Penyelesaian Travelling Salesman Problem Menggunakan Algoritma Tetangga Terdekat

(1)

PENYELESAIAN TRAVELLING SALESMAN PROBLEM MENGGUNAKAN ALGORITMA TETANGGA TERDEKAT

SKRIPSI

JUSTINUS PANDIANGAN 040803013

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2010

(2)

PENYELESAIAN TRAVELLING SALESMAN PROBLEM MENGGUNAKAN ALGORITMA TETANGGA TERDEKAT

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

JUSTINUS PANDIANGAN 040803013

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2010

(3)

PERSETUJUAN

Judul : PENYELESAIAN TRAVELLING

SALESMAN PROBLEM MENGUNAKAN ALGORITMA TETANGGA TERDEKAT Kategori : SKRIPSI

Nama : JUSTINUS PANDIANGAN

Nomor Induk Mahasiswa : 040803013

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Desember 2010

Komisi Pembimbing:

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Marihat Situmorang, M.Kom Dra. Normalina Napitupulu, Msc NIP.19631214 198903 1 001 NIP. 19631106 198902 2 001

Diketahui/ Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 19640109 198803 1 004

(4)

PERNYATAAN

PENYELESAIAN TRAVELLING SALESMAN PROBLEM MENGGUNAKAN ALGORITMA TETANGGA TERDEKAT

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Desember 2010

JUSTINUS PANDIANGAN NIM. 040803013

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan serta panjatkan keapda Tuhan Yang Maha Kuasa atas kasih, berkat dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan ini.

Skripsi ini berjudul “Penyelesaian Travelling Salesman Problem Menggunakan Algoritma Tetangga Terdekat” diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana pada Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

Dalam kesempatan ini Penulis juga didukung dan dibantu oleh orang-orang yang ada di sekitar penulis. Oleh sebab itu penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besanya kepada:

1. Ibu Dra. Normalina Napitupulu, M.Sc dan Bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom selaku dosen pembimbing 1 dan dosen pembimbing 2 yang telah banyak memberikan masukan dan bantuan kepada penulis.

2. Bapak Drs. Partano Siagian, M.Sc dan Bapak Drs. H Haluddin Panjaitan selaku dosen penguji buat penulis.

3. Bapak Dekan dan Pembantu Dekan FMIPA USU

4. Bapak/Ibu staf pengajar di Departemen Matematika, atas segala Ilmu yang telah diberikan selama ini.

5. Ayahanda dan Ibunda yang tersayang dan tercinta, H. Pandiangan dan M. Siagian yang telah mengasuh dan membesarkan penulis dengan rasa kasih dan sayang tulus yang tak terbatas dan juga keluarga tercinta..

6. Teman-teman stambuk 2004 (Ronal Purba, S.Si, Golti, Jusian, Darto, Domiatus, Halomoan, Mangasi, Lewin, Rista, Agnes, Kristin, Cani, Marta, Debo) dan lain-lain yang tidak dapat saya sebutkan satu per satu

7. Untuk adek stambuk saya stambuk 2007, khusus nya kepada Parningotan, Enrico dan yang lainnya.

Dalam penyusunan skripsi ini mungkin terdapat kekurangan dan kesalahan, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca guna perbaikan skripsi ini.

Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat dan guna bagi para pembaca.

Medan, Desember 2010

Penulis

Justinus Pandiangan

(6)

ABSTRAK

Travelling Salesman Problem (TSP) adalah permasalahan yang sangat terkenal dalam Teori graf. Permasalahan dalam Travelling salesman problem adalah mencari sirkuit terpendek pada suatu graf tidak berarah yang berasal dari suatu simpul dan kembali kesimpul asal, yang mana sirkuit ini juga disebut sirkuit Hamilton.Dengan merotasi simpul ataupun kota asal digunakan algoritma tetangga terdekat yaitu dengan mengunjungi suatu kota terdekat hingga kembali ke kota asal tepat sekali kunjungan sehingga diperoleh hasil yang optimum.

(7)

ABSTRAC

Traveling Salesman Problem (TSP) is a very famous problem in graph theory. Problems in the Traveling salesman problem is to find the shortest circuit on a graph is not directed from an origin node and re-conclusion, which this circuit is also called the Hamilton circuit. By rotating the node or home town nearest neighbor algorithm that is used by visiting a nearby town to return to exactly one visit home town in order to obtain optimum results

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR GAMBAR viii

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tujuan Penelitian 2

1.4 Manfaat Penelitian 2

1.5 Metodologi Penelitian 2

1.6 Tinjauan Pustaka 3

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Pengertian Jaringan 4

2.1.1 Loop dan Edge paralel 5

2.1.2 Graf sederhana 5 2.1.3 Ketetanggaan (Adjacent) 6

2.1.4 Bersisian (Incident) 6

2.1.5 Simpul Terpencil (Isolated Vertex ) 6

2.1.6 Graf Kosong (Null Graf) 6

2.1.7 Derajat (Degree) 6

2.1.8 Subgraf 7

2.2 Jenis-jenis Graf atau Jaringan 7 2.2.1 Lintasan dan Sirkuit 12 2.2.2 Jaringan Terhubung dan Jaringan Tak Terhubung 14

(9)

2.2.3 Lintasan dan Sirkuit Hamilton 15

2.3 Representasi Matriks dari suatu Jaringan 17

2.3.1 Matriks Adjasensi (Adjacency matriks) 17

2.3.2 Matriks Insidensi 19

2.3.3 Matriks Biaya (cost) 19

2.4 Model Jaringan dari Permasalahan 21

BAB 3 PEMECAHAN MASALAH 22

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 31

(10)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Graf sederhana 5

Gambar 2.2 Graf kosong 6 Gambar 2.3 Graf berarah dan berbobot 8

Gambar 2.4 Graf tak berarah dan berbobot 9 Gambar 2.5 Graf berarah dan tidak berbobot 9 Gambar 2.6 Graf tidak berarah dan tidak berbobot 10

Gambar 2.7 Graf terhubung 12

Gambar 2.8 Lintasan 13

Gambar 2. 9 Sirkuit 14

Gambar 2.10 Jaringan Tak terhubung 15

Gambar 2.11 Graf 16

Gambar 2.12 Jaringan Berarah 18

Gambar 2.13 jaringan G(4,6) 20

Gambar 3.1 a)graf (5,9) 22

b)Sirkuit Hamilton 22

Gambar 3.2 Graf 23

Gambar 3.3 Jalan yang dilalui 25

Gambar 3.4 graf (3,3) 26

(11)

ABSTRAK

(12)

ABSTRAC

(13)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam perkembangan dunia ilmu dan Teknologi dewasa ini terkadang sangatlah sulit untuk menyelesaikan suatu permasalahan yang timbul dengan menggunakan konsep konsep yang sudah ada. Untuk itu graph yang merupakan salah satu bagian ilmu matematika dapat digunakan untuk membantu menyelesaikan masalah masalah tersebut.

