Matriks Pascal dan Sifat-Sifatnya
MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA
YOGIE BUDHI RANTUNG
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Matriks Pascal dan
Sifat-Sifatnya adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2014
Yogie Budhi Rantung.
NIM G54070049
ABSTRAK
YOGIE BUDHI RANTUNG. Matriks Pascal dan Sifat-Sifatnya. Dibimbing oleh
NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA dan FARIDA HANUM .
Matriks Pascal adalah matriks yang setiap unsur-unsurnya memuat koefisien
binomial. Matriks Pascal dapat dibentuk menjadi tiga macam, yaitu matriks Pascal
simetrik matriks Pascal segitiga bawah dan matriks Pascal segitiga atas
Kajian ini bertujuan mengetahui sifat-sifat matriks Pascal.
menunjukkan bahwa perkalian matriks Pascal
Pembuktian sifat
segitiga bawah dengan matriks Pascal segitiga atas
selalu menghasilkan
matriks Pascal simetrik melalui tiga metode pembuktian berupa perkalian
matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi. Dalam hal ini, perkalian matriks
merupakan pembuktian yang paling efektif. Pembuktian
tersebut juga
menunjukkan bahwa
dan masing-masing memiliki nilai determinan yang
. Sifat lain matriks Pascal yang diketahui
sama, yakni satu
adalah transpos matriks Pascal segitiga bawah tidak lain merupakan matriks
Pascal segitiga atas atau berlaku sebaliknya
Kata kunci: matriks Pascal, matriks Pascal segitiga bawah, matriks Pascal segitiga
atas.
ABSTRACT
YOGIE BUDHI RANTUNG. Pascal Matrix and It’s Characteristics. Supervised
by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA and FARIDA HANUM.
Pascal matrices are matrices that their elements contain binomial
coefficients. Pascal matrices can be built into three different types: symmetric
Pascal matrix lower triangular Pascal matrix and upper triangular Pascal
matrix This study aims to determine the characteristics of the Pascal matrices.
The proof of characteristics
shows that multiplication of a lower
triangular Pascal matrix with an upper triangular Pascal matrix always yields
through three methods: matrix multiplication,
symmetric Pascal matrix
Gaussian elimination, and equality of functions. In this study, matrix
multiplication is the most effective method of proof. The proof of
also
and has the same determinant value, that is one
shows that each of
. Another characteristics of the Pascal matrix is that
transpose of a lower triangular Pascal matrix is an upper triangular Pascal
matrix and vice versa
.
Keywords: Pascal matrix, lower triangular Pascal matrix, upper triangular Pascal
matrix.
MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA
YOGIE BUDHI RANTUNG
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Matriks Pascal dan Sifat-Sifatnya
Nama
: Yogie Budhi Rantung
NIM
: G54070049
Disetujui oleh
Ir N K Kutha Ardana, MSc
Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
limpahan rahmat serta hidayah-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Matriks
Pascal dan Sifat-sifatnya berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada :
1. Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc dan Dra Farida Hanum, MSi
selaku komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi
dengan penuh kesabaran kepada penulis,
2. Muhammad Ilyas, MSc, MSi selaku penguji luar komisi yang telah
memberikan saran dan kritiknya,
3. Dr Toni Bakhtiar, MSc selaku Ketua Departemen Matematika,
4. Ibu dan ayah yang telah memberikan nasihat dan motivasi dengan penuh
kesabaran dan kasih sayang,
5. Rina Putri Utami yang talah memberikan semangat dengan penuh kesabaran.
6. teman-teman kos Wisma Asri beserta Pak Agik sekeluarga,
7. semua pihak terkait yang telah membantu dalam proses penyusunan karya
ilmiah ini.
Bogor, Mei 2014
Yogie Budhi Rantung
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
Manfaat Penelitian
1
LANDASAN TEORI
1
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Pembuktian
Menggunakan Perkalian Matriks
4
Pembuktian
Menggunakan Eliminasi Gauss
7
Pembuktian
Menggunakan Penyamaan Fungsi
Pembuktian Determinan Matriks Pascal
12
17
SIMPULAN
18
DAFTAR PUSTAKA
18
LAMPIRAN
19
RIWAYAT HIDUP
20
DAFTAR TABEL
1 Matriks Pascal segitiga bawah
4
2 Matriks Pascal segitiga atas
5
3 Matriks Pascal simetrik
6
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Matriks Pascal adalah matriks yang setiap elemen atau unsur-unsurnya
memuat koefisien binomial. Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan
yang muncul dari hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan
(Johnsonbaugh 1997). Dengan menempatkan koefisien binomial ke dalam matriks,
maka ada tiga cara untuk mencapai hal ini, di antaranya ialah matriks Pascal
simetrik ( ), matriks Pascal segitiga bawah ( ), dan matriks Pascal segitiga atas
( ).
Matriks Pascal merupakan salah satu contoh konkret dari matriks
unimodular. Matriks unimodular adalah matriks yang memiliki determinan
, sehingga
bernilai atau
Dalam perkembangannya, matriks Pascal muncul dalam banyak aplikasi
seperti ekspansi binomial, probabilitas, kombinatorika, aljabar linear, teknik
elektro dan statistik. Salah satu aplikasi matriks Pascal dalam algoritme untuk
mentransformasikan suatu fungsi.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas sifat-sifat matriks Pascal dan tiga cara
untuk membuktikan
yaitu dengan perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan
penyamaan fungsi. Ketiga metode pembuktian tersebut seringkali dijumpai dalam
berbagai persoalan matematika. Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel
berjudul Pascal Matrices yang disusun oleh Alan Edelman dan Gilbert Strang.
Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah mengkaji sifat-sifat matriks Pascal
simetrik ( ), matriks Pascal segitiga bawah ( ), dan matriks Pascal segitiga atas
( ), dan membuktikan bahwa
melalui perkalian matriks, eliminasi Gauss,
dan penyamaan fungsi serta membuktikan determinan ketiga jenis matriks Pascal
tersebut bernilai satu.
Manfaat Penelitian
1.
2.
3.
Manfaat dari karya ilmiah ini antara lain:
mengetahui sifat-sifat matriks Pascal,
melalui perkalian matriks,
mengetahui pembuktian persamaan
eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi,
mengetahui pembuktian determinan matriks Pascal yang selalu bernilai satu.
LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan disajikan beberapa pengertian atau konsep dasar yang
digunakan dalam karya ilmiah ini.
2
Definisi 1
Matriks Pascal simetrik
didefinisikan sebagai berikut:
adalah suatu matriks berukuran
yang
(Bicknell & Hoggat 1973)
Berikut ini diberikan contoh matriks
:
Definisi 2
Matriks Pascal segitiga bawah (lower triangular)
berukuran
yang didefinisikan sebagai berikut:
adalah suatu matriks
(Bicknell & Hoggat 1973)
Berikut ini diberikan contoh matriks
:
Definisi 3
Matriks Pascal segitiga atas (upper triangular)
berukuran
yang didefinisikan sebagai berikut:
adalah suatu matriks
(Bicknell & Hoggat 1973)
Berikut ini diberikan contoh matriks
:
3
Definisi 4
Dimisalkan untuk setiap
matriks
dari
dengan permutasi
didefinisikan sebagai berikut:
, determinan :
sejumlah
dan
(Mayer 2000)
:
Berikut ini diberikan contoh jika
dengan
permutasi
:
Kemudian selanjutnya:
Teorema 1
Determinan dari matriks segitiga ialah perkalian elemen semua diagonal
utamanya:
(Mayer 2000)
Teorema 2
Jika matriks berukuran
maka:
(Mayer 2000)
4
Definisi 5
Eliminasi Gauss merupakan suatu algoritme untuk mengekuivalenkan
bentuk matriks melalui serangkaian operasi baris dasar.
(Leon 2001)
Definisi 6
Matriks partisi merupakan suatu matriks yang dapat dipartisi menjadi
matriks-matriks yang lebih kecil dengan cara menggambar garis-garis horizontal
antara baris-baris dan garis-garis vertikal antara kolom-kolom. Matriks-matriks
yang lebih kecil seringkali disebut blok.
(Leon 2001)
HASIL DAN PEMBAHASAN
melalui
Dalam bab ini akan disajikan pembuktian-pembuktian
perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi serta membuktikan
determinan matriks Pascal bernilai satu.
Pembuktian
Menggunakan Perkalian Matriks
Pembuktian diawali dengan membangkitkan matriks Pascal segitiga bawah
. Misalkan matriks Pascal segitiga bawah berukuran
sebagai berikut:
Matriks
di atas dapat dinyatakan ke dalam bentuk tabel sebagai berikut:
Tabel 1 Matriks Pascal segitiga bawah
Baris-baris Tabel 1 dilabeli dengan
dan kolom-kolom
Label dan menunjukkan indeks
Tabel 1 dilabeli dengan
elemen matriks Pascal segitiga bawah . Elemen baris dengan label adalah
:
koefisien-koefisien hasil penjabaran
5
sehingga setiap elemen pada
dapat dinyatakan sebagai berikut:
(1)
dengan
maka
,
dan
Jika
bernilai nol.
Transpos matriks Pascal segitiga bawah tidak lain merupakan matriks Pascal
segitiga atas
.
Tabel 2 Matriks Pascal segitiga atas
dan baris-baris
Kolom-kolom Tabel 2 dilabeli dengan
Tabel 2 dilabeli dengan
. Label dan menunjukkan indeks
elemen matriks Pascal segitiga atas . Elemen baris dengan label adalah
koefisien-koefisien hasil penjabaran
:
6
sehingga setiap elemen pada
dapat dinyatakan sebagai berikut:
(2)
dengan
,
dan
Untuk
,
bernilai nol.
Misalkan matriks Pascal simetrik
Matriks Pascal simetrik
berukuran
sebagai berikut:
dapat dinyatakan ke dalam bentuk tabel sebagai berikut:
Tabel 3 Matriks Pascal simetrik
a
Sumber: (Strum 1977)
Baris-baris Tabel 3 dilabeli dengan
Tabel 3 dilabeli dengan
kolom bernilai:
dan kolom-kolom
. Elemen-elemen dalam baris dan
7
dan
dengan
.
Teorema 3
untuk setiap bilangan bulat
.
(Strum 1977)
Bukti:
Teorema 3 diperoleh berdasarkan identitas kombinatorial berikut:
(lihat Lampiran 1)
(3)
Dengan demikian pembuktian
Pembuktian
melalui perkalian matriks terbukti.
Menggunakan Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan operasi baris dasar pada matriks yang bertujuan
untuk mengeliminasi suatu matriks, sehingga hasil eliminasi tersebut memiliki
baris yang ekuivalen terhadap matriks yang tereliminasi dengan melihat
serangkaian operasi baris dasarnya. Dalam kasus ini matriks yang akan
dieliminasi adalah matriks Pascal segitiga bawah
.
