Traveling Salesman Problem dengan Kendala Time Windows
TRAVELING SALESMAN PROBLEM DENGAN
KENDALA TIME WINDOWS
ACHMAD KAMILLUDDIN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Traveling Salesman
Problem dengan Kendala Time Windows adalah benar karya saya dengan arahan
dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2014
Achmad Kamilluddin
NIM G54100004
ABSTRAK
ACHMAD KAMILLUDDIN. Traveling Salesman Problem dengan Kendala Time
Windows. Dibimbing oleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan ELIS KHATIZAH.
Pendistribusian barang menggunakan satu kendaraan dari suatu depot ke
beberapa tempat yang memiliki batas waktu pelayanan memerlukan rute
perjalanan yang efisien. Permasalahan ini dapat dimodelkan sebagai Traveling
Salesman Problem dengan Time Windows menggunakan Integer Linear
Programming. Model selanjutnya diimplementasikan menggunakan software
LINGO 11.0 untuk kasus pengiriman barang ke sepuluh tempat dengan kendala
antara lain: (1) salesman tiba dan meninggalkan setiap tempat yang dikunjungi
tepat sekali, (2) setiap tempat yang dikunjungi salesman memunyai batas awal
dan batas akhir pelayanan. Implementasi model menghasilkan total jarak
minimum perjalanan salesman dari depot ke seluruh tempat yang harus
dikunjungi hingga kembali ke depot.
Kata kunci: integer linear programming, time windows, traveling salesman
problem
ABSTRACT
ACHMAD KAMILLUDDIN. Traveling Salesman Problem with Time Windows.
Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and ELIS KHATIZAH.
Distribution of products using a vehicle from a depot to several places that
has a time limit of services requires an efficient route. This distribution problem
can be modeled as a Traveling Salesman Problem with Time Windows by using
Integer Linear Programming. The model is then implemented by using LINGO
11.0 for the case of delivery products from depot to ten customers. We consider
the following constraints: (1) a salesman visited and left each customer exactly
once, (2) each customer has limited time of service given in an interval of time.
Implementation of the model provides a total minimum distance traveling from
the depot to all customers and return to the depot.
Keywords: integer linear programming, time windows, traveling salesman
problem
TRAVELING SALESMAN PROBLEM DENGAN
KENDALA TIME WINDOWS
ACHMAD KAMILLUDDIN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Traveling Salesman Problem dengan Kendala Time Windows
Nama
: Achmad Kamilluddin
NIM
: G54100004
Disetujui oleh
Drs Prapto Tri Supriyo, MKom
Pembimbing I
Elis Khatizah, SSi, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala nikmat,
rahmat, karunia, dan pertolongan-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil
diselesaikan. Judul karya ilmiah ini ialah Traveling Salesman Problem dengan
Kendala Time Windows. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan
beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1 Ibu dan Bapak tercinta yang selalu memberikan yang terbaik, doa serta
dukungan penuh ketulusan, Siti Nurajijah, Khairullah, Iin Sonjaya, dan Asri
Desy Yanti selaku kakak, Fikriatunnisa selaku adik, Faiz, Fikri, dan Haziqa
selaku keponakan yang memotivasi penulis untuk menyelesaikan karya
ilmiah ini,
2 Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku dosen pembimbing I yang senantiasa
meluangkan waktunya memberikan bimbingan, arahan, dan motivasi kepada
penulis,
3 Elis Khatizah, SSi, MSi selaku dosen pembimbing II yang senantiasa
meluangkan waktunya memberikan bimbingan, arahan, dan motivasi kepada
penulis,
4 Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu,
saran, serta dukungan,
5 seluruh dosen Departemen Matematika IPB yang telah membimbing dan
memberikan ilmunya selama ini,
6 para staf Departemen Matematika IPB,
7 Syafi’ih, Irfan C, Adi, Dadan, Delis, Lilis, Rizky, Tri, Ika S, Imad, Hanif,
Leny, Ando, Ayun, Vina, Kiki, Fikri, Rendi, Eric, Risma, Nurul, Anis, Putri,
Zia, Fajar, dan seluruh sahabat Matematika 47,
8 kakak-kakak Matematika 46 dan 45,
9 Edo, Taufik, Wahyu, Hasan, Hariz, Asnan, Basit, dan semua sahabat FMIPA
yang selalu memberi dukungan,
10 adik-adik Matematika 48 dan 49.
Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak
kekurangan dan masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis
mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar karya ilmiah ini dapat terus
menambah wawasan pembaca sekalian. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi
dunia ilmu pengetahuan, khususnya bidang Matematika.
Bogor, Oktober 2014
Achmad Kamilluddin
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
x
DAFTAR GAMBAR
x
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
PEMBAHASAN
2
Deskripsi Masalah
2
Formulasi Masalah
2
IMPLEMENTASI MODEL
5
SIMPULAN DAN SARAN
8
Simpulan
8
Saran
8
DAFTAR PUSTAKA
9
LAMPIRAN
10
RIWAYAT HIDUP
20
DAFTAR TABEL
1
2
3
Jarak antartempat
Lama pelayanan dan time windows di setiap tempat
Jadwal perjalanan dan pelayanan
5
6
8
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
Perjalanan salesman yang berupa subtour
Perjalanan salesman yang berupa tour
Rute perjalanan salesman
4
4
7
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Distribusi barang merupakan suatu kegiatan yang bertujuan menyalurkan
barang dari pihak produsen ke pihak konsumen. Masalah yang sering terjadi
dalam pendistribusian barang adalah menentukan rute perjalanan yang efisien agar
barang tersebut sampai di tempat tujuan. Pemilihan rute perjalanan yang kurang
tepat akan menimbulkan waktu tempuh yang relatif lama dalam pendistribusian
barang sehingga biaya operasional distribusi yang dikeluarkan akan semakin
mahal. Akibatnya, harga barang di setiap tempat akan naik dan minat serta daya
beli konsumen terhadap barang tersebut akan turun.
