Kajian Simplicial Complex dan kth Betti Number pada cakupan jaringan penguat sinyal GSM Indoor

KAJIAN SIMPLICIAL COMPLEX DAN KTH BETTI NUMBER
PADA CAKUPAN JARINGAN PENGUAT
SINYAL GSM INDOOR

FACHRI ADITYA

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Kajian Simplicial
Complex dan kth Betti Number pada Cakupan Jaringan Penguat Sinyal GSM
Indoor adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2014
Fachri Aditya
NIM G54090015

ABSTRAK
FACHRI ADITYA. Kajian Simplicial Complex dan kth Betti Number pada
Cakupan Jaringan Penguat Sinyal GSM Indoor. Dibimbing oleh SUGI
GURITMAN dan FARIDA HANUM.
Sinyal perangkat mobile sering kali menghilang saat memasuki gedung
beratap. Masalah tersebut dapat diatasi dengan menambahkan penguat sinyal di
dalam gedung beratap. Tujuan penelitian ini ialah mengonstruksi cakupan
jaringan penguat sinyal dalam suatu ruangan dengan konsep simplicial complex
dan kth Betti number. Simplicial complex adalah objek amatan yang berada pada
ruang topologi dan kth Betti number merupakan ciri atau karakteristik dari objek
amatan yang berada pada ruang topologi. Dengan software Matlab R2008b yang
terintegrasi JPlex dan Wolfram Mathematica7, cakupan jaringan penguat sinyal
dalam suatu ruangan dapat dikonstruksi. Langkah-langkah yang dilakukan ialah:
memasukkan koordinat titik, memberikan diameter cakupan jaringan penguat

sinyal, dan menganalis koordinat titik dengan konsep simplicial complex dan
kth Betti number. kth Betti number dari suatu simplicial complex dilambangkan
dengan βk . Nilai β0 adalah jumlah unit yang terhubung dari suatu simplicial
complex dan nilai β1 adalah jumlah lingkaran lubang dari suatu simplicial
complex.
Kata kunci: kth Betti number, simplicial complex, topologi

ABSTRACT
FACHRI ADITYA. Study of Simplicial Complex and kth Betti Number on
Coverage of Indoor GSM Signal Booster Network. Supervised by SUGI
GURITMAN and FARIDA HANUM.
The mobile devices signal often disappear when entering the building. The
problem could be solved by equipping the building with a signal amplifier. The
purpose of this study is to construct a network coverage signal booster in a room
with the concept of simplicial complex and kth Betti number. Simplicial complex
is observed objects in the topological space and the kth Betti number is a trait or
characteristic of the observed objects in the topological space. Using integrated
Matlab R2008 with JPlex and Wolfram Mathematica7, the network coverage in an
indoor signal booster can be constructed. The performed steps are: enter the
coordinates of points, give the diameter of network coverage signal amplifier, and

analyze coordinates of points the concept of simplicial complex and kth Betti
number. kth Betti number of a simplicial complex is denoted by βk . β0 denotes the
number of connected units of a simplicial complex and β1 denotes the number of
circular holes of a simplicial complex.
Keywords: kth Betti number, simplicial complex, topology

KAJIAN SIMPLICIAL COMPLEX DAN KTH BETTI NUMBER
PADA CAKUPAN JARINGAN PENGUAT
SINYAL GSM INDOOR

FACHRI ADITYA

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Kajian Simplicial
Complex dan kth Betti Number pada Cakupan Jaringan Penguat Sinyal GSM
Indoor berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Sugi Guritman dan Ibu Dra
Farida Hanum, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Muhammad Ilyas, MSc MSi
yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan
kepada kedua orangtua penulis, Bapak Wana’I dan Ibu Siti Masngudah, kedua
adik Nofika Aisyah dan Riza Fathoni, serta seluruh keluarga atas doa dan kasih
sayangnya. Terima kasih juga disampaikan kepada seluruh dosen dan staf
penunjang Departemen Matematika atas segala ilmu dan bantuannya, Qowiyyul
Amin Siregar dan Syaepul Anwar atas bantuan dan dukungannya, teman-teman
Matematika 46 dan Jakarta Community 46 atas doa dan kebersamaannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2014
Fachri Aditya

DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

1

LANDASAN TEORI

2

Matriks dan Sistem Persamaan

2

Ruang Vektor

2

Simplicial Complex dan Betti Number

2

BAHAN DAN METODE

4

Bahan

4

Metode

4

HASIL DAN PEMBAHASAN
Penyusun Konsep Simplicial Complex dan kthBetti Number
Mengonstruksi Cakupan Jaringan Penguat Sinyal
SIMPULAN DAN SARAN

4
4
13

15

Simpulan

15

Saran

15

DAFTAR PUSTAKA

16

LAMPIRAN

17

RIWAYAT HIDUP

23

DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

Metodologi penelitian
Bentuk simplicial complex
Plot {a0 , a1 } dengan koordinat titik pusat yang berbeda
Penjumlahan a0 + a1
Pengurangan a1 − a0
Plot {a0 } dengan koordinat titik pusat yang berbeda
Kombinasi t0 pada 0-simplex
Perkalian t0 a0 dengan nilai skalar t0 = 2
Kombinasi tj pada 1-simplex
Kombinasi tj pada 2-simplex
Kombinasi tj pada 3-simplex
Contoh dari simplicial complex
Nilai kth Betti number
Pembangkitan koordinat titik
Pemberian diameter setiap titik
Bentuk simplicial complex

4
5
6

7
7
8
8
9
11
12
12
13
13
14
14
14

DAFTAR LAMPIRAN
1 Pembuatan gambar q-simplex dan simplicial complex
2 Pembuktian simplicial complex pada Gambar 12
3 Rekontruksi cakupan jaringan penguat sinyal

17
18
20

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Sinyal perangkat mobile sering kali menghilang saat memasuki gedung
beratap. Masalah tersebut dapat diatasi dengan menambahkan penguat sinyal di
dalam gedung beratap. Jika perangkat mobile berada pada sudut yang tidak
berhadapan langsung dengan penguat sinyal maka tetap saja akan sulit
mendapatkan sinyal di dalam gedung tersebut. Solusi yang ditawarkan kepada
orang-orang yang berada di dalam gedung yang memiliki penguat sinyal ialah
memosisikan perangkat mobile yang dimiliki agar berada dalam cakupan area
penguat sinyal. Cakupan area penguat sinyal biasanya berupa bola besar. Penguat
sinyal merupakan sebuah perangkat elektronik yang menerima isyarat dan
mentransmisikan kembali isyarat tersebut dengan daya yang lebih tinggi. Penguat
sinyal memudahkan para pengguna perangkat mobile untuk mendapatkan sinyal
yang baik dan kuat dengan jaringan nirkabel atau wireless, sehingga komunikasi
menjadi lebih baik.
Dari masalah tersebut, terlihat bahwa penting sekali menentukan letak
penguat sinyal dalam sebuah ruangan atau gedung beratap. Salah satu cara untuk
menentukan letak penguat sinyal adalah dengan melihat cakupannya
menggunakan konsep topologi. Konsep topologi adalah ilmu tentang properti
yang mempertahankan bentuk asli dari perubahan kontinu seperti direnggangkan
dan diputar tetapi tidak dihancurkan, dipisahkan, disambungkan dan disatukan
(Munkres 2000). Secara formal konsep topologi dapat dikatakan sebagai ilmu
tentang properti yang dilihat secara kualitatif terhadap objek-objek yang tidak
berubah dalam beberapa macam dari transformasi (Zomorodian 2005). Untuk
lebih sederhana konsep topologi adalah ilmu tentang kekontinuan dan
keterhubungan. Jika suatu bentuk dapat diubah menjadi bentuk lain dikatakan
bahwa bentuk-bentuk tersebut adalah ekuivalen secara topologi (topologically
equivalent) (Munkres 2000). Contoh bentuk yang ekuivalen secara topologi
(topologically equivalent) ialah sebuah cangkir kopi dan sebuah bentuk donat
(torus).
Pada karya ilmiah ini penulis menggunakan konsep simplicial complex dan
th
k Betti number yang diambil dari artikel de Silva dan Ghrist (2006) untuk
melihat cakupan jaringan penguat sinyal dalam suatu bangunan. Konsep
simplicial complex adalah objek amatan yang berada pada ruang topologi
sedangkan kth Betti number merupakan ciri atau karakteristik dari objek amatan
yang berada pada ruang topologi (Munkres 2000). Setelah itu akan dilakukan
simulasi untuk melihat cakupan jaringan penguat sinyal dalam suatu ruangan.