Saat ini pemakaian graph semakin meluas sesuai dengan tuntutan yang senantiasa terus bertambah. Hal ini dapat dilihat dalam jaringan –jaringan kerja seperti transportasi, distribusi dan sistem telekomunikasi. Keseluruhan jaringan kerja tersebut telah menggunakan konsep konsep yang ada pada graph untuk mempermudah prosesnya.

Dalam suatu jaringan kerja jalan raya misalnya, pemakaian graph akan dapat dimanfaatkan untuk membuat rute terpendek sehingga dapat mengoptimalkan proses pembuatan dan pemakaiannya. Begitu juga dalam sistem telekomuniukasi,prinsip graph untuk mencari maximum-cost flow maupun minimum-cost flow yang digunakan untuk mempermudah pengiriman suatu objek dari suatu tempat ke tempat lain atau dari suatu sumber ke target tertentu.

Permasalahan-permasalahan diatas membutuhkan algoritma-algoritma serta metode-metode yang akurat yang diharapkan dapat membantu mempermudah pemecahan terhadap solusi yang akan dicari . Sehingga nantinya diperoleh hasil yang optimal dari tiap jaringan kerja yang direncanakan. Keefisienan algoritma dan metode ini merupakan pemandu yang sangat besar peranannya untuk mencapai tujuan yang akan dicapai.

Dari permasalahan-permasalan diatas, penulis tertarik untuk membahas tentang suatu metode untuk mencari solusi dari traveling salesman problem dengan menggunakan algoritma tetangga terdekat.

(14)

1.2 Perumusan masalah

Permasalahan dalam tulisan ini adalah Menentukan jarak atau biaya minimal dalam suatu perjalanan salesman dengan menggunakan algoritma tetangga terdekat.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penulisan ini adalah untuk mencari urutan perjalanan yang memungkinkan dicapainya jarak/biaya yang minimal dalam suatu perjalanan keliling salesman.

1.4 Manfaat Penelitian

Tulisan ini diharapakan berguna bagi penulis dalam membantu memperdalam pemahaman tentang teori graph serta aplikasinya pada suatu jaringan kerja. Juga berguna untuk bahan masukan kepada para pengembang untuk mengadakan pengoptimalan terhadap rencana tertentu, khususnya jaringan kerja.

1.5Metodologi Penelitian

Sebagai kerangka pemikiran pada tulisan ini, penulis memberikan beberapa langkah langkah sebagai berikut :

Langkah 1 : Menjelaskan konsep konsep dasar teory jaringan, defenisi dan terminologi yang terdapat dalam graph.

Langkah 2 : Menjelaskan tentang model jaringan dari permasalahan yang ada.

Langkah 3 : Menjelaskan algoritma tetangga terdekat dalam penggunaannya mencari jarak /biaya dalam perjalanan keliling salesman .

Langkah 4 : Pembahasan

1.6Tinjauan Pustaka

Dari teori dasar graph telah diketahui pengoptimalan suatu jaringan kerja merupakan suatu masalah yang dapat diselesaikan dengan matematika, dalam hal ini mencari solusi dari traveling salesman problem untuk meminimumkan jarak/biaya perjalanan.

Deo, Narsingh, Graph Theory with Aplication to Engineering and Computer Science, Prentice Hall of India Privite Limited, New Delhi, 1984 hal. 1-63 dan hal. 290, menyebutkan

(15)

bahwa untuk mengoptimalkan suatu permasalahan secara matematika dapat dilakukan dengan mencari shortest (lintasan terpendek) pada graph.

Boffey, T.B. Graph Theory in Operation Research, The Macmillan Press Limited, London and Basing Stoke, 1982, menguraikan tentang defenisi, notasi, dan hal-hal yang berhubungan

dengan jaringan kerja.

Dalam kehidupan sehari-hari telah dikenal bermacam-macam jaringan, seperti jaringan telepon, penerbangan, dan irigasi. Suatu jaringan G = {S,B} terdiri dari himpunan simpul-simpul dengan S = {s1,s2,…,sn} dan himpunan busur-busur yang menghubungkan simpul-simpul anggota S yang

dinyatakan dengan B, dimana B =B {(Si , Sj ); Si ,Sj € S} serta untuk setiap busur pada jaringan

dihubungkan dengan nilai yang disebut bobot dari busur. Dari karakteristik yang terakhir dapat dinyatakan bahwa suatu jaringan merupakan suatu graph yang mempunyai bobot pada setiap busurnya.

(16)

BAB 2

LANDASAN TEORI

Sebelum memulai pembahasan lebih lanjut, pertama-tama haruslah dijelaskan apa yang dimaksud dengan traveling salesman problem atau dalam bahasa Indonesia disebut sebagai “persoalan pedagang keliling”. Persoalan ini muncul dari suatu pertanyaan : bila diketahui sejumlah kota dan biaya untuk berpindah dari satu kota ke kota lainnya, bagaimana cara kita untuk bisa mengunjungi tiap kota tersebut tepat sekali kunjungan dan kembali ke kota tempat kita berangkat , dengan biaya yang seminimum mungkin ?

Terdapat berbagai pengertian dasar dari jaringan yang akan menunjang segala permasalahan yang ada dalam graph. Pengertian-pengertian dasar tersebut merupakan konsep-konsep yang terdapat pada teori graph karena pada hakekatnya suatu jaringan adalah suatu graf yang mempunyai karakteristik tambahan. Karakteristik tambahan tersebut disebut bobot

2.1. Pengertian Jaringan

Karena jaringan merupakan suatu graf yang mempunyai karakteristik tambahan yang disebut bobot,maka akan diuraikan definisi-definisi formal dari suatu graf beserta definisi definisi lainnya.

