GRUP PERMUTASI DAN SIFAT SIFATNYA

Pertemuan 3

GRUP PERMUTASI DAN SIFAT-SIFATNYA
A. Pendahuluan
Pertemuan ketiga ini akan dibahas grup permutasi, yaitu grup dari
fungsi-fungsi bijektif pada himpunan berhingga. Target pertemuan ketiga
adalah:
a. dapat membentuk grup permutasi
b. menjelaskan sifat-sifat grup permutasi
c. menentukan order elemen dalan grup permutasi
d. menentukan dan membuktikan sifat-sifat order suatu elemen

B. Grup Permutasi
Jika diberikan himpunan berhingga A3 = {1, 2, 3}, cobalah dibuat
fungsi bijektif yang mungkin !

(1)

(123)

(12)

1•

•1

1•

•1

1•

•1

2•

•2

2•

•2

2•

•2

3•

•3

3•

•3

3•

•3

Lengkapilah fungsi bijektif lainnya. Berapa banyak fungsi bijektif dari A3 ke A3?
Definisi : permutasi
Fungsi bijektif dari himpunan n symbol ke himpunan itu sendiri disebut

permutasi.

Pengantar Struktur Aljabar

7

Pertemuan 3

Jika An = {1, 2, 3, …, n } maka suatu fungsi berikut :
1 → f(1) = j1
2 → f(2) = j2
3 → f(3) = j3
M
M
n → f(n) = jn
merupakan permutasi jika f bijektif dan ji ∈ An untuk i = 1, 2, 3, …, n
Permutasi tersebut disajikan dengan notasi dua baris berikut ini :

1


 j1

2

3

L

j2

j3 L

n

jn 

Jika kita himpun fungsi-fungsi bijektif dari A3 ke A3, didapatlah himpunan
permutasi, S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}. Kalian masih ingat operasi
komposisi fungsi?
Catatan :

operasi komposisi (23)°(132) misalnya, ditulis dengan (132).(23) = (12)
(1)

(12)

(1)

(1)

(12)

(12)

(12)

(1)

(13)

(13)

(132)

(23)

(23)

(13)
(13)

(23)
(23)

(123) (132) Cobalah lengkapi table
(123) (132) Cayley di samping,

selanjutnya tentukan
(123)

elemen identitasnya, dan

(132)

tentukan pula invers

(123) (123)
(132) (132)

(123)

semua elemen dalam S3.

Ingat : komposisi fungsi mempunyai sifat asosiatif
Jadi, S3 terhadap komposisi fungsi merupakan grup, yang selanjutnya disebut
grup permutasi.

Pengantar Struktur Aljabar

8

Pertemuan 3

Jika A1 = {1} maka banyaknya fungsi bijektif dari A1 ke A1 adalah 1 = 1! ,
yaitu (1) sehingga S1 = { (1) }
Jika A2 = {1, 2} maka banyaknya fungsi bijektif dari A2 ke A2 adalah 2 =
2!, yaitu (1) , (12), sehinga dipunyai S2 = {(1), (12)}
Jika A3 = {1, 2, 3} maka banyaknya fungsi bijektif dari A3 ke A3 adalah 6
= 3!, sehingga diperoleh S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
Jika A4 = {1, 2, 3, 4} maka berapa banyak fungsi bijektif dari A4 ke A4?
Sebutkan elemen-elemen dalam S4.
Secara umum, jika An = {1, 2, 3, ….., n} maka banyaknya fungsi bijektif
dari An ke An adalah n!, sehingga banyaknya anggota Sn juga n!.
Cobalah kerjakan beberapa latihan soal berikut :
Jika f = (1436), g = (253) maka tentukan :
i. f.g ; ii. g.f; iii. Fungsi bijektif h sehingga f.h = g;
iv. fungsi k sehingga k.f = g; v. f.g.f-1; vi. g.f.g-1
C. Order atau Periode Suatu Elemen dalam Grup
Definisi :
Misalkan G suatu grup dan m suatu bilangan bulat positif maka:

m
a. a = a o a o a oL o a sebanyak m faktor

−m
−1 m
a
=
(
a
)
b.

−1
dengan a adalah invers dari a

c. a = e

dengan e elemen identitas

0

m
Catatan : a = a + a + a + L + a = ma jika grup G dengan operasi penjumlahan
Teorema
Misalkan G suatu grup, m dan n sembarang bilangan-bilangan bulat, maka
∀a ∈ G berlaku : (i) a m o a n = a m + n dan (ii) (a m ) n = a mn

Pengantar Struktur Aljabar

9

Pertemuan 3

Bukti:
(i) karena m dan n merupakan bilangan bulat maka terdapat lima kemungkinan :
Keadaan I