Tujuan Penelitian
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan mengonstruksi cakupan jaringan
penguat sinyal dalam suatu ruangan dengan konsep simplicial complex dan
kth Betti number menggunakan software Matlab R2008b yang terintegrasi dengan
JPlex dan Wolfram Mathematica7.

2

LANDASAN TEORI
Matriks dan Sistem Persamaan
Definisi (Operasi Baris Elementer)
I Pertukaran dua baris.
II Kalikan suatu baris dengan bilangan real bukan nol.
III Ganti suatu baris dengan hasil penjumlahannya dengan kelipatan dari baris
lain (Leon 2001).
Definisi (Bentuk Eselon Baris)
Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris jika
(i) entri bukan nol pertama dalam setiap baris adalah 1
(ii) jika baris k tidak seluruhnya mengandung nol, maka banyaknya entri nol di
bagian muka pada baris k + 1 lebih besar dari banyaknya entri nol di bagian
muka pada baris k
(iii) jika terdapat baris-baris yang entrinya semuanya nol, maka baris-baris ini
berada di bawah baris-baris yang memiliki entri bukan nol (Leon 2001).
Berikut adalah beberapa contoh matriks eselon baris tereduksi
1 4 2
1 2 3
1 3 1 0
0 1 3 , 0 0 1 , 0 0 1 3 .
0 0 1
0 0 0
0 0 0 0

Ruang Vektor
Definisi (Bebas Linear)
Vektor-vektor v0 , v1 , …, vn dalam ruang vektor V disebut bebas linear
(linearly independent) jika:
c0 v0 + c1 v1 + … + cn vn = 0
mengakibatkan semua skalar-skalar c0 , c1 , …, cn harus sama dengan 0 (Leon
2001).

Simplicial Complex dan Betti Number
Definisi (Bebas Secara Geometri)
Himpunan titik {a0 , a1 , …, aq } di ℝ� dikatakan bebas secara geometri
(affine independent) jika:
tj a0 +

tj aj =
j= 0

q

q

q

j= 0

j= 1

q

tj aj − a0 = 0 dan

tj = 0
j= 0

mengakibatkan semua skalar-skalar t0 , t1 ,…, tq harus sama dengan 0 (Munkres
2000).

3
Suku

q
j= 1 tj

aj − a0 merupakan vektor-vektor aj − a0 yang saling bebas

linear, sehingga ketika dijumlahkan dengan suku

q
j= 0 tj

a0 himpunan titik

{a0 , a1 ,…, aq } merupakan himpunan yang bebas secara geometri di ℝ� .

Definisi (q-simplex)
Jika himpunan titik {a0 , a1 , …, aq } bebas secara geometri di ℝ� maka
didefinisikan q-simplex yang direntangkan oleh a0 , a1 ,…, aq menjadi himpunan
semua titik x di ℝ� sehingga:
q

q

�=

tj = 1

tj aj dengan

j=0

j=0

dan 0≤ tj ≤ 1 untuk j= 0, 1, …, q (Munkres 2000). Kumpulan q-simplex disebut
simplicies atau simplicial dan himpunan titik {a0 , a1 ,…, aq } q-simplex disebut
simpul-simpul (Zomorodian 2005).
Definisi (Face, Coface)
Suatu q-simplex adalah rentangan � = {a0 , a1 ,…, aq } yang dilambangkan
dengan � = {a0 , a1 ,…, aq } . Suatu q-simplex atau � memiliki coface � dan �
disebut face dari � (Zomorodian 2005).
Dapat diartikan bahwa coface adalah himpunan bagian yang dimiliki oleh �,
himpunan bagian tersebut dilambangkan � = a0 , a1 ,…, aq dengan � ⊆ �. Face
adalah elemen pada himpunan titik � terdapat juga pada himpunan titik � dengan
� ⊆ �. Contoh � = a0 , a1 , a2 memiliki coface � = { a0 , a1 , a0 , a2 , a1 , a2 ,
a0 , a1 , a2 } dan � disebut face dari �. Pada contoh tersebut � merupakan 2simplex dan � merupakan simplicial terdiri dari 0-simplex dan 1-simplex.

Definisi (Simplicial Complex)
Sebuah koleksi berhingga K dari kumpulan simplicial di ℝ� dikatakan
simplicial complex jika memenuhi dua kondisi berikut:
1 � ∈ �, jika � ⊆ � maka � ∈ �
2 jika � ∈ � dan �′ ∈ � maka � ∩ �′ = ∅ atau � ∩ �′ merupakan face dari � dan
�′ (Zomorodian 2005).
kth Betti Number
kth Betti number adalah ciri atau karakteristik dari objek amatan yang berada
pada ruang topologi. kth Betti number dilambangkan dengan βk dari suatu
simplicial complex �. Secara intuitif kth Betti number dapat dijelaskan sebagai
berikut:
 β0 adalah jumlah unit yang terhubung dari suatu simplicial complex �
 β1 adalah jumlah lingkaran lubang dari suatu simplicial complex �
 β2 adalah jumlah ruang tak tertutup dari suatu simplicial complex �
(Zomorodian 2005).

4

BAHAN DAN METODE
Bahan
Bahan yang digunakan dalam penelitian ini ialah data simulasi berupa
koordinat titik yang menunjukkan lokasi penempatan penguat sinyal. Dalam karya
ilmiah ini akan dilakukan simulasi untuk 2 contoh lokasi penempatan penguat
sinyal. Pada setiap contoh, banyaknya koordinat titik yang dibangkitkan adalah 19
titik yang terdiri atas 14 titik tetap dan 5 titik tambahan. Analisis cakupan jaringan
penguat sinyal dilakukan menggunakan
Software Matlab R2008b yang
terintegrasi dengan JPlex dan Wolfram Mathematica7.

Metode
Tahapan-tahapan yang dilakukan dalam mengonstruksi cakupan jaringan
penguat sinyal dalam suatu ruangan ialah:

Pembangkitan
koordinat titik
tetap

Evaluasi
koordinat titik

Analisis
koordinat titik

Gambar 1 Metodologi penelitian
Dalam metodologi penelitian pada Gambar 1, cakupan daerah yang akan
dianalisis berukuran 13 × 13 dengan setiap titik penguat sinyal berdiameter 4
satuan. Konsep simplicial complex dan kth Betti number digunakan untuk
mengetahui apakah 19 titik koordinat yang dibangkitkan pada setiap contoh telah
mencakup daerah yang berukuran 13×13. Koordinat titik dievaluasi menggunakan
sistem JPlex. Sistem JPlex menerima masukan berupa koordinat titik dalam
sebuah bidang dua dimensi. Koordinat titik tersebut akan diproses dengan cara
memberikan diameter setiap titik. Pada sistem tersebut juga dibuat simplicial
complex dan dihitung kth Betti number-nya.

