IDEAL lucas DAN SIFAT SIFATNYA

IDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA
Dalam grup kita mengenal subgrub normal. Dalam ring terdapat subring-subring tertentu yang mempunyai
peranan mirip dengan subgrup normal. Subring yang peranannya mirip subgroup normal disebut ideal,
yakni subring dari suatu ring yang memilki sifat-sifat khusus.
Definisi 1.1
Diketahui ring R dan I ∁ R maka I disebut ideal dari ring R jika memenuhi
aksioma-aksioma berikut:
1.
I subring dari R
2.
∀ x ∈I,∀r ∈ R, maka xr ∈ I dan rx ∈ I
Definisi 1.2
Misalkan R adalah suatu ring dan I ∁ R dengan I≠∅, I disebut Ideal kiri dari R jika dan hanya jika:
i ∀ x ∈ I berlaku (x – y) ∈ I
ii (∀ x ∈ R) (∀ x ∈ I) berlaku rx ∈ I
Misalkan R adalah suatu ring dan dengan I≠∅, I disebut Ideal kanan dari R jika dan hanya jika:
1.
∀ x,y ∈ I berlaku (x – y) ∈ I
2.
(∀ x ∈ R) (∀ x ∈ I) berlaku rx ∈I
Misalkan R adalah suatu ring dan I ∁ R dengan I≠∅, I disebut Ideal dua sisi (ideal kiri sekaligus ideal

kanan), disebut juga Ideal dari R jika dan hanya jika
1.
∀ x,y ∈ I berlaku (x – y) ∈ I
2.
∀ x ∈ R) (∀ x ∈ I) berlaku rx, xr ∈ I
Ideal I disebut ideal trivial jika I = {0}dan disebut ideal sejati jika I ≠ R. Ideal I dinamakan ideal tak sejati jika
I = R. Ring yang tidak mempunyai ideal sejati disebut ring sederhana (simple ring). Apabila R adalah ring
komutatif maka ideal kanan juga merupakan ideal kiri.
Catatan:
1.
Ideal pasti merupakan subring dan tidak sebaliknya.
2.
Syarat ke-2, (∀ r ∈ R)(∀x ∈ I) berlaku rx,xr ∈ I berarti bahwa rx≠ xr.
Selanjutnya Download saja ya jangan lupa tuk tinggalkan Komen tentang Blog in

.Himpunan
Contoh 1
Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan
bulat positif, didefinisikan x * y = |x – y| bila x y dan x * x = x untuk
setiap x,y Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif

dan
assosiatif.
Penyelesaian :
a. Tertutup
Misalkan x = 2 dan y = 3,
x*y=2*3=1
x*x=2*2=2
x * y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y Z+
b. Komutatif
x, y Z+, misalkan x = 2 dan y = 3
x * y = 2 * 3 = |2 – 3| = 1
y * x = 3 * 2 = |3 – 2| = 1
x * y = y * x komutatif
c. Assosiatif
x, y, z Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4
(x * y) * z = (2 * 3) * 4 = |2 – 3| * 4 = |1 – 4| = 3
x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * |3 – 4| = |2 – 1| = 1
(x * y) * z x * (y * z) tidak assosiatif

Contoh 2

Jika A, B R didefinisikan A = { x | 1 x 4} = { 1, 2, 3, 4} dan
B = { x | 2 x 3} = {2, 3}. Tunjukan bahwa A x B B x A !
Penyelesaian :
Relasi terhadap A x B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,2),
(4,3)}
Relasi terhadap B x A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3),
(3,4)}

2.semigrup dan monoid
Contoh 1
Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner:
a * b = a + b + ab
Tunjukan bahwa (N, *) adalah suatu semigrup.
Penyelesaian:
1. Tertutup
Ambil sebarang a, b * N, karena a, b* N, dan ab* N maka
a * b = a + b + ab * N.
Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.
2. Assosiatif
Ambil sebarang a, b, c * N, maka

(a * b) * c = (a + b + ab) * c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c = a + b + ab + c + ac + bc + abc

a * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc
Maka untuk setiap a, b, c * N berlaku
(a * b) * c = a * (b * c).
Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup.
Jika operasi biner pada semigrup (S, *) tersebut bersifat komutatif, maka semigrup (S, *) disebut juga semigrup
abel.

