Kontrol Optimum Vaksinasi dan Pengobatan pada Penyakit Menular Tipe SIR
KONTROL OPTIMUM VAKSINASI DAN PENGOBATAN
PADA PENYAKIT MENULAR TIPE SIR
FARICHATUL IVADA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Kontrol Optimum
Vaksinasi dan Pengobatan pada Penyakit Menular Tipe SIR adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2014
Farichatul Ivada
NIM G54100006
ABSTRAK
FARICHATUL IVADA. Kontrol Optimum Vaksinasi dan Pengobatan pada
Penyakit Menular Tipe SIR. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI
dan FARIDA HANUM.
Saat ini terdapat banyak penyakit menular di masyarakat yang menyebabkan
epidemi dalam populasi. Oleh karena itu, diperlukan program yang tepat untuk
menanggulangi penyebaran penyakit menular tersebut seperti vaksinasi dan
pengobatan. Penyebaran penyakit menular dapat digambarkan dengan model SIR.
Pada penelitian ini dipaparkan model SIR, dianalisis dinamika populasinya, serta
dilakukan optimalisasi pengendalian penyebaran penyakit menular melalui
vaksinasi dan pengobatan. Hasil dari analisis, terdapat dua titik tetap yaitu titik
tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik penyakit. Selain itu, dari analisis
model didapat pula bilangan reproduksi, ℛ0 . Jika ℛ0 1 maka titik tetap bebas
penyakit bersifat stabil global asimtotik, sedangkan jika ℛ0 > 1 maka titik tetap
endemik bersifat global asimtotik. Kontrol optimum pada penelitian ini
menggunakan pendekatan prinsip minimum Pontryagin dengan variabel kontrol
berupa vaksinasi dan pengobatan. Tujuan pengendalian pada penelitian ini adalah
mencari kombinasi yang optimal dari vaksinasi dan pengobatan sehingga dapat
meminimumkan biaya total dari kedua kontrol sekaligus meminimumkan jumlah
individu yang terinfeksi di akhir waktu.
Kata kunci: kontrol optimum, model SIR, pengobatan, prinsip minimum
Pontryagin, vaksinasi.
ABSTRACT
FARICHATUL IVADA. Optimal Control of Vaccination and Treatment for an
SIR Type of Infectious Diseases. Supervised by ENDAR HASAFAH
NUGRAHANI and FARIDA HANUM.
Nowadays, there are many infectious diseases that cause epidemic in the
population. Therefore, an effective program is required to eliminate the infectious
diseases, such as vaccination and treatment. The spread of infectious diseases can
be modeled by SIR model, in which it enables us to predict the outbreak and the
control rate. In this research, the SIR model is applied to analyze the population
dynamic and to optimize the control of the outbreak with vaccination and
treatment. As the result, the model provides two equilibrium points, i.e. dieasesfree and diseases-endemic equilibrium points. Moreover, the analysis show that if
the reproduction number or ℛ0 is less than or equal 1, then the disease-free
equilibrium point is globally asymptotically stable. While if ℛ0 is more than 1,
then the disease-endemic equilibrium point is globally asymptotically stable. In
this research the optimal control uses Pontryagin’s minimum principle with
vaccination and treatment as control measures. The control objective is to find the
optimal combination of vaccination and treatment that minimizes the cost of the
two control measures as well as the number of infected individuals at the end of
control period.
Keywords: optimal control, Pontryagin’s minimum principle, SIR model,
treatment, vaccination.
KONTROL OPTIMUM VAKSINASI DAN PENGOBATAN
PADA PENYAKIT MENULAR TIPE SIR
FARICHATUL IVADA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Kontrol Optimum Vaksinasi dan Pengobatan pada Penyakit
Menular Tipe SIR
Nama
: Farichatul Ivada
NIM
: G54100006
Disetujui oleh
Dr Ir Endar H. Nugrahani, MS
Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Alhamdulillahirabbil’alamiin. Segala puji bagi Allah SWT karena atas
rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat
dan salam terucap pula kepada Nabi Muhammad SAW yang telah membawa umat
manusia dari kegelapan kepada cahaya yang terang benderang. Pada kesempatan
ini, penulis juga ingin mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada
semua pihak yang telah mendukung dan membantu penulis, antara lain:
1 Alm. Bapak Marji dan Ibu Sumarti tercinta yang senantiasa mendoakan penulis
dalam setiap kesempatan. Do’a yang selalu menjadi penerang jalan penulis.
2 Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS dan Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si selaku
dosen pembimbing. Terima kasih atas waktu, ilmu yang diberikan, dan
kesabarannya dalam membimbing penulis.
3 Bapak Dr. Paian Sianturi selaku dosen penguji atas kesediaan waktu dan saran
kepada penulis.
4 Keluarga tercinta Mbak Mas’uda, Mbak Masruroh, Kak Noer, Kak Ucuph,
Bang Ady, adik Titah, dan si kecil Faiz yang selalu membuat penulis
bersemangat.
5 Sahabat dan teman-teman Matematika 47 dan 46, Ponpesma Al Iffah, Berkah
Crew, SERUM G, dan JCC yang selalu memberi semangat dan motivasi
kepada penulis. Khususnya kepada Ceu Lia, Uci, Hasanah, Lilis, Mute, Dince,
Dea, Peni, dan Desty.
6 Beasiswa Bidik Misi yang telah mendanai studi penulis selama di IPB.
Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih banyak kekurangannya,
untuk itu kritik dan saran yang konstruktif sangat penulis harapkan demi
perbaikan tulisan selanjutnya. Penulis berharap semoga karya ilmiah ini dapat
bermanfaat.
Bogor, Juli 2014
Farichatul Ivada
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Sistem Persamaan Diferensial dan Solusi Keseimbangan
2
Masalah Kontrol Optimum
4
Model SIR
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Model SIR dengan Vaksinasi
6
Titik Tetap Model
8
Bilangan Reproduksi
9
Analisis Kestabilan Titik Tetap
9
Konstruksi Matriks Jacobi
9
Kestabilan Lokal Titik Tetap
10
Kestabilan Global Titik Tetap
11
Masalah Kontrol Optimum
11
Fungsi Objektif
11
Fungsi Kendala
12
Prinsip Minimum Pontryagin
12
Simulasi Penerapan Kasus
13
SIMPULAN
19
DAFTAR PUSTAKA
20
LAMPIRAN
21
RIWAYAT HIDUP
30
DAFTAR GAMBAR
1 Konsep kestabilan
2 Skema model SIR
3 Skema model SIR dengan pengaruh vaksinasi
4 Dinamika populasi dengan ketiadaan vaksinasi dan pengobatan
5 Dinamika populasi ketika 1 = 0.02 dan 2 = 0.02
6 Dinamika populasi ketika 1 = 0.2 dan 2 = 0.06
7 Fungsi kontrol 1 , 2 untuk C1 = 4, C2 = 1
8 Fungsi kontrol 1 , 2 untuk C1 = 1, C2 = 4
9 Fungsi kontrol 1 , 2 untuk C1 = 1, C2 = 1
10 Suppopulasi S dan I untuk C1 = 4, C2 = 1
11 Suppopulasi S dan I untuk C1 = 1, C2 = 4
12 Suppopulasi S dan I untuk C1 = 1, C2 = 1
13 Biaya Marjinal 1 , 2 untuk C1 = 4, C2 = 1
14 Biaya Marjinal 1 , 2 untuk C1 = 1, C2 = 4
15 Biaya Marjinal 1 , 2 untuk C1 = 1, C2 = 1
4
6
7
14
15
15
16
16
16
17
17
17
18
19
19
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Pencarian solusi khusus ( )
Pencarian titik tetap �0 dari sistem persamaan (6)
Pencarian titik tetap �1 dari sistem persamaan (6)
Pembuktian titik tetap �0 bersifat stabil lokal asimtotik jika ℛ0 < 1
Perhitungan nilai eigen titik tetap endemik penyakit (dengan software
Maple)
Pembuktian titik tetap �1 bersifat stabil lokal asimtotik jika ℛ0 > 1
Simulasi bidang solusi dinamika populasi tanpa kontrol vaksinaasi dan
pengobatan (dengan software Maple)
Simulasi bidang solusi dinamika populasi dengan 1 = 2 = 0.02
(dengan software Maple)
Simulasi bidang solusi dinamika populasi dengan 1 = 0.2 dan
2 = 0.04 (dengan software Maple)
M-File Matlab untuk solusi numerik model SIR
M-File Matlab untuk plot fungsi kontrol, fungsi keadaan, dan fungsi
adjoint pada kasus I yaitu C1 = 4 dan C2 = 1
M-File Matlab untuk plot fungsi kontrol, fungsi keadaan, dan fungsi
adjoint pada kasus II yaitu C1 = 1 dan C2 = 4
M-File Matlab untuk plot fungsi kontrol, fungsi keadaan, dan fungsi
adjoint pada kasus III yaitu C1 = 1 dan C2 = 1
21
21
21
22
23
24
25
25
26
26
28
28
29
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi khususnya
di bidang kesehatan, pengendalian penyebaran penyakit menular dapat dilakukan
secara langsung dan tidak langsung. Secara langsung, terhadap individu yang
rentan dapat dilakukan vaksinasi sedangkan terhadap individu yang telah
terinfeksi dapat dilakukan pengobatan. Adapun pengendalian penyebaran penyakit
menular secara tidak langsung dapat dilakukan dengan tindakan persuasif seperti
edukasi baik di sekolah maupun di instansi pendidikan, kampanye pemahaman
perihal penyebab, gejala penyakit, dan cara penularan. Individu yang telah
terinfeksi penyakit menular harus segera mendapatkan pengobatan karena dapat
berujung pada kematian apabila tidak segera diberi pengobatan secara tepat.
Pengobatan penyakit menular dapat dilakukan dengan menggunakan antitoksik
dan antibodi serta perawatan secara intensif. Selain dilakukan pengobatan, upaya
pencegahan juga diperlukan untuk menanggulangi permasalahan ini agar tidak
terulang kembali. Pencegahan penyakit ini dapat dilakukan dengan pemberian
vaksinasi terhadap individu yang rentan.
Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang matematika juga turut
memberikan peranan penting dalam mencegah meluasnya penyebaran penyakit
menular. Peranan tersebut berupa model matematika yang mempelajari
penyebaran penyakit. Matematika memberikan salah satu solusi penyelesaian
penyebaran penyakit menular. Pertama, pola endemik bisa digambarkan secara
matematis dengan mendekati keadaan sebenarnya melalui suatu model
matematika. Kedua, dengan matematika akan dianalisis pola endemik melalui
model yang telah dirumuskan berdasarkan suatu asumsi.
Berdasarkan teori epidemik dari Kermark & McKendrick yang
dikemukakan pertama kali pada tahun 1927, penyebaran penyakit menular
biasanya dapat digambarkan secara matematis oleh model-model kompartemen
seperti model SIR dengan setiap huruf mengacu pada kompartemen di mana
individu dapat berada. Model SIR (Susceptibles, Infected, Recovered) ini dapat
mentransformasikan kejadian epidemik suatu penyakit menular ke dalam model
matematika sehingga laju penyebaran dan kepunahan suatu wabah penyakit dalam
populasi dapat diketahui. Dari model ini dapat ditentukan solusi analitis dan titik
kesetimbangannya, yang selanjutnya dianalisis sesuai permasalahan yang
sesungguhnya dalam kehidupan nyata. Analisis ini meliputi perilaku penyebaran
penyakit terhadap dinamika populasi serta eksistensinya pada kondisi bebas
penyakit dan endemik penyakit. Selain menentukan laju penyebaran dan
kepunahan, dari model matematika ini dapat dicari pula optimalisasi dari
pengendalian penyebaran penyakit yakni vaksinasi dan pengobatan. Optimalisasi
pada sistem dinamik pada umumnya menggunakan kontrol optimum (Tu 1994),
dengan salah satu metode penyelesaian masalah kontrol optimum yang banyak
digunakan adalah pendekatan prinsip maksimum atau minimum Pontryagin.
Pada penelitian ini, akan dibahas modifikasi model Kermark & McKendrick
tipe SIR (Yusuf & Benyah 2012). Dari model tersebut akan dilakukan analisis
dinamika populasi terhadap penyebaran penyakit dengan asumsi total populasi
2
tidak konstan serta dilakukan penyelesaian masalah kontrol optimum dengan
pendekatan prinsip minimum Pontryagin dengan kontrol berupa vaksinasi dan
pengobatan.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penulisan penelitian ini ialah merekonstruksi model SIR dari
penyakit menular yang telah dilakukan oleh Yusuf dan Benyah pada tahun 2012.
Dari model ini akan dilakukan analisis dinamika populasi dengan menentukan
titik tetap dan kestabilannya kemudian dilakukan optimalisasi tingkat vaksinasi
dan pengobatan pada suatu populasi yang terkena wabah penyakit menular dengan
pendekatan prinsip kontrol optimum, serta dilakukan simulasi terhadap nilai-nilai
parameter yang memengaruhinya.
TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Persamaan Diferensial dan Solusi Keseimbangan
Pemodelan matematika dapat digunakan untuk mengamati penyebaran suatu
penyakit, khususnya penyakit menular. Salah satu model yang digunakan adalah
dengan pendekatan SIR. Persamaan yang digunakan pada pendekatan SIR adalah
sistem persamaan diferensial taklinear.
Diberikan sistem persamaan diferensial (SPD) sebagai berikut:
=
, ,
=
, .
Titik ( ∗ , ∗ ) disebut titik tetap jika memenuhi ( ∗ , ∗ ) = 0 dan ( ∗ , ∗ ) = 0.
Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan. Untuk selanjutnya
akan digunakan istilah titik tetap. Untuk menganalisis kestabilan titik tetap dari
suatu SPD taklinear, dapat dilakukan dengan pelinearan pada sistem persamaan
diferensialnya. Andaikan ( ∗ , ∗ ) adalah titik tetap dari persamaan di atas, maka
∗ ∗
∗ ∗
,
= 0 dan
,
= 0 . Misalkan = − ∗ dan = − ∗ maka
didapatkan:
=
= ( ∗+ , ∗+ )
∗ ∗
+
+ ( 2, 2 , )
=
,
+
+
=
+ (
2
,
2
,
)
serta,
=
=
=
=
(
∗
+ , ∗+ )
∗ ∗
,
+
+
+
+ (
2
+ (
,
2
,
)
2
,
2
,
)
3
Dalam bentuk matriks:
=
Matriks � =
(
2
,
2
,
2
+
,
2
,
.
disebut matriks Jacobi pada titik tetap
∗
,
∗
. Karena
) → 0 maka dapat diabaikan sehingga didapat persamaan linear:
=
.
(Strogatz 1994)
Selain pelinearan, dibahas pula penentuan kestabilan dari suatu titik tetap.
Kestabilan titik tetap dapat bersifat lokal dan global. Titik tetap bersifat stabil
lokal jika kestabilan tersebut hanya berlaku untuk nilai awal di sekitar titik tetap,
sedangkan kestabilan titik tetap bersifat global jika kestabilan berlaku untuk
semua nilai awal pada daerah asal
sehingga ketika → ∞, semua solusi akan
menuju titik tetap. Berikut Definisi dari titik tetap stabil, stabil asimtotik lokal,
dan stabil asimtotik global.
Definisi 1 Titik Tetap Stabil
Misalkan ∗ adalah titik tetap dari SPD dan
merupakan solusi yang
∗
memenuhi kondisi awal 0 = 0 dengan 0 ≠ . Titik tetap ∗ dikatakan
stabil jika terdapat �0 > 0 yang memenuhi sifat yakni untuk setiap 0 < �1 < �0 ,
∗
terdapat �0 > 0 sedemikian sehingga jika
− 0 < � maka ∗ − ( ) <
�1 , untuk > 0 .
Definisi 2 Titik Tetap Stabil Lokal Asimtotik
Titik tetap ∗ dikatakan stabil lokal asimtotik jika titik
∗
terdapat � > 0 sedemikian sehingga
− 0 < � maka lim
dengan 0 = 0 .
Definisi 3 Titik Tetap Stabil Global Asimtotik
Titik tetap ∗ dikatakan stabil global asimtotik jika titik
terdapat 0 Ω ⊆ , lim →∞ ( ) = ∗ , dengan 0 = 0 .
∗
stabil dan
∗
,
→∞ ( ) =
∗
stabil
dan
Definisi 1 menyatakan bahwa titik tetap ∗ stabil jika seluruh lintasan kurva yang
menggambarkan solusi ( ) berada pada radius �1 , jika titik awal 0 dipilih
cukup dekat dengan titik tetap ∗ , sedangkan titik tetap stabil asimtotik pada
Definisi 2 terjadi jika dipilih titik awal 0 yang cukup dekat dengan titik tetap ∗
sehingga solusi ( ) adalah ∗ untuk → ∞. Pada Definisi 3, titik tetap global
asimtotik terjadi jika dipilih titik awal 0 di luar radius �0 dengan kata lain dipilih
sembarang, maka setiap solusi ( ) adalah ∗ untuk → ∞. Untuk
0 Ω⊆
lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 1.
4
Gambar 1 Konsep kestabilan
(Szidarovszky & Bahill 1997)
Selain menggunakan Definisi, kestabilan titik tetap dapat ditentukan dengan
mencari nilai eigen yang diperoleh dari penyelesaian solusi taknol matriks yang
berukuran × . Misalkan � adalah matriks berukuran ×
dan adalah
matriks identitas berukuran × , maka nilai eigen dari matriks � mempunyai
solusi taknol jika dan hanya jika:
det � −
= 0.
Dari persamaan di atas diperoleh nilai eigen, dengan = 1,2,3, … . Penentuan
kestabilan titik tetap berdasarkan nilai eigen secara umum mempunyai perilaku
sebagai berikut:
1 Stabil, jika
a) Setiap nilai eigen real adalah negatif ( < 0 untuk setiap i).
b) Setiap komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih kecil atau
sama dengan nol, (Re( ) 0 untuk setiap i).
2 Stabil asimtotik, jika
a) Setiap nilai eigen real adalah negatif ( < 0 untuk setiap i).
b) Setiap komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih kecil dari nol,
(Re
< 0 untuk setiap i).
3 Takstabil, jika
a) Setiap nilai eigen real adalah positif ( > 0 untuk setiap i).
b) Setiap komponen bagian real dari nilai eigen kompleks lebih besar dari nol,
(Re( ) > 0 untuk setiap i).
4 Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real tertentu adalah negatif (
0, batas laju vaksinasi dan pengobatan
adalah 0
1, dan 0
1 serta batas jumlah individu di setiap
1
2
subpopulasi sebesar 0
0, (0) 0, dan (0) 0.
Karena dalam asumsi dinyatakan bahwa laju kelahiran dengan laju kematian
tidak sama maka total populasi bersifat tidak konstan. Dengan memperhatikan
bahwa
=
+
+
maka didapat persamaan laju perubahan total
populasi yakni
= −
− .
(5)
Dari persamaan (2)-(5) dapat diperhatikan bahwa pada persamaan (2) dan
(3), variabel R tidak muncul. Hal ini menunjukkan bahwa jumlah individu pada
8
subpopulasi R tidak memengaruhi laju perubahan jumlah individu pada
subpopulasi S maupun I, sehingga untuk penyelesaian R dapat diperoleh dari
=
−
−
, jika nilai S, I, dan N sudah diperoleh. Dengan
demikian persamaan (2)-(5) dapat direduksi sebagai berikut.
=
=
−
− 1 −
=
−
=
−
2
−
(6)
=
=
−
− .
Pada keadaan bebas penyakit yaitu ketika jumlah individu terinfeksi dalam
populasi tidak ada, dengan kata lain = 0, maka
= −
. Dengan
melakukan perhitungan kalkulus diperoleh penyelesaian
1−
=
−
−
0
(perhitungan disajikan dalam Lampiran 1).
Jika
membesar maka diperoleh lim
−
( ) = , sehingga dapat
→∞
dijelaskan bahwa dalam jangka waktu yang panjang, total populasi manusia akan
menuju kapasitas batas yakni . Namun ketika terjadi endemik penyakit maka
total populasi akan berubah hingga titik tertentu sehingga daerah solusi model
sebagai berikut
Ω = � = ( , , ) ∈ 3|
0,
0, +
,
(7)
dengan � merupakan ruang skalar bilangan real yang berelemen tiga.
Titik Tetap Model
Analisis titik tetap pada sistem persamaan diferensial sering digunakan
untuk menentukan suatu solusi yang tidak berubah terhadap waktu (solusi
konstan). Titik tetap dari persamaan (6) dapat diperoleh dengan menentukan
= 0,
= 0, dan
= 0. Dengan menyelesaikan persamaan secara bersamaan
maka akan diperoleh dua titik tetap.
Titik yang pertama disebut sebagai titik tetap bebas penyakit. Dikatakan
demikian karena dalam populasi tidak terdapat individu yang terinfeksi dengan
kata lain = 0. Dengan kondisi ini didapat titik tetap bebas penyakit sebagai
berikut.
�0 =
,0,
+
(penurunan persamaan diberikan pada Lampiran 2).
Titik tetap yang kedua disebut titik tetap endemik penyakit. Pada kondisi
endemik, dalam populasi sudah terdapat individu yang terinfeksi atau ≠ 0 .
Dengan kondisi ini, maka dalam populasi akan terjadi penyebaran penyakit
sehingga penyakit bersifat endemik. Ekspresi matematik dari titik tetap endemik
penyakit adalah
�1 = ( ∗ , ∗ ,
∗
)=
2+
0, 0,
0
=
1
+
,
−
2+
+
2+
1+
+
(penurunan persamaan diberikan pada Lampiran 3).
,
2+
+ ( 2 + + )( 1 + )
( 2+ + )
9
Bilangan Reproduksi
Bilangan reproduksi atau dikenal dengan ℛ0 menunjukkan bentuk
kuantitatif atau indikator dari tingkat penyebaran penyakit. Menurut Hethcote
(2000), bilangan reproduksi merupakan bilangan yang menunjukkan jumlah
individu susceptible yang dapat menderita penyakit yang diakibatkan oleh satu
individu infected. ℛ0 merupakan rasio antara jumlah individu susceptible pada
kondisi bebas penyakit dengan jumlah individu susceptible pada kondisi endemik
penyakit. Selanjutnya bilangan reproduksi dalam tulisan ini merupakan bilangan
reproduksi pada kasus yang memperhatikan faktor vaksinasi dan pengobatan yang
dinyatakan sebagai
.
(8)
ℛ0 = 0∗ =
1+
2+
+
Ketika ℛ0 < 1 , satu individu infected hanya akan menularkan penyakit
kepada kurang dari satu individu susceptible atau dengan kata lain tidak ada
individu baru yang tertular sehingga penyakit akan menghilang dalam populasi,
sedangkan ketika ℛ0 > 1, satu individu infected akan menularkan penyakit
kepada lebih dari satu individu susceptible sehingga penyakit akan berkembang
menjadi endemik dalam populasi.
Bilangan reproduksi ini akan berkaitan dengan analisis kestabilan dari titik
tetap yang ada baik lokal maupun global karena bilangan reproduksi merupakan
ambang batas (threshold) terjadinya penyebaran penyakit. Menurut Giesecke
(1994) beberapa kondisi yang ditimbulkan oleh ℛ0
1 Jika ℛ0 < 1, maka penyakit akan menghilang dalam populasi (bebas penyakit),
2 Jika ℛ0 = 1, maka penyakit akan menetap dalam populasi,
3 Jika ℛ0 > 1, maka penyakit akan meningkat menjadi wabah dalam populasi
(endemik penyakit).
Berikut bentuk lain dari titik tetap endemik dengan melibatkan ekspresi ℛ0
1
∗
=
,
∗
=
∗
=
ℛ0
−
1+
2+ +
2+
2+
+
1+
+
2+
2+
+
+
= ℛ0 − 1
1+
= ℛ0
1+
2
,
+
+
1+
.
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Konstruksi Matriks Jacobi
Analisis kestabilan ditentukan berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobi
yang diperoleh dari metode linearisasi. Misalkan
, ,
= −
− 1 − ,
, ,
=
− 2 − − ,
(9)
, ,
= −
− .
10
Dari persamaan (9) akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
=
=
−
−
1
0
−
−
Kestabilan Lokal Titik Tetap
1 Titik tetap bebas penyakit �0
Dengan menyubstitusikan titik �0 =
−
1+
2
−
−
0
0
−
−
,0,
.
(10)
ke matriks Jacobi
didapat
0
=
−(
1
−
+ )
0
1
0
+
−
2
−
−
.
0
1+
0
−
−
Nilai eigen dari matriks Jacobi 0 diperoleh dengan menggunakan persamaan
| 0 − | = 0 yaitu
, 2=
− 2− − , 3=−
1 = − 1+
+
1
Titik tetap �0 akan bersifat stabil lokal asimtotik jika
< 0 untuk i = 1,2,3.
Karena 1 > 0 dan > 0 maka 1 < 0 dan 3 < 0 sedangkan 2 < 0 jika
ℛ0 < 1 (bukti pada Lampiran 4).
Perhatikan ketika ℛ0 < 1 maka setiap nilai eigen memiliki bilangan
real negatif yang mengakibatkan titik tetap bebas penyakit �0 bersifat stabil
lokal asimtotik, sehingga dapat disimpulkan bahwa titik tetap bebas penyakit
�0 akan stabil lokal asimtotik jika ℛ0 < 1 yaitu pada kondisi penyakit telah
menghilang dalam populasi.