HASIL DAN PEMBAHASAN
Penyusun Konsep Simplicial Complex dan kth Betti Number
Pada karya ilmah ini akan dibahas cakupan jaringan penguat sinyal dalam
suatu ruangan dengan konsep simplicial complex dan kth Betti number serta

5
mengonstruksi cakupan jaringan penguat sinyal dalam suatu ruangan. Pada
Gambar 2 diperlihatkan contoh suatu bentuk simplicial compex dengan nilai β0 = 1
dan β1 = 2 yang diambil dari artikel de Silva dan Ghrist (2006).

Gambar 2 Bentuk simplicial complex
Pada Gambar 2 nilai kth Betti number tersebut menunjukkan bahwa bentuk yang
diperoleh adalah 1 unit yang terhubung tetapi terdapat 2 lubang pada cakupannya.
Berikut ini dijelaskan terlebih dahulu jenis-jenis q-simplex yang merupakan
penyusun konsep simplicial complex dan kth Betti number.
Jenis-jenis q-simplex
Nilai q = 0, 1, 2, …, q dalam suatu q-simpex adalah banyaknya simpulsimpul. Diasumsikan banyaknya simpul-simpul tersebut adalah jumlah penguat
sinyal. Jenis-jenis q-simplex yang akan dibahas ialah 0-simplex, 1-simplex, 2simplex, dan 3-simplex. Titik, yaitu 0-simplex, menunjukkan bahwa penguat
sinyal tersebut tidak beririsan dengan penguat sinyal lain. Garis, yaitu 1-simplex,
menunjukkan bahwa terdapat 2 penguat sinyal yang saling beririsan. Segitiga,
yaitu 2-simplex, menunjukkan bahwa terdapat 3 penguat sinyal yang saling
beririsan. Bidang empat beraturan (tetrahedron), yaitu 3-simplex, menunjukkan
bahwa terdapat 4 penguat sinyal yang saling beririsan.
Berikut ini akan diperlihatkan penafsiran secara geometri pada 0-simplex, 1simplex, 2-simplex, dan 3-simplex yang bebas secara geometri. Agar lebih mudah
penafsiran secara geometri yang dilakukan adalah dengan memberikan contoh
koordinat titik pada 0-simplex, 1-simplex, 2-simplex dan 3-simplex. Himpunan
koordinat titik yang digunakan ialah sebagai berikut:
Contoh 1
1
,
0-simplex = a0 dengan a0 =
2
1
0
1-simplex = a0 , a1 dengan a0 =
, a1 =
,
0
1
1
0
1
2-simplex = a0 , a1 , a2 dengan a0 = 1 , a1 = 0 , a2 = 1 ,
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
, a1 =
, a2 =
, a3 =
.
3-simplex = a0 , a1 , a2 , a3 dengan a0 =
1
1
1
0
1
1
1
0

6
Operasi-operasi pengurangan dan penjumlahan di himpunan titik berbeda
dengan operasi himpunan vektor. Hal tersebut dikarenakan jika letak plot gambar
hasil dari operasi-operasi pengurangan dan penjumlahan di himpunan titik dengan
koordinat titik pusat yang berbeda adalah sama maka operasi-operasi di himpunan
titik dapat ditentukan. Dapat ditentukan yang dimaksud adalah letak plot gambar
himpunan titik dengan koordinat titik pusat yang berbeda menghasilkan plot
gambar yang sama.
Berikut ini akan diperlihatkan penafsiran secara geometri pada operasioperasi pengurangan dan penjumlahan di himpunan titik dengan koordinat titik
pusat yang berbeda. Untuk membuktikannya diberikan koordinat titik pusat yang
berbeda. Koordinat titik pusat yang digunakan ialah sebagai berikut:
Contoh 2
0
.
koordinat titik pusat =
0
Contoh 3
3
.
koordinat titik pusat =
0
Pada Gambar 3 diplotkan a0 , a1 dengan kooordinat titik pusat yang berbeda
menggunakan himpunan koordinat titik pada Contoh 1 bagian 1-simplex. Sintaks
program pembangkitan gambar seperti yang ada di Gambar 3, Gambar 4 dan
Gambar 5 dapat dilihat pada Lampiran 1.

Gambar 3 Plot a0 , a1 dengan koordinat titik pusat yang berbeda
Pada Gambar 3 koordinat titik a0 dan a1 dengan koordinat titik pusat yang
1
berbeda menghasilkan vektor �0 dan �1 yang berbeda. Pada Contoh 2, �0 =
0
−2
0
−3
dan �1 =
. Pada Gambar 4
dan �1 =
dan pada Contoh 3, �0 =
0
1
1
diplotkan hasil operasi pengurangan a1 − a0 pada setiap contoh. Pada Contoh 2,
1
0
−1
a1 − a0 = �1 − �0 =
−
dan pada Contoh 3, a1 − a0 = �1 − �0 =
=
0
1
1
−2
−1
−3
. Hasil operasi pengurangan a1 − a0 pada Gambar 4 Contoh
=
−
0
1
1
−1
, sehingga hasil pengurangan a1 − a0 pada
2 dan Contoh 3 sama yaitu vektor
1
Gambar 4 dapat ditentukan.

7

Gambar 4 Pengurangan a1 − a0

Pada Gambar 5 diplotkan hasil operasi penjumlahan a0 + a1 pada setiap
1
1
0
dan pada Contoh 3,
=
+
contoh. Pada Contoh 2, a1 + a0 = �1 + �0 =
0
1
1
−2
−3
−5
. Hasil operasi penjumlahan a0 + a1
=
+
a1 + a0 = �1 + �0 =
0
1
1
1
pada Gambar 5 Contoh 2 dan Contoh 3 berbeda. Pada Contoh 2 adalah vektor
1
−5
, sehingga hasil penjumlahan a0 + a1 tidak
dan pada Contoh 3 adalah vektor
1
dapat ditentukan.

Gambar 5 Penjumlahan a0 + a1
 0-simplex
Pada 0-simplex akan diperlihatkan penafsiran secara geometri nilai skalar
t0 = 0 dan 1. Untuk membuktikannya diberikan koordinat titik pusat yang berbeda.
Koordinat titik pusat yang digunakan ialah Contoh 2 dan Contoh 3. Pada Gambar
6 diplotkan { a0 } dengan koordinat titik pusat yang berbeda menggunakan
himpunan koordinat titik pada Contoh 1 bagian 0-simplex. Sintaks program
pembangkitan gambar seperti yang ada di Gambar 6, Gambar 7 dan Gambar 8
dapat dilihat pada Lampiran 1.