Contoh 2
Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +).
Penyelesaian:
Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +) sebagai berikut

+

-1

1

-1

-2

0

1

0

2

Berdasarkan daftar Cayley dari tabel di atas, operasi penjumlahan himpunan G = {-1, 1} menghasilkan {-2, 0,
2}. Dikarenakan {-2, 0, 2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1, 1}, maka G = {-1, 1} tidak
tertutup terhadap operasi penjumlahan.
Jadi, (G, +) bukan suatu grup.

3.Dasar2 grup
Contoh 1
tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan

Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).
Penyelesaian :
H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
sehingga H G.
Dari tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat
suatu Grup :
a. Tertutup
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan 0, 2, 4 H
0+0=0
0+2=2
0+4=4
2+2=4
2+4=0
4+4=2
karena hasilnya 0, 2, 4 H,
maka tertutup terhadap H

b. Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari H

misalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 H
(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2
a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2
Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = 2
maka H assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)
Ambil sebarang nilai dari G
misalkan 0 G
0+e=e+0=0

misalkan 2 G
2+e=e+2=2
misalkan 4 G
4+e=e+4=4
maka G ada unsur satuan atau identitas

d. Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0 G, pilih 0 G,
sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0
Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 G, pilih 4 G,
sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4
Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 G, pilih 2 G,
sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2
maka G ada unsur balikan atau invers

e. Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari H
misalkan 4 H
4+e=4+0=4
e+4=0+4=4
Sehingga :
4+e=e+4=4
maka H ada unsur satuan atau identitas

f. Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari H, misalkan 4 H
4 + (-4) = 4 – 4 = 0 = e
(-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = e
Sehingga :
4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = e
maka H ada unsur balikan atau invers
Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H, +)
merupakan Subgrup dari (G, +).

Contoh 2

tunjukan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan
Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).
Penyelesaian :
H = {1, 2, 3} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
sehingga H G.
Akan ditunjukan H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat suatu Grup :
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan 2, 3 H
didapat : 2 + 3 = 5

5 G tetapi 5 H, sehingga 5 tidak tertutup terhadap operasi biner (H, +)
Maka H = {1, 2, 3} bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

4.Grup siklik
Contoh 1
Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang dibangun
oleh 1.
Penyelesaian :
[1] = {…, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, …}
= {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Jadi, 1 merupakan genertor yang membentuk Grup Siklik tak hingga.

Contoh 2
Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .).
Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.
Penyelesaian :
Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1
[-1] = {(-1)n | n Z}
= {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …}
= {-1, 1}

[1] = {(1)n | n Z}
= {(1)0, (1)1, (1)2, …}
= {1}
generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga :
[-1] = {-1, 1}
generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga :
[1] = {1}.

5.Grup faktor
Contoh 1
Misalkan (G,+) = Z4 adalah suatu Grup dan H = {0,2} adalah merupakan
Subgrup dari G. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari H dalam G.
Penyelesaian :
(G,+) = Z4 = {0, 1, 2, 3}, generatornya 0, 1, 2, dan 3
Koset kiri : 0 + H = 0 + {0,2} = {0,2}
1 + H = 1 + {0,2} = {1,3}
2 + H = 2 + {0,2} = {2,0}
3 + H = 3 + {0,2} = {3,1}
Koset kanan: H + 0 = {0,2} + 0 = {0,2}
H + 1 = {0,2} + 1 = {1,3}
H + 2 = {0,2} + 2 = {2,0}
H + 3= {0,2} + 3 = {3,1}
Sehingga :
0 + H = H + 0= {0,2}
1 + H = H + 1= {1,3}
2 + H = H + 2 = {0,2}
3 + H = H + 3 = {1,3}
Maka koset kiri = koset kanan