Misalkan dilakukan pengeliminasian
dengan serangkaian operasi baris
dan
dengan serangkaian baris dasar
dasar
melalui eliminasi Gauss sebagai berikut:
●
(4)
●
Jika diperhatikan dari kedua proses eliminasi tersebut terlihat bahwa terjadinya
selisih antar baris dengan baris sebelumnya pada
dan , baris ke-4 dengan
8
baris ke-3, baris ke-3 dengan baris ke- , baris ke- dengan baris ke- , dan baris
berlaku untuk matriks . Dengan kata lain
ke- dengan baris ke,
,
, dan
untuk setiap
dan
:
Jika hasil pada proses eliminasi tersebut difaktorkan akan membentuk
perkalian matriks sebagai berikut:
Untuk setiap
akan berlaku:
sehingga proses eliminasi Gauss tersebut dapat juga dinyatakan sebagai perkalian
matriks antara dan dengan didefinisikan sebagai berikut:
9
Tujuannya adalah untuk membentuk sebuah persamaan baru yang akan dibuktikan
kesetaraannya sebagai berikut:
.
.
(5)
Proses selanjutnya ialah menjabarkan ruas kiri pada persamaan (5). Sebagai
sebagai berikut:
ilustrasi misalkan perkalian matriks
(6)
.
(7)
Perhatikan bahwa matriks (4) dan matriks (6) adalah sama, dan jika baris pertama
dan kolom pertama dihilangkan akan membentuk submatriks
Untuk setiap
akan diperoleh sebagai berikut:
(8)
Pembentukan submatriks juga terjadi pada perkalian
perkalian matriks
:
Misalkan pada
10
Dari hasil perkalian
untuk setiap diperoleh:
tersebut terbentuk submatriks
Dengan cara serupa,
(9)
Dari hasil proses eliminasi atau perkalian matriks pada
dan
tersebut
dapat disimpulkan bahwa untuk setiap hasil eliminasi
dan
masing-masing
akan menghasilkan submatriks
dan
Selanjutnya dengan
ruas kiri persamaan
dapat dituliskan ke
mengasumsikan
dalam bentuk matriks sebagai berikut:
(10)
Dalam proses eliminasi pada dan terdapat persamaan rekursif sehingga
pembuktian persamaan (10) dapat ditempuh dengan menggunakan bukti Induksi
Matematik. Misalkan:
i) Basis Induksi
(benar)
ii) Hipotesis Induksi: Misalkan
, untuk
iii) Akan dibuktikan:
benar, yaitu
benar, yaitu
Bukti:
Di dalam hipotesis induksi dikatakan bahwa
yang memiliki sejumlah -baris dan -kolom:
berukuran
(11)
11
sehingga untuk mencapai ke bentuk ukuran
pada
persamaan (11) perlu ditambahkan satu baris dan satu kolom setelah baris kedan setelah kolom ke- agar
dapat tercapai:
Kemudian matriks
dan
masing-masing dilakukan partisi matriks
serta
dengan menggambar garis vertikal di antara baris dan baris
menggambar garis horizontal di antara kolom dan kolom
sehingga
matriks
dan
akan terbagi menjadi empat blok:
(12)
dan
[
,
…,
] . Kemudian setiap elemen pada persamaan (12) dapat dijabarkan
sebagai berikut:
dengan
T
●
●
12
●
Hipotesis induksi menyatakan
dinyatakan sebagai berikut:
sehingga persamaan (12) dapat
Dengan demikian pembuktian induksi matematik terpenuhi sehingga
persamaan (10) juga terbukti dan pembuktian
melalui eliminasi Gauss
terbukti.
Pembuktian
Menggunakan Penyamaan Fungsi
Misalkan vektor koefisien
dan vektor
merepresentasikan sebuah fungsi dalam deret Taylor:
.
(13)
Dengan ini dapat dinyatakan bahwa membentuk suatu matriks segitiga tak
terbatas. Perkalian
menunjukkan bahwa persamaan (13) merupakan sebuah
deret kuasa
(14)
sehingga perkalian
membentuk fungsi polinomial untuk setiap baris ke- :
.
(15)
13
Tujuan pembuktian ini adalah menyetarakan fungsi hasil perkalian
dengan fungsi hasil perkalian
yang akan dijabarkan. Pada persamaan
dilakukan perkalian ruas kiri dan ruas kanan tehadap vektor tak terbatas
:
(16)
Baris pertama perkalian
:
(17)
membentuk deret geometri yang konvergen di
:
(18)
Jika persamaan (18) diturunkan maka akan membentuk deret yang menjadi baris
kedua pada perkalian :
(19)
Jika persamaan (19) juga diturunkan akan membentuk deret yang selanjutnya
melakukan penyederhanaan ruas kiri dan ruas kanan yang akan menjadi baris
ketiga perkalian :
(20)
(21)
Persamaan (21) merupakan deret yang menjadi pembentuk baris ketiga pada
perkalian . Selanjutnya persamaan (20) juga diturunkan akan membentuk deret
sebagai berikut:
14
(22)
(23)
Persamaan (23) merupakan deret yang menjadi pembentuk baris keempat pada
perkalian . Dan seterusnya hingga turunan keakan membentuk deret
kuasa yang konvergen di
dengan fungsi sebagai berikut:
(24)
Jadi dapat disimpulkan bahwa penurunan setiap baris pada perkalian
akan
membentuk baris selanjutnya sehingga persamaan (17) dapat dinyatakan sebagai
berikut:
(25)
(26)
Selanjutnya menjabarkan perkalian
sebagai berikut:
(27)
Baris pertama
juga membentuk deret geometri seperti halnya pada persamaan
(18). Baris kedua merupakan hasil turunan baris pertama yang sudah
disederhanakan seperti pada persamaan (19) dengan mengalikan variabel tiaptiap ruas:
15
merupakan hasil turunan persamaan (19) yang sudah
Baris ketiga
tiapdisederhanakan seperti pada persamaan (21) dengan mengalikan variabel
tiap ruas:
merupakan hasil turunan persamaan (20) yang telah
Baris keempat
disederhanakan seperti pada persamaan (23) dengan melakukan perkalian variabel
tiap-tiap ruas:
sehingga untuk setiap baris ke- berlaku:
(28)
sehingga persamaan (27) dapat dinyatakan sebagai berikut:
16
(29)
Selanjutnya di tahap akhir ini akan ditunjukkan bahwa untuk mencapai
pada persamaan (26) dilakukan perkalian matriks dengan
hasil perkalian
di persamaan (29) dimana
:
(30)
T
Bentuk
pada persamaan (30) serupa dengan
bentuk [1, (1 + x), (1 + x)2, (1 + x)3, ...]T pada persamaan (14) maka bentuk
merupakan sebuah deret kuasa
.
