Uji Komputasi Algoritme Modifikasi Newton-Like Untuk Menyelesaikan Optimasi Nonlinear Tanpa Kendala

UJI KOMPUTASI ALGORITME MODIFIKASI NEWTONLIKE UNTUK MENYELESAIKAN OPTIMASI NONLINEAR
TANPA KENDALA

RAHMAH LAILA

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Uji Komputasi Algoritme
Modifikasi Newton-Like untuk Menyelesaikan Optimasi Nonlinear Tanpa
Kendala adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.

Bogor, September 2016

Rahmah Laila
NIM G651140211

RINGKASAN
RAHMAH LAILA. Uji Komputasi Algoritme Modifikasi Newton-Like untuk
Menyelesaikan Optimasi Nonlinear Tanpa Kendala. Dibimbing oleh BIB
PARUHUM SILALAHI dan IMAS SUKAESIH SITANGGANG.
Dalam perkembangan kehidupan saat ini banyak dijumpai kegiatan yang
berhubungan dengan optimasi dan diimplementasikan dalam berbagai bidang
seperti ekonomi, pertanian, keteknikan, sains, industri dan berbagai bidang
lainnya. Pengoptimasian yang baik akan mempertimbangkan metode yang
digunakan serta pemrograman dalam aspek komputasi.
Komputasi dapat didefinisikan sebagai cara untuk menemukan pemecahan
permasalahan dari data input dengan menggunakan suatu algoritme. Sebuah
algoritme yang baik dapat meminimumkan kebutuhan waktu dan ruang dalam
menyelesaikan sebuah fungsi. Banyak metode pengoptimasian yang bentuknya
sederhana akan tetapi membutuhkan waktu yang lama dalam proses

komputasinya. Oleh karena itu diperlukan suatu perbaikan dari metode
pengoptimasian baik dari segi kompleksitas ruang maupun waktunya. Salah satu
metode terbaik untuk menentukan solusi dari persamaan nonlinear menggunakan
metode Newton. Tujuan dari penelitian ini adalah mengkombinasikan algoritme
Newton, Invers Newton dengan algoritme Halley untuk melihat efesiensi
algoritme serta membandingkan hasil uji komputasi dari modifikasi algoritme
baru dengan metode Newton untuk menyelesaikan persamaan optimasi nonlinear
tanpa kendala.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa dengan menggunakan kombinasi
algoritme metode Newton, Invers Newton dan Halley (NIH) dan kombinasi
algoritme metode Newton, Harmonik, Invers dan Secant (NHIS), kedua algoritme
dapat digunakan untuk mencari solusi akar dari fungsi-fungsi nonlinear yang
diberikan. Berdasarkan hasil percobaan uji komputasi, secara umum metode NIH
mempunyai kinerja yang lebih unggul dari aspek jumlah iterasi dan running time,
akan tetapi tidak untuk metode NHIS dari aspek running time. Namun untuk
beberapa kasus fungsi metode NIH memperoleh nilai running time yang besar.
Hal ini disebabkan karena dalam proses iterasi metode NIH melakukan evaluasi
fungsi sebanyak tiga kali dan NHIS sebanyak empat kali evaluasi fungsi, sehingga
waktu proses penyelesaian masalahnya meningkat. Walaupun begitu, secara
umum dapat disimpulkan bahwa rata-rata running time metode NIH dapat

menyeimbangi bahkan lebih kecil dari metode N, H, NH dan IH yang secara garis
besar mempunyai running time yang kecil. Dari segi akurasi atau ketepatan,
metode NIH dan metode NHIS dalam mencari solusi akar khususnya pada fungsifungsi nonlinear yang cukup sulit memperoleh hasil yang lebih mendekati pada
nilai akar yang diinginkan. Metode Halley yang digunakan untuk kombinasi
algoritme NIH sangat berpengaruh terhadap besarnya banyak iterasi dan running
time. Dengan menggunakan kombinasi metode Halley, maka iterasi yang
diperoleh dalam pencarian solusi akar sebuah fungsi menjadi lebih sedikit, hanya
saja metode Halley memuat turunan kedua dari sehingga membutuhkan cost
yang lebih banyak untuk eksekusi program.
Kata kunci: Invers newton, iterasi, metode Halley, metode Newton, optimasi,
running time.

SUMMARY
RAHMAH LAILA. Computational Test Modified Newton-Like Algorithm for
Solving Non-Linear Optimization Without Constraint. Supervised by BIB
PARUHUM SILALAHI and IMAS SUKAESIH SITANGGANG.
In the present life, activities related to optimization are often found and
implemented in various fields such as an economy, agriculture, engineering,
science, industry and other areas. A good optimization will consider the methods
employed as well as programming in computational aspects.

Computation can be defined as a way to find a solution the problem of input
data with an algorithm. A suitable algorithm can minimize the needs of time and
space to complete a function. Many methods of optimizing that are simple but
requires a long time in computation process. Therefore, we need an improvement
of methods of optimization in terms space and time complexity. One of the best
methods to determine the solution of nonlinear equations is Newton's method. The
purpose of this study to combine the Newton algorithm, the Inverse Newton with
Halley algorithm to see the efficiency of algorithms and computational comparing
test results from modification of the new algorithm with Newton's method to solve
nonlinear equations optimization without constraints.
These results showed that using a combination of algorithmic methods of
Newton, Inverse Newton and Halley (NIH) and the combination algorithm
method of Newton, Harmonic, Inverse and secant (NHIS), can be used to find
solutions root of nonlinear functions are given. Based on the test results of
computational experiments, the general method of NIH has a superior
performance concerning the number of iterations and running time. But, for some
cases of a function of NIH and obtained the increased value of running time. This
is because the process of iterative NIH method to evaluate the three times of
function and NHIS method to evaluate the three times of function so that the
solution of processing time the problem increases. However, in generally it can be

concluded that the average of running time NIH method be able to balance out the
even smaller than N,H, NH and IH methods that have a short of running time
value. Concerning accuracy or precision, NIH methods and NHIS methods in
finding a solution to the root especially nonlinear functions are quite difficult to
obtain a closer result of desirable value. Halley method is used for a combination
of very influential on many iterations and the amount of running time. By using a
combination of Halley methods, then iterations obtained in search of the roots of a
function solutions becoming fewer, but the Halley method containing of the
second derivative of f thus requiring more cost for program execution.
Keywords: Halley method, Invers Newton,
optimization, running time.

iteration,

Newton

method,

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang

Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

UJI KOMPUTASI ALGORITME MODIFIKASI NEWTONLIKE UNTUK MENYELESAIKAN OPTIMASI NONLINEAR
TANPA KENDALA

RAHMAH LAILA

Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Ilmu Komputer

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Eng Wisnu Ananta Kusuma ST MT

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis berhasil menyelesaikan tugas
akhir ini. Tugas akhir ini disusun sebagai laporan penelitian yang telah dilakukan
penulis sejak bulan januari 2016 dengan judul Uji Komputasi Algoritme
Modifikasi Newton-Like untuk Menyelesaikan Optimasi Nonlinear Tanpa
Kendala
Alhamdulillah atas bimbingan dan petunjuk dari Allah Subhana wa ta'ala
serta bimbingan dari semua pihak, penyusunan tugas akhir ini dapat diselesaikan.
Tugas akhir ini tidak mungkin dapat diselesaikan tanpa adanya bantuan dari
berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terimakasih dan
penghargaan yang setinggi-tingginya kepada:
1.