Contoh 2

Misalkan 3Z adalah merupakan Subgrup dari Z. Tentukan koset kiri dan
koset kanan dari 3Z dalam Z.
Penyelesaian :
Kita akan selidiki koset kiri dan koset kanan terhadap operasi penjumlahan
dan operasi perkalian.
Diketahui :
Z = { …, -2, -1, 0, 1, 2, …}
3Z = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}
a. Terhadap operasi penjumlahan
Koset kiri :
-2 + 3Z = {…., -8, -5, -2, 1, 4, …}
-1 + 3Z = {…., -7, -4, -1, 2, 5, …}
0 + 3Z = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}
1 + 3Z = {…., -5, -2, 1, 4, 7, …}
2 + 3Z = {…., -4, -1, 2, 5, 8, …}
Koset kanan:
3Z + (-2) = {…., -8, -5, -2, 1, 4, …}
3Z + (-1) = {…., -7, -4, -1, 2, 5, …}
3Z + 0 = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}
3Z + 1 = {…., -5, -2, 1, 4, 7, …}
3Z + 2 = {…., -4, -1, 2, 5, 8, …}
Koset kiri = Koset kanan
b. Terhadap operasi perkalian
Koset kiri :
-2 . 3Z = {…., 12, 6, 0, -6, -12, …}
-1 . 3Z = {…., 6, 3, 0, -3, -6, …}
0 . 3Z = {0}
1 . 3Z = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}
2 . 3Z = {…., -12, -6, 0, 6, 12, …}
Koset kanan:
3Z . (-2) = {…., 12, 6, 0, -6, -12, …}
3Z . (-1) = {…., 6, 3, 0, -3, -6, …}
3Z . 0 = {0}
3Z . 1 = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}
3Z . 2 = {…., -12, -6, 0, 6, 12, …}
Koset kiri = Koset kanan

6.RING
Contoh 1
Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.
Bukti :

Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu
fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut
mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan daerah
asal (domain) dari fungsi.
Misalkan f : Z → Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalam
contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z
maka:
x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Z
sehingga:
xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan
sebagai nq + r.
Akibatnya:
xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.
Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .
Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)
Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring

Contoh 2
.Didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q }. Buktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring
bagian dari R
Jawab:
Bila didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(√2 )
merupakan ring bagian dari R.
Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(√2 ) juga himpunan yang tidak
kosong.
Terhadap operasi pergandaan bersifat
( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) √2
dan terhadap operasi pengurangan bersifat
( a + b ) √2 – ( c + d ) √2 = ( a – c ) + ( b – d ) √2
Karena ac + 2bd, ad + bc, a – c dan a – d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi
pengurangannya tetap dalam Q (√2 ).
Oleh karena itu Q (√2 ) merupakan ring bagian dari R.
Perlu dicatat bahwa Q (√2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleks
C = { a + b i │a, b dalam R }
Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b√2 dan dalam hal ini ring Q ( √2 )
mengandung Q, seperti juga C mengandung R.
7.subring

Contoh 1

Akan kita tunjukan bahwa S = {0, 2} memenuhi syarat-syarat dari suatu
Ring.
1. S , syarat terpenuhi karena S = {0, 2}
2. a - b S
Misalkan 0, 2 S
2–0=2
2–2=0
0–2=2
Sehinigga 0, 2 S

3. a . b S
Misalkan 0, 2 S
2.0=0
2.2=0
0.2=0
Sehingga 0 S
Syarat (1), (2), dan (3) terpenuhi maka S adalah Subring dari Z4.
Contoh 2
Diketahui R ring komutatif dan himpunan bagian X ⊆ R . Didefinisikan
I X = { I ideal di R I X ⊆I } = dan (X)= ∩ Jika A,B ⊆ R , maka (A) ∩(B)
merupakan
I∈IX.
ideal pada (A) .
Bukti.
Karena (A),(B) ideal-ideal di R, maka (A) ∩ (B) juga merupakan ideal di R.
Karena
berlaku hubungan (A)∩ (B) ⊆ (A) , maka untuk setiap x ∈(A)∩(B) dan r
∈(A)selalu
berlaku rx =xr∈(A) ∩(B) . Jadi, terbukti bahwa (A) ∩(B) merupakan ideal
pada A .
8.ring faktor & homomorfisma

