Pola Analisi Jaringan Sosial Dinamis

POLA ANALISIS JARINGAN SOSIAL DINAMIS
TESIS
Oleh MONALISA BR SEMBIRING
117021049/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara

POLA ANALISIS JARINGAN SOSIAL DINAMIS
TESIS Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh MONALISA BR SEMBIRING
117021049/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: POLA ANALISIS JARINGAN SOSIAL DINAMIS : Monalisa Br Sembiring : 117021049 : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) Ketua

(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Anggota

Ketua Program Studi

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 17 Desember 2013

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal 17 Desember 2013
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S., M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
2. Prof. Dr. Herman Mawengkang 3. Dr. Marwan Ramli, M.Si
Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN POLA ANALISIS JARINGAN SOSIAL DINAMIS
TESIS Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, Penulis, Monalisa Br Sembiring
i Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Interaksi sosial sering dimodelkan dengan jaringan. Karakteristik kunci dari interaksi sosial adalah perubahannya yang kontinu. Namun banyak analisis jaringan sosial dimasa lalu pada dasarnya adalah statis dimana semua informasi tentang waktu interaksi sosial berlangsung diabaikan. Dalam tesis ini diteliti pola dari analisis jaringan sosial dinamis, dimana jaringan itu selalu berubah atas waktu. Pola ini membantu membangun model yang dapat menjelaskan dan memprediksi perilaku jaringan. Model ini terdiri dari model deterministik dan stokastik. Tesis ini membahas model deterministik yaitu model ILT(Iterated Local Transitivity) yang didalam setiap langkah waktu dan untuk setiap node x, node baru muncul dimana node ini bergabung dengan himpunan tetangga yang tertutup dari x. Model menunjukkan bahwa properti jaringan seperti pemadatan (densification) power law, penurunan rata-rata jarak(average distance)dan clustering adalah lebih tinggi daripada graf random dengan rata-rata derajat yang sama. Kata kunci: Jaringan sosial, Jaringan dinamis, Pola graf, Clustering
ii Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT Social interactions are often modeled with networks. A key characteristic of social interactions is their continual change. However, most past analysis of social networks are essentially static in that information about the time that social interactions take place is discarded. In this thesis researched pattern of dynamic social networks, where the networks evolve over time. Pattern help us develop model and the model help us to reason, and predict networks behavioral. This model consist of deterministic model and stochastic model. In this thesis discussed the deterministic model namely ILT(Iterated Local Transitivity) which at each time-step and for every existing node x, a new node appears which join to the closed neighbour set of x. The ILT model show that network properties such as densification power law, decreasing average degree and higher clustering than in random graph with the same average degree. Keyword: Social networks, Dynamic networks, Graph pattern, Clustering
iii Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang memberikan berkat dan rahmat yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: POLA ANALISIS JARINGAN SOSIAL DINAMIS. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembanding I yang telah memberikan saran dan kritik dalam menyelesaikan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembimbing II yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-I yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini. Bapak Dr. Marwan Ramli, M.Si, Pembanding-II yang memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini. Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan. Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi.
iv Universitas Sumatera Utara

Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada : Ayahanda dan ibunda tercinta, M. Sembiring(Alm) dan S. Br Sitepu(Alm) serta Abang-Kakak, Jermia Sembiring, Sejahtera Sembiring, Elyasari Sembiring, Rosinta Sembiring dan Jetro Sembiring yang telah memberikan dukungan baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini. Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2011 genap, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.
Medan, Desember 2013 Penulis, Monalisa Br Sembiring
v Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP Monalisa Br Sembiring dilahirkan di Tiga Jumpa pada tanggal 10 Juli 1983, merupakan anak keenam dari enam bersaudara dari ayahanda M. Sembiring(Alm) dan ibunda S Br Sitepu(Alm). Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 040515 Tiga Jumpa pada tahun 1995, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) di SLTP Negeri 1 Barus Jahe pada tahun 1998, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 4 Medan pada tahun 2001. Pada tahun 2001 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika di Universitas Negeri Medan dan memperoleh gelar Sarjana Sains pada tahun 2007. Pada Februari 2012 penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
vi Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Jaringan Sosial 2.2 Representasi Jaringan 2.3 Properti Jaringan 2.4 Derajat Node dan Derajat Rata-rata (Average Degree) 2.5 Jarak, Diameter dan Average Path Length 2.6 Densitas Graf dan Subgraf 2.7 Sentralitas (Centrality) dan Wibawa (Prestige) 2.8 Distribusi Derajat(Degree Distribution) 2.9 Clustering 2.10 Koefisien Clustering dan Transitifitas

i ii iii iv vi vii ix
1
1 2 3 3
4
5 6 8 8 9 10 11 13 13 15

vii Universitas Sumatera Utara

2.11 Clique

16

BAB 3 JARINGAN SOSIAL DINAMIS

18

3.1 Properti Jaringan Dinamis 3.2 Model Graf Random(Random Graph Model) 3.3 Model Small-World dari Watts dan Strogatz dan Scale Free dari
Barabasi dan Albert 3.4 Model Jaringan Sosial 3.5 Struktur dan Perkembangan Jaringan 3.6 Pola dalam Graf yang Berkembang

18 19
20 21 22 23

BAB 4 MODEL JARINGAN SOSIAL DINAMIS

24

4.1 Model ILT 4.2 Derajat Rata-rata dan Densifikasi 4.3 Average Distance dan Diameter 4.4 Koefisien Clustering dan Derajat

25 27 29 33

BAB 5 KESIMPULAN

37

DAFTAR PUSTAKA

38

viii Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Halaman

2.1 Tipe jaringan

7

2.2 Clustering Coefficient. Node X memiliki kX = 6 tetangga. Terdapat hanya nX = 5 edge antar tetangga. Sehingga Clustering coefficient lokal dari node X adalah nX /kX = 5/15 = 1/3