2 Titik tetap endemik penyakit �1
Pelinearan pada titik tetap �1 akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai
berikut:
−ℛ0 1 +
+
0
2+
.
=
ℛ
−
1
+
0
0
1
0
1
0
−
−
dengan menghitung | 1 − | = 0, maka didapat nilai eigen
1 = − ,
2,3
=
−ℛ0
1
+
± ℛ0 2
1
+
2
− 4 ℛ0 − 1
1
+
(
2
+
+ )
2
(bukti pada Lampiran 5).
Dari persamaan di atas, nilai 1,2,3 merupakan bilangan real negatif atau
berupa bilangan kompleks dengan bilangan real bernilai negatif jika ℛ0 > 1
(pembuktian dapat dilihat pada Lampiran 6). Hal ini menunjukkan bahwa
keadaan titik tetap endemik penyakit �1 bersifat stabil lokal asimtotik atau
1,2,3 < 0 jika ℛ 0 > 1 yaitu pada kondisi penyakit meningkat menjadi wabah
11
(penyakit bersifat endemik). Berikut adalah tabel kondisi kestabilan dari kedua
titik tetap yang diperoleh.
Tabel 1 Kondisi kestabilan lokal titik tetap
Kondisi
ℛ0 < 1
ℛ0 > 1
�0
Stabil asimtotik
Tidak stabil
�1
Tidal stabil
Stabil asimtotik
Tabel 1 menunjukkan bahwa dinamika sistem ditentukan oleh bilangan
reproduksi dasar. Ketika ℛ0 < 1 titik tetap bebas penyakit akan stabil lokal
asimtotik yang berarti bahwa penyakit tidak akan menyebar dalam populasi
atau dengan kata lain pada akhirnya penyakit akan hilang dari populasi. Ketika
ℛ0 > 1 titik tetap endemik penyakit akan stabil lokal asimtotik yang berarti
bahwa penyakit akan tetap ada dan menyebar dalam populasi.
Kestabilan Global Titik Tetap
Menurut Yusuf dan Benyah (2012) kestabilan global titik tetap pada
persamaan (8) dipengaruhi oleh bilangan reproduksi sebagai berikut.
1 Jika ℛ0 1, maka titik tetap bebas penyakit bersifat stabil global asimtotik.
Pada kondisi ℛ0 1 maka dalam populasi tidak terdapat penyakit atau
= 0. Ketika = 0 disubstitusikan ke persamaan dan , akan diperoleh nilai
→ + dan → ketika
→ ∞, sehingga didapat tititk tetap ε0 . Titik
1
tetap bebas penyakit bersifat global asimtotik artinya bahwa setiap nilai awal
� 0 ∈ Ω maka setiap solusi �
yang dihasilkan akan menuju titik tetap ε0
untuk t → ∞.
2 Jika ℛ0 > 1, maka titik tetap endemik penyakit bersifat global asimtotik.
Jika ℛ0 > 1 yang artinya dalam populasi terdapat endemik penyakit
maka setiap solusi dari sistem persamaan (8), dengan nilai awal � 0 ∈ Ω akan
mendekati titik tetap �1 untuk t → ∞ . Oleh karena itu, jika ℛ0 > 1 dalam
jangka waktu yang panjang populasi akan selalu terjangkit penyakit dan setiap
subpopulasi susceptible, infected, recovered, maupun populasi total akan
mendekati titik tetap ε1 .
Masalah Kontrol Optimum
Pada bagian ini akan dibahas model masalah kontrol optimum dengan tiga
bahasan yaitu, model fungsi objektif dan fungsi kendala serta penyelesaian dengan
prinsip minimum Pontryagin.
Fungsi Objektif
Permasalahan yang terjadi dalam suatu populasi yang di dalamnya terjadi
endemik penyakit adalah tingkat penyebaran penyakit. Berdasarkan asumsi,
penyebaran penyakit terjadi akibat kontak langsung antara individu terinfeksi
dengan individu rentan. Hal ini menunjukkan individu terinfeksi memiliki
peranan yang besar terhadap penyebaran penyakit dalam populasi, sehingga dalam
memberantas penyakit perlu dilakukan pengendaliann yang bertujuan menekan
jumlah individu yang terinfeksi. Pada penelitian ini akan dilakukan pengendalian
12
penyebaran penyakit dengan cara pemberian vaksinasi dan pengobatan.
Diasumsikan sumber daya (keuangan) terbatas dan fungsi biaya berbentuk kuadrat
sehingga pada tingkat tertentu laju kontrol vaksinasi 1 dan laju kontrol
pengobatan 2 dapat meminimumkan total biaya sekaligus meminimumkan
jumlah individu yang terinfeksi. Bentuk �1 12 menyatakan fungsi biaya dari
vaksinasi dan bentuk �2 22 merupakan fungsi biaya dari pengobatan.
Fungsi objektif Z dari kontrol optimum ini secara matematik dapat
dinyatakan sebagai
1
(11)
min =
+ 0 (�1 12 + �2 22 )
2
dengan
�1 : bobot relatif yang berkaitan dengan biaya vaksinasi (biaya vaksin, biaya
penyimpanan vaksin, dan lain-lain)
�2 : bobot relatif yang berkaitan dengan biaya pengobatan (biaya rumah sakit,
biaya obat, dan lain-lain)
serta pembatasan variabel kontrol
�=
, 2
|0
1, 0
1, ∈ [0, ] .
1
1
1
2
2
Fungsi Kendala
Dari hasil observasi diperoleh informasi bahwa tingkat vaksinasi dan
pengobatan masing-masing mempengaruhi jumlah individu susceptible dan
infected. Semakin besar tingkat vaksinasi yang diberikan maka jumlah individu
susceptible semakin berkurang. Begitu pula ketika tingkat pengobatan diperbesar
maka jumlah individu yang terinfeksi pun akan semakin berkurang. Dengan kata
lain, jumlah individu susceptible dan infected dipengaruhi atau dikontrol langsung
oleh tingkat vaksinasi dan pengobatan sehingga fungsi kendala dapat dinyatakan
sebagai,
= −
− 1 − ,
(12)
=
− 2 − − .
Jumlah individu recovered tidak secara langsung memengaruhi tingkat
vaksinasi maupun pengobatan. Jumlah individu recovered merupakan akibat dari
pemberian vaksinasi terhadap individu susceptible dan pemberian pengobatan
terhadap individu infected sehingga tidak perlu disertakan dalam fungsi kendala.
Adapun total populasi ( ) juga tidak termasuk fungsi kendala pada masalah
kontrol optimum ini karena 1 dan 2 tidak muncul dalam persamaan ( ).
Prinsip Minimum Pontryagin
Dari persamaan (11) dan (12) diketahui variabel kontrol dan variabel
( )
keadaan dari masalah kontrol optimum ini masing-masing
= 1
dan
2( )
( )
=
. Dengan memasukkan persamaan (11) dan (12) ke persamaan (1)
( )
maka diperoleh fungsi Hamilton yang dinyatakan sebagai
1
ℋ = (�1 12 + �2 22 ) + 1 −
− 1 −
+ 2
− 2 − −
.
(13)
2
Penyelesaian masalah kontrol optimum dengan menerapkan prinsip minimum
Pontryagin memberikan syarat optimalitas (1), yaitu meminimumkan fungsi
ℋ
Hamilton dengan cara
= 0 dengan = 1,2 sehingga didapat 1 = �1 dan
1
13
2
2
=
1
= min max 0,
�2
. Karena 0
1
1
�1
,
dan 0
1
dan
1
2
2
, maka diperoleh batas
2
= min max 0,
2
�2
,
2
. Kemudian
syarat optimalitas (2) dengan 1∗ , 2∗ merupakan pasangan kontrol optimum yang
berkorespondensi terhadap variabel keadaan ∗ , ∗ yang meminimumkan fungsi
objektif, maka terdapat variabel adjoint 1 dan 2 yang memenuhi
ℋ
= −
=
+ 1+ − 2 ,
1
1
(14)
ℋ
=
−
=
−
−
−
−
,
2
1
2
2
serta diperoleh pula variabel S dan I yang merupakan fungsi kendala, yakni
ℋ
=
−
− 1 − ,
=
1
(15)
ℋ
=
=
− 2 − − ,
2
dengan syarat batas
0 = 0 0 dan 0 = 0 0. Karena diasumsikan
( )
=
bebas, maka syarat transversalitas berikut (syarat optimalitas (4))
( )
harus dipenuhi:
= 1⟺ 1
= 0,
1
(16)
= 2⟺ 2
= 1.
2
Dari persamaan (14) dan (15) serta syarat transversalitas persamaan (16) dan
syarat batas di atas maka sistem optimal dari masalah kontrol optimum ini dapat
dituliskan sebagai berikut.
=
−
− 1 −
=
− 2 − −
=
+ 1+ − 2
1
1
=
− 2( − 2 − − )
2
1
(17)
= 0, 2
= 1, 0
0, 0
0
1
1
= min max 0,
2
= min max 0,
1
�1
2
�2
,
1
,
2
.
Simulasi Penerapan Kasus
Pada bagian ini diberikan simulasi tentang penyebaran penyakit secara
numerik dalam pengoptimuman sistem persamaan (17). Diberikan nilai hipotesis
parameter
= 0.75, = 0.1, = 0.03, = 0.02, serta nilai awal setiap
variabel
0 = 0.95, 0 = 0.05 dan
0 = 1. Berikut akan diberikan
simulasi mengenai pengaruh pengendalian penyebaran penyakit melalui program
vaksinasi dan pengobatan dalam populasi yang telah terjangkit penyakit.
14
Gambar 4 Dinamika populasi dengan ketiadaan
vaksinasi dan pengobatan
Gambar 4 menunjukkan proporsi individu susceptible, infected, recovered,
dan total populasi di mana pemberian vaksinasi dan pengobatan ditiadakan
( 1 = 0 dan 2 = 0 ). Subpopulasi susceptible mengalami penurunan cukup
signifikan pada beberapa tahun pertama sedangkan proporsi individu infected
mengalami kenaikan yang cukup signifikan pada waktu
10. Hal ini terjadi
karena individu susceptible mulai terinfeksi penyakit dan memasuki subpopulasi
infected akibat dari tidak adanya penanganan berupa vaksinasi subpopulasi
infected semakin bertambah. Begitu pula dengan ketiadaan pengobatan sehingga
subpopulasi recovered sama dengan nol akibatnya subpopulasi infected hanya
akan meninggalkan subpopulasinya jika mengalami kematian saja. Hal ini
mengakibatkan total populasi pun menurun proporsinya secara signifikan. Namun,
pada waktu t menuju takhingga (
50), jumlah individu pada subpopulasi
susceptible dan infected serta total populasi tidak mengalami perubahan. Pada
keadaan tersebut sistem berada pada kondisi setimbang. Pada kondisi tersebut,
penyakit akan selalu ada sampai waktu yang tak terbatas, dengan kata lain
penyakit bersifat endemik dalam populasi. Kondisi setimbang tersebut dicapai
pada ε1 = (0.16, 0.223, 0.383 ). Dari kesetimbangan ini terlihat penurunan
proporsi pada total populasi tidak akan menyebabkan populasi mengalami
kepunahan.
Pengendalian dianggap berhasil jika pada waktu tertentu penyakit
menghilang dari populasi. Bilangan reproduksi dapat digunakan untuk
menentukan apakah penyakit telah menghilang atau bersifat endemik dalam
populasi. Penyakit dikatakan menghilang jika ℛ0 < 1 sedangkan penyakit
dikatakan endemik jika ℛ0 > 1. Adapun dari persamaan (8) diketahui nilai
ℛ0 =
1+
2+
+
. Dengan menyubstitusikan nilai-nilai parameter yang
diberikan maka didapat proporsi
1
=
0.0225
2 +0.12
− 0.02. Misalkan laju pengobatan
minimum sebesar 2
= 0.04 maka tingkat vaksinasi minimum adalah
=
0.120625.
Jika
tingkat
vaksinasi atau pengobatan diberikan lebih kecil
1
dari nilai tersebut maka akan terjadi endemik penyakit karena ℛ0 > 1, sedangkan
15
jika tingkat vaksinasi atau pengobatan diberikan lebih besar dari nilai tersebut
maka penyakit akan menghilang dalam populasi karena ℛ0 < 1. Kedua kondisi
ini diilustrasikan dalam Gambar 5 dan Gambar 6.