Teori dasar graf

Graf G adalah pasangan himpunan (V,E) di mana V adalah himpunan dari vertex dan E adalah himpunan dari edge yang menghubungkan sepasang simpul (Johnsonbaugh Richard,

(17)

Atau graf G didefenisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) dalam hal ini: V=himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertex)

V={ v1,v2,...,vn } dan

E= himpunan sisi (edge) yang menghubungkan sepasang simpul E={ e1,e2,...,en }

Atau dapat ditulis singkat notasi G=(V,E) (Munir, 2003)

Banyaknya simpul (anggota V) disebut order Graf G, sedangkan banyaknya ruas (anggota E) disebut ukuran (size) Graf G

Definisi 2.1.1. Loop dan Edge Paralel

Sebuah edge yang menghubungkan pasangan vertex yang sama yakni (vi,vi) disebut loop dan dua buah atau lebih edge yang mempunyai vertex -vertex ujung yang sama disebut edge-edge yang paralel atau multiple edge-edge. Pada gambar 2.1 dapat dilihat, gambar G1 tidak memiliki loop maupun edge pararel, sedangkan pada gambar G2 tidak memiliki loop tetapi memiliki edge paralel yaitu e3,e4 dan e1,e6. Dan pada gambar G3 memiliki loop yaitu e8 dan edge pararel yaitu e3, e4 dan e1, e6.

Defenisi 2.1.2. Graf Sederhana (Simple Graf)

Simple graph adalah graf yang tidak memuat loop dan edge-edge yang paralel. V4 e3 V3

e4 e2

V1 e1 V2

Gambar 2.1. graf sederhana Definisi 2.1.3. Ketetanggaan (Adjacent)

Dua buah simpul pada graf dikatakan bertetangga bila kedua simpul tersebut terhubung langsung. Atau dapat kita sebut, vj bertetangga dengan vk pada graf Gjika (vj,vk) adalah sisi pada sebuah graf G.

Definisi 2.1.4. Bersisian (Incident)

Untuk sembarang sisi e = ( vj, vk ) dikatakan e bersisian dengan simpul vj, atau e bersisian dengan simpul vk.

(18)

Definisi 2.1.5. Simpul Terpencil (Isolated Vertex )

Simpul yang tidak memiliki sisi yang bersisian dengannya atau tidak bertetangga dengan simpul lainnya disebut dengan simpul terpencil.

Definisi 2.1.6. Graf Kosong (Null Graf)

Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong (Nn) disebut graf kosong, dimana n adalah jumlah simpul.

1 2

Gambar 2.2 graf kosong

Definisi 2.1.7 Derajat (Degree)

Derajat dari sebuah vertex vi dalam graf G adalah jumlah edge yang bersisian dengan vi, dengan loop dihitung dua kali. Bila jumlah edge yang bersisian dengan jumlah vertex vi adalah n maka degree dari vi adalah n sehingga d(vi) = n.

Definisi 2.1.8 Subgraf

G‘(V‘, E‘) adalah Subgraf dari G (V, E) bila : V‘ ⊂ V dan E‘ ⊂ E

Apabila E‘ mengandung semua ruas di E yang kedua ujungnya di V‘ , maka G‘ adalah Subgraf yang dibentuk oleh V‘ (Spanning Subgraph)

2.2 Jenis jenis graph atau jaringan

Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf digolongkan menjadi dua jenis:

1. Graf sederhana (Simple Graf)

Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana. 2. Graf tak-sederhana (Unsimple-Graf)

(19)

Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graf).

Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis:

1. Graf berhingga (Limited Graf)

Graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya n berhingga. 2. Graf tak-berhingga (Unlimited Graf)

Graf yang jumlah simpulnya n tidak berhingga banyaknya disebut graf tak berhingga.

Berdasarkan orientasi arah dan bobotnya, maka secara umum graf dibedakan atas 4 jenis: 1. graf berarah dan berbobot

Graf yang tiap busurnya mempunyai arah atau anak panah dan berbobot.

Gambar 2.3 Graf berarah dan berbobot

Gambar 2.3 menunjukkan graf berarah dan berbobot yang terdiri dari tujuh titik yaitu titik A,B,C,D,E,F,G. Titik menujukkan arah ke titik B dan titik C, titik B menunjukkan arah ke titik D dan titik C, dan seterusnya. Bobot antar titik A dan titik B pun telah di ketahui.

(20)

2. Graf tidak berarah dan berbobot

Graf tidak berarah dan berbobot : tiap busur tidak mempunyai anak panah tetapi mempunyai bobot.

Gambar 2.4 Graf tak berarah dan berbobot

Gambar 2.4 menunjukkan graf tidak berarah dan berbobot. Graf terdiri dari tujuh titik yaitu titik A,B,C,D,E,F,G. Titik A tidakmenunjukkan arah ke titik B atau C, namun bobot antara titik A dan titik B telah diketahui. Begitu juga dengan titik yang lain.

3. Graf berarah dan tidak berbobot

Graf berarah dan tidak berbobot adalah graf yang pada setiap busurnya mempunyai arah dan tidak mempunyai bobot.

Gambar 2.5 Graf berarah dan tidak berbobot 4. Graf tidak berarah dan tidak berbobot

Graf tidak berarah dan tidak berbobot adalah graf yang pada setiap busurnya tidak mempunyai arah dan tidak mempunyai bobot.

(21)

Gambar 2.6 Graf tidak berarah dan tidak berbobot

Di dalam situasi yang dinamis, seperti pada komputer digital ataupun pada sistem aliran (flow system), konsep graf berarah lebih sering digunakan dibandingkan dengan konsep graf tak berarah.