15

4.1 Contoh klon graf

26

ix Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Interaksi sosial sering dimodelkan dengan jaringan. Karakteristik kunci dari interaksi sosial adalah perubahannya yang kontinu. Namun banyak analisis jaringan sosial dimasa lalu pada dasarnya adalah statis dimana semua informasi tentang waktu interaksi sosial berlangsung diabaikan. Dalam tesis ini diteliti pola dari analisis jaringan sosial dinamis, dimana jaringan itu selalu berubah atas waktu. Pola ini membantu membangun model yang dapat menjelaskan dan memprediksi perilaku jaringan. Model ini terdiri dari model deterministik dan stokastik. Tesis ini membahas model deterministik yaitu model ILT(Iterated Local Transitivity) yang didalam setiap langkah waktu dan untuk setiap node x, node baru muncul dimana node ini bergabung dengan himpunan tetangga yang tertutup dari x. Model menunjukkan bahwa properti jaringan seperti pemadatan (densification) power law, penurunan rata-rata jarak(average distance)dan clustering adalah lebih tinggi daripada graf random dengan rata-rata derajat yang sama. Kata kunci: Jaringan sosial, Jaringan dinamis, Pola graf, Clustering
ii Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT Social interactions are often modeled with networks. A key characteristic of social interactions is their continual change. However, most past analysis of social networks are essentially static in that information about the time that social interactions take place is discarded. In this thesis researched pattern of dynamic social networks, where the networks evolve over time. Pattern help us develop model and the model help us to reason, and predict networks behavioral. This model consist of deterministic model and stochastic model. In this thesis discussed the deterministic model namely ILT(Iterated Local Transitivity) which at each time-step and for every existing node x, a new node appears which join to the closed neighbour set of x. The ILT model show that network properties such as densification power law, decreasing average degree and higher clustering than in random graph with the same average degree. Keyword: Social networks, Dynamic networks, Graph pattern, Clustering
iii Universitas Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Jaringan sosial adalah himpunan individu atau grup individu dengan beberapa pola kontak dan interaksi antara individu atau grup individu tersebut. Pola pertemanan antar individu, hubungan bisnis antar perusahaan, dan perkawinan antar keluarga adalah beberapa contoh jaringan yang telah diteliti dimasa lalu (Newman, 2003). Jaringan sosial ini biasanya dimodelkan dengan graf yang terdiri dari verteks (node) dan edge (link).
Setiap individu dalam jaringan sosial direpresentasikan oleh node(aktor) dan terdapat link(ties) yang menghubungkan dua node jika terjadi interaksi sosial dalam suatu waktu tertentu antara mereka. Bedasarkan sumber data, interaksi sosial dapat merupakan komunikasi verbal dan tertulis (telepon genggam, email, blog, chatroom dll), kolaborasi ilmiah (co-authorship), penyebaran penyakit(HIV, virus), kedekatan fisik atau virtual (pengunjung website, lokasi fisik, grup hewan). Link biasanya dibobot oleh frekuensi interaksi(Berger-Wolf dan Saia, 2006).
Model jaringan dari interaksi sosial ini telah sukses dimodelkan. Namun kekurangan dari model-model itu adalah sifatnya yang pada dasarnya statis dimana dalam setiap informasi tentang waktu terjadinya diabaikan. Sifat statis dalam model dapat memberikan informasi yang tidak akurat tentang pola dalam data. Graf statis ini tidak mampu menjawab pertanyaan mendasar misalnya tentang penyebab dan konsekuensi dari pola sosial ini, misalnya seberapa cepat penyebaran penyakit melewati suatu populasi dan individu mana yang seharusnya ditindak lanjuti untuk menekan penyebaran penyakit.
Penelitian dalam analisis jaringan statik telah diteruskan menjadi analisis jaringan dinamis ke dalam beberapa arah. Salah satunya dari pandangan statistik mekanik yang menganggap jaringan sebagai sistem fisik kompleks dan berusaha untuk menggambarkan dalil yang mengatur evolusi, batas perilaku dan sifatsifatnya. Selanjutnya dari pandangan komputasional yang menggabungkan probabilitas dan ketidaktentuan dalam struktur informasi dan mengkombinasikan analisis jaringan sosial dengan multi-agent systems(MAS). Simulasi komputer sampai
1 Universitas Sumatera Utara

2
saat ini telah menjadi tekhnik komputasi utama untuk menggabungkan informasi jaringan dinamis. Beberapa tahun terakhir telah terlihat perkembangan dari pendekatan algoritma sistematik pada analisis jaringan sosial, sebagian besar dalam konteks jaringan informasi (Berger-Wolf dan Saia, 2006).
Pada umumnya jaringan sosial adalah jaringan dinamis, karena jaringan sosial adalah jaringan nyata dimana setiap individu dalam jaringan ini selalu melakukan sesuatu yang mempengaruhi jaringan seperti komunikasi. Jaringan sosial telah lama menjadi topik penelitian yang penting dalam banyak bidang. Pemahaman yang dalam tentang jaringan menjadi kunci untuk menerangi banyak masalah dalam bidang sosiologi dan ekologi. Beberapa tahun terakhir ini teknologi modern lebih menjadi jaringan virtual melapisi jaringan fisik yang sudah lebih dulu ada. Perubahan ini telah membuat penelitian tentang jaringan menjadi lebih penting. Oleh karena itu dalam banyak kasus skala dari jaringan yang diberikan sangat besar sehingga tidak ada peneliti yang dapat mengadakan secara manual pengumpulan data dan mengangkat penyelidikan yang berhubungan. Dalam kasus lain, sering kali terlalu sulit untuk melacak perkembangan jaringan, misalnya evolusi dari populasi binatang atas beberapa generasi. Sebagai hasilnya pengetahuan simulasi jaringan sosial muncul dan menjadi alat yang sangat tepat bagi peneliti jaringan (Zhang dan Wu, 2012).
Didalam tulisan ini dianalisis jaringan sosial dinamis yang menghasilkan pola yang dapat membantu membangun suatu model yang dapat menjawab pertanyaanpertanyaan yang tidak mampu dijawab dalam jaringan statis. Pola ini dianalisis dengan menggunakan properti-properti jaringan.
1.2 Perumusan Masalah Struktur jaringan yang selalu berubah dan berkembang dalam jaringan sosial
dinamis akan menghasilkan suatu pola yang sangat kompleks. Pola tersebut seyogyanya dapat dimodelkan secara metematis.
Universitas Sumatera Utara