Gambar 5 Dinamika populasi ketika
1 = 0.02 dan 2 = 0.02
Gambar 6 Dinamika ketika populasi
1 = 0.2 dan 2 = 0.06
Dari Gambar 5 dan Gambar 6 dapat dilihat perbedaannya. Pada Gambar 5
ketika nilai 1 dan 2 dibuat lebih kecil dari 1
dan 2 , hingga waktu tak
terbatas ( > 50) penyakit selalu ada dalam populasi atau penyakit bersifat
endemik. Hal ini menunjukkan program vaksinasi dan pengobatan belum berhasil
memusnahkan penyakit. Sedangkan Gambar 6 menunjukkan bahwa penyakit akan
menghilang dalam kurun waktu kurang dari 50 tahun ketika diberikan nilai
dan 2 > 2 . Hal ini menunjukkan bahwa pengendalian
1 > 1
penyebaran penyakit berhasil memusnahkan penyakit dalam populasi.
Selanjutnya akan diberikan simulasi tiga kasus di mana setiap kasus
memiliki kombinasi bobot relatif dari biaya setiap kontrol kemudian dianalisis
pengaruhnya terhadap variabel kontrol ( 1 , 2 ), variabel adjoint ( 1 , 2 ), dan
terhadap dinamika populasinya (S,I). Kasus 1 bobot relatif dari biaya vaksinasi
dibuat lebih besar dari biaya pengobatan yakni C1 = 4, C2 = 1, kasus II bobot
relatif dari biaya pengobatan lebih besar dari vaksinasi atau C1 = 1, C2 = 4, dan
kasus III di mana kedua biaya kontrol memiliki bobot relatif yang sama yakni
C1=C2 = 1.
Pada Gambar 7-9 dapat diamati meskipun dengan perbedaan bobot relatif
biaya yang diterapkan, dalam beberapa tahun pertama kontrol vaksinasi selalu
lebih banyak diterapkan daripada kontrol pengobatan hingga batas tertentu
untuk mengurangi jumlah individu susceptible, kemudian perlahan-lahan mulai
diterapkan lebih banyak kontrol pengobatan daripada kontrol vaksinasi untuk
mengurangi jumlah individu infected.
16
Gambar 7 Fungsi kontrol
1,
2
untuk C1 = 4, C2 = 1
Gambar 8 Fungsi kontrol
1,
2
untuk C1 = 1, C2 = 4
Gambar 9 Fungsi kontrol
1,
2
untuk C1 = 1, C2 = 1
17
Gambar 10 Subpopulasi S dan I untuk C1 = 4, C2 = 1
Gambar 11 Subpopulasi S dan I untuk C1 = 1, C2 = 4
Gambar 12 Subpopulasi S dan I untuk C1 = 1, C2 = 1
Gambar 10, 11, dan 12 menunjukkan jumlah individu susceptible yang
semakin berkurang sedangkan jumlah individu infected mengalami kenaikan.
Pada Gambar 10, untuk pengoptimuman diterapkan kontrol pengobatan lebih
18
banyak karena bobot relatif biaya dari pengobatan yang lebih kecil daripada
vaksinasi. Namun, penerapan kontrol pengobatan yang lebih banyak tidak secara
signifikan menurunkan jumlah individu infected dengan titik puncak masih
mencapai 0.4, dibandingkan dengan kasus ketika menerapkan lebih banyak
vaksinasi, titik puncak jumlah individu infected hanya mencapai 0.2. Begitu pula
ketika bobot relatif dari biaya kontrol sama, puncak jumlah individu infected tidak
jauh berbeda dengan kasus bobot relatif dari biaya vaksinasi yang lebih kecil
daripada bobot relatif dari biaya pengobatan.
Gambar 13, 14, dan 15 menunjukkan solusi numerik dari nilai adjoint 1
dan 2 . Dalam masalah kontrol optimum, nilai adjoint
menunjukkan nilai
marjinal dari fungsi objektif akibat dari perubahan variabel state atau variabel
keadaan. Karena fungsi objektif dalam penelitian ini berkaitan dengan fungsi
biaya dan dinamika variabel keadaan (individu susceptible dan infected) dikontrol
oleh tingkat vaksinasi dan pengobatan maka
dalam penelitian ini
merepresentasikan biaya marjinal dari tiap kontrol yakni 1 untuk biaya marjinal
dari kontrol vaksinasi dan 2 untuk biaya marjinal dari kontrol pengobatan. Biaya
marjinal dalam masalah kontrol optimum ini menunjukkan peningkatan atau
penurunan total biaya akibat dari penambahan atau pengurangan kontrol vaksinasi
maupun pengobatan.
Gambar 13 yakni ketika C1 = 4 dan C2 = 1, biaya marjinal untuk vaksinasi
dan pengobatan mengalami kenaikan. Namun setelah perpotongan, biaya marjinal
dari vaksinasi mengalami penurunan sedangkan biaya marjinal dari pengobatan
semakin meningkat. Peningkatan biaya marjinal pada kedua kontrol menyebabkan
biaya yang dikeluarkan tidak ekonomis. Kasus C1 = 1 dan C2 = 4, pada beberapa
awal tahun pengendalian biaya marjinal dari vaksinasi meningkat secara perlahan
sedangkan biaya marjinal dari pengobatan mengalami penurunan, namun terjadi
sebaliknya pada beberapa akhir tahun pengendalian. Kedua biaya marjinal tidak
mengalami overlapping (tumpang tindih), hal ini menunjukkan bahwa lebih
ekonomis untuk memperbesar jumlah vaksinasi daripada pengobatan karena bobot
relatif dari vaksinasi lebih rendah dari pengobatan. Pada kasus C1 = C2 = 1,
Gambar 15 menunjukkan pola yang sama dengan kasus C1 = 1 dan C2 = 4.
Gambar 13
Biaya marjinal
1, 2
untuk C1 = 4, C2 = 1
19
Gambar 14 Biaya marjinal
Gambar 15 Biaya marjinal
1, 2
1
,
2
untuk C1 = 1, C2 = 4
untuk C1 = 1, C2 = 1
SIMPULAN
Pada penelitian ini dianalisis kontrol optimum dari vaksinasi dan
pengobatan terhadap model epidemik SIR dengan jumlah populasi tidak konstan.
Berdasarkan hasil dan pembahasan, hasil analisis yang telah dilakukan pada
model matematika ini diperoleh dua titik tetap yaitu titik tetap bebas penyakit dan
titik tetap endemik penyakit. Dari analisis kestabilan baik lokal maupun global,
dinamika populasi bergantung pada bilangan reproduksi dasar. Ketika bilangan
reproduksi dasarnya kurang dari satu maka titik tetap bebas penyakit akan stabil
asimtotik yang berarti bahwa penyakit tidak akan menyebar dalam populasi atau
pada akhirnya penyakit akan hilang dari populasi. Jika bilangan reproduksi
dasarnya lebih dari satu maka titik tetap endemik akan stabil asimtotik yang
berarti bahwa penyakit akan tetap ada dan menyebar dalam populasi.
20
Selanjutnya, dari analisis kontrol optimum secara matematis dan simulasi
terhadap strategi kontrol vaksinasi dan pengobatan dengan beberapa tingkat biaya
diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1 Pada kasus di mana bobot relatif dari biaya vaksinasi lebih besar dari biaya
pengobatan, sumber daya (keuangan) sebaiknya lebih banyak digunakan untuk
biaya pengobatan hingga penyakit mulai menurun penyebarannya, namun
pilihan ini tidak menurunkan jumlah subpopulasi yang rentan secara signifikan
sehingga jumlah subpopulasi yang terinfeksi tetap tinggi.
2 Pada kasus di mana bobot relatif dari biaya vaksinasi lebih kecil dari biaya
pengobatan, sumber daya (keuangan) sebaiknya lebih banyak digunakan untuk
biaya vaksinasi. Hal ini mengakibatkan penurunan jumlah subpopulasi yang
rentan yang juga mengakibatkan penurunan jumlah subpopulasi yang terinfeksi
secara signifikan.
3 Pada kasus di mana kedua biaya memiliki bobot relatif sama, sumber daya
(keuangan) sebaiknya pada awal tahun terjadinya epidemik lebih banyak
digunakan untuk biaya vaksinasi sehingga mendorong penurunan tingkat
epidemik penyakit hingga batas waktu tertentu kemudian diterapkan lebih
banyak pengobatan daripada vaksinasi.
DAFTAR PUSTAKA
Giesecke J. 1994. Modern Infectious Disease Epidemiology. New York (US):
Oxford Univ Pr.
Hethcote HW. 2000. The mathematics of infectious diseases. SIAM Rev.
42(4):599-653. 10.1137/S0036144500371907
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos: with Applications to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusete (US): Addison-Wesley.
Szidarovszky F, Bahill AT. 1997. Linear System Theory. Ed ke-2. Florida (US):
CRC Press.
Tu PNV. 1993. Introductory Optimization Dynamics: Optimal Control with
Economics and Management Applications. Second Revised and Enlarged Edition.
Heidelberg (DE): Springer-Verlag.
Yusuf TT, Benyah F. 2012. Optimal control of vaccination and treatment for an
SIR epidemiological model. WJMS. [Internet]. [diunduh 2013 Sep 27 ];
8(2012):194-204. Tersedia pada: http://www.worldacademicunion.com
/journal/1746-7233WJMS/wjmsvol08no03paper04.pdf.
21
Lampiran 1 Pencarian solusi khusus
Laju perubahan total populasi pada t tertentu adalah
= −
− . Pada
keadaan bebas penyakit, = 0, maka
= −
.
(18)
Dari persamaan (18) dilakukan perhitungan kalkulus dengan mengintegralkan
kedua ruas menjadi
=
−
maka diperoleh
Jika syarat awal
0 =
diperoleh solusi khusus
0
=
−�
−
.
−
.
(19)
disubstitusikan ke dalam persamaan (19) maka
=
−
1−
−
0
Lampiran 2 Pencarian titik tetap �0 dari sistem persamaan (6)
Titik tetap bebas penyakit �0 = 0 , 0 ,
Keadaan bebas penyakit, = 0
Maka titik stabil,
=0
−
− 1 −
=0
− 1+
=0
= +
0
1
−
−
−
=0
=0
=0
=
Maka diperoleh titik tetap bebas penyakit
�0 =
1
+
,0,
Lampiran 3 Pencarian titik tetap �1 dari sistem persamaan (6)
Titik tetap endemik penyakit �1 = ( ∗ , ∗ , ∗ )
=0
− 2 − − =0
− 2− −
=0
∗
− 2− − =0 ⋁
+ +
⋁
= 2
=0
=0
Karena keadaannya adalah penyakit bersifat endemik maka solusi yang berlaku
+ +
adalah = 2
−
−
1
−
=0
=0
22
−
−
1
+
=0
= −
=
1
=
1+
2+ +
(
)
)
−
=
( 1+ )
−
,
=
2+
+
( 1+ )
2+ +
−( 2 + + )( 1 + )
( 2+ + )
=
−
+
(
−
=0
=0
= −
= − (
−
−( 2 + + )( 1 + )
)
( 2+ + )
( 2 + + )− ( −( 2 + + )( 1 + ))
( 2+ + )
−
+ ( 2 + + )( 1 + ))
2+ +
=
=
( 2+ + )
+ ( 2 + + )( 1 + ))
( 2+ + )
2 + + ( 2 + + )( 1 + ))
2+
=
=
( 2+ + )
Maka titik tetap penyakit bersifat endemik adalah
�1 =
2+
+
−
,
2+
+
1+
2+
,
2+ +
+ ( 2 + + )( 1 + )
( 2+ + )
Lampiran 4 Pembuktian titik tetap �0 bersifat stabil lokal asimtotik jika
ℛ0 < 1
Matriks Jacobi dari titik tetap bebas penyakit
0
=
−(
1
−
+ )
0
−
1+
−(
1
+ )−
0
0
2
−
0
Nilai eigen dari matriks
0
1+
−
−
diperoleh dengan menghitung
|0− |=0
−
+
0
−
0
1
1+
0
Sehingga didapat nilai eigen
, 2=
1 =− 1+
−
2
−
−
−
1+
−
2
−
−
−
=0
0
− −
dan
3
=− .
Karena 1 > 0 dan > 0, maka 1 = −( 1 + ) < 0 dan 3 = − < 0. Agar
�0 bersifat stabil lokal asimtotik maka
< 0 untuk i =1,2,3, sehingga
2 0 dan 4 1 +
+
2+
kondisi di atas maka (ℛ0 − 1) > 0, sehingga ℛ0 > 1
+
+
+
0
+
2
+
+
> 0, agar terpenuhi
Lampiran 7 Simulasi bidang solusi dinamika populasi tanpa kontrol vaksinasi
dan pengobatan (dengan menggunakan software Maple)
>
>
>
>
Lampiran 8 Simulasi bidang solusi dinamika populasi dengan
2 = 0.02 (dengan software Maple)
>
1
= 0.02 dan
26
>
Lampiran 9 Simulasi bidang solusi dinamika populasi dengan
2 = 0.04 (dengan software Maple)
>
>
>
>
Lampiran 10 M-File Matlab untuk solusi numerik model SIR
function [u1,u2,S,I,lambda1,lambda2,J] =
SIR_withcontrol(beta,alfa,gama,mu,S0,I0,C1,C2,t0,tf,n)
tol = 0.01;
err1= tol
PADA PENYAKIT MENULAR TIPE SIR
FARICHATUL IVADA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Kontrol Optimum
Vaksinasi dan Pengobatan pada Penyakit Menular Tipe SIR adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2014
Farichatul Ivada
NIM G54100006
ABSTRAK
FARICHATUL IVADA. Kontrol Optimum Vaksinasi dan Pengobatan pada
Penyakit Menular Tipe SIR. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI
dan FARIDA HANUM.