8

Gambar 6 Plot {a0 } dengan koordinat titik pusat yang berbeda
1
. Koordinat titik
2
a0 dengan koordinat titik pusat yang berbeda menghasilkan vektor �0 yang
−2
1
. Hasil operasi
dan pada Contoh 3, �0 =
berbeda. Pada Contoh 2, �0 =
2
2
perkalian t0 a0 dengan nilai skalar t0 = 0 pada Contoh 2 dan Contoh 3 sama yaitu
0
0
1
dan pada Contoh 3, t0 a0 =
=
. Pada Contoh 2, t0 a0 = t0 �0 = 0
vektor
0
0
2
0
−2
. Hasil operasi tersebut menunjukkan bahwa 0-simplex bebas
=
t0 �0 = 0
0
2
secara geometri.
Hasil operasi perkalian t0 a0 dengan nilai skalar t0 = 1 pada Contoh 2 dan
1
1
1
dan
=
. Pada Contoh 2, t0 a0 = t0 �0 = 1
Contoh 3 sama yaitu titik a0 =
2
2
2
−2
−2
. Hasil operasi tersebut menunjukkan
=
pada Contoh 3, t0 a0 = t0 �0 = 1
2
2
bahwa 0-simplex yang direntangkan oleh a0 menjadi titik a0 sendiri. Pada Gambar
7 akan diperlihatkan kombinasi t0 pada 0-simplex.
Pada Gambar 6 koordinat titik 0-simplex = { a0 }=

Gambar 7 Kombinasi t0 pada 0-simplex
Pada Gambar 8 akan diplotkan hasil operasi perkalian t0 a0 dengan nilai
skalar t0 ≠ 0 dan t0 ≠ 1 . Misalkan t0 = 2 pada Contoh 2 dan Contoh 3. Pada
−2
2
1
=
dan pada Contoh 3, t0 a0 = t0 �0 = 2
=
Contoh 2, t0 a0 = t0 �0 = 2
2
4
2

9
−4
. Hasil operasi perkalian skalar antara t0 a0 dengan t0 = 2 pada Gambar 8
4
Contoh 2 dan Contoh 3 berbeda. Hasil perkalian dengan skalar antara t0 a0 dengan
nilai skalar t0 = 2 tidak dapat ditentukan.

Gambar 8 Perkalian t0 a0 dengan nilai skalar t0 = 2
Bebas secara geometri pada himpunan titik yang elemennya lebih dari 1
q
sulit untuk diperiksa. Untuk itu persamaan bebas secara geometri j= 0 tj aj = 0
dapat diubah menjadi:
q

q

tj a0 +
j= 0

j= 1

tj aj − a0 = 0 ………………………(1)

Pada Persamaan (1) suku pertama nilai tj hanya ada 2 kemungkinan, yaitu tj = 0
atau 1. Pada suku pertama nilai skalar t0 harus sama dengan 0 mengakibatkan a0
0
q
adalah koordinat titik pusat ⋮ . Suku kedua, yaitu j= 1 tj aj − a0 , merupakan
0
vektor-vektor aj − a0 yang saling bebas linear, sehingga ketika dua suku tersebut
dijumlahkan himpunan titik {a0 ,a1 ,…,aq } merupakan himpunan yang bebas secara

geometri di ℝ� .
Berikut ini akan dibuktikan bahwa vektor- vektor a1 − a0 ,a2 − a0 ,…,aq −
a0 pada 1-simplex, 2-simplex, dan 3-simplex adalah bebas linear. Pembuktian
tersebut menggunakan himpunan koordinat titik pada Contoh 1.
 1-simplex
1
;
a1 − a0 =
-1
0
0
1
1
t =
→
=
t1
0
0
-1 1
-1
Dengan operasi baris elementer, dapat diperoleh:
1 0 �21 1 1 0
00
~
-1 0
Jadi t1 = 0; terbukti a1 − a0 bebas linear.

10
 2-simplex
1
1
-1 , a2 − a0 = 0 ;
0
-1
0
1
0
1 1 t
1
t1 -1 + t2 0 = 0 → -1 0 t1 = 0
2
0
0
-1
0
0 -1
Dengan operasi baris elementer, dapat diperoleh:
1 1 0
1 1 0
1 10
�
�
-1 0 0 21 1 0 1 0 32 1 0 1 0
~
~
0 -1 0
0 -1 0
0 00
Jadi t1 = t2 = 0; terbukti a1 − a0 dan a2 − a0 bebas linear.
 3-simplex
1
1
1
0
-1
0
;
, a3 − a0 =
, a2 − a0 =
a1 − a0 =
-1
0
0
0
0
-1
1
0
1
0
1
1 1 1
t1
0
0
-1
-1 0 0
0
t2 = 0
+ t3
=
+ t2
t1
→
-1
0
0
0 -1 0
0
0
t3
0
0
0 0 -1
-1
0
0
Dengan operasi baris elementer, dapat diperoleh:
1 1 10
1 1 1 0
1 1 1 0
1 1 1 0
-1 0 0 0 �21 1 0 1 1 0 �32 1 0 1 1 0 �43 1 0 1 1 0
0 0 10
~
0 0 1 0
~
0 -1 0 0
~
0 -1 0 0
0 0 00
0 0 -1 0
0 0 -1 0
0 0 -1 0
Jadi t1 = t2 = t3 = 0; terbukti a1 − a0 , a2 − a0 , dan a3 − a0 bebas linear.
Setelah terbukti bahwa vektor- vektor a1 − a0 , a2 − a0 , …, aq − a0 pada 1simplex, 2-simplex, dan 3-simplex adalah bebas linear maka menurut definisi
bebas secara geometri himpunan titik {a0 ,a1 ,…,aq } pada 1-simplex, 2-simplex, 3a1 − a0 =

simplex merupakan himpunan yang bebas secara geometri di ℝ� . Jika himpunan
titik {a0 ,a1 ,…,aq } pada 1-simplex, 2-simplex, 3-simplex merupakan himpunan
yang bebas secara geometri di ℝ� maka dapat didefinisikan q-simplex yang
menjadi
himpunan
semua
titik
direntangkan
oleh
a0 , a1 , …, aq

�=

q
j=0 tj aj

dengan

q
j=0 tj =

1.

Berikut ini akan diperlihatkan penafsiran secara geometri bahwa 1-simplex
adalah garis, 2-simplex adalah segitiga, dan 3-simplex adalah bidang empat
beraturan (tetrahedron). Penafsiran secara geometri tersebut disertai dengan plot
gambar menggunakan himpunan koordinat titik pada Contoh 1. Sintaks program
pembangkitan gambar seperti yang ada di Gambar 9, Gambar 10, dan Gambar 11
dapat dilihat pada Lampiran 1.

11
 1-simplex
Nilai 1j=0 tj = 1 merupakan kombinasi antara t0 ,t1 yang jumlahnya harus
sama dengan 1.
0 1 �0
1
0
dengan t0 + t1 = 1
=
+ �1
� = �0
1 0 �1
0
1
Misalkan dipilih t0 = 0 dan t1 = 1; t0 = 1 dan t1 = 0; t0 = 1 2 dan t1 = 1 2 ; t0 = 1 4
3 4
1 4
1 2
0
,
,
,
,
dan t1 = 3 4 ; t0 = 3 4 dan t1 = 1 4 sehingga � = {
1 4
3 4
1 2
1
1
}. Pada Gambar 9 diperlihatkan transformasi dua jaringan penguat sinyal yang
0
saling beririsan menjadi kombinasi tj pada 1-simplex.

Gambar 9 Kombinasi tj pada 1-simplex
Pada Gambar 9 terlihat bahwa kombinasi tj membentuk kumpulan titik suatu garis
sehingga dapat dikatakan bahwa 1-simplex adalah garis.
 2-simplex
Nilai 2j=0 tj = 1 merupakan kombinasi antara t0 , t1 , t2 yang jumlahnya harus
sama dengan 1.
1
0 1 1 t0
1
0
� = t0 1 +t1 0 +t2 1 = 1 0 1 t1 dengan t0 + t1 + t2 = 1
1
0
1 1 0 t2
1
Misalkan dipilih t0 = 1, t1 = 0 dan t2 = 0; t0 = 0, t1 = 1 dan t2 = 0; t0 = 0, t1 = 0 dan t2 = 1;
0
t0 = 1 3 , t1 = 1 3 dan t2 = 1 3 ; t0 = 1 4 , t1 = 1 4 dan t2 = 1 2 sehingga � = { 1 ,
1
3
4
2
3
1
1
0 , 2 3 , 3 4 , 1 }. Pada Gambar 10 diperlihatkan transformasi tiga
0
1
1 2
2 3
jaringan penguat sinyal yang saling beririsan menjadi kombinasi tj pada 2-simplex.