3 1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah membangun model secara matematis berdasarkan pola yang dihasilkan analisis jaringan sosial dinamis yang dapat membantu memberi penjelasan, memonitor dan memprediksi ciri jaringan di masa depan. 1.4 Manfaat Penelitian
Dengan mengetahui pola yang dihasilkan oleh jaringan sosial dinamis maka akan dapat diprediksi perilaku dari aktor-aktor dalam jaringan dalam waktu selanjutnya.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Analisis jaringan adalah penelitian tentang graf dalam ukuran yang besar. Banyak sistem di dunia yang mengambil bentuk jaringan misalnya internet, World Wide Web(WWW), jaringan sosial atau koneksi antar individu, jaringan organisasional dan relasi bisnis antar perusahaan, jaringan neural, jaringan metabolisme, jaringan makanan, jaringan distribusi misalnya pembuluh darah atau rute pengiriman pos, jaringan pengarang karya ilmiah dan lain-lain (Newman, 2003). Penelitian menyangkut jaringan telah banyak diteliti di permulaan abad 20, dimana paling banyak didominasi oleh ahli matematika dan peneliti ilmu sosial yang telah menuntun kepada perkembangan saat ini dimana subjek yang semakin luas dan berbeda-beda beberapa diantaranya biologi, ekologi, ekonomi, ilmu komputer dan fisika.
Jaringan sosial memegang peranan yang sentral dalam kegiatan sehari-hari, dalam fenomena sosial, dalam kehidupan ekonomi dan politik. Oleh karena itu penting untuk memberikan analisis lengkap dari struktur jaringan sosial dan meneliti pengaruh yang mungkin diberikan pada perilaku manusia.
Dalam analisis jaringan sosial, jaringan dikategorikan oleh sifat dasar dari himpunan aktor dan properti relasi antara aktor-aktor tersebut. Aktor atau entitas dapat merupakan tipe dari variasi individu, organisasi atau koleksi atau kumpulan dari orang atau organisasi. Koleksi dari orang misalnya grup mahasiswa yang menghadiri kuliah yang sama dan kumpulan organisasi misalnya himpunan negara bagian.
Mode dari jaringan didefinisikan sebagai jumlah tipe aktor atau entitas yang variabel strukturalnya (relasi) diukur. Variabel struktural diukur dalam pasangan-pasangan entitas. Jika pasangan entitas adalah himpunan tunggal, jaringan ini disebut dengan relationship atau one-mode network. Jika variabel strukturalnya diukur dalam dua himpunan entitas, disebut sebagai affiliation atau two-mode network. Two-mode network terdiri dari dua himpunan entitas yang berbeda atau himpunan aktor dan himpunan kejadian. Dalam kasus pertama, jaringan disebut dyadic network dan link antara dua aktor dari himpunan berbeda menyatakan relasi antara kedua aktor (Wasserman dan Faust, 1994).
4 Universitas Sumatera Utara

5
2.1 Analisis Jaringan Sosial
Social Networks Analysis (SNA) mulai berkembang sekitar tahun 1920 an dan berfokus pada hubungan antara entitas sosial, misalnya komunikasi antara anggota suatu grup, perdagangan antar negara atau transaksi ekonomi antara perusahaan (Boccaletti, et al. 2005).
Dalam ilmu sosial, analisis jaringan memiliki tradisi yang panjang. Tujuan utama analisis jaringan sosial adalah mendeteksi dan menginterpretasikan pola dari relasi sosial antara aktor. Namun, akhir-akhir ini bidang ini juga semakin populer di banyak area penelitian seperti immunulogy, sistem transportasi, biologi molekular, sistem informasi, sistem komputer dan lain-lain. Meskipun domain dari aplikasi adalah menetapkan bentuk analisis yang tepat, metode yang umum dalam analisis jaringan dapat dibedakan berdasarkan level analisis. Analisis jaringan dapat dilakuakan dalam tiga level yaitu, elemen-level, group-level dan network-level.
Dalam element-level analysis, memberi penekanan pada analisis properti dari individual node atau link. Misalnya dalam mesin pencarian yang mana mencoba halaman penting diantara interlink dalam website. Dalam goup-level analysis, korelasi antara node dianalisis secara khusus, salah satunya menyelidiki tentang properti grup dari node atau link. Dalam network level analysis, properti graf dianalisis secara keseluruhan. Network level analysis digunakan untuk membedakan antara tipe network yang berbeda, dan menetapkan pengertian yang bernilai dan mengimplementasikannya ke dalam algoritma.
Beberapa dekade terakhir muncul penelitian-penelitian tentang complex networks yakni jaringan dengan struktur yang irreguler, kompleks dan secara dinamis berkembang atas waktu, dengan fokus utama bergerak dari analisis jaringan yang kecil ke sistem dengan ribuan bahkan jutaan node, dan memperbaharui perhatian kepada properti jaringan yang dinamis. Hal ini tiba-tiba dicetuskan dalam 2 paper yang selanjutnya sangat berkembang oleh Watts dan Strogatz dalam SmallWorld Networks yang muncul dalam Nature 1998 dan oleh Barabasi dan Albert dalam Scale-Free Networks muncul setahun kemudian dalam Science, telah terlihat secara fisik komunitas antar aktor, dan secara pasti meningkatkan kekuatan kumputasional yang memungkinkan meneliti banyak properti dari database yang sangat besar dari jaringan nyata (real networks). Diantaranya jaringan trans-
Universitas Sumatera Utara

6
portasi, jaringan telepon, internet dan World Wide Web, kolaborasi aktor dalam database perfilman, kolaborasi penulisan karya ilmiah (scientific coauthorship) dan lain-lain.

2.2 Representasi Jaringan
Jaringan dapat direpresentasikan dengan dua cara yaitu sebagai matriks dan graf. Didalam matriks baris dan kolom berkorespondensi dengan aktor/entitas, matriks akan bujursangkar untuk one-mode network, dan persegi panjang untuk two-mode network. Entri sel mengandung nilai link hubungan yang menghubungkan aktor/entitas, jadi sel yang ke(i, j) merepresentasikan hubungan dari aktor i ke aktor j. Matriks ini disebut juga dengan adjacency matrix.
Adjacency matrix merupakan cara yang paling sedehana untuk merepresentasikan jaringan. Misalkan diasumsikan terdapat n verteks dalam jaringan, yang terhubung satu sama lain dengan m edge, selanjutnya misalkan edge tidak berarah. Dapat dispesifikasikan secara lengkap struktur hubungan dalam jaringan dengan matriks A dengan ordo nxn yang elemen-elemennya:
1, jika terdapat suatu sisi menghubungkan i, j Aij = 0, jika tidak ada
Jaringan biasanya dimodelkan sebagai graf. Suatu graf G = (V, E) adalah suatu objek dimana V menotasikan himpunan verteks(titik), E menyatakan himpunan edge (sisi) yang menghubungkan pasangan verteks . Sisi tak berarah yang menghubungkan titik u, v ∈ V yang dinotasikan dengan (u, v). Dalam ilmu jaringan verteks biasanya disebut dengan node atau aktor sedangkan edge disebut link atau relasi.
Suatu graf G′ = (V ′, E′) adalah subgraf dari graf G = (V, E) jika V ′ ⊆ V dan E′ ⊆ E. Subgraf disebut induced subgraph jika E′ mengandung semua sisi e ∈ E yang menghubungkan titik-titik dalam V ′.
Relasi dalam suatu jaringan dapat merupakan relasi berarah, misalnya eksport/import barang antar negara, panggilan telepon atau pesan email antar individu dan lain-lain. Relasi ini dapat direpresentasikan dengan graf berarah (directed graph) yang biasa disebut dengan digraph. Suatu digraph G umumnya didefinisikan sebagai G = (V, A) dimana V adalah himpunan berhingga verteks dan A adalah himpunan arcs yang menghubungkan verteks yang berbeda.
Universitas Sumatera Utara