Dengan mengembalikan nilai
pada
diperoleh:
sehingga persamaan (30) dapat juga ditulis sebagai berikut:
17
(31)
pada persamaan (31) memiliki hasil
Dengan demikian hasil perkalian
yang sama dengan hasil perkalian
pada persamaan (26), sehingga pembuktian
melalui penyamaan fungsi terbukti.
Pembuktian Determinan Matriks Pascal
Pada Teorema 1 telah dijelaskan bahwa nilai determinan matriks segitiga
ialah perkalian elemen semua diagonal utamanya. Matriks Pascal segitiga bawah
dan matriks Pascal segitiga atas merupakan matriks segitiga dengan semua
elemen diagonal utamanya bernilai 1 sehingga determinan matriks Pascal segitiga
bawah dan matriks Pascal segitiga atas bernilai satu:
Pada subbab-subbab sebelumnya telah disajikan pembuktian
melalui tiga pembuktian berupa perkalian matriks, Eliminasi Gauss, dan
penyamaan fungsi, sehingga matriks memiliki determinan bernilai satu:
Dengan demikian matriks Pascal segitiga bawah , matriks Pascal segitiga
atas , dan matriks Pascal simetrik , terbukti memiliki determinan bernilai satu
.
untuk setiap ukuran
18
SIMPULAN
Simpulan
melalui perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan
Pembuktian
penyamaan fungsi sudah terbukti dalam bab sebelumnya. Pembuktian perkalian
matriks merupakan pembuktian yang paling efektif dan pembuktian penyamaan
fungsi merupakan pembuktian yang paling sulit dari ketiga metode tersebut.
Matriks Pascal memiliki beberapa sifat di antaranya ialah, perkalian matriks
Pascal segitiga bawah dengan matriks Pascal segitiga atas
akan selalu
menghasilkan matriks Pascal simetrik
, transpos matriks Pascal
segitiga bawah akan selalu membentuk matriks Pascal segitiga atas atau
atau
), dan determinan matriks Pascal simetrik
berlaku sebaliknya (
, determinan matriks Pascal segitiga bawah , dan determinan matriks Pascal
selalu memiliki determinan yang sama yakni bernilai satu
segitiga atas
.
Saran
dapat juga dibuktikan
Dalam penelitian selanjutnya pembuktian
dengan menggunakan gluing graphs. Pembuktian gluing graphs merupakan
pembuktian menggunakan prinsip graf algoritmik dengan cara menghitung path
dari elemen ke elemen dalam matriks Pascal segitiga bawah , matriks Pascal
segitiga atas , dan matriks Pascal simetrik .
DAFTAR PUSTAKA
Bicknell M, Hoggat VE. 1973. Unit determinants in generalized Pascal triangles.
Fibonacci Quarterly. 131-144.
Edelman A & Strang G. 2004. Pascal Matrices. The American Mathematical
Monthly. 189-197
Johnsonbaugh R. 1997. Discrete Mathematics. New Jersey (US): Prentice-Hall.
Leon SJ. 2001. Linear Algebra with Applications. New Jersey (US): Prentice Hall
PTR.
Mayer CD. 2000. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Philadelphia
(US): Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM).
Strum JE. 1977. Binomial Matrices. The Two-Year College Mathematics Journal.
260-266
19
Lampiran 1
Hasil penjabaran persamaan (3) diperoleh dari identitas polinomial pada
halaman 7 sebagai berikut:
20
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Watampone, Sulawesi Selatan pada tangal 5 Juni 1989
sebagai anak ke-2 dari dua bersaudara pasangan Lilik Budiarto dan Mulyani.
Pendidikan formal yang ditempuh penulis, yaitu di SDN Selosari 01
Magetan lulus pada tahun 2001, SMPN 1 Magetan lulus pada tahun 2004, SMAN
3 Magetan lulus pada tahun 2007, dan pada tahun yang sama penulis diterima di
Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Tahun pertama penulis memasuki
Tingkat Persiapan Bersama (TPB). Pada tahun 2008, penulis mulai masuk
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Penulis pernah mengikuti organisasi BEM KM secara independen periode
tahun 2007/2008 pada masa Tingkat Persiapan Bersama (TPB). Pada tahun 2008,
penulis masuk GUMATIKA sebagai anggota divisi PSDM.
