu parameter digunakan dengan menetapkan bobot tertentu atas data yang tersedia dan berdasarkan bobot itu akan diketahui pula bobot atas hasil peramalan sebelumnya. Penentuan besarnya bobot yang digunakan dapat ditentukan dengan menghitung MSE untuk tiap alternatif bobot yang akan dipilih. Bobot yang menghasilkan MSE terkecil adalah yang lebih baik.

2.4.2 Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Ganda (Linier Satu Parameter dari Brown)

Metode ini merupakan metode linier yang dikemukakan oleh Brown. Dasar pemikiran dari metode pemulusan (smoothing) eksponensial ganda (linier satu parameter dari Brown) adalah sama dengan rata-rata bergerak linier karena dua nilai pemulusan tunggal dan ganda ketinggalan dari data sebenarnya. Persamaan yang dipakai dalam penggunaan smoothing eksponensial ganda (linier satu parameter dari Brown) adalah sebagai berikut:

′

= ∝ + (1−∝) ′

2.1

" = ∝ ′

+ (1−∝) ′

2.2

! = ′

+ ( ′

− " ) ! = 2 ′

− " 2.3

# = ∝_∝ ( ′

− " ) 2.4

$ %= ! + # (&) 2.5

di mana:

′

= Nilai pemulusan eksponensial tunggal " = Nilai pemulusan eksponensial ganda

∝ = Parameter pemulusan eksponensial yang besarnya 0 < α _{< 1}

! , # = Konstanta pemulusan

$ % = hasil peramalan untuk periode ke depan yang diramalkan

2.4.3 Ketetapan Ramalan Beberapa Kriteria Digunakan Untuk Menguji

1. MSE (Mean Square Error) atau Rata-Rata Kesalahan Kuadrat ' ( = ∑ )*

+

,

kesalahan peramalan yang besar karena kesalahan-kesalahan itu dikuadratkan.

2. SSE (Sum of Square Error) atau Jumlah Kuadrat Kesalahan

( = ∑, _- 2.7 Sedangkan SSE menyatakan jumlah kuadrat penyimpangan, yang biasa disebut jumlah kuadrat kesalahan (sum of square for error). SSE diperoleh dengan cara mengkuadratkan kesalahan dan kemudian menjumlahkan seluruh kesalahan. Dimana semakin kecil nilai SSE, maka semakin baik hasil ramalan.

di mana:

= $ ( kesalahan pada periode ke t ) = data aktual pada periode ke t $ = nilai ramalan pada periode ke t . = banyaknya periode waktu

2.5 Identifikasi Pola Data

Salah satu langkah penting dalam melakukan suatu metode peramalan yang terbaik dengan mengidentifikasi pola data. Berapa komponen yang mungkin terkandung dalam suatu deret waktu adalah sebagai berikut:

1. Kompenan trend ditunjukkan dengan adanya peningkatan atau penurunan dalam satu periode.

2. Komponen musiman ditunjukkan dengan pola berulang dari waktu ke waktu. Variasi musiman biasanya timbul karena adanya pengaruh cuaca suatu musim tertentu.

2.6 Metodologi Untuk Menganalisis Data Deret Berkala

1. Plot Data

Langkah pertama yang baik untuk menghasilkan data deret berkala adalah memplot data tersebut secara grafis yang bermanfaat untuk memplot berbagai versi data dan melihat plot data tersebut stasioner atau tidak dari data yang ingin diramalkan.

2. Stasioner dan Nonstasioner

Model ARIMA yang perlu diperhatikan adalah bahwa kebanyakan deret berkala bersifat nonstasioner dan bahwa aspek-aspek Autoregressive (AR) dan Moving Average (MA) dari model ARIMA hanya berkenaan dengan deret berkala stasioner. Stasioneritas berarti tidak mengalami pertumbuhan atau penurunan pada data. Data secara kasarnya harus horizontal sepanjang sumbu waktu. Dengan kata lain, fluktuasi data berada pada suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu, dan varians dari fluktuasi tersebut tetap konstan setiap waktu.

Kestasioneritasan data dapat diperiksa dengan analisis autokorelasi dan autokorelasi parsial. Autokorelasi-autokorelasi dari data yang stasioner mengecil secara drastis membentuk garis lengkung kearah nol setelah periode kedua dan ketiga. Jadi apabila autokorelasi pada periode satu, dua ataupun ketiga tergolong signifikan sedangkan autokorelasi pada periode lainnya tidak signifikan maka data tersebut bersifat stasioner.

Menurut Box-Jenkins data deret berkala yang tidak stasioner dapat ditransformasikan menjadi data yang stasioner dengan melakukan proses pembedaan (differencing) pada data aktual. Pembedaan orde pertama dari data aktual dapat dinyatakan sebagai berikut:

/ = − ; untuk t = 2,3,...,N 2.8 Secara umum pembedaan (differencing) orde ke-d dapat ditulis sebagai berikut:

Notasi yang sangat bermanfaat dalam metode pembedaan adalah operator

shift mundur (Backward Shift) yang disimbolkan dengan B dan penggunaannya adalah sebagai berikut:

0 = 2.10

Notasi 0 yang dipasangkan pada mempunyai pengaruh menggeser data satu periode ke belakang, dua penerapan 0 untuk akan menggeser data tersebut dua periode ke belakang sebagai berikut:

0(0 ) = 0 = 2.11

Apabila suatu deret berkala tidak stasioner maka data tersebut dapat dibuat lebih mendekati stasioner dengan melakukan pembedaan pertama dari deret data dan persamaannya adalah sebagai berikut:

′= − 2.12

Pembedaan orde pertama

′ ₌

2− 0 = (1 − 0) 2.13

Pembedaan pertama dinyatakan oleh (1 − 0). Sama halnya apabila pembedaanorde kedua (yaitu pembedaan pertama dari pembedaan pertama sebelumnya)harus dihitung, maka:

Pembedaan orde kedua

′′ = ′− ′

′′ = ( − ) − ( − ) ′′ _{= − 2 +}

′′ = (1 − 20 + 0 ) ′′= (1 − 0)

Pembedaan orde ke dua diberi notasi (1 − 0) .

Pembedaan orde ke-d

1= (1 − 0)1 2.14 4. Identifikasi Model

Identifikasi model berkaitan dengan penentuan orde pada ARIMA. Oleh karena itu, identifikasi model dilakukan setelah melakukan analisis deret berkala untuk mengetahui adanya autokorelasi dan kestasioneran data sehingga dapat diketahui perlu tidaknya dilakukan transformasi dan

pembedaan. Jika data tidak stasioner dalam hal varians maka dapat dilakukan transformasi dan jika data tidak stasioner dalam rata-rata maka dapat dilakukan pembedaan. Langkah pertama yang baik untuk menganalisis data deret berkala adalah dengan membuat plot data time series terlebih dahulu. Hal ini bermanfaat untuk mengetahui adanya trend dan pengaruh musiman pada data tersebut. Langkah selanjutnya adalah menganalisis koefisien autokorelasi dan koefisien autokorelasi parsialnya dengan tujuan mengetahui kestasioneran data dalam rata-rata dan dari plot ACF, PACF tersebut dapat diidentifikasi orde model ARMAnya.