7
Gambar 2.1 Tipe jaringan
Himpunan verteks yang disatukan oleh edge adalah tipe sederhana dari jaringan. Jaringan bisa saja lebih kompleks karena verteks itu mungkin saja lebih dari satu tipe berbeda dalam jaringan dan lebih dari satu tipe edge yang berbeda (Gambar 2.1).
Walk dari v1 ke vk dalam graf tak berarah G = (V, E) adalah barisan alternating dari titik-titik dan sisi v1, e1, v2, e2, v3, ..., ek−1, vk, dimana ei = (vi, vi+1), yang mana setiap titik adalah insiden dengan sisi yang mengikuti dan mendahuluinya dalam barisan itu. Panjang dari walk ini didefinisikan oleh jumlah sisi dalam barisan itu. Path P adalah walk dimana semua titik dan semua sisi adalah berbeda: ei = ej dan vi = vj untuk i = j. Suatu path p dari u ke v dalam graf G = (V, E) adalah path terpendek(shortest path) atau geodesic jika bobotnya w(p) adalah bobot terkecil yang mungkin diantara semua path dari u ke v, dimana w(p) didefinisikan sebagai jumlah semua bobot sisi pada p. Panjang d(u, v) dari path terpendek disebut shortest-path distance atau geodesic distance. Jika tidak ada path terpendek antara dua titik maka jarak antara mereka adalah tak terhingga.
Suatu graf tak berarah G = (V, E) adalah terhubung (connected) jika terdapat path yang melalui semua pasangan titik, dengan kata lain setiap titik dapat dicapai dari setiap titik lain. Graf yang tidak terhubung disebut disconnected. Subgraf yang terhubung dalam graf disebut komponen-komponen (componnents). Komponen dalam graf adalah subgraf yang terhubung maksimal. Komponen terhubung (connected component) dari G = (V, E) adalah induced subgraph
Universitas Sumatera Utara

8
G′ = (V ′, E′) yang maksimal yang artinya tidak ada subgraf yang terhubung. G′′ = (V ′′, E′′) dengan V ′′ ⊃ V ′. Dengan perkataan lain, komponen terhubung adalah suatu subgraf dimana terdapat path antara semua pasangan titik dan tidak ada path antara sisi dalam komponen dan tidak ada titik dalam komponen.

2.3 Properti Jaringan

Peneliti selama beberapa tahun terakhir telah mengidentifikasi propertiproperti jaringan yang dapat ditemukan dalam banyak jaringan nyata dari domain yang beragam. Properti yang mempunyai peranan dalam pencarian pola adalah distribusi derajat(degree distribution) dan diameter kecil(small diameter). Selanjutnya dalam bagian ini akan dikaji juga properti-properti lain dari suatu jaringan yaitu derajat node, derajat rata-rata, densitas, diameter, dan sentralitas.

2.4 Derajat Node dan Derajat Rata-rata (Average Degree)

Properti kunci dari setiap node dalam jaringan adalah derajatnya. Derajat dari node dinotasikan sebagai ki (derajat node ke-i dalam jaringan) adalah jumlah link yang insiden dengan node tersebut atau dengan kata lain derajat adalah banyaknya node yang adjacent dengan node itu. Misalkan n adalah jumlah node dalam suatu jaringan tak berarah maka jumlah total dari link L dapat diekspresikan sebagai jumlah derajat node-node nya.

L

=

1 2

n

ki

i=1

(2.1)

Derajat rata-rata node < k > dalam suatu jaringan (average degree) dinyatakan

dengan:

<

k

>=

1 n

n

ki

=

2L n

i=1

(2.2)

Di dalam jaringan berarah terdapat in-degree (derajat masuk) kiin yaitu banyaknya

link yg menuju node tersebut dan out-degree (derajat keluar) kiout adalah banyaknya

link menuju keluar dari node tersebut. Total link dalam jaringan berarah adalah:

nn
L = kin = kout
i=1 i=1

(2.3)

Universitas Sumatera Utara

9

Pada persamaan (2.3) tidak menggunakan faktor 1/2 seperti persamaan (2.1) karena menghitung derajat masuk dan derajat keluar secara terpisah. Derajat

rata-rata jaringan berarah adalah

(kin)

=

1 n

n

kiin

=

kout

=

1 n

n

kiout

=

L n

i=1 i=1

(2.4)

2.5 Jarak, Diameter dan Average Path Length

Dalam sistem fisik komponen dikategorikan berdasarkan jarak (distance) yang jelas, seperti jarak antara dua atom dalam kristal, atau antara dua galaksi dalam jagat raya. Dalam jaringan jarak adalah suatu konsep yang menantang. Apa yang dimaksud engan jarak antara dua halaman web dalam WWW, atau dua individu yang mungkin saling mengenal atau tidak saling mengenal? Jarak fisik tidak relevan disini, dua halaman web terhubung satu sama lain mungkin oleh dua orang yang berada di belahan dunia yang berbeda atau mungkin oleh dua orang yang berada di gedung yang sama tapi tidak saling mengenal satu sama lain. Dalam jaringan jarak fisik digantikan dengan path length (panjang path), dimana panjang path adalah banyaknya link yang dimiliki oleh path tersebut (Barabasi, 2012).
Shortest path atau geodesic path antara node i dan j adalah path dengan jumlah link yang paling sedikit. Shortest path sering juga disebut sebagai jarak (distance) antara node i dan j yang disimbolkan dengan d(i, j) atau dij. Jika tidak ada path antara node, jarak antara mereka adalah tak terhingga. Konsep ini menuntun kepada karakteristik penting lain dalam jaringan yaitu diameter. Diameter (dmax) adalah shortest path maksimum antara dua node dalam jaringan. Dengan perkataan lain ketika panjang semua shortest path dari setiap node ke semua node dihitung, diameter adalah shortest path terpanjang.

dmax := max{d(u, v) | u, v ∈ V }

(2.5)

Diameter suatu graf penting karena mengukur seberapa jauh terpisah atau jarak dua node tejauh dalam suatu graf. Misalkan dalam jaringan komunikasi dimana link transmisi pesan. Difokuskan pada pengiriman pesan diantara semua pasangan node. Selanjutnya asumsikan pesan selalu mencari rute terpendek (melalui geodesic), dijamin bahwa pesan dapat melalui satu node ke node yang lain, atas path dengan panjang yang tidak lebih dari diameter graf.

