Penentuan Portofolio Optimal Dengan Adanya Batasan Value At Risk (VaR)

PENENTUAN PORTOFOLIO OPTIMAL DENGAN
ADANYA BATASAN VALUE at RISK (VaR)

TESIS

Oleh
ESMINA SIMATUPANG
087021056/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2010

Universitas Sumatera Utara

PENENTUAN PORTOFOLIO OPTIMAL DENGAN
ADANYA BATASAN VALUE at RISK (VaR)

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Oleh
ESMINA SIMATUPANG
087021056/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2010

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: PENENTUAN PORTOFOLIO OPTIMAL DENGAN

ADANYA BATASAN VALUE at RISK (VaR)
Nama Mahasiswa : Esmina Simatupang
Nomor Pokok
: 087021056
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Dr. Sutarman, M.Sc)
Ketua

Ketua Program Studi

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Anggota

Dekan

(Prof. Dr. Eddy Marlianto, M.Sc)

Tanggal lulus: 18 Mei 2010

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 18 Mei 2010

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
Anggota

: Dr. Sutarman, M.Sc.
: 1. Prof. Dr. Opim Salim S., M.Sc.
2. Prof. Dr. Herman Mawengkang
3. Drs. Open Darnius, M.Sc.

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
VaR at Risk (VaR) sekarang ini menjadi alat standar dalam mengelola risiko
pada bank dan institusi keuangan. Value at Risk merupakan pengukuran kerugian harapan terburuk dalam kondisi pasar yang normal pada kurun waktu T
dengan tingkat kepercayaan tertentu α. Karena jumlah subportofolionya sedemikian biasanya sangat besar, ini melibatkan perhitungan yang sangat besar yang
mengesampingkan manajeman risiko yang sedang berjalan.
Tujuan dari tesis ini adalah untuk menentukan portofolio optimal dengan
batasan Value at Risk atas alokasi portofolio. Dalam tesis ini dikembangkan
rumusan analitik untuk Tail Conditional Expectation (TCE) dari Value at Risk
dan kemudian dijelaskan bagaimana rumusan tersebut dapat digunakan untuk
menyederhanakan kesimpulan statistik.
Kata kunci: Value at Risk, Portopolio Optimal

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT
Value at Risk (VaR) has become a key tool for risk management of financial institutions. Value at Risk measures the worst expected loss over a given horizon
under normal market conditions at a given level of confidence. Since the number of such subporfolios is usually quite large, this involves huge calculations that

preclude online risk management.
The aim of this thesis is to use optimal portofolio of Value at Risk with respect to portfolio allocation. In this thesis, we derive analytical expressions for
the Stochastic programming of the Value at Risk, and then we explain how they be
used to simplify statistical inference and performed a local analysis of the Value
at Risk. An empirical illustration of such an analysis is given for a portofolio
stochastic programming problem.

Keyword: Value at Risk, Optimal Portfolio

ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Alhamdulillah penulis panjatkan kepada Allah SWT yang Maha Pengasih
lagi Maha Penyayang atas segala rahmat dan karunia-Nya yang telah diberikan
kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini sesuai waktu yang
telah dialokasikan. Tesis ini berjudul ”Penentuan Portofolio Optimal Dengan
Adanya Batasan Value at Risk (VaR)”.
Pada kesempatan yang baik ini, penulis mengucapkan terima kasih dan
penghargaan yang sebesar-besarnya kepada:

Gubernur Sumatera Utara dan Kepala Bappeda Propinsi Sumatera Utara
beserta stafnya yang telah memberikan beasiswa kepada penulis dan kepala sekolah SMA Negeri-3 Medan Drs. Sahlan Daulay, M.Pd, yang telah memberikan
izin kepada penulis untuk mengikuti perkuliahan di Sekolah Pascasarjana Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof.

Dr.

dr.

Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc.

(CTM),

Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang memberi kesempatan
kepada penulis untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembimbing-I yang
telah banyak memberikan saran dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Ibu Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa B., M.Sc selaku Direktur Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara.

Prof. Dr Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU, yang juga sebagai Pembanding-I yang telah banyak memberikan masukan dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc., selaku sekretaris Program Studi Magister Matematika
FMIPA USU.
Prof. Dr. Opim Salim S., M.Sc. sebagai Pembimbing-II yang telah banyak
memberikan saran, masukan dan arahan yang bersifat membangun dalam penulisan tesis ini.
Drs. Open Darnius, M.Sc., sebagai Pembanding-II yang telah banyak memiii
Universitas Sumatera Utara