Saat ini terdapat banyak penyakit menular di masyarakat yang menyebabkan
epidemi dalam populasi. Oleh karena itu, diperlukan program yang tepat untuk
menanggulangi penyebaran penyakit menular tersebut seperti vaksinasi dan
pengobatan. Penyebaran penyakit menular dapat digambarkan dengan model SIR.
Pada penelitian ini dipaparkan model SIR, dianalisis dinamika populasinya, serta
dilakukan optimalisasi pengendalian penyebaran penyakit menular melalui
vaksinasi dan pengobatan. Hasil dari analisis, terdapat dua titik tetap yaitu titik
tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik penyakit. Selain itu, dari analisis
model didapat pula bilangan reproduksi, ℛ0 . Jika ℛ0 1 maka titik tetap bebas
penyakit bersifat stabil global asimtotik, sedangkan jika ℛ0 > 1 maka titik tetap
endemik bersifat global asimtotik. Kontrol optimum pada penelitian ini
menggunakan pendekatan prinsip minimum Pontryagin dengan variabel kontrol
berupa vaksinasi dan pengobatan. Tujuan pengendalian pada penelitian ini adalah
mencari kombinasi yang optimal dari vaksinasi dan pengobatan sehingga dapat
meminimumkan biaya total dari kedua kontrol sekaligus meminimumkan jumlah
individu yang terinfeksi di akhir waktu.
Kata kunci: kontrol optimum, model SIR, pengobatan, prinsip minimum
Pontryagin, vaksinasi.
ABSTRACT
FARICHATUL IVADA. Optimal Control of Vaccination and Treatment for an
SIR Type of Infectious Diseases. Supervised by ENDAR HASAFAH
NUGRAHANI and FARIDA HANUM.
Nowadays, there are many infectious diseases that cause epidemic in the
population. Therefore, an effective program is required to eliminate the infectious
diseases, such as vaccination and treatment. The spread of infectious diseases can
be modeled by SIR model, in which it enables us to predict the outbreak and the
control rate. In this research, the SIR model is applied to analyze the population
dynamic and to optimize the control of the outbreak with vaccination and
treatment. As the result, the model provides two equilibrium points, i.e. dieasesfree and diseases-endemic equilibrium points. Moreover, the analysis show that if
the reproduction number or ℛ0 is less than or equal 1, then the disease-free
equilibrium point is globally asymptotically stable. While if ℛ0 is more than 1,
then the disease-endemic equilibrium point is globally asymptotically stable. In
this research the optimal control uses Pontryagin’s minimum principle with
vaccination and treatment as control measures. The control objective is to find the
optimal combination of vaccination and treatment that minimizes the cost of the
two control measures as well as the number of infected individuals at the end of
control period.
Keywords: optimal control, Pontryagin’s minimum principle, SIR model,
treatment, vaccination.
KONTROL OPTIMUM VAKSINASI DAN PENGOBATAN
PADA PENYAKIT MENULAR TIPE SIR
FARICHATUL IVADA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Kontrol Optimum Vaksinasi dan Pengobatan pada Penyakit
Menular Tipe SIR
Nama
: Farichatul Ivada
NIM
: G54100006
Disetujui oleh
Dr Ir Endar H. Nugrahani, MS
Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Alhamdulillahirabbil’alamiin. Segala puji bagi Allah SWT karena atas
rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat
dan salam terucap pula kepada Nabi Muhammad SAW yang telah membawa umat
manusia dari kegelapan kepada cahaya yang terang benderang. Pada kesempatan
ini, penulis juga ingin mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada
semua pihak yang telah mendukung dan membantu penulis, antara lain:
1 Alm. Bapak Marji dan Ibu Sumarti tercinta yang senantiasa mendoakan penulis
dalam setiap kesempatan. Do’a yang selalu menjadi penerang jalan penulis.
2 Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS dan Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si selaku
dosen pembimbing. Terima kasih atas waktu, ilmu yang diberikan, dan
kesabarannya dalam membimbing penulis.
3 Bapak Dr. Paian Sianturi selaku dosen penguji atas kesediaan waktu dan saran
kepada penulis.
4 Keluarga tercinta Mbak Mas’uda, Mbak Masruroh, Kak Noer, Kak Ucuph,
Bang Ady, adik Titah, dan si kecil Faiz yang selalu membuat penulis
bersemangat.
5 Sahabat dan teman-teman Matematika 47 dan 46, Ponpesma Al Iffah, Berkah
Crew, SERUM G, dan JCC yang selalu memberi semangat dan motivasi
kepada penulis. Khususnya kepada Ceu Lia, Uci, Hasanah, Lilis, Mute, Dince,
Dea, Peni, dan Desty.
6 Beasiswa Bidik Misi yang telah mendanai studi penulis selama di IPB.
Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih banyak kekurangannya,
untuk itu kritik dan saran yang konstruktif sangat penulis harapkan demi
perbaikan tulisan selanjutnya. Penulis berharap semoga karya ilmiah ini dapat
bermanfaat.
Bogor, Juli 2014
Farichatul Ivada
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Sistem Persamaan Diferensial dan Solusi Keseimbangan
2
Masalah Kontrol Optimum
4
Model SIR
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Model SIR dengan Vaksinasi
6
Titik Tetap Model
8
Bilangan Reproduksi
9
Analisis Kestabilan Titik Tetap
9
Konstruksi Matriks Jacobi
9
Kestabilan Lokal Titik Tetap
10
Kestabilan Global Titik Tetap
11
Masalah Kontrol Optimum
11
Fungsi Objektif
11
Fungsi Kendala
12
Prinsip Minimum Pontryagin
12
Simulasi Penerapan Kasus
13
SIMPULAN
19
DAFTAR PUSTAKA
20
LAMPIRAN
21
RIWAYAT HIDUP
30
DAFTAR GAMBAR
1 Konsep kestabilan
2 Skema model SIR
3 Skema model SIR dengan pengaruh vaksinasi
4 Dinamika populasi dengan ketiadaan vaksinasi dan pengobatan
5 Dinamika populasi ketika 1 = 0.02 dan 2 = 0.02
6 Dinamika populasi ketika 1 = 0.2 dan 2 = 0.06
7 Fungsi kontrol 1 , 2 untuk C1 = 4, C2 = 1
8 Fungsi kontrol 1 , 2 untuk C1 = 1, C2 = 4
9 Fungsi kontrol 1 , 2 untuk C1 = 1, C2 = 1
10 Suppopulasi S dan I untuk C1 = 4, C2 = 1
11 Suppopulasi S dan I untuk C1 = 1, C2 = 4
12 Suppopulasi S dan I untuk C1 = 1, C2 = 1
13 Biaya Marjinal 1 , 2 untuk C1 = 4, C2 = 1
14 Biaya Marjinal 1 , 2 untuk C1 = 1, C2 = 4
15 Biaya Marjinal 1 , 2 untuk C1 = 1, C2 = 1
4
6
7
14
15
15
16
16
16
17
17
17
18
19
19
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Pencarian solusi khusus ( )
Pencarian titik tetap �0 dari sistem persamaan (6)
Pencarian titik tetap �1 dari sistem persamaan (6)
Pembuktian titik tetap �0 bersifat stabil lokal asimtotik jika ℛ0 < 1
Perhitungan nilai eigen titik tetap endemik penyakit (dengan software
Maple)
Pembuktian titik tetap �1 bersifat stabil lokal asimtotik jika ℛ0 > 1
Simulasi bidang solusi dinamika populasi tanpa kontrol vaksinaasi dan
pengobatan (dengan software Maple)
Simulasi bidang solusi dinamika populasi dengan 1 = 2 = 0.02
(dengan software Maple)
Simulasi bidang solusi dinamika populasi dengan 1 = 0.2 dan
2 = 0.04 (dengan software Maple)
M-File Matlab untuk solusi numerik model SIR
M-File Matlab untuk plot fungsi kontrol, fungsi keadaan, dan fungsi
adjoint pada kasus I yaitu C1 = 4 dan C2 = 1
M-File Matlab untuk plot fungsi kontrol, fungsi keadaan, dan fungsi
adjoint pada kasus II yaitu C1 = 1 dan C2 = 4
M-File Matlab untuk plot fungsi kontrol, fungsi keadaan, dan fungsi
adjoint pada kasus III yaitu C1 = 1 dan C2 = 1
21
21
21
22
23
24
25
25
26
26
28
28
29
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi khususnya
di bidang kesehatan, pengendalian penyebaran penyakit menular dapat dilakukan
secara langsung dan tidak langsung. Secara langsung, terhadap individu yang
rentan dapat dilakukan vaksinasi sedangkan terhadap individu yang telah
terinfeksi dapat dilakukan pengobatan. Adapun pengendalian penyebaran penyakit
menular secara tidak langsung dapat dilakukan dengan tindakan persuasif seperti
edukasi baik di sekolah maupun di instansi pendidikan, kampanye pemahaman
perihal penyebab, gejala penyakit, dan cara penularan. Individu yang telah
terinfeksi penyakit menular harus segera mendapatkan pengobatan karena dapat
berujung pada kematian apabila tidak segera diberi pengobatan secara tepat.
Pengobatan penyakit menular dapat dilakukan dengan menggunakan antitoksik
dan antibodi serta perawatan secara intensif. Selain dilakukan pengobatan, upaya
pencegahan juga diperlukan untuk menanggulangi permasalahan ini agar tidak
terulang kembali. Pencegahan penyakit ini dapat dilakukan dengan pemberian
vaksinasi terhadap individu yang rentan.
Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang matematika juga turut
memberikan peranan penting dalam mencegah meluasnya penyebaran penyakit
menular. Peranan tersebut berupa model matematika yang mempelajari
penyebaran penyakit. Matematika memberikan salah satu solusi penyelesaian
penyebaran penyakit menular. Pertama, pola endemik bisa digambarkan secara
matematis dengan mendekati keadaan sebenarnya melalui suatu model
matematika. Kedua, dengan matematika akan dianalisis pola endemik melalui
model yang telah dirumuskan berdasarkan suatu asumsi.
Berdasarkan teori epidemik dari Kermark & McKendrick yang
dikemukakan pertama kali pada tahun 1927, penyebaran penyakit menular
biasanya dapat digambarkan secara matematis oleh model-model kompartemen
seperti model SIR dengan setiap huruf mengacu pada kompartemen di mana
individu dapat berada. Model SIR (Susceptibles, Infected, Recovered) ini dapat
mentransformasikan kejadian epidemik suatu penyakit menular ke dalam model
matematika sehingga laju penyebaran dan kepunahan suatu wabah penyakit dalam
populasi dapat diketahui. Dari model ini dapat ditentukan solusi analitis dan titik
kesetimbangannya, yang selanjutnya dianalisis sesuai permasalahan yang
sesungguhnya dalam kehidupan nyata. Analisis ini meliputi perilaku penyebaran
penyakit terhadap dinamika populasi serta eksistensinya pada kondisi bebas
penyakit dan endemik penyakit. Selain menentukan laju penyebaran dan
kepunahan, dari model matematika ini dapat dicari pula optimalisasi dari
pengendalian penyebaran penyakit yakni vaksinasi dan pengobatan. Optimalisasi
pada sistem dinamik pada umumnya menggunakan kontrol optimum (Tu 1994),
dengan salah satu metode penyelesaian masalah kontrol optimum yang banyak
digunakan adalah pendekatan prinsip maksimum atau minimum Pontryagin.
Pada penelitian ini, akan dibahas modifikasi model Kermark & McKendrick
tipe SIR (Yusuf & Benyah 2012). Dari model tersebut akan dilakukan analisis
dinamika populasi terhadap penyebaran penyakit dengan asumsi total populasi
2
tidak konstan serta dilakukan penyelesaian masalah kontrol optimum dengan
pendekatan prinsip minimum Pontryagin dengan kontrol berupa vaksinasi dan
pengobatan.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penulisan penelitian ini ialah merekonstruksi model SIR dari
penyakit menular yang telah dilakukan oleh Yusuf dan Benyah pada tahun 2012.
Dari model ini akan dilakukan analisis dinamika populasi dengan menentukan
titik tetap dan kestabilannya kemudian dilakukan optimalisasi tingkat vaksinasi
dan pengobatan pada suatu populasi yang terkena wabah penyakit menular dengan
pendekatan prinsip kontrol optimum, serta dilakukan simulasi terhadap nilai-nilai
parameter yang memengaruhinya.
TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Persamaan Diferensial dan Solusi Keseimbangan
Pemodelan matematika dapat digunakan untuk mengamati penyebaran suatu
penyakit, khususnya penyakit menular. Salah satu model yang digunakan adalah
dengan pendekatan SIR. Persamaan yang digunakan pada pendekatan SIR adalah
sistem persamaan diferensial taklinear.
Diberikan sistem persamaan diferensial (SPD) sebagai berikut:
=
, ,
=
, .
Titik ( ∗ , ∗ ) disebut titik tetap jika memenuhi ( ∗ , ∗ ) = 0 dan ( ∗ , ∗ ) = 0.
Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan. Untuk selanjutnya
akan digunakan istilah titik tetap. Untuk menganalisis kestabilan titik tetap dari
suatu SPD taklinear, dapat dilakukan dengan pelinearan pada sistem persamaan
diferensialnya. Andaikan ( ∗ , ∗ ) adalah titik tetap dari persamaan di atas, maka
∗ ∗
∗ ∗
,
= 0 dan
,
= 0 . Misalkan = − ∗ dan = − ∗ maka
didapatkan:
=
= ( ∗+ , ∗+ )
∗ ∗
+
+ ( 2, 2 , )
=
,
+
+
=
+ (
2
,
2
,
)
serta,
=
=
=
=
(
∗
+ , ∗+ )
∗ ∗
,
+
+
+
+ (
2
+ (
,
2
,
)
2
,
2
,
)
3
Dalam bentuk matriks:
=
Matriks � =
(
2
,
2
,
2
+
,
2
,
.
disebut matriks Jacobi pada titik tetap
∗
,
∗
. Karena
) → 0 maka dapat diabaikan sehingga didapat persamaan linear:
=
.
(Strogatz 1994)
Selain pelinearan, dibahas pula penentuan kestabilan dari suatu titik tetap.
Kestabilan titik tetap dapat bersifat lokal dan global. Titik tetap bersifat stabil
lokal jika kestabilan tersebut hanya berlaku untuk nilai awal di sekitar titik tetap,
sedangkan kestabilan titik tetap bersifat global jika kestabilan berlaku untuk
semua nilai awal pada daerah asal
sehingga ketika → ∞, semua solusi akan
menuju titik tetap. Berikut Definisi dari titik tetap stabil, stabil asimtotik lokal,
dan stabil asimtotik global.
Definisi 1 Titik Tetap Stabil
Misalkan ∗ adalah titik tetap dari SPD dan
merupakan solusi yang
∗
memenuhi kondisi awal 0 = 0 dengan 0 ≠ . Titik tetap ∗ dikatakan
stabil jika terdapat �0 > 0 yang memenuhi sifat yakni untuk setiap 0 < �1 < �0 ,
∗
terdapat �0 > 0 sedemikian sehingga jika
− 0 < � maka ∗ − ( ) <
�1 , untuk > 0 .
Definisi 2 Titik Tetap Stabil Lokal Asimtotik
Titik tetap ∗ dikatakan stabil lokal asimtotik jika titik
∗
terdapat � > 0 sedemikian sehingga
− 0 < � maka lim
dengan 0 = 0 .
Definisi 3 Titik Tetap Stabil Global Asimtotik
Titik tetap ∗ dikatakan stabil global asimtotik jika titik
terdapat 0 Ω ⊆ , lim →∞ ( ) = ∗ , dengan 0 = 0 .
∗
stabil dan
∗
,
→∞ ( ) =
∗
stabil
dan
Definisi 1 menyatakan bahwa titik tetap ∗ stabil jika seluruh lintasan kurva yang
menggambarkan solusi ( ) berada pada radius �1 , jika titik awal 0 dipilih
cukup dekat dengan titik tetap ∗ , sedangkan titik tetap stabil asimtotik pada
Definisi 2 terjadi jika dipilih titik awal 0 yang cukup dekat dengan titik tetap ∗
sehingga solusi ( ) adalah ∗ untuk → ∞. Pada Definisi 3, titik tetap global
asimtotik terjadi jika dipilih titik awal 0 di luar radius �0 dengan kata lain dipilih
sembarang, maka setiap solusi ( ) adalah ∗ untuk → ∞. Untuk
0 Ω⊆
lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 1.
4
Gambar 1 Konsep kestabilan
(Szidarovszky & Bahill 1997)
Selain menggunakan Definisi, kestabilan titik tetap dapat ditentukan dengan
mencari nilai eigen yang diperoleh dari penyelesaian solusi taknol matriks yang
berukuran × . Misalkan � adalah matriks berukuran ×
dan adalah
matriks identitas berukuran × , maka nilai eigen dari matriks � mempunyai
solusi taknol jika dan hanya jika:
det � −
= 0.
Dari persamaan di atas diperoleh nilai eigen, dengan = 1,2,3, … . Penentuan
kestabilan titik tetap berdasarkan nilai eigen secara umum mempunyai perilaku
sebagai berikut:
1 Stabil, jika
a) Setiap nilai eigen real adalah negatif ( < 0 untuk setiap i).
b) Setiap komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih kecil atau
sama dengan nol, (Re( ) 0 untuk setiap i).
2 Stabil asimtotik, jika
a) Setiap nilai eigen real adalah negatif ( < 0 untuk setiap i).
b) Setiap komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih kecil dari nol,
(Re
< 0 untuk setiap i).
3 Takstabil, jika
a) Setiap nilai eigen real adalah positif ( > 0 untuk setiap i).
b) Setiap komponen bagian real dari nilai eigen kompleks lebih besar dari nol,
(Re( ) > 0 untuk setiap i).
4 Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real tertentu adalah negatif (
0, batas laju vaksinasi dan pengobatan
adalah 0
1, dan 0
1 serta batas jumlah individu di setiap
1
2
subpopulasi sebesar 0
0, (0) 0, dan (0) 0.
Karena dalam asumsi dinyatakan bahwa laju kelahiran dengan laju kematian
tidak sama maka total populasi bersifat tidak konstan. Dengan memperhatikan
bahwa
=
+
+
maka didapat persamaan laju perubahan total
populasi yakni
= −
− .
(5)
Dari persamaan (2)-(5) dapat diperhatikan bahwa pada persamaan (2) dan
(3), variabel R tidak muncul. Hal ini menunjukkan bahwa jumlah individu pada
8
subpopulasi R tidak memengaruhi laju perubahan jumlah individu pada
subpopulasi S maupun I, sehingga untuk penyelesaian R dapat diperoleh dari
=
−
−
, jika nilai S, I, dan N sudah diperoleh. Dengan
demikian persamaan (2)-(5) dapat direduksi sebagai berikut.
=
=
−
− 1 −
=
−
=
−
2
−
(6)
=
=
−
− .
Pada keadaan bebas penyakit yaitu ketika jumlah individu terinfeksi dalam
populasi tidak ada, dengan kata lain = 0, maka
= −
. Dengan
melakukan perhitungan kalkulus diperoleh penyelesaian
1−
=
−
−
0
(perhitungan disajikan dalam Lampiran 1).
Jika
membesar maka diperoleh lim
−
( ) = , sehingga dapat
→∞
dijelaskan bahwa dalam jangka waktu yang panjang, total populasi manusia akan
menuju kapasitas batas yakni . Namun ketika terjadi endemik penyakit maka
total populasi akan berubah hingga titik tertentu sehingga daerah solusi model
sebagai berikut
Ω = � = ( , , ) ∈ 3|
0,
0, +
,
(7)
dengan � merupakan ruang skalar bilangan real yang berelemen tiga.
Titik Tetap Model
Analisis titik tetap pada sistem persamaan diferensial sering digunakan
untuk menentukan suatu solusi yang tidak berubah terhadap waktu (solusi
konstan). Titik tetap dari persamaan (6) dapat diperoleh dengan menentukan
= 0,
= 0, dan
= 0. Dengan menyelesaikan persamaan secara bersamaan
maka akan diperoleh dua titik tetap.
Titik yang pertama disebut sebagai titik tetap bebas penyakit. Dikatakan
demikian karena dalam populasi tidak terdapat individu yang terinfeksi dengan
kata lain = 0. Dengan kondisi ini didapat titik tetap bebas penyakit sebagai
berikut.
�0 =
,0,
+
(penurunan persamaan diberikan pada Lampiran 2).
Titik tetap yang kedua disebut titik tetap endemik penyakit. Pada kondisi
endemik, dalam populasi sudah terdapat individu yang terinfeksi atau ≠ 0 .
Dengan kondisi ini, maka dalam populasi akan terjadi penyebaran penyakit
sehingga penyakit bersifat endemik. Ekspresi matematik dari titik tetap endemik
penyakit adalah
�1 = ( ∗ , ∗ ,
∗
)=
2+
0, 0,
0
=
1
+
,
−
2+
+
2+
1+
+
(penurunan persamaan diberikan pada Lampiran 3).
,
2+
+ ( 2 + + )( 1 + )
( 2+ + )
9
Bilangan Reproduksi
Bilangan reproduksi atau dikenal dengan ℛ0 menunjukkan bentuk
kuantitatif atau indikator dari tingkat penyebaran penyakit. Menurut Hethcote
(2000), bilangan reproduksi merupakan bilangan yang menunjukkan jumlah
individu susceptible yang dapat menderita penyakit yang diakibatkan oleh satu
individu infected. ℛ0 merupakan rasio antara jumlah individu susceptible pada
kondisi bebas penyakit dengan jumlah individu susceptible pada kondisi endemik
penyakit. Selanjutnya bilangan reproduksi dalam tulisan ini merupakan bilangan
reproduksi pada kasus yang memperhatikan faktor vaksinasi dan pengobatan yang
dinyatakan sebagai
.
(8)
ℛ0 = 0∗ =
1+
2+
+
Ketika ℛ0 < 1 , satu individu infected hanya akan menularkan penyakit
kepada kurang dari satu individu susceptible atau dengan kata lain tidak ada
individu baru yang tertular sehingga penyakit akan menghilang dalam populasi,
sedangkan ketika ℛ0 > 1, satu individu infected akan menularkan penyakit
kepada lebih dari satu individu susceptible sehingga penyakit akan berkembang
menjadi endemik dalam populasi.
Bilangan reproduksi ini akan berkaitan dengan analisis kestabilan dari titik
tetap yang ada baik lokal maupun global karena bilangan reproduksi merupakan
ambang batas (threshold) terjadinya penyebaran penyakit. Menurut Giesecke
(1994) beberapa kondisi yang ditimbulkan oleh ℛ0
1 Jika ℛ0 < 1, maka penyakit akan menghilang dalam populasi (bebas penyakit),
2 Jika ℛ0 = 1, maka penyakit akan menetap dalam populasi,
3 Jika ℛ0 > 1, maka penyakit akan meningkat menjadi wabah dalam populasi
(endemik penyakit).
Berikut bentuk lain dari titik tetap endemik dengan melibatkan ekspresi ℛ0
1
∗
=
,
∗
=
∗
=
ℛ0
−
1+
2+ +
2+
2+
+
1+
+
2+
2+
+
+
= ℛ0 − 1
1+
= ℛ0
1+
2
,
+
+
1+
.
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Konstruksi Matriks Jacobi
Analisis kestabilan ditentukan berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobi
yang diperoleh dari metode linearisasi. Misalkan
, ,
= −
− 1 − ,
, ,
=
− 2 − − ,
(9)
, ,
= −
− .
10
Dari persamaan (9) akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
=
=
−
−
1
0
−
−
Kestabilan Lokal Titik Tetap
1 Titik tetap bebas penyakit �0
Dengan menyubstitusikan titik �0 =
−
1+
2
−
−
0
0
−
−
,0,
.
(10)
ke matriks Jacobi
didapat
0
=
−(
1
−
+ )
0
1
0
+
−
2
−
−
.
0
1+
0
−
−
Nilai eigen dari matriks Jacobi 0 diperoleh dengan menggunakan persamaan
| 0 − | = 0 yaitu
, 2=
− 2− − , 3=−
1 = − 1+
+
1
Titik tetap �0 akan bersifat stabil lokal asimtotik jika
< 0 untuk i = 1,2,3.
Karena 1 > 0 dan > 0 maka 1 < 0 dan 3 < 0 sedangkan 2 < 0 jika
ℛ0 < 1 (bukti pada Lampiran 4).
Perhatikan ketika ℛ0 < 1 maka setiap nilai eigen memiliki bilangan
real negatif yang mengakibatkan titik tetap bebas penyakit �0 bersifat stabil
lokal asimtotik, sehingga dapat disimpulkan bahwa titik tetap bebas penyakit
�0 akan stabil lokal asimtotik jika ℛ0 < 1 yaitu pada kondisi penyakit telah
menghilang dalam populasi.