Universitas Sumatera Utara

10

Average path length (rata-rata path) antara node disimbolkan dengan <

d > adalah rata-rata jarak antara semua pasangan node dalam jaringan. Untuk

jaringan tak berarah dengan n buah node, diberikan oleh:

<

d

>=

2 n(n − 1)

di,j

i,j=1,n

(2.6)

2.6 Densitas Graf dan Subgraf

Derajat adalah suatu konsep yang menganggap jumlah sisi yang insiden dengan setiap node dalam graf. Dapat juga dianggap jumlah dan perbandingan dari sisi dalam graf secara keseluruhan. Suatu graf dapat memiliki banyak sisi tapi jumlah maksimum yang mungkin ditentukan oleh jumlah node dalam graf tersebut. Misalkan terdapat n buah node dalam suatu graf (tanpa loop) maka terdapat kemungkinan pasangan tidak terurut node, sehingga n(n − 1)/2 adalah banyak sisi yang mungkin dalam graf tersebut.

Densitas adalah perbandingan dari banyak sisi yang ada pada suatu graf

(L) dengan jumlah maksimum yang mungkin sisi dari graf tersebut. Jika densitas

dilambangkan dengan △ maka dapat dihitung sebagai:

△

=

n(n

L − 1)/2

=

2L n(n −

1)

(2.7)

densitas bernilai terendah 0 yaitu jika L = 0 dan tertinggi bernilai 1 yaitu jika

banyaknya sisi/garis yang ada sama dengan banyaknya maksimum yang mungkin

n(n − 1)/2.

Jika setiap sisi ada, maka setiap node disebut adjacent dan graf dikatakan komplit (complete). Suatu graf komplit dengan g buah node biasanya dinotasikan dengan Kn. Graf komplit mengandung semua n(n − 1)/2 sisi yang mungkin, dengan densitas sama dengan 1, dan semua derajat node sama dengan n − 1.

Terdapat hubungan langsung antara densitas graf dan rata-rata derajat node

dalam graf. Telah diketahui bahwa jumlah derajat sama dengan 2L sehingga

diperoleh:

△

=

d (n − 1)

(2.8)

dengan kata lain densitas graf adalah proporsi rata-rata dari insiden garis dengan

node.

Densitas dari subgraf dapat juga didefinisikan sebagai jumlah sisi yang ada dalam subgraf tersebut dibagi dengan jumlah garis yang mungkin muncul dalam

Universitas Sumatera Utara

11

subgraf. Misalkan dinotasikan jumlah node dalam subgraf Gs adalah ns, dan

jumlah sisi dalam subgraf sebagai Ls. Jumlah sisi yang mungkin dalam suatu

subgraf adalah sama dengan ns(ns − 1)/2. Sehingga densitas dari subgraf dapat

dihitung sebagai:

△s

=

2Ls ns(ns −

1)

(2.9)

densitas dari subgraf menyatakan proporsi ikatan yang muncul diantara subset

aktor dalam suatu jaringan.

2.7 Sentralitas (Centrality) dan Wibawa (Prestige)

Konsep sentralitas menangkap tentang menonjol atau tidaknya suatu node dalam jaringan. Sentralitas adalah ukuran dalam graf yang digunakan dalam analisis jaringan untuk menemukan struktur penting dari node dan edge. Sentralitas umumnya menetapkan pentingnya suatu node hanya berdasarkan struktur graf. Definisi yang paling sederhana dari sentralitas node adalah bahwa node sentral haruslah node yang paling aktif atau node yang memiliki ikatan paling banyak dengan node lain dalam jaringan. Misalkan dalam suatu organisasi seseorang dengan hubungan atau komunikasi yang ekstensif dengan banyak orang lain dalam organisasi dinilai lebih penting daripada orang lain dengan kontak yang lebih sedikit. Sentralitas adalah ukuran dalam level node sedangkan sentralisasi adalah ukuran dalam level jaringan.

Ada empat ukuran dalam sentralitas yang digunakan secara luas dalam analisis jaringan yaitu: derajat sentralitas (degree centrality), keantaraan(betweenness), kedekatan(closeness), dan eigenvector centrality.

Derajat sentralitas didefinisikan sebagai jumlah link yang incident atas suatu node (jumlah ikatan yang dimiliki node). Degree centrality CD(v) dari verteks u dalam graf tak berarh G = (V, E) didefinisikan sebagai: CD(v) = deg(u). Untuk graf G(V, E) dengan n verteks, derajat sentralitas CD(v) untuk verteks v adalah:

CD(v)

=

deg(v) n−1

(2.10)

Perhitungan derajat sentralitas diatas membutuhkan waktu kompleksiti O(| E |).

Jumlah sentralitas berasal dari definisi dasar dari shortest path antara pasangan verteks. Misalnya Closeness Centrality, terdekat berdasarkan jumlah jarak terpendek terhadap verteks-verteks yang lain. Contoh nyata dalam pemilihan

Universitas Sumatera Utara

12

lokasi yang cocok untuk mall dalam suatu kota dengan tujuan meminimumkan

jarak para konsumen. Oleh karena itu closeness centrality cC(u) untuk verteks u

didefinisikan sebagai:

cC (u) =

1 v∈V d(v, u)

(2.11)

Perhitungan closeness centrality menjadi aplikasi sederhana dari algoritma all pairs shortest path (APSP), yang memiliki algoritma standart seperti algoritma Floyd-Warshall yang memiliki waktu kompleksiti O(| V |3) (Floyd, 1962).