12

Gambar 10 Kombinasi tj pada 2-simplex
Pada Gambar 10 terlihat bahwa kombinasi tj membentuk kumpulan titik suatu
segitiga sehingga dapat dikatakan bahwa 2-simplex adalah segitiga.
 3-simplex
Nilai 3j=0 tj = 1 merupakan kombinasi antara t0 , t1 , t2 , t3 yang jumlahnya
harus sama dengan 1.
t0
1
1
0 1 1 1
0
1
t1
x = t0 1 +t1 0 +t2 1 +t3 1 → 1 0 1 1
t2 ; t0 + t1 + t2 + t3 = 1
1
1
1
1 1 0 1
0
t3
1
1
1
0
1 1 1 0
Plot Gambar 11 menggunakan perintah GraphPlot. Pada Gambar 11 diperlihatkan
transformasi empat jaringan penguat sinyal yang saling beririsan menjadi
kombinasi tj pada 3-simplex.

Gambar 11 Kombinasi tj pada 3-simplex
Pada Gambar 11 terlihat bahwa kombinasi tj membentuk kumpulan titik suatu
bidang empat beraturan (tetrahedron) sehingga dapat dikatakan bahwa 3-simplex
adalah bidang empat beraturan (tetrahedron).
Konsep Simplicial Complex dan kth Betti Number
Konsep simplicial complex dapat dianalogikan dengan kumpulan dari jenisjenis simplicial sedangkan kth Betti number merupakan ciri atau karakteristik dari
objek amatan. Ciri-ciri objek amatan berupa banyaknya unit terhubung yang
dilambangkan dengan β0 serta banyaknya lingkaran atau lubang yang terbentuk
dilambangkan dengan β1 . Pada Gambar 12 akan diberikan suatu contoh
transformasi cakupan jaringan penguat sinyal menjadi simplicial complex. Pada

13
contoh tersebut terdapat 6 jaringan penguat sinyal dengan diameter yang sama dan
14 q-simplex atau � = 14. Sintaks program pembangkitan gambar seperti yang
ada di Gambar 12 dapat dilihat pada Lampiran 1.

Gambar 12 Contoh dari simplicial complex
Pada Gambar 12 didapat himpunan titik K = v0 , v1 , v2 , v3 , v4 , v5 . Jika
ditransformasikan ke dalam bentuk simplicial complex maka simplicial complex K
= {∅, {v0 }, {v1 }, {v2 }, {v3 }, {v4 }, {v5 }, {v0 , v1 }, {v0 , v2 }, {v1 , v2 }, {v2 , v3 }, {v3 ,
v4 }, {v3 , v5 }, {v4 , v5 }, {v0 , v1 , v2 }}. Pembuktian simplicial complex pada Gambar
12 dapat dilihat pada Lampiran 2. Pada Gambar 13 diberikan nilai kth Betti
number dengan mengkaji simplicial complex K.

Gambar 13 Nilai kth Betti number
Baris pertama pada Gambar 13 merupakan himpunan 0-simplex yaitu {{v0 },
{v1 }, {v2 }, {v3 }, {v4 }, {v5 }}, baris kedua himpunan 1-simplex yaitu {{v0 , v1 }, {v0 ,
v2 }, {v1 , v2 }, {v2 , v3 }, {v3 , v4 }, {v3 , v5 }, {v4 , v5 }} dan baris ketiga himpunan 2simplex yaitu {v0 , v1 , v2 } yang merupakan anggota K. Perhatikan bahwa pada
Gambar 10 bentuk tersebut saling terhubung yang berarti nilai β0 = 1. Melihat pada
bagian {v3 , v4 }, {v3 , v5 }, dan {v4 , v5 } dengan {v3 }, {v4 }, dan {v5 } bila garisnya
ditarik akan membentuk sebuah lingkaran, hal itu menunjukkan bahwa nilai β1 = 1.
Dilihat dari nilai kth Betti number dapat disimpulkan bahwa, terdapat sebuah ruang
yang belum tercakup oleh penguat sinyal. Jadi, jika β1 = 0 maka daerah tersebut
telah tercakup oleh penguat sinyal.

Mengonstruksi Cakupan Jaringan Penguat Sinyal
Membangkitkan dan Mengevaluasi Koordinat Titik
Pada proses ini akan dilakukan pembangkitan 19 koordinat titik yang terdiri
dari 14 koordinat titik tetap (berwarna biru) dan 5 koordinat titik tambahan
(berwarna merah). Koordinat titik tetap adalah kumpulan titik yang menunjukkan
bahwa titik-titik tersebut mencakup batasan daerah berukuran 13×13. Koordinat

14
titik tambahan adalah kumpulan titik yang menunjukkan bahwa titik-titik tersebut
menutup daerah cakupan koordinat titik tetap. Pada penelitian ini diberikan 2
macam koordinat titik tambahan yang berbeda, sehingga menghasilkan Gambar
14. Sintaks program untuk pembangkitan gambar seperti yang ada di Gambar 14,
Gambar 15, dan Gambar 16 dapat dilihat pada Lampiran 3.

Gambar 14 Pembangkitan koordinat titik
Setelah membangkitkan koordinat titik, langkah selanjutnya ialah memberikan
diameter setiap titik pada Contoh 1 dan Contoh 2, sehingga akan menghasilkan
Gambar 15.

Gambar 15 Pemberian diameter setiap titik
Dalam Gambar 15 sulit melihat daerah mana yang tidak tercakup jaringan
penguat sinyal dalam suatu bangunan. Agar lebih mudah melihat cakupan jaringan
penguat sinyal maka lingkaran cakupan setiap titik yang terdapat pada Contoh 1
dan Contoh 2 akan dikonversi ke dalam bentuk simplicial complex sehingga akan
menghasilkan Gambar 16.

Gambar 16 Bentuk simplicial complex

15
Setelah dikonversi dalam bentuk simplicial complex akan dihitung nilai kth Betti
number setiap contoh. Pada Contoh 1 β0 = 1 dan β1 = 1, sedangkan pada Contoh 2
β0 = 1 dan β1 = 0.
Analisis koordinat titik
Nilai kth Betti number dapat mengidentifikasi cakupan sinyal dalam suatu
bangunan. Pada Contoh 1, nilai kth Betti number yang diperoleh ialah β0 = 1 dan
β1 = 2; itu berarti bahwa bentuk yang diperoleh adalah 1 unit yang terhubung tetapi
terdapat 2 lubang pada cakupannya. Pada Contoh 2, nilai kth Betti number yang
diperoleh ialah β0 = 1 dan β1 = 0. Itu berarti bahwa bentuk yang diperoleh adalah 1
unit yang terhubung dengan tidak ada lubang pada cakupannya.
Dengan melihat hasil kth Betti number pada dua contoh tersebut dapat dilihat
bahwa Contoh 2 lebih baik dibandingkan dengan Contoh 1. Hal tersebut
disebabkan karena pada Contoh 2, bentuk yang dihasilkan adalah 1 unit yang
terhubung dengan tidak adanya lubang, sedangkan pada Contoh 1 terdapat satu
lubang. Lubang tersebut menyatakan bahwa masih ada ruang yang belum tercakup
oleh penguat sinyal.

SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Konsep simplicial complex dan kth Betti number dapat digunakan untuk
melihat cakupan jaringan penguat sinyal dalam sebuah wilayah. Konsep simplicial
complex adalah objek amatan yang berada pada ruang topologi dan kth Betti
number merupakan ciri atau karakteristik dari objek amatan yang berada pada
ruang topologi. Dengan software Matlab R2008b yang terintegrasi JPlex dan
Wolfram Mathematica7 dapat direkontruksi cakupan jaringan penguat sinyal
dalam suatu ruangan. Langkah-langkah yang dilakukan ialah: memasukkan
koordinat titik, memberikan diameter cakupan jaringan penguat sinyal, dan
menganalis koordinat titik dengan konsep simplicial complex dan kth Betti number.