5. Keofisien Autokorelasi

Secara matematis rumus untuk koefisien autokorelasi dapat dituliskan dengan rumus seperti pada persamaan sebagai berikut:

=∑645789(3* 3)(3*45 3)

∑6789(3* 3)+ 2.15

di mana:

= keofisien autokorelasi

= nilai variabel Y pada periode t = nilai variabel Y pada periode t + k

= nilai rata-rata variabel Y

Apabila merupakan fungsi atas waktu, maka hubungan autokorelasi dengan lagnya dinamakan fungsi autokorelasi (Autocorrelation Function) sering disebut ACF dan dinotasikan oleh:

: =∑645789(3* 3)(3*45 3)

∑6789(3* 3)+ 2.16

Konsepsi lain pada autokorelasi adalah autokorelasi parsial (Partial Autocorrelation Funcition) sering disebut PAFC. Seperti halnya autokorelasi yang merupakan fungsi atas lagnya, yang hubungannya dinamakan autokorelasi (ACF), autokorelasi parsial juga merupakan fungsi atas lagnya, dan disebut dengan fungsi autokorelasi parsial (PACF). Koefisien

Dengan n adalah banyaknya data. Ini berarti bahwa 95% dari seluruh koefisien korelasi berdasarkan sampel harus terletak didalam daerah nilai tengah ditambah atau dikurangi 1,96 kali kesalahan standar (Makridakis, 1992).

-1.96 (1/_{√=) ≤ +1.96} (1/ _√=) 2.18 6. Koefisien Autokorelasi Parsial

Autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan (association) antara dan pengaruh dari time-lag 1,2,3,... dan seterusnya sampai k-1 dianggap terpisah. Satu-satunya tujuan di dalam analisis deret berkala adalah untuk membantu menetapkan model ARIMA yang tepat untuk peramalan.

2.7 Metode ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average)

Model ARIMA (Autoregresive Integrated Moving Average) merupakan metode yang secara intensif dikembangkan oleh Goerge Box Dan Jenkins. Metode ARIMA berbeda dengan metode peramalan lain karena tidak mensyaratkan suatu pola data tertentu supaya model dapat bekera dengan baik. Metode ARIMA akan bekerja dengan baik apabila data deret berkala yang dipergunaknan besifat

dependent atau berhubungan satu sama lain secara statistik.

Secara umum model arima dirumuskan dengan notasi sebagai berikut: ARIMA (p,d,q)

di mana:

P menunjukkan orde atau derajat autoregressive (AR) D menunjukkan orde atau derajat differencing

Q menunjukkan orde atau derajat moving average (MA)

Model box-jenkins dikelompokkan menjadi tiga kelompok: 1. Model autoregressive

2. Model moving average

2.7.1 Model Autoregressive (AR)

Model AR menunjukkan nilai prediksi variabel dependen hanya merupakan fungsi linear dari sejumlah aktual sebelumnya. Misalnya nilai variabel dipenden hanya dipengaruhi oleh nilai variabel tersebut satu periode sebeumnya maka model ini disebut model Autoregressive tingkat pertama. Model ini dapat ditulis sebagai berikut :

= ′+ + + ⋯ + + _2.19

dimana:

′ = Suatu konstanta

= Nilai pengamatan periode ke-p = Parameter Autoregressive ke-p

= Nilai kesalahan pada saat t

Persamaan umum model autoregressive (AR) dengan orde p juga dapat ditulis sebagai berikut:

B1 − 0 − 0 − ⋯ − 0 C = ′

+ 2.20

Dalam hal ini B menyatakan operator penggerak mundur.

Model AR menunjukkan bahwa nilai prediksi variabel hanya merupakan fungsi linear dari sejumlah aktual sebelumnya (Makridakis, 1992).

2.7.2 Model Moving Average (MA)

Model MA mempunyai orde (D), sehingga model tersebut biasanya dituliskan sebagai MA(D). Model MA ini menyatakan bahwa nilai prediksi variabel dependen hanya dipengaruhi oleh nilai residual sebelumnya atau tiap-tiap observasi dibentuk dari rata-rata tertimbang deviasi (disturbance) D periode sebelumnya atau model MA tingkat pertama atau disingkat MA(1). Model MA(1)

dimana:

′ = suatu konstanta

, = parameter-parameter moving average

= nilai kesalahan pada saat t-q

Dengan menggunakan operator penggerak mundur model rataan bergerak dari persamaan (2.21) dapat ditulis sebagai berikut:

= ′

+ (1 − 0 − 0 − ⋯ − 0 ) 2.22

Dalam hal ini B menyatakan operator penggerak mundur.

2.7.3 Model campuran Autoregressive Moving Average (ARMA)

Apabila suatu deret waktu tanpa proses differencing (d=0) dinotasikan dengan model ARIMA (p,0,q). Model ini dinamakan dengan model autoregressive moving average berorde (p,q). Secara singkat bentuk umum model proses

autoregressive orde p dan berorde (p,q) adalah sebagai berikut: = ′

+ + + ⋯ + − − − ⋯ − 2.23

+

Dengan operator penggerak mundur proses ARMA (p,q) sebagai berikut:

B1 − 0 − 0 − ⋯ − 0 C = ′_{+ B1 − 0 − 0 − ⋯ − 0 C}

2.24

2.7.4 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Apabila data deret waktu tidak stasioner, model box-jenkins ini disebut model

Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). Jika F menyatakan banyaknya proses differencing, maka bentuk umum model ARIMA (p,d,q) yang mengkombinasikan model autoregressive berorde p dengan model moving average berorde q ditulis dengan ARIMA (p,d,q) adalah sebagai berikut:

= ′_{+ + + ⋯ + + − −}

2 G−2− ⋯ 2.25

Atau dengan operator penggerak mundur model ARIMA (p,d,q) dapat ditulis sebagai berikut:

B1 − 0 − 0 − ⋯ − 0 C/ = ′_{+ B1 − 0 − 0 − ⋯ − 0 C}

2.26 Dalam hal ini / menyatakan bahwa deret waktu sudah di differencing. Dengan menotasikan ′ _{sebagai berikut:}

′

= (1 − − − ⋯ − ) _H′ 2.27 Dengan _H′ adalah rata-rata dari data waktu yang sudah di differencing.

2.8 Model Arima dan Musiman

Musiman didefinisikan sebagai suatu pola data yang berulang-ulang dalam selang waktu tetap. Untuk data stasioner faktor musiman dapat ditentukan dengan mengidentifikasikan koefisien autokorelasi pada dua atau tiga time-lag yang berbeda nyata dari nol. Autokorelasi secara signifikan berbeda dari nol menyatakan adanya satu pola dalam data. Untuk mengenali adanya faktor musiman, dapat dilihat dari autokorelasi yang tinggi. Secara umum notasi ARIMA faktor musiman adalah:

ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)I di mana:

(p,d,q) = Bagian yang tidak musiman dari model (P,D,Q) = Bagian musiman dari model

S = Jumlah periode per musim

Model ARIMA (1,1,1)(1,1,1) yang mengandung faktor musiman adalah sebagai berikut:

(1 − 0)(1 − 0 )(1 − 0)(1 − 0 ) (1 − 0)(1 −Ɵ 0 ) _2.28

di mana:

(1 − 0) = MA(1) tidak musiman (1 −Ɵ 0 ) _{= MA(1) musiman}

2.9 Estimasi Parameter Model

Tahap selanjutnya dilakukan estimasi parameter model untuk mencari parameter estimasi yang paling efisien untuk model. Estimasi parameter dilakukan dengan menetapkan model awal parameter (koefisien model) denganbantuan analisis regresi linier untuk mencari nilai konstanta dan koefisien regresi dari model. Dalam mencari nilai etimasi model ARIMA ini sangat rumit sehingga digunakan bantuan program komputer software Minitab.