2.

3.
4.

5.

Ayah, Ibu serta adik-adik yang selalu mendoakan, memberi nasihat, kasih
sayang, semangat, dan dukungan sehingga penelitian ini bisa diselesaikan
dengan baik.
Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom dan Ibu Dr Imas Sukaesih
Sitanggang, SSi MKom selaku dosen pembimbing I dan II yang selalu
bersedia membantu, memberi saran, masukan dan ide-ide dalam penelitian
ini.
Bapak Dr Eng Wisnu Ananta Kusuma ST MT selaku dosen penguji atas
kesediannya sebagai penguji pada tugas akhir.
Teman-teman mahasiswa Magister Ilmu Komputer angkatan 2014 yang dua
tahun ini telah bersedia berbagi ilmunya selama masa perkuliahan dan
pelaksanaan penelitian.
Departemen Ilmu Komputer IPB, staf dan dosen yang telah banyak

membantu selama masa perkuliahan hingga penelitian.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat.

Bogor, September 2016
Rahmah Laila

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

1 PENDAHULUAN

Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Ruang Lingkup Penelitian
Manfaat Penelitian

1
1
2
3
3
3

2 TINJAUAN PUSTAKA
Algoritme
Optimasi Matematik
Deret Konvergen dan Deret Divergen
Metode Harmonik Newton
Metode Secant
Metode Iterasi Newton

Metode Iterasi Newton Invers Secant (NIS)
Metode Iterasi Jain
Metode Halley
Metode Iterasi Newton Halley (NH)
Metode Iterasi Invers Halley (IH)
Iterasi

3
3
4
4
4
4
5
6
6
7
7
7
8

3 METODE
Tempat dan Waktu Penelitian
Perangkat Penelitian
Tahapan Penelitian

8
8
8
8

4 HASIL DAN PEMBAHASAN
10
Kombinasi dan Formulasi Metode Newton, Invers Newton dengan
Metode Halley
11
Kombinasi dan Formulasi Metode Newton, Harmonik, Invers dan
Metode Secant
12
Pembuatan Algoritme
13
Implementasi Algoritme
14
Pengujian Komputasi
15
5 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran

23
23
23

DAFTAR PUSTAKA

24

LAMPIRAN

26

RIWAYAT HIDUP

41

DAFTAR TABEL
1 Perbandingan jumlah iterasi masing-masing metode untuk toleransi
16
2 Perbandingan running time masing-masing metode untuk toleransi
18
3 Perbandingan rata-rata running time masing-masing metode untuk tiga
kali uji komputasi
4 Perbandingan nilai akar masing-masing metode untuk toleransi -

18
20

DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8

Interpretasi metode Newton
Tahapan penelitian metode NIH
Tahapan Penelitian metode NHIS
Perbandingan banyak iterasi dan running time (a)
dengan
toleransi
dan (b) dengan
toleransi
Perbandingan banyak iterasi dan running time (a)
dengan
toleransi
dan (b) dengan
toleransi
Perbandingan banyak iterasi dan running time (a) dengan
toleransi
dan (b) dengan
toleransi
Perbandingan banyak iterasi dan running time (a) dengan
toleransi
dan (b) dengan
toleransi
Perbandingan banyak iterasi dan running time
dengan
toleransi

6
9
10
20
20
21
21
21

DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks dari setiap metode menggunakan program Matlab
2 Perbandingan jumlah iterasi masing-masing metode untuk toleransi

27
33

3 Perbandingan running time masing-masing metode untuk toleransi
34
4 Perbandingan nilai akar untuk masing-masing metode dengan toleransi
-

5 Perbandingan selisih nilai akar sebenarnya dan akar pendekatan untuk
masing-masing metode dengan toleransi 6 Perbandingan jumlah iterasi untuk masing-masing metode dengan tiga
kali uji komputasi
7 Perbandingan running time untuk masing-masing metode dengan tiga
kali uji komputasi
8 Perbandingan jumlah iterasi dan running time masing-masing untuk
toleransi -

35
36
37
38
39

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam perkembangan kehidupan saat ini banyak dijumpai kegiatan yang
berhubungan dengan optimasi. Tujuan dari optimasi untuk memaksimumkan
atau meminimumkan fungsi yang diberikan. Pengoptimasian biasa dijumpai atau
diimplementasikan dalam berbagai bidang seperti ekonomi, pertanian,
keteknikan, sains, industri dan berbagai bidang lainnya. Penggunaan optimasi
tersebut tidak terlepas dari ilmu eksakta yang erat dengan rumus dan perhitungan
yang dapat dijadikan sebagai alat untuk menyederhanakan pembahasan masalah.
Menurut fungsinya optimasi terbagi menjadi dua yaitu optimasi linear dan
optimasi nonlinear. Adapun dari segi bentuknya optimasi dibedakan menjadi
optimasi berkendala dan optimasi tanpa kendala. Optimasi berkendala adalah
optimasi yang memperhatikan faktor-faktor pembatas dalam penyelesaian
optimasi. Adapun optimasi tanpa kendala adalah optimasi yang tidak dipengaruhi
oleh faktor-faktor pembatas pada proses perhitungan sampai optimasi tercapai.
Kegiatan optimasi erat kaitannya dengan mencari nilai terbaik dari suatu
fungsi. Akan tetapi, pengoptimasian yang baik akan mempertimbangkan metode
digunakan serta pemrograman dalam aspek komputasi. Komputasi erat kaitannya
dengan kompleksitas waktu. Komputasi dapat didefinisikan sebagai cara untuk
menemukan pemecahan permasalahan dari data input dengan menggunakan
suatu algoritme. Sebuah algoritme dikatakan baik jika dapat meminimumkan
kebutuhan waktu dan ruang dalam menyelesaikan sebuah fungsi. Pada
kenyataannya banyak metode pengoptimasian yang bentuknya sederhana akan
tetapi membutuhkan waktu yang lama dalam proses komputasinya. Dua aspek
penting dalam merekonstruksi sebuah algoritme adalah orde kekonvergenan serta
komputasi yang efesien (Sharma et al. 2011). Oleh karena itu diperlukan suatu
perbaikan dari metode pengoptimasian baik dari segi kompleksitas ruang
maupun waktunya.
Metode optimasi pada umumnya dapat dilakukan secara analitik maupun
numerik. Namun untuk kasus optimasi tanpa kendala khususnya dengan
persamaan nonlinear, terdapat masalah persamaan nonlinear yang tidak dapat
diselesaikan secara analitik. Dengan demikian, diperlukan teori khusus untuk
memudahkan penyelesaian masalah tersebut. Salah satu teori yang biasa
digunakan yaitu metode numerik. Metode numerik yang digunakan dalam
masalah optimasi biasanya bersifat iteratif yang secara matematis dapat dibentuk
suatu hubungan antar variabel atau parameter. Hal ini akan menjadi lebih baik
jika pola hubungan yang dibentuk dapat dijabarkan dalam bentuk fungsi. Metode
numerik dapat disajikan dalam bentuk algoritme-algoritme yang dapat dihitung
secara cepat dan mudah. Ada suatu cara efektif yang dapat digunakan dalam
menyelesaikan persamaan optimasi nonlinear, yaitu dengan metode Newton
(Rochmad 2013). Tujuan utama optimasi ialah mencari nilai maksimum atau
minimum sebuah persamaan. Akan tetapi, dalam pencarian nilai maksimum dan
minimum persamaan nonlinear diperlukan turunan pertama fungsi yang