Time windows, atau sering dikenal sebagai selang waktu pelayanan,
merupakan kendala waktu yang dimiliki oleh setiap tempat untuk menerima
pelayanan. Selang waktu pelayanan terdiri dari batas awal pelayanan dan batas
akhir pelayanan. Batas awal pelayanan adalah waktu dimulainya pelayanan di
suatu tempat, sedangkan batas akhir pelayanan adalah waktu berakhirnya
pelayanan di tempat tersebut.
Masalah pendistribusian barang dapat diselesaikan dengan model Traveling
Salesman Problem (TSP). TSP adalah suatu perjalanan salesman dari suatu
tempat asal ke n-tempat tepat satu kali. Dalam TSP, salesman tidak diperbolehkan
kembali ke tempat asal sebelum semua tempat dikunjungi dalam satu kali
perjalanan. Fungsi objektif TSP adalah meminimumkan jarak total rute yang
dikunjungi salesman.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini ialah memformulasikan Traveling Salesman
Problem dengan kendala batas waktu (time windows) menggunakan ILP (Integer
Linear Programming). Selanjutnya, model diimplementasikan pada suatu kasus
dengan menggunakan bantuan software LINGO 11.0.
TINJAUAN PUSTAKA
Pendistribusian barang dari suatu produsen ke beberapa konsumen dapat
diformulasikan sebagai model Traveling Salesman Problem (TSP). TSP bertujuan
menemukan rute perjalanan yang mungkin agar semua tempat (kota) dapat
dikunjungi dengan menghasilkan jarak yang minimum (Davendra 2010).
Secara umum, TSP diklasifikasikan sebagai Symmetric Traveling Salesman
Problem (sTSP), Asymmetric Traveling Salesman Problem (aTSP), dan Multi
Traveling Salesman Problem (mTSP). Pengertian sTSP adalah masalah untuk
menemukan jarak minimum dari rute perjalanan yang dilakukan salesman untuk
mengunjungi beberapa tempat hingga berakhir di tempat asal. Dalam sTSP jarak
tempat i ke tempat j sama dengan jarak tempat j ke tempat i, sedangkan dalam
2
aTSP jarak tempat i ke tempat j tidak sama dengan jarak tempat j ke tempat i
(Davendra 2010).
Masalah mTSP sering dikenal dengan istilah Vehicle Routing Problem
(VRP). Pada TSP, terdapat sejumlah tempat dan seorang salesman yang harus
menemukan jalur terpendek untuk mengunjungi setiap tempat tepat satu kali dan
selesai di tempat asal, sedangkan pada mTSP, terdapat beberapa salesman yang
akan mengunjungi sejumlah tempat tepat satu kali. Secara umum tempat-tempat
pada TSP merupakan pelanggan-pelanggan yang memiliki permintaan terhadap
barang dan jasa. Salesman pada mTSP dapat berupa kendaraan yang memiliki
kapasitas tertentu sehingga total permintaan dari semua pelanggan tidak boleh
melebihi kapasitas kendaraan dan setiap pelanggan hanya dikunjungi satu kali
(Benavent dan Antonio 2009).
TSP dengan time windows merupakan perkembangan dari TSP. Model TSP
dengan time windows adalah masalah untuk mencari biaya perjalanan minimal
dari sekumpulan tempat. Perjalanan tersebut harus berawal dan berakhir di suatu
depot tertentu dan tiap tempat harus dikunjungi pada batas time windows mereka
masing-masing. Biaya TSP dengan kendala time windows biasanya berhubungan
dengan total jarak perjalanan atau total waktu yang terdiri atas waktu perjalanan,
waktu tunggu, serta waktu pelayanan. Time windows [
menunjukkan batas
waktu pelayanan tempat i, dengan batas awal dan batas akhir
Kedatangan
sebelum
diperbolehkan tetapi mengakibatkan adanya waktu tunggu sampai
batas time windows, tetapi tidak diperbolehkan kedatangan sesudah (Pesant et
al. 1998).
Perjalanan dalam TSP harus membentuk sebuah tour dan tidak
diperbolehkan membentuk subtour. Tour adalah suatu perjalanan ke setiap simpul
(kota) bermula dari simpul awal (kota asal) dan berakhir di simpul awal (Foulds
1992), sedangkan subtour adalah suatu perjalanan yang hanya mengunjungi
beberapa tempat.
PEMBAHASAN
Deskripsi Masalah
Masalah pendistribusian barang yang dimaksud dalam karya ilmiah ini
adalah masalah menentukan rute perjalanan salesman dari suatu tempat asal ke
beberapa tempat hingga kembali ke tempat asal dengan meminimumkan jarak
yang dilalui salesman dan mempertimbangkan kendala time windows. Time
windows pada setiap tempat bisa berbeda-beda sehingga salesman hanya dapat
melakukan pelayanan jika sudah masuk batas time windows.
Formulasi Masalah
Masalah distribusi barang dengan model TSP time windows menggunakan
indeks, parameter, dan variabel keputusan sebagai berikut:
3
Indeks
i, j= 1, 2,….., n merupakan indeks untuk tempat.
Parameter
= jarak dari tempat i ke tempat j
= waktu mulai pelayanan salesman di tempat i
= lamanya perjalanan dari tempat i ke tempat j
= lamanya pelayanan di tempat i
= kecepatan kendaraan yang digunakan salesman dari tempat i ke tempat j
= time windows yang menunjukkan batas awal pelayanan di tempat i
= time windows yang menunjukkan batas akhir pelayanan di tempat i
= konstanta positif yang nilainya relatif besar
Variabel Keputusan
i a
{
ainnya
Fungsi Objektif
a
an
r a anan ari
min z = ∑ ∑
a
a
,
yaitu meminimumkan total jarak perjalanan salesman dari tempat asal ke
beberapa tempat hingga kembali ke tempat asal.
Kendala
Salesman tiba di setiap tempat tepat satu kali.
∑
= 1 (untuk j= 1,2,3,…,n).
1
Salesman meninggalkan setiap tempat tepat satu kali.