2.10 Verifikasi Parameter Model

Langkah ini dilakukan untuk memeriksa apakah model ARIMA yang dipilih cukup cocok untuk data. Verifikasi dilakukan dengan menggunakan uji distribusi t. Adapun verifikasi yang dilakukan terhadap parameter-parameter model ARIMA sebagai berikut:

GJ- K L =_{I) )I -%MI- M;M%) );})I -%MI- M;M%) ); 2.29

Dengan kriteria keputusan H0 ditolak jika:

NGJ- K LN > GP

+,

_2.30

1. Q_R: ∅ = 0 (nilai parameter ∅ tidak signifikan) Q : ∅ ≠ 0 (nilai parameter ∅ signifikan)

Selanjutnya adalah menghitung nilai G_{J- K L}dengan rumus sebagai berikut: GJ- K L = ∅9

V

WX(∅9) 2.31

di mana:

∅V = Koefisien parameter ∅

Nilai parameter dikatakan signifikan apabila nilaiNG_{J- K L}N > G_MY)Z. Artinya, QR ditolak dan Q diterima. Sebaliknya, jika nilai NGJ- K LN < GMY)Z maka QR

diterima dan Q ditolak.

2. Q_R: ∅ = 0 (nilai parameter ∅ tidak signifikan) Q : ∅ ≠ 0 (nilai parameter ∅ signifikan)

Selanjutnya adalah menghitung nilai G_{J- K L} dengan rumus sebagai berikut: GJ- K L = ∅+

V

WX(∅+) 2.32

di mana:

∅V = Koefisien parameter ∅

((∅ ) = Standard Error koefisien parameter ∅

Nilai parameter dikatakan signifikan apabila nilaiNG_{J- K L}N > G_MY)Z. Artinya, QR ditolak dan Q diterima. Sebaliknya, jika nilai NGJ- K LN < GMY)Z maka QR

diterima dan Q ditolak.

3. Q_R: ∅_\ = 0 (nilai parameter ∅_\ tidak signifikan) Q : ∅_\ ≠ 0 (nilai parameter ∅_\ signifikan)

Selanjutnya adalah menghitung nilai G_{J- K L} dengan rumus sebagai berikut: GJ- K L = ∅]

V

WX(∅]) 2.33

di mana:

∅V\ = Koefisien parameter ∅\

((∅\) = Standard Error koefisien parameter ∅\

Nilai parameter dikatakan signifikan apabila nilaiNG_{J- K L}N > G_MY)Z. Artinya, QR ditolak dan Q diterima. Sebaliknya, jika nilaiNGJ- K LN < GMY)Z makaQR

diterima dan Q ditolak.

Setelah model ditemukan, maka parameter dari model harus diestimasi. Terdapat dua cara mendasarkan yang dapat digunakan untuk pendugaan terhadap parameter-parameter tersebut, yaitu:

2. Perbaikan secar iteratif yaitu dengan cara memilih taksiran awal dan kemudian membiarkan program komputer untuk memperhalus penaksiran tersebut secara iteratif.

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Ganda (Linier Satu Perameter dari Brown)

3.1.1 Plot Time Series Curah Hujan Kota Medan

Adapun data yang akan dianalisa dalam penelitian ini adalah data curah hujan pada tahun 2010-2014 di Kota Medan.

Tabel 3.1 Curah Hujan Kota Medan (mm)

Bulan Tahun

2010 2011 2012 2013 2014

Januari 171 183 181 158 20

Februari 84 64 102 267 29

Maret 269 376 202 116 129

April 80 205 172 174 140

Mei 302 219 470 157 326

Juni 164 105 88 125 62

Juli 196 205 317 91 161

Agustus 329 233 185 421 233

September 166 164 288 374 266

Oktober 194 475 432 509 322

November 442 211 275 243 184

Desember 152 235 222 499 222

Plot data curah hujan di Kota Medan pada tahun 2010-2014 dapat dilihat pada gambar 3.1

Gambar 3.1 Plot Data Curah Hujan

Bentuk pola data curah hujan pada gambar (3.1) merupakan data musiman, dimana pola data musiman yang menunjukkan perubahan yang berulang-ulang secara periode dalam deret waktu.

3.1.2 Analisis Pemulusan Eksponensial Ganda (Linier Satu Parameter dari Brown)

Pola pemulusan ekponensial tunggal dilakukan peramalan dangan satu kali penghalusan saja. Sedangkan pada metode Brown ini dilakukan dua kali penghalusan dan kemudian dilakukan peramalan. Jika parameter pemulusan α

tidak mendekati nol, pengaruh dari proses inisialisasi dengan cepat menjadi kurang berarti dengan berlalunya waktu. Tetapi, jika α _{mendakati nol prosesnya}

inisialisasi tersebut dapat menjadi lebih berarti dari data yang sebenarnya.

Maka dari analisis yang telah dilakukan, penulis akan menentukan parameter α_{-nya adalah} α _{= 0,01 dan 0,05, karena dari hasil analisis nilai error}

terkecil berada pada α _{= 0,01 dan 0,05. Untuk mencari perhitungan pemulusan}

(smoothing) eksponensial dilakukan sebagai berikut: 0

100 200 300 400 500 600

V

ol

u

m

e

(m

m

)

Bulan (2010-2014) Curah Hujan Kota Medan

a. Perhitungan Eksponensial Tunggal

′ = ∝ + (1−∝) ′ 3.1

′ = 0,01(84) + 0,99(171)

′ = 170,13

b. Perhitungan Esponensial Ganda

" = ∝ b + (1−∝) bb 3.2 " = (0,01)(170,13) + (0,99)(171)

" = 170,991 c. Perhitungan Nilai a

! = 2 b ₋ bb _3.3

! = 2(170,13) − (170,991)

! = 169,269

d. Perhitungan nilai .b

# = ∝_∝ ( b _−. bb _{) 3.4}

# = R,R_R,cc(170,13 − 170,991)

# = −0,009 .

e. Peramalan untuk. bulan ke-62 atau periode ke-2 (m=2)

$ % = !G+# & 3.5

$dR = 212,592 + 0,176(2)

$dR = 212,944

Demikian seterus.nya untuk periode-periode selanjutnya dan dapat dilihat pada tabel berikut ini:

Tabel 3.2 Peramalan Curah Hujan (mm) parameter ∝ = f, fg.

No. Periode

Curah Hujan (mm)

S't S"t Nilai a Nilai b Nilai

Ramalan

1. Januari 171 171 171

2. Februari 84 170,130 170,991 169,269 -0,009

3. Maret 269 171,119 170,993 171,245 0,001 169,260

4. pril 80 170,208 170,985 169,430 -0,008 171,246

5. Mei 302 171,525 170,990 172,061 0,005 169,423

Tabel 3.2 Lanjutan

No. Periode

Curah Hujan (mm)