Saran
Dalam karya ilmiah ini masih banyak terdapat kekurangan, di sini lebih
banyak membahas tentang jenis-jenis q-simplex dan simplicial complex sedangkan
kth Betti number tidak dibahas terlalu banyak. Masih dapat dikembangkan kembali,
terutama konsep kth Betti number sehingga dasar analisis dalam melihat jaringan
penguat sinyal dalam sebuah wilayah lebih sempurna, serta dapat dibuat sebuah
program baru yang bukan hanya mengkaji cakupan jaringan penguat sinyal tetapi
juga bisa menentukan di mana letak jaringan penguat sinyal sehingga jumlahnya
menjadi minimum.

16

DAFTAR PUSTAKA
De Silva V, Ghrist R. 2006. Coordinate-free coverage in sensor networks with
controlled boundaries via homology. Intl J Robotics Research. 25(12):12051222.doi:10.1177/0278364906072252.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah.
Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with
Applications.
Munkres J R. 2000. Topology. Ed ke-2. New Jersey (US): Prentice Hall.
Zomorodian A J. 2005. Topology for Computing. Ciarlet PG, Iserles A, Kohn RV,
Wright MH, editor. Cambridge (UK): Cambridge University Pr.

17
Lampiran 1 Pembuatan gambar q-simplex dan simplicial complex
Gambar 3
a=Arrow[{{0,0},{1,0}}];b=Arrow[{{0,0},{0,1}}];c=Circle[{1,0}
,.1];d=Circle[{0,1},.1];
Labeled[Graphics[{{Dashed,a},{Dashed,b},{c},{d}},Frame
True,PlotRange{{0,5},{0,5}}],Text["Contoh 2"]]
a=Arrow[{{3,0},{1,0}}];b=Arrow[{{3,0},{0,1}}];c=Circle[{1,0}
,.1];d=Circle[{0,1},.1];
Labeled[Graphics[{{Dashed,a},{Dashed,b},{c},{d}},Frame
True,PlotRange{{0,5},{0,5}}],Text["Contoh 3"]]
Gambar 4
a=Arrow[{{0,0},{1,0}}];b=Arrow[{{0,0},{0,1}}];c=Arrow[{{1,0}
,{0,1}}];d=Circle[{1,0},.1];e=Circle[{0,1},.1];
Labeled[Graphics[{{Dashed,a},{Dashed,b},{c},{d},{e}},Frame
True,PlotRange{{0,5},{0,5}}],Text["Contoh 2"]]
a=Arrow[{{3,0},{1,0}}];b=Arrow[{{3,0},{0,1}}];c=Arrow[{{1,0}
,{0,1}}];d=Circle[{1,0},.1];e=Circle[{0,1},.1];
Labeled[Graphics[{{Dashed,a},{Dashed,b},{c},{d},{e}},Frame
True,PlotRange{{-2,3},{0,5}}],Text["Contoh 3"]]
Gambar 5
a=Arrow[{{0,0},{1,0}}];b=Arrow[{{0,0},{0,1}}];c=Arrow[{{1,0}
,{1,1}}];d=Arrow[{{0,1},{1,1}}];e=Arrow[{{0,0},{1,1}}];f=Cir
cle[{1,0},.1];g=Circle[{0,1},.1];h=Circle[{1,1},.1];
Labeled[Graphics[{{Dashed,a},{Dashed,b},{Dashed,c},{Dashed,d
},{e},{f},{g},{h}},Frame
True,PlotRange{{0,5},{0,3}}],Text["Contoh 2"]]
a=Arrow[{{3,0},{1,0}}];b=Arrow[{{3,0},{0,1}}];c=Arrow[{{1,0}
,{-5,1}}];d=Arrow[{{0,1},{-5,1}}];e=Arrow[{{3,0},{5,1}}];f=Circle[{1,0},.1];g=Circle[{0,1},.1];h=Circle[{5,1},.1];
Labeled[Graphics[{{Dashed,a},{Dashed,b},{Dashed,c},{Dashed,d
},{e},{f},{g},{h}},Frame True,PlotRange{{5,3},{0,5}}],Text["Contoh 3"]]
Gambar 6
d=Circle[{1,2},.1];
Labeled[Graphics[{{d}},Frame
True,PlotRange{{0,5},{0,5}}],Text["Contoh 2"]]
d=Circle[{1,2},.1];
Labeled[Graphics[{{d}},Frame True,PlotRange{{2,3},{0,5}}],Text["Contoh 3"]]
Gambar 7
a=Arrow[{{0,0},{1,2}}];d=Circle[{1,2},.1];
Labeled[Graphics[{{Dashed,a},{d}},Frame
True,PlotRange{{0,5},{0,5}}],Text["Contoh 2"]]
a=Arrow[{{3,0},{1,2}}];d=Circle[{1,2},.1];
Labeled[Graphics[{{Dashed,a},{d}},Frame True,PlotRange{{2,3},{0,5}}],Text["Contoh 3"]]

18
Gambar 8
a=Arrow[{{0,0},{1,2}}];b=Arrow[{{0,0},{2,4}}];d=Circle[{1,2}
,.1];e=Circle[{2,4},.1];
Labeled[Graphics[{{Dashed,a},{Dashed,b},{d},{e}},Frame
True,PlotRange{{0,5},{0,5}}],Text["Contoh
2"]]a=Arrow[{{3,0},{1,2}}];b=Arrow[{{3,0},{1,4}}];d=Circle[{1,2},.1];e=Circle[{-1,4},.1];
Labeled[Graphics[{{Dashed,a},{Dashed,b},{d},{e}},Frame
True,PlotRange{{-2,3},{0,5}}],Text["Contoh 3”]]
Gambar 9
e=Point[{1,0}]
;f=Point[{0,1}];g=Circle[{1,0},1];h=Circle[{0,1},1];
Graphics[{{e},{f},{g},{h}},Frame True,PlotRange{{-1,2},{-1,2}}]
a=Arrow[{{0,0},{0,1}}];b=Arrow[{{0,0},{1,0}}];c=Arrow[{{0,0},{1/2,
1/2}}];d=Arrow[{{0,0},{1/4,3/4}}];e=Arrow[{{0,0},{3/4,1/4}}];f=Lin
e[{{0,1},{1,0}}];g=Circle[{1,0},.03];h=Circle[{0,1},.03];
Graphics[{{a},{b},{c},{d},{e},{f},{g},{h}},Frame
True,PlotRange{{0,1.5},{0,1.5}}]

Gambar 10
a=Arrow[{{0,0,0},{0,1,1}}];b=Arrow[{{0,0,0},{1,0,1}}];c=Arrow[{{0,
0,0},{1,1,0}}];d=Arrow[{{0,0,0},{2/3,2/3,2/3}}];e=Arrow[{{0,0,0},{
3/4,3/4,1/2}}];f=Polygon[{{1,1,0},{0,1,1},{1,0,1}}];i=Sphere[{1,1,
0},.05];j=Sphere[{0,1,1},.05];k=Sphere[{1,0,1},.05];
Graphics3D[{{a},{b},{c},{d},{e},{f},{i},{j},{k}},AxesTrue,PlotRa
nge{{0,1},{0,1},{0,1}}]
i=Sphere[{0,1,1},1]; j= Sphere[{1,0,1},1];k=Sphere[{1,1,0},1];
Graphics3D[{{i},{j},{k}},AxesTrue,PlotRange{{-1,2},{-1,2},{1,2}}]