2 Titik tetap endemik penyakit �1
Pelinearan pada titik tetap �1 akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai
berikut:
−ℛ0 1 +
+
0
2+
.
=
ℛ
−
1
+
0
0
1
0
1
0
−
−
dengan menghitung | 1 − | = 0, maka didapat nilai eigen
1 = − ,
2,3
=
−ℛ0
1
+
± ℛ0 2
1
+
2
− 4 ℛ0 − 1
1
+
(
2
+
+ )
2
(bukti pada Lampiran 5).
Dari persamaan di atas, nilai 1,2,3 merupakan bilangan real negatif atau
berupa bilangan kompleks dengan bilangan real bernilai negatif jika ℛ0 > 1
(pembuktian dapat dilihat pada Lampiran 6). Hal ini menunjukkan bahwa
keadaan titik tetap endemik penyakit �1 bersifat stabil lokal asimtotik atau
1,2,3 < 0 jika ℛ 0 > 1 yaitu pada kondisi penyakit meningkat menjadi wabah
11
(penyakit bersifat endemik). Berikut adalah tabel kondisi kestabilan dari kedua
titik tetap yang diperoleh.
Tabel 1 Kondisi kestabilan lokal titik tetap
Kondisi
ℛ0 < 1
ℛ0 > 1
�0
Stabil asimtotik
Tidak stabil
�1
Tidal stabil
Stabil asimtotik
Tabel 1 menunjukkan bahwa dinamika sistem ditentukan oleh bilangan
reproduksi dasar. Ketika ℛ0 < 1 titik tetap bebas penyakit akan stabil lokal
asimtotik yang berarti bahwa penyakit tidak akan menyebar dalam populasi
atau dengan kata lain pada akhirnya penyakit akan hilang dari populasi. Ketika
ℛ0 > 1 titik tetap endemik penyakit akan stabil lokal asimtotik yang berarti
bahwa penyakit akan tetap ada dan menyebar dalam populasi.
Kestabilan Global Titik Tetap
Menurut Yusuf dan Benyah (2012) kestabilan global titik tetap pada
persamaan (8) dipengaruhi oleh bilangan reproduksi sebagai berikut.
1 Jika ℛ0 1, maka titik tetap bebas penyakit bersifat stabil global asimtotik.
Pada kondisi ℛ0 1 maka dalam populasi tidak terdapat penyakit atau
= 0. Ketika = 0 disubstitusikan ke persamaan dan , akan diperoleh nilai
→ + dan → ketika
→ ∞, sehingga didapat tititk tetap ε0 . Titik
1
tetap bebas penyakit bersifat global asimtotik artinya bahwa setiap nilai awal
� 0 ∈ Ω maka setiap solusi �
yang dihasilkan akan menuju titik tetap ε0
untuk t → ∞.
2 Jika ℛ0 > 1, maka titik tetap endemik penyakit bersifat global asimtotik.
Jika ℛ0 > 1 yang artinya dalam populasi terdapat endemik penyakit
maka setiap solusi dari sistem persamaan (8), dengan nilai awal � 0 ∈ Ω akan
mendekati titik tetap �1 untuk t → ∞ . Oleh karena itu, jika ℛ0 > 1 dalam
jangka waktu yang panjang populasi akan selalu terjangkit penyakit dan setiap
subpopulasi susceptible, infected, recovered, maupun populasi total akan
mendekati titik tetap ε1 .
Masalah Kontrol Optimum
Pada bagian ini akan dibahas model masalah kontrol optimum dengan tiga
bahasan yaitu, model fungsi objektif dan fungsi kendala serta penyelesaian dengan
prinsip minimum Pontryagin.
Fungsi Objektif
Permasalahan yang terjadi dalam suatu populasi yang di dalamnya terjadi
endemik penyakit adalah tingkat penyebaran penyakit. Berdasarkan asumsi,
penyebaran penyakit terjadi akibat kontak langsung antara individu terinfeksi
dengan individu rentan. Hal ini menunjukkan individu terinfeksi memiliki
peranan yang besar terhadap penyebaran penyakit dalam populasi, sehingga dalam
memberantas penyakit perlu dilakukan pengendaliann yang bertujuan menekan
jumlah individu yang terinfeksi. Pada penelitian ini akan dilakukan pengendalian
12
penyebaran penyakit dengan cara pemberian vaksinasi dan pengobatan.
Diasumsikan sumber daya (keuangan) terbatas dan fungsi biaya berbentuk kuadrat
sehingga pada tingkat tertentu laju kontrol vaksinasi 1 dan laju kontrol
pengobatan 2 dapat meminimumkan total biaya sekaligus meminimumkan
jumlah individu yang terinfeksi. Bentuk �1 12 menyatakan fungsi biaya dari
vaksinasi dan bentuk �2 22 merupakan fungsi biaya dari pengobatan.
Fungsi objektif Z dari kontrol optimum ini secara matematik dapat
dinyatakan sebagai
1
(11)
min =
+ 0 (�1 12 + �2 22 )
2
dengan
�1 : bobot relatif yang berkaitan dengan biaya vaksinasi (biaya vaksin, biaya
penyimpanan vaksin, dan lain-lain)
�2 : bobot relatif yang berkaitan dengan biaya pengobatan (biaya rumah sakit,
biaya obat, dan lain-lain)
serta pembatasan variabel kontrol
�=
, 2
|0
1, 0
1, ∈ [0, ] .
1
1
1
2
2
Fungsi Kendala
Dari hasil observasi diperoleh informasi bahwa tingkat vaksinasi dan
pengobatan masing-masing mempengaruhi jumlah individu susceptible dan
infected. Semakin besar tingkat vaksinasi yang diberikan maka jumlah individu
susceptible semakin berkurang. Begitu pula ketika tingkat pengobatan diperbesar
maka jumlah individu yang terinfeksi pun akan semakin berkurang. Dengan kata
lain, jumlah individu susceptible dan infected dipengaruhi atau dikontrol langsung
oleh tingkat vaksinasi dan pengobatan sehingga fungsi kendala dapat dinyatakan
sebagai,
= −
− 1 − ,
(12)
=
− 2 − − .
Jumlah individu recovered tidak secara langsung memengaruhi tingkat
vaksinasi maupun pengobatan. Jumlah individu recovered merupakan akibat dari
pemberian vaksinasi terhadap individu susceptible dan pemberian pengobatan
terhadap individu infected sehingga tidak perlu disertakan dalam fungsi kendala.
Adapun total populasi ( ) juga tidak termasuk fungsi kendala pada masalah
kontrol optimum ini karena 1 dan 2 tidak muncul dalam persamaan ( ).
Prinsip Minimum Pontryagin
Dari persamaan (11) dan (12) diketahui variabel kontrol dan variabel
( )
keadaan dari masalah kontrol optimum ini masing-masing
= 1
dan
2( )
( )
=
. Dengan memasukkan persamaan (11) dan (12) ke persamaan (1)
( )
maka diperoleh fungsi Hamilton yang dinyatakan sebagai
1
ℋ = (�1 12 + �2 22 ) + 1 −
− 1 −
+ 2
− 2 − −
.
(13)
2
Penyelesaian masalah kontrol optimum dengan menerapkan prinsip minimum
Pontryagin memberikan syarat optimalitas (1), yaitu meminimumkan fungsi
ℋ
Hamilton dengan cara
= 0 dengan = 1,2 sehingga didapat 1 = �1 dan
1
13
2
2
=
1
= min max 0,
�2
. Karena 0
1
1
�1
,
dan 0
1
dan
1
2
2
, maka diperoleh batas
2
= min max 0,
2
�2
,
2
. Kemudian
syarat optimalitas (2) dengan 1∗ , 2∗ merupakan pasangan kontrol optimum yang
berkorespondensi terhadap variabel keadaan ∗ , ∗ yang meminimumkan fungsi
objektif, maka terdapat variabel adjoint 1 dan 2 yang memenuhi
ℋ
= −
=
+ 1+ − 2 ,
1
1
(14)
ℋ
=
−
=
−
−
−
−
,
2
1
2
2
serta diperoleh pula variabel S dan I yang merupakan fungsi kendala, yakni
ℋ
=
−
− 1 − ,
=
1
(15)
ℋ
=
=
− 2 − − ,
2
dengan syarat batas
0 = 0 0 dan 0 = 0 0. Karena diasumsikan
( )
=
bebas, maka syarat transversalitas berikut (syarat optimalitas (4))
( )
harus dipenuhi:
= 1⟺ 1
= 0,
1
(16)
= 2⟺ 2
= 1.
2
Dari persamaan (14) dan (15) serta syarat transversalitas persamaan (16) dan
syarat batas di atas maka sistem optimal dari masalah kontrol optimum ini dapat
dituliskan sebagai berikut.
=
−
− 1 −
=
− 2 − −
=
+ 1+ − 2
1
1
=
− 2( − 2 − − )
2
1
(17)
= 0, 2
= 1, 0
0, 0
0
1
1
= min max 0,
2
= min max 0,
1
�1
2
�2
,
1
,
2
.
Simulasi Penerapan Kasus
Pada bagian ini diberikan simulasi tentang penyebaran penyakit secara
numerik dalam pengoptimuman sistem persamaan (17). Diberikan nilai hipotesis
parameter
= 0.75, = 0.1, = 0.03, = 0.02, serta nilai awal setiap
variabel
0 = 0.95, 0 = 0.05 dan
0 = 1. Berikut akan diberikan
simulasi mengenai pengaruh pengendalian penyebaran penyakit melalui program
vaksinasi dan pengobatan dalam populasi yang telah terjangkit penyakit.
14
Gambar 4 Dinamika populasi dengan ketiadaan
vaksinasi dan pengobatan
Gambar 4 menunjukkan proporsi individu susceptible, infected, recovered,
dan total populasi di mana pemberian vaksinasi dan pengobatan ditiadakan
( 1 = 0 dan 2 = 0 ). Subpopulasi susceptible mengalami penurunan cukup
signifikan pada beberapa tahun pertama sedangkan proporsi individu infected
mengalami kenaikan yang cukup signifikan pada waktu
10. Hal ini terjadi
karena individu susceptible mulai terinfeksi penyakit dan memasuki subpopulasi
infected akibat dari tidak adanya penanganan berupa vaksinasi subpopulasi
infected semakin bertambah. Begitu pula dengan ketiadaan pengobatan sehingga
subpopulasi recovered sama dengan nol akibatnya subpopulasi infected hanya
akan meninggalkan subpopulasinya jika mengalami kematian saja. Hal ini
mengakibatkan total populasi pun menurun proporsinya secara signifikan. Namun,
pada waktu t menuju takhingga (
50), jumlah individu pada subpopulasi
susceptible dan infected serta total populasi tidak mengalami perubahan. Pada
keadaan tersebut sistem berada pada kondisi setimbang. Pada kondisi tersebut,
penyakit akan selalu ada sampai waktu yang tak terbatas, dengan kata lain
penyakit bersifat endemik dalam populasi. Kondisi setimbang tersebut dicapai
pada ε1 = (0.16, 0.223, 0.383 ). Dari kesetimbangan ini terlihat penurunan
proporsi pada total populasi tidak akan menyebabkan populasi mengalami
kepunahan.
Pengendalian dianggap berhasil jika pada waktu tertentu penyakit
menghilang dari populasi. Bilangan reproduksi dapat digunakan untuk
menentukan apakah penyakit telah menghilang atau bersifat endemik dalam
populasi. Penyakit dikatakan menghilang jika ℛ0 < 1 sedangkan penyakit
dikatakan endemik jika ℛ0 > 1. Adapun dari persamaan (8) diketahui nilai
ℛ0 =
1+
2+
+
. Dengan menyubstitusikan nilai-nilai parameter yang
diberikan maka didapat proporsi
1
=
0.0225
2 +0.12
− 0.02. Misalkan laju pengobatan
minimum sebesar 2
= 0.04 maka tingkat vaksinasi minimum adalah
=
0.120625.
Jika
tingkat
vaksinasi atau pengobatan diberikan lebih kecil
1
dari nilai tersebut maka akan terjadi endemik penyakit karena ℛ0 > 1, sedangkan
15
jika tingkat vaksinasi atau pengobatan diberikan lebih besar dari nilai tersebut
maka penyakit akan menghilang dalam populasi karena ℛ0 < 1. Kedua kondisi
ini diilustrasikan dalam Gambar 5 dan Gambar 6.
Gambar 5 Dinamika populasi ketika
1 = 0.02 dan 2 = 0.02
Gambar 6 Dinamika ketika populasi
1 = 0.2 dan 2 = 0.06
Dari Gambar 5 dan Gambar 6 dapat dilihat perbedaannya. Pada Gambar 5
ketika nilai 1 dan 2 dibuat lebih kecil dari 1
dan 2 , hingga waktu tak
terbatas ( > 50) penyakit selalu ada dalam populasi atau penyakit bersifat
endemik. Hal ini menunjukkan program vaksinasi dan pengobatan belum berhasil
memusnahkan penyakit. Sedangkan Gambar 6 menunjukkan bahwa penyakit akan
menghilang dalam kurun waktu kurang dari 50 tahun ketika diberikan nilai
dan 2 > 2 . Hal ini menunjukkan bahwa pengendalian
1 > 1
penyebaran penyakit berhasil memusnahkan penyakit dalam populasi.