S't S"t Nilai a Nilai b Nilai

Ramalan

11. Nopember 442 176,090 171,120 181,060 0,050 175,762

12. Desember 152 175,849 171,167 180,531 0,047 181,110

13. Januari 183 175,921 171,215 180,627 0,047 180,578

14. Februari 64 174,801 171,251 178,352 0,036 180,674

15. Maret 376 176,813 171,306 182,321 0,055 178,388

16. April 205 177,095 171,364 182,826 0,057 182,376

17. Mei 219 177,514 171,426 183,603 0,061 182,884

18. Juni 105 176,789 171,479 182,099 0,053 183,664

19. Juli 205 177,071 171,535 182,607 0,055 182,152

20. Agustus 233 177,631 171,596 183,665 0,060 182,663

21. September 164 177,494 171,655 183,333 0,058 183,725

22. Oktober 475 180,469 171,743 189,195 0,087 183,392

23. Nopember 211 180,775 171,834 189,716 0,089 189,283

24. Desember 235 181,317 171,928 190,705 0,094 189,805

25. Januari 181 181,314 172,022 190,605 0,093 190,799

26. Februari 102 180,521 172,107 188,934 0,084 190,698

27. Maret 202 180,735 172,194 189,277 0,085 189,018

28. April 172 180,648 172,278 189,018 0,084 189,363

29. Mei 470 183,542 172,391 194,692 0,112 189,102

30. Juni 88 182,586 172,493 192,680 0,101 194,804

31. Juli 317 183,930 172,607 195,254 0,113 192,781

32. Agustus 185 183,941 172,720 195,162 0,112 195,367

33. September 288 184,982 172,843 197,120 0,121 195,274

34. Oktober 432 187,452 172,989 201,914 0,145 197,242

35. Nopember 275 188,327 173,142 203,512 0,152 202,059

36. Desember 222 188,664 173,298 204,030 0,154 203,664

37. Januari 158 188,357 173,448 203,266 0,149 204,184

38. Februari 267 189,144 173,605 204,682 0,155 203,415

39. Maret 116 188,412 173,753 203,071 0,147 204,838

40. April 174 188,268 173,898 202,638 0,144 203,218

41. Mei 157 187,956 174,039 201,872 0,139 202,782

42. Juni 125 187,326 174,172 200,480 0,132 202,011

43. Juli 91 186,363 174,294 198,432 0,121 200,612

44. Agustus 421 188,709 174,438 202,980 0,143 198,552

45. September 374 190,562 174,599 206,525 0,160 203,123

46. Oktober 509 193,746 174,791 212,702 0,190 206,684

47. Nopember 243 194,239 174,985 213,493 0,193 212,892

Tabel 3.2 Lanjutan

No. Periode

Curah Hujan (mm)

S't S"t Nilai a Nilai b Nilai

Ramalan

49. Januari 20 195,514 175,411 215,616 0,201 219,586

50. Februari 29 193,848 175,596 212,101 0,183 215,817

51. Maret 129 193,200 175,772 210,628 0,174 212,284

52. April 140 192,668 175,941 209,395 0,167 210,803

53. Mei 326 194,001 176,121 211,881 0,179 209,563

54. Juni 62 192,681 176,287 209,076 0,164 212,060

55. Juli 161 192,365 176,448 208,281 0,159 209,240

56. Agustus 233 192,771 176,611 208,931 0,162 208,441

57. September 266 193,503 176,780 210,227 0,167 209,093

58. Oktober 322 194,788 176,960 212,616 0,178 210,394

59. Nopember 184 194,680 177,137 212,223 0,175 212,795

60. Desember 222 194,953 177,315 212,592 0,176 212,399

61. Januari 212,768 m=1

62. Februari 212,944 m=2

63. Maret 213,121 m=3

64. April 213,297 m=4

65. Mei 213,474 m=5

66. Juni 213,650 m=6

67. Juli 213,826 m=7

68. Agustus 214,003 m=8

69. September 214,179 m=9

70. Oktober 214,356 m=10

71. Nopember 214,532 m=11

Plot data curah hujan di Kota Medan dengan parameter ∝ = 0,01 dapat dilihat pada gambar 3.2

Gambar 3.2 Plot Ramalan Data Curah Hujan 2015

Bentuk ramalan pola data curah hujan pada gambar (3.2) merupakan pola data yang linier.

Tabel 3.3 Peramalan Curah Hujan (mm) parameter ∝ = f, fh

No. Periode Curah Hujan

(mm) S't S"t Nilai a Nilai b

Nilai Ramalan

1. Januari 171 171 171

2. Februari 84 166,650 170,783 162,518 -0,041

3. Maret 269 171,768 170,832 172,703 0,009 162,476

4. April 80 167,179 170,649 163,709 -0,035 172,713

5. Mei 302 173,920 170,813 177,028 0,031 163,674

6. Juni 164 173,424 170,943 175,905 0,025 177,059

7. Juli 196 174,553 171,124 177,982 0,034 175,930

8. Agustus 329 182,275 171,681 192,869 0,106 178,016

9. September 166 181,462 172,170 190,753 0,093 192,975

10. Oktober 194 182,088 172,666 191,511 0,094 190,846

11. Nopember 442 195,084 173,787 216,381 0,213 191,605

12. Desember 152 192,930 174,744 211,115 0,182 216,594

13. Januari 183 192,433 175,629 209,238 0,168 211,297

14. Februari 64 186,012 176,148 195,875 0,099 209,406

15. Maret 376 195,511 177,116 213,906 0,184 195,974

16. April 205 195,986 178,059 213,912 0,179 214,090

17. Mei 219 197,136 179,013 215,259 0,181 214,091

211.500 212.000 212.500 213.000 213.500 214.000 214.500 215.000 V ol u m e (m m ) Bulan

Tabel 3.3 Lanjutan

No. Periode Curah Hujan

(mm) S't S"t Nilai a Nilai b

Nilai Ramalan

18. Juni 105 192,529 179,689 205,370 0,128 215,440

19. Juli 205 193,153 180,362 205,944 0,128 205,498

20. Agustus 233 195,145 181,101 209,189 0,140 206,072

21. September 164 193,588 181,726 205,450 0,119 209,330

22. Oktober 475 207,659 183,022 232,295 0,246 205,569

23. Nopember 211 207,826 184,263 231,389 0,236 232,541

24. Desember 235 209,184 185,509 232,860 0,237 231,624

25. Januari 181 207,775 186,622 228,928 0,212 233,097

26. Februari 102 202,486 187,415 217,558 0,151 229,140

27. Maret 202 202,462 188,168 216,757 0,143 217,708

28. April 172 200,939 188,806 213,072 0,121 216,900

29. Mei 470 214,392 190,085 238,699 0,243 213,193

30. Juni 88 208,072 190,985 225,160 0,171 238,942

31. Juli 317 213,519 192,112 234,926 0,214 225,331

32. Agustus 185 212,093 193,111 231,075 0,190 235,140

33. September 288 215,888 194,249 237,527 0,216 231,265

34. Oktober 432 226,694 195,872 257,516 0,308 237,743

35. Nopember 275 229,109 197,534 260,685 0,316 257,824

36. Desember 222 228,754 199,095 258,413 0,297 261,001

37. Januari 158 225,216 200,401 250,031 0,248 258,709

38. Februari 267 227,305 201,746 252,865 0,256 250,280

39. Maret 116 221,740 202,746 240,734 0,190 253,120

40. April 174 219,353 203,576 235,130 0,158 240,924

41. Mei 157 216,235 204,209 228,262 0,120 235,288

42. Juni 125 211,674 204,582 218,765 0,071 228,382

43. Juli 91 205,640 204,635 206,645 0,010 218,836

44. Agustus 421 216,408 205,224 227,592 0,112 206,655

45. September 374 224,287 206,177 242,398 0,181 227,704

46. Oktober 509 238,523 207,794 269,252 0,307 242,579

47. Nopember 243 238,747 209,342 268,152 0,294 269,559

48. Desember 499 251,760 211,463 292,056 0,403 268,446

49. Januari 20 240,172 212,898 267,445 0,273 292,459

50. Februari 29 229,613 213,734 245,492 0,159 267,718

Tabel 3.3 Lanjutan

No. Periode Curah Hujan

(mm) S't S"t Nilai a Nilai b

Nilai Ramalan

56. Agustus 233 215,550 215,235 215,864 0,003 214,038

57. September 266 218,072 215,377 220,768 0,027 215,868

58. Oktober 322 223,268 215,771 230,766 0,075 220,795

59. Nopember 184 221,305 216,048 226,562 0,053 230,841

60. Desember 222 221,340 216,312 226,367 0,050 226,615

61. Januari 226,417

62. Februari 226,468

63. Maret 226,518

64. April 226,568

65. Mei 226,619

66. Juni 226,669

67. Juli 226,719

68. Agustus 226,769

69. September 226,820

70. Oktober 226,870

71. Nopember 226,920

72. Desember 226,970

Plot data curah hujan di Kota Medan dengan parameter ∝ = 0,05 dapat dilihat gambar 3.3