Gambar 11
GraphPlot[{{0,1,1,1},{1,0,1,1},{1,1,0,1},{1,1,1,0}},VertexRenderin
gFunction({Yellow,EdgeForm[Black],Disk[#,0.7],Red,Text[#2,#1]}&)
]
GraphPlot[{{0,1,1,1},{1,0,1,1},{1,1,0,1},{1,1,1,0}},VertexRenderin
gFunction({Yellow,EdgeForm[Black],Disk[#,0.1],Red,Text[#2,#1]}&)
]
GraphPlot[{{0,1,1,1},{1,0,1,1},{1,1,0,1},{1,1,1,0}},VertexRenderin
gFunction({Yellow,EdgeForm[Black],Disk[#,0.1],Red,Text[#2,#1]}&)
,PlotStyle Dashed]

Gambar 12
GraphPlot[{0
1,02,12,23,34,35,45},VertexRenderingFunction({Yellow,Edge
Form[Black],Disk[#,0.7],Red,Text[#2,#1]}&)]

Lampiran 2 Pembuktian simplicial complex pada Gambar 12
Diketahui: simplicial complex K = {∅, {v0 }, {v1 }, {v2 }, {v3 }, {v4 }, {v5 }, {v0 , v1 },
{v0 , v2 }, {v1 , v2 }, {v2 , v3 }, {v3 , v4 }, {v3 , v5 }, {v4 , v5 }, {v0 , v1 , v2 }}
Akan dibuktikan bahwa: K dari kumpulan simplicial di ℝ� dikatakan simplicial
complex

19
Bukti:
Jika poin 1 dan poin 2 terpenuhi maka Gambar 12 adalah simplicial complex
� pada simplicial complex K berjumlah 14
Poin 1: � ∈ �, jika � ⊆ � maka � ∈ �

�1 = {v0 , v1 , v2 }, �1 ∈ � dengan τ1 = {{v0 }, {v1 }, {v2 }, {v0 , v1 }, {v0 , v2 }, {v1 ,
v2 }}, τ1 ∈ �
�2 = {v4 , v5 }, �2 ∈ � dengan τ2 = {{v4 }, {v5 }}, τ2 ∈ �
�3 = {v3 , v5 }, �3 ∈ � dengan τ3 = {{v3 }, {v5 }}, τ3 ∈ �
�4 = {v3 , v4 }, �4 ∈ � dengan τ4 = {{v3 }, {v4 }}, τ4 ∈ �
�5 = {v2 , v3 }, �5 ∈ � dengan τ5 = {{v2 }, {v3 }}, τ5 ∈ �
�6 = {v1 , v2 }, �6 ∈ � dengan τ6 = {{v1 }, {v2 }}, τ6 ∈ �
�7 = {v0 , v2 }, �7 ∈ � dengan τ7 = {{v0 }, {v2 }}, τ7 ∈ �
�8 = {v0 , v1 }, �8 ∈ � dengan τ8 = {{v0 }, {v1 }}, τ8 ∈ �
�9 = {v5 }, �9 ∈ � dengan τ9 = ∅, τ9 ∈ �
�10 = {v4 }, �10 ∈ � dengan τ10 = ∅, τ10 ∈ �
�11 = {v3 }, �11 ∈ � dengan τ11 = ∅, τ11 ∈ �
�12 = {v2 }, �12 ∈ � dengan τ12 = ∅, τ12 ∈ �
�13 = {v1 }, �13 ∈ � dengan τ13 = ∅, τ13 ∈ �
�14 = {v0 }, �14 ∈ � dengan τ14 = ∅, τ14 ∈ �
Poin 2: jika � ∈ � dan �′ ∈ � maka � ∩ �′ = ∅ atau � ∩ �′ merupakan face dari
� dan �′
∩
�1

�2
�3
�4
�5
�6
�7
�8

�9
�10
�11
�12
�13
�14

�1

∅
∅
∅
{v2 }
{ v1 ,
v2 }
{ v0 ,
v2 }
{ v0 ,
v1 }
∅
∅
∅
{v2 }
{v1 }
{v0 }

�2
∅

{v5 }

{v5 }
{v4 }
∅
∅
∅

∅

{v5 }
{v4 }
∅
∅
∅
∅

�3
∅

{v4 }
{v3 }

{v3 }
{v3 }
∅

∅
{v3 }
{v3 }

{v3 }
∅

{v2 }

�6
{ v1 ,
v2 }
∅
∅
∅
{v2 }

{v2 }

{v2 }

∅

∅
∅

{v1 }

{v0 }

∅
{v4 }
{v3 }
∅
∅
∅

∅

∅
∅
{v3 }
{v2 }
∅
∅

∅
∅
∅
{v2 }
{v1 }
∅

∅
∅
∅
{v2 }
∅
{v0 }

∅

{v5 }
∅
{v3 }
∅
∅
∅

�4
∅

�5
{v2 }

�7
{ v0 ,
v2 }
∅
∅
∅
{v2 }
{v2 }

�8
{ v0 ,
v1 }
∅
∅
∅
∅
{v1 }
{v0 }

Terbukti Gambar 12 adalah simplicial complex

∅
∅
∅
∅
{v1 }
{v0 }

�9
∅

�10
∅

�11
∅

�12
{v2 }

�13
{v1 }

�14
{v0 }
∅
∅
∅
∅
∅

{v5 }
{v5 }
∅
∅
∅

{v4 }
∅
{v4 }
∅
∅

∅
{v3 }
{v3 }
{v3 }
∅

∅
∅
∅
{v2 }
{v2 }

∅
∅
∅
∅
{v1 }

{v2 }

∅

∅

{v1 }

{v0 }

∅
∅

∅

∅

{v0 }

∅

∅

∅
∅
∅

∅
∅
∅
∅
∅

∅
∅
∅
∅

∅
∅
∅
∅
∅

∅

∅
∅
∅
∅
∅

∅
∅
∅
∅
∅
∅

∅

20
Lampiran 3 Rekontruksi cakupan jaringan penguat sinyal
%% Gambar14 dan Gambar16
%% Membuka Javaplex
startJPlex
%% Membangkitkan koordinat titik tetap
x = [1 6 8.5 10.5 11 12 10 7 5 1.4 1.9 1.2 12 3];
y = [2 2 1.5 2.5 6.5 9.5 11 12 10 11 9 6 4 3];
%% Membangkitkan koordinat titik tambahan dan menggabungkan dengan
titik tetap
%tambah = [4 6.4;6 5;6.8 8;8.5 5;8.5 8.6];
tambah = [4 6.4;6 5;6.8 8;8.5 5;8 8];
tambahan = [[x;y]'; tambah];
cover = EuclideanArrayData(tambahan);
ripscover = Plex.RipsStream(0.001, 3, 4, cover);
intervals = Plex.Persistence.computeIntervals(ripscover);
Plex.FilterInfinite(intervals)
Plex.plot(intervals, 'ripscover', 4)
scatter(tambahan(:,1),tambahan(:,2),'filled')