Sama halnya dengan Closeness Centrality, Betweennes Centrality menandai pentingnya verteks berdasarkan jumlah shortest path yang melalui nya. Jika ada dua node yang saling berdekatan, yaitu v dan w, ingin berinterkasi dan node u berada pada lintasan hubungan antara v dan w, maka u memiliki kontrol terhadap interaksi keduanya dan betweennes mengukur kontrol tersebut. Jika u berada pada lintasan dari beberapa interaksi maka u adalah sebuah node yang penting atau berpengaruh. Secara matematis betweennes centrality cB(u) dari verteks u adalah

cB(u) =
s∈V

t∈V

σst(u) σst

(2.12)

dimana σst adalah jumlah shortest path antara s dan t dan σst(u) adalah jumlah

shortest path antara s dan t dimana terdapat u didalamnya.

Untuk menghitung betwenees centrality dapat mengikuti modifikasi sederhana dari algoritma Dijkstra untuk menemukan sumber tunggal shortest path antara pasangan verteks. Proses ini membutuhkan total waktu O(| V |3). Selanjutnya fakta bahwa verteks v berada dalam shortest path antara s dan t jika dan hanya jika d(s, t) = d(s, v) + d(v, t) dan dalam kasus ini jumlah shortest path yang melalui u, diperoleh dari perkalian jumlah shortest path antara s, v dan v, t ekivalen dengan σst = σsvσvt. Fakta ini menyiratkan bahwa menghitung cB(u)∀u dalam waktu kompleksiti O(| V |3) secara keseluruhan.

Betwennes centrality cB dapat dihitung untuk setiap verteks dalam suatu graf berbobot G = (V, E) dalam O(| V || E | + | V |2 log | V |)

Prestige(martabat/wibawa) merupakan suatu pengukuran yang lebih halus terhadap peran seorang aktor dibandingkan dengan pengukuran centrality. Misalkan dapat bedakan ikatan yang diberikan dan ikatan yang diterima seperti

Universitas Sumatera Utara

13
relasi berarah. Seorang aktor yang prestige adalah aktor yang memiliki ikatan sebagai penerima (in-links). Perbedaan utama antara centrality dengan prestige adalah centrality fokus pada out-links sementara prestigue fokus pada in-links.

2.8 Distribusi Derajat(Degree Distribution)

Distribusi derjat (pk) adalah probabilitas node yang terpilih secara ran-

dom dalam jaringan dengan derajat k. Karena (pk) adalah probabilitas, maka

∞k=1(pk) = 1. Untuk jaringan tetap dengan n node, derajat distribusinya adalah

histogram

normalisasi

dengan

pk

=

nk n

dimana

nk

adalah

jumlah

derajat

dari

k

buah node. Oleh sebab itu jumlah derajat node dapat diperoleh dari distribusi

derajat selama nk = npk. Distribusi derajat mempunyai peran sentral dalam teori jaringan karena banyak perhitungan dalam jaringan yang mengharuskan untuk

mengetahui nilai pk. Misalnya derajat rata-rata jaringan dapat ditulis sebagai

∞
< k >= kpk
k=0

(2.13)

2.9 Clustering

Salah satu cara untuk menemukan himpunan verteks yang saling berkolerasi adalah dengan mempartisi graf. Partisi yang efektif selanjutnya akan menjadikan entitas dalam grup yang sama lebih berkolerasi satu sama lain daripada entitas antar grup yang berbeda. Clustering dapat menyajikan sembarang divisi atau verteks.

Misalkan G = (V, G) adalah graf tak berarah. Suatu cluster Ci ⊆ V adalah himpunan bagian tak kosong dari verteks-verteks. Suatu clustering ζ =

{C1, ..., Ck} dari G adalah partisi dari semua verteks kedalam cluster Ci. Himpunan E(Ci, Cj) terdiri atas semua sisi yang titik asalnya Ci dan titik tujuan-

nya dalam Cj.E(Ci) adalah himpunan sisi yang memiliki titik asal dan tujuan

dalam Ci. E(ζ) :=

k i=1

E

(Ci)

adalah

himpunan

sisi

intra-cluster

dan

E (ς )

:=

E\E(ς)himpunan sisi inter-cluster. Jumlah dari sisi intra-cluster dinotasikan de-

ngan m(C) dan jumlah inter-cluster oleh m(C). Suatu cluster Ci diidentifikasi

dengan induksi subgraf G yakni graf G[Ci] := (Ci, E(Ci)).

Universitas Sumatera Utara

14

Kualitas suatu clustering ditentukan berdasarkan nosi densitas node dalam suatu cluster dan nosi kejarangan anatara cluster yang berbeda. Kualitas ini didefinisikan berdasarkan dua fungsi pembantu. Misal A(G) adalah himpunan dari semua clustering yang mungkin dari G, dan misalkan f dan g adalah fungsi yang mengukur densitas didalam cluster dan kejarangan antara cluster secara berturut-turut sehingga;

f, g : A(G) → R+ ∪ {0}

(2.14)

Selanjutnya indeks kualitas dari clustering ζ didefinisikan sebagai:

index(ζ )

=

f(ζ) + g(ζ) max{f (ζ′) + g(ζ′) : ζ′

∈

A(G)}

(2.15)

Sebagian besar clustering trivial yakni partisi kedalam himpunan tunggal dan partisi kedalam hanya satu himpunan, akan memaksimumkan fungsi utilitas. Idealnya akan dicari clustering non trivial yang juga memaksimumkan fungsi utilitas, atau semaksimum mungkin. Beberapa cara memodelkan fungsi f, g dan clustering yang diperoleh.
Cara yang paling dasar untuk membagi graf ke dalam cluster dengan memaksimumkan bobot intra-cluster edge. Coverage κ(ζ) mengukur bobot dari sisi intracluster, dibandingkan dengan bobot semua sisi yakni:

f(ζ) =

w(e), g ≡ 0

e∈E (ζ )

(2.16)

Nilai maksimum dari indeks coverage adalah ketika tidak di cluster sama sekali, atau ketika sisinya intra-cluster. Oleh karena itu nilai kualitas diberikan oleh:

κ(ζ) =

e∈E(ζ) w(e) e∈E w(e)

(2.17)

Indeks performance mengkombinasikan dua fungsi untuk mengukur densitas f dan kejarangan g, mengobservasi semua pasangan node. Suatu pasangan node mungkin meningkatkan densitas cluster jika kedua node tersebut dalam satu cluster dan terhubung oleh sustu sisi(termasuk dalam f) atau meningkatkan kejarangan dari sisi inter-cluster jka kedua node terletak dalam cluster yang berbeda dan tidak terhubung oleh suatu sisi(termasuk dalam g). Dalam kedua situasi ini paradigma densitas intra-cluster dan kejarangan inter-cluster dipenuhi.