Gambar 3.3 Plot Ramalan Data Curah Hujan 2015

226.100 226.200 226.300 226.400 226.500 226.600 226.700 226.800 226.900 227.000 V ol u m e ( m m ) Bulan

3.1.3 Nilai kesalahan (Galat)

Sebelum mencari nilai kesalah tersebut, terlebih dahulu data dibuat dalam bentuk tabel yaitu sebagai berikut:

Tabel 3.4 Nilai Kesalahan dengan parameter ∝= f, fg

No. Periode Curah

Hujan (mm) e e^2 |e|

1. Januari 171

2. Februari 84

3. Maret 269 99,740 9948,050 99,740

4. April 80 -91,246 8325,848 91,246

5. Mei 302 132,577 17576,785 132,577

6. Juni 164 -8,066 65,062 8,066

7. Juli 196 24,090 580,319 24,090

8. Agustus 329 156,603 24524,637 156,603

9. September 166 -9,535 90,925 9,535

10. Oktober 194 18,633 347,172 18,633

11. Nopember 442 266,238 70882,783 266,238

12. Desember 152 -29,110 847,384 29,110

13. Januari 183 2,422 5,867 2,422

14. Februari 64 -116,674 13612,732 116,674

15. Maret 376 197,612 39050,589 197,612

16. April 205 22,624 511,859 22,624

17. Mei 219 36,116 1304,382 36,116

18. Juni 105 -78,664 6188,015 78,664

19. Juli 205 22,848 522,021 22,848

20. Agustus 233 50,337 2533,835 50,337

21. September 164 -19,725 389,091 19,725

22. Oktober 475 291,608 85035,318 291,608

23. Nopember 211 21,717 471,642 21,717

24. Desember 235 45,195 2042,576 45,195

25. Januari 181 -9,799 96,026 9,799

26. Februari 102 -88,698 7867,356 88,698

27. Maret 202 12,982 168,530 12,982

28. April 172 -17,363 301,462 17,363

Tabel 3.4 Lanjutan

No. Periode Curah

Hujan (mm) e e^2 |e|

33. September 288 92,726 8598,152 92,726

34. Oktober 432 234,758 55111,540 234,758

35. Nopember 275 72,941 5320,382 72,941

36. Desember 222 18,336 336,214 18,336

37. Januari 158 -46,184 2132,954 46,184

38. Februari 267 63,585 4042,993 63,585

39. Maret 116 -88,838 7892,129 88,838

40. April 174 -29,218 853,687 29,218

41. Mei 157 -45,782 2095,957 45,782

42. Juni 125 -77,011 5930,719 77,011

43. Juli 91 -109,612 12014,693 109,612

44. Agustus 421 222,448 49482,989 222,448

45. September 374 170,877 29198,985 170,877

46. Oktober 509 302,316 91394,729 302,316

47. Nopember 243 30,108 906,515 30,108

48. Desember 499 285,315 81404,548 285,315

49. Januari 20 -199,586 39834,425 199,586

50. Februari 29 -186,817 34900,625 186,817

51. Maret 129 -83,284 6936,216 83,284

52. April 140 -70,803 5013,021 70,803

53. Mei 326 116,437 13557,641 116,437

54. Juni 62 -150,060 22518,086 150,060

55. Juli 161 -48,240 2327,077 48,240

56. Agustus 233 24,559 603,164 24,559

57. September 266 56,907 3238,461 56,907

58. Oktober 322 111,606 12455,941 111,606

59. Nopember 184 -28,795 829,136 28,795

60. Desember 222 9,601 92,181 9,601

Jumlah 13386 1868,704 898162,300 5369,262

Keterangan:

= $ (kesalahan pada periode ke-t) = kesalahan pada periode ke-t dipangkatkan | | = absolut nilai kesalahaan

Selanjutnya, mencari nilai SSE dan MSE dengan cara sebagai berikut:

a. ( = ∑, _- 3.6

( = 898162,300 b. ' ( = ∑ )*+

,

, _3.7

' ( = 898.162,300 58 ' ( = 15.485,557

Berikut adalah nilai kesalahan metode Brown untuk nilai ∝ = 0,05.

Tabel 3.5 Nilai Kesalahan dengan parameter ∝= f, fh

No. Periode Curah Hujan

(mm) e e^2 |e|

1. Januari 171

2. Februari 84

3. Maret 269 106,524 11347,325 106,524

4. April 80 -92,713 8595,628 92,713

5. Mei 302 138,326 19133,963 138,326

6. Juni 164 -13,059 170,531 13,059

7. Juli 196 20,070 402,810 20,070

8. Agustus 329 150,984 22796,028 150,984

9. September 166 -26,975 727,664 26,975

10. Oktober 194 3,154 9,950 3,154

11. Nopember 442 250,395 62697,697 250,395

12. Desember 152 -64,594 4172,376 64,594

13. Januari 183 -28,297 800,736 28,297

14. Februari 64 -145,406 21142,913 145,406

15. Maret 376 180,026 32409,311 180,026

16. April 205 -9,090 82,630 9,090

17. Mei 219 4,909 24,100 4,909

18. Juni 105 -110,440 12197,087 110,440

19. Juli 205 -0,498 0,248 0,498

20. Agustus 233 26,928 725,143 26,928

21. September 164 -45,330 2054,774 45,330

22. Oktober 475 269,431 72593,098 269,431

Tabel 3.5 Lanjutan

No. Periode Curah Hujan

(mm) e e^2 |e|

28. April 172 -44,900 2015,975 44,900

29. Mei 470 256,807 65949,726 256,807

30. Juni 88 -150,942 22783,413 150,942

31. Juli 317 91,669 8403,205 91,669

32. Agustus 185 -50,140 2514,045 50,140

33. September 288 56,735 3218,855 56,735

34. Oktober 432 194,257 37735,611 194,257

35. Nopember 275 17,176 295,007 17,176

36. Desember 222 -39,001 1521,039 39,001

37. Januari 158 -100,709 10142,387 100,709

38. Februari 267 16,720 279,574 16,720

39. Maret 116 -137,120 18801,935 137,120

40. April 174 -66,924 4478,858 66,924

41. Mei 157 -78,288 6128,969 78,288

42. Juni 125 -103,382 10687,831 103,382

43. Juli 91 -127,836 16342,005 127,836

44. Agustus 421 214,345 45943,887 214,345

45. September 374 146,296 21402,545 146,296

46. Oktober 509 266,421 70980,043 266,421

47. Nopember 243 -26,559 705,398 26,559

48. Desember 499 230,554 53155,084 230,554

49. Januari 20 -272,459 74234,162 272,459

50. Februari 29 -238,718 56986,202 238,718

51. Maret 129 -116,651 13607,451 116,651

52. April 140 -94,992 9023,389 94,992

53. Mei 326 99,816 9963,213 99,816

54. Juni 62 -174,243 30360,728 174,243

55. Juli 161 -58,681 3443,427 58,681

56. Agustus 233 18,962 359,546 18,962

57. September 266 50,132 2513,254 50,132

58. Oktober 322 101,205 10242,530 101,205

59. Nopember 184 -46,841 2194,063 46,841

60. Desember 222 -4,615 21,297 4,615

Keterangan:

= $ (kesalahan pada periode ke-t) = kesalahan pada periode ke-t dipangkatkan | | = absolut nilai kesalahaan

Untuk lebih jelas perbandingan nilai SSE dan MSE dari kedua parameter yakni 0,01 dan 0,05 dapat dilihat pada tabel 3.6.