2

membuat fungsi tersebut menjadi nol
(Homeier 2005). Dalam hal ini
nilai ialah akar dari fungsi .
Metode Newton merupakan salah satu metode terbaik untuk menentukan
solusi akar dari persamaan nonlinear (Sánchez 2009). Pada perkembangannya
metode ini telah mengalami banyak kemajuan, tidak hanya mencari akar dari
suatu fungsi, namun metode ini juga digunakan untuk mencari titik optimal dari
suatu persamaan dalam optimasi nonlinear. Metode Newton merupakan satu dari
teknik terbaik untuk menyelesaikan persamaan nonlinear dan meminimumkan
fungsi. Metode ini sangat mudah untuk diimplementasikan dan sering konvergen
dengan cepat menurut Kumar et al. (2013), bila iterasi dimulai cukup dekat
dengan akar yang diinginkan.
Beberapa peneliti mencari metode yang paling efektif dan efesien
sehingga metode Newton banyak mengalami modifikasi, seperti yang telah di
kembangkan oleh beberapa peneliti diantaranya Werakoon dan Fernando (2000).
Mereka memodifikasi metode Newton menggunakan aturan trapesium sehingga
menghasilkan metode Trapesium Newton yang memiliki orde kekonvergenan
kubik di mana metode tersebut lebih baik dari metode Newton. Hasil dari metode
WF telah memicu banyak penelitian terhadap metode Newton. Penelitian
tersebut dilakukan untuk mendapatkan algoritme pencarian nilai akar fungsi
nonlinear dan memungkinkan untuk meningkatkan orde kekonvergenannya
kesuatu nilai. Peneliti berikutnya Frontini (2003) dan Ozban (2004) dengan
mengaproksimasikan integral Newton menggunakan aturan midpoint yang
hasilnya mendapatkan metode midpoint Newton, rata-rata Aritmatik Newton
untuk metode Aritmatik Newton dan rata-rata Harmonik Newton untuk metode
Harmonik Newton, seluruh metode ini juga menghasilkan orde kekonvergenan
kubik yang sama dengan metode WF. Penelitian selanjutnya dilakukan oleh
Homeier (2005) memodifikasi metode Newton dengan menggunakan fungsi
Invers dan juga menghasilkan orde kekonvergenan kubik. Kemudian Noor
(2006) memodifikasi metode Halley dengan konsep dasar metode Newton dan
menghasilkan beberapa pengembangan baru dari metode Halley sehingga
menghasilkan performa yang lebih baik.
Berdasarkan penelitian-penelitian yang telah dilakukan, maka penelitian
ini akan menggunakan metode Newton, Invers Newton yang dikombinasikan
dengan metode Halley untuk memperoleh iterasi yang cepat namun konvergen
mendekati nilai eksak. Modifikasi yang dilakukan diharapkan dapat memperkecil
kompleksitas ruang dan waktu yang dibutuhkan algoritme serta dapat
memperoleh solusi berupa nilai akar dari suatu fungsi optimasi.
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dijabarkan maka rumusan masalah
yang akan dikaji pada penelitian ini adalah :
1. Bagaimana mengkombinasi algoritme Newton, Invers Newton dengan
algoritme Halley untuk melihat efesiensi algoritme ?
2. Bagaimana perbandingan hasil uji komputasi dari modifikasi algoritme
baru dengan metode Newton untuk menyelesaikan fungsi optimasi
nonlinear tanpa kendala ?

3

Tujuan Penelitian
1.
2.

Tujuan dari penelitian ini adalah :
Mengkombinasikan algoritme Newton, Invers Newton dengan algoritme
Halley untuk melihat efesiensi algoritme
Membandingkan hasil uji komputasi dari modifikasi algoritme baru
dengan metode Newton untuk menyelesaikan fungsi optimasi nonlinear
tanpa kendala.
Ruang Lingkup Penelitian

Ruang lingkup penelitian yang dilakukan meliputi:
1. Data uji komputasi yang digunakan merupakan data yang diperoleh dari
penelitian sebelumnya oleh (Werakoon dan Fernando 2000) yaitu sembilan
fungsi nonlinear
2. Fungsi nonlinear yang digunakan pada uji komputasi mewakili fungsifungsi yang sulit seperti fungsi polinomial, logaritmik, trigonometri, dan
eksponensial.
Manfaat Penelitian
Kombinasi metode yang diperoleh dari penelitian dapat dijadikan sebagai
referensi terbaru untuk membantu penyelesaian masalah-masalah khususnya
mencari akar dari fungsi yang cukup sulit seperti fungsi nonlinear dan fungsi
derivative (turunan).

2 TINJAUAN PUSTAKA
Algoritme
Secara umum algoritme adalah prosedur komputasi yang terdefenisi
secara baik dengan mengambil beberapa nilai, atau himpunan dari nilai-nilai
yang dijadikan sebagai input dan menghasilkan beberapa nilai atau himpunan
nilai-nilai sebagai output. Dengan demikian sebuah algoritme adalah urutan
langkah yang mentransformasikan input ke output (Cormen et al. 2009).
Sebuah algoritme dapat dijadikan sebagai alat untuk memecahkan masalah
komputasi yang lebih spesifik. Secara umum terdapat hubungan antara input dan
output yang diinginkan. Algoritme dapat menggambarkan prosedur komputasi
khusus untuk mencapai hubungan input dan output (Cormen et al. 2009).
Optimasi Matematik
Optimasi matematika sering disebut dengan nonlinear programing,
pemrograman matematika atau optimasi numerik. Istilah optimasi matematik
dapat dijelaskan sebagai suatu ilmu untuk menentukan solusi terbaik secara

4

matematik pada suatu permasalahan. Pada umumnya optimasi matematik
menurut (Snyman 2005) adalah proses dari :
(i)
Formulasi
(ii)
Solusi dari masalah optimasi dibatasi dari bentuk umum matematik :
Meminimumkan
harus memenuhi kendala :
(1)
di mana
dan
adalah fungsi skalar.
pada komponen
disebut dengan desain variabel,
adalah fungsi tujuan,
disebut fungsi
kendala dan
disebut dengan fungsi kendala kesetaraan.
Defenisi Orde Konvergensi
Misalkan adalah akar dari persamaan nonlinear dan
adalah barisan
yang konvergen ke , defenisikan nilai error sebagai berikut (Chasnov 2012):
(2)
Untuk besar memiliki hubungan penaksiran :
|
|
| |
(3)
Nilai disebut orde konvergensi, dengan adalah konstanta positif.
Deret Konvergen dan Deret Divergen
Deret konvergen yaitu suatu deret di mana jumlah ( ) dari n suku dari
deret tersebut cenderung mendekati suatu nilai tertentu, yaitu ketika
. Jika
( ) tidak mendekati satu nilai tertentu ketika
, maka deret ini disebut
dengan deret divergen (Stroud 2003).
Metode Harmonik Newton
Metode Harmonik Newton adalah varian dari metode Newton. Pada
penelitian Ozban (2004) mengaproksimasi integral dengan aturan titik tengah
(midpoint) yang dianalogkan dengan rata-rata Harmonik, maka menghasilkan
metode Harmonik Newton. Untuk menghitung metode Harmonik Newton
menggunakan persamaan 4 berikut (Ozban 2004) :
̅