Suatu graf berarah (Directed Graph, yang dikenal sebagai Digraf) D terdiri dari 2 himpunan : (1). Himp. V, yang elemennya disebut simpul

→ Vertex / point / titik / node

(2). Himp. A, yang merupakan pasangan terurut dari simpul-simpul, disebut ruas berarah

→ Arc / arkus

Sehingga sebuah digraf dinotasikan sebagai D ( V, A )

Contoh :

Sebuah graf berarah D(V,A), dengan : 1. V = { 1, 2, 3, 4 }

2. A = { (1,4), (2,1), (2,1), (4,2), (4,3), (2,3), (2,2) } 4

3 2

(22)

Arc (2,2) disebut gelung (self-loop), sedangkan arc (2,2) muncul 2 kali, disebut arc sejajar atau arc berganda.

Apabila arc suatu graf berarah mempunyai suatu bobot, graf berarah tersebut dinamakan suatu jaringan atau network.

Beberapa Pengertian dalam graf berarah :

• Derajat ke luar (out degree) suatu simpul adalah banyaknya arc yang mulai / keluar dari simpul tersebut.

• Derajat ke dalam (in degree) suatu simpul adalah banyaknya arc yang berakhir / masuk ke simpul tersebut.

• Simpul berderajat ke dalam = 0 disebut sumber (source), sedangkan simpul berderajat ke luar = 0 disebut muara (sink).

• Pengertian Walk, Trail, Path (Jalur) dan Sirkuit (Cycle) berlaku pula pada graf berarah, dimana harus sesuai dengan arah arc. Kalau tidak sesuai dengan arah arc-nya, maka disebut sebagai semi walk, semi path atau semi trail.

Pada graf berarah terdapat 3 pengertian keterhubungan, yakni :

• Terhubung lemah, jika terdapat suatu semi path antara setiap 2 simpul dari D.

• Terhubung unilateral, jika antara setiap 2 simpul u dan v dari D, terdapat jalur dari u ke v atau dari v ke u.

• Terhubung kuat, jika antara setiap 2 simpul u dan v dari D, terdapat jalur dari u ke v dan dari v ke u.

(a) (b) (c)

Gambar 2.7 (a)Terhubung lemah,(b)terhubung unilateral (c) Terhubung kuat.

A B

(23)

2.2.1 lintasan dan sirkuit

Definisi 1

Suatu lintasan dari simpul i ke j adalah sebarisan busur-busur dan simpul-simpul yang dinyatakan dengan {I,(i,p), p, (p,q), q, (q,)…..(z,j),j} atau dengan i p – q – r - …. – z – j.

Contoh :

Gambar 2.8. Contoh Lintasan

Lintasan pada gambar 2.8. dari simpul 1 ke simpul 8 adalah : 1, (1,3), 3 (3,6), 6, (6,8), 8 atau 1 – 3 – 6 – 8

1, (1,5), 5, (5,4), 4, (4,8), 8 atau 1 – 5 – 4 – 8

Definisi 2

Suatu putaran adalah sebarisan busur-busur dan simpul-simpul dimana simpul awal dan simpul akhir setiap busur berimpit, dinyatakan dengan

i, (i,p), p, (p,q), q, (q,r)..,(z,i),i atau dengan I – p – q – r - ….- z- I

(24)

Contoh :

Dari gambar 2.6. yang merupakan putaran dari simpul 4 adalah : 4, (4,5), 5, (5,6), 6, (6,4), 4 atau 4 – 5 – 6 – 4

4, (4,5), 5, (5,3), 3, (3,6), 6, (6,4) atau 4 – 5 – 3 – 6 – 4

Defenisi 3

Suatu sirkuit merupakan sebarisan simpul dari i ke j yang simpul dan busurnya berhubungan tanpa memperhatikan arahnya tetapi simpul i dan j berimpit (simpul kembali ke i). Contoh :

Gambar 2.9. contoh sirkuit

Pada gambar 2.9. merupakan sirkuit dari simpul 3 adalah : 3, (3,5), 5, (5,6), 6 (3,6), 3 atau 3 – 5 – 6 – 3

3, (3,6), 6, (6,8), 8 (3,8), 3 atau 3 – 6 – 8 – 3

2.2.2 Jaringan Terhubung dan Jaringan Tak terhubung Definisi 1 Definisi

Drs. Suatu jaringan disebut terhubung jika untuk sembarang simpul i dan simpul j yang berbeda terdapat paling sedikit satu lintasan tertutup yang menghubungkan kedua simpul

(25)

tersebut, sedangkan jika tidak terdapat lintasan tertutup yang menghubungkan kedua simpul maka jaringan itu disebut jaringan tak terhubung.

Gambar 2.10 jaringan tak terhubung

Jaringan pada gambar 2.10 merupakan jaringan tak terhubung. Jaringan tersebut mempunyai 2 buah komponen (2 buah jaringan) yang masing-masing merupakan jaringan terhubung.

2.2.3 Lintasan dan Sirkuit Hamilton

Suatu alur Hamilton adalah suatu alur yang mengunjungi simpul masing masing persisnya sekali, oleh karena itu sirkuit Hamilton merupakan suatu siklus graph yang mengunjungi simpul masing masing tepat sekali (kecuali simpul yang merupakan tujuan awal dan akhir dikunjungi dua kali).

Dalam suatu graph G = (V,E) terdapat suatu pengertian yang oleh Sir William Hamilton yang berkaitan dengan sirkuit. Apabila G suatu graph berarah dan merupakan suatu sirkuit yang melewati setiap simpul-simpul yang ada dan hanya tepat satu kali, maka sirkuit tersebut

4 5

7 8

(26)

dinamakan sirkuit Hamilton. Jadi berdasarkan hal di atas maka Travelling salesman problem hampir bersamaan dengan sirkuit Hamilton.

Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton, sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.

A B C Gambar 2.11

(a) graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal: 3, 2, 1, 4) (b) graf yang memiliki lintasan Hamilton (1, 2, 3, 4, 1)

TEOREMA 1.

Syarat cukup (jadi bukan syarat perlu) supaya graf sederhana G dengan n (≥ 3) buah simpul adalah graf Hamilton ialah bila derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu, d(v) ≥ n/2 untuk setiap simpul v di G).

TEOREMA 2.

Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton.

TEOREMA 3.

Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n ≥ 3), terdapat (n - 1)!/2 buah sirkuit Hamilton.

1 ₂

3 4

3 2

1 2

3 4

(27)

TEOREMA 4.

Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n ≥ 3 dan n ganjil), terdapat (n - 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan). Jika n genap dan n ≥ 4, maka di dalam G terdapat (n - 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas.

2.3 Representasi matriks dari suatu jaringan

Ada 3 buah representasi matriks dari suatu jaringan, yaitu : a. Matriks Adjasensi

b. Matriks insidensi c. Matriks biaya

2.3.1 Matriks Adjasensi (Adjacency matriks)

Defenisi 1:

Matriks adjasensi X dari suatu jaringan G = {S,B} merupakan matriks {aij,] dimana :

1 jika busur (i,j) mempunyai arah X = [aij] = dari S ke simpul S

0 dalam hal lain

Bila G merupakan jaringan tak berarah, maka setiap busur (i,j) B dapat dinyatkan sebagai suatu busur dengan dua arah. Dalam hal ini matriks adjasensi X merupakan matriks yang simetris.

(28)

Contoh :

Gambar 2.12. Jaringan berarah

Matriks adjasensi dari jaringan berarah dari gambar 2.12. adalah :

1 2 3 4 5 1 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 0 X= 3 0 0 1 0 0 4 0 1 1 0 1 5 0 0 0 0 0

Matriks adjasensi X tidak simetris.

2.3.2. Matriks Insidensi Definisi 2 :

(29)

+1 jika simpul I ε S merupakan Simpul awal busur Bjε B

Z = [Zij] = -1 jika simpul I ε S merupakan

Simpul akhir busur Bjε B

0 dalam hal lain

Contoh :

Matriks insidensi Z dari gambar 2.5. adalah :

b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7

1 +1 +1 0 0 0 0 0 Z = [Zij] 2 -1 0 -1 +1 0 0 0

3 0 0 0 -1 -1 0 +1 4 0 -1 +1 0 +1 +1 0 5 0 0 0 0 0 -1 -1

2.3.3. Matriks Biaya (cost)

Defenisi 3 :

Suatu jaringan G =(S,B) adalah suatu bobot yang merupakan pemetaan

W : B R

Atau

(i,j) W (i,j)

Untuk setiap busur (i,j) €R yang selanjutnya sebagai bobot dari busur (I,j) dimana: B adalah himpunan busur

(30)

Dalam masalah sebenarnya bobot dari suatu busur dapat berupa biaya (cost), waktu ataupun jarak.

Bila bobot yang diberikan merupakan pernyataan biaya dari setiap busur (i,j) yang berupa biaya pengangkutan barang atau panjang waktu, maka biaya atau panjang waktu minimum dapat dihitung dengan penentuan matriksnya.

Defenisi 4 :

Suatu jaringan G = (S,B), [S] = n, matriks biaya C dari suatu jaringan G ersebut merupakan matriks (Cij) dimana Cij merupakan biaya (pengangkutan satu satuan barang) pada busur (i,j)

atau waktu yang diperlukan dalam menempuh busur (i,j) i,j € S i = 1,2,3…,n

j = 1,2,3,..,n

Pada representasi di atas Cij merupakan bobot W (I,j) matriks biaya C merupakan matriks

busursangkar n x n.

Contoh :

Jaringan berarah pada gambar berikut, angka disamping busur (I,j) merupakan biaya (bobot busur) pada Cij.

(31)

Maka matriks biayanya adalah :

1 2 3 4 1 - 8 10 - C = [Cij] 2 - - 4 5

3 - 7 - 2 4 - - - -

Pada jaringan berarah matriks biayanya tidak simetris

2.4 Model Jaringan dari Permasalahan

Travelling salesman problem dapat dinyatakan dengan model jaringan (graph dalam arti khusus). Tempat-tempat yang akan dikunjungi merupakan simpul-simpul, sedangkan jalan-jalan yang dilalui merupakan busur-busur dari jaringan tersebut yang mempunyai bobot dengan satuan panjang (jarak yang ditempuh oleh salesman). Jadi masalah utama terletak pada jalan-jalan yang dilaluinya, yaitu bagaimana agar jarak yang ditempuh oleh wiraniaga tersebut seminimal mungkin. Dari permasalahan di atas dapat disimpulkan bahwa perjalanan itu adalah suatu graph yang berarah dan mempunyai bobot.

(32)

BAB 3

PEMECAHAN MASALAH

Pandang G suatu graph dengan himpunan simpul V dan himpunan ruas E. suatu sirkuit Hamilton dari G adalah suatu sirkuit dengan sifat dari suatu simpul sebarang titik awal, dimana semua simpul G dapat dikunjungi tepat satu kali lalu kembali ke tempat semula (simpul awal). Syarat cukup suatu graph mengandung sirkuti Hamilton adalah sebuah graph dengan setiap 2 simpul dari graph tersebut selalu dihubungkan oleh sebuah ruas.

Graph pada gambar berikut merupakan salah satu sirkuit Hamilton

( a ) (b)

(33)

Traveling salesman problem adalah suatu problema bahwa seorang sales mengadakan tour dari suatu kota ke kota lain yang masing-masing hanya dilalui satu kali, lalu kembali ke kota asal. Jadi problema utama pada perjalanan keliling ini adalah untuk mencari sirkuit Hamilton dengan panjang yang paling minimal.

Dalam masalah ini penulis mencoba menggunakan algoritma tetangga terdekat, dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Tentukan kota pertama sebagai kota awal keberangkatan (simpul awal)

2. Ambil kota lain sebagai tujuan perjalanan dengan syarat biaya/jarak dari kota asal yang paling minimal.

3. Ambil kota lain sebagai tujuan perjalanan selanjutnya dengan syarat biaya/jarak paling minimal dari kota kedua dengan syarat belum pernah dikunjungi.

4. Ulangi langkah kedua dan ketiga sampai semua kota (simpul) sudah dilalui. Contoh :

(34)

Tabel berikut adalah table jarak antar kota pada graph G (dalam satuan panjang)

Ke/Dari 1 2 3 4 5

1 - 3 4 7 6

2 3 - 6 4 5

3 4 6 - 5 2

4 7 4 5 - 2

5 6 5 2 3 -

Table 3.1 Jarak kota pada graf G

Dengan algoritma tetangga terdekat diperoleh :

Langkah 1 : Ambil kota 1 sebagai kota awal (simpul awal). Jarak terpendek minimal adalah kota 2 (yaitu 3 satuan panjang). Maka perjalanan dimulai dari kota 1 ke kota 2. Langkah 2 : Kemudian ambil kota (simpul) yang jaraknya paling dekat, yaitu kota 4 dengan

jarak 4 satuan panjang.