Tabel 3.6 Hasil Nilai Kesalahan

Parameter SSE MSE

0,01 898.162,3 15.485,557

0,05 908.119,486 15.657,233

Dimana untuk mendapatkan nilai-nilai pada tabel (3.4) dipakai = = 58, karena perhitungan nilai galat dimulai pada bulan maret tahun 2010.

Berdasarkan teori-teori sebelumnya, ramalan yang baik adalah ramalan yang mempunyai nilai galat (kesalahan) yang paling kecil, dimana hal itu dilakukan dengan adanya pencocokan suatu model ramalan dengan parameter tertentu dengan data historis yang ada. Semakin kecil nilai MSE dan SSE maka dapat dikatakan peramalan semakin mendekati akurasi yang baik.

3.2 Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

3.2.1 Plot Time Series Curah Hujan Kota Medan

Langkah pertama dalam melakukan peramalan dengan metode ARIMA yang dikembangkan oleh Box-Jenkins adalah melakukan plot time series data curah hujan kota Medan. Berikut adalah plot data curah hujan:

Gambar 3.4 Plot Data Time Series Curah Hujan (mm)

Langkah selanjutnya adalah membuat plot analisis trend data curah hujan kota Medan. Tujuannya adalah untuk melihat kestasioneran data. Di bawah ini adalah plot analisis trend data curah hujan Kota Medan.

Gambar 3.5 Plot Trend Curah Hujan (mm)

Berdasarkan gambar 3.5 dapat dilihat bahwa garis trend belum sejajar dengan sumbu x sehingga dapat dikatakan data belum stasioner dalam rata-rata dan varians. Oleh karena itu, dilakukan differencing. Data differencing dapat dilihat pada tabel 3.7.

60 54 48 42 36 30 24 1 8 1 2 6 1 500 400 300 200 1 00 0 MAPE 76.9

MAD 91 .7

MSD 1 3887.6

Accuracy Measures Index C u ra h H u ja n Actual Fits Variable

Trend Analysis Plot for Curah Hujan Kota Medan

Year Month 201 4 201 3 201 2 201 1 201 0 Jan Jan Jan Jan Jan 500 400 300 200 1 00 0 C u ra h H u ja n

Tabel 3.7 Differencing Data Curah Hujan Kota Medan

F(1) = − F(1) = −

171 0 0 317 88 229

84 171 -87 185 317 -132

269 84 185 288 185 103

80 269 -189 432 288 144

302 80 222 275 432 -157

164 302 -138 222 275 -53

196 164 32 158 222 -64

329 196 133 267 158 109

166 329 -163 116 267 -151

194 166 28 174 116 58

442 194 248 157 174 -17

152 442 -290 125 157 -32

183 152 31 91 125 -34

64 183 -119 421 91 330

376 64 312 374 421 -47

205 376 -171 509 374 135

219 205 14 243 509 -266

105 219 -114 499 243 256

205 105 100 20 499 -479

233 205 28 29 20 9

164 233 -69 129 29 100

475 164 311 140 129 11

211 475 -264 326 140 186

235 211 24 62 326 -264

181 235 -54 161 62 99

102 181 -79 233 161 72

202 102 100 266 233 33

172 202 -30 322 266 56

470 172 298 184 322 -138

88 470 -382 222 184 38

Keterangan: j = data asli

j = data pembedaan pertama

Untuk plot trend data curah hujan kota Medan dapat dilihat pada gambar 3.6.

Gambar 3.6 Plot Trend Curah Hujan (mm) Setelah Pembedaan Pertama

Berdasarkan gambar 3.6 plot trend curah hujan setelah pembedaan pertama terlihat bahwa data sudah stasioner (rata-rata dan variansinya konstan).

3.2.2 Identifikasi Model

Dalam mengidentifikasi model ARIMA, nilai yang harus lebih dahulu dicari adalah nilai Autocorrelation Function (ACF) dan nilai Partial Autocorrelation Function (PACF) Untuk mencari nilai koefisien autokorelasi dan autokorelasi parsial dapat dilakukan sebagai berikut:

=_,∑, _3.8

=₆₀1 (0 − 87 + 185 − 189 + ⋯ + 38)

= 0,850

lR= ∑, ( − ) 3.9

lR= (−87 − 0,85) + (185 − 0,85) + (−189 − 0,85) + ⋯ + (38 − 0,85)

lR= 1752229

60 54 48 42 36 30 24 1 8 1 2 6 1 400 300 200 1 00 0 -1 00 -200 -300 -400 -500 MAPE 99.9

MAD 1 33.7

MSD 29201 .5

Accuracy Measures Index C u ra h H u ja n Actual Fits Variable

l = ∑, ( − ) × (j₉)

\ 3.10

l = −1069147

l = ∑, ( − ) × (j₊)

n 3.11

l = 500158,8

Sehingga untuk nilai koefisien autokorelasi 1 dan 2 adalah:

=_ll

R=

−1069147

1752229 = −0.610 =l_l

R=

500158,8

1752229 = 0,285

Perhitungan untuk mencari koefisien autokorelasi juga dapat dibuat dalam bentuk tabel yaitu sebagai berikut:

Tabel 3.8 Nilai Koefisien Autokorelasi

t o_p q_p= o_p− o r_f= (o_p− o)s q_pg r_g = q_p*q_pg q_ps r_s = q_p*q_ps

1 0 0 0 0 0 0 0

2 -87 -87,85 7717,623 0 0 0 0

3 185 184,15 33911,22 -87,85 -16177,58 0 0

4 -189 -189,85 36043,02 184,15 -34960,88 -87,85 16678,32

5 222 221,15 48907,32 -189,85 -41985,33 184,15 40724,77

6 -138 -138,85 19279,32 221,15 -30706,68 -189,85 26360,67

7 32 31,15 970,3225 -138,85 -4325,178 221,15 6888,823

8 133 132,15 17463,62 31,15 4116,4725 -138,85 -18349

9 -163 -163,85 26846,82 132,15 -21652,78 31,15 -5103,93

10 28 27,15 737,1225 -163,85 -4448,528 132,15 3587,873

11 248 247,15 61083,12 27,15 6710,1225 -163,85 -40495,5

12 -290 -290,85 84593,72 247,15 -71883,58 27,15 -7896,58

13 31 30,15 909,0225 -290,85 -8769,128 247,15 7451,573

14 -119 -119,85 14364,02 30,15 -3613,478 -290,85 34858,37

15 312 311,15 96814,32 -119,85 -37291,33 30,15 9381,173

16 -171 -171,85 29532,42 311,15 -53471,13 -119,85 20596,22

17 14 13,15 172,9225 -171,85 -2259,828 311,15 4091,623

18 -114 -114,85 13190,52 13,15 -1510,278 -171,85 19736,97

19 100 99,15 9830,723 -114,85 -11387,38 13,15 1303,823

20 28 27,15 737,1225 99,15 2691,9225 -114,85 -3118,18

21 -69 -69,85 4879,023 27,15 -1896,428 99,15 -6925,63

22 311 310,15 96193,02 -69,85 -21663,98 27,15 8420,573

23 -264 -264,85 70145,52 310,15 -82143,23 -69,85 18499,77

Tabel 3.8 Lanjutan

t o_p q_p= o_p− o r_f= (o_p− o)s q_pg r_g = q_p*q_pg q_ps r_s = q_p*q_ps

29 298 297,15 88298,12 -30,85 -9167,078 99,15 29462,42

30 -382 -382,85 146574,1 297,15 -113763,9 -30,85 11810,92

31 229 228,15 52052,42 -382,85 -87347,23 297,15 67794,77

32 -132 -132,85 17649,12 228,15 -30309,73 -382,85 50861,62

33 103 102,15 10434,62 -132,85 -13570,63 228,15 23305,52

34 144 143,15 20491,92 102,15 14622,773 -132,85 -19017,5

35 -157 -157,85 24916,62 143,15 -22596,23 102,15 -16124,4

36 -53 -53,85 2899,823 -157,85 8500,2225 143,15 -7708,63

37 -64 -64,85 4205,523 -53,85 3492,1725 -157,85 10236,57

38 109 108,15 11696,42 -64,85 -7013,528 -53,85 -5823,88

39 -151 -151,85 23058,42 108,15 -16422,58 -64,85 9847,473

40 58 57,15 3266,123 -151,85 -8678,228 108,15 6180,773

41 -17 -17,85 318,6225 57,15 -1020,128 -151,85 2710,523

42 -32 -32,85 1079,123 -17,85 586,3725 57,15 -1877,38

43 -34 -34,85 1214,523 -32,85 1144,8225 -17,85 622,0725

44 330 329,15 108339,7 -34,85 -11470,88 -32,85 -10812,6

45 -47 -47,85 2289,623 329,15 -15749,83 -34,85 1667,573

46 135 134,15 17996,22 -47,85 -6419,078 329,15 44155,47

47 -266 -266,85 71208,92 134,15 -35797,93 -47,85 12768,77

48 256 255,15 65101,52 -266,85 -68086,78 134,15 34228,37

49 -479 -479,85 230256 255,15 -122433,7 -266,85 128048

50 9 8,15 66,4225 -479,85 -3910,778 255,15 2079,473

51 100 99,15 9830,723 8,15 808,0725 -479,85 -47577,1

52 11 10,15 103,0225 99,15 1006,3725 8,15 82,7225

53 186 185,15 34280,52 10,15 1879,2725 99,15 18357,62

54 -264 -264,85 70145,52 185,15 -49036,98 10,15 -2688,23

55 99 98,15 9633,423 -264,85 -25995,03 185,15 18172,47

56 72 71,15 5062,323 98,15 6983,3725 -264,85 -18844,1

57 33 32,15 1033,623 71,15 2287,4725 98,15 3155,523

58 56 55,15 3041,523 32,15 1773,0725 71,15 3923,923

59 -138 -138,85 19279,32 55,15 -7657,578 32,15 -4464,03

60 38 37,15 1380,123 -138,85 -5158,278 55,15 2048,823

Jumlah 51 1752229 -1069147 500158,8

Rata-rata

= 0,85 =

−1069147

1752229 = −0,610, =

500158,8

1752229 = 0,285 Keterangan:

= Data Curah Hujan kota Medan setelah differencing pertama j = − di mana = 0 dan t = 2, 3, 4, …, 60

j₉= merupakan nilai dari j di mana nilai j = j_{( \)9}, j _\= j_{( n)9}, j n= j( t)9, dan seterusnya,

j₊= merupakan nilai dari j di mana nilai j = j_{( n)+}, j _\= j_{( t)+}, j n= j( d)+, dan seterusnya,

Dalam memilih berapa p dan q dapat dibantu dengan mengamati pola fungsi

autocorrelation dan partial autocorrelation (correlogram) dari data time series

yang sudah stasioner, Model Box-Jenkins terdiri dari (Gaynor & Patrick, 1994):

a. Jika ACF terpotong (cut off) setelah lag 1 atau 2; lag musiman tidak signifikan dan PACF perlahan-lahan menghilang (dies down) maka diperoleh model non seasonal MA (q = 1 atau 2)

b. Jika ACF terpotong (cut off) setelah lag musiman L, lag non musiman tidak signifikan dan PACF perlahan-lahan menghilang (dies down) maka diperoleh model seasonal MA (Q = 1)

c. Jika ACF terpotong setelah lag musiman L; lag non musiman terpotong (cut off) setelah lag 1 dan 2 maka diperoleh model non seasonal-seasonal MA (q = 1 atau 2, Q = 1)

d. Jika ACF perlahan-lahan menghilang (dies down) dan PACF terpotong (cut off) setelah lag 1 atau 2, lag musiman tidak signifikan maka diperoleh model non seasonal AR (p =1 atau 2),

e. Jika ACF perlahan-lahan menghilang (dies down) dan PACF terpotong (cut off) setelah lag musiman L, lag non musiman tidak signifikan maka diperoleh model seasonal AR (P=1)

f. Jika ACF perlahan-lahan menghilang (dies down) dan PACF terpotong (cut off) setelah lag musiman L dan non musiman terpotong (cut off) setelah lag 1 atau 2 maka diperoleh model non seasonal dan seasonal AR (p = 1 atau 2 dan P = 1)

g. Jika ACF dan PACF perlahan-lahan menghilang (dies down) maka diperoleh

Lampiran 3 Tabel distribusi t

Satu

Sisi 10% 5% 2,5% 1% 0,5% 0,1% 0,05% 1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 318,309 636,619 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327 31,599 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,215 12,924 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8,610 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6,869 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5,959 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5,408 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5,041 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4,781 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4,587 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4,437 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4,318 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4,221 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4,140 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4,073 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4,015 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3,965 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610 3,922 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3,883 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3,850 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3,819 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3,792 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3,768 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3,745 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3,725 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3,707 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3,690 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3,674 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 3,659 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 3,646 31 1,309 1,696 2,040 2,453 2,744 3,375 3,633 32 1,309 1,694 2,037 2,449 2,738 3,365 3,622 33 1,308 1,692 2,035 2,445 2,733 3,356 3,611 34 1,307 1,691 2,032 2,441 2,728 3,348 3,601 35 1,306 1,690 2,030 2,438 2,724 3,340 3,591 36 1,306 1,688 2,028 2,434 2,719 3,333 3,582 37 1,305 1,687 2,026 2,431 2,715 3,326 3,574 38 1,304 1,686 2,024 2,429 2,712 3,319 3,566 39 1,304 1,685 2,023 2,426 2,708 3,313 3,558