∑
= 1 (untuk i= 1,2,3,…,n).
2
Tidak adanya subtour yang takfisibel dan terbentuknya tour yang fisibel.
(untuk i≠j ; i=2,3,…n; j=2,3,…,n) untuk semua
= 0 atau 1, untuk semua ≥ 0.
3
(Winston 2004)
4
Lama perjalanan dari tempat i ke tempat j.
5
Waktu mulai pelayanan salesman di tempat j.
+
, i, j
6
Batas awal pelayanan (time windows) di tempat i.
, i {1,2,…n}.
{1,2,….n}.
4
7
Batas akhir pelayanan (time windows) di tempat i .
, i {1,2,…n}.
8
Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu.
{0,1}, i, j {1,2,…n}.
Sebagai ilustrasi dari kendala 3, misalkan diberikan kota 1, 2, 3, 4, dan 5 yang akan
dikunjungi oleh salesman seperti graf di bawah ini :
3
1
5
2
4
Gambar 1 Perjalanan salesman yang berupa subtour
Gambar 1 merupakan suatu subtour yang terdiri dari 1-5-2-1 dan 3-4-3.
Pada Gambar 1 diperoleh nilai
. Misalkan
diambil subtour yang tidak memuat kota 1 (3-4-3). Representasi kendala 3
terhadap arcs dalam subtour ini adalah:
dan
menghasilkan
.
Karena
maka
diperoleh hasil yang kontradiksi
sehingga perjalanan yang memuat suatu subtour merupakan solusi yang takfisibel.
1
5
3
2
4
Gambar 2 Perjalanan salesman yang berupa tour
Pada Gambar 2 asumsikan bahwa kota 1 menjadi kota pertama yang
dikunjungi salesman dan selanjutnya akan mengunjungi semua kota hingga
kembali ke kota 1. Misalkan = urutan perjalanan kota i yang dikunjungi,
bertujuan agar kendala 3 terpenuhi.
Sebagai ilustrasi, misalkan diberikan tour seperti pada Gambar 2, yaitu 1-34-2-5-1 dan
, sehingga didapat
Akan dibuktikan kendala 3 terpenuhi.
Pertama, pemilihan untuk sebuah arc dengan
Sebagai contoh untuk
adalah
. Diketahui bahwa
dan
sehingga
menghasilkan -2+5
. Kedua, pemilihan tour yang memenuhi
5
kendala
dan
Sebagai contoh untuk
maka menghasilkan 4-3
adalah
.
dengan
IMPLEMENTASI MODEL
Misalkan dalam masalah pendistribusian air mineral, salesman akan
mengirim barang ke beberapa tempat. Terdapat 10 tempat yang akan dikunjungi.
Salesman menginginkan semua tempat yang dilalui olehnya merupakan rute
terpendek dan memenuhi kendala time windows yang dimiliki oleh setiap tempat.
Data yang diberikan merupakan data hipotetik yang dapat digunakan untuk
keperluan simulasi. Asumsi yang digunakan pada karya ilmiah ini ialah sebagai
berikut:
1 jarak antartempat adalah simetrik, artinya jarak dari tempat i ke tempat j sama
dengan jarak dari tempat j ke tempat i,
2 salesman menggunakan satu kendaraan dengan kecepatan ( ) 40 km/jam,
3 waktu mulai pelayanan di tempat 1 (
ialah pukul 06.00.
Tabel 1 Jarak antartempat (dalam kilometer)
Tempat
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0
5
2
6
3
7
8
10
1
2
2
5
0
1
3
4
2
3
1
5
6
3
2
1
0
7
3
2
1
4
8
9
4
6
3
7
0
1
2
4
7
8
7
5
3
4
3
1
0
3
1
2
5
4
6
7
2
2
2
3
0
8
9
10
1
7
8
3
1
4
1
8
0
3
2
1
8
10
1
4
7
2
9
3
0
10
9
9
1
5
8
8
5
10
2
10
0
7
10
2
6
9
7
4
1
1
9
7
0
6
Tabel 2 Lama pelayanan dan time windows di setiap tempat
Lama pelayanan
Tempat
Time windows
(dalam jam)
1
1
05.00-24.00
2
1
06.00-12.00
3
2
06.00-20.00
4
1
12.00-20.00
5
1
10.00-15.00
6
2
15.00-21.00
7
2
10.00-21.00
8
1
06.00-21.00
9
2
12.00-18.00
10
1
08.00-21.00
Permasalahan pendistribusian air mineral ke 10 tempat yang akan dikunjungi oleh
salesman dapat diformulasikan sebagai berikut:
Indeks
i,j = 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10 merupakan indeks untuk tempat.
Parameter
= jarak dari tempat i ke tempat j
= waktu mulai pelayanan salesman di tempat i
= lamanya perjalanan dari tempat i ke tempat j
= lamanya pelayanan di tempat i
= 40 km/jam
= time windows yang menunjukkan batas awal pelayanan di tempat i
= time windows yang menunjukkan batas akhir pelayanan di tempat i
= konstanta positif yang nilainya relatif besar = 100000
Variabel Keputusan
{
i a
ainnya
a
an
r a anan ari
a
a
7
Kendala
1 Salesman tiba di setiap tempat tepat satu kali.
∑
= 1 (untuk j= 1,2,3,…,10).
2 Salesman meninggalkan setiap tempat tepat satu kali.
∑
= 1 (untuk i= 1,2,3,…,10).
3 Tidak adanya subtour yang takfisibel dan terbentuknya tour yang fisibel.
(untuk i≠j ; i=2,3,…10; j=2,3,…,10) n
= 0 atau 1, untuk semua ≥ 0.
4 Lama perjalanan dari tempat i ke tempat j.
5 Waktu mulai pelayanan salesman di tempat j.
+
, i, j
{1,2,….10}.
6 Batas awal pelayanan (time windows) di tempat i.
, i {1,2,…10}.
7 Batas akhir pelayanan (time windows) di tempat i .
i {1,2,…10}.