(35)

Hasil yang diperoleh menurut langkah di atas diperlihatkan pada gambar berikut:

Gambar 3.3. Jalan yang dilalui

Dengan demikian selengkapnya diperoleh jarak sama dengan 16 satuan panjang dengan urutan perjalanan 1 – 2 – 4 – 5 – 2 – 1.

Akan tetapi daam mencari hasil yang jaraknya paling minimal harus dilakukan dengan merotasi kota asal (simpul awal), karena setiap pengambilan simpul awal yang berbeda maka hasilnyapun berbeda.

Dalam kenyataan sehari-hari, biaya/jarak antar dua kota yang ditempuh secara langsung ada kemungkinannya lebih besar daripada ditempuh melalui kota lain.

(36)

Contoh :

Gambar 3.4. Graph G (3,3)

Pada gambar 3.4. jarak dari kota 1 ke kota 4 sama dengan 8 satuan panjang, sedangkan bila ditempuh melalui kota 2 jaraknya sama dengan 7 satuan panjang.

Dalam hal diatas muncul suatu syarat yang disebut syarat Phytagoras. Keadaan di atas (Gambar 3.4) tidak memenuhi syarat Phytagoras yaitu, bila d (I,j) adalah jarak kota i dan j, maka d (I,j) ≤ d (i,k) + d (k,j). Kalau suat graph tidak memenuhi syarat di atas maka untuk mendapatkan suatu jarak paling minimal, syarat yang menyatakan satu tempat hanya dikunjungi satu kali harus dihilangkan.

Contoh :

Perhatikan gambar berikut, graph yang tidak memenuhi syarat Phytagoras.

(37)

Dengan algoritma tetangga terdekat diperoleh jarak minimal = 15 satuan panjang dengan urutan perjalanan 1 – 3 – 4 – 2 – 1. Tetapi dengan cara mencoba-coba diperoleh cara lebih minimal = 14 satuan panjang dengan urutan perjalanan 1 – 3 – 2 – 4 – 1.

Atas dasar hal diatas maka hasil algoritma tetangga terdekat merupakan suatu pendekatan dari hasil minimal yang sebenarnya. Kalau jumlah kota n, kita harus mengulangi algoritma tetangga terdekat sampai ke n kali. Dalam hal ini akan terjadi kemungkinan kesalahan dengan algoritma tetangga terdekat seperti yang dijumpai pada hal diatas.

Untuk itu ada suatu teorema untuk membuktikan batas kesalahan algoritma tetangga terdekat jika dibandingan dengan hasil yang sebenarya.

Teorema

Pandang G suatu graph dengan n buah simpul serta memenuhi syarat Phytagoras, dimana :

d = jumlah jarak yang diperoleh dengan algoritma tetangga terdekat m = jarak minimal yang sebenarnya.

Maka diperoleh :

[ ]

₂1

log 2 1 ₂

≤ n

m d

Bukti

Misalkan D suatu sirkuit Hamilton yang diperoleh dengan algoritma tetangga terdekat : I1 = ruas terpanjang di D

I2 = ruas terpanjang berikutnya dan sebarang.

Hal ini berarti :

(38)

Dan d=

∑

= n k k I 1

andaikan telah dibuktikan hubungan-hubungan berikut : m ≥ 2 I1

m ≥ 2 I2

m ≥ 2 (I3 + I4)

m ≥ 2 (I5+I6+I7+I8)

m ≥ 2 (I9 + I10+……I14)

Maka di dapat :

5 m ≥ 2

∑

= = 14 1 2 k k d I Atau

5 m ≥ 2

∑

[

]

5 2 2 2 1 14 log 2 1

Sekarang akan dibuktikan bahwa

5 m ≥ 2 I1……… (1)

5 m ≥ 2

∑

+ =     ≤ ≤ i i k k n i l I 2 1 2

, ……….. (2)

m ≥ 2

∑

= +

n Ik

n k

I₁, [ /2] 1……….. (3)

karena n bilangan genap maka persamaan (2) mencakup persamaan (3)

Misalkan ruas terpanjang di D adalah I1 yang menghubungkan simpul x dan y, karena

terpenuhi syarat Phytagoras maka setiap path lain antara x dan y selalu lebih panjang dari I1.

Karena D dapat dipecah menjadi 2 path antara x dan y. Karena itu persamaan (1) jelas benar. Misalkan akan simpul dimana ruas terpanjang ke-k dihubungkan pada algoritma tetangga terdekat, untuk I yang tetap, 1 ≤ i ≤ [n/2].

Misalkan pula H subgraph lengkap dari G yang mengandung vertex ak, 1 ≤ k ≤2i.

(39)

Hamilton minimum dari G. Misalkan lagi t panjang dari T, karena diperoleh pertidaksamaan segitiga maka m ≥ t.

Misalkan lagi (ai, aj) adalah ruas di T jika dalam algoritma tetangga terdekat simpul ai

ditambahkan sebelum simpul aj diperoleh :

d (ai,aj) adalah ruas di T jika dalam algoritma tetangga terdekat simpul a ditambahkan

sebelum simpul aj diperoleh :

d (ai, aj) ≥ Ij, jika sebaliknya aj ditambahka sebelum ai diperoleh d (ai,aj) = Ii.

maka

S(ai,aj) ≥ (Ii, Ij)………. (4)

Jumlahkan persamaan (4) untuk semua ruas di T maka diperoleh t ≥ Σ min (Ii, Ij)……… (5)

Dapat dicatat bahwa harga terkecil yang mungkin dari jumlah min (Ii,Ij) adalah I2k, harga

terkecil yang mungkin kemudian I2k-1 dan seterusnya. Selanjutnya untuk sebarang 1 ≤ k ≤ 2i, Ik

dapat muncul pada perjumlahan sebanyak dua kali. Karena ruas 2i ada di ruas T, penjumlahan (4) akan lebih besar atau sama dengan dua kali penjumlahan panjang dari I ruas terpendek. Karenannya :

t ≥ min (Ii,Ij)