Contoh 1
Bila K = {0, 2, 4} adalah suatu Ideal yang dibangun oleh 2 dalam Z6.
Tunjukan Z6/K adalah merupakan Ring Faktor.
Penyelesaian :
Ada dua koset / Ideal dari Ring Z6, yaitu :
K = {0, 2, 4}
K + 1 = {1, 3, 5}
Sehingga Z6/K = {K, K + 1}
Tabel 8.1.
Daftar Cayley (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, +) dan (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, .)
.

k

K+1

k

k

k

K+1

k

k-1

Tabel 8.1. menunjukan penjumlah dan perkalian unsur-unsur dari Z6/K.
Selanjutnya dari tabel, kita akan membuktikan bahw Z6/K dengan
syaratsyarat

suatu Ring merupakan Ring Faktor dari Z6/K. Adapun syaratsyaratnya
sebagai berikut :
1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K, K + 1 Z6/K
berlaku K + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1
Sehingga K + 1 Z6/K
2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K, K + 1 Z6/K
[K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)]
[K + (0 + 1)] + (K + 1) = K + [K + (1 + 1)]
(K + 1) + (K + 1) = K + (K + 0)
K + (1 + 1) = K + (0 + 0)
K=K
Sehingga [K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)] = K
3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K + 1 Z6/K
(K + 0) + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1
(K + 1) + (K + 0) = K + (1 + 0) = K + 1
Sehingga (K + 0) + (K + 1) = (K + 1) + (K + 0) = K + 1
4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di Z 6/K
K + 1 Z6/K
(K + 1) + (K + (-1)) = K + (1 + (-1)) = K + 0 = K
(K + (-1)) + (K + 1) = K + ((-1) + 1) = K + 0 = K
Sehingga (K + 1) + (K + (-1)) = (K + (-1)) + (K + 1) = K + 0 = K
5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K, K + 1 Z6/K
K + (K + 1) = (K + 1) + K
K + (0 + 1) = K + (1 + 0)
K+1=K+1
Sehingga K + (K + 1) = (K + 1) + K = K + 1
6. Tertutup terhadap perkalian (.) di Z6/K
K, K + 1 Z6/K
berlaku K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = K
Sehingga K Z6/K
7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di Z6/K
K, K + 1 Z6/K
[K . (K + 1)] . (K + 1) = K . [(K + 1) . (K + 1)]
[K + (0 . 1)] . (K + 1) = K . [K + (1 . 1)]
(K + 0) . (K + 1) = K . (K + 1)
K + (0 . 1) = K + (0 . 1)
K=K
Sehingga [K . (K + 1)] . (K + 1) = K . [(K + 1) . (K + 1)] = K
8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.) di Z6/K

K Z6/K
(K + 1) . K = K + (1 . 0) = K + 0 = K
K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = K
Sehingga (K + 1) + K = K + (K + 1) = K + 0 = K
9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K, K + 1 Z6/K
Misalkan a = K , b = K + 1 dan c = K + 1
a. (b + c) = (a . b) + (a . c)
K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K + 1)]
K . [K + (1 + 1)] = [K + (0 . 1)] + [K + (0 . 1)]
K + [0 . (1 + 1)] = K + [(0 . 1) + (0 . 1)]
K + (0 . 0) = K + (0 + 0)
K=K
Sehingga K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K + 1)] = K
Jadi, Z6/K = {K, K + 1} adalah merupakan suatu Ring Faktor

Contoh 2

Tunjukan apakah f : Z R dengan f(a) = a adalah suatu Homomorfisma
Ring.
Penyelesaian :
Akan kita buktikan bahwa a, b R berlaku :
1. f(a + b) = f(a) + f(b)
2. f(a . b) = f(a) . f(b)
Sehingga :
1. f(a + b) = f(a) + f(b), a, b R
(a + b) = (a) + (b)
a+a=a+b
2. f(a . b) = f(a) . f(b), a, b R
(a . b) = (a) . (b)
a.b=a.b
Dikarenakan untuk f(a + b) = f(a) + f(b) dan f(a . b) = f(a) . f(b) maka
f : Z R untuk f(a) = a adalah merupakan suatu Homomorfisma
Ring.
9.ring polinom
Contoh 1
Tentukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut terhadap Z3[x], dimana
p(x) = 2x2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, p(x) adalah polinom yang dibagi dan
g(x) polinom pembagi.