Selanjutnya akan diberikan simulasi tiga kasus di mana setiap kasus
memiliki kombinasi bobot relatif dari biaya setiap kontrol kemudian dianalisis
pengaruhnya terhadap variabel kontrol ( 1 , 2 ), variabel adjoint ( 1 , 2 ), dan
terhadap dinamika populasinya (S,I). Kasus 1 bobot relatif dari biaya vaksinasi
dibuat lebih besar dari biaya pengobatan yakni C1 = 4, C2 = 1, kasus II bobot
relatif dari biaya pengobatan lebih besar dari vaksinasi atau C1 = 1, C2 = 4, dan
kasus III di mana kedua biaya kontrol memiliki bobot relatif yang sama yakni
C1=C2 = 1.
Pada Gambar 7-9 dapat diamati meskipun dengan perbedaan bobot relatif
biaya yang diterapkan, dalam beberapa tahun pertama kontrol vaksinasi selalu
lebih banyak diterapkan daripada kontrol pengobatan hingga batas tertentu
untuk mengurangi jumlah individu susceptible, kemudian perlahan-lahan mulai
diterapkan lebih banyak kontrol pengobatan daripada kontrol vaksinasi untuk
mengurangi jumlah individu infected.
16
Gambar 7 Fungsi kontrol
1,
2
untuk C1 = 4, C2 = 1
Gambar 8 Fungsi kontrol
1,
2
untuk C1 = 1, C2 = 4
Gambar 9 Fungsi kontrol
1,
2
untuk C1 = 1, C2 = 1
17
Gambar 10 Subpopulasi S dan I untuk C1 = 4, C2 = 1
Gambar 11 Subpopulasi S dan I untuk C1 = 1, C2 = 4
Gambar 12 Subpopulasi S dan I untuk C1 = 1, C2 = 1
Gambar 10, 11, dan 12 menunjukkan jumlah individu susceptible yang
semakin berkurang sedangkan jumlah individu infected mengalami kenaikan.
Pada Gambar 10, untuk pengoptimuman diterapkan kontrol pengobatan lebih
18
banyak karena bobot relatif biaya dari pengobatan yang lebih kecil daripada
vaksinasi. Namun, penerapan kontrol pengobatan yang lebih banyak tidak secara
signifikan menurunkan jumlah individu infected dengan titik puncak masih
mencapai 0.4, dibandingkan dengan kasus ketika menerapkan lebih banyak
vaksinasi, titik puncak jumlah individu infected hanya mencapai 0.2. Begitu pula
ketika bobot relatif dari biaya kontrol sama, puncak jumlah individu infected tidak
jauh berbeda dengan kasus bobot relatif dari biaya vaksinasi yang lebih kecil
daripada bobot relatif dari biaya pengobatan.
Gambar 13, 14, dan 15 menunjukkan solusi numerik dari nilai adjoint 1
dan 2 . Dalam masalah kontrol optimum, nilai adjoint
menunjukkan nilai
marjinal dari fungsi objektif akibat dari perubahan variabel state atau variabel
keadaan. Karena fungsi objektif dalam penelitian ini berkaitan dengan fungsi
biaya dan dinamika variabel keadaan (individu susceptible dan infected) dikontrol
oleh tingkat vaksinasi dan pengobatan maka
dalam penelitian ini
merepresentasikan biaya marjinal dari tiap kontrol yakni 1 untuk biaya marjinal
dari kontrol vaksinasi dan 2 untuk biaya marjinal dari kontrol pengobatan. Biaya
marjinal dalam masalah kontrol optimum ini menunjukkan peningkatan atau
penurunan total biaya akibat dari penambahan atau pengurangan kontrol vaksinasi
maupun pengobatan.
Gambar 13 yakni ketika C1 = 4 dan C2 = 1, biaya marjinal untuk vaksinasi
dan pengobatan mengalami kenaikan. Namun setelah perpotongan, biaya marjinal
dari vaksinasi mengalami penurunan sedangkan biaya marjinal dari pengobatan
semakin meningkat. Peningkatan biaya marjinal pada kedua kontrol menyebabkan
biaya yang dikeluarkan tidak ekonomis. Kasus C1 = 1 dan C2 = 4, pada beberapa
awal tahun pengendalian biaya marjinal dari vaksinasi meningkat secara perlahan
sedangkan biaya marjinal dari pengobatan mengalami penurunan, namun terjadi
sebaliknya pada beberapa akhir tahun pengendalian. Kedua biaya marjinal tidak
mengalami overlapping (tumpang tindih), hal ini menunjukkan bahwa lebih
ekonomis untuk memperbesar jumlah vaksinasi daripada pengobatan karena bobot
relatif dari vaksinasi lebih rendah dari pengobatan. Pada kasus C1 = C2 = 1,
Gambar 15 menunjukkan pola yang sama dengan kasus C1 = 1 dan C2 = 4.
Gambar 13
Biaya marjinal
1, 2
untuk C1 = 4, C2 = 1
19
Gambar 14 Biaya marjinal
Gambar 15 Biaya marjinal
1, 2
1
,
2
untuk C1 = 1, C2 = 4
untuk C1 = 1, C2 = 1
SIMPULAN
Pada penelitian ini dianalisis kontrol optimum dari vaksinasi dan
pengobatan terhadap model epidemik SIR dengan jumlah populasi tidak konstan.
Berdasarkan hasil dan pembahasan, hasil analisis yang telah dilakukan pada
model matematika ini diperoleh dua titik tetap yaitu titik tetap bebas penyakit dan
titik tetap endemik penyakit. Dari analisis kestabilan baik lokal maupun global,
dinamika populasi bergantung pada bilangan reproduksi dasar. Ketika bilangan
reproduksi dasarnya kurang dari satu maka titik tetap bebas penyakit akan stabil
asimtotik yang berarti bahwa penyakit tidak akan menyebar dalam populasi atau
pada akhirnya penyakit akan hilang dari populasi. Jika bilangan reproduksi
dasarnya lebih dari satu maka titik tetap endemik akan stabil asimtotik yang
berarti bahwa penyakit akan tetap ada dan menyebar dalam populasi.
20
Selanjutnya, dari analisis kontrol optimum secara matematis dan simulasi
terhadap strategi kontrol vaksinasi dan pengobatan dengan beberapa tingkat biaya
diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1 Pada kasus di mana bobot relatif dari biaya vaksinasi lebih besar dari biaya
pengobatan, sumber daya (keuangan) sebaiknya lebih banyak digunakan untuk
biaya pengobatan hingga penyakit mulai menurun penyebarannya, namun
pilihan ini tidak menurunkan jumlah subpopulasi yang rentan secara signifikan
sehingga jumlah subpopulasi yang terinfeksi tetap tinggi.
2 Pada kasus di mana bobot relatif dari biaya vaksinasi lebih kecil dari biaya
pengobatan, sumber daya (keuangan) sebaiknya lebih banyak digunakan untuk
biaya vaksinasi. Hal ini mengakibatkan penurunan jumlah subpopulasi yang
rentan yang juga mengakibatkan penurunan jumlah subpopulasi yang terinfeksi
secara signifikan.
3 Pada kasus di mana kedua biaya memiliki bobot relatif sama, sumber daya
(keuangan) sebaiknya pada awal tahun terjadinya epidemik lebih banyak
digunakan untuk biaya vaksinasi sehingga mendorong penurunan tingkat
epidemik penyakit hingga batas waktu tertentu kemudian diterapkan lebih
banyak pengobatan daripada vaksinasi.
DAFTAR PUSTAKA
Giesecke J. 1994. Modern Infectious Disease Epidemiology. New York (US):
Oxford Univ Pr.
Hethcote HW. 2000. The mathematics of infectious diseases. SIAM Rev.
42(4):599-653. 10.1137/S0036144500371907
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos: with Applications to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusete (US): Addison-Wesley.
Szidarovszky F, Bahill AT. 1997. Linear System Theory. Ed ke-2. Florida (US):
CRC Press.
Tu PNV. 1993. Introductory Optimization Dynamics: Optimal Control with
Economics and Management Applications. Second Revised and Enlarged Edition.
Heidelberg (DE): Springer-Verlag.
Yusuf TT, Benyah F. 2012. Optimal control of vaccination and treatment for an
SIR epidemiological model. WJMS. [Internet]. [diunduh 2013 Sep 27 ];
8(2012):194-204. Tersedia pada: http://www.worldacademicunion.com
/journal/1746-7233WJMS/wjmsvol08no03paper04.pdf.
21
Lampiran 1 Pencarian solusi khusus
Laju perubahan total populasi pada t tertentu adalah
= −
− . Pada
keadaan bebas penyakit, = 0, maka
= −
.
(18)
Dari persamaan (18) dilakukan perhitungan kalkulus dengan mengintegralkan
kedua ruas menjadi
=
−
maka diperoleh
Jika syarat awal
0 =
diperoleh solusi khusus
0
=
−�
−
.
−
.
(19)
disubstitusikan ke dalam persamaan (19) maka
=
−
1−
−
0
Lampiran 2 Pencarian titik tetap �0 dari sistem persamaan (6)
Titik tetap bebas penyakit �0 = 0 , 0 ,
Keadaan bebas penyakit, = 0
Maka titik stabil,
=0
−
− 1 −
=0
− 1+
=0
= +
0
1
−
−
−
=0
=0
=0
=
Maka diperoleh titik tetap bebas penyakit
�0 =
1
+
,0,
Lampiran 3 Pencarian titik tetap �1 dari sistem persamaan (6)
Titik tetap endemik penyakit �1 = ( ∗ , ∗ , ∗ )
=0
− 2 − − =0
− 2− −
=0
∗
− 2− − =0 ⋁
+ +
⋁
= 2
=0
=0
Karena keadaannya adalah penyakit bersifat endemik maka solusi yang berlaku
+ +
adalah = 2
−
−
1
−
=0
=0
22
−
−
1
+
=0
= −
=
1
=
1+
2+ +
(
)
)
−
=
( 1+ )
−
,
=
2+
+
( 1+ )
2+ +
−( 2 + + )( 1 + )
( 2+ + )
=
−
+
(
−
=0
=0
= −
= − (
−
−( 2 + + )( 1 + )
)
( 2+ + )
( 2 + + )− ( −( 2 + + )( 1 + ))
( 2+ + )
−
+ ( 2 + + )( 1 + ))
2+ +
=
=
( 2+ + )
+ ( 2 + + )( 1 + ))
( 2+ + )
2 + + ( 2 + + )( 1 + ))
2+
=
=
( 2+ + )
Maka titik tetap penyakit bersifat endemik adalah
�1 =
2+
+
−
,
2+
+
1+
2+
,
2+ +
+ ( 2 + + )( 1 + )
( 2+ + )
Lampiran 4 Pembuktian titik tetap �0 bersifat stabil lokal asimtotik jika
ℛ0 < 1
Matriks Jacobi dari titik tetap bebas penyakit
0
=
−(
1
−
+ )
0
−
1+
−(
1
+ )−
0
0
2
−
0
Nilai eigen dari matriks
0
1+
−
−
diperoleh dengan menghitung
|0− |=0
−
+
0
−
0
1
1+
0
Sehingga didapat nilai eigen
, 2=
1 =− 1+
−
2
−
−
−
1+
−
2
−
−
−
=0
0
− −
dan
3
=− .
Karena 1 > 0 dan > 0, maka 1 = −( 1 + ) < 0 dan 3 = − < 0. Agar
�0 bersifat stabil lokal asimtotik maka
< 0 untuk i =1,2,3, sehingga
2 0 dan 4 1 +
+
2+
kondisi di atas maka (ℛ0 − 1) > 0, sehingga ℛ0 > 1
+
+
+
0
+
2
+
+
> 0, agar terpenuhi
Lampiran 7 Simulasi bidang solusi dinamika populasi tanpa kontrol vaksinasi
dan pengobatan (dengan menggunakan software Maple)
>
>
>
>
Lampiran 8 Simulasi bidang solusi dinamika populasi dengan
2 = 0.02 (dengan software Maple)
>
1
= 0.02 dan
26
>
Lampiran 9 Simulasi bidang solusi dinamika populasi dengan
2 = 0.04 (dengan software Maple)
>
>
>
>
Lampiran 10 M-File Matlab untuk solusi numerik model SIR
function [u1,u2,S,I,lambda1,lambda2,J] =
SIR_withcontrol(beta,alfa,gama,mu,S0,I0,C1,C2,t0,tf,n)
tol = 0.01;
err1= tol