Uji Komputasi Algoritme Varian Metode Newton Pada Permasalahan Optimasi Nonlinear Tanpa Kendala
UJI KOMPUTASI ALGORITME VARIAN METODE
NEWTON PADA PERMASALAHAN OPTIMASI NONLINEAR
TANPA KENDALA
NURUL HAQUEQY
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Uji Komputasi
Algoritme Varian Metode Newton Pada Permasalahan Optimasi Nonlinear Tanpa
Kendala adalah benar karya saya denganarahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada
Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2016
Nurul Haqueqy
NIM G651140441
RINGKASAN
NURUL HAQUEQY. Uji Komputasi Algoritme Varian Metode Newton pada
Permasalahan Optimasi Nonlinear Tanpa Kendala. Dibimbing oleh BIB
PARUHUM SILALAHI dan IMAS SUKAESIH SITANGGANG.
Optimasi merupakan suatu cara yang dapat dilakukan ketika bekerja dalam
bidang ilmu eksperimental dan keteknikan, yang meliputi fungsi matematika dan
proses industri. Prinsip utama dalam optimasi adalah untuk menentukan solusi
terbaik yang optimal (maksimum/minimum) dari suatu tujuan yang dimodelkan
melalui fungsi objektif. Secara garis besar, optimasi memiliki masalah-masalah
yang harus diselesaikan. Untuk menyelesaikan permasalahan dalam optimasi
dapat dilakukan dengan menggunakan metode numerik. Metode numerik
merupakan teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika.
Sehingga dapat dipecahkan dengan menggunakan operasi perhitungan dan dapat
dibuat ke dalam bentuk algoritme yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.
Salah satu medote numerik yang dapat digunakan adalah metode Newton dan
metode Halley. Metode Newton merupakan salah satu metode terbaik untuk
menentukan solusi akar dari persamaan nonlinear. Metode Newton sering
konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai cukup dekat dengan akar
yang diinginkan. Metode Halley merupakan metode dengan kovergen orde ketiga
yang mana metode ini memiliki orde kekonvergenan yang lebih tinggi jika
dibandingkan dengan metode Newton. Oleh karena itu, tujuan dari penelitian ini
adalah mengkombinasikan metode Newton, Aturan Trapesium dengan metode
Halley serta membandingkan hasil uji komputasi antara algoritme baru dengan
algoritme metode Newton untuk permasalahan optimasi nonlinear tanpa kendala.
Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa perbandingan antara metode
NTH dengan beberapa metode yang diujikan memperlihatkan bahwa hasil yang
diperoleh dari segi jumlah iterasi pada kombinasi metode NTH lebih baik.
Sedangkan dari aspek running time metode NTH membutuhkan waktu yang
cukup lama dibandingkan dengan metode lain yang proses pencarian akarnya
hanya melakukan satu kali evaluasi fungsi. Jika dibandingkan dengan metode
kombinasi lain yang melakukan dua kali evaluasi fungsi dalam satu kali iterasi,
waktu yang digunakan oleh metode NTH dalam mencari nilai akar lebih cepat.
Hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode NTH memperlihatkan bahwa
nilai akar yang diperoleh menggunakan sembilan fungsi yang diujikan hampir
secara keseluruhan mendekati true value. Tetapi pada persamaan
=
sin ( ) + exp[ cos( ) sin( )] − 28 , hasil nilai akar yang diperoleh
menggunakan masing-masing metode yang diujikan dengan true value
memperlihatkan perbedaan yang cukup jelas. Jika dilihat perbedaan nilai akar
antara true value dengan metode NTH maka hasil yang diperoleh tidak terlalu
berbeda signifikan. Oleh sebab itu, hasil yang diperoleh dengan melakukan uji
komputasi dalam penelitian ini menunjukkan bahwa kombinasi algoritme metode
Newton, Aturan Trapesium dan metode Halley (NTH) baik digunakan untuk
pencarian nilai akar dari fungsi nonlinear.
Kata kunci :
jumlah iterasi, metode Halley, metode Newton, optimasi, running
time.
SUMMARY
NURUL HAQUEQY. Computational Test Varian Newton’s Method Algorithm
on Non-Linear Optimization Problems Without Constraint. Supervised by BIB
PARUHUM SILALAHI and IMAS SUKAESIH SITANGGANG.
Optimization is a way that can be done when working in the field of
experimental science and engineering, which includes mathematical functions,
and process industries. The mains principle in the optimization is to determine the
best solution is optimal (maximum/minimum) of a goal objective function that
modeled. In generally, optimization problems have to be solved. To resolve the
optimization problem can be done by using numerical methods. The numerical
method is a technique used for formulating a mathematical problem. So That can
be solved using arithmetic operations and made into the form of algorithms that
calculated quickly and easily. One of the numerical methods can be used
Newton's method and Halley's method. Newton's method is one of the best
methods to determine the root of the solution of nonlinear equations. Newton's
method often converges quickly, especially if iteration begins quite close to the
root. Halley’s method is a third-order convergent method which the convergence
of this method has an order higher than the Newton’s method. The purpose of this
research to combine the Newton's method, Halley's method, Rules Trapezoid and
computational comparing test results between the new algorithm with Newton’s
method for nonlinear optimization problem without constraints.
The results of this study indicate that the comparison between the NTH’s
method with some methods that were tested showed that NTH method is superior
terms of the number of iterations. But, NTH's method has required a long time of
running time compared with the process of finding the root another method which
made only one evaluation function. When compared to other combination
methods that perform two times of the evaluation function in one iteration, the
running time taken by NTH's method for finding the root of value is more quickly.
Results obtained by using the NTH’s method shows that the root value obtained
using the tested nine functions almost as a whole closer to the true value. But the
equation
= sin ( ) + exp[ cos( ) sin( )] − 28 , results of root value
obtained using each method tested with true value show the difference quite
clearly. If the views, the difference in value between the true root NTH's method,
the results are not too different significantly. Therefore, the results obtained by a
computational test in this study indicate that the combination of algorithmic
Newton’s method, Trapezoid Rule and Halley’s method (NTH) both used to
search root value of a nonlinear function.
Keywords : Halley’s method, Newton’s
optimization, running time.
method,
number
of
iteration,
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
UJI KOMPUTASI ALGORITME VARIAN METODE
NEWTON PADA PERMASALAHAN OPTIMASI NONLINEAR
TANPA KENDALA
NURUL HAQUEQY
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Ilmu Komputer
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Eng Wisnu Ananta Kusuma, ST MT
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis berhasil menyelesaikan tugas
akhir ini. Tugas akhir ini disusun sebagai laporan penelitian yang telah dilakukan
penulis sejak bulan januari 2016 dengan judul Uji Komputasi Algoritme Varian
Metode Newton pada Permasalahan Optimasi Nonlinear Tanpa Kendala
Alhamdulillah atas bimbingan dan petunjuk dari Allah Subhana wa ta'ala
serta bimbingan dari semua pihak, penyusunan tugas akhir ini dapat diselesaikan.
Tugas akhir ini tidak mungkin dapat diselesaikan tanpa adanya bantuan dari
berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terimakasih dan
penghargaan yang setinggi-tingginya kepada:
1.
2.
3.
4.
5.
Ayah, Ibu serta kakak-kakak yang selalu mendoakan, memberi nasihat, kasih
sayang, semangat, dan dukungan sehingga penelitian ini bisa diselesaikan
dengan baik.
Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom dan Ibu Dr Imas Sukaesih
Sitanggang, SSi MKom selaku dosen pembimbing I dan II yang selalu
bersedia membantu, memberi saran, masukan dan ide-ide dalam penelitian
ini.
Bapak Dr Eng Wisnu Ananta Kusuma, ST MT selaku dosen penguji atas
kesediannya sebagai penguji pada tugas akhir.
Teman-teman mahasiswa Magister Ilmu Komputer angkatan 2014 yang
selama dua tahun ini telah bersedia berbagi ilmunya selama masa perkuliahan
dan pelaksanaan penelitian.
Departemen Ilmu Komputer IPB, staf dan dosen yang telah banyak
membantu selama masa perkuliahan hingga penelitian.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat.
Bogor, Agustus 2016
Nurul Haqueqy
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
1
1
2
2
3
2 TINJAUAN PUSTAKA
Optimasi Matematik
Definisi Orde Konvergesi
Metode Newton Raphson
Metode Newton Halley
Metode Newton Trapesium Secant
Metode Newton Trapesium
Metode Trapesium Halley
Metode Halley
3
3
3
3
4
5
5
6
6
3 METODE
Tempat dan Waktu Penelitian
Perangkat Penelitian
Tahapan Penelitian
7
7
7
7
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
9
Studi Literatur
9
Kombinasi dan Formulasi Metode Newton, Aturan Trapesium dan Metode
Halley
9
Pembuatan Algoritme
10
Implementasi Algoritme
11
Pengujian Komputasi
11
5 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran
17
17
17
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
19
RIWAYAT HIDUP
33
DAFTAR TABEL
1
2
3
Perbandingan running time masing-masing metode untuk toleransi 10
Perbandingan jumlah iterasi masing-masing metode untuk toleransi 10
Perbandingan nilai akar masing-masing metode dengan tolerans10
12
13
14
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
Tahapan penelitian
Perbandingan jumlah iterasi dan running time(a)
dengan
=1
= 3 toleransi 10
toleransi 10 dan (b) dengan
Perbandingan jumlah iterasi dan running time (a)
dengan
=
= 1 toleransi 10
2toleransi 10 dan (b) dengan
Perbandingan jumlah iterasi dan running time (a)
dengan
= 2.5
= 1.5 toleransi 10
toleransi 10 dan (b) dengan
Perbandingan jumlah iterasi dan running time(a)
dengan
= −2
toleransi 10 dan (b) dengan
= 5 toleransi 10
Perbandingan jumlah iterasi dan running time
dengan
= 3.25
toleransi 10
8
15
16
16
16
17
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
Implementasi setiap metode menggunakan Matlab
Tabel perbandingan running time masing-masing metode untuk toleransi
10
Tabel perbandingan jumlah iterasi untuk masing-masing metode dengan
toleransi 10
Tabel perbandingan nilai akar masing-masing metode untuk toleransi
10
Grafik perbandingan jumlah iterasi dan running time masing-masing
metode untuk toleransi 10
20
28
29
30
31
1
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Optimasi merupakan suatu cara yang dapat dilakukan ketika bekerja dalam
bidang ilmu eksperimental dan keteknikan, yang meliputi fungsi matematika dan
proses industri untuk mendapatkan metode analisis baru (Cerdà et al. 2015).
Prinsip utama dalam pemodelan optimasi adalah menentukan solusi terbaik yang
optimal (minimum/maksimum) dari suatu tujuan yang dimodelkan melalui fungsi
objektif. Secara garis besar, masalah dalam optimasi dikategorikan menjadi dua
bagian, yaitu masalah optimasi dengan kendala dan masalah optimasi tanpa
kendala. Masalah optimasi tanpa kendala merupakan masalah optimasi yang tidak
memiliki batasan. Sedangkan masalah optimasi dengan kendala merupakan
masalah pengoptimuman fungsi objektif yang memiliki batasan atau kendala.
Penyelesaian dalam fungsi optimasi dibagi menjadi dua yaitu penyelesaian fungsi
optimasi dengan analitik dan penyelesaian fungsi optimasi dengan pendekatan
numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan
persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau
aritmatika biasa. Penyelesaian menggunakan metode numerik biasanya
melibatkan proses iterasi. Apabila proses iterasi dilakukan menggunakan
perhitungan matematis, maka akan membutuhkan waktu yang lama dan
memungkinkan terjadinya human error.
Pemecahan masalah dalam suatu pemrograman merupakan sebuah tujuan
dalam proses pembuatan sebuah program. Dalam pemecahan masalah tersebut,
terdapat dua macam jenis pemrograman, yaitu pemrograman linear dan
pemrograman nonlinear. Pemrograman nonlinear adalah suatu bentuk
pemrograman yang berhubungan dengan suatu perencanaan aktivitas tertentu
yang dapat diformulasikan dalam model matematika, yang memuat fungsi tujuan
dan fungsi kendala berbentuk nonlinear yaitu pangkat dan variabelnya lebih dari
satu. Hal yang membedakan pemrograman nonlinear dengan linear adalah fungsi
tujuan dan fungsi kendala yang diasumsikan linear untuk masalah-masalah
tertentu. Masalah-masalah pemrograman nonlinear dapat dikembangkan dalam
berbagai macam model, di antaranya masalah pemrograman nonlinear umum
yang memuat fungsi tujuan dan fungsi kendala dan masalah pemrograman
nonlinear tanpa kendala yang tentunya hanya memuat fungsi tujuan yang akan
dioptimalkan. Untuk menyelesaikan permasalahan persamaan nonlinear terdapat
banyak metode dan algoritme yang dapat digunakan, tetapi setiap metode dan
algoritme mempunyai kelebihan dan kekurangan masing-masing. Salah satu
metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan apabila
perhitungan secara analitik tidak dapat digunakan (Utami et al. 2013). Metode
numerik merupakan teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan
matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan dan dapat
dibuat ke dalam bentuk algoritme yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.
Ada banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear maupun nonlinear, di antaranya metode Newton dan metode
Halley. Metode Newton merupakan salah satu metode terbaik untuk menentukan
solusi akar dari persamaan nonlinear (Sanchez 2009). Metode Newton sering
2
konvergen dengan cepat menurut Kumar et al. (2012), terutama bila iterasi
dimulai cukup dekat dengan akar yang diinginkan. Metode Halley sendiri
merupakan metode dengan konvergen orde ketiga (Narang et al. 2015) dimana
metode ini berarti memiliki orde kekonvergenan yang lebih tinggi dibandingkan
dengan metode Newton.
Para peneliti umumnya berusaha untuk menemukan metode dengan
algoritme yang paling efektif dan efisien untuk dapat menyelesaikan masalah
optimasi linear maupun nonlinear. Seperti yang telah dilakukan oleh Weerakoon
dan Fernando (2000) yang mengembangkan metode Newton dengan cara
memodifikasi metode Newton dan Aturan Trapesium. Modifikasi metode Newton
dengan Aturan Trapesium menghasilkan konvergen orde ketiga. Adapun metode
Newton sendiri masih menghasilkan konvergen orde kedua. Sehingga modifikasi
metode ini menghasilkan iterasi yang lebih sedikit apabila dibandingkan dengan
metode Newton. Homeier (2005) melakukan penelitian mengenai metode Newton
dengan menggunakan fungsi invers. Ini juga merupakan modifikasi dari metode
Newton. Penelitian ini menghasilkan metode dengan konvergen orde ketiga. Jain
(2013) melakukan modifikasi pada metode Newton yang sebelumnya telah
dilakukan oleh Homeir dan Weerakoon dengan menambahkan metode Secant ke
dalam metode Newton dengan Aturan Trapesium dan metode Newton dengan
menggunakan fungsi invers. Penelitian ini menghasilkan metode Secant
Trapesium Newton dan metode Secant Invers Newton dengan konvergen orde
keempat. Selanjutnya Noor (2007) melakukan modifikasi metode Halley dan
menghasilkan pengembangan baru dari metode Halley sehingga menghasilkan
metode yang lebih baik dengan konvergen orde kelima.
Oleh karena itu, dengan kelebihan dan kekurangan yang dimiliki oleh
masing-masing metode Newton dan metode Halley dalam menyelesaikan
permasalahan persamaan linear maupun nonlinear, maka pada penelitian ini akan
diusulkan metode kombinasi antara varian metode Newton dengan Aturan
Trapesium yang telah dilakukan oleh Weerakoon dan Fernando (2000) dan
metode Halley.
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, penelitian ini dapat dirumuskan
sebagai berikut:
1. Bagaimana mengkombinasikan metode Newton, Aturan Trapesium dan
metode Halley?
2. Bagaimana perbandingan hasil uji komputasi antara algoritme kombinasi
metode Newton, Aturan Trapesium dan metode Halley dengan algoritme
metode Newton menggunakan beberapa fungsi nonlinear?
Tujuan Penelitian
1.
2.
Tujuan dari penelitian ini adalah:
Mengkombinasikan metode Newton, Aturan Trapesium dan metode Halley,
Membandingkan hasil uji komputasi antara algoritme kombinasi metode
Newton, Aturan Trapesium dan metode Halley dengan algoritme metode
Newton menggunakan beberapa fungsi nonlinear.
3
Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah agar dapat menghasilkan suatu metode baru
dengan algoritme yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan
nonlinear tanpa kendala sehingga mendapatkan hasil yang akurat dan iterasi yang
lebih sedikit.
2 TINJAUAN PUSTAKA
Optimasi Matematik
Optimasi matematik sering disebut dengan nonlinear programing,
pemrograman matematika atau optimasi numerik. Istilah optimasi matematik
dapat dijelaskan sebagai suatu ilmu untuk menentukan solusi terbaik secara
matematik pada suatu permasalahan. Pada umumnya optimasi matematik menurut
Snyman (2005) adalah proses dari :
(i) Formulasi
(ii) Solusi dari masalah optimasi dibatasi dari bentuk umum matematik :
Meminimumkan ( ), = [ , , … , ] ∈ ℝ harus memenuhi
kendala :
≤ 0, = 1,2, … ,
(1)
ℎ = 0, = 1,2, … ,
dimana ( ), dan ℎ adalah fungsi skalar,
pada komponen
disebut dengan desain variabel, ( ) adalah fungsi tujuan, disebut
fungsi kendala dan ℎ disebut dengan fungsi kendala kesetaraan.
Defenisi Orde Konvergensi
Misalkan adalah akar dari persamaan nonlinear dan
adalah barisan
yang konvergen ke , definisikan nilai error sebagai berikut (Chavnov 2012):
= −
(2)
Untuk besar memiliki hubungan penaksiran :
| + 1| = | |
(3)
Nilai disebut orde konvergensi, dengan adalah konstanta positif.
Metode Newton Raphson (N)
Nilai minimum terjadi apabila ′( ) = 0 , berarti solusi yang dapat
diberikan adalah sebagai berikut (Snyman 2005):
∗
=−
, diberikan "( ∗ ) =
>0
(4)
4
Jika f (x) memiliki bentuk yang lebih umum, maka solusi yang diberikan
tidak memungkinkan secara umum. Dalam hal ini, solusi dapat diperoleh secara
numerik melalui algoritme Newton Raphson.
Diberikan sebuah pendekatan , maka menghitung nilai iterasinya adalah :
=
−
( )
( )
(5)
; = 0, 1, 2, …
Diharapkan lim →
= ∗ , adalah iterasi konvergen, dalam hal ini
merupakan solusi numerik yang cukup akurat untuk diperoleh dengan jumlah
iterasi yang terbatas.
Metode Newton Halley (NH)
Metode iterasi merupkan metode untuk menemukan akar sederhana dari
persamaan nonlinear (Noor et al. 2007) :
( )=0
(6)
Asumsikan bahwa α merupakan akar sederhana dari persamaan (6) dan γ
adalah tebakan awal yang cukup dekat dengan α. Dengan menggunakan deret
taylor (Noor et al. 2007):
(
(γ) + (γ)( − ) + " (γ)
Dimana γ adalah tebakan awal.
Dari persamaan (7), diperoleh (Noor et al. 2007):
( )
=γ− ( )
!
)
+⋯=0
(7)
(8)
Persamaan ini dapat digunakan untuk metode iterasi selanjutnya (Noor et al.
2007).
yang diberikan, hitung solusi akar
dengan
Langkah 1. Untuk nilai
skema iterasi
( )
= − ( )
(9)
Persamaan (9) merupakan metode Newton yang memiliki orde
kekonvergenan dua.
Dari persamaan (7) juga diperoleh
=γ−
( )
( )
( )
( ) "( )
(10)
Persamaan (10) memperlihatkan metode iterasi yang dapat
digunakan untuk memecahkan persamaan nonlinear.
Langkah 2. Untuk nilai
skema iterasi
=
−
yang diberikan, hitung solusi akar
(
(
)
)
(
(
)
) "(
)
dengan
(11)
Persamaan (11) merupakan metode Halley yang memiliki orde
kekonvergenan kubik.
Noor (2007) mengusulkan metode dua langkah, dengan
menggunakan langkah 1 sebagai prediktor dan langkah 2 sebagai
korektor.
yang diberikan, hitung solusi akar
dengan
Langkah 3. Untuk nilai
skema iterasi
5
=
=
−
−
(
)
(
,
( )
( ) (
)
(
(12)
)
) "(
(13)
)
Metode Newton Trapesium Secant (NTS)
Jain (2013) pada penelitiannya menggunakan kombinasi metode secant
dengan modifikasi metode Newton yang telah dikembangkan oleh Weerakoon dan
Fernando (2000) yaitu Aturan Trapesium dan Homeier (2005) yaitu fungsi invers.
Jain (2013) mendapatkan formula yang disebut dengan metode secant trapesium
Newton dan metode secant invers Newton. Adapun bentuk modifikasi dari metode
Secant Trapesium Newton (Jain 2013):
̅
(14)
= ̅ − ( ̅ ) ( ) ( ̅ )
dimana
dengan
̅ =
∗
=
−
−
(
( ∗)
(
(
)
)
(
)
)
(15)
(16)
Pada modifikasi metode Jain, tahapan yang dilakukan adalah menghitung
metode Newton terlebih dahulu, hasil dari metode Newton berupa titik ∗ .
Tahapan selanjutnya, titik ∗ disubstitusikan ke metode Aturan Trapesium. Hasil
dari Aturan Trapesium berupa titik ̅ . Tahap akhir adalah titik ̅ yang
merupakan hasil dari Aturan Trapesium akan disubstitusikan kembali ke metode
Secant seperti terlihat pada persamaan 14.
Metode Newton Trapesium (NT)
Metode Newton dengan Aturan Trapesium diperkenalkan oleh Weerakoon
et al (2000). Metode ini merupakan varian metode Newton dengan hasil berupa
orde konvergen yang lebih tinggi daripada metode Newton sendiri. Sehingga
dalam melakukan pemecahan masalah untuk optimasi akan menggunakan iterasi
yang lebih sedikit (Weerakoon 2000).
Langkah pertama dengan teorema Newton,
( )
( )= ( )+∫
(17)
pada skema diusulkan dengan menggunakan Aturan Trapesium ABCD,
( − )[ ( ) + ( )]
( ) ≈
(18)
∫
sehingga persamaan yang ekivalen dengan persamaan :
( ) = ( ∗ ) + ( ∗ )( − ∗ )
(19)
adalah
( − )[ ( ) + ( )]
( )= ( )+
(20)
Diketahui bahwa tidak hanya model dan turunan model yang sependapat
dengan fungsi f(x) dan fungsi turunan f’(x), tetapi juga turunan kedua dari model
dan turunan kedua dari fungsi menyetujui iterasi x= . Walaupun model dari
6
metode Newton sesuai dengan nilai dari kemiringan ( ) sebuah fungsi, ini
bukan berarti juga sesuai dengan kurva dari fungsi "( ).
Lakukan iterasi selanjutnya sebagai dasar dari model persamaan (21)
(
) − 0,
1
)[ ( ) + (
)] = 0
(
⇒ ( )+
2
( )
=
− [ ( ) (
(22)
⇒
)]
jelas terlihat bahwa hal ini merupakan skema implisit, yang harus memiliki
turunan dari fungsi pada ( + 1) tahapan iterasi untuk menjumlahkan ( +
1) iterasi itu sendiri. Ini dapat diatasi dengan memanfaatkan tahapan iterasi
Newton untuk menghitung ( + 1) pada sisi kanan.
Maka hasil dari skema baru adalah :
( )
( )
=
− [ ( ) ( ∗ )], n = 0, 1, 2,..., dimana ∗
=
− ( ). (23)
Metode Trapesium Halley (TH)
Metode Halley merupakan metode dengan konvergen orde ketiga untuk akar
sederhana dan memerlukan turunan kedua fungsi yang terkadang memerlukan
cost yang besar untuk memperolehnya (Putra et al. 2012). Untuk kombinasi
metode TH dilakukan dengan menghitung metode Aturan Trapesium pada
persamaan 24 (Weerakoon 2000) :
( )
− [ ( ) (
(24)
∗ =
)]
dan disubstitusikan dengan menggunakan metode Halley seperti yang terlihat
pada persamaan 25 (Noor et al. 2007):
=
∗
−
( ∗)
( ∗)
( ∗)
( ∗) "( ∗)
(25)
Metode Halley
Metode Halley merupakan metode dengan algoritme orde ketiga. Algoritme
tersebut memiliki konvergen orde ketiga yang mana jumlah signifikan digit
akhirnya sebanyak tiga untuk setiap kali iterasi. Metode Halley tidak hanya
melakukan turunan pertama dari orde ketiga iterasi fungsi, tetapi berlanjut pada
turunan kedua (Scavo dan Thoo 1994).
S eperti yang diketahui bahwa metode Newton merupakan metode iteratif
untuk menghitung pendekatan dari akar dengan menggunakan persamaan 26
(Scavo dan Thoo 1994):
( )
=
− ( ) , = 0,1, …
(26)
Berdasarkan persamaan 26 yang diturunkan menggunakan deret taylor
polynomial tingkat pertama, maka diperoleh rumus metode Halley dengan
menggunakan turunan dari deret taylor polinomial tingkat dua seperti pada
persamaan 27 (Scavo dan Thoo 1994) :
( ̅ ) ( ̅ )
(27)
= ̅ ( ( ̅ ))
( ̅ ) ( ̅ )
7
3 METODE
Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan pada bulan Januari 2016 sampai dengan bulan
Juni 2016. Lokasi penelitian bertempat di Institut Pertanian Bogor (IPB), Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Departemen Ilmu Komputer,
Laboratorium Computer Intelligent (CI).
Perangkat Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan perangkat keras dan
perangkat lunak sebagai berikut :
Perangkat keras berupa komputer personal dengan spesifikasi :
ProcessorIntel (R) Pentium (R) CPU B970@2.30Ghz
RAM 2 GB
Mouse dan keyboard
Perangkat lunak yang digunakan adalah :
Sistem operasi windows 7 Ultimate 32-bit
Microsoft Excel 2013 untuk pegolahan data
Matlab R2010b ver. 7.11.0 untuk implementasi algoritme dan pengujian
komputasi
Tahapan Penelitian
Dalam penelitian ini akan dilakukan beberapa tahapan, seperti yang akan
dijelaskan pada Gambar 1.
Gambar 1 Diagram alur penelitian
Studi Literatur
Pada tahapan ini akan dilakukan studi literatur mengenai penelitian yang
telah dilakukan oleh peneliti-peneliti sebelumnya mengenai metode yang akan
8
digunakan yaitu metode Newton dan metode Halley beserta kelebihan dan
kekurangan masing-masing yang dimiliki oleh metode tersebut.
Kombinasi Metode Newton, Aturan Trapesium dan Metode Halley
Tahap ini akan dilakukan kombinasi varian metode Newton dan Aturan
Trapesium yang sebelumnya telah dilakukan oleh Weerakoon dan Fernando
(2000) :
( )
( )
=
− [ ( ) ( ∗ )], n = 0, 1, 2,..., dimana ∗
=
− ( ). (28)
dengan metode optimasi lainnya yaitu metode Halley.
( ∗) ( ∗)
= ∗ ( ( ))
( ) ( )
∗
∗
∗
(29)
Kombinasi dilakukan dengan cara mensubstitusikan hasil yang diperoleh
dari satu metode ke metode lainnya.
Pembuatan Algoritme Metode Kombinasi
Pada tahap ini, kombinasi metode Newton, Aturan Trapesium dan metode
Halley akan dibentuk kesebuah algoritme baru untuk penyelesaian masalah
optimasi nonlinear tanpa kendala.
Implementasi Algoritme Metode Kombinasi
Implementasi algoritme dilakukan dengan cara menginputkan algoritme
baru dan mengimplementasikannya menggunakan software yang dapat digunakan
untuk menjalankan algoritme ini.
Pengujian Komputasi
Pada tahap ini akan dilakukan uji komputasi dengan menggunakan
algoritme metode Newton dan algoritme baru yang dilakukan dari hasil kombinasi
metode dengan menggunakan beberapa fungsi nonlinear (Weerakoon dan
Fernando 2000) :
+ 4 − 10
sin ( ) − + 1
− −3 +2
cos( ) −
( − 1) − 1
− 10
exp( ) − sin ( ) + 3 cos( ) + 5
sin ( ) + exp[ cos( ) sin( )] − 28
exp( + 7 − 30) − 1
Hal ini dilakukan untuk melihat kelebihan dan kekurangan yang dimiliki
oleh masing-masing algoritme metode berdasarkan jumlah iterasi yang digunakan,
running time dan pendekatan hasil yang diperoleh.
9
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Studi Literatur
Pada penelitian ini dilakukan studi literatur mengenai metode Newton dan
metode Halley. Dalam beberapa studi literatur yang ditemukan, terdapat beberapa
kombinasi metode menggunakan metode Newton dan metode Halley. Weerakoon
dan Fernando (2000) melakukan modifikasi metode Newton dan Aturan
Trapesium (NT) sehingga menghasilkan metode baru dengan penggunaan jumlah
iterasi yang lebih sedikit dibandingkan dengan metode Newton, serta
menghasilkan konvergen orde ketiga. Jain (2013) melakukan modifikasi metode
Newton yang sebelumnya telah dilakukan oleh Weerakoon dan Fernando (2000)
dengan menambahkan metode Secant ke dalam metode Newton dengan Aturan
Trapesium. Penelitian ini menghasilkan metode Newton Trapesium Secant (NTS)
dengan konvergen orde keempat. Selanjutnya Noor (2007) melakukan modifikasi
metode Halley dan menghasilkan pengembangan baru dari metode Halley
sehingga menghasilkan metode yang lebih baik dengan konvergen orde kelima.
Narang et al. (2000) menyatakan bahwa metode Halley merupakan metode
numerik dengan konvergen orde ketiga. Sehingga dapat disimpulkan bahwa
metode Halley memiliki orde kekonvergenan yang lebih tinggi dibandingkan
metode Newton yang memiliki konvergen orde kedua.
Kombinasi Metode Newton, Aturan Trapesium dan Metode Halley
Pada penelitian ini dilakukan kombinasi metode dengan menggunakan
beberapa metode iterasi, yaitu metode Newton, Aturan Trapesium dan Metode
Halley yang bertujuan untuk mencari akar dari suatu fungsi nonlinear. Kombinasi
metode ini, setiap iterasinya dilakukan tiga kali evaluasi fungsi dengan cara
menggabungkan ketiga metode tersebut.
Langkah pertama untuk setiap satu kali iterasi dimulai dengan menggunakan
metode Newton seperti persamaan (Luenberger dan Ye 2008) :
∗
=
−
(
(
)
(
)
)
(30)
= adalah titik tebakan awal dan ( ) merupakan turunan pertama
dengan
fungsi dengan mensubstitusikan titik tebakan awal. Pemilihan metode Newton
sebagai fungsi pertama pada kombinasi ini dikarenakan metode Newton tidak
memerlukan cost yang besar dalam pencarian akar.
Tahap selanjutnya, akar yang diperoleh dari langkah pertama akan
disubstitusikan ke dalam formula Aturan Trapesium seperti berikut (Weerakoon
dan Fernando 2000):
∗
=
− [
(
)
( ∗ )]
(31)
dimana ∗ pada ( ∗ ) merupakan hasil dari metode Newton yang telah
dilakukan sebelumnya. Sampai pada tahap ini telah dilakukan penelitian
10
sebelumnya oleh (Weerakoon dan Fernando 2000), dengan mengkombinasikan
metode Newton dan Aturan Trapesium. Metode yang dikembangkan oleh
Weerakoon dan Fernando ini menghasilkan jumlah iterasi yang lebih sedikit
dibandingkan dengan menggunakan metode Newton tanpa kombinasi dan
menghasilkan konvergen orde ketiga.
Dan pada tahap terakhir untuk setiap satu kali iterasi akan ditambahkan
dengan menggunakan formula metode Halley. Metode Halley merupakan salah
satu metode iterasi dengan konvergen orde ketiga. Formula metode Halley akan
disubtitusikan pada persamaan (32)
=
∗
−
( ∗) ( ∗)
( ∗) ( ∗)
( ( ∗ ))
(32)
dengan ∗ merupakan hasil yang diperoleh dari kombinasi metode Newton dan
Aturan Trapesium.
Pembuatan Algoritme
Dalam pembuatan algoritme metode Newton, Aturan Trapesium dan
metode Halley, diperlukan beberapa tahapan, yaitu :
Langkah 1. Definisikan fungsi ( )
ℝ
Langkah 2. Inputkan titik tebakan awal
Langkah 3. Inputkan batas toleransi 0 < < 1
Langkah 4. Inputkan batas maksimum iterasi
(
)
Langkah 5. Hitung
=
− (
)
Hitung
Hitung
∗
=
=
− [
(
(
)
)
(
)]
( ∗) ( ∗)
∗ ( ( ))
( ∗) ( ∗)
∗
Langkah 6. Hitung |
− |<
atau jika jumlah iterasi mencapai
batas maksimum maka berhenti, jika tidak kembali ke langkah 5.
Langkah yang dilakukan dalam algoritme metode NTH adalah
mendefiniskan ( ), yang selanjutnya dilakukan peng-input-an titik tebakan awal
. Dilanjutkan dengan meng-input-kan batas toleransi dan batas maksimum
iterasi. Setelah itu dilakukan perhitungan masing-masing metode yang dimulai
dengan metode Newton. Hasil yang diperoleh dari metode Newton disubtitusikan
ke persamaan selanjutnya, yaitu persamaan Aturan Trapesium. Hasil yang
diperoleh dari perhitungan Aturan Trapesium, akan disubtitusikan kembali ke
metode Halley. Proses perhitungan ini akan terus berlanjut sampai kriteria
pemberhentian terpenuhi. Pada dasarnya untuk menentukan solusi numerik
mempunyai kriteria pemberhentian adalah sama untuk semua metode. Salah satu
kriteria untuk pembatasan proses iterasi program komputasi atau uji konvergesi
−
adalah selisih dua nilai atau titik terakhir yang disimbolkan dengan |
)| < (Sharma
| < selain itu, dapat menggunakan nilai fungsi yaitu | (
11
2011). Ketika salah satu kriteria terpenuhi maka proses iterasi komputasi akan
berhenti.
Algoritme metode Newton Trapesium Halley (NTH) membutuhkan titik
tebakan awal yaitu
untuk menyelesaikan suatu fungsi persamaan. Semakin
dekat titik tebakan awal yang digunakan, maka akan semakin sedikit jumlah
iterasi dan semakin kecil running time yang diperlukan. Selanjutnya
menginputkan batas toleransi untuk menentukan tingkat ketelitian dari hasil yang
diperoleh. Semakin kecil nilai toleransi yang digunakan, maka hasil yang
diperoleh akan semakin mendekati nilai eksak.
Implementasi Algoritme
Implementasi algoritme varian metode Newton Trapesium Halley (NTH)
dilakukan dengan cara menginputkan algoritme metode ke sebuah software. Hal
ini dilakukan untuk mempermudah pengujian komputasi terhadap metode-metode
yang akan diujikan. Hasil yang diperoleh dari tahap pembuatan algoritme metode
NTH diimpelementasikan ke dalam sebuah program. Untuk lebih lengkapnya,
implementasi algoritme NTH dapat dilihat pada Lampiran 1.
Pengujian Komputasi
Pengujian komputasi dilakukan dengan menggunakan beberapa fungsi
nonlinear standar yang telah digunakan oleh peneliti sebelumnya dengan menginput-kan dua buah nilai toleransi yang berbeda, yaitu 10 dan 10 . Hal ini
dilakukan untuk membandingkan seberapa jauh perbedaan antara jumlah iterasi
dan running time yang dihasilkan. Metode yang digunakan pada pengujian
komputasi menggunakan delapan metode, yaitu metode Newton (N), metode
Halley (H), Aturan Trapesium (T), metode kombinasi Newton Trapesium Halley
(NTH), Newton Halley (NH), Newton Trapesium Secant (NTS), Newton
Trapesium (NT) dan Trapesium Halley (TH).
Untuk setiap fungsi dilakukan pengujian komputasi dengan menggunakan
titik tebakan awal yang berbeda. Fungsi yang digunakan sebelumnya telah
dijelaskan pada bab sebelumnya. Pada persamaan menggunakan titik tebakan
= −0.5, 1, 2, −0.3, persamaan dengan
= 1, 3, persamaan
awal dengan
dengan
= 2, 3 , persamaan
dengan
= 1, 1.7, −0.3 , persamaan
= 3.5, 2.5 , persamaan
dengan
= 1.5 , persamaan
dengan
dengan
= −2 , persamaan
dengan
= 5 dan
dengan
= 3.5, 3.25 . Running
time dan jumlah iterasi yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 1.
12
Tabel 1 Perbandingan running time metode dengan toleransi 10
( )
Jumlah
Running Time (ms)
N
H
T
NTH
NH
NTS
NT
TH
-0.5
0.1204
0
0.0822
0.0226
0.0141
0.0152
0.0637
0.0212
0.0107
1
0.0049
0
0.0072
0.0143
0.0076
0.0104
0.0102
0.0044
0.0112
2
0.0049
0
0.0059
0.0094
0.0081
0.0103
0.0087
0.0062
0.0066
-0.3
0.0438
0
0.0705
0.0157
0.0114
0.0563
0.0177
0.0147
0.0133
1
0.0063
0
0.0107
0.0120
0.0146
0.0110
0.0123
0.0072
0.0097
3
0.0064
0
0.0108
0.0102
0.0083
0.0098
0.0096
0.0064
0.0079
2
0.0031
0
0.0064
0.0028
0.0072
0.0073
0.2550
0.0072
0.0061
3
0.0070
0
0.0122
0.0250
0.0185
0.0123
0.0098
0.0106
0.0059
1
0.0013
0
0.0067
0.0048
0.0095
0.0062
0.0060
0.0041
0.0071
1.7
0.0044
0
0.0087
0.0035
0.0097
0.0061
0.0079
0.0066
0.0088
-0.3
0.0053
0
0.0087
0.0050
0.0138
0.0089
0.0086
0.0054
0.0066
3.5
0.0066
0
0.0089
0.0293
0.0154
0.0093
0.0124
0.0103
0.0137
2.5
0.0055
0
0.0088
0.0131
0.0144
0.0093
0.0070
0.0076
0.0121
1.5
0.0054
0
0.0074
0.0068
0.0101
0.0090
0.0078
0.0051
0.0071
-2
0.0108
0
0.0143
0.0414
0.0166
0.0144
0.0203
0.0207
0.0111
5
0.0149
0
0.0246
0.0200
0.0324
0.0229
0.3561
0.2730
0.0097
3.5
0.0146
0
0.0182
0.0020
0.0144
0.0137
0.0206
0.0236
0.0132
3.25
0.0092
0
0.0151
0.0028
0.0142
0.0166
0.0233
0.0080
0.0093
0.2748
0
0.3237
0.2407
0.2403
0.2490
0.8570
0.4423
0.1701
Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa metode yang diusulkan dalam penelitian
ini, yaitu metode NTH menghasilkan running time yang cukup besar jika
dibandingkan dengan metode Newton dan metode Trapesium pada penggunaan
toleransi 10 . Tetapi jika dibandingkan dengan metode lainnya
lainn ya yang juga
merupakan metode kombinasi, running time yang dihasilkan oleh metode NTH
secara umum terlihat jauh lebih kecil. Secara garis besar, dapat terlihat metode
NTS menghasilkan running time yang lebih besar dibandingkan dengan metode
lainnya. Jika dijumlahkan untuk semua fungsi yang digunakan, running time yang
diperoleh oleh metode NTS adalah 0.8570 ms. Metode usulan yaitu metode NTH,
memperoleh jumlah running time untuk keseluruhan fungsi adalah 0.2403 ms.
Running time yang dihasilkan terlihat lebih sedikit dari beberapa metode lainnya
yaitu metode N dengan 0.2748 ms, metode H dengan 0.3237 ms,, metode T
dengan 0.2407 ms,, metode NH dengan 0.2490 ms dan metode NT dengan 0.4423
ms. Untuk metode TH sendiri menghasilkan running time yang lebih sedikit
dibandingkan dengan metode lainnya. Running time yang dihasilkan dipengaruhi
oleh banyaknya evaluasi fungsi yang dilakukan dalam satu kali iterasi dan besar
cost yang dihasilkan pada setiap metode kombinasi. Untuk hasil
asil yang dip
diperoleh
dengan menggunakan toleransi 10 tidak jauh berbeda dengan penggunaan
ng dapat dilihat pada Lampiran 2
2. Tetapi jumlah running time
toleransi 10
yang
yang diperoleh dengan menggunakan metode usulan NTH lebih baik daripada
metode lainnya dengan hasil 0.2323 ms. Metode NTS menghasilkan running time
yang lebih besar dibandingkan metode lainnya, yaitu 2.4954 ms. Sedangkan
13
metode N dengan 0.2746 ms, metode T dengan 0.3370 ms, metode NH dengan
0.2808 ms, metode NT dengan 0.4696 ms dan metode TH dengan 0.2451 ms.
Tabel 2 menujukkan perbandingan jumlah iterasi dengan menggunakan toleransi
10 .
Tabel 2 Perbandingan jumlah iterasi menggunakan toleransi 10
Jumlah Iterasi
( )
N
T
H
NTH TH NH NTS NT
-0.5
130
16
74
4
5
7
30
6
1
4
9
4
2
3
3
3
3
2
4
10
4
2
3
3
3
3
-0.3
53
13
53
3
4
25
7
6
5
10
5
3
3
3
4
4
1
3
5
11
5
2
3
3
2
3
2
4
7
4
3
3
3
4
4
3
5
8
4
3
3
3
4
4
1
3
5
44
2
2
2
2
2
1.7
4
5
4
2
3
2
3
3
-0.3
5
5
5
3
2
3
3
3
3.5
6
19
4
3
4
3
4
4
2.5
5
17
4
3
3
3
3
4
1.5
5
9
4
3
3
3
4
4
-2
7
25
5
3
3
3
4
5
5
8
15
7
4
3
4
2
118
3.5
11
2
5
4
6
4
6
8
3.25
7
2
4
3
4
4
4
5
Jumlah
264
186 235
49
56
77
86
184
Berdasarkan Tabel 2 jumlah iterasi yang diperoleh oleh masing-masing
metode manggunakan toleransi 10 , dapat dilihat secara keseluruhan bahwa
metode yang diusulkan yaitu metode NTH menghasilkan jumlah iterasi yang lebih
sedikit dibandingkan dengan metode lainnya dengan 49 iterasi. Sedangkan metode
Newton sendiri menghasilkan jumlah iterasi yang paling banyak diantara semua
dan batas
metode dengan jumlah 264 iterasi. Penggunaan titik tebakan awal
toleransi sangat berpengaruh. Jika titik tebakan awal
yang digunakan
mendekati nilai sebenarnya, maka jumlah iterasi yang diperoleh akan semakin
sedikit. Batas toleransi juga mempengaruhi proses pencarian akar, jika kriteria
− |<
pemberhentian proses iterasi belum terpenuhi yaitu |
maka proses pencarian solusi akan terus berjalan sampai kriteria pemberhentian
proses iterasi terpenuhi. Perbandingan jumlah iterasi yang dihasilkan oleh masingmasing metode juga dilakukan dengan menggunakan toleransi 10
, dapat
dilihat pada Lampiran 3. Jumlah iterasi yang dihasilkan dengan penggunaan
juga memperlihatkan bahwa metode NTH menghasilkan jumlah
toleransi 10
iterasi yang lebih sedikit dengan jumlah iterasi untuk semua fungsi yang diberikan
adalah 60 iterasi. Metode N dengan hasil 300 iterasi, metode T dengan 662 iterasi,
metode H dengan 175 iterasi, metode TH dengan 59 iterasi, metode NH dengan
14
90 iterasi, metode NTS dengan 62 iterasi dan metode NT dengan 206 iterasi. Pada
Tabel 3 menunjukkan perbandingan nilai akar menggunakan toleransi 10 .
Tabel 3 Perbandingan nilai akar menggunakan toleransi 10
( )
Nilai Akar
N
H
T
NTH
NH
NTS
NT
-0.5
True
Value
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
2
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
-0.3
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
3
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
2
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
3
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
1
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
1.7
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
-0.3
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
3.5
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.5
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
1.5
2.1544
2.1544
2.1544
2.1544
2.1544
2.1544
2.1544
2.1544
2.1544
-2
-1.2076
5
4.8246
3.4375
3.4375
4.6221
4.6221
3.4375
4.6221
4.8246
4.6221
3.5
3.0000
3.0000
3.0000
3.5000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.25
3.0000
3.0000
3.0000
3.5000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
-1.2076
-1.2076
-1.2076
-1.2076
-1.2076
-1.2076
-1.2076
Tabel 3 memperlihatkan perbandingan nilai akar yang dihasilkan masingmasing metode dengan true value menggunakan toleransi 10 . True value yang
digunakan pada penelitian ini berdasarkan hasil yang telah diperoleh oleh
penelitian sebelumnya, yaitu penelitian yang dilakukan oleh Weerakoon (2000).
Secara umum terlihat bahwa nilai akar yang dihasilkan dengan melakukan uji
komputasi metode tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan dengan true
value. Pada terlihat perbedaan nilai akar yang cukup jauh antara true value dan
hasil yang diperoleh dengan melakukan uji komputasi pada masing-masing
metode. Tetapi jika dilihat dari metode usulan NTH untuk persamaan , hasil
nilai akar yang diperoleh tidak terlalu jauh berbeda dengan nilai true value. Hal
pada Lampiran 4. Hasil
ini juga dapat dilihat dengan penggunaan toleransi 10
nilai akar yang diperoleh dengan menggunakan toleransi 10
pada persamaan
, untuk masing-masing metode memperlihatkan perbedaan yang cukup jauh
dengan true value. Tetapi pada hasil nilai akar yang diperoleh dengan
menggunakan metode usulan NTH, memiliki selisih yang cukup kecil dengan true
value. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa metode NTH merupakan salah
satu metode yang baik untuk digunakan dalam pencarian akar untuk fungsi-fungsi
yang sulit seperti persamaan
. Perbedaan nilai akar yang diperoleh
TH
-1.2076
15
menggunakan toleransi 10
tidak jauh berbeda dengan menggunakan toleransi
10 .
Gambar 2 sampai dengan Gambar 6 menunjukkan grafik perbandingan
antara jumlah iterasi dan running time yang dihasilkan dengan melakukan
percobaan uji komputasi menggunakan batas toleransi 10 . Untuk grafik
perbandingan jumlah iterasi dan running time dengan menggunakan toleransi
dapat dilihat pada Lampiran 5. Perbandingan tersebut memperlihatkan
10
bahwa running time tidak bergantung kepada jumlah iterasi yang dihasilkan. Hal
ini terjadi karena masing-masing metode yang digunakan melakukan jumlah
evaluasi fungsi kerja yang berbeda-beda untuk setiap masing-masing iterasi,
sehingga mempengaruhi waktu yang digunakan untuk melakukan pencarian solusi.
Untuk metode yang diusulkan yaitu metode NTH, running time yang dimiliki
cukup besar dibandingkan beberapa metode lainnya seperti metode Newton dan
metode Trapesium. Hal ini dikarenakan metode NTH melakukan tiga kali evaluasi
fungsi sedangkan metode Newton dan metode Trapesium hanya melakukan satu
kali evaluasi fungsi untuk setiap iterasinya. Tetapi jika dilihat dari jumlah iterasi
yang dihasilkan, penggunaan metode NTH terlihat lebih unggul dibandingkan
metode-metode lainnya, termasuk metode Newton dan metode Trapesium yang
memiliki running time lebih kecil dibandingkan dengan metode NTH.
0,012
0,016
T
0,012
TH
NH
NTS
0,01
0,008
NTH
0,006
H
NT N
0,004
0,01
Running Time (ms)
Running Time (ms)
0,014
0,002
0,008
NTS
NTH
NH
T
TH
NT
0,006
H
N
0,004
0,002
0
0
0
1
2
3 4 5 6
Jumlah Iterasi
7
8
9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Jumlah Iterasi
(a)
(b)
Gambar 2 Perbandingan jumlah iterasi dan running time menggunakan toleransi
10 (a) dengan = 1 (b) dengan = 3
0,008
Running Time (ms)
0,006
Running Time (ms)
NTS
NTHNT
HTH
0,007
0,005
0,004
N
0,003
T
0,002
0,001
0
0
2
4
Jumlah Iterasi
6
8
0,01
NTH
0,009
0,008
TH
0,007
NH
0,006
0,005 NTS T
NT
0,004
0,003
0,002
N
0,001
0
0
H
20
40
Jumlah Iterasi
60
(a)
(b)
Gambar 3 Perbandingan jumlah iterasi dan running time menggunakan toleransi
10 (a) dengan = 2 (b) dengan = 1
16
0,012
0,014
NTH
0,012
TH
NH
0,01
0,008
H
NT
NTS
0,006
N
0,004
NTH
NH
0,01
T
Running Time (ms)
Running Time (ms)
0,016
0,002
0,008
NTS
0,006
TH
H
T
NT N
0,004
0,002
0
0
0
2,5
5
7,5 10 12,5 15 17,5 20
Jumlah Iterasi
0
1
2
3
4 5 6 7
Jumlah Iterasi
8
9 10
(a)
(b)
Gambar 4 Perbandingan jumlah iterasi dan running time menggunakan toleransi
10 (a) dengan = 2.5 (b) dengan = 1.5
0,045
0,4
T
0,03
0,025
NT
0,02 NTS
0,015 NTH
NH
0,01
TH
0,005
H
NTS
0,35
0,035
Running Time (ms)
Running Time (ms)
0,04
N
0,3
NT
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
NTH
H
NH
NT
TH
0
0
6
12
18
Jumlah Iterasi
24
30
0
50
100
Jumlah Iterasi
150
(a)
(b)
Gambar 5 Perbandingan jumlah iterasi dan running time menggunakan toleransi
10 (a) dengan = -2 (b) dengan = 5
0,025
NTS
Running Time (ms)
0,02
0,015
NTH
0,01
NH
H
TH
0,005
N
NT
T
0
0
1
2
3
4
Jumlah Iterasi
5
6
7
8
Gambar 6 Perbandingan jumlah iterasi dan running time dengan toleransi 10
menggunakan dengan = 3.25
17
5 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Metode Newton merupakan salah satu metode numerik terbaik yang
digunakan untuk mencari nilai akar dari suatu fungsi. Akan tetapi pencarian solusi
dengan menggunakan metode Newton masih menghasilkan jumlah iterasi yang
cukup banyak. Oleh karena itu, pada penelitian ini diusulkan metode kombinasi
Newton Trapesium Halley (NTH) untuk mencari nilai akar dari fungsi nonlinear.
Perbandingan antara metode NTH dengan beberapa metode yaitu, metode Newton
(N), metode Halley (H), metode Aturan Trapesium (T), metode Newton Halley
(NH), metode Newton Trapesium Secant (NTS), metode Newton Trapesium (NT)
dam metode Trapesium Halley (TH) memperlihatkan bahwa hasil pencarian solusi
yang diperoleh dari segi jumlah iterasi pada kombinasi metode NTH lebih bagus.
Jika dilihat dari running time yang digunakan metode NTH membutuhkan waktu
yang cukup lama dibandingkan dengan metode yang proses pencarian akarnya
hanya melakukan satu kali evaluasi fungsi dalam satu kali iterasi. Tetapi apabila
dibandingkan dengan metode kombinasi lain yang melakukan beberapa kali
evaluasi fungsi dalam satu kali iterasi, waktu yang digunakan oleh metode NTH
dalam mencari nilai akar lebih cepat. Hasil yang diperoleh dengan menggunakan
metode NTH memperlihatkan bahwa nilai akar yang diperoleh menggunakan
sembilan fungsi yang diujikan hampir secara keseluruhan mendekati true value.
Tetapi pada persamaan = sin ( ) + exp[ cos( ) sin( )] − 28, hasil nilai
akar yang diperoleh menggunakan masing-masing metode yang diujikan dengan
true value memperlihatkan perbedaan yang cukup jelas. Jika dilihat pada
perbedaan nilai akar antara true value dengan metode NTH tidak terlalu jauh.
Oleh sebab itu, hasil yang diperoleh dengan melakukan uji komputasi dalam
penelitian ini menunjukkan bahwa kombinasi algoritme metode Newton, Aturan
Trapesium dan metode Halley (NTH) baik digunakan untuk pencarian nilai akar
dari fungsi nonlinear.
Saran
Untuk penelitian selanjutnya, perlu dilakukan uji komputasi dengan fungsifungsi nonlinear lain dan kasus-kasus real yang dapat dipecahkan menggunakan
metode numerik khususnya metode usulan yaitu metode NTH.
DAFTAR PUSTAKA
Chavnov JR. 2012. Introduction to Numerical Method. The Hongkong University
of Science and Technology, Hogkong :Creative Commons Attribution 3.0
Hong Kong
Cerdà V, Cerdà JL, Idris AM. 2015. Optimization using the gradient and simplex
methods. Talanta. Doi : 10.1016/j.talanta.2015.05.061.
Cormen TH, Leiserson CE, Rivest RL, Stein C. 2009. Introduction to Algorithm
Third Edition. London, England : The MIT Press.
18
Homeier HHH. 2005. On Newton-type Methods with Cubic Convergence. Journal
of Computational and Applied Mathematic 176: 425-432.
Jain D. 2013. Families of Newton-Like Methods with Fourth-Order Convergence.
International Journal of Computer Mathematic 90(5): 1072-1082.
Kumar M, Singh AK, Srivastava A. 2012. Various Newton-type Iterative Methods
for Solving Nonlinear Equations. Journal of the Egyptian Mathematic
Society 21,334-339.
Luenberger DG, Ye Y. 2008. Linear and Nonlinear Programing Third Edition.
Stanford, California: Springer.
Narang M, Bathia S, Kanwar GV. 2015. Newton two-parameter ChebyshevHalley-like family of fourth and sixth-order methods for systems of
nonlinear equation. Applied Mathematics and Computation 275 (2016) 394403.
Noor MA, Khan WA, Hussain A. 2007. A new modified Halley method without
second derivatives for nonlinear equation. 189: 1268–1273.
Putra S, Agusni, Restu YP. 2012. Kombinasi Metode Newton dengan Metode
Iterasi yang Diturunkan Berdasarkan Kombinasi Linear Beberapa Kuadratur
untuk Menyelesaikan Persamaan Nonlinear. Jurnal Sains, teknologi Industri.
10 (1): 85-89
Sánchez MG. 2009. Improving Order and Efficiency: Composition with a
Modified Newton’s Method. Journal of Computational and Applied
Mathematics 231, 592-597.
Scavo TR, Thoo JB. 1994. American Mathematical Monthly.
Snyman JA. 2005. Practical Mathematical Optimization. An Introduction to Basic
Optimization Theory and Classical and New Gradient-Based Algorithms.
University of Pretoria, Pretoria, South Africa : Springer.
Utami NNR, Widan IN, Asih ND. 2013. Perbandingan Solusi Sistem Persamaan
Nonlinear Menggunakan Metode Newton-Raphson dan Metode Jacobian.
E-jurnal Matematika 2(2): 11-17.
Weerakoon S, Fernando TGI. 2000. A Variant of Newton Raphson’s Method with
Accelerated Third-Order Convergence. Applied Mathematics Letters 13:
87-93.
LAMPIRAN
20
Lampiran 1 Implementasi setiap metode menggunakan Matlab
Sintaks untuk metode Newton
syms x; %
fun = input ('input f(x): ');
f=inline(fun)
NEWTON PADA PERMASALAHAN OPTIMASI NONLINEAR
TANPA KENDALA
NURUL HAQUEQY
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Uji Komputasi
Algoritme Varian Metode Newton Pada Permasalahan Optimasi Nonlinear Tanpa
Kendala adalah benar karya saya denganarahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada
Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2016
Nurul Haqueqy
NIM G651140441
RINGKASAN
NURUL HAQUEQY. Uji Komputasi Algoritme Varian Metode Newton pada
Permasalahan Optimasi Nonlinear Tanpa Kendala. Dibimbing oleh BIB
PARUHUM SILALAHI dan IMAS SUKAESIH SITANGGANG.
Optimasi merupakan suatu cara yang dapat dilakukan ketika bekerja dalam
bidang ilmu eksperimental dan keteknikan, yang meliputi fungsi matematika dan
proses industri. Prinsip utama dalam optimasi adalah untuk menentukan solusi
terbaik yang optimal (maksimum/minimum) dari suatu tujuan yang dimodelkan
melalui fungsi objektif. Secara garis besar, optimasi memiliki masalah-masalah
yang harus diselesaikan. Untuk menyelesaikan permasalahan dalam optimasi
dapat dilakukan dengan menggunakan metode numerik. Metode numerik
merupakan teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika.
Sehingga dapat dipecahkan dengan menggunakan operasi perhitungan dan dapat
dibuat ke dalam bentuk algoritme yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.
Salah satu medote numerik yang dapat digunakan adalah metode Newton dan
metode Halley. Metode Newton merupakan salah satu metode terbaik untuk
menentukan solusi akar dari persamaan nonlinear. Metode Newton sering
konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai cukup dekat dengan akar
yang diinginkan. Metode Halley merupakan metode dengan kovergen orde ketiga
yang mana metode ini memiliki orde kekonvergenan yang lebih tinggi jika
dibandingkan dengan metode Newton. Oleh karena itu, tujuan dari penelitian ini
adalah mengkombinasikan metode Newton, Aturan Trapesium dengan metode
Halley serta membandingkan hasil uji komputasi antara algoritme baru dengan
algoritme metode Newton untuk permasalahan optimasi nonlinear tanpa kendala.
Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa perbandingan antara metode
NTH dengan beberapa metode yang diujikan memperlihatkan bahwa hasil yang
diperoleh dari segi jumlah iterasi pada kombinasi metode NTH lebih baik.
Sedangkan dari aspek running time metode NTH membutuhkan waktu yang
cukup lama dibandingkan dengan metode lain yang proses pencarian akarnya
hanya melakukan satu kali evaluasi fungsi. Jika dibandingkan dengan metode
kombinasi lain yang melakukan dua kali evaluasi fungsi dalam satu kali iterasi,
waktu yang digunakan oleh metode NTH dalam mencari nilai akar lebih cepat.
Hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode NTH memperlihatkan bahwa
nilai akar yang diperoleh menggunakan sembilan fungsi yang diujikan hampir
secara keseluruhan mendekati true value. Tetapi pada persamaan
=
sin ( ) + exp[ cos( ) sin( )] − 28 , hasil nilai akar yang diperoleh
menggunakan masing-masing metode yang diujikan dengan true value
memperlihatkan perbedaan yang cukup jelas. Jika dilihat perbedaan nilai akar
antara true value dengan metode NTH maka hasil yang diperoleh tidak terlalu
berbeda signifikan. Oleh sebab itu, hasil yang diperoleh dengan melakukan uji
komputasi dalam penelitian ini menunjukkan bahwa kombinasi algoritme metode
Newton, Aturan Trapesium dan metode Halley (NTH) baik digunakan untuk
pencarian nilai akar dari fungsi nonlinear.
Kata kunci :
jumlah iterasi, metode Halley, metode Newton, optimasi, running
time.
SUMMARY
NURUL HAQUEQY. Computational Test Varian Newton’s Method Algorithm
on Non-Linear Optimization Problems Without Constraint. Supervised by BIB
PARUHUM SILALAHI and IMAS SUKAESIH SITANGGANG.
Optimization is a way that can be done when working in the field of
experimental science and engineering, which includes mathematical functions,
and process industries. The mains principle in the optimization is to determine the
best solution is optimal (maximum/minimum) of a goal objective function that
modeled. In generally, optimization problems have to be solved. To resolve the
optimization problem can be done by using numerical methods. The numerical
method is a technique used for formulating a mathematical problem. So That can
be solved using arithmetic operations and made into the form of algorithms that
calculated quickly and easily. One of the numerical methods can be used
Newton's method and Halley's method. Newton's method is one of the best
methods to determine the root of the solution of nonlinear equations. Newton's
method often converges quickly, especially if iteration begins quite close to the
root. Halley’s method is a third-order convergent method which the convergence
of this method has an order higher than the Newton’s method. The purpose of this
research to combine the Newton's method, Halley's method, Rules Trapezoid and
computational comparing test results between the new algorithm with Newton’s
method for nonlinear optimization problem without constraints.
The results of this study indicate that the comparison between the NTH’s
method with some methods that were tested showed that NTH method is superior
terms of the number of iterations. But, NTH's method has required a long time of
running time compared with the process of finding the root another method which
made only one evaluation function. When compared to other combination
methods that perform two times of the evaluation function in one iteration, the
running time taken by NTH's method for finding the root of value is more quickly.
Results obtained by using the NTH’s method shows that the root value obtained
using the tested nine functions almost as a whole closer to the true value. But the
equation
= sin ( ) + exp[ cos( ) sin( )] − 28 , results of root value
obtained using each method tested with true value show the difference quite
clearly. If the views, the difference in value between the true root NTH's method,
the results are not too different significantly. Therefore, the results obtained by a
computational test in this study indicate that the combination of algorithmic
Newton’s method, Trapezoid Rule and Halley’s method (NTH) both used to
search root value of a nonlinear function.
Keywords : Halley’s method, Newton’s
optimization, running time.
method,
number
of
iteration,
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
UJI KOMPUTASI ALGORITME VARIAN METODE
NEWTON PADA PERMASALAHAN OPTIMASI NONLINEAR
TANPA KENDALA
NURUL HAQUEQY
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Ilmu Komputer
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Eng Wisnu Ananta Kusuma, ST MT
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis berhasil menyelesaikan tugas
akhir ini. Tugas akhir ini disusun sebagai laporan penelitian yang telah dilakukan
penulis sejak bulan januari 2016 dengan judul Uji Komputasi Algoritme Varian
Metode Newton pada Permasalahan Optimasi Nonlinear Tanpa Kendala
Alhamdulillah atas bimbingan dan petunjuk dari Allah Subhana wa ta'ala
serta bimbingan dari semua pihak, penyusunan tugas akhir ini dapat diselesaikan.
Tugas akhir ini tidak mungkin dapat diselesaikan tanpa adanya bantuan dari
berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terimakasih dan
penghargaan yang setinggi-tingginya kepada:
1.
2.
3.
4.
5.
Ayah, Ibu serta kakak-kakak yang selalu mendoakan, memberi nasihat, kasih
sayang, semangat, dan dukungan sehingga penelitian ini bisa diselesaikan
dengan baik.
Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom dan Ibu Dr Imas Sukaesih
Sitanggang, SSi MKom selaku dosen pembimbing I dan II yang selalu
bersedia membantu, memberi saran, masukan dan ide-ide dalam penelitian
ini.
Bapak Dr Eng Wisnu Ananta Kusuma, ST MT selaku dosen penguji atas
kesediannya sebagai penguji pada tugas akhir.
Teman-teman mahasiswa Magister Ilmu Komputer angkatan 2014 yang
selama dua tahun ini telah bersedia berbagi ilmunya selama masa perkuliahan
dan pelaksanaan penelitian.
Departemen Ilmu Komputer IPB, staf dan dosen yang telah banyak
membantu selama masa perkuliahan hingga penelitian.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat.
Bogor, Agustus 2016
Nurul Haqueqy
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
1
1
2
2
3
2 TINJAUAN PUSTAKA
Optimasi Matematik
Definisi Orde Konvergesi
Metode Newton Raphson
Metode Newton Halley
Metode Newton Trapesium Secant
Metode Newton Trapesium
Metode Trapesium Halley
Metode Halley
3
3
3
3
4
5
5
6
6
3 METODE
Tempat dan Waktu Penelitian
Perangkat Penelitian
Tahapan Penelitian
7
7
7
7
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
9
Studi Literatur
9
Kombinasi dan Formulasi Metode Newton, Aturan Trapesium dan Metode
Halley
9
Pembuatan Algoritme
10
Implementasi Algoritme
11
Pengujian Komputasi
11
5 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran
17
17
17
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
19
RIWAYAT HIDUP
33
DAFTAR TABEL
1
2
3
Perbandingan running time masing-masing metode untuk toleransi 10
Perbandingan jumlah iterasi masing-masing metode untuk toleransi 10
Perbandingan nilai akar masing-masing metode dengan tolerans10
12
13
14
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
Tahapan penelitian
Perbandingan jumlah iterasi dan running time(a)
dengan
=1
= 3 toleransi 10
toleransi 10 dan (b) dengan
Perbandingan jumlah iterasi dan running time (a)
dengan
=
= 1 toleransi 10
2toleransi 10 dan (b) dengan
Perbandingan jumlah iterasi dan running time (a)
dengan
= 2.5
= 1.5 toleransi 10
toleransi 10 dan (b) dengan
Perbandingan jumlah iterasi dan running time(a)
dengan
= −2
toleransi 10 dan (b) dengan
= 5 toleransi 10
Perbandingan jumlah iterasi dan running time
dengan
= 3.25
toleransi 10
8
15
16
16
16
17
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
Implementasi setiap metode menggunakan Matlab
Tabel perbandingan running time masing-masing metode untuk toleransi
10
Tabel perbandingan jumlah iterasi untuk masing-masing metode dengan
toleransi 10
Tabel perbandingan nilai akar masing-masing metode untuk toleransi
10
Grafik perbandingan jumlah iterasi dan running time masing-masing
metode untuk toleransi 10
20
28
29
30
31
1
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Optimasi merupakan suatu cara yang dapat dilakukan ketika bekerja dalam
bidang ilmu eksperimental dan keteknikan, yang meliputi fungsi matematika dan
proses industri untuk mendapatkan metode analisis baru (Cerdà et al. 2015).
Prinsip utama dalam pemodelan optimasi adalah menentukan solusi terbaik yang
optimal (minimum/maksimum) dari suatu tujuan yang dimodelkan melalui fungsi
objektif. Secara garis besar, masalah dalam optimasi dikategorikan menjadi dua
bagian, yaitu masalah optimasi dengan kendala dan masalah optimasi tanpa
kendala. Masalah optimasi tanpa kendala merupakan masalah optimasi yang tidak
memiliki batasan. Sedangkan masalah optimasi dengan kendala merupakan
masalah pengoptimuman fungsi objektif yang memiliki batasan atau kendala.
Penyelesaian dalam fungsi optimasi dibagi menjadi dua yaitu penyelesaian fungsi
optimasi dengan analitik dan penyelesaian fungsi optimasi dengan pendekatan
numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan
persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau
aritmatika biasa. Penyelesaian menggunakan metode numerik biasanya
melibatkan proses iterasi. Apabila proses iterasi dilakukan menggunakan
perhitungan matematis, maka akan membutuhkan waktu yang lama dan
memungkinkan terjadinya human error.
Pemecahan masalah dalam suatu pemrograman merupakan sebuah tujuan
dalam proses pembuatan sebuah program. Dalam pemecahan masalah tersebut,
terdapat dua macam jenis pemrograman, yaitu pemrograman linear dan
pemrograman nonlinear. Pemrograman nonlinear adalah suatu bentuk
pemrograman yang berhubungan dengan suatu perencanaan aktivitas tertentu
yang dapat diformulasikan dalam model matematika, yang memuat fungsi tujuan
dan fungsi kendala berbentuk nonlinear yaitu pangkat dan variabelnya lebih dari
satu. Hal yang membedakan pemrograman nonlinear dengan linear adalah fungsi
tujuan dan fungsi kendala yang diasumsikan linear untuk masalah-masalah
tertentu. Masalah-masalah pemrograman nonlinear dapat dikembangkan dalam
berbagai macam model, di antaranya masalah pemrograman nonlinear umum
yang memuat fungsi tujuan dan fungsi kendala dan masalah pemrograman
nonlinear tanpa kendala yang tentunya hanya memuat fungsi tujuan yang akan
dioptimalkan. Untuk menyelesaikan permasalahan persamaan nonlinear terdapat
banyak metode dan algoritme yang dapat digunakan, tetapi setiap metode dan
algoritme mempunyai kelebihan dan kekurangan masing-masing. Salah satu
metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan apabila
perhitungan secara analitik tidak dapat digunakan (Utami et al. 2013). Metode
numerik merupakan teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan
matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan dan dapat
dibuat ke dalam bentuk algoritme yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.
Ada banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear maupun nonlinear, di antaranya metode Newton dan metode
Halley. Metode Newton merupakan salah satu metode terbaik untuk menentukan
solusi akar dari persamaan nonlinear (Sanchez 2009). Metode Newton sering
2
konvergen dengan cepat menurut Kumar et al. (2012), terutama bila iterasi
dimulai cukup dekat dengan akar yang diinginkan. Metode Halley sendiri
merupakan metode dengan konvergen orde ketiga (Narang et al. 2015) dimana
metode ini berarti memiliki orde kekonvergenan yang lebih tinggi dibandingkan
dengan metode Newton.
Para peneliti umumnya berusaha untuk menemukan metode dengan
algoritme yang paling efektif dan efisien untuk dapat menyelesaikan masalah
optimasi linear maupun nonlinear. Seperti yang telah dilakukan oleh Weerakoon
dan Fernando (2000) yang mengembangkan metode Newton dengan cara
memodifikasi metode Newton dan Aturan Trapesium. Modifikasi metode Newton
dengan Aturan Trapesium menghasilkan konvergen orde ketiga. Adapun metode
Newton sendiri masih menghasilkan konvergen orde kedua. Sehingga modifikasi
metode ini menghasilkan iterasi yang lebih sedikit apabila dibandingkan dengan
metode Newton. Homeier (2005) melakukan penelitian mengenai metode Newton
dengan menggunakan fungsi invers. Ini juga merupakan modifikasi dari metode
Newton. Penelitian ini menghasilkan metode dengan konvergen orde ketiga. Jain
(2013) melakukan modifikasi pada metode Newton yang sebelumnya telah
dilakukan oleh Homeir dan Weerakoon dengan menambahkan metode Secant ke
dalam metode Newton dengan Aturan Trapesium dan metode Newton dengan
menggunakan fungsi invers. Penelitian ini menghasilkan metode Secant
Trapesium Newton dan metode Secant Invers Newton dengan konvergen orde
keempat. Selanjutnya Noor (2007) melakukan modifikasi metode Halley dan
menghasilkan pengembangan baru dari metode Halley sehingga menghasilkan
metode yang lebih baik dengan konvergen orde kelima.
Oleh karena itu, dengan kelebihan dan kekurangan yang dimiliki oleh
masing-masing metode Newton dan metode Halley dalam menyelesaikan
permasalahan persamaan linear maupun nonlinear, maka pada penelitian ini akan
diusulkan metode kombinasi antara varian metode Newton dengan Aturan
Trapesium yang telah dilakukan oleh Weerakoon dan Fernando (2000) dan
metode Halley.
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, penelitian ini dapat dirumuskan
sebagai berikut:
1. Bagaimana mengkombinasikan metode Newton, Aturan Trapesium dan
metode Halley?
2. Bagaimana perbandingan hasil uji komputasi antara algoritme kombinasi
metode Newton, Aturan Trapesium dan metode Halley dengan algoritme
metode Newton menggunakan beberapa fungsi nonlinear?
Tujuan Penelitian
1.
2.
Tujuan dari penelitian ini adalah:
Mengkombinasikan metode Newton, Aturan Trapesium dan metode Halley,
Membandingkan hasil uji komputasi antara algoritme kombinasi metode
Newton, Aturan Trapesium dan metode Halley dengan algoritme metode
Newton menggunakan beberapa fungsi nonlinear.
3
Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah agar dapat menghasilkan suatu metode baru
dengan algoritme yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan
nonlinear tanpa kendala sehingga mendapatkan hasil yang akurat dan iterasi yang
lebih sedikit.
2 TINJAUAN PUSTAKA
Optimasi Matematik
Optimasi matematik sering disebut dengan nonlinear programing,
pemrograman matematika atau optimasi numerik. Istilah optimasi matematik
dapat dijelaskan sebagai suatu ilmu untuk menentukan solusi terbaik secara
matematik pada suatu permasalahan. Pada umumnya optimasi matematik menurut
Snyman (2005) adalah proses dari :
(i) Formulasi
(ii) Solusi dari masalah optimasi dibatasi dari bentuk umum matematik :
Meminimumkan ( ), = [ , , … , ] ∈ ℝ harus memenuhi
kendala :
≤ 0, = 1,2, … ,
(1)
ℎ = 0, = 1,2, … ,
dimana ( ), dan ℎ adalah fungsi skalar,
pada komponen
disebut dengan desain variabel, ( ) adalah fungsi tujuan, disebut
fungsi kendala dan ℎ disebut dengan fungsi kendala kesetaraan.
Defenisi Orde Konvergensi
Misalkan adalah akar dari persamaan nonlinear dan
adalah barisan
yang konvergen ke , definisikan nilai error sebagai berikut (Chavnov 2012):
= −
(2)
Untuk besar memiliki hubungan penaksiran :
| + 1| = | |
(3)
Nilai disebut orde konvergensi, dengan adalah konstanta positif.
Metode Newton Raphson (N)
Nilai minimum terjadi apabila ′( ) = 0 , berarti solusi yang dapat
diberikan adalah sebagai berikut (Snyman 2005):
∗
=−
, diberikan "( ∗ ) =
>0
(4)
4
Jika f (x) memiliki bentuk yang lebih umum, maka solusi yang diberikan
tidak memungkinkan secara umum. Dalam hal ini, solusi dapat diperoleh secara
numerik melalui algoritme Newton Raphson.
Diberikan sebuah pendekatan , maka menghitung nilai iterasinya adalah :
=
−
( )
( )
(5)
; = 0, 1, 2, …
Diharapkan lim →
= ∗ , adalah iterasi konvergen, dalam hal ini
merupakan solusi numerik yang cukup akurat untuk diperoleh dengan jumlah
iterasi yang terbatas.
Metode Newton Halley (NH)
Metode iterasi merupkan metode untuk menemukan akar sederhana dari
persamaan nonlinear (Noor et al. 2007) :
( )=0
(6)
Asumsikan bahwa α merupakan akar sederhana dari persamaan (6) dan γ
adalah tebakan awal yang cukup dekat dengan α. Dengan menggunakan deret
taylor (Noor et al. 2007):
(
(γ) + (γ)( − ) + " (γ)
Dimana γ adalah tebakan awal.
Dari persamaan (7), diperoleh (Noor et al. 2007):
( )
=γ− ( )
!
)
+⋯=0
(7)
(8)
Persamaan ini dapat digunakan untuk metode iterasi selanjutnya (Noor et al.
2007).
yang diberikan, hitung solusi akar
dengan
Langkah 1. Untuk nilai
skema iterasi
( )
= − ( )
(9)
Persamaan (9) merupakan metode Newton yang memiliki orde
kekonvergenan dua.
Dari persamaan (7) juga diperoleh
=γ−
( )
( )
( )
( ) "( )
(10)
Persamaan (10) memperlihatkan metode iterasi yang dapat
digunakan untuk memecahkan persamaan nonlinear.
Langkah 2. Untuk nilai
skema iterasi
=
−
yang diberikan, hitung solusi akar
(
(
)
)
(
(
)
) "(
)
dengan
(11)
Persamaan (11) merupakan metode Halley yang memiliki orde
kekonvergenan kubik.
Noor (2007) mengusulkan metode dua langkah, dengan
menggunakan langkah 1 sebagai prediktor dan langkah 2 sebagai
korektor.
yang diberikan, hitung solusi akar
dengan
Langkah 3. Untuk nilai
skema iterasi
5
=
=
−
−
(
)
(
,
( )
( ) (
)
(
(12)
)
) "(
(13)
)
Metode Newton Trapesium Secant (NTS)
Jain (2013) pada penelitiannya menggunakan kombinasi metode secant
dengan modifikasi metode Newton yang telah dikembangkan oleh Weerakoon dan
Fernando (2000) yaitu Aturan Trapesium dan Homeier (2005) yaitu fungsi invers.
Jain (2013) mendapatkan formula yang disebut dengan metode secant trapesium
Newton dan metode secant invers Newton. Adapun bentuk modifikasi dari metode
Secant Trapesium Newton (Jain 2013):
̅
(14)
= ̅ − ( ̅ ) ( ) ( ̅ )
dimana
dengan
̅ =
∗
=
−
−
(
( ∗)
(
(
)
)
(
)
)
(15)
(16)
Pada modifikasi metode Jain, tahapan yang dilakukan adalah menghitung
metode Newton terlebih dahulu, hasil dari metode Newton berupa titik ∗ .
Tahapan selanjutnya, titik ∗ disubstitusikan ke metode Aturan Trapesium. Hasil
dari Aturan Trapesium berupa titik ̅ . Tahap akhir adalah titik ̅ yang
merupakan hasil dari Aturan Trapesium akan disubstitusikan kembali ke metode
Secant seperti terlihat pada persamaan 14.
Metode Newton Trapesium (NT)
Metode Newton dengan Aturan Trapesium diperkenalkan oleh Weerakoon
et al (2000). Metode ini merupakan varian metode Newton dengan hasil berupa
orde konvergen yang lebih tinggi daripada metode Newton sendiri. Sehingga
dalam melakukan pemecahan masalah untuk optimasi akan menggunakan iterasi
yang lebih sedikit (Weerakoon 2000).
Langkah pertama dengan teorema Newton,
( )
( )= ( )+∫
(17)
pada skema diusulkan dengan menggunakan Aturan Trapesium ABCD,
( − )[ ( ) + ( )]
( ) ≈
(18)
∫
sehingga persamaan yang ekivalen dengan persamaan :
( ) = ( ∗ ) + ( ∗ )( − ∗ )
(19)
adalah
( − )[ ( ) + ( )]
( )= ( )+
(20)
Diketahui bahwa tidak hanya model dan turunan model yang sependapat
dengan fungsi f(x) dan fungsi turunan f’(x), tetapi juga turunan kedua dari model
dan turunan kedua dari fungsi menyetujui iterasi x= . Walaupun model dari
6
metode Newton sesuai dengan nilai dari kemiringan ( ) sebuah fungsi, ini
bukan berarti juga sesuai dengan kurva dari fungsi "( ).
Lakukan iterasi selanjutnya sebagai dasar dari model persamaan (21)
(
) − 0,
1
)[ ( ) + (
)] = 0
(
⇒ ( )+
2
( )
=
− [ ( ) (
(22)
⇒
)]
jelas terlihat bahwa hal ini merupakan skema implisit, yang harus memiliki
turunan dari fungsi pada ( + 1) tahapan iterasi untuk menjumlahkan ( +
1) iterasi itu sendiri. Ini dapat diatasi dengan memanfaatkan tahapan iterasi
Newton untuk menghitung ( + 1) pada sisi kanan.
Maka hasil dari skema baru adalah :
( )
( )
=
− [ ( ) ( ∗ )], n = 0, 1, 2,..., dimana ∗
=
− ( ). (23)
Metode Trapesium Halley (TH)
Metode Halley merupakan metode dengan konvergen orde ketiga untuk akar
sederhana dan memerlukan turunan kedua fungsi yang terkadang memerlukan
cost yang besar untuk memperolehnya (Putra et al. 2012). Untuk kombinasi
metode TH dilakukan dengan menghitung metode Aturan Trapesium pada
persamaan 24 (Weerakoon 2000) :
( )
− [ ( ) (
(24)
∗ =
)]
dan disubstitusikan dengan menggunakan metode Halley seperti yang terlihat
pada persamaan 25 (Noor et al. 2007):
=
∗
−
( ∗)
( ∗)
( ∗)
( ∗) "( ∗)
(25)
Metode Halley
Metode Halley merupakan metode dengan algoritme orde ketiga. Algoritme
tersebut memiliki konvergen orde ketiga yang mana jumlah signifikan digit
akhirnya sebanyak tiga untuk setiap kali iterasi. Metode Halley tidak hanya
melakukan turunan pertama dari orde ketiga iterasi fungsi, tetapi berlanjut pada
turunan kedua (Scavo dan Thoo 1994).
S eperti yang diketahui bahwa metode Newton merupakan metode iteratif
untuk menghitung pendekatan dari akar dengan menggunakan persamaan 26
(Scavo dan Thoo 1994):
( )
=
− ( ) , = 0,1, …
(26)
Berdasarkan persamaan 26 yang diturunkan menggunakan deret taylor
polynomial tingkat pertama, maka diperoleh rumus metode Halley dengan
menggunakan turunan dari deret taylor polinomial tingkat dua seperti pada
persamaan 27 (Scavo dan Thoo 1994) :
( ̅ ) ( ̅ )
(27)
= ̅ ( ( ̅ ))
( ̅ ) ( ̅ )
7
3 METODE
Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan pada bulan Januari 2016 sampai dengan bulan
Juni 2016. Lokasi penelitian bertempat di Institut Pertanian Bogor (IPB), Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Departemen Ilmu Komputer,
Laboratorium Computer Intelligent (CI).
Perangkat Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan perangkat keras dan
perangkat lunak sebagai berikut :
Perangkat keras berupa komputer personal dengan spesifikasi :
ProcessorIntel (R) Pentium (R) CPU B970@2.30Ghz
RAM 2 GB
Mouse dan keyboard
Perangkat lunak yang digunakan adalah :
Sistem operasi windows 7 Ultimate 32-bit
Microsoft Excel 2013 untuk pegolahan data
Matlab R2010b ver. 7.11.0 untuk implementasi algoritme dan pengujian
komputasi
Tahapan Penelitian
Dalam penelitian ini akan dilakukan beberapa tahapan, seperti yang akan
dijelaskan pada Gambar 1.
Gambar 1 Diagram alur penelitian
Studi Literatur
Pada tahapan ini akan dilakukan studi literatur mengenai penelitian yang
telah dilakukan oleh peneliti-peneliti sebelumnya mengenai metode yang akan
8
digunakan yaitu metode Newton dan metode Halley beserta kelebihan dan
kekurangan masing-masing yang dimiliki oleh metode tersebut.
Kombinasi Metode Newton, Aturan Trapesium dan Metode Halley
Tahap ini akan dilakukan kombinasi varian metode Newton dan Aturan
Trapesium yang sebelumnya telah dilakukan oleh Weerakoon dan Fernando
(2000) :
( )
( )
=
− [ ( ) ( ∗ )], n = 0, 1, 2,..., dimana ∗
=
− ( ). (28)
dengan metode optimasi lainnya yaitu metode Halley.
( ∗) ( ∗)
= ∗ ( ( ))
( ) ( )
∗
∗
∗
(29)
Kombinasi dilakukan dengan cara mensubstitusikan hasil yang diperoleh
dari satu metode ke metode lainnya.
Pembuatan Algoritme Metode Kombinasi
Pada tahap ini, kombinasi metode Newton, Aturan Trapesium dan metode
Halley akan dibentuk kesebuah algoritme baru untuk penyelesaian masalah
optimasi nonlinear tanpa kendala.
Implementasi Algoritme Metode Kombinasi
Implementasi algoritme dilakukan dengan cara menginputkan algoritme
baru dan mengimplementasikannya menggunakan software yang dapat digunakan
untuk menjalankan algoritme ini.
Pengujian Komputasi
Pada tahap ini akan dilakukan uji komputasi dengan menggunakan
algoritme metode Newton dan algoritme baru yang dilakukan dari hasil kombinasi
metode dengan menggunakan beberapa fungsi nonlinear (Weerakoon dan
Fernando 2000) :
+ 4 − 10
sin ( ) − + 1
− −3 +2
cos( ) −
( − 1) − 1
− 10
exp( ) − sin ( ) + 3 cos( ) + 5
sin ( ) + exp[ cos( ) sin( )] − 28
exp( + 7 − 30) − 1
Hal ini dilakukan untuk melihat kelebihan dan kekurangan yang dimiliki
oleh masing-masing algoritme metode berdasarkan jumlah iterasi yang digunakan,
running time dan pendekatan hasil yang diperoleh.
9
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Studi Literatur
Pada penelitian ini dilakukan studi literatur mengenai metode Newton dan
metode Halley. Dalam beberapa studi literatur yang ditemukan, terdapat beberapa
kombinasi metode menggunakan metode Newton dan metode Halley. Weerakoon
dan Fernando (2000) melakukan modifikasi metode Newton dan Aturan
Trapesium (NT) sehingga menghasilkan metode baru dengan penggunaan jumlah
iterasi yang lebih sedikit dibandingkan dengan metode Newton, serta
menghasilkan konvergen orde ketiga. Jain (2013) melakukan modifikasi metode
Newton yang sebelumnya telah dilakukan oleh Weerakoon dan Fernando (2000)
dengan menambahkan metode Secant ke dalam metode Newton dengan Aturan
Trapesium. Penelitian ini menghasilkan metode Newton Trapesium Secant (NTS)
dengan konvergen orde keempat. Selanjutnya Noor (2007) melakukan modifikasi
metode Halley dan menghasilkan pengembangan baru dari metode Halley
sehingga menghasilkan metode yang lebih baik dengan konvergen orde kelima.
Narang et al. (2000) menyatakan bahwa metode Halley merupakan metode
numerik dengan konvergen orde ketiga. Sehingga dapat disimpulkan bahwa
metode Halley memiliki orde kekonvergenan yang lebih tinggi dibandingkan
metode Newton yang memiliki konvergen orde kedua.
Kombinasi Metode Newton, Aturan Trapesium dan Metode Halley
Pada penelitian ini dilakukan kombinasi metode dengan menggunakan
beberapa metode iterasi, yaitu metode Newton, Aturan Trapesium dan Metode
Halley yang bertujuan untuk mencari akar dari suatu fungsi nonlinear. Kombinasi
metode ini, setiap iterasinya dilakukan tiga kali evaluasi fungsi dengan cara
menggabungkan ketiga metode tersebut.
Langkah pertama untuk setiap satu kali iterasi dimulai dengan menggunakan
metode Newton seperti persamaan (Luenberger dan Ye 2008) :
∗
=
−
(
(
)
(
)
)
(30)
= adalah titik tebakan awal dan ( ) merupakan turunan pertama
dengan
fungsi dengan mensubstitusikan titik tebakan awal. Pemilihan metode Newton
sebagai fungsi pertama pada kombinasi ini dikarenakan metode Newton tidak
memerlukan cost yang besar dalam pencarian akar.
Tahap selanjutnya, akar yang diperoleh dari langkah pertama akan
disubstitusikan ke dalam formula Aturan Trapesium seperti berikut (Weerakoon
dan Fernando 2000):
∗
=
− [
(
)
( ∗ )]
(31)
dimana ∗ pada ( ∗ ) merupakan hasil dari metode Newton yang telah
dilakukan sebelumnya. Sampai pada tahap ini telah dilakukan penelitian
10
sebelumnya oleh (Weerakoon dan Fernando 2000), dengan mengkombinasikan
metode Newton dan Aturan Trapesium. Metode yang dikembangkan oleh
Weerakoon dan Fernando ini menghasilkan jumlah iterasi yang lebih sedikit
dibandingkan dengan menggunakan metode Newton tanpa kombinasi dan
menghasilkan konvergen orde ketiga.
Dan pada tahap terakhir untuk setiap satu kali iterasi akan ditambahkan
dengan menggunakan formula metode Halley. Metode Halley merupakan salah
satu metode iterasi dengan konvergen orde ketiga. Formula metode Halley akan
disubtitusikan pada persamaan (32)
=
∗
−
( ∗) ( ∗)
( ∗) ( ∗)
( ( ∗ ))
(32)
dengan ∗ merupakan hasil yang diperoleh dari kombinasi metode Newton dan
Aturan Trapesium.
Pembuatan Algoritme
Dalam pembuatan algoritme metode Newton, Aturan Trapesium dan
metode Halley, diperlukan beberapa tahapan, yaitu :
Langkah 1. Definisikan fungsi ( )
ℝ
Langkah 2. Inputkan titik tebakan awal
Langkah 3. Inputkan batas toleransi 0 < < 1
Langkah 4. Inputkan batas maksimum iterasi
(
)
Langkah 5. Hitung
=
− (
)
Hitung
Hitung
∗
=
=
− [
(
(
)
)
(
)]
( ∗) ( ∗)
∗ ( ( ))
( ∗) ( ∗)
∗
Langkah 6. Hitung |
− |<
atau jika jumlah iterasi mencapai
batas maksimum maka berhenti, jika tidak kembali ke langkah 5.
Langkah yang dilakukan dalam algoritme metode NTH adalah
mendefiniskan ( ), yang selanjutnya dilakukan peng-input-an titik tebakan awal
. Dilanjutkan dengan meng-input-kan batas toleransi dan batas maksimum
iterasi. Setelah itu dilakukan perhitungan masing-masing metode yang dimulai
dengan metode Newton. Hasil yang diperoleh dari metode Newton disubtitusikan
ke persamaan selanjutnya, yaitu persamaan Aturan Trapesium. Hasil yang
diperoleh dari perhitungan Aturan Trapesium, akan disubtitusikan kembali ke
metode Halley. Proses perhitungan ini akan terus berlanjut sampai kriteria
pemberhentian terpenuhi. Pada dasarnya untuk menentukan solusi numerik
mempunyai kriteria pemberhentian adalah sama untuk semua metode. Salah satu
kriteria untuk pembatasan proses iterasi program komputasi atau uji konvergesi
−
adalah selisih dua nilai atau titik terakhir yang disimbolkan dengan |
)| < (Sharma
| < selain itu, dapat menggunakan nilai fungsi yaitu | (
11
2011). Ketika salah satu kriteria terpenuhi maka proses iterasi komputasi akan
berhenti.
Algoritme metode Newton Trapesium Halley (NTH) membutuhkan titik
tebakan awal yaitu
untuk menyelesaikan suatu fungsi persamaan. Semakin
dekat titik tebakan awal yang digunakan, maka akan semakin sedikit jumlah
iterasi dan semakin kecil running time yang diperlukan. Selanjutnya
menginputkan batas toleransi untuk menentukan tingkat ketelitian dari hasil yang
diperoleh. Semakin kecil nilai toleransi yang digunakan, maka hasil yang
diperoleh akan semakin mendekati nilai eksak.
Implementasi Algoritme
Implementasi algoritme varian metode Newton Trapesium Halley (NTH)
dilakukan dengan cara menginputkan algoritme metode ke sebuah software. Hal
ini dilakukan untuk mempermudah pengujian komputasi terhadap metode-metode
yang akan diujikan. Hasil yang diperoleh dari tahap pembuatan algoritme metode
NTH diimpelementasikan ke dalam sebuah program. Untuk lebih lengkapnya,
implementasi algoritme NTH dapat dilihat pada Lampiran 1.
Pengujian Komputasi
Pengujian komputasi dilakukan dengan menggunakan beberapa fungsi
nonlinear standar yang telah digunakan oleh peneliti sebelumnya dengan menginput-kan dua buah nilai toleransi yang berbeda, yaitu 10 dan 10 . Hal ini
dilakukan untuk membandingkan seberapa jauh perbedaan antara jumlah iterasi
dan running time yang dihasilkan. Metode yang digunakan pada pengujian
komputasi menggunakan delapan metode, yaitu metode Newton (N), metode
Halley (H), Aturan Trapesium (T), metode kombinasi Newton Trapesium Halley
(NTH), Newton Halley (NH), Newton Trapesium Secant (NTS), Newton
Trapesium (NT) dan Trapesium Halley (TH).
Untuk setiap fungsi dilakukan pengujian komputasi dengan menggunakan
titik tebakan awal yang berbeda. Fungsi yang digunakan sebelumnya telah
dijelaskan pada bab sebelumnya. Pada persamaan menggunakan titik tebakan
= −0.5, 1, 2, −0.3, persamaan dengan
= 1, 3, persamaan
awal dengan
dengan
= 2, 3 , persamaan
dengan
= 1, 1.7, −0.3 , persamaan
= 3.5, 2.5 , persamaan
dengan
= 1.5 , persamaan
dengan
dengan
= −2 , persamaan
dengan
= 5 dan
dengan
= 3.5, 3.25 . Running
time dan jumlah iterasi yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 1.
12
Tabel 1 Perbandingan running time metode dengan toleransi 10
( )
Jumlah
Running Time (ms)
N
H
T
NTH
NH
NTS
NT
TH
-0.5
0.1204
0
0.0822
0.0226
0.0141
0.0152
0.0637
0.0212
0.0107
1
0.0049
0
0.0072
0.0143
0.0076
0.0104
0.0102
0.0044
0.0112
2
0.0049
0
0.0059
0.0094
0.0081
0.0103
0.0087
0.0062
0.0066
-0.3
0.0438
0
0.0705
0.0157
0.0114
0.0563
0.0177
0.0147
0.0133
1
0.0063
0
0.0107
0.0120
0.0146
0.0110
0.0123
0.0072
0.0097
3
0.0064
0
0.0108
0.0102
0.0083
0.0098
0.0096
0.0064
0.0079
2
0.0031
0
0.0064
0.0028
0.0072
0.0073
0.2550
0.0072
0.0061
3
0.0070
0
0.0122
0.0250
0.0185
0.0123
0.0098
0.0106
0.0059
1
0.0013
0
0.0067
0.0048
0.0095
0.0062
0.0060
0.0041
0.0071
1.7
0.0044
0
0.0087
0.0035
0.0097
0.0061
0.0079
0.0066
0.0088
-0.3
0.0053
0
0.0087
0.0050
0.0138
0.0089
0.0086
0.0054
0.0066
3.5
0.0066
0
0.0089
0.0293
0.0154
0.0093
0.0124
0.0103
0.0137
2.5
0.0055
0
0.0088
0.0131
0.0144
0.0093
0.0070
0.0076
0.0121
1.5
0.0054
0
0.0074
0.0068
0.0101
0.0090
0.0078
0.0051
0.0071
-2
0.0108
0
0.0143
0.0414
0.0166
0.0144
0.0203
0.0207
0.0111
5
0.0149
0
0.0246
0.0200
0.0324
0.0229
0.3561
0.2730
0.0097
3.5
0.0146
0
0.0182
0.0020
0.0144
0.0137
0.0206
0.0236
0.0132
3.25
0.0092
0
0.0151
0.0028
0.0142
0.0166
0.0233
0.0080
0.0093
0.2748
0
0.3237
0.2407
0.2403
0.2490
0.8570
0.4423
0.1701
Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa metode yang diusulkan dalam penelitian
ini, yaitu metode NTH menghasilkan running time yang cukup besar jika
dibandingkan dengan metode Newton dan metode Trapesium pada penggunaan
toleransi 10 . Tetapi jika dibandingkan dengan metode lainnya
lainn ya yang juga
merupakan metode kombinasi, running time yang dihasilkan oleh metode NTH
secara umum terlihat jauh lebih kecil. Secara garis besar, dapat terlihat metode
NTS menghasilkan running time yang lebih besar dibandingkan dengan metode
lainnya. Jika dijumlahkan untuk semua fungsi yang digunakan, running time yang
diperoleh oleh metode NTS adalah 0.8570 ms. Metode usulan yaitu metode NTH,
memperoleh jumlah running time untuk keseluruhan fungsi adalah 0.2403 ms.
Running time yang dihasilkan terlihat lebih sedikit dari beberapa metode lainnya
yaitu metode N dengan 0.2748 ms, metode H dengan 0.3237 ms,, metode T
dengan 0.2407 ms,, metode NH dengan 0.2490 ms dan metode NT dengan 0.4423
ms. Untuk metode TH sendiri menghasilkan running time yang lebih sedikit
dibandingkan dengan metode lainnya. Running time yang dihasilkan dipengaruhi
oleh banyaknya evaluasi fungsi yang dilakukan dalam satu kali iterasi dan besar
cost yang dihasilkan pada setiap metode kombinasi. Untuk hasil
asil yang dip
diperoleh
dengan menggunakan toleransi 10 tidak jauh berbeda dengan penggunaan
ng dapat dilihat pada Lampiran 2
2. Tetapi jumlah running time
toleransi 10
yang
yang diperoleh dengan menggunakan metode usulan NTH lebih baik daripada
metode lainnya dengan hasil 0.2323 ms. Metode NTS menghasilkan running time
yang lebih besar dibandingkan metode lainnya, yaitu 2.4954 ms. Sedangkan
13
metode N dengan 0.2746 ms, metode T dengan 0.3370 ms, metode NH dengan
0.2808 ms, metode NT dengan 0.4696 ms dan metode TH dengan 0.2451 ms.
Tabel 2 menujukkan perbandingan jumlah iterasi dengan menggunakan toleransi
10 .
Tabel 2 Perbandingan jumlah iterasi menggunakan toleransi 10
Jumlah Iterasi
( )
N
T
H
NTH TH NH NTS NT
-0.5
130
16
74
4
5
7
30
6
1
4
9
4
2
3
3
3
3
2
4
10
4
2
3
3
3
3
-0.3
53
13
53
3
4
25
7
6
5
10
5
3
3
3
4
4
1
3
5
11
5
2
3
3
2
3
2
4
7
4
3
3
3
4
4
3
5
8
4
3
3
3
4
4
1
3
5
44
2
2
2
2
2
1.7
4
5
4
2
3
2
3
3
-0.3
5
5
5
3
2
3
3
3
3.5
6
19
4
3
4
3
4
4
2.5
5
17
4
3
3
3
3
4
1.5
5
9
4
3
3
3
4
4
-2
7
25
5
3
3
3
4
5
5
8
15
7
4
3
4
2
118
3.5
11
2
5
4
6
4
6
8
3.25
7
2
4
3
4
4
4
5
Jumlah
264
186 235
49
56
77
86
184
Berdasarkan Tabel 2 jumlah iterasi yang diperoleh oleh masing-masing
metode manggunakan toleransi 10 , dapat dilihat secara keseluruhan bahwa
metode yang diusulkan yaitu metode NTH menghasilkan jumlah iterasi yang lebih
sedikit dibandingkan dengan metode lainnya dengan 49 iterasi. Sedangkan metode
Newton sendiri menghasilkan jumlah iterasi yang paling banyak diantara semua
dan batas
metode dengan jumlah 264 iterasi. Penggunaan titik tebakan awal
toleransi sangat berpengaruh. Jika titik tebakan awal
yang digunakan
mendekati nilai sebenarnya, maka jumlah iterasi yang diperoleh akan semakin
sedikit. Batas toleransi juga mempengaruhi proses pencarian akar, jika kriteria
− |<
pemberhentian proses iterasi belum terpenuhi yaitu |
maka proses pencarian solusi akan terus berjalan sampai kriteria pemberhentian
proses iterasi terpenuhi. Perbandingan jumlah iterasi yang dihasilkan oleh masingmasing metode juga dilakukan dengan menggunakan toleransi 10
, dapat
dilihat pada Lampiran 3. Jumlah iterasi yang dihasilkan dengan penggunaan
juga memperlihatkan bahwa metode NTH menghasilkan jumlah
toleransi 10
iterasi yang lebih sedikit dengan jumlah iterasi untuk semua fungsi yang diberikan
adalah 60 iterasi. Metode N dengan hasil 300 iterasi, metode T dengan 662 iterasi,
metode H dengan 175 iterasi, metode TH dengan 59 iterasi, metode NH dengan
14
90 iterasi, metode NTS dengan 62 iterasi dan metode NT dengan 206 iterasi. Pada
Tabel 3 menunjukkan perbandingan nilai akar menggunakan toleransi 10 .
Tabel 3 Perbandingan nilai akar menggunakan toleransi 10
( )
Nilai Akar
N
H
T
NTH
NH
NTS
NT
-0.5
True
Value
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
2
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
-0.3
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1.3652
1
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
3
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
1.4044
2
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
3
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
0.2575
1
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
1.7
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
-0.3
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
0.7391
3.5
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.5
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
1.5
2.1544
2.1544
2.1544
2.1544
2.1544
2.1544
2.1544
2.1544
2.1544
-2
-1.2076
5
4.8246
3.4375
3.4375
4.6221
4.6221
3.4375
4.6221
4.8246
4.6221
3.5
3.0000
3.0000
3.0000
3.5000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.25
3.0000
3.0000
3.0000
3.5000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
-1.2076
-1.2076
-1.2076
-1.2076
-1.2076
-1.2076
-1.2076
Tabel 3 memperlihatkan perbandingan nilai akar yang dihasilkan masingmasing metode dengan true value menggunakan toleransi 10 . True value yang
digunakan pada penelitian ini berdasarkan hasil yang telah diperoleh oleh
penelitian sebelumnya, yaitu penelitian yang dilakukan oleh Weerakoon (2000).
Secara umum terlihat bahwa nilai akar yang dihasilkan dengan melakukan uji
komputasi metode tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan dengan true
value. Pada terlihat perbedaan nilai akar yang cukup jauh antara true value dan
hasil yang diperoleh dengan melakukan uji komputasi pada masing-masing
metode. Tetapi jika dilihat dari metode usulan NTH untuk persamaan , hasil
nilai akar yang diperoleh tidak terlalu jauh berbeda dengan nilai true value. Hal
pada Lampiran 4. Hasil
ini juga dapat dilihat dengan penggunaan toleransi 10
nilai akar yang diperoleh dengan menggunakan toleransi 10
pada persamaan
, untuk masing-masing metode memperlihatkan perbedaan yang cukup jauh
dengan true value. Tetapi pada hasil nilai akar yang diperoleh dengan
menggunakan metode usulan NTH, memiliki selisih yang cukup kecil dengan true
value. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa metode NTH merupakan salah
satu metode yang baik untuk digunakan dalam pencarian akar untuk fungsi-fungsi
yang sulit seperti persamaan
. Perbedaan nilai akar yang diperoleh
TH
-1.2076
15
menggunakan toleransi 10
tidak jauh berbeda dengan menggunakan toleransi
10 .
Gambar 2 sampai dengan Gambar 6 menunjukkan grafik perbandingan
antara jumlah iterasi dan running time yang dihasilkan dengan melakukan
percobaan uji komputasi menggunakan batas toleransi 10 . Untuk grafik
perbandingan jumlah iterasi dan running time dengan menggunakan toleransi
dapat dilihat pada Lampiran 5. Perbandingan tersebut memperlihatkan
10
bahwa running time tidak bergantung kepada jumlah iterasi yang dihasilkan. Hal
ini terjadi karena masing-masing metode yang digunakan melakukan jumlah
evaluasi fungsi kerja yang berbeda-beda untuk setiap masing-masing iterasi,
sehingga mempengaruhi waktu yang digunakan untuk melakukan pencarian solusi.
Untuk metode yang diusulkan yaitu metode NTH, running time yang dimiliki
cukup besar dibandingkan beberapa metode lainnya seperti metode Newton dan
metode Trapesium. Hal ini dikarenakan metode NTH melakukan tiga kali evaluasi
fungsi sedangkan metode Newton dan metode Trapesium hanya melakukan satu
kali evaluasi fungsi untuk setiap iterasinya. Tetapi jika dilihat dari jumlah iterasi
yang dihasilkan, penggunaan metode NTH terlihat lebih unggul dibandingkan
metode-metode lainnya, termasuk metode Newton dan metode Trapesium yang
memiliki running time lebih kecil dibandingkan dengan metode NTH.
0,012
0,016
T
0,012
TH
NH
NTS
0,01
0,008
NTH
0,006
H
NT N
0,004
0,01
Running Time (ms)
Running Time (ms)
0,014
0,002
0,008
NTS
NTH
NH
T
TH
NT
0,006
H
N
0,004
0,002
0
0
0
1
2
3 4 5 6
Jumlah Iterasi
7
8
9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Jumlah Iterasi
(a)
(b)
Gambar 2 Perbandingan jumlah iterasi dan running time menggunakan toleransi
10 (a) dengan = 1 (b) dengan = 3
0,008
Running Time (ms)
0,006
Running Time (ms)
NTS
NTHNT
HTH
0,007
0,005
0,004
N
0,003
T
0,002
0,001
0
0
2
4
Jumlah Iterasi
6
8
0,01
NTH
0,009
0,008
TH
0,007
NH
0,006
0,005 NTS T
NT
0,004
0,003
0,002
N
0,001
0
0
H
20
40
Jumlah Iterasi
60
(a)
(b)
Gambar 3 Perbandingan jumlah iterasi dan running time menggunakan toleransi
10 (a) dengan = 2 (b) dengan = 1
16
0,012
0,014
NTH
0,012
TH
NH
0,01
0,008
H
NT
NTS
0,006
N
0,004
NTH
NH
0,01
T
Running Time (ms)
Running Time (ms)
0,016
0,002
0,008
NTS
0,006
TH
H
T
NT N
0,004
0,002
0
0
0
2,5
5
7,5 10 12,5 15 17,5 20
Jumlah Iterasi
0
1
2
3
4 5 6 7
Jumlah Iterasi
8
9 10
(a)
(b)
Gambar 4 Perbandingan jumlah iterasi dan running time menggunakan toleransi
10 (a) dengan = 2.5 (b) dengan = 1.5
0,045
0,4
T
0,03
0,025
NT
0,02 NTS
0,015 NTH
NH
0,01
TH
0,005
H
NTS
0,35
0,035
Running Time (ms)
Running Time (ms)
0,04
N
0,3
NT
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
NTH
H
NH
NT
TH
0
0
6
12
18
Jumlah Iterasi
24
30
0
50
100
Jumlah Iterasi
150
(a)
(b)
Gambar 5 Perbandingan jumlah iterasi dan running time menggunakan toleransi
10 (a) dengan = -2 (b) dengan = 5
0,025
NTS
Running Time (ms)
0,02
0,015
NTH
0,01
NH
H
TH
0,005
N
NT
T
0
0
1
2
3
4
Jumlah Iterasi
5
6
7
8
Gambar 6 Perbandingan jumlah iterasi dan running time dengan toleransi 10
menggunakan dengan = 3.25
17
5 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Metode Newton merupakan salah satu metode numerik terbaik yang
digunakan untuk mencari nilai akar dari suatu fungsi. Akan tetapi pencarian solusi
dengan menggunakan metode Newton masih menghasilkan jumlah iterasi yang
cukup banyak. Oleh karena itu, pada penelitian ini diusulkan metode kombinasi
Newton Trapesium Halley (NTH) untuk mencari nilai akar dari fungsi nonlinear.
Perbandingan antara metode NTH dengan beberapa metode yaitu, metode Newton
(N), metode Halley (H), metode Aturan Trapesium (T), metode Newton Halley
(NH), metode Newton Trapesium Secant (NTS), metode Newton Trapesium (NT)
dam metode Trapesium Halley (TH) memperlihatkan bahwa hasil pencarian solusi
yang diperoleh dari segi jumlah iterasi pada kombinasi metode NTH lebih bagus.
Jika dilihat dari running time yang digunakan metode NTH membutuhkan waktu
yang cukup lama dibandingkan dengan metode yang proses pencarian akarnya
hanya melakukan satu kali evaluasi fungsi dalam satu kali iterasi. Tetapi apabila
dibandingkan dengan metode kombinasi lain yang melakukan beberapa kali
evaluasi fungsi dalam satu kali iterasi, waktu yang digunakan oleh metode NTH
dalam mencari nilai akar lebih cepat. Hasil yang diperoleh dengan menggunakan
metode NTH memperlihatkan bahwa nilai akar yang diperoleh menggunakan
sembilan fungsi yang diujikan hampir secara keseluruhan mendekati true value.
Tetapi pada persamaan = sin ( ) + exp[ cos( ) sin( )] − 28, hasil nilai
akar yang diperoleh menggunakan masing-masing metode yang diujikan dengan
true value memperlihatkan perbedaan yang cukup jelas. Jika dilihat pada
perbedaan nilai akar antara true value dengan metode NTH tidak terlalu jauh.
Oleh sebab itu, hasil yang diperoleh dengan melakukan uji komputasi dalam
penelitian ini menunjukkan bahwa kombinasi algoritme metode Newton, Aturan
Trapesium dan metode Halley (NTH) baik digunakan untuk pencarian nilai akar
dari fungsi nonlinear.
Saran
Untuk penelitian selanjutnya, perlu dilakukan uji komputasi dengan fungsifungsi nonlinear lain dan kasus-kasus real yang dapat dipecahkan menggunakan
metode numerik khususnya metode usulan yaitu metode NTH.
DAFTAR PUSTAKA
Chavnov JR. 2012. Introduction to Numerical Method. The Hongkong University
of Science and Technology, Hogkong :Creative Commons Attribution 3.0
Hong Kong
Cerdà V, Cerdà JL, Idris AM. 2015. Optimization using the gradient and simplex
methods. Talanta. Doi : 10.1016/j.talanta.2015.05.061.
Cormen TH, Leiserson CE, Rivest RL, Stein C. 2009. Introduction to Algorithm
Third Edition. London, England : The MIT Press.
18
Homeier HHH. 2005. On Newton-type Methods with Cubic Convergence. Journal
of Computational and Applied Mathematic 176: 425-432.
Jain D. 2013. Families of Newton-Like Methods with Fourth-Order Convergence.
International Journal of Computer Mathematic 90(5): 1072-1082.
Kumar M, Singh AK, Srivastava A. 2012. Various Newton-type Iterative Methods
for Solving Nonlinear Equations. Journal of the Egyptian Mathematic
Society 21,334-339.
Luenberger DG, Ye Y. 2008. Linear and Nonlinear Programing Third Edition.
Stanford, California: Springer.
Narang M, Bathia S, Kanwar GV. 2015. Newton two-parameter ChebyshevHalley-like family of fourth and sixth-order methods for systems of
nonlinear equation. Applied Mathematics and Computation 275 (2016) 394403.
Noor MA, Khan WA, Hussain A. 2007. A new modified Halley method without
second derivatives for nonlinear equation. 189: 1268–1273.
Putra S, Agusni, Restu YP. 2012. Kombinasi Metode Newton dengan Metode
Iterasi yang Diturunkan Berdasarkan Kombinasi Linear Beberapa Kuadratur
untuk Menyelesaikan Persamaan Nonlinear. Jurnal Sains, teknologi Industri.
10 (1): 85-89
Sánchez MG. 2009. Improving Order and Efficiency: Composition with a
Modified Newton’s Method. Journal of Computational and Applied
Mathematics 231, 592-597.
Scavo TR, Thoo JB. 1994. American Mathematical Monthly.
Snyman JA. 2005. Practical Mathematical Optimization. An Introduction to Basic
Optimization Theory and Classical and New Gradient-Based Algorithms.
University of Pretoria, Pretoria, South Africa : Springer.
Utami NNR, Widan IN, Asih ND. 2013. Perbandingan Solusi Sistem Persamaan
Nonlinear Menggunakan Metode Newton-Raphson dan Metode Jacobian.
E-jurnal Matematika 2(2): 11-17.
Weerakoon S, Fernando TGI. 2000. A Variant of Newton Raphson’s Method with
Accelerated Third-Order Convergence. Applied Mathematics Letters 13:
87-93.
LAMPIRAN
20
Lampiran 1 Implementasi setiap metode menggunakan Matlab
Sintaks untuk metode Newton
syms x; %
fun = input ('input f(x): ');
f=inline(fun)