Lanjutan lampiran 3 tabel distribusi t Satu

Sisi 10% 5% 2,5% 1% 0,5% 0,1% 0,05% 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 3,551 41 1,303 1,683 2,020 2,421 2,701 3,301 3,544 42 1,302 1,682 2,018 2,418 2,698 3,296 3,538 43 1,302 1,681 2,017 2,416 2,695 3,291 3,532 44 1,301 1,680 2,015 2,414 2,692 3,286 3,526 45 1,301 1,679 2,014 2,412 2,690 3,281 3,520 46 1,300 1,679 2,013 2,410 2,687 3,277 3,515 47 1,300 1,678 2,012 2,408 2,685 3,273 3,510 48 1,299 1,677 2,011 2,407 2,682 3,269 3,505 49 1,299 1,677 2,010 2,405 2,680 3,265 3,500 50 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 3,261 3,496 51 1,298 1,675 2,008 2,402 2,676 3,258 3,492 52 1,298 1,675 2,007 2,400 2,674 3,255 3,488 53 1,298 1,674 2,006 2,399 2,672 3,251 3,484 54 1,297 1,674 2,005 2,397 2,670 3,248 3,480 55 1,297 1,673 2,004 2,396 2,668 3,245 3,476 56 1,297 1,673 2,003 2,395 2,667 3,242 3,473 57 1,297 1,672 2,002 2,394 2,665 3,239 3,470 58 1,296 1,672 2,002 2,392 2,663 3,237 3,466 59 1,296 1,671 2,001 2,391 2,662 3,234 3,463 60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 3,460 61 1,296 1,670 2,000 2,389 2,659 3,229 3,457 62 1,295 1,670 1,999 2,388 2,657 3,227 3,454 63 1,295 1,669 1,998 2,387 2,656 3,225 3,452 64 1,295 1,669 1,998 2,386 2,655 3,223 3,449 65 1,295 1,669 1,997 2,385 2,654 3,220 3,447 66 1,295 1,668 1,997 2,384 2,652 3,218 3,444 67 1,294 1,668 1,996 2,383 2,651 3,216 3,442 68 1,294 1,668 1,995 2,382 2,650 3,214 3,439 69 1,294 1,667 1,995 2,382 2,649 3,213 3,437 70 1,294 1,667 1,994 2,381 2,648 3,211 3,435 71 1,294 1,667 1,994 2,380 2,647 3,209 3,433 72 1,293 1,666 1,993 2,379 2,646 3,207 3,431 73 1,293 1,666 1,993 2,379 2,645 3,206 3,429

Lanjutan lampiran 3 tabel distribusi t Satu

Sisi 10% 5% 2,5% 1% 0,5% 0,1% 0,05% 75 1,293 1,665 1,992 2,377 2,643 3,202 3,425 76 1,293 1,665 1,992 2,376 2,642 3,201 3,423 77 1,293 1,665 1,991 2,376 2,641 3,199 3,421 78 1,292 1,665 1,991 2,375 2,640 3,198 3,420 79 1,292 1,664 1,990 2,374 2,640 3,197 3,418 80 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,195 3,416 81 1,292 1,664 1,990 2,373 2,638 3,194 3,415 82 1,292 1,664 1,989 2,373 2,637 3,193 3,413 83 1,292 1,663 1,989 2,372 2,636 3,191 3,412 84 1,292 1,663 1,989 2,372 2,636 3,190 3,410 85 1,292 1,663 1,988 2,371 2,635 3,189 3,409 86 1,291 1,663 1,988 2,370 2,634 3,188 3,407 87 1,291 1,663 1,988 2,370 2,634 3,187 3,406 88 1,291 1,662 1,987 2,369 2,633 3,185 3,405 89 1,291 1,662 1,987 2,369 2,632 3,184 3,403 90 1,291 1,662 1,987 2,368 2,632 3,183 3,402 91 1,291 1,662 1,986 2,368 2,631 3,182 3,401 92 1,291 1,662 1,986 2,368 2,630 3,181 3,399 93 1,291 1,661 1,986 2,367 2,630 3,180 3,398 94 1,291 1,661 1,986 2,367 2,629 3,179 3,397 95 1,291 1,661 1,985 2,366 2,629 3,178 3,396 96 1,290 1,661 1,985 2,366 2,628 3,177 3,395 97 1,290 1,661 1,985 2,365 2,627 3,176 3,394 98 1,290 1,661 1,984 2,365 2,627 3,175 3,393 99 1,290 1,660 1,984 2,365 2,626 3,175 3,392 100 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 3,174 3,390

Lampiran 4

ARIMA Model: (1,1,0)(1,1,0)gs

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters

0 2633528 0,100 0,100 -4,900 1 2051506 -0,050 0,041 -5,068 2 1588105 -0,200 -0,040 -5,149 3 1239174 -0,350 -0,152 -5,100 4 1008174 -0,491 -0,302 -4,893 5 899217 -0,582 -0,452 -4,670 6 845855 -0,629 -0,598 -4,383 7 828657 -0,626 -0,678 -4,116 8 821002 -0,623 -0,727 -3,886 9 816866 -0,621 -0,762 -3,709 10 814261 -0,620 -0,788 -3,568 11 812428 -0,619 -0,809 -3,452 12 811036 -0,619 -0,827 -3,352 13 809932 -0,618 -0,842 -3,265 14 809043 -0,618 -0,856 -3,188 15 808336 -0,618 -0,868 -3,121 16 807792 -0,618 -0,878 -3,063 17 807393 -0,618 -0,886 -3,014 18 807118 -0,618 -0,893 -2,974 19 806939 -0,618 -0,899 -2,941 20 806830 -0,618 -0,903 -2,916 21 806766 -0,618 -0,906 -2,897 22 806731 -0,618 -0,909 -2,882 23 806712 -0,617 -0,910 -2,871 24 806703 -0,617 -0,912 -2,863 25 806699 -0,617 -0,913 -2,857 Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P AR 1 -0,6174 0,1191 -5,18 0,000 SAR 12 -0,9128 0,1245 -7,33 0,000 Constant -2,86 19,35 -0,15 0,883

Differencing: 1 regular, 1 seasonal of order 12 Number of observations: Original series 60, after differencing 47

Residuals: SS = 773399 (backforecasts excluded) MS = 17577 DF = 44

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48

Chi-Square 21,2 35,9 37,7 * DF 9 21 33 * P-Value 0,012 0,023 0,264 *

ARIMA Model: (2,1,0)(1,1,0)gs

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters

0 2477830 0,100 0,100 0,100 -4,355 1 2016824 -0,050 0,040 0,047 -4,557 2 1631305 -0,200 -0,024 -0,021 -4,905 3 1317548 -0,350 -0,091 -0,109 -5,306 4 1071329 -0,500 -0,164 -0,223 -5,700 5 887730 -0,650 -0,243 -0,368 -6,019 6 782159 -0,767 -0,312 -0,518 -6,155 7 724748 -0,845 -0,366 -0,668 -5,995 8 703794 -0,858 -0,381 -0,760 -5,562 9 694441 -0,859 -0,386 -0,815 -5,155 10 689018 -0,859 -0,390 -0,854 -4,843 11 685715 -0,860 -0,392 -0,883 -4,604 12 683911 -0,861 -0,394 -0,903 -4,430 13 683089 -0,861 -0,394 -0,916 -4,315 14 682774 -0,861 -0,395 -0,924 -4,245 15 682667 -0,861 -0,395 -0,928 -4,204 16 682635 -0,861 -0,395 -0,930 -4,181 17 682625 -0,862 -0,395 -0,932 -4,168 18 682623 -0,862 -0,395 -0,933 -4,161 19 682623 -0,862 -0,395 -0,933 -4,157 20 682623 -0,862 -0,395 -0,933 -4,156

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P AR 1 -0,8616 0,1432 -6,02 0,000 AR 2 -0,3951 0,1449 -2,73 0,009 SAR 12 -0,9331 0,1241 -7,52 0,000 Constant -4,16 18,17 -0,23 0,820

Number of observations: Original series 60, after differencing 47

Residuals: SS = 665432 (backforecasts excluded) MS = 15475 DF = 43

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48

Chi-Square 15,8 26,9 28,0 * DF 8 20 32 * P-Value 0,046 0,137 0,671 *