%% Gambar15
clear all
%r0=2;a1=1;b1=2;a3=6;b3=2;a5=8.5;b5=1.5;a7=10.5;b7=2.5;a9=11;b9=6.
5;a11=12;b11=9.5;a13=10;b13=11;a15=7;b15=12;a17=5;b17=10;a19=1.4;b
19=11;a21=1.9;b21=9;a23=1.2;b23=6;a25=12;b25=4;a27=3;b27=3;a29=4;b
29=6.4;a31=6;b31=5;a33=6.8;b33=8;a35=8.5;b35=5;a37=8;b37=8;
r0=2;a1=1;b1=2;a3=6;b3=2;a5=8.5;b5=1.5;a7=10.5;b7=2.5;a9=11;b9=6.5
;a11=12;b11=9.5;a13=10;b13=11;a15=7;b15=12;a17=5;b17=10;a19=1.4;b1
9=11;a21=1.9;b21=9;a23=1.2;b23=6;a25=12;b25=4;a27=3;b27=3;a29=4;b2
9=6.4;a31=6;b31=5;a33=6.8;b33=8;a35=8.5;b35=5;a37=8.5;b37=8.6;
xmin=a1 - r0;xmax=a1 + r0;
x1=xmin:0.01:xmax;
y1= b1 + sqrt(r0^2-(x1-a1).^2);
x2=xmin:0.01:xmax;
y2=b1 - sqrt(r0^2-(x2-a1).^2);
xmin=a3 - r0;xmax=a3 + r0;
x3=xmin:0.01:xmax;
y3= b3 + sqrt(r0^2-(x3-a3).^2);
x4=xmin:0.01:xmax;
y4=b3 - sqrt(r0^2-(x4-a3).^2);
xmin=a5 - r0;xmax=a5 + r0;
x5=xmin:0.01:xmax;
y5= b5 + sqrt(r0^2-(x5-a5).^2);
x6=xmin:0.01:xmax;
y6=b5 - sqrt(r0^2-(x6-a5).^2);

xmin=a21 - r0;xmax=a21 + r0;
x21=xmin:0.01:xmax;
y21=
b21
+
sqrt(r0^2-(x21a21).^2);
x22=xmin:0.01:xmax;
y22=b21
sqrt(r0^2-(x22a21).^2);
xmin=a23 - r0;xmax=a23 + r0;
x23=xmin:0.01:xmax;
y23=
b23
+
sqrt(r0^2-(x23a23).^2);
x24=xmin:0.01:xmax;
y24=b23
sqrt(r0^2-(x24a23).^2);
xmin=a25 - r0;xmax=a25 + r0;

21
xmin=a7 - r0;xmax=a7 + r0;
x7=xmin:0.01:xmax;
y7= b7 + sqrt(r0^2-(x7-a7).^2);
x8=xmin:0.01:xmax;
y8=b7 - sqrt(r0^2-(x8-a7).^2);
xmin=a9 - r0;xmax=a9 + r0;
x9=xmin:0.01:xmax;
y9= b9 + sqrt(r0^2-(x9-a9).^2);
x10=xmin:0.01:xmax;
y10=b9 - sqrt(r0^2-(x10-a9).^2);
xmin=a11 - r0;xmax=a11 + r0;
x11=xmin:0.01:xmax;
y11=
b11
+
sqrt(r0^2-(x11a11).^2);
x12=xmin:0.01:xmax;
y12=b11
sqrt(r0^2-(x12a11).^2);
xmin=a13 - r0;xmax=a13 + r0;
x13=xmin:0.01:xmax;
y13=
b13
+
sqrt(r0^2-(x13a13).^2);
x14=xmin:0.01:xmax;
y14=b13
sqrt(r0^2-(x14a13).^2);
xmin=a15 - r0;xmax=a15 + r0;
x15=xmin:0.01:xmax;
y15=
b15
+
sqrt(r0^2-(x15a15).^2);
x16=xmin:0.01:xmax;
y16=b15
sqrt(r0^2-(x16a15).^2);
xmin=a17 - r0;xmax=a17 + r0;
x17=xmin:0.01:xmax;
y17=
b17
+
sqrt(r0^2-(x17a17).^2);
x18=xmin:0.01:xmax;
y18=b17
sqrt(r0^2-(x18a17).^2);
xmin=a19 - r0;xmax=a19 + r0;
x19=xmin:0.01:xmax;
y19=
b19
+
sqrt(r0^2-(x19a19).^2);
x20=xmin:0.01:xmax;
y20=b19
sqrt(r0^2-(x20a19).^2);

x25=xmin:0.01:xmax;
y25=
b25
+
sqrt(r0^2-(x25a25).^2);
x26=xmin:0.01:xmax;
y26=b25
sqrt(r0^2-(x26a25).^2);
xmin=a27 - r0;xmax=a27 + r0;
x27=xmin:0.01:xmax;
y27=
b27
+
sqrt(r0^2-(x27a27).^2);
x28=xmin:0.01:xmax;
y28=b27
sqrt(r0^2-(x28a27).^2);
xmin=a29 - r0;xmax=a29 + r0;
x29=xmin:0.01:xmax;
y29=
b29
+
sqrt(r0^2-(x29a29).^2);
x30=xmin:0.01:xmax;
y30=b29
sqrt(r0^2-(x30a29).^2);
xmin=a31 - r0;xmax=a31 + r0;
x31=xmin:0.01:xmax;
y31=
b31
+
sqrt(r0^2-(x31a31).^2);
x32=xmin:0.01:xmax;
y32=b31
sqrt(r0^2-(x32a31).^2);
xmin=a33 - r0;xmax=a33 + r0;
x33=xmin:0.01:xmax;
y33=
b33
+
sqrt(r0^2-(x33a33).^2);
x34=xmin:0.01:xmax;
y34=b33
sqrt(r0^2-(x34a33).^2);
xmin=a35 - r0;xmax=a35 + r0;
x35=xmin:0.01:xmax;
y35=
b35
+
sqrt(r0^2-(x35a35).^2);
x36=xmin:0.01:xmax;
y36=b35
sqrt(r0^2-(x36a35).^2);
xmin=a37 - r0;xmax=a37 + r0;
x37=xmin:0.01:xmax;
y37=
b37
+
sqrt(r0^2-(x37a37).^2);
x38=xmin:0.01:xmax;
y38=b37
sqrt(r0^2-(x38a37).^2);

22
plot(x1,y1,'k',x2,y2,'k',x3,y3,'k',x4,y4,'k',x5,y5,'k',x6,y6,'k',x
7,y7,'k',x8,y8,'k',x9,y9,'k',x10,y10,'k',x11,y11,'k',x12,y12,'k',x
13,y13,'k',x14,y14,'k',x15,y15,'k',x16,y16,'k',x17,y17,'k',x18,y18
,'k',x19,y19,'k',x20,y20,'k',x21,y21,'k',x22,y22,'k',x23,y23,'k',x
24,y24,'k',x25,y25,'k',x26,y26,'k',x27,y27,'k',x28,y28,'k',x29,y29
,'k',x30,y30,'k',x31,y31,'k',x32,y32,'k',x33,y33,'k',x34,y34,'k',x
35,y35,'k',x36,y36,'k',x37,y37,'k',x38,y38,'k')

23

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Madiun pada tanggal 6 Februari 1991 sebagai anak
pertama dari dua bersaudara, dengan ayah bernama Wana’I, SE dan ibu bernama
Dra. Siti Masngudah.
Pada tahun 2009, penulis lulus dari SMA Negeri 47 Jakarta Selatan dan
pada tahun yang sama diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan
Seleksi Masuk IPB (USMI).
Selama mengikuti perkuliahan di IPB, penulis pernah menjadi pengurus
GUMATIKA divisi Kewirausahaan pada tahun 2011. Penulis aktif dalam OMDA
Jakarta Community (J-Co) sebagai ketua divisi Akademik periode 2011/2012 dan
aktif dalam beberapa kepanitiaan di kampus dan di organisasi.
Penulis pernah menjadi tentor matematika di Sony Sugema College (SSC)
pada tahun ajaran 2011/2012. Pada tahun 2013 penulis melaksanakan praktik
kerja lapang sebagai analis data di Mediatrac Jakarta Selatan.