8 Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu.
{0,1} , i, j {1,2,…10}.
Penyelesaian TSP pada karya ilmiah ini dilakukan dengan bantuan
software LINGO 11.0. Sintaks program dan hasil komputasi dicantumkan pada
Lampiran 1. Solusi yang didapat adalah solusi optimal dengan nilai fungsi objektif
22 kilometer untuk 10 tempat yang dikunjungi oleh salesman.
1
10
3
6
2
4
8
9
5
7
Gambar 3 Rute perjalanan salesman
a
8
Tabel 3 Jadwal perjalanan dan pelayanan
Tempat
Time
windows
[
Lamanya
pelayanan
(
(dalam
jam)
Waktu
mulai
pelayanan
(
Waktu
berakhir
pelayanan
Lamanya
perjalanan
ke tempat
berikutnya
( )
(dalam
menit)
1 (depot)
3
2
8
5
7
9
4
6
10
05.00-24.00
06.00-20.00
06.00-12.00
06.00-21.00
10.00-15.00
10.00-21.00
12.00-18.00
12.00-20.00
15.00-21.00
08.00-21.00
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
06.00.00
07.03.00
09.04.30
10.06.00
11.09.00
12.10.30
14.13.30
16.25.30
17.28.30
19.30.00
07.00.00
09.03.00
10.04.30
11.06.00
12.09.00
14.10.30
16.13.30
17.25.30
19.28.30
20.30.00
3
1.5
1.5
3
1.5
3
12
3
1.5
3
Dari Tabel 4 terlihat bahwa rute perjalanan berawal dari tempat 1 atau
depot, dengan waktu mulai pelayanan di tempat 1 pukul 06.00, lamanya
pelayanan 1 jam, waktu berakhirnya pelayanan pukul 7.00, perjalanan dari tempat
1 ke tempat 3 selama 3 menit, dan time windows di tempat 1 terpenuhi.
Selanjutnya perjalanan dilanjutkan ke tempat 3, dengan waktu mulai pelayanan
pukul 7.03, lamanya pelayanan 2 jam, waktu berakhirnya pelayanan pukul 9.03,
perjalanan dari tempat 3 ke tempat 2 selama 1 menit 30 detik, dan time windows
di tempat 3 terpenuhi. Demikian selanjutnya untuk rute perjalanan berikutnya.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Model TSP dengan time windows dapat diformulasikan sebagai model
ILP. Model ini bertujuan meminimumkan total jarak yang ditempuh salesman dari
tempat asal ke beberapa tempat tepat satu kali hingga kembali ke tempat asal dan
memenuhi kendala time windows.
Implementasi model pada suatu kasus pendistribusian air mineral dengan
data hipotetik menggunakan bantuan software LINGO 11.0 menghasilkan rute
dengan total jarak minimum 22 kilometer.
Saran
Pada karya ilmiah ini, data yang digunakan merupakan data hipotetik.
Penelitian ini dapat dikembangkan dengan memperhitungkan maksimum jumlah
9
tempat yang dapat dikunjungi oleh salesman dalam waktu satu hari dengan
mempertimbangkan jarak, kecepatan, dan time windows.
DAFTAR PUSTAKA
Benavent E, Antonio M. 2009. A polyhedral study of the multiple traveling
salesman problem. Universtat de Valencia. 1:1-34.
Davendra D. 2010. Traveling Salesman Problem, Theory and Applications. Rijeka
(HR): Intech.
Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York (US): Springer-Verlag.
Pesant G, Gendreau M, Potvin J-Y, dan Rousseau J-M. 1998. An exact constraint
logic programming algorithm for the travelling salesman problem with time
windows. Transportation Science. 32(1):12-29.
Winston WL. 2004. Operations Research: Applications and Algorithms. Ed ke-4.
New York (US): Duxbury.
10
Lampiran 1
Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam menyelesaikan
Traveling Salesman Problem dengan kendala time windows
MODEL:
SETS:
CITY/1..10/:U,S,A,B,L;
LINK(CITY,CITY):DIST,X,V,T;
!
S= WAKTU MULAI PELAYANAN
A= BATAS AWAL TIME WINDOWS
B= BATAS AKHIR TIME WINDOWS
L= LAMANYA PELAYANAN ;
ENDSETS
DATA:
!JARAK;
DIST= 0 5 2 6 3 7 8 10 1 2
5 0 1 3 4 2 3 1 5 6
2 1 0 7 3 2 1 4 8 9
6 3 7 0 1 2 4 7 8 7
3 4 3 1 0 3 1 2 5 4
7 2 2 2 3 0 8 9 10 1
8 3 1 4 1 8 0 3 2 1
10 1 4 7 2 9 3 0 10 9
1 5 8 8 5 10 2 10 0 7
2 6 9 7 4 1 1 9 7 0;
!BATAS AWAL TIME WINDOWS;
A= 5 6 6 12 10 15 10 6 12 8;
! BATAS AKHIR TIME WINDOWS;
B=24 12 20 20 15 21 21 21 18 21;
!LAMANYA PELAYANAN;
L= 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1;
V=40;
ENDDATA
M=100000;
S(1)=6;
! JUMLAH KOTA;
N=@SIZE(CITY);
!FUNGSI OBJEKTIF, MEMINIMUMKAN TOTAL JARAK YANG DILAKUKAN
SALESMAN;
MIN=@SUM(LINK:DIST*X);
!MEMASTIKAN BAHWA SALESMAN TIBA SATU KALI DI SETIAP KOTA;
@FOR(CITY(K):@SUM(CITY(I):X(I,K))=1;);
!MEMASTIKAN SALESMAN MENINGGALKAN SETIAP KOTA 1 KALI;
@FOR(CITY(K):@SUM(CITY(J):X(K,J))=1;);
!MEMASTIKAN TIDAK ADANYA SUBTOUR YANG INFISIBEL DAN
TERBENTUKNYA TOUR YANG FISIBEL ;
@FOR(CITY(K):@FOR(CITY(J)|J#NE#1#AND#K#NE#1:U(J)U(K)+N*X(J,K)
KENDALA TIME WINDOWS
ACHMAD KAMILLUDDIN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Traveling Salesman
Problem dengan Kendala Time Windows adalah benar karya saya dengan arahan
dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2014
Achmad Kamilluddin
NIM G54100004
ABSTRAK
ACHMAD KAMILLUDDIN. Traveling Salesman Problem dengan Kendala Time
Windows. Dibimbing oleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan ELIS KHATIZAH.