Universitas Sumatera Utara

15

k
f (ζ) := w(E(Ci))
i=1

(2.18)

dan

g(ζ) := ( M.[(u, v) ∈ E].[u ∈ Ci, v ∈ Cj, i = j])
u,v∈V

(2.19)

2.10 Koefisien Clustering dan Transitifitas
Dalam banyak jaringan ditemukan bahwa jika verteks A terhubung dengan verteks B dan verteks B dengan verteks C, sehingga mempertinggi probabilitas bahwa verteks A akan terhubung dengan verteks C. Dalam bahasa jaringan sosial, teman dari temanmu kemungkinan akan menjadi temanmu.

Definisi: 2.10 Misalkan suatu node i yang memiliki ki tetangga, dan terdapat ni edge diantara tetangga-tetangga nya. Selanjutnya koefisien clustering dari i didefinisian sebagai:


ni
Ci =  ki 0

ki > 1 ki = 0 atau 1

(2.20)

jadi persamaan diatas mengukur derajat transitifitas suatu graf, semakin tinggi nilainya mengimplikasikan bahwa teman dari teman kemungkinan besar dengan sendirinya akan menjadi teman, hal ini menuntun kepada struktur graf. Sebagai contoh perhatikan Gambar 2.2.

Gambar 2.2 Clustering Coefficient. Node X memiliki kX = 6 tetangga. Terdapat hanya nX = 5 edge antar tetangga. Sehingga Clustering coefficient lokal dari node X adalah nX /kX = 5/15 = 1/3
Universitas Sumatera Utara

16

Dalam istilah topologi jaringan, transitifitas berarti kehadiran segitiga dalam jumlah besar dalam jaringan, himpunan dari 3 verteks yang terhubung satu sama lain. Ini dapat diukur dengan mendefinisikan koefisien clustering C.

C

=

3x jumlah segitiga dalam jaringan jumlah connected triple dari verteks

(2.21)

dimana ”connected triple” terdiri dari 3 verteks yang terhubung oleh 2 atau 3 sisi tak berarah. Misalnya, suatu segitiga A, B, C membuat 3 triple ABC, BCA, dan CAB. Sebaliknya rantai dari node A, B, C yang terhubung dimana B terhubung dengan A dan C namun A tidak terhubung dengan C yaitu membentuk triplet tunggal terbuka. Faktor pengali 3 pada pembilang persamaan diatas menunjukkan fakta bahwa setiap segitiga dihitung tiga kali dalam perhitungan triple.
Salah satu teknik clustering adalah melibatkan graf partisi: Graf dipecah menjadi dua partisi atau komunitas yang kemudian dapat mempartisi dirinya sendiri. Beberapa ukuran berbeda dapat dioptimisasikan ketika graf dipartisi.
Clustering data secara umum adalah untuk menemukan grup homogen dimana kesamaan dalam grup diminimumkan dan kesamaan antar grup dimaksimalkan. Dalam (Han dan Kamber, 2006) metode clustering untuk data statis diklasifikasikan kedalam 5 kategori utama, metode partisi, metode hirearki, metode berdasarkan densitas, dan metode berdasarkan grid dan model.
Metode partisi membangun k partisi data. Partisi ini rapuh jika sebagian dan setiap objek dalam dataset diijinkan dalam hanya satu partisi. Namun dalan partisi fuzzy suatu objek dapat menjadi lebih dari satu partisi dengan probabilitas yang beragam.

2.11 Clique
Clique dalam suatu graf tak berarah adalah himpunan bagian dari titik sehingga setiap dua titik dalam suatu subset terhubung oleh sebuah sisi. Misalkan suatu graf tak berarah G = (V, E) dan graf G1 = (V1, E1) disebut suatu subgraf dari G, jika V1 ⊂ V , E1 ⊂ E dan untuk setiap sisi (vi, vj) ∈ E1, titik-titik vi, vj ∈ V . Suatu subgraf G1 disebut komplit, jika terdapat suatu sisi untuk setiap pasangan titik. Faktanya, clique adalah subgraf komplit, yang berarti bahwa di dalam clique, setiap anggotanya mempunyai ikatan langsung satu sama lain atau
Universitas Sumatera Utara

17 antar titik.
Suatu clique dikatakan maksimal, jika tidak mengandung clique yang lain. Jumlah clique dalam suatu graf sama dengan kardinalitas dari clique terbesar dalam sutu graf G dan diperoleh dengan menyelesaikan maksimum clique dari masalah NP-hard.
Universitas Sumatera Utara

BAB 3 JARINGAN SOSIAL DINAMIS
Dalam bab ini akan dibicarakan tentang definisi jaringan sosial dinamis dan properti-propertinya. Jaringan sosial dinamis tidak hanya memodelkan relasi antara manusia dalam interaksi interpersonal, tapi juga melihat perkembangan dari relasi ini, baik cara dan luasnya relasi tersebut yang disebabkan perubahan atas waktu. Pada umumnya jaringan dalam dunia nyata tidak statis atau selalu berubah atas waktu, dimana node mungkin bertambah atau berkurang dan link baru terbentuk atau hilang. Jaringan sosial dinamis dapat digunakan untuk memodelkan dan menganalisis hubungan manusia dalam beberapa skenario potensial: hubungan sosial informal dari individu antar keluarga atau teman, kolaborasi struktural pekerja dari perusahaan besar, dan lain-lain. Definisi dari jaringan sosial dinamis secara matematis adalah: Definisi 3.1: Jaringan sosial dinamis didefinisikan sebagai suatu graf inisial G dengan tak hingga rangkaian perubahan c1, ..., c∞, dimana setiap perubahan ci memiliki satu tipe berikut ini, penghapusan link, penghapusan node, penambahan link, dan penambahan node, yang dinotasikan dengan uv−, u−, uv+, dan u+ berturut-turut.
3.1 Properti Jaringan Dinamis
Hampir semua jaringan nyata yang luas berkembang atas waktu dengan penambahan dan pengurangan node dan edge. Model yang paling banyak akhirakhir ini menangkap perubahan proses perkembangan dengan menggabungkan dua ”conventional wisdom” (Leskovec, et al. (2007)):
1. Asumsi derajat rata-rata yang konstan. Derajat rata-rata node dalam jaringan yang tersisa konstan atas waktu (atau ekuivalen dengan jumlah edge yang berkembang secara linier dengan jumlah node).
2. Asumsi diameter berkembang dengan lambat. Diameter adalah fungsi yang berkembang dengan lambat, seperti dalam graf small-world.
Untuk memahami model jaringan sosial dinamis dalam bab ini akan terlebih dahulu diuraikan tentang jaringan random yang mendasari pemahaman tentang
18 Universitas Sumatera Utara

19
model dalam jaringan nyata, selanjutnya model Small-World yang diusulkan oleh Watts dan Strogatz(1998), dan model Scale-Free dari Barabasi dan Albert(1999).