IDEAL MAKSIMAL DAN PRIMA®

Daftar Kajian Materi
 Ideal Maksimal
 Ideal Prima

=========================
=========================
=========================
=========================
==
Halaman
Sebelumnya
[
]

Kembali
ke
Halaman
utama
[Daftar
Isi]

Halaman
Selanjutny
a
[Ideal Prima]

Kemampuan akhir yang diharapkan setelah
mempelajari materi ini adalah:


Mahasiswa dapat menjelaskan kembali konsepkonsep yang berhubungan dengan ideal
maksimal dan prima



Mahasiswa dapat menganalisis keterkaitan antara
konsep dalam ideal maksimal dan prima



Mahasiswa dapat menggunakan sifat yang
berlaku dalam membuktikan pernyataan
matematis yang berhubungan
dengan ideal maksimal dan prima

Seperti halnya pada himpunan, ideal pada
dasarnya dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu ideal
tidak sejati (ideal improper) dan ideal sejati (ideal
proper). Sebuah ideal II dari ring RR dikatakan ideal
tidak sejati jika I=RI=R dan sebaliknya dikatakan
ideal tidak sejati jika I≠RI≠R. Ideal sejati masih
dibagi lagi menjadi dua jenis, yaitu ideal sejati trivial
(atau disebut ideal trivial) dan ideal sejati
nontrivial. II dikatakan
ideal
sejati
trivial

jika I={0}I={0} dan sebaliknya, dikatakan ideal
sejati
nontrivial
jika I≠RI≠R dan I≠{0}I≠{0}.
Secara umum, sebarang ring RR memiliki minimal
dua buah ideal yaitu ideal tidak sejati (I=R)(I=R) dan
ideal trivial (I={0})(I={0}). Suatu ring yang hanya
tepat memiliki dua buah ideal adalah sebuah field
(ingat juga bahwa sebuah field hanya memiliki dua
buah subfield). Sifat ini lebih jelasnya nanti akan
dibahas dalam suatu teorema. Selain itu, ada juga
ideal yang memiliki karakteristik khusus, misalnya
ada ideal proper yang tidak termuat dalam ideal
proper lainnya (disebut ideal maksimal) dan ada ideal
yang
bersifat
bahwa
setiap
perkalian
yang
menghasilkan suatu elemen dalam ideal maka salah
satu faktornya pasti merupakan elemen dalam ideal
tersebut
(disebut
ideal
prima).
Sifat menarik lainnya mengenai ideal jika dikaitkan
dengan ring faktornya adalah, ada ring faktor yang
dibentuk oleh integral domain dan idealnya tetapi
menghasilkan ring faktor yang bukan integral domain,
sebaliknya juga ada yang menghasilkan ring faktor
yang merupakan integral domain. Sebagai contoh jika
kita
ambil
ring ZZ dan
idealnya ⟨4⟩⟨4⟩ dan ⟨5⟩
⟨5⟩maka ring faktor R/⟨4⟩≃Z4R/⟨4⟩≃Z4 yang bukan
merupakan sebuah integral domain. Sedangkan ring
faktor R/⟨5⟩≃Z5R/⟨5⟩≃Z5merupakan suatu integral
domain. Bagaimana bentuk ring faktor yang dibentuk
kedua ideal tersebut dan bagaimana kaitan antara
kedua ideal tersebut, semuanya dibahas dalam
bagian ini.
Teorema 1
Jika RR sebuah ring dengan unity, dan II adalah ideal pada