Pendistribusian barang menggunakan satu kendaraan dari suatu depot ke
beberapa tempat yang memiliki batas waktu pelayanan memerlukan rute
perjalanan yang efisien. Permasalahan ini dapat dimodelkan sebagai Traveling
Salesman Problem dengan Time Windows menggunakan Integer Linear
Programming. Model selanjutnya diimplementasikan menggunakan software
LINGO 11.0 untuk kasus pengiriman barang ke sepuluh tempat dengan kendala
antara lain: (1) salesman tiba dan meninggalkan setiap tempat yang dikunjungi
tepat sekali, (2) setiap tempat yang dikunjungi salesman memunyai batas awal
dan batas akhir pelayanan. Implementasi model menghasilkan total jarak
minimum perjalanan salesman dari depot ke seluruh tempat yang harus
dikunjungi hingga kembali ke depot.
Kata kunci: integer linear programming, time windows, traveling salesman
problem
ABSTRACT
ACHMAD KAMILLUDDIN. Traveling Salesman Problem with Time Windows.
Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and ELIS KHATIZAH.
Distribution of products using a vehicle from a depot to several places that
has a time limit of services requires an efficient route. This distribution problem
can be modeled as a Traveling Salesman Problem with Time Windows by using
Integer Linear Programming. The model is then implemented by using LINGO
11.0 for the case of delivery products from depot to ten customers. We consider
the following constraints: (1) a salesman visited and left each customer exactly
once, (2) each customer has limited time of service given in an interval of time.
Implementation of the model provides a total minimum distance traveling from
the depot to all customers and return to the depot.
Keywords: integer linear programming, time windows, traveling salesman
problem
TRAVELING SALESMAN PROBLEM DENGAN
KENDALA TIME WINDOWS
ACHMAD KAMILLUDDIN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Traveling Salesman Problem dengan Kendala Time Windows
Nama
: Achmad Kamilluddin
NIM
: G54100004
Disetujui oleh
Drs Prapto Tri Supriyo, MKom
Pembimbing I
Elis Khatizah, SSi, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala nikmat,
rahmat, karunia, dan pertolongan-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil
diselesaikan. Judul karya ilmiah ini ialah Traveling Salesman Problem dengan
Kendala Time Windows. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan
beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1 Ibu dan Bapak tercinta yang selalu memberikan yang terbaik, doa serta
dukungan penuh ketulusan, Siti Nurajijah, Khairullah, Iin Sonjaya, dan Asri
Desy Yanti selaku kakak, Fikriatunnisa selaku adik, Faiz, Fikri, dan Haziqa
selaku keponakan yang memotivasi penulis untuk menyelesaikan karya
ilmiah ini,
2 Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku dosen pembimbing I yang senantiasa
meluangkan waktunya memberikan bimbingan, arahan, dan motivasi kepada
penulis,
3 Elis Khatizah, SSi, MSi selaku dosen pembimbing II yang senantiasa
meluangkan waktunya memberikan bimbingan, arahan, dan motivasi kepada
penulis,
4 Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu,
saran, serta dukungan,
5 seluruh dosen Departemen Matematika IPB yang telah membimbing dan
memberikan ilmunya selama ini,
6 para staf Departemen Matematika IPB,
7 Syafi’ih, Irfan C, Adi, Dadan, Delis, Lilis, Rizky, Tri, Ika S, Imad, Hanif,
Leny, Ando, Ayun, Vina, Kiki, Fikri, Rendi, Eric, Risma, Nurul, Anis, Putri,
Zia, Fajar, dan seluruh sahabat Matematika 47,
8 kakak-kakak Matematika 46 dan 45,
9 Edo, Taufik, Wahyu, Hasan, Hariz, Asnan, Basit, dan semua sahabat FMIPA
yang selalu memberi dukungan,
10 adik-adik Matematika 48 dan 49.
Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak
kekurangan dan masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis
mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar karya ilmiah ini dapat terus
menambah wawasan pembaca sekalian. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi
dunia ilmu pengetahuan, khususnya bidang Matematika.
Bogor, Oktober 2014
Achmad Kamilluddin
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
x
DAFTAR GAMBAR
x
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
PEMBAHASAN
2
Deskripsi Masalah
2
Formulasi Masalah
2
IMPLEMENTASI MODEL
5
SIMPULAN DAN SARAN
8
Simpulan
8
Saran
8
DAFTAR PUSTAKA
9
LAMPIRAN
10
RIWAYAT HIDUP
20
DAFTAR TABEL
1
2
3
Jarak antartempat
Lama pelayanan dan time windows di setiap tempat
Jadwal perjalanan dan pelayanan
5
6
8
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
Perjalanan salesman yang berupa subtour
Perjalanan salesman yang berupa tour
Rute perjalanan salesman
4
4
7
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Distribusi barang merupakan suatu kegiatan yang bertujuan menyalurkan
barang dari pihak produsen ke pihak konsumen. Masalah yang sering terjadi
dalam pendistribusian barang adalah menentukan rute perjalanan yang efisien agar
barang tersebut sampai di tempat tujuan. Pemilihan rute perjalanan yang kurang
tepat akan menimbulkan waktu tempuh yang relatif lama dalam pendistribusian
barang sehingga biaya operasional distribusi yang dikeluarkan akan semakin
mahal. Akibatnya, harga barang di setiap tempat akan naik dan minat serta daya
beli konsumen terhadap barang tersebut akan turun.