.
YOGIE BUDHI RANTUNG
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Matriks Pascal dan
Sifat-Sifatnya adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2014
Yogie Budhi Rantung.
NIM G54070049
ABSTRAK
YOGIE BUDHI RANTUNG. Matriks Pascal dan Sifat-Sifatnya. Dibimbing oleh
NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA dan FARIDA HANUM .
Matriks Pascal adalah matriks yang setiap unsur-unsurnya memuat koefisien
binomial. Matriks Pascal dapat dibentuk menjadi tiga macam, yaitu matriks Pascal
simetrik matriks Pascal segitiga bawah dan matriks Pascal segitiga atas
Kajian ini bertujuan mengetahui sifat-sifat matriks Pascal.
menunjukkan bahwa perkalian matriks Pascal
Pembuktian sifat
segitiga bawah dengan matriks Pascal segitiga atas
selalu menghasilkan
matriks Pascal simetrik melalui tiga metode pembuktian berupa perkalian
matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi. Dalam hal ini, perkalian matriks
merupakan pembuktian yang paling efektif. Pembuktian
tersebut juga
menunjukkan bahwa
dan masing-masing memiliki nilai determinan yang
. Sifat lain matriks Pascal yang diketahui
sama, yakni satu
adalah transpos matriks Pascal segitiga bawah tidak lain merupakan matriks
Pascal segitiga atas atau berlaku sebaliknya
Kata kunci: matriks Pascal, matriks Pascal segitiga bawah, matriks Pascal segitiga
atas.
ABSTRACT
YOGIE BUDHI RANTUNG. Pascal Matrix and It’s Characteristics. Supervised
by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA and FARIDA HANUM.
Pascal matrices are matrices that their elements contain binomial
coefficients. Pascal matrices can be built into three different types: symmetric
Pascal matrix lower triangular Pascal matrix and upper triangular Pascal
matrix This study aims to determine the characteristics of the Pascal matrices.
The proof of characteristics
shows that multiplication of a lower
triangular Pascal matrix with an upper triangular Pascal matrix always yields
through three methods: matrix multiplication,
symmetric Pascal matrix
Gaussian elimination, and equality of functions. In this study, matrix
multiplication is the most effective method of proof. The proof of
also
and has the same determinant value, that is one
shows that each of
. Another characteristics of the Pascal matrix is that
transpose of a lower triangular Pascal matrix is an upper triangular Pascal
matrix and vice versa
.
Keywords: Pascal matrix, lower triangular Pascal matrix, upper triangular Pascal
matrix.
MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA
YOGIE BUDHI RANTUNG
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Matriks Pascal dan Sifat-Sifatnya
Nama
: Yogie Budhi Rantung
NIM
: G54070049
Disetujui oleh
Ir N K Kutha Ardana, MSc
Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
limpahan rahmat serta hidayah-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Matriks
Pascal dan Sifat-sifatnya berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada :
1. Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc dan Dra Farida Hanum, MSi
selaku komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi
dengan penuh kesabaran kepada penulis,
2. Muhammad Ilyas, MSc, MSi selaku penguji luar komisi yang telah
memberikan saran dan kritiknya,
3. Dr Toni Bakhtiar, MSc selaku Ketua Departemen Matematika,
4. Ibu dan ayah yang telah memberikan nasihat dan motivasi dengan penuh
kesabaran dan kasih sayang,
5. Rina Putri Utami yang talah memberikan semangat dengan penuh kesabaran.
6. teman-teman kos Wisma Asri beserta Pak Agik sekeluarga,
7. semua pihak terkait yang telah membantu dalam proses penyusunan karya
ilmiah ini.
Bogor, Mei 2014
Yogie Budhi Rantung
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
Manfaat Penelitian
1
LANDASAN TEORI
1
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Pembuktian
Menggunakan Perkalian Matriks
4
Pembuktian
Menggunakan Eliminasi Gauss
7
Pembuktian
Menggunakan Penyamaan Fungsi
Pembuktian Determinan Matriks Pascal
12
17
SIMPULAN
18
DAFTAR PUSTAKA
18
LAMPIRAN
19
RIWAYAT HIDUP
20
DAFTAR TABEL
1 Matriks Pascal segitiga bawah
4
2 Matriks Pascal segitiga atas
5
3 Matriks Pascal simetrik
6
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Matriks Pascal adalah matriks yang setiap elemen atau unsur-unsurnya
memuat koefisien binomial. Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan
yang muncul dari hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan
(Johnsonbaugh 1997). Dengan menempatkan koefisien binomial ke dalam matriks,
maka ada tiga cara untuk mencapai hal ini, di antaranya ialah matriks Pascal
simetrik ( ), matriks Pascal segitiga bawah ( ), dan matriks Pascal segitiga atas
( ).
Matriks Pascal merupakan salah satu contoh konkret dari matriks
unimodular. Matriks unimodular adalah matriks yang memiliki determinan
, sehingga
bernilai atau
Dalam perkembangannya, matriks Pascal muncul dalam banyak aplikasi
seperti ekspansi binomial, probabilitas, kombinatorika, aljabar linear, teknik
elektro dan statistik. Salah satu aplikasi matriks Pascal dalam algoritme untuk
mentransformasikan suatu fungsi.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas sifat-sifat matriks Pascal dan tiga cara
untuk membuktikan
yaitu dengan perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan
penyamaan fungsi. Ketiga metode pembuktian tersebut seringkali dijumpai dalam
berbagai persoalan matematika. Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel
berjudul Pascal Matrices yang disusun oleh Alan Edelman dan Gilbert Strang.
Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah mengkaji sifat-sifat matriks Pascal
simetrik ( ), matriks Pascal segitiga bawah ( ), dan matriks Pascal segitiga atas
( ), dan membuktikan bahwa
melalui perkalian matriks, eliminasi Gauss,
dan penyamaan fungsi serta membuktikan determinan ketiga jenis matriks Pascal
tersebut bernilai satu.
Manfaat Penelitian
1.
2.
3.
Manfaat dari karya ilmiah ini antara lain:
mengetahui sifat-sifat matriks Pascal,
melalui perkalian matriks,
mengetahui pembuktian persamaan
eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi,
mengetahui pembuktian determinan matriks Pascal yang selalu bernilai satu.
LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan disajikan beberapa pengertian atau konsep dasar yang
digunakan dalam karya ilmiah ini.
2
Definisi 1
Matriks Pascal simetrik
didefinisikan sebagai berikut:
adalah suatu matriks berukuran
yang
(Bicknell & Hoggat 1973)
Berikut ini diberikan contoh matriks
:
Definisi 2
Matriks Pascal segitiga bawah (lower triangular)
berukuran
yang didefinisikan sebagai berikut:
adalah suatu matriks
(Bicknell & Hoggat 1973)
Berikut ini diberikan contoh matriks
:
Definisi 3
Matriks Pascal segitiga atas (upper triangular)
berukuran
yang didefinisikan sebagai berikut:
adalah suatu matriks
(Bicknell & Hoggat 1973)
Berikut ini diberikan contoh matriks
:
3
Definisi 4
Dimisalkan untuk setiap
matriks
dari
dengan permutasi
didefinisikan sebagai berikut:
, determinan :
sejumlah
dan
(Mayer 2000)
:
Berikut ini diberikan contoh jika
dengan
permutasi
:
Kemudian selanjutnya:
Teorema 1
Determinan dari matriks segitiga ialah perkalian elemen semua diagonal
utamanya:
(Mayer 2000)
Teorema 2
Jika matriks berukuran
maka:
(Mayer 2000)
4
Definisi 5
Eliminasi Gauss merupakan suatu algoritme untuk mengekuivalenkan
bentuk matriks melalui serangkaian operasi baris dasar.
(Leon 2001)
Definisi 6
Matriks partisi merupakan suatu matriks yang dapat dipartisi menjadi
matriks-matriks yang lebih kecil dengan cara menggambar garis-garis horizontal
antara baris-baris dan garis-garis vertikal antara kolom-kolom. Matriks-matriks
yang lebih kecil seringkali disebut blok.
(Leon 2001)
HASIL DAN PEMBAHASAN
melalui
Dalam bab ini akan disajikan pembuktian-pembuktian
perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi serta membuktikan
determinan matriks Pascal bernilai satu.
Pembuktian
Menggunakan Perkalian Matriks
Pembuktian diawali dengan membangkitkan matriks Pascal segitiga bawah
. Misalkan matriks Pascal segitiga bawah berukuran
sebagai berikut:
Matriks
di atas dapat dinyatakan ke dalam bentuk tabel sebagai berikut:
Tabel 1 Matriks Pascal segitiga bawah
Baris-baris Tabel 1 dilabeli dengan
dan kolom-kolom
Label dan menunjukkan indeks
Tabel 1 dilabeli dengan
elemen matriks Pascal segitiga bawah . Elemen baris dengan label adalah
:
koefisien-koefisien hasil penjabaran
5
sehingga setiap elemen pada
dapat dinyatakan sebagai berikut:
(1)
dengan
maka
,
dan
Jika
bernilai nol.
Transpos matriks Pascal segitiga bawah tidak lain merupakan matriks Pascal
segitiga atas
.
Tabel 2 Matriks Pascal segitiga atas
dan baris-baris
Kolom-kolom Tabel 2 dilabeli dengan
Tabel 2 dilabeli dengan
. Label dan menunjukkan indeks
elemen matriks Pascal segitiga atas . Elemen baris dengan label adalah
koefisien-koefisien hasil penjabaran
:
6
sehingga setiap elemen pada
dapat dinyatakan sebagai berikut:
(2)
dengan
,
dan
Untuk
,
bernilai nol.
Misalkan matriks Pascal simetrik
Matriks Pascal simetrik
berukuran
sebagai berikut:
dapat dinyatakan ke dalam bentuk tabel sebagai berikut:
Tabel 3 Matriks Pascal simetrik
a
Sumber: (Strum 1977)
Baris-baris Tabel 3 dilabeli dengan
Tabel 3 dilabeli dengan
kolom bernilai:
dan kolom-kolom
. Elemen-elemen dalam baris dan
7
dan
dengan
.
Teorema 3
untuk setiap bilangan bulat
.
(Strum 1977)
Bukti:
Teorema 3 diperoleh berdasarkan identitas kombinatorial berikut:
(lihat Lampiran 1)
(3)
Dengan demikian pembuktian
Pembuktian
melalui perkalian matriks terbukti.
Menggunakan Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan operasi baris dasar pada matriks yang bertujuan
untuk mengeliminasi suatu matriks, sehingga hasil eliminasi tersebut memiliki
baris yang ekuivalen terhadap matriks yang tereliminasi dengan melihat
serangkaian operasi baris dasarnya. Dalam kasus ini matriks yang akan
dieliminasi adalah matriks Pascal segitiga bawah
.