≥ 2 (I2i + I2i-1+….Ii+1)

= 2

∑

+ = i i k k I 2 1

……… (6)

Karenanya m ≥ t (2) terbukti. Hubungan (3) dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Misalkan D0 sirkuit Hamilton yang minimum dengan argument yang sama seperti waktu

menurunkan persamaan (6) diperoleh : m ≥ min (Ii, Ij)

dan dengan argument yang sama diperoleh : m ≥ Σ min (Ii, Ij)

(40)

m ≥ 2 (In+In-1 + …..+ I(n/2) + 1

= 2n untuk I = n/2 + 1

Sekarang untuk k = 1,21,22+,….22 log n-2 menghasilkan 2log n-1 Pertidaksamaan :

m ≥ 2 I2

m ≥ (I3+I4)

m ≥ 2 (I5+I6+I7+I8)

m ≥ 2

[

I₂logn

]

−2+1+I₂(2logn)−2+2+....+I₂(2logn)−1] Kalau pertidaksamaan di atas dijumlahkan :

[

]

_∑

−

≥

− (log )1

2 2 2 2 ] 1 log ( n i i I m n Karena : , 1 1 ) log ( 2 1 2 2 + − ≤ +   

n _n

untuk n > 1

Menghasilkan :

m ≥ 2

∑

[

]

= − + n i n I 2 2

1 log 1 1

serta :

[ ]

(

)

_∑

= = ≥ + n i i d I n n 1 2 2 2 1 1 log Atau :

[ ]

₂1

log 2

1 2 +

≤ n

m b

(41)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. KESIMPULAN

Berdasarkan uraian pembahasan pada bab sebelumnya, maka dapat diambil kesimpulan yaitu : 1. Dengan menggunakan algoritma tetangga terdekat persoalan Travelling salesman

problem untuk mencari nilai optimum dapat diselesaikan yaitu dengan mencari jarak atau biaya paling minimum dari suatu persoalan Travelling salesman problem yang telah dimodelkan kedalam graf atau jaringan.

2. Kemungkinan terjadi kesalahan dengan menggunakan algoritma tetangga terdekat jika jumlah kota atau simpul sangat besar (n), sehingga algoritma tetangga terdekat harus diulangi sebanyak n kali.

3. Hasil yang diperoleh dari penyelesaian travelling salesman problem dengan menggunakan algoritma tetangga terdekat merupakan pendekatan dari hasil minimal.

4.2. SARAN

Berdasarkan hasil yang diperoleh dalam menyelesaikan persoalan travelling salesman problem dengan menggunakan algoritma tetangga terdekat pada penelitian ini, penulis melihat adanya kesalahan yang ditemukan jika jumlah simpul atau kota yang sangat besar dalam kategori ini sebesar n, maka algoritma tetangga terdekat dilakukan sebanyak n kali tergantung jumlah n simpul atau kota pada permasalahan travelling salesman problem. Oleh karena itu untuk menyelesaikan lebih dari 10 simpul atau kota dari suatu persoalan travelling salesman problem disarankan menggunakan algoritma atau metode yang lain yang lebih efektif seperti algoritma genetika .

(42)

DAFTAR PUSTAKA

Boffey, T.B. 1982. Graph Theory in Operations Research. London: The Macmillan Press, Ltd London.

C.L., Liu. 1995. Dasar-dasar Matematika Diskrit. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.

Hiller Federick S., Lieberman and Gerald J. 1990. Introduction to Operations Research. First Edition. Mc Growhill, Inc.

Seymor S., Lipson, and Mare L. 2001. Matematika Diskrit. Jakarta: Salemba Teknika.

Supranto, Johannes. 1988. Riset Operasi untuk Pengambilan Keputusan. Jakarta: Universitas Indonesia.

Theresia. M.H. 1995. Graf. Jakarta: Erlangga

Thie, Paul R. 1979. An Introduction to Linear Programming and Game Theory. New York: Jhon Wiley&Son, Inc.

(1)

Untuk itu ada suatu teorema untuk membuktikan batas kesalahan algoritma tetangga terdekat jika dibandingan dengan hasil yang sebenarya.

Teorema

Pandang G suatu graph dengan n buah simpul serta memenuhi syarat Phytagoras, dimana :

d = jumlah jarak yang diperoleh dengan algoritma tetangga terdekat m = jarak minimal yang sebenarnya.

Maka diperoleh :

[ ]

₂1

log 2 1 ₂

≤ n

m d

Bukti

Misalkan D suatu sirkuit Hamilton yang diperoleh dengan algoritma tetangga terdekat : I1 = ruas terpanjang di D

I2 = ruas terpanjang berikutnya dan sebarang.

Hal ini berarti :

(2)

Dan d=

∑

= n k k I 1

andaikan telah dibuktikan hubungan-hubungan berikut : m ≥ 2 I1

m ≥ 2 I2

m ≥ 2 (I3 + I4)

m ≥ 2 (I5+I6+I7+I8)

m ≥ 2 (I9 + I10+……I14)

Maka di dapat : 5 m ≥ 2

∑

= = 14 1 2 k k d I Atau

5 m ≥ 2

∑

[

]

+ 5 2 2 2 1 14 log 2 1

Sekarang akan dibuktikan bahwa

5 m ≥ 2 I1……… (1)

5 m ≥ 2

∑

+ =     ≤ ≤ i i k k n i l I 2 1 2

, ……….. (2)

m ≥ 2

∑

= +

n k

I₁, [ /2] 1……….. (3)

karena n bilangan genap maka persamaan (2) mencakup persamaan (3)

Misalkan ruas terpanjang di D adalah I1 yang menghubungkan simpul x dan y, karena

terpenuhi syarat Phytagoras maka setiap path lain antara x dan y selalu lebih panjang dari I1.

Misalkan pula H subgraph lengkap dari G yang mengandung vertex ak, 1 ≤ k ≤2i.

(3)

Hamilton minimum dari G. Misalkan lagi t panjang dari T, karena diperoleh pertidaksamaan segitiga maka m ≥ t.