Time windows, atau sering dikenal sebagai selang waktu pelayanan,
merupakan kendala waktu yang dimiliki oleh setiap tempat untuk menerima
pelayanan. Selang waktu pelayanan terdiri dari batas awal pelayanan dan batas
akhir pelayanan. Batas awal pelayanan adalah waktu dimulainya pelayanan di
suatu tempat, sedangkan batas akhir pelayanan adalah waktu berakhirnya
pelayanan di tempat tersebut.
Masalah pendistribusian barang dapat diselesaikan dengan model Traveling
Salesman Problem (TSP). TSP adalah suatu perjalanan salesman dari suatu
tempat asal ke n-tempat tepat satu kali. Dalam TSP, salesman tidak diperbolehkan
kembali ke tempat asal sebelum semua tempat dikunjungi dalam satu kali
perjalanan. Fungsi objektif TSP adalah meminimumkan jarak total rute yang
dikunjungi salesman.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini ialah memformulasikan Traveling Salesman
Problem dengan kendala batas waktu (time windows) menggunakan ILP (Integer
Linear Programming). Selanjutnya, model diimplementasikan pada suatu kasus
dengan menggunakan bantuan software LINGO 11.0.
TINJAUAN PUSTAKA
Pendistribusian barang dari suatu produsen ke beberapa konsumen dapat
diformulasikan sebagai model Traveling Salesman Problem (TSP). TSP bertujuan
menemukan rute perjalanan yang mungkin agar semua tempat (kota) dapat
dikunjungi dengan menghasilkan jarak yang minimum (Davendra 2010).
Secara umum, TSP diklasifikasikan sebagai Symmetric Traveling Salesman
Problem (sTSP), Asymmetric Traveling Salesman Problem (aTSP), dan Multi
Traveling Salesman Problem (mTSP). Pengertian sTSP adalah masalah untuk
menemukan jarak minimum dari rute perjalanan yang dilakukan salesman untuk
mengunjungi beberapa tempat hingga berakhir di tempat asal. Dalam sTSP jarak
tempat i ke tempat j sama dengan jarak tempat j ke tempat i, sedangkan dalam
2
aTSP jarak tempat i ke tempat j tidak sama dengan jarak tempat j ke tempat i
(Davendra 2010).
Masalah mTSP sering dikenal dengan istilah Vehicle Routing Problem
(VRP). Pada TSP, terdapat sejumlah tempat dan seorang salesman yang harus
menemukan jalur terpendek untuk mengunjungi setiap tempat tepat satu kali dan
selesai di tempat asal, sedangkan pada mTSP, terdapat beberapa salesman yang
akan mengunjungi sejumlah tempat tepat satu kali. Secara umum tempat-tempat
pada TSP merupakan pelanggan-pelanggan yang memiliki permintaan terhadap
barang dan jasa. Salesman pada mTSP dapat berupa kendaraan yang memiliki
kapasitas tertentu sehingga total permintaan dari semua pelanggan tidak boleh
melebihi kapasitas kendaraan dan setiap pelanggan hanya dikunjungi satu kali
(Benavent dan Antonio 2009).
TSP dengan time windows merupakan perkembangan dari TSP. Model TSP
dengan time windows adalah masalah untuk mencari biaya perjalanan minimal
dari sekumpulan tempat. Perjalanan tersebut harus berawal dan berakhir di suatu
depot tertentu dan tiap tempat harus dikunjungi pada batas time windows mereka
masing-masing. Biaya TSP dengan kendala time windows biasanya berhubungan
dengan total jarak perjalanan atau total waktu yang terdiri atas waktu perjalanan,
waktu tunggu, serta waktu pelayanan. Time windows [
menunjukkan batas
waktu pelayanan tempat i, dengan batas awal dan batas akhir
Kedatangan
sebelum
diperbolehkan tetapi mengakibatkan adanya waktu tunggu sampai
batas time windows, tetapi tidak diperbolehkan kedatangan sesudah (Pesant et
al. 1998).
Perjalanan dalam TSP harus membentuk sebuah tour dan tidak
diperbolehkan membentuk subtour. Tour adalah suatu perjalanan ke setiap simpul
(kota) bermula dari simpul awal (kota asal) dan berakhir di simpul awal (Foulds
1992), sedangkan subtour adalah suatu perjalanan yang hanya mengunjungi
beberapa tempat.
PEMBAHASAN
Deskripsi Masalah
Masalah pendistribusian barang yang dimaksud dalam karya ilmiah ini
adalah masalah menentukan rute perjalanan salesman dari suatu tempat asal ke
beberapa tempat hingga kembali ke tempat asal dengan meminimumkan jarak
yang dilalui salesman dan mempertimbangkan kendala time windows. Time
windows pada setiap tempat bisa berbeda-beda sehingga salesman hanya dapat
melakukan pelayanan jika sudah masuk batas time windows.
Formulasi Masalah
Masalah distribusi barang dengan model TSP time windows menggunakan
indeks, parameter, dan variabel keputusan sebagai berikut:
3
Indeks
i, j= 1, 2,….., n merupakan indeks untuk tempat.
Parameter
= jarak dari tempat i ke tempat j
= waktu mulai pelayanan salesman di tempat i
= lamanya perjalanan dari tempat i ke tempat j
= lamanya pelayanan di tempat i
= kecepatan kendaraan yang digunakan salesman dari tempat i ke tempat j
= time windows yang menunjukkan batas awal pelayanan di tempat i
= time windows yang menunjukkan batas akhir pelayanan di tempat i
= konstanta positif yang nilainya relatif besar
Variabel Keputusan
i a
{
ainnya
Fungsi Objektif
a
an
r a anan ari
min z = ∑ ∑
a
a
,
yaitu meminimumkan total jarak perjalanan salesman dari tempat asal ke
beberapa tempat hingga kembali ke tempat asal.
Kendala
Salesman tiba di setiap tempat tepat satu kali.
∑
= 1 (untuk j= 1,2,3,…,n).
1
Salesman meninggalkan setiap tempat tepat satu kali.
∑
= 1 (untuk i= 1,2,3,…,n).