(4)

di mana adalah tebakan awal fungsi,
adalah fungsi awal yang
diberikan,
adalah turunan pertama fungsi, dan
menyatakan turunan
pertama fungsi dengan
adalah nilai tebakan awal berikutnya.
Metode Secant
Metode Secant merupakan metode terbaik kedua setelah metode Newton
yang digunakan untuk memperoleh konvergensi yang cepat (Chavnov 2012).
Untuk menghitung metode newton menggunakan persamaan 5 (Chavnov 2012)
sebagai berikut :

5

(5)
di mana
merupakan nilai tebakan awal fungsi. Karena metode
Secant adalah salah satu metode iteratif yang mana proses perhitungannya
menghasilkan urutan atau rentetan solusi, maka
menyatakan nilai yang
diperoleh dari solusi perhitungan sebelumnya. Sedangkan
menyatakan
fungsi dengan nilai substitusi
dan
menyatakan fungsi dengan nilai
substitusi
.
Metode Iterasi Newton
Metode iterasi Newton adalah salah satu metode yang dipandang sebagai
metode untuk mencari akar dari suatu fungsi. Metode ini banyak dikembangkan
untuk memecahkan masalah optimasi multivariabel. Metode iterasi Newton
diinterpretasikan sebagai pendekatan kuadratik dari suatu fungsi tujuan .
Misalkan untuk mencari akan-akar persamaan
di mana merupakan
penyelesaian dari persamaan tersebut. Pada solusi eksak
nilai fungsi yang
dan nilai dari turunan fungsi pertama adalah
dapat dinyatakan sebagai
. Nilai
merupakan solusi yang diperoleh pada iterasi ke-k. Andaikan
berubah dari
menjadi
maka perubahan
adalah
.
Selanjutnya, metode Newton dapat ditinjau dari tiga suku pertama dari suatu
deret Taylor disekitar
pada iterasi k, yaitu (Luenberger dan Ye 2008) :
(6)
Syarat perlu untuk mencari titik optimum dari pers (6) adalah
(7)
sehingga (Luenberger dan Ye 2008) :
(8)
Pada setiap iterasi k, titik optimum dari pendekatan kuadratik menjadi
titik yang akan digunakan untuk membuat fungsi pendekatan kuadratik yang
selanjutnya. Jadi nilai
dibuat sama dengan
dalam persamaan (8) untuk
mendapatkan rumus iterasi Newton sebagai berikut (Luenberger dan Ye 2008) :
(7)
Proses ini diilustrasikan pada Gambar 1 (Luenberger dan Ye 2008) :

Gambar 1 Interpretasi metode Newton

6

Metode Iterasi Newton Invers Secant (NIS)
Kombinasi metode NIS diperoleh dari penelitian Jain (2013), yang mana
sebelumnya modifikasi metode Invers Newton diperoleh dari penelitian Homeier
(2005), kemudian Jain mengkombinasikan dengan metode Secant. Berikut adalah
modifikasi metode Newton Invers Secant (Jain 2013) :
(9)
̅

(10)
̅

̅

̅
̅

̅

(11)

Tahapan perhitungan dengan Metode NIS adalah, menghitung metode
Newton terlebih dahulu. Kemudian hasil perhitungan dari metode Newton
persamaan 9 berupa titik
disubstitusikan pada metode Invers persamaan 10.
Selanjutnya hasil perhitungan dari persamaan 10 berupa titik ̅ menjadi inputan
dengan mensubstitusikan nilai ̅ pada metode Secant persamaan 11.
Metode Iterasi Jain

Jain (2013) pada penelitiannya menggunakan kombinasi metode Secant
dengan modifikasi metode Newton yang telah dikembangkan oleh Weerakoon
dan Fernando (2000) yaitu aturan trapesium dan Homeier (2005) yaitu fungsi
Invers. Jain mendapatkan formula yang disebut dengan metode secant trapesium
Newton dan metode secant Invers Newton. Adapun bentuk dari hasil penurunan
metode secant trapesium Newton (Jain 2013):
̅
(12)
̅
̅
̅
di mana
dengan

̅

(13)

(14)

Berikutnya dengan cara yang sama untuk menurunkan metode secant
Invers Newton dimulai dengan modifikasi metode Newton yang telah
dikembangkan oleh Homeier (2005) yang selanjutnya dikombinasikan dengan
bentuk alternatif metode Secant. Adapun bentuk dari hasil penurunan metode
secant Invers Newton (Jain 2013):
(15)
dengan
̅

dengan cara yang sama, pada metode (12) di mana (Jain 2013) :
̅
̅
̅
̅

(16)

(17)

7

Metode Halley
Metode Halley adalah metode yang memilki algoritme orde ketiga.
Algoritme tersebut konvergen kubik, yang mana jumlah signifikan digit akhirnya
sejauh tiga kali lipat untuk masing-masing iterasi. Metode halley tidak hanya
melakukan turunan pertama dari orde ketiga iterasi fungsi, tetapi terus berlanjut
sampai turunan kedua (Scavo dan Thoo 1994).
Seperti yang kita ketahui bahwa metode Newton merupakan metode iteratif
untuk menghitung pendekatan dari akar (root)
dengan menggunakan
persamaan 18 (Scavo dan Thoo 1994) :
,

(18)

berdasarkan persamaan 18 yang diturunkan menggunakan deret taylor
polynomial tingkat pertama sebagai berikut (Scavo dan Thoo 1994) :
(19)
maka di peroleh rumus metode Halley dengan menggunakan turunan dari deret
taylor polynomial tingkat dua seperti pada persamaan 20 berikut (Scavo dan
Thoo 1994)
̅
̅
̅
(20)
̅
̅
̅
Metode Iterasi Newton Halley (NH)

Beberapa penelitian tentang modifikasi maupun kombinasi metode
iteratif telah banyak dilakukan. Diantaranya adalah penelitian Noor et al (2006)
yang mengembangkan salah satu dari metode iteratif yaitu metode Halley
menggunakan metode Newton. Berikut adalah kombinasi metode Newton Halley
(Noor et al. 2006) :
(21)
̅

̅

̅
̅

̅
̅

(22)

Tahapan perhitungan dengan Metode NH adalah, menghitung metode
Newton terlebih dahulu. Kemudian hasil perhitungan dari metode Newton
persamaan 21 berupa titik
akan menjadi inputan pada metode Halley
persamaan 22. Dengan mengganti nilai ̅ pada persamaan 22 dan
mensubstitusikan nilai
̅ .
Metode Iterasi Invers Halley (IH)