: m dan n keduanya bilangan bulat positif

Keadaan II : m dan n keduanya bilangan bulat negatif

Keadaan III : m bilangan bulat positif , n bilangan bulat negatif dan

m >n

Keadaan IV : m bilangan bulat positif, n bilangan bulat negatif dan m < n
Keadaan V : m bilangan bulat positif, n bilangan bulat negatif dan m = n
Beberapa kemungkinan di atas dibuktikan sebagai contoh, sedangkan keadaan
yang lain silakan dibuktikan sebagai latihan mahasiswa, demikian juga untuk
teorema poin ii. :
• Keadaan II : m dan n keduanya bilangan bulat negatif, maka m = − p & n = -q
untuk suatu p dan q bilangan-bilangan bulat positif.
a m o a n = a − p o a −q
= ( a −1 ) p o (a −1 ) q
= ( a −1 o a −1 o a −1 o a −1 oK o a −1 ) o ( a −1 o a −1 o a −1 o a −1 oK o a −1 )
1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43 1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43
sebanyak p faktor
sebanyak q faktor
= ( a −1 o a −1 o a −1 o a −1 oK o a −1 )
1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43
sebanyak p+q faktor
= ( a −1 ) p +q
= a − p −q
= a m+n

• Keadaan III : m bilangan bulat positif , n bilangan bulat negatif dan

m > n,

maka n = -q dengan q bilangan bulat positif maka m>q.

Pengantar Struktur Aljabar

10

Pertemuan 3

a m o a n = a m oa − q
= a m o (a −1 ) q
= ( a o a o a o a oK o a ) o (a −1 o a −1 o a −1 o a −1 oK o a −1 )
1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43
sebanyak m faktor
sebanyak q faktor
= ( a o a o a o a oK o a ) o ( a o a −1 ) o (a −1 o a −1 o a −1 o a −1 oK o a −1 )
1 4 4 4 2 4 4 43
14 2 43 1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43
e
sebanyak m−1 faktor
sebanyak q −1 faktor
= (a o a o a o a oK o a ) o e
1 4 4 4 2 4 4 43
sebanyak m−q faktor
= ( a o a o a o a oK o a )
1 4 4 4 2 4 4 43
sebanyak m−q faktor
= a m−q
= a m+ n

Contoh :
v

Perhatikan grup permutasi S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}, maka :
(12).(12) = (13).(13) = (23).(23) = (1); [(123).(123)](123) =(132).(123) = (1),
berarti bahwa : (12)2 = (13)2 = (23)2 = (1); (123)2 = (132) dan (123)3 = (1),

v

Jika diberikan α = (1364) ∈ S6, maka tentukan bilangan bulat positif terkecil
n sehingga αn = (1) :
1

2

3

4

5

6

α

3

2

6

1

5

4

α2 = α.α

6

2

4

3

5

1

α3 = α2α = αα2

4

2

1

6

5

3

α4 = α3α = αα3= α2α2

1

2

3

4

5

6

Tampak bahwa α4 = (1) dan
tidak ada bilangan bulat
positif m < 4, hingga αm =
(1). Jadi 4 adalah bilangan
bulat positif terkecil, α4 =
(1)

selanjutnya :
coba tentukan bilangan bulat m sehingga (132)m = (1).
Tentukan (123)5; (123)-5; (132)6

Pengantar Struktur Aljabar

11

Pertemuan 3

Bagaimana kalian menentukan (1235)3; [(236)(15)]4
Tentukan bilangan bulat terkecil k, sehingga [(236)(15)]k = (1)
Definisi : order (periode) elemen suatu grup dan order grup
1. Diberikan G adalah grup dan a ∈ G, order atau periode dari a ditulis
p(a), didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil katakan k,
sedemikian sehingga ak = e, dengan e = elemen identitas dalam G.
DKL.: p(a) = k ⇔ k bilangan bulat positif terkecil, sehingga ak = e.
2. Jika G grup dengan m buah elemen maka dikatakan G berorder m,
dinotasikan o(G) = m. dengan kata lain order suatu grup G adalah
banyaknya elemen dalam G.
Catatan :
jika tidak ada bilangan positif terkecil k ∋ ak = e, maka dikatakan p(a) = 0.
Teorema :
Jika p(a) = k maka p(a-1) = k
Bukti : sebagai latihan mahasiswa
Contoh :
Z50 = {1, 2, 3, 4} = himpunan bilangan bulat modulo 5 selain 0, terhadap
pekalian modulo 5 merupakan grup. Tentukan order setiap elemen dalam Z50 .
Jawab :
§ Jelas p(1) = 1
§ 22 = 4, 23 = 3, 24 = 1, jadi p(2) = 4
§ Karena 2-1 = 3 maka p(3) = 4
§ 42 = 1, maka p(4) = 2

Pengantar Struktur Aljabar

12

Pertemuan 3

Tugas Mandiri :
Latihan Soal :
I. Tentukan order setiap elemen dalam grup berikut :
1. Z110 = {1, 2, 3, ….., 10 } = grup dari bilangan bulat modulo 11 selain 0
2. G = {1, -1, i, -i} terhadap operasi perkalian biasa
3. S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
4. Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = grup dari bilangan bulat modulo 6
II. Jika diketahui α = (1 3 5 2) dan β = (1 5 7 9) maka tentukan :
i. αβα-1;

ii. periode α dan β;

iii. β-1;

iv. Tentukan grup yang dibentuk oleh α

Pengantar Struktur Aljabar

13