Misalkan dilakukan pengeliminasian
dengan serangkaian operasi baris
dan
dengan serangkaian baris dasar
dasar
melalui eliminasi Gauss sebagai berikut:
●
(4)
●
Jika diperhatikan dari kedua proses eliminasi tersebut terlihat bahwa terjadinya
selisih antar baris dengan baris sebelumnya pada
dan , baris ke-4 dengan
8
baris ke-3, baris ke-3 dengan baris ke- , baris ke- dengan baris ke- , dan baris
berlaku untuk matriks . Dengan kata lain
ke- dengan baris ke,
,
, dan
untuk setiap
dan
:
Jika hasil pada proses eliminasi tersebut difaktorkan akan membentuk
perkalian matriks sebagai berikut:
Untuk setiap
akan berlaku:
sehingga proses eliminasi Gauss tersebut dapat juga dinyatakan sebagai perkalian
matriks antara dan dengan didefinisikan sebagai berikut:
9
Tujuannya adalah untuk membentuk sebuah persamaan baru yang akan dibuktikan
kesetaraannya sebagai berikut:
.
.
(5)
Proses selanjutnya ialah menjabarkan ruas kiri pada persamaan (5). Sebagai
sebagai berikut:
ilustrasi misalkan perkalian matriks
(6)
.
(7)
Perhatikan bahwa matriks (4) dan matriks (6) adalah sama, dan jika baris pertama
dan kolom pertama dihilangkan akan membentuk submatriks
Untuk setiap
akan diperoleh sebagai berikut:
(8)
Pembentukan submatriks juga terjadi pada perkalian
perkalian matriks
:
Misalkan pada
10
Dari hasil perkalian
untuk setiap diperoleh:
tersebut terbentuk submatriks
Dengan cara serupa,
(9)
Dari hasil proses eliminasi atau perkalian matriks pada
dan
tersebut
dapat disimpulkan bahwa untuk setiap hasil eliminasi
dan
masing-masing
akan menghasilkan submatriks
dan
Selanjutnya dengan
ruas kiri persamaan
dapat dituliskan ke
mengasumsikan
dalam bentuk matriks sebagai berikut:
(10)
Dalam proses eliminasi pada dan terdapat persamaan rekursif sehingga
pembuktian persamaan (10) dapat ditempuh dengan menggunakan bukti Induksi
Matematik. Misalkan:
i) Basis Induksi
(benar)
ii) Hipotesis Induksi: Misalkan
, untuk
iii) Akan dibuktikan:
benar, yaitu
benar, yaitu
Bukti:
Di dalam hipotesis induksi dikatakan bahwa
yang memiliki sejumlah -baris dan -kolom:
berukuran
(11)
11
sehingga untuk mencapai ke bentuk ukuran
pada
persamaan (11) perlu ditambahkan satu baris dan satu kolom setelah baris kedan setelah kolom ke- agar
dapat tercapai:
Kemudian matriks
dan
masing-masing dilakukan partisi matriks
serta
dengan menggambar garis vertikal di antara baris dan baris
menggambar garis horizontal di antara kolom dan kolom
sehingga
matriks
dan
akan terbagi menjadi empat blok:
(12)
dan
[
,
…,
] . Kemudian setiap elemen pada persamaan (12) dapat dijabarkan
sebagai berikut:
dengan
T
●
●
12
●
Hipotesis induksi menyatakan
dinyatakan sebagai berikut:
sehingga persamaan (12) dapat
Dengan demikian pembuktian induksi matematik terpenuhi sehingga
persamaan (10) juga terbukti dan pembuktian
melalui eliminasi Gauss
terbukti.
Pembuktian
Menggunakan Penyamaan Fungsi
Misalkan vektor koefisien
dan vektor
merepresentasikan sebuah fungsi dalam deret Taylor:
.
(13)
Dengan ini dapat dinyatakan bahwa membentuk suatu matriks segitiga tak
terbatas. Perkalian
menunjukkan bahwa persamaan (13) merupakan sebuah
deret kuasa
(14)
sehingga perkalian
membentuk fungsi polinomial untuk setiap baris ke- :
.
(15)
13
Tujuan pembuktian ini adalah menyetarakan fungsi hasil perkalian
dengan fungsi hasil perkalian
yang akan dijabarkan. Pada persamaan
dilakukan perkalian ruas kiri dan ruas kanan tehadap vektor tak terbatas
:
(16)
Baris pertama perkalian
:
(17)
membentuk deret geometri yang konvergen di
:
(18)
Jika persamaan (18) diturunkan maka akan membentuk deret yang menjadi baris
kedua pada perkalian :
(19)
Jika persamaan (19) juga diturunkan akan membentuk deret yang selanjutnya
melakukan penyederhanaan ruas kiri dan ruas kanan yang akan menjadi baris
ketiga perkalian :
(20)
(21)
Persamaan (21) merupakan deret yang menjadi pembentuk baris ketiga pada
perkalian . Selanjutnya persamaan (20) juga diturunkan akan membentuk deret
sebagai berikut:
14
(22)
(23)
Persamaan (23) merupakan deret yang menjadi pembentuk baris keempat pada
perkalian . Dan seterusnya hingga turunan keakan membentuk deret
kuasa yang konvergen di
dengan fungsi sebagai berikut:
(24)
Jadi dapat disimpulkan bahwa penurunan setiap baris pada perkalian
akan
membentuk baris selanjutnya sehingga persamaan (17) dapat dinyatakan sebagai
berikut:
(25)
(26)
Selanjutnya menjabarkan perkalian
sebagai berikut:
(27)
Baris pertama
juga membentuk deret geometri seperti halnya pada persamaan
(18). Baris kedua merupakan hasil turunan baris pertama yang sudah
disederhanakan seperti pada persamaan (19) dengan mengalikan variabel tiaptiap ruas:
15
merupakan hasil turunan persamaan (19) yang sudah
Baris ketiga
tiapdisederhanakan seperti pada persamaan (21) dengan mengalikan variabel
tiap ruas:
merupakan hasil turunan persamaan (20) yang telah
Baris keempat
disederhanakan seperti pada persamaan (23) dengan melakukan perkalian variabel
tiap-tiap ruas:
sehingga untuk setiap baris ke- berlaku:
(28)
sehingga persamaan (27) dapat dinyatakan sebagai berikut:
16
(29)
Selanjutnya di tahap akhir ini akan ditunjukkan bahwa untuk mencapai
pada persamaan (26) dilakukan perkalian matriks dengan
hasil perkalian
di persamaan (29) dimana
:
(30)
T
Bentuk
pada persamaan (30) serupa dengan
bentuk [1, (1 + x), (1 + x)2, (1 + x)3, ...]T pada persamaan (14) maka bentuk
merupakan sebuah deret kuasa
.
Dengan mengembalikan nilai
pada
diperoleh:
sehingga persamaan (30) dapat juga ditulis sebagai berikut:
17
(31)
pada persamaan (31) memiliki hasil
Dengan demikian hasil perkalian
yang sama dengan hasil perkalian
pada persamaan (26), sehingga pembuktian
melalui penyamaan fungsi terbukti.
Pembuktian Determinan Matriks Pascal
Pada Teorema 1 telah dijelaskan bahwa nilai determinan matriks segitiga
ialah perkalian elemen semua diagonal utamanya. Matriks Pascal segitiga bawah
dan matriks Pascal segitiga atas merupakan matriks segitiga dengan semua
elemen diagonal utamanya bernilai 1 sehingga determinan matriks Pascal segitiga
bawah dan matriks Pascal segitiga atas bernilai satu:
Pada subbab-subbab sebelumnya telah disajikan pembuktian
melalui tiga pembuktian berupa perkalian matriks, Eliminasi Gauss, dan
penyamaan fungsi, sehingga matriks memiliki determinan bernilai satu:
Dengan demikian matriks Pascal segitiga bawah , matriks Pascal segitiga
atas , dan matriks Pascal simetrik , terbukti memiliki determinan bernilai satu
.
untuk setiap ukuran
18
SIMPULAN
Simpulan
melalui perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan
Pembuktian
penyamaan fungsi sudah terbukti dalam bab sebelumnya. Pembuktian perkalian
matriks merupakan pembuktian yang paling efektif dan pembuktian penyamaan
fungsi merupakan pembuktian yang paling sulit dari ketiga metode tersebut.
Matriks Pascal memiliki beberapa sifat di antaranya ialah, perkalian matriks
Pascal segitiga bawah dengan matriks Pascal segitiga atas
akan selalu
menghasilkan matriks Pascal simetrik
, transpos matriks Pascal
segitiga bawah akan selalu membentuk matriks Pascal segitiga atas atau
atau
), dan determinan matriks Pascal simetrik
berlaku sebaliknya (
, determinan matriks Pascal segitiga bawah , dan determinan matriks Pascal
selalu memiliki determinan yang sama yakni bernilai satu
segitiga atas
.
Saran
dapat juga dibuktikan
Dalam penelitian selanjutnya pembuktian
dengan menggunakan gluing graphs. Pembuktian gluing graphs merupakan
pembuktian menggunakan prinsip graf algoritmik dengan cara menghitung path
dari elemen ke elemen dalam matriks Pascal segitiga bawah , matriks Pascal
segitiga atas , dan matriks Pascal simetrik .
DAFTAR PUSTAKA
Bicknell M, Hoggat VE. 1973. Unit determinants in generalized Pascal triangles.
Fibonacci Quarterly. 131-144.
Edelman A & Strang G. 2004. Pascal Matrices. The American Mathematical
Monthly. 189-197
Johnsonbaugh R. 1997. Discrete Mathematics. New Jersey (US): Prentice-Hall.
Leon SJ. 2001. Linear Algebra with Applications. New Jersey (US): Prentice Hall
PTR.
Mayer CD. 2000. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Philadelphia
(US): Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM).
Strum JE. 1977. Binomial Matrices. The Two-Year College Mathematics Journal.
260-266
19
Lampiran 1
Hasil penjabaran persamaan (3) diperoleh dari identitas polinomial pada
halaman 7 sebagai berikut:
20
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Watampone, Sulawesi Selatan pada tangal 5 Juni 1989
sebagai anak ke-2 dari dua bersaudara pasangan Lilik Budiarto dan Mulyani.
Pendidikan formal yang ditempuh penulis, yaitu di SDN Selosari 01
Magetan lulus pada tahun 2001, SMPN 1 Magetan lulus pada tahun 2004, SMAN
3 Magetan lulus pada tahun 2007, dan pada tahun yang sama penulis diterima di
Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Tahun pertama penulis memasuki
Tingkat Persiapan Bersama (TPB). Pada tahun 2008, penulis mulai masuk
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Penulis pernah mengikuti organisasi BEM KM secara independen periode
tahun 2007/2008 pada masa Tingkat Persiapan Bersama (TPB). Pada tahun 2008,
penulis masuk GUMATIKA sebagai anggota divisi PSDM.
.