Jurnal Matematika Vol. 10, No.2, Agustus 2007:43-50
44
1.1. Estimator deret Fourier Diasumsikan
bahwa f
∈L
2
R dengan
{ }
∫ ∞
=
∞ ∞
−
dx x
f f
R L
2 2
: , ma-
ka L
2
R merupakan ruang Hilbert [6].
Sebuah hasil kali dalam pada ruang L
2
R adalah fungsi yang mengasosiasikan bila-
ngan riil g
, f
, dengan masing-masing pasangan fungsi fx dan gx pada L
2
R. Hasil kali dalam L
2
R dari dua fungsi dan norma sebuah fungsi didefinisikan
dx x
g x
f g
f ∫
=
∞ ∞
−
, ,
∫
∞ ∞
−
= =
dx x
f f
f f
2
, .
Andaikan
{ }
,... ,
j j
2 1
=
ϕ sistem
ortonormal lengkap CONS dari L
2
R, maka sembarang f
∈ L
2
R dapat dinya- takan sebagai
∑
∞ =
=
1 j
j j
f ϕ
α dengan
j j
, f
ϕ α =
, dan memenuhi identitas Parseval
∑
∞ =
=
1 2
2 j
j
f α . Karena
∫
∞ ∞
−
∞ dx
x f
2
maka
∑
=
∞
n j
j 1
2
α sehingga
→
j
α , untuk
∞ →
j . Oleh karena itu, f dapat didekati
oleh
∑
=
=
J j
j j
f
1
ϕ α
untuk bilangan bulat J
cukup besar. Khususnya jika f
∈ L
2
[ 0,2
π], maka f dapat didekati dengan deret Fou-
rier,
∑
=
+ +
=
J j
j j
J
jx b
jx a
a x
f
1
sin cos
2 1
, 1.2
dengan koefisien Fourier
∫
= =
π
π π
2
cos 1
. cos
, 1
dx jx
x f
j f
a
j
dengan j=0,1,…,J dan dx
jx x
f j
f b
j
sin 1
. sin
, 1
2
∫
= =
π
π π
dengan j=1,2,…,J. Jika
{ }
n i
i i
Y ,
X
1 =
merupakan data observasi independen mempunyai model
1.1 dengan n
i X
i
π 2
= dan
[ ]
π 2
, X
i
∈ ,
maka estimator regresi f adalah ,
sin ˆ
cos ˆ
ˆ 2
1 ˆ
1
∑ +
+ =
= J
j j
j J
jx b
jx a
a x
f 1.3
dengan
∑
=
=
n i
i i
j
jX Y
n a
1
cos 2
ˆ , j = 0,1,…,J
dan
∑
=
=
n i
i i
j
jX Y
n b
1
sin 2
ˆ , j = 1,2,3,…,J.
1.2. Fungsi Wavelet
Fungsi wavelet adalah suatu fungsi dengan sifat-sifat tertentu diantaranya yang
berosilasi di sekitar nol seperti fungsi si- nus dan cosinus, terlokalisasi dalam do-
main waktu dan frekuensi serta mem- bentuk basis ortogonal dalam L
2
R [7].
Fungsi wavelet dibedakan atas dua jenis, yaitu wavelet ayah
φ dan wavelet ibu ψ yang mempunyai sifat:
∫ =
∞ ∞
−
1 dx
x φ
dan ∫
=
∞ ∞
−
dx x
ψ .
Dengan dilatasi diadik dan translasi in- teger, wavelet ayah dan wavelet ibu mela-
hirkan keluarga wavelet yaitu
2 2
2 1
,
k x
p p
x
j j
k j
− =
φ φ
dan 2
2
2 1
,
k x
p p
x
j j
k j
− =
ψ ψ
, untuk suatu skalar p0, dan tanpa me-
ngurangi keumuman dapat diambil p=1, sehingga
2 2
2 ,
k x
x
j j
k j
− =
φ φ
dan 2
2
2 ,
k x
x
j j
k j
− =
ψ ψ
. Fungsi
x
k ,
j
φ dan
x
k ,
j
ψ mempunyai
sifat ∫
=
∞ ∞
− ,
, ,
k k
k j
k j
dx x
x δ
φ φ
, ∫
=
∞ ∞
− ,
,
dx x
x
k j
k j
φ ψ
, ∫
=
∞ ∞
− ,
, ,
, k
k j
j k
j k
j
dx x
x δ
δ ψ
ψ ,
dengan ⎩
⎨ ⎧
≠ =
= j.
i jika
j i
jika 1
j ,
i
δ
Suparti, Achmad Mustofa dan Agus Rusgiyono Estimasi Regresi Wavelet Thresholding dengan Metode...
45 Contoh wavelet paling sederhana adalah
wavelet Haar yang mempunyai rumus
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
≤ −
≤ ≤
= lain
yang 1
2 1
1 2
1 1
x ,
x ,
x ,
x ψ
dan ⎩
⎨ ⎧
≤ ≤
= lain
yang 1
1 x
, x
, x
φ Gambar 1 adalah beberapa contoh wavelet
yang meliputi wavelet Haar, wavelet Dau- bechies Daublet, symmetris Symmlet,
dan Coifman Coiflet [8].
Gambar 1. Beberapa contoh wavelet
2. ANALISIS MULTIRESOLUSI
Kategori