2
Tidak adanya subtour yang takfisibel dan terbentuknya tour yang fisibel.
(untuk i≠j ; i=2,3,…n; j=2,3,…,n) untuk semua
= 0 atau 1, untuk semua ≥ 0.
3
(Winston 2004)
4
Lama perjalanan dari tempat i ke tempat j.
5
Waktu mulai pelayanan salesman di tempat j.
+
, i, j
6
Batas awal pelayanan (time windows) di tempat i.
, i {1,2,…n}.
{1,2,….n}.
4
7
Batas akhir pelayanan (time windows) di tempat i .
, i {1,2,…n}.
8
Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu.
{0,1}, i, j {1,2,…n}.
Sebagai ilustrasi dari kendala 3, misalkan diberikan kota 1, 2, 3, 4, dan 5 yang akan
dikunjungi oleh salesman seperti graf di bawah ini :
3
1
5
2
4
Gambar 1 Perjalanan salesman yang berupa subtour
Gambar 1 merupakan suatu subtour yang terdiri dari 1-5-2-1 dan 3-4-3.
Pada Gambar 1 diperoleh nilai
. Misalkan
diambil subtour yang tidak memuat kota 1 (3-4-3). Representasi kendala 3
terhadap arcs dalam subtour ini adalah:
dan
menghasilkan
.
Karena
maka
diperoleh hasil yang kontradiksi
sehingga perjalanan yang memuat suatu subtour merupakan solusi yang takfisibel.
1
5
3
2
4
Gambar 2 Perjalanan salesman yang berupa tour
Pada Gambar 2 asumsikan bahwa kota 1 menjadi kota pertama yang
dikunjungi salesman dan selanjutnya akan mengunjungi semua kota hingga
kembali ke kota 1. Misalkan = urutan perjalanan kota i yang dikunjungi,
bertujuan agar kendala 3 terpenuhi.
Sebagai ilustrasi, misalkan diberikan tour seperti pada Gambar 2, yaitu 1-34-2-5-1 dan
, sehingga didapat
Akan dibuktikan kendala 3 terpenuhi.
Pertama, pemilihan untuk sebuah arc dengan
Sebagai contoh untuk
adalah
. Diketahui bahwa
dan
sehingga
menghasilkan -2+5
. Kedua, pemilihan tour yang memenuhi
5
kendala
dan
Sebagai contoh untuk
maka menghasilkan 4-3
adalah
.
dengan
IMPLEMENTASI MODEL
Misalkan dalam masalah pendistribusian air mineral, salesman akan
mengirim barang ke beberapa tempat. Terdapat 10 tempat yang akan dikunjungi.
Salesman menginginkan semua tempat yang dilalui olehnya merupakan rute
terpendek dan memenuhi kendala time windows yang dimiliki oleh setiap tempat.
Data yang diberikan merupakan data hipotetik yang dapat digunakan untuk
keperluan simulasi. Asumsi yang digunakan pada karya ilmiah ini ialah sebagai
berikut:
1 jarak antartempat adalah simetrik, artinya jarak dari tempat i ke tempat j sama
dengan jarak dari tempat j ke tempat i,
2 salesman menggunakan satu kendaraan dengan kecepatan ( ) 40 km/jam,
3 waktu mulai pelayanan di tempat 1 (
ialah pukul 06.00.
Tabel 1 Jarak antartempat (dalam kilometer)
Tempat
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0
5
2
6
3
7
8
10
1
2
2
5
0
1
3
4
2
3
1
5
6
3
2
1
0
7
3
2
1
4
8
9
4
6
3
7
0
1
2
4
7
8
7
5
3
4
3
1
0
3
1
2
5
4
6
7
2
2
2
3
0
8
9
10
1
7
8
3
1
4
1
8
0
3
2
1
8
10
1
4
7
2
9
3
0
10
9
9
1
5
8
8
5
10
2
10
0
7
10
2
6
9
7
4
1
1
9
7
0
6
Tabel 2 Lama pelayanan dan time windows di setiap tempat
Lama pelayanan
Tempat
Time windows
(dalam jam)
1
1
05.00-24.00
2
1
06.00-12.00
3
2
06.00-20.00
4
1
12.00-20.00
5
1
10.00-15.00
6
2
15.00-21.00
7
2
10.00-21.00
8
1
06.00-21.00
9
2
12.00-18.00
10
1
08.00-21.00
Permasalahan pendistribusian air mineral ke 10 tempat yang akan dikunjungi oleh
salesman dapat diformulasikan sebagai berikut:
Indeks
i,j = 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10 merupakan indeks untuk tempat.
Parameter
= jarak dari tempat i ke tempat j
= waktu mulai pelayanan salesman di tempat i
= lamanya perjalanan dari tempat i ke tempat j
= lamanya pelayanan di tempat i
= 40 km/jam
= time windows yang menunjukkan batas awal pelayanan di tempat i
= time windows yang menunjukkan batas akhir pelayanan di tempat i
= konstanta positif yang nilainya relatif besar = 100000
Variabel Keputusan
{
i a
ainnya
a
an
r a anan ari
a
a
7
Kendala
1 Salesman tiba di setiap tempat tepat satu kali.
∑
= 1 (untuk j= 1,2,3,…,10).
2 Salesman meninggalkan setiap tempat tepat satu kali.
∑
= 1 (untuk i= 1,2,3,…,10).
3 Tidak adanya subtour yang takfisibel dan terbentuknya tour yang fisibel.
(untuk i≠j ; i=2,3,…10; j=2,3,…,10) n
= 0 atau 1, untuk semua ≥ 0.
4 Lama perjalanan dari tempat i ke tempat j.
5 Waktu mulai pelayanan salesman di tempat j.
+
, i, j
{1,2,….10}.
6 Batas awal pelayanan (time windows) di tempat i.
, i {1,2,…10}.
7 Batas akhir pelayanan (time windows) di tempat i .
i {1,2,…10}.
8 Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu.
{0,1} , i, j {1,2,…10}.