Metode Halley adalah metode konvergen kubik untuk akar sederhana dan
memerlukan turunan kedua dari fungsi yang terkadang memerlukkan cost yang
besar untuk memperolehnya (Putra et al. 2012). Bedasarkan hal tersebut maka
kombinasi dari metode IH dengan menghitung metode Invers pada persamaan 23
(Homeier 2005) :
̅

(23)

8

dan metode Halley pada persamaan 24 (Noor et al. 2006) :
̅
̅
̅
̅
̅
̅

(24)

Tahapan perhitungan dengan Metode IH adalah, menghitung metode
Invers terlebih dahulu. Kemudian hasil perhitungan dari metode Invers
persamaan 23 berupa titik ̅ akan menjadi inputan pada metode Halley
persamaan 24, yaitu dengan mensubstitusikan nilai ̅ .
Iterasi

Iterasi adalah sifat tertentu dari algoritme atau program computer di mana
suatu urutan atau lebih dari langkah algoritmik yang dilakukan pada loop
program. Iterasi merupakan proses yang dilakukan secara berulang dalam
menyelesaikan permasalahan numerik (Chapman 2008).

3 METODE
Tempat dan Waktu Penelitian
Lokasi penelitian bertempat di Lab CI (computer intelligence)
Departemen Ilmu Komputer, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengethuan Alam
(FMIPA), Institut Pertanian Bogor (IPB). Penelitian ini dilaksanakan pada bulan
Januari 2016 – Mei 2016.
Perangkat Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan perangkat keras dan
perangkat lunak sebagai berikut :
Perangkat keras berupa komputer personal dengan spesifikasi sebagai berikut :
 Processor Intel (R) Pentium (R) CPU B970@2.30Ghz
 RAM 2 GB
 Mouse dan keyboard
Perangkat lunak yang digunakan adalah sebagai berikut :
 Sistem operasi windows 7 Ultimate 32-bit
 Microsoft Excel 2013 untuk pegolahan data
 Matlab R2010b ver. 7.11.0 untuk pengujian komputasi
Tahapan Penelitian
Langkah awal yang dilakukan pada penelitian ini melalui kajian literatur.
Selanjutnya akan mengkombinasikan serta menformulasikan metode Newton,
Invers Newton dengan metode Halley. Kemudian membuat algoritme dari
metode yang telah diusulkan. Penelitian dilanjutkan dengan melakukan
implementasi algoritme yang telah dibuat program komputer. Kemudian tahap
pengujian komputasi dilakukan untuk membandingkan metode yang diusulkan

9

dengan metode Newton tanpa modifikasi. Tahapan penelitian metode kombinasi
metode Newton Invers Halley (NIH) dapat dilihat pada Gambar 2.
Mulai

Studi literatur

Kombinasi dan
formulasi metode
Newton, invers Newton
dengan metode Halley

Selesai

Hasil
formulasi

Pengujian
Komputasi

Pembuatan algoritme
Newton,invers Newton
dan metode Halley

Implementasi
algoritme

Gambar 2 Tahapan penelitian metode NIH
Studi Literatur
Pada tahap ini peneliti mengumpulkan semua bahan berupa buku dan
jurnal yang berhubungan dengan metode Newton dan metode Halley.
Kombinasi dan Formulasi Metode Newton, Invers Newton dengan Metode
Halley
Pada tahap ini dikombinasikan metode Newton, Invers Newton dengan
metode Halley. Dalam proses ini akan dicoba kombinasi metode yang sejenis dan
masih dalam satu kategori metode iteratif sehingga metode tersebut dapat
menyelesaikan suatu masalah yang diberikan berupa pencarian titik untuk solusi
sebuah fungsi. Setelah diperoleh hasil kombinasi metode Newton, Invers Newton
dengan metode Halley kemudian metode-metode tersebut akan diformulasikan
sehingga dapat diketahui proses evaluasi fungsi dalam satu kali iterasi. Proses
formulasi metode yaitu dengan mensubstitusikan hasil perhitungan satu formula
ke formula berikutnya dalam setiap satu kali terasi.
Pembuatan Algoritme
Pada tahap ini dibuat algoritme berdasarkan hasil dari kombinasi metode
yang diusulkan. Tahapan ini dilakukan dengan menyesuaikan langkah-langkah
iterasi pada metode yang diusulkan dengan algoritme yang dibuat.
Implementasi Algoritme
Hasil analisis yang diperoleh kemudian diimplementasikan menggunakan
sebuah aplikasi Matlab. Hasil implementasi kemudian digunakan untuk
mempermudah tahap pengujian komputasi.
Pengujian Komputasi
Pada tahap ini akan dilakukan uji komputasi untuk membandingkan
kemampuan metode yang diusulkan dengan metode Newton tanpa modifikasi
dengan menggunakan beberapa contoh fungsi nonlinear tanpa kendala dari aspek
jumlah iterasi. Hasil uji komputasi ini juga digunakan untuk melihat waktu
tempuh (running time) yang dibutuhkan algoritme untuk menyelesaikan beberapa
fungsi yang telah diberikan. Berikut adalah persamaan yang digunakan untuk

10

data uji komputasi dengan
dan Fernando 2000) :

adalah root dari masing-masing fungsi (Weerakoon

Tahapan penelitian metode NHIS sama dengan metode NIH, yaitu
mengkombinasikan serta menformulasikan metode Newton, Harmonik, Invers
Newton dan Secant. Kemudian membuat algoritme dari metode yang telah
diusulkan. Penelitian dilanjutkan dengan melakukan implementasi algoritme
yang telah dibuat program komputer. Kemudian tahap pengujian komputasi
dilakukan untuk membandingkan metode yang diusulkan dengan metode Newton
tanpa modifikasi menggunakan fungsi-fungsi nonlinear berdasarkan penelitian
Werakoon dan Fernando (2000). Tahapan penelitian metode kombinasi metode
Newton Harmonik Invers Secant (NHIS) dapat dilihat pada Gambar 3.

Mulai

Kombinasi dan
formulasi metode
Newton, Harmonik,
invers, Secant

Selesai

Hasil
formulasi

Pembuatan
algoritme Newton,
Harmonik, invers,
Secant

Pengujian
Komputasi

Implementasi
algoritme

Gambar 3 Tahapan penelitian metode NHIS

4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Kombinasi dan Formulasi Metode Newton, Invers Newton dengan Metode
Halley
Kombinasi metode yang digunakan pada penelitian ini adalah metode
Newton, metode Invers Newton dan metode Halley yang mana ketiga metode
tersebut mempunyai karateristik sama yaitu tergolong dalam metode iteratif.
Metode Newton merupakan metode pencarian akar yang penerapannya
memerlukan satu titik tebakan awal . Pemberian tebakan awal ini merupakan
kriteria dari suatu metode iteratif. Metode Newton juga tidak memerlukan cost
yang besar dalam pencarian akar fungsi, sehingga pada proses kombinasi
formula metode Newton diletakan pada langkah pertama. Secara umum formula

11

metode Newton untuk mencari nilai akar sebuah fungsi adalah seperti pada
persamaan 25 (Luenberger dan Ye 2008).
(25)
dengan
adalah titik tebakan awal,
menyatakan fungsi dengan
substitusi nilai titik tebakan awal, dan
menyatakan turunan pertama fungsi
dengan substitusi nilai titik tebakan awal.
Setelah ditentukan metode awal, maka tahap selanjutnya yaitu dengan
menambahkan formula metode Invers Newton yang berada pada langkah kedua
dalam proses pencarian akar fungsi. Metode Invers Newton yang dikembangkan
oleh (Homeier 2005) merupakan pengembangan dari metode Newton dengan
menggunakan fungsi Invers. Penggunaan metode Invers Newton pada langkah
kedua menghasilkan jumlah iterasi yang lebih sedikit dalam pencarian akar suatu
fungsi berdasarkan penelitian (Homeier 2005). Selanjutnya hasil perhitungan dari
persamaan 25 berupa titik
digunakan sebagai nilai yang disubstitusikan untuk
menemukan nilai akar pada langkah kedua menggunakan formula Invers Newton
pada persamaan 26 (Homeier 2005).
̅

(26)

dengan
menyatakan turunan pertama fungsi
) dengan
dari
hasil perhitungan langkah pertama pada persamaan 25.
Metode Halley merupakan salah satu metode iteratif dengan
kekonvergenan tiga. Artinya, setiap iterasi mendapatkan digit angka yang tepat
kira-kira sebanyak tiga. Formula metode Halley memuat turunan kedua sehingga
membutuhkan cost dan time yang cukup banyak dalam proses perhitungan. Oleh
karena itu, metode ini diletakkan pada langkah ketiga untuk mencari solusi
pendekatan dari sebuah fungsi yang diberikan. Bentuk umum dari formula
metode Halley adalah sebagai berikut (Noor et al. 2006)
̅
̅
(27)
̅
̅
̅
̅

dengan mengganti setiap nilai
pada formula metode Halley dengan nilai ̅
dari hasil pencarian akar sebelumnya, maka
̅ menyatakan sebuah fungsi
dengan substitusi nilai ̅ ,
̅ menyatakan fungsi turunan pertama dengan
substitusi nilai ̅ , dan
̅ menyatakan fungsi turunan kedua dengan
substitusi nilai ̅ . Perhitungan ini dilakukan untuk setiap proses iterasi dengan
tiga formula metode yang berbeda.
Kombinasi dan Formulasi Metode Newton, Harmonik, Invers dan Metode
Secant

Kombinasi metode yang digunakan berikut ini adalah metode Newton,
metode Harmonik, Invers dan metode Secant, yang mana keempat metode
tersebut mempunyai karateristik sama yaitu tergolong dalam metode iteratif.
Metode Newton adalah prosedur untuk menemukan akar dari suatu persamaan
yang paling dikenal. Metode ini telah banyak digunakan untuk mencari solusi
dari masalah yang cukup sulit seperti persamaan nonolinear, persamaan
diferensial, dan nonlinear integral (Atkinson 1988). Metode ini tidak selalu baik
dalam pemecahan masalah, namun sering digunakan karena kesederhanaannya

12

dan kecepatan konvergensi dalam memecahkan masalah nonlinear (Atkinson
1988). Metode Newton penerapannya memerlukan satu titik tebakan awal .
Pemberian tebakan awal ini merupakan kriteria dari suatu metode iteratif.
Metode Newton juga tidak memerlukan cost yang besar dalam pencarian akar
fungsi, sehingga pada proses kombinasi formula metode Newton diletakan pada
langkah pertama. Secara umum formula metode Newton untuk mencari nilai akar
sebuah fungsi seperti pada persamaan 28 (Luenberger dan Ye 2008):
(28)
dengan
adalah titik tebakan awal,
menyatakan fungsi dengan
substitusi nilai titik tebakan awal, dan
menyatakan turunan pertama fungsi
dengan substitusi nilai titik tebakan awal.
Tahap selanjutnya yaitu dengan menambahkan formula metode
Harmonik Newton yang berada pada langkah kedua dalam proses pencarian akar
fungsi. Metode Harmonik Newton yang dikembangkan oleh Ozban (2004)
merupakan varian dari metode Newton dengan menggunakan pendekatan
integral dengan aturan trapesium. Kemudian hasil perhitungan dari persamaan 28
berupa titik
disubstitusikan pada persamaan 29 untuk menemukan nilai akar
pada langkah kedua menggunakan formula Harmonik Newton (Putra 2013):
̅

(29)

dengan
menyatakan turunan pertama fungsi
) di mana
adalah hasil
perhitungan langkah pertama pada persamaan 28.
Langkah selanjutnya yaitu dengan menambahkan formula metode Invers
Newton yang berada pada langkah ketiga dalam proses pencarian akar fungsi.
Setelah dilakukan perhitungan metode Harmonik Newton, kemudian hasil
perhitungan dari persamaan 29 berupa titik ̅ digunakan sebagai nilai yang
disubstitusikan pada persamaan 30 untuk menemukan nilai akar pada langkah
ketiga menggunakan formula Invers Newton (Homeier 2005):
(30)
̅
dengan
̅ menyatakan turunan pertama fungsi
). Nilai ̅ adalah nilai
yang disubstitusi dari hasil perhitungan langkah kedua metode Harmonik
Newton pada persamaan 29.
Setelah menghitung formula metode Invers Newton, maka langkah
keempat yaitu menghitung metode Secant. Metode Secant merupakan salah satu
metode iteratif yang memiliki orde kekonvergenan linear (Putra 2013). Metode
ini diletakkan pada langkah keempat untuk mencari solusi pendekatan dari
sebuah fungsi yang diberikan. Bentuk umum dari formula metode Secant adalah
sebagai berikut (Chavnov 2012) :
(31)
dengan
merupakan titik tebakan awal, kemudian mengganti setiap nilai
pada formula metode Secant dengan nilai
dari hasil perhitungan
menyatakan sebuah fungsi dengan
sebelumnya persamaan 30, maka
substitusi nilai
. Perhitungan diatas dilakukan untuk setiap proses iterasi
dengan empat formula metode yang berbeda.

13

Pembuatan Algoritme
Hasil kombinasi dan fomulasi metode selanjutnya digunakan untuk
membuat algoritme yang mana setiap langkah penyelesaian untuk mengeksekusi
sebuah fungsi disesuaikan dengan langkah-langkah formulasi metode. Adapun
algoritme NIH dan Algoritme NHIS dituliskan dalam tahap-tahap sebagai
berikut:
Algoritme NIH (Newton Invers Halley)
Langkah 1. Diberikan fungsi awal
Langkah 2. Diberikan titik tebakan awal

dan batas toleransi

Langkah 3. Diberikan batas maksimum iterasi
Langkah 4. Hitung
Hitung ̅
Hitung

̅

̅

̅

̅

̅

̅

Langkah 5. Hitung
Langkah 6.Jika
atau iterasi mencapai titik maksimum, kembali ke
langkah 4
Langkah terpenting dalam proses kombinasi metode NIH berada pada
langkah 4 yaitu penentuan urutan formula untuk mengeksekusi sebuah fungsi
nonlinear yang diberikan. Urutan pertama ditempati oleh formula metode
Newton yang memiliki cost paling rendah. Hasil perhitungan dari metode
Newton berupa sebuah titik digunakan sebagai input dalam proses formula
metode Invers Newton. Kemudian urutan terakhir menggunakan formula metode
Halley yang mana proses inputan titiknya diperoleh dari hasil perhitungan
formula metode Invers Newton sehingga akan diperoleh titik
yang baru.
Proses ini akan terus berlangsung sampai kriteria berhenti terpenuhi. Meskipun
secara teoritis metode-metode yang digunakan dapat terbukti konvergen, tetapi
dalam prakteknya tidak dapat secara efektif konvergen untuk semua penyelesaian
fungsi. Hal ini tergantung pada nilai tebakan awal yang diberikan, jika tebakan
awal yang diberikan terlalu jauh dari akar sebenarnya maka hasil yang diperoleh
tidak terpenuhi atau hasilnya akan divergen. Berikut adalah tahap-tahap dari
algoritme metode NHIS :
Algoritme NHIS (Newton Harmonik Invers Secant)
Langkah 1. Diberikan fungsi awal
Langkah 2. Diberikan titik tebakan awal
dan batas toleransi
Langkah 3. Diberikan batas maksimum iterasi
Langkah 4. Hitung
Hitung ̅
Hitung

̅

14

Hitung
Langkah 5. Hitung
Langkah 6.Jika
atau iterasi mencapai titik maksimum, kembali ke
langkah 4
Langkah terpenting dalam proses kombinasi metode NHIS berada pada
langkah 4 yaitu penentuan urutan formula untuk mengeksekusi sebuah fungsi
nonlinear yang diberikan. Urutan pertama ditempati oleh formula metode
Newton yang memiliki cost paling rendah. Hasil perhitungan dari metode
Newton berupa sebuah titik yang digunakan sebagai input dalam proses formula
metode Harmonik Newton. Urutan berikutnya yaitu melakukan proses
perhitungan menggunakan metode Invers Newton dengan inputan dari hasil
perhitungan metode Harmonik. Kemudian proses perhitungan terakhir
menggunakan formula metode Secant yang mana proses inputan titiknya
diperoleh dari hasil perhitungan formula metode Invers Newton sehingga akan
diperoleh titik
yang baru. Proses ini akan terus berlangsung sampai kriteria
berhenti terpenuhi.
Pada algoritme metode Newton Invers Halley (NIH) dan metode Newton
Harmonik Invers Secant (NHIS) memerlukan sembarang nilai tebakan awal yaitu
. Selanjutnya metode ini memerlukan batas toleransi sebesar yang digunakan
untuk pemberhentian dari proses iterasi. Pembatasan ini dilakukan untuk
menentukan tingkat ketelitian dari solusi yang didapatkan. Semakin kecil
tolerensi yang diberikan maka solusi dari permasalahan akan semakin mendekati
ke nilai yang sebenarnya. Pada dasarnya untuk menentukan solusi numerik
mempunyai kriteria pemberhentian adalah sama untuk semua metode. Salah satu
kriteria untuk pembatasan proses iterasi program komputasi atau uji konvergesi
adalah selisih dua nilai atau titik terakhir yang disimbolkan dengan |
|
|
selain itu, dapat menggunakan nilai fungsi yaitu |
(Sharma
2011). Ketika salah satu kriteria terpenuhi maka proses iterasi komputasi akan
berhenti.
Implementasi Algoritme
Dari hasil pembuatan algoritme sebelumnya, algoritme tersebut
diimplementasikan kedalam sebuah program. Hal ini dilakukan untuk
mempermudah proses uji komputasinya. Hasil dari kedua implementasi
algoritme tersebut kemudian dibandingkan algoritme mana yang lebih baik
dalam hal ketepatan mencari solusi sebuah fungsi.
1. Implementasi algoritme NIH
Implementasi dengan algortime NIH pada program diawali dengan
mendefinisikan inputan untuk fungsi awal. Dalam formula metode Newton
dan Invers memuat turunan pertama fungsi serta metode Halley memuat
turunan kedua fungsi. Maka pada implementasi program perlu didefinisikan
turunan pertama dan turunan kedua ketika fungsi diinputkan. Setelah
pendefinisian turunan fungsi, maka dilakukan pendefenisian terhadap fungsi
dengan substitusi nilai untuk masing-masing variabel yang ada pada turunan
pertama dan turunan kedua fungsi. Selanjutnya mendefinisikan titik tebakan
awal, besar toleransi dan maksimum iterasi. Kemudian tahap berikutnya

15

yaitu memasukkan formula metode Newton, Invers dan Halley pada
program. Ketiga metode tersebut yang menghitung proses pencarian akar
dari fungsi yang diinputkan pada program. Akar yang diperoleh dari hasil
perhitungan metode NIH tersebut menjadi solusi akhir yang diperoleh saat
eksekusi program. Tahap terakhir dari implementasi algoritme NIH adalah
menghitung selisih dari nilai akar terakhir dan nilai akar sebelumnya yang
dijadikan sebagai syarat pemberhentian iterasi pada saat eksekusi program.
Jika selisih nilai akar yang diperoleh kurang dari toleransi yang diberikan,
maka proses eksekusi program akan berhenti. Sebaliknya jika tidak
memenuhi kriteria pemberhentian, maka proses eksekusi program akan terus
berjalan. Untuk implementasi lengkap algoritme NIH pada program dapat
dilihat di Lampiran 1.
2.

Implementasi Algoritme NHIS
Secara umum, langkah-langkah implementasi algoritme NHIS sama
dengan metode NHIS. Perbedaannya hanya pada implementasi program
untuk turunan fungsi dan proses implementasi formula metode NHIS. Pada
metode Newton, Harmonik, Invers dan Secant tidak memuat turunan kedua
fungsi, sehingga tidak perlu mendefinisikan turunan kedua fungsi. Setelah
pendefinisian turunan fungsi pertama, maka dilakukan pendefinisian
terhadap fungsi dengan substitusi nilai untuk masing-masing variabel yang
ada pada turunan fungsi dalam hal ini hanya fungsi dengan turunan pertama.
Tahap berikutnya yaitu memasukkan formula metode Newton, Harmonik,
Invers dan Secant pada program. Ketiga metode tersebut yang menghitung
proses pencarian solusi dari fungsi yang diinputkan pada program dan
menghasilkan sebuah akar. Akar yang diperoleh dari hasil perhitungan
metode NHIS tersebut menjadi solusi akhir yang diperoleh saat eksekusi
program. Tahap terakhir dari implementasi algoritme NHIS adalah
menghitung selisih dari nilai akar terakhir dan nilai akar sebelumnya yang
dijadikan sebagai syarat pemberhentian iterasi pada saat eksekusi program.
Jika selisih nilai akar yang diperoleh kurang dari toleransi yang diberikan,
maka proses eksekusi program akan berhenti. Sebaliknya jika tidak
memenuhi kriteria pemberhentian, maka proses eksekusi program akan terus
berjalan. Untuk implementasi lengkap algoritme NHIS pada program dapat
dilihat di Lampiran 1.
Pengujian Komputasi

Pada bagian ini pengujian komputasi dilakukan dengan cara
membandingkan hasil numerik dari setiap metode yang telah dijelaskan
sebelumnya dengan tujuan untuk melihat kelebihan dan kekurangan dari masingmasing metode. Adapun beberapa metode yaitu, Newton, NIS (Newton Invers
Secant), Halley, NH (Newton Halley), IH (Invers Halley), NHIS (Newton
harmonik Invers secant), NIH (Newton Invers Halley). Uji komputasi dilakukan
untuk kasus fungsi nonlinear dengan akar tunggal. Untuk masing-masing fungsi
nonlinear pada uji komputasi ini memiliki nilai tebakan awal yang berbeda-beda.
Fungsi
dengan
selanjutnya
dengan
;
dengan
; dengan
dengan
; dengan

16

;
dengan
;
dengan
;
dengan
.
Kemudian untuk toleransi yang digunakan sebesar
dan toleransi
.
Adapun perbandingan jumlah iterasi dari masing-masing kombinasi metode
untuk toleransi
ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1 Perbandingan jumlah iterasi masing-masing metode untuk toleransi

Total

Jumlah iterasi
H
NH
IH
7
74
8
4
3
3
4
3
3
53
25
24
5
3
3
5
4
3
2
2
2
4
4
3
44
3
2
4
3
2
5
4
3
4
4
3
4
4
3
4
3
3
5
4
3
7
5
4
5
4
4

-0.5
1
2
-0.3
1
3
2
3
1
1.7
-0.3
3.5
2.5
1.5
-2
5
3.5

N
130
4
4
53
5
5
2
5
3
4
5
6
5
5
7
8
11

NIS
14*
2*
3
39
3
3
3
3
2*
3
3
4
3
3
4
15
6

NHIS
12
3
3
4
3
5
3
4
2
3
3
4
3
3
3
14
4

NIH

3.25

7

4

4

4

4

3

4

269

99

237

90

79

79

69

7
3
3
11
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4

* nilai epsilon belum terpenuhi sehingga proses iterasi berhenti

Berdasarkan hasil uji komputasi dari aspek banyak iterasi menggunakan
Sembilan jenis fungsi nonlinear yang berbeda pada Tabel 1, beberapa metode
yang menunjukkan bahwa kombinasi metode yang diusulkan yaitu formula
metode NIH lebih unggul dibandingkan metode N, NIS, H, NH, IH dan NHIS
dengan total jumlah terasi yang lebih sedikit sebanyak 69. Untuk beberapa kasus
fungsi nonlinear pada metode NIS dan NHIS terdapat tanda bintang (*) pada
iterasinya yaitu pada fungsi
dengan tebakan awal
dan
,
selanjutnya pada fungsi
dengan tebakan awal
. Hal ini menyatakan
bahwa iterasi tersebut berhenti di titik itu disebabkan karena pada saat proses
pencarian solusi terjadi kesalahan perhitungan atau nilai epsilonnya belum
terpenuhi dalam proses komputasi. Sehingga iterasi berhenti dan untuk iterasi
berikutnya tidak mendapatkan nilai input untuk proses penyelesaian. Selanjutnya
jika metode NIH dibandingkan dengan kombinasi metode H, NH dan IH untuk
beberapa kasus fungsi, banyak iterasi yang diperoleh tidak jauh berbeda nyata

17

namun kombinasi metode NIH bisa dikatakan masih lebih baik dari segi
iterasinya. Titik awal dan toleransi juga berpengaruh pada banyak iterasi. Jika
menggunakan titik awal atau tebakan awal yang cukup dekat dengan nilai akar,
maka proses iterasi menjadi lebih cepat. Untuk besar toleransi yang diberikan
juga berpengaruh terhadap jalannya proses komputasi. Jika kriteria
|
maka proses
pemberhentian proses iterasi terpenuhi yaitu |
komputasi akan berhenti (Sharma 2011).
Pada penelitian ini juga dilakukan uji komputasi menggunakan toleransi
. Perbandingan jumlah iterasi menggunakan toleransi untuk toleransi
masing-masing metode disajikan pada Lampiran 2. Dari Lampiran 2,
diketahui bahwa metode NIH memperoleh jumlah iterasi yang lebih sedikit
sebanyak 58, disusul oleh metode NHIS sebanyak 77. Besar toleransi juga
berpengaruh terhadap banyaknya jumlah iterasi. Jika dibandingkan antara
toleransi
dan toleransi
berdasarkan aspek jumlah iterasi, maka
jumlah iterasi dari metode N, NIS, H, NH, IH, NHIS, dan NIH yang diperoleh
menggunakan toleransi
lebih sedikit. Adapun yang dimaksud dengan
iterasi pada kombinasi metode NIH dan NHIS adalah perhitungan sebanyak tiga
kali pada metode NIH dan empat kali pada metode NHIS untuk memperoleh
nilai akar pendekatan dari fungsi yang diberikan.
Berdasarkan hasil uji komputasi dari aspek running time menggunakan
beberapa kombinasi metode untuk toleransi
pada tabel 2, dapat dilihat
bahwa metode NIH memperoleh total nilai running time yang cukup besar yaitu
(0.2671 ms) dibandingkan dengan metode NH (0.2307 ms) dan IH (0.2296 ms)
pada saat eksekusi program. Hal ini terjadi karena dalam satu kali proses iterasi
metode NIH melakukan tiga kali evaluasi fungsi sehingga running time pogram
menjadi lebih besar daripada metode lainnya. Akan tetapi, jika dibandingkan
jumlah nilai running time metode N (0.2748 ms), NIS (0.664 ms), H (0.3273 ms)
dan NHIS (0.5492 ms), metode NIH memperoleh nilai running time yang lebih
kecil yaitu (0.2671 ms). Dari tabel 2 juga dapat dilihat metode NIH dibandingkan
metode NHIS memperoleh running time yang terbilang kecil. Untuk besar cost
setiap kombinasi metode juga berpengaruh terhadap eksekusi running time.
Semakin besar cost suatu formula metode, maka running time yang dihasilkan
suatu kombinasi metode akan meningkat. Contohnya kombinasi metode NHIS
yang memiliki running time terbesar jika dibandingkan dengan metode lainnya.
Hal ini disebabkan karena metode NHIS melakukan empat kali evaluasi fungsi
dalam satu kali iterasinya.
Untuk membandingkan running time masing-masing metode juga
menggunakan toleransi
yang disajikan pada Lampiran 3. Dari Lampiran 3,
dapat diketahui jumlah nilai running time metode NIH lebih besar yaitu (0.3265
ms) dibandingkan dengan metode N (0.2745 ms), NH (0.2773 ms) dan IH
(0.2931 ms). Namun metode NIH memperoleh jumlah nilai running time yang
lebih kecil dibandingkan metode H (0.3370 ms), NIS (1.6539 ms) dan NHIS
(2.3912 ms). Tabel 2 menunjukkan perbandingan running time dari masingmasing kombinasi metode untuk toleransi
.

18

Tabel