Bukti: Untuk menunjukkan bahwa I=RI=R maka
harus ditunjukkan bahwa kedua himpunan tersebut
saling subset. Karena II adalah ideal dari RR maka
jelas bahwa I⊆RI⊆R. Selanjutnya akan ditunjukkan
bahwa R⊆IR⊆I.
Ambil
sebarang r∈Rr∈R.
Ingat
bahwa II memuat suatu unit, misalkan uu adalah
unit
yang
termuat
dalam II maka
ada u−1∈Ru−1∈R sedemikian
hingga uu−1=1=u−1uuu−1=1=u−1u.
Karena II ideal
maka
untuk
setiap r∈Rr∈R berlaku ru,ur∈Iru,ur∈I.
Jika

diambil r=u−1r=u−1 maka u−1u=1,uu−1=1∈I
u−1u=1,uu−1=1∈I, jadi 1∈I1∈I. Sehingga, untuk
setiap r∈Rr∈R dan 1∈I1∈I berlakur1=r,1r=r∈I
r1=r,1r=r∈I. Dengan demikian dapat disimpulkan
bahwa R⊆IR⊆I.
Karena I⊆RI⊆R dan R⊆IR⊆I maka I=RI=R.
■◼
Berdasarkan Teorema 1, jika RR adalah sebuah
field maka jelas bahwa sebarang II yaitu ideal
dari RR kecuali I={0}I={0} akan memuat suatu
unit dan berakibat R=IR=I. Dengan demikian
jika RR field, maka RR hanya memiliki dua buah
ideal yaitu I={0}I={0} dan I=RI=R.
Akibat 1
Sebuah field tidak memiliki ideal proper nontrivial

IDEAL MAKSIMAL
Definisi 1
Sebuah ideal MM pada ring
memuat MM.

RR disebut ideal maksimal

Contoh 1
Tentukan semua ideal maksimal dari

Z12Z12

Jawab: Untuk menentukan semua ideal maksimal
dari Z12Z12, perhatikan gambar berikut.

Diagram ideal dari

Z12Z12

Gambar di atas merupakan gambar diagram dari
ideal-ideal dari Z12Z12. Jika kita perhatikan, ideal
proper
dari Z12Z12adalah ⟨0⟩⟨0⟩, ⟨6⟩⟨6⟩, ⟨4⟩
⟨4⟩, ⟨3⟩⟨3⟩ dan ⟨2⟩⟨2⟩. Ideal ⟨0⟩⟨0⟩, ⟨6⟩⟨6⟩, dan ⟨4⟩
⟨4⟩ jelas bukan ideal maksimal dari Z12Z12 karena
ideal-ideal
tersebut
termuat
dalam ⟨2⟩⟨2⟩.
Sehingga, dapat kita pastikan bahwa ideal
maksimal dari Z12Z12 adalah ⟨3⟩⟨3⟩ dan ⟨2⟩⟨2⟩.

⧫⧫
Contoh 2
Tunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan prima

pp,

Jawab: Untuk menunjukkan bahwa pZpZ adalah
ideal maksimal dari ZZ, kita akan gunakan
pembuktian
dengan
kontradiksi.
Andaikan
bahwa pZpZ bukan ideal maksimal dari ZZ. Oleh
karenanya,
ada II ideal
proper
lainnya
dari ZZsedemikian hingga I⊃pZI⊃pZ. Selanjutnya,
ambil x∈I−pZx∈I−pZ.
Karena pp prima
maka pp tidak
membagi xx,
sehingga fpb(x,p)=1fpb(x,p)=1.
Dengan

demikian,
bulat aa dan

akan
ada
bb sedemikian hingga
ax+bp=1(1)(1)ax+bp=1

bilangan

Karena x,p∈Ix,p∈I maka
hasil
operasi
persamaan (1)(1) bagian kiri termuat di II. Ini
berarti bahwa 1∈I1∈I, sehingga berdasarkan
Teorema 1 di atas, I=RI=R. Ini kontradiksi dengan
asumsi awal bahwa II merupakan ideal proper
dari RR. Dengan demikian, pengandaian salah. Jadi
kesimpulannya, pZpZ adalah
ideal
maksimal
dari ZZ.
⧫⧫
Berdasarkan Contoh 2, pZpZ adalah ideal
maksimal
dari ZZ.
Menurut
teorema
dasar
homomorfisma, Z/pZZ/pZisomorfis dengan ZpZp.
Karena ZpZp adalah field maka demikian juga
dengan Z/pZZ/pZ. Ilustrasi ini, membawa kita
pada teorema berikut.
Teorema 2
Misalkan RR ring komutatif dengan unity. Maka
jika R/MR/M merupakan suatu field.