Misalkan lagi (ai, aj) adalah ruas di T jika dalam algoritma tetangga terdekat simpul ai

ditambahkan sebelum simpul aj diperoleh :

d (ai,aj) adalah ruas di T jika dalam algoritma tetangga terdekat simpul a ditambahkan

sebelum simpul aj diperoleh :

d (ai, aj) ≥ Ij, jika sebaliknya aj ditambahka sebelum ai diperoleh d (ai,aj) = Ii.

maka

S(ai,aj) ≥ (Ii, Ij)………. (4)

Jumlahkan persamaan (4) untuk semua ruas di T maka diperoleh t ≥ Σ min (Ii, Ij)……… (5)

Dapat dicatat bahwa harga terkecil yang mungkin dari jumlah min (Ii,Ij) adalah I2k, harga

terkecil yang mungkin kemudian I2k-1 dan seterusnya. Selanjutnya untuk sebarang 1 ≤ k ≤ 2i, Ik

dapat muncul pada perjumlahan sebanyak dua kali. Karena ruas 2i ada di ruas T, penjumlahan (4) akan lebih besar atau sama dengan dua kali penjumlahan panjang dari I ruas terpendek. Karenannya :

t ≥ min (Ii,Ij)

≥ 2 (I2i + I2i-1+….Ii+1)

= 2

∑

+ =

i k

k I 2

……… (6)

Karenanya m ≥ t (2) terbukti. Hubungan (3) dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Misalkan D0 sirkuit Hamilton yang minimum dengan argument yang sama seperti waktu

menurunkan persamaan (6) diperoleh : m ≥ min (Ii, Ij)

dan dengan argument yang sama diperoleh : m ≥ Σ min (Ii, Ij)

(4)

m ≥ 2 (In+In-1 + …..+ I(n/2) + 1

= 2n untuk I = n/2 + 1

Sekarang untuk k = 1,21,22+,….22 log n-2 menghasilkan 2log n-1 Pertidaksamaan :

m ≥ 2 I2

m ≥ (I3+I4)

m ≥ 2 (I5+I6+I7+I8)

m ≥ 2

[

I₂logn

]

−2+1+I₂(2logn)−2+2+....+I₂(2logn)−1] Kalau pertidaksamaan di atas dijumlahkan :

[

]

_∑

− = ≥

− (log )1 2 2 2 2 ] 1 log ( n i i I m n Karena : , 1 1 ) log ( 2 1 2 2 + − ≤ +   

n _n

untuk n > 1

Menghasilkan :

m ≥ 2

∑

[

]

= − + n i n I 2 2

1 log 1 1 serta :

[ ]

(

)

_∑

= = ≥ + n i i d I n n 1 2 2 2 1 1 log Atau :

[ ]

₂1

log 2

1 2 +

≤ n

m b

(5)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. KESIMPULAN

Berdasarkan uraian pembahasan pada bab sebelumnya, maka dapat diambil kesimpulan yaitu : 1. Dengan menggunakan algoritma tetangga terdekat persoalan Travelling salesman

2. Kemungkinan terjadi kesalahan dengan menggunakan algoritma tetangga terdekat jika jumlah kota atau simpul sangat besar (n), sehingga algoritma tetangga terdekat harus diulangi sebanyak n kali.

3. Hasil yang diperoleh dari penyelesaian travelling salesman problem dengan menggunakan algoritma tetangga terdekat merupakan pendekatan dari hasil minimal.

4.2. SARAN

(6)

DAFTAR PUSTAKA

Boffey, T.B. 1982. Graph Theory in Operations Research. London: The Macmillan Press, Ltd London.

C.L., Liu. 1995. Dasar-dasar Matematika Diskrit. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.

Hiller Federick S., Lieberman and Gerald J. 1990. Introduction to Operations Research. First Edition. Mc Growhill, Inc.

Seymor S., Lipson, and Mare L. 2001. Matematika Diskrit. Jakarta: Salemba Teknika.

Supranto, Johannes. 1988. Riset Operasi untuk Pengambilan Keputusan. Jakarta: Universitas Indonesia.

Theresia. M.H. 1995. Graf. Jakarta: Erlangga

Thie, Paul R. 1979. An Introduction to Linear Programming and Game Theory. New York: Jhon Wiley&Son, Inc.

Penyelesaian Travelling Salesman Problem Menggunakan Algoritma Tetangga Terdekat

PENGHARGAAN

DAFTAR GAMBAR

BAB 1

PENDAHULUAN

BAB 2

LANDASAN TEORI

BAB 3

PEMECAHAN MASALAH

[ ]

∑

∑

∑

[

]

∑

∑

∑

[

]

[

]

∑

∑

[

]

[ ]

(

)

∑

[ ]

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

[ ]

∑

∑

∑

[

]

∑

∑

∑

[

]

[

]

∑

∑

[

]

[ ]

(

)

∑

[ ]

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

Parts

Dokumen yang terkait

Implementasi Algoritma Genetika Untuk Travelling Salesman Problem (TSP)

Kajian Algoritma Genetika Pada Travelling Salesman Problem

Kajian Terhadap Algoritma Semut (sudi Kasus : Penyelesaian Travelling Salesperson Problem)

Aplikasi algoritma ant system (AS) dalam kasus travelling salesman problem (Tsp)

Penyelesaian Clustered Travelling Salesman Problem Dengan Algoritme Lexisearch

PENERAPAN ALGORITMA GENETIKA PADA PENYELESAIAN TRAVELLING SALESMAN PROBLEM (TSP) DENGAN MATLAB 7.0.1.

penyelesaian asymetric travelling salesman problem dengan algoritma hungarian dan algoritma cheapest

Penanganan Fuzzy Time Window pada Travelling Salesman Problem (TSP) dengan Penerapan Algoritma Genetika

Implementasi Algoritma Cheapest Insertion Heuristic (CIH) dalam Penyelesaian Travelling Salesman Problem (TSP)

PENYELESAIAN TRAVELLING SALESMAN PROBLEM DENGAN ALGORITMA BRANCH AND BOUND

Dokumen yang Anda mencari sudah siap untuk unduhkan

_∑

_∑

_∑

_∑