Penyelesaian TSP pada karya ilmiah ini dilakukan dengan bantuan
software LINGO 11.0. Sintaks program dan hasil komputasi dicantumkan pada
Lampiran 1. Solusi yang didapat adalah solusi optimal dengan nilai fungsi objektif
22 kilometer untuk 10 tempat yang dikunjungi oleh salesman.
1
10
3
6
2
4
8
9
5
7
Gambar 3 Rute perjalanan salesman
a
8
Tabel 3 Jadwal perjalanan dan pelayanan
Tempat
Time
windows
[
Lamanya
pelayanan
(
(dalam
jam)
Waktu
mulai
pelayanan
(
Waktu
berakhir
pelayanan
Lamanya
perjalanan
ke tempat
berikutnya
( )
(dalam
menit)
1 (depot)
3
2
8
5
7
9
4
6
10
05.00-24.00
06.00-20.00
06.00-12.00
06.00-21.00
10.00-15.00
10.00-21.00
12.00-18.00
12.00-20.00
15.00-21.00
08.00-21.00
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
06.00.00
07.03.00
09.04.30
10.06.00
11.09.00
12.10.30
14.13.30
16.25.30
17.28.30
19.30.00
07.00.00
09.03.00
10.04.30
11.06.00
12.09.00
14.10.30
16.13.30
17.25.30
19.28.30
20.30.00
3
1.5
1.5
3
1.5
3
12
3
1.5
3
Dari Tabel 4 terlihat bahwa rute perjalanan berawal dari tempat 1 atau
depot, dengan waktu mulai pelayanan di tempat 1 pukul 06.00, lamanya
pelayanan 1 jam, waktu berakhirnya pelayanan pukul 7.00, perjalanan dari tempat
1 ke tempat 3 selama 3 menit, dan time windows di tempat 1 terpenuhi.
Selanjutnya perjalanan dilanjutkan ke tempat 3, dengan waktu mulai pelayanan
pukul 7.03, lamanya pelayanan 2 jam, waktu berakhirnya pelayanan pukul 9.03,
perjalanan dari tempat 3 ke tempat 2 selama 1 menit 30 detik, dan time windows
di tempat 3 terpenuhi. Demikian selanjutnya untuk rute perjalanan berikutnya.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Model TSP dengan time windows dapat diformulasikan sebagai model
ILP. Model ini bertujuan meminimumkan total jarak yang ditempuh salesman dari
tempat asal ke beberapa tempat tepat satu kali hingga kembali ke tempat asal dan
memenuhi kendala time windows.
Implementasi model pada suatu kasus pendistribusian air mineral dengan
data hipotetik menggunakan bantuan software LINGO 11.0 menghasilkan rute
dengan total jarak minimum 22 kilometer.
Saran
Pada karya ilmiah ini, data yang digunakan merupakan data hipotetik.
Penelitian ini dapat dikembangkan dengan memperhitungkan maksimum jumlah
9
tempat yang dapat dikunjungi oleh salesman dalam waktu satu hari dengan
mempertimbangkan jarak, kecepatan, dan time windows.
DAFTAR PUSTAKA
Benavent E, Antonio M. 2009. A polyhedral study of the multiple traveling
salesman problem. Universtat de Valencia. 1:1-34.
Davendra D. 2010. Traveling Salesman Problem, Theory and Applications. Rijeka
(HR): Intech.
Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York (US): Springer-Verlag.
Pesant G, Gendreau M, Potvin J-Y, dan Rousseau J-M. 1998. An exact constraint
logic programming algorithm for the travelling salesman problem with time
windows. Transportation Science. 32(1):12-29.
Winston WL. 2004. Operations Research: Applications and Algorithms. Ed ke-4.
New York (US): Duxbury.
10
Lampiran 1
Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam menyelesaikan
Traveling Salesman Problem dengan kendala time windows
MODEL:
SETS:
CITY/1..10/:U,S,A,B,L;
LINK(CITY,CITY):DIST,X,V,T;
!
S= WAKTU MULAI PELAYANAN
A= BATAS AWAL TIME WINDOWS
B= BATAS AKHIR TIME WINDOWS
L= LAMANYA PELAYANAN ;
ENDSETS
DATA:
!JARAK;
DIST= 0 5 2 6 3 7 8 10 1 2
5 0 1 3 4 2 3 1 5 6
2 1 0 7 3 2 1 4 8 9
6 3 7 0 1 2 4 7 8 7
3 4 3 1 0 3 1 2 5 4
7 2 2 2 3 0 8 9 10 1
8 3 1 4 1 8 0 3 2 1
10 1 4 7 2 9 3 0 10 9
1 5 8 8 5 10 2 10 0 7
2 6 9 7 4 1 1 9 7 0;
!BATAS AWAL TIME WINDOWS;
A= 5 6 6 12 10 15 10 6 12 8;
! BATAS AKHIR TIME WINDOWS;
B=24 12 20 20 15 21 21 21 18 21;
!LAMANYA PELAYANAN;
L= 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1;
V=40;
ENDDATA
M=100000;
S(1)=6;
! JUMLAH KOTA;
N=@SIZE(CITY);
!FUNGSI OBJEKTIF, MEMINIMUMKAN TOTAL JARAK YANG DILAKUKAN
SALESMAN;
MIN=@SUM(LINK:DIST*X);
!MEMASTIKAN BAHWA SALESMAN TIBA SATU KALI DI SETIAP KOTA;
@FOR(CITY(K):@SUM(CITY(I):X(I,K))=1;);
!MEMASTIKAN SALESMAN MENINGGALKAN SETIAP KOTA 1 KALI;
@FOR(CITY(K):@SUM(CITY(J):X(K,J))=1;);
!MEMASTIKAN TIDAK ADANYA SUBTOUR YANG INFISIBEL DAN
TERBENTUKNYA TOUR YANG FISIBEL ;
@FOR(CITY(K):@FOR(CITY(J)|J#NE#1#AND#K#NE#1:U(J)U(K)+N*X(J,K)