MM adalah ideal maksimal pada

Bukti: Teorema ini akan dibuktikan dua arah:
pertama akan ditunjukkan bahwa jika RR ring
komutatif dengan unity dan MM adalah ideal
maksimal pada RR maka R/MR/M merupakan
suatu
field.
Misalkan MM adalah
ideal
maksimal, maka R/MR/M adalah
ring
faktor
komutatif (A1-A9) (Teorema 1 dan Akibat 1 pada
bagian ring faktor). Karena RR ring dengan unity,
maka
ada 1+M∈R/M1+M∈R/M dengan 1∈R1∈R sede
mikian
hingga
untuk
sebarang r+M∈R/Mr+M∈R/M berlaku

(1+M)(r+M)=(1r)+M=r+M=(r+M)(1+M),
(karena R/M komutatif)(1+M)(r+M)=(1r)
+M=r+M=(r+M)(1+M), (karena R/M komutatif)

Jadi, 1+M1+M adalah
unity R/MR/M (A10).
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa setiap elemen
selain
identitas
penjumlahan
pada R/MR/M merupakan
unit.
Misalkan
ambil
sebarang a+M∈R/Ma+M∈R/M sedemikian
hingga a+M≠0+Ma+M≠0+M (ini
berarti a∉Ma∉M). Pandanglah himpunan JJ,

J=M+aR={m+ar|
m∈M,r∈R}J=M+aR={m+ar|m∈M,r∈R}
Jelas bahwa JJ adalah ideal dari
Liat pembuktian JJ ideal dari

RR.

RR

Misalkan
kita
ambil
sebarang m∈Mm∈M maka mm dapat
ditulis
dengan m=m+a0m=m+a0,
jadi m∈Jm∈J.
Karena
untuk
sebarang m∈Mm∈M, m∈Jm∈J maka M⊆JM⊆J.
Karena MM adalah
ideal
maksimal,
maka J=MJ=M atau J=RJ=R.
Perhatikan
bahwa a=0+a.1a=0+a.1,
ini
berarti
bahwa a∈Ja∈J. Tetapi, di atas sudah kita katakan
bahwa a∉Ma∉M.
Jadi, J≠MJ≠M.
Hal
ini
memaksa JJ harus
sama
dengan RR,
yaitu M+aR=RM+aR=R.
Karena 1∈R1∈R maka 11 dapat
ditulis 1=m+ar=ar+m1=m+ar=ar+m untuk
suatu m∈Mm∈M dan r∈Rr∈R.
Ini
berarti
bahwa 1∈ar+M1∈ar+M atau dapat ditulis
1+M=ar+M=(a+M)(r+M)1+M=ar+M=(a+M)
(r+M)
Jadi, r+Mr+M adalah
unit
dari a+Ma+M.
Kesimpulannya, setiap elemen selain identitas
penjumlahan pada R/MR/Mmerupakan unit (A11).
Jadi, R/MR/M adalah
field
Untuk
bahwa jika

bagian
RR ring

kedua, akan ditunjukkan
komutatif dengan unity

dan R/MR/M merupakan
suatu
field
maka MM adalah ideal maksimal pada RR.
Untuk menunjukkan bahwa MM adalah ideal
maksimal dari RR, kita akan gunakan pembuktian
dengan kontradiksi. Andaikan bahwa MM bukan
ideal maksimal dari RR maka ada ideal proper
lainnya,
misalkan JJsedemikian
hingga J≠RJ≠R dan J⊃MJ⊃M (ini
berarti
bahwa J≠MJ≠M).
Karena J⊃MJ⊃M maka
ada x∈J−Mx∈J−M (x∈J,x∉Mx∈J,x∉M),
sedemikian
hingga x+M≠0+Mx+M≠0+M.
Karena R/MR/M adalah
field
maka
ada y+M∈R/My+M∈R/Msedemikian hingga
(x+M)(y+M)=1+Mxy+M=1+M(x+M)
(y+M)=1+Mxy+M=1+M
Ini
berarti
bahwa xy∈1+Mxy∈1+M,
sehingga xyxy dapat
dinyatakan
dalam
bentuk xy=1+m1xy=1+m1 atau
dapat
ditulis xy−1=m1xy−1=m1 untuk
suatu m1∈Mm1∈M.
Jadi, xy−1∈Mxy−1∈M.
Karena M⊂JM⊂J,
maka xy−1∈Jxy−1∈J.
Perhatikan bahwa
1=(xy)−(xy−1)1=(xy)−(xy−1)
Diketahui
bahwa xy−1∈Jxy−1∈J dan
karena JJ ideal
maka xy∈Jxy∈J.
Dengan
demikian, 1=(xy)−(xy−1)∈J1=(xy)−(xy−1)∈J.
Karena 1∈J1∈J dan 11 adalah unit maka J=RJ=R.
Ini
kontradiksi
dengan
asumsi
awal
bahwa JJ merupakan ideal proper dari RR. Dengan
demikian,
pengandaian
salah.
Jadi
kesimpulannya, MM adalah ideal maksimal dari RR.
⧫⧫
Berdasarkan Teorema 2, maka dapat diperoleh
akibat sebagai berikut
Akibat 1
Misalkan RR ring komutatif dengan unity. Maka
trivial

RR adalah field jika dan hanya jika

Contoh 3
Misalkan pada Z6Z6 dengan idealnya ⟨3⟩={0,3}⟨3⟩
berdasarkan Teorema 2, Z6/⟨3⟩Z6/⟨3⟩ adalah field. Hal ini dapat kita cek menggunakan t
dasar dimana Z6/⟨3⟩Z6/⟨3⟩ isomorfis dengan Z3Z3.

Latihan
1. Tunjukkan bahwa pemetaan γ:C→M2(R)γ:C→M2(R)
setiap a+bi∈Ca+bi∈C, γ(a+bi)=⎧⎩⎪⎪⎪a
ring!
Cek Jawaban

2. Misalkan ϕ:Z9→Z2ϕ:Z9→Z2 dengan aturan: untuk setiap
Tentukan apakah ϕϕmerupakan homomorfisma ring atau bukan! Jika iya, buktikan, jika tidak, be
Cek Jawaban

Lemma 1
Jika RR, SS, dan TT adalah ring dan α:R→Sα:R→S serta
fungsi β∘α:R→Tβ∘α:R→T juga merupakan homomorfisma ring.

Bukti: Ambil sebarang

x,y∈Rx,y∈R, maka

(β∘α)(x+y)=β[α(x+y)]=β[α(x)+α(y)]
(karena α homomorfisma ring)=β[α(x)]
+β[α(y)]
(karena β homomorfisma ring
)=(β∘α)(x)+(β∘α)(y)(4)(4)(β∘α)
(x+y)=β[α(x+y)]=β[α(x)+α(y)]
(karena α ho
momorfisma ring)=β[α(x)]+β[α(y)]
(karena β ho
momorfisma ring)=(β∘α)(x)+(β∘α)(y)
dan

(β∘α)(xy)=β[α(xy)]=β[α(x)α(y)]
(kar
ena α homomorfisma ring)=β[α(x)]β[α(y)]
(karena β homomorfisma ring)=(β∘α)(x)
(β∘α)(y)(5)(5)(β∘α)(xy)=β[α(xy)]=β[α(x)α(y)]
(karena α homomorfisma ring)=β[α(x)]β[α(y)]
(karena β homomorfisma ring)=(β∘α)(x)(β∘α)(y)

Berdasarkan (4)(4) dan (5)(5) dapat disimpulkan
bahwa β∘αβ∘α merupakan homomrfisma ring.
■◼