3.2 Model Graf Random(Random Graph Model)

Induk dari semua model jaringan adalah model graf random Erdos dan Renyi (Bilgin dan Yener, 2006) yang merupakan model graf berkembang yang paling sederhana dan yang pertama. Setiap pasangan node memiliki kesamaan, dengan probabilitas dihubungkan suatu edge adalah p, dan k adalah derajat node dan < k > adalah rata-rata derajat node dalam graf, sedangkan pk adalah distribusi derajat yang menyatakan probabilitas terpilihnya secara random node yang berderajat k. Penelitian tentang model dasar ini telah menuntun kepada teori matematika yang kaya, namun model ini gagal menjelaskan banyak properti penting dari jaringan dunia nyata, jadi adalah penting untuk mencari model baru. Walaupun model ini gagal tapi model ini sangat penting karena banyak sifat-sifat dari graf random telah dipelajari seperti derajat distribusi, clustering coefficient, connected component, dan diameter graf.

Model ini memiliki perkiraan geodesic path length yang kecil, dengan orde

lnN, dimana N adalah jumlah node dalam graf. Ini tidak mendemonstrasikan

clustering local. Koefisien clustering (C) yang diharapkan dar suatu graf Erdos

Renyi adalah C =< k > /N, karena terdapat pk(k − 1)/2 sisi antara tetangga suatu node dengan derajat k, diluar dari jumlah terbesar yang mungkin dari

k(k − 1)/2. Oleh karena graf Erdos Renyi telah menghilangkan C untuk nilai

< k > tertentu dalam batas dari sistem berukuran besar. Ketika N → ∞, < k >

divergen

jika

p

tertentu,

dan

p

=

N −1

.

Probabilitas suatu node random memiliki derajat k adalah perkalian dari tiga

ketentuan yakni:

1. probabilitas bahwa k link ada atau pk

2. probabilitas bahwa (N − 1 − k) link yang tersisa hilang atau (1 − p)N−1−k

3. banyaknya cara dapat dipilih k link dari N − 1 link potensial yang dimiliki

suatu node atau

N −1 k

Universitas Sumatera Utara

20

Oleh karena itu distribusi derajat dari graf random mengikuti distribusi binomial

pk =

N −1 k

pk(1 − p)(N−1−k)

(3.1)

untuk jumlah node N yang besar dan rata-rata derajat < k > tertentu, distribusi

derajat lebih tepat diperkirakan mengikuti distribusi Poisson daripada distribusi

power law.

pk = e

< k >k k!

(3.2)

Persamaan (3.1) dan (3.2) adalah distribusi derajat dari jaringan random. Dis-

tribusi Binomial dan Poisson menggambarkan kuantitas yang sama, karena memi-

liki beberapa kesamaan properti.

Probabilitas dua tetangga menjadi terhubung satu sama lain, menunjuk sebagai clustering coefficient dari graf random ditunjukkan sebagai perbandingan kecil terhadap jaringan nyata. Clustering coefficient dari graf random dengan N verteks diberikan oleh:

p

=



(3.3)

dimana < k > adalah rata-rata derajat node dalam jaringan. Metrik yang lain yang sudah dibicarakan dalam tulisan ini adalah diameter jaringan yang didefinisikan sebagai shortest path yang terpanjang dalam jaringan. Diameter dari jaringan random diberikan oleh persamaan berikut:

dmax

=

log N log < k

>

(3.4)

dari persamaan (3.4) jumlah verteks dalam jaringan meningkat maka diameter jaringan juga secara perlahan meningkat.

3.3 Model Small-World dari Watts dan Strogatz dan Scale Free dari Barabasi dan Albert
Banyak jaringan dalam dunia nyata menunjukkan properti dari small world (Watts dan Strogatz, 1998), terdapat suatu path yang pendek dari setiap node ke node yang lain dalam graf. Misalnya dalam jaringan sosial dimana suatu sisi merepresentasikan persahabatan, terdapat short path length dari setiap orang ke orang lain dalam dunia, yang membangkitkan ide tentang ’six degrees of separation’. Banyak jenis jaringan yang menunjukkan properti small world, termasuk
Universitas Sumatera Utara

21
peta jalan, electric power grid, metabolite processing networks, dan jaringan neuron otak. Dalam banyak jaringan dunia nyata terdapat juga level yang lebih tinggi dari clustering dari yang ditemukan di graf random. Model Watts dan Strogatz mencoba menghitung properti small world dan mengclustering dengan cara sesederhana mungkin. Namun model menghasilkan graf yang mempunyai derajat homogen jadi tidak memiliki hub atau distribusi derajat scale free.
Terdapat banyak jaringan dalam dunia nyata yang strukturnya berubah, diatur oleh perkembangan secara dinamis dari sistem, misalnya dalam jaringan sosial ketika individu baru bergabung atas waktu. Model graf dibangun dengan mencoba menghasilkan proses perkembangan jaringan dalam dunia nyata. Model Barabasi dan Albert dari jaringan yang berkembang adalah salah satu yang pertama yang menghasilkan jaringan melalui penambahan node dan sisi pada setiap langkah waktu (Barabasi dan Albert, 1999). Distribusi derajat dari jaringan adalah scale-free, mencerminkan banyak jaringan dunia nyata seperti world wide web, jaringan kutipan karya ilmiah, dan jaringan aktor Hollywood. Distribusi derajat p(k), dimana k adalah derajat node, mengikuti distribusi power law P (k) ∼ k−γ .
Graf dalam model ini dibangun menggunakan preferential attachment rules yang artinya node dengan derajat yang lebih tinggi lebih cenderung menerima sisi baru daripada node dengan derajat rendah. Sayangnya model preferential attachment rules tidak dapat menerima atau menambahkan sisi diantara node yang lama.
3.4 Model Jaringan Sosial
Misalkan terdapat sebuah jaringan sosial dalam bentuk jaringan pertemanan dimana individu sebagai node dan link tak berarah antar individu yang saling mengenal. Jaringan pertemanan berkembang dengan terbentuknya kenalan baru antar individu dan individu-individu ini akan bergabung dan meninggalkan jaringan.
Diasumsikan bahwa mekanisme pusat dari kedinamisan jaringan pertemanan ini