berikan saran dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Bapak/ Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
yang telah membekali ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai.
Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika
FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama
mengikuti pendidikan.
Ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis ucapkan kepada suami tercinta Suhunan Hamzah Gultom dan anak-anak yang kusayangi Nurhayati Gultom, Andi Nova Suheri Gultom, Mhd. Deddi Yudi Gultom, ayahanda Maratua
Simatupang dan Ibunda Leteria Ritonga (Alm), serta abang, kakak dan adik
yang turut mendoakan, mendukung dan memberi semangat kepada penulis, selama mengikuti perkuliahan di program studi Magister Matematika Universitas
Sumatera Utara.
Tak lupa rekan-rekan mahasiswa program studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2008; Lasma, Loide, Isabella, Rosmartina, Risna, Dewi, Suryaningsih, Yulis, Indramaryanti, Seprianti, Tirama, Yuliani, Agus, Tarno, Syafaruddin, Sudarman, Alfred, Adil, Rahmanan, Pramana, Tiopan, Syamsul Qomar,
Budi, Abdilla, dan Johannes P Sitanggang sebagai ketua kelas, yang turut memberikan semangat dalam perkuliahan dan penulisan tesis hingga selesai. Semoga

berkah, rahmat, hidayah dan kesehatan selalu dilimpahkan oleh Allah swt kepada
mereka semua. Amin.
Kiranya tesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang turut membantu
perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai.

Medan,

Mei 2010

Penulis,
Esmina Simatupang

iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP

Esmina Simatupang anak ketiga dari sembilan bersaudara dari pasangan
Maratua Simatupang dan Leteria Ritonga (Alm), dilahirkan di Sibudil Tapanuli
Utara pada tanggal 30 Juli 1955. Menamatkan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri

Garoga pada tahun 1968, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri
Garoga pada tahun 1971, Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri-3 Pematang Siantar pada tahun 1974. Tahun 1975 memasuki perguruan IKIP Negeri
Medan pada program Sarjana Muda Matematika, dan lulus tahun 1978. Tahun
1978 kembali melanjutkan studi di IKIP Negeri Medan pada program PGSLA jurusan Matematika, dan lulus tahun 1979. Sejak tahun 1979 penulis menjadi Guru
di SMA Negeri-3 Medan sampai saat ini. Kemudian pada tahun 1982 penulis
kembali melanjutkan studi ke jenjang S-1 jurusan Matematika di IKIP Negeri
Medan, dan lulus tahun 1984. Pada tanggal 8 Maret 1987, penulis menikah dengan Suhunan Hamzah Gultom dan telah dikaruniai 1 putri dan 2 putra, yakni
Nurhayati Gultom, Andi Nova Suheri Gultom dan Muhammad Deddi Yudi Gultom. Tahun 2008 penulis mengikuti pendidikan Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Dalam kurun waktu
2 tahun belajar di Pascasarjana USU, penulis sungguh-sungguh banyak mendapatkan pengalaman belajar yang sangat berharga. Berkat doa dan dukungan
keluarga terutama suami dan anak-anak tercinta, akhirnya penulis menyelesaikan
S-2 pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara pada tahun 2010, dan memperoleh gelar Magister Sains Matematika (M.Si) dengan
judul Tesis: ”Penentuan Portofolio Optimal Dengan Adanya Batasan Value at
Risk (VaR)”.

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

KATA PENGANTAR

iii

RIWAYAT HIDUP

v

DAFTAR ISI

vi

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Rumusan Masalah

3

1.3 Tujuan Penelitian

3

1.4 Manfaat Penelitian

3

1.5 Metode Penelitian

4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

5

BAB 3 LANDASAN TEORI

7

3.1 Optimisasi Portopolio

7

3.1.1 Model Optimisasi Portofolio

8

3.1.2 Perbandingan Pendekatan Mean-Varians dan Mean- Value at Risk
3.2 Sensitivitas dan Value at Risk

10
11

3.2.1 Definisi Value at Risk

11

3.2.2 Portofolio Efisien Value at Risk

12

3.2.3 Definisi Portofolio Efisien Value at Risk

13

vi
Universitas Sumatera Utara

3.2.4 Batas Value at Risk

15

BAB 4 PEMBAHASAN

18

4.1 Bentuk Model Berbasis Value at Risk

18

4.1.1 Model Mean Variance (MV)

18

4.1.2 Model Minimax (MM)

20

4.1.3 Model Stochastic Programming (SP)

21

4.1.4 Model Tail Conditional Exspectation (TCE)

23

4.2 Batasan Tail Conditional Exspectation (TCE)
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

26
29

5.1 Kesimpulan

29

5.2 Saran

30

DAFTAR PUSTAKA

31

vii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
VaR at Risk (VaR) sekarang ini menjadi alat standar dalam mengelola risiko
pada bank dan institusi keuangan. Value at Risk merupakan pengukuran kerugian harapan terburuk dalam kondisi pasar yang normal pada kurun waktu T
dengan tingkat kepercayaan tertentu α. Karena jumlah subportofolionya sedemikian biasanya sangat besar, ini melibatkan perhitungan yang sangat besar yang
mengesampingkan manajeman risiko yang sedang berjalan.
Tujuan dari tesis ini adalah untuk menentukan portofolio optimal dengan
batasan Value at Risk atas alokasi portofolio. Dalam tesis ini dikembangkan
rumusan analitik untuk Tail Conditional Expectation (TCE) dari Value at Risk
dan kemudian dijelaskan bagaimana rumusan tersebut dapat digunakan untuk
menyederhanakan kesimpulan statistik.
Kata kunci: Value at Risk, Portopolio Optimal

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT
Value at Risk (VaR) has become a key tool for risk management of financial institutions. Value at Risk measures the worst expected loss over a given horizon
under normal market conditions at a given level of confidence. Since the number of such subporfolios is usually quite large, this involves huge calculations that
preclude online risk management.
The aim of this thesis is to use optimal portofolio of Value at Risk with respect to portfolio allocation. In this thesis, we derive analytical expressions for
the Stochastic programming of the Value at Risk, and then we explain how they be
used to simplify statistical inference and performed a local analysis of the Value
at Risk. An empirical illustration of such an analysis is given for a portofolio
stochastic programming problem.

Keyword: Value at Risk, Optimal Portfolio

ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Dalam bidang finansial, risiko adalah variabilitas potensial terhadap aliran
kas (cash flow). Risiko finansial dapat didefinisikan sebagai peluang terjadinya
hasil (outcome) yang buruk. Misalnya, pemogokan pekerja di sebuah perusahaan,
tergusurnya produk lama, kekeliruan pihak manajemen dalam melaksanakan investasi secara besar-besaran. Hal-hal tersebut dapat menurunkan nilai saham
perusahaan dan semakin banyak peristiwa yang terjadi, semakin tinggi tingkat
risikonya. Umumnya investor, berusaha menghindari risiko. Risiko perlu dihindari namun tetap berpeluang memperoleh keuntungan yang cukup tinggi.
Investasi juga merupakan suatu kegiatan yang mengandung ketidakpastian.
Investor tidak dapat mengetahui secara pasti berapa tingkat keuntungan yang
diharapkan akan diperoleh dan tidak dapat memperhitungkan sampai berapa jauh
penyimpangan yang terjadi atas investasi yang dilakukan.
Untuk mengantisipasi risiko, maka dilakukan upaya meminimalkan kerugian
dengan portofolio investasi. Portofolio investasi merupakan kumpulan investasi
yang dibentuk untuk memenuhi suatu sasaran umum investasi. Pembentukan
portofolio berawal dari usaha diversifikasi investasi guna mengurangi risiko. Misalnya investor yang menginvestasikan dananya di pasar modal, tidak hanya memilih satu saham saja sebagai investasinya.
Alasannya dengan melakukan kombinasi saham, investor dapat meraih perolehan yang optimal sekaligus akan memperkecil risiko melalui diversifikasi. Dengan mengkombinasikan berbagai aset dalam suatu investasi, diharapkan akan
mampu meminimalkan tingkat risiko yang dimiliki oleh masing-masing aset yang
akan membentuk portofolio tersebut. Teori portofolio modern dimulai pada tahun
1952, dengan berhasilnya metode pemilihan portofolio yang diusulkan oleh Harry
1
Universitas Sumatera Utara

2
Markowitz.
Markowitz menyarankan cara seorang investor membentuk portofolio yang
menghasilkan tingkat keuntungan paling tinggi berdasarkan suatu tahap risiko,
ataupun membentuk portofolio yang berisiko paling rendah pada suatu tahap
tingkatan keuntungan (Markowitz, 1952).
Pendekatan Mean Variance adalah suatu metode paling awal untuk memecahkan masalah pemilihan portofolio. Akan tetapi, ada beberapa pendapat
yang menentangnya, meskipun pendekatan ini telah diterima dan dihargai oleh
praktisi dan akademisi selama beberapa tahun (Korn, 1997). Dalam hal ini, meminimumkan varians tidak mendorong ke arah deviasi yang rendah dari hasil yang
diharapkan pada sisi bawah rata-rata, tetapi juga pada sisi atas rata-rata.
Pengukuran risiko merupakan hal yang sangat penting dalam analisis keuangan mengingat hal ini berkenaan dengan investasi dana yang cukup besar yang
seringkali berkenaan dengan dana publik. Salah satu aspek yang paling penting
dalam analisis risiko keuangan adalah perhitungan Value at Risk.
Menurut Jorion (2001) Value at Risk merupakan pengukuran kerugian harapan terburuk dalam kondisi pasar yang normal pada kurun waktu T dengan
tingkat kepercayaan tertentu α.
Morgan (1996) menyatakan perhitungan risiko penting dalam analisis keuangan dan kalkulasi Value at Risk merupakan salah satu bentuk pengukuran risiko
yang cukup populer. Hal ini disebabkan oleh kesederhanaan konsep Value at Risk
tersebut, namun juga memiliki kemampuan implementasi berbagai metodologi
statistika yang beragam dan mutakhir. Li (1999) mengatakan bahwa beberapa
pendekatan yang dilakukan dalam analisis Value at Risk dan penajamannya untuk
mengakomodasi momen-momen statistika yang lebih tinggi dari data keuangan.
Karena jumlah subportofolio biasanya sangat besar, ini melibatkan perhitungan
dan mengesampingkan manajemen risiko yang sedang berjalan. Popularitas Value at Risk sebagian disebabkan fakta bahwa ukuran risiko pada dasarnya mudah
dipahami. Value at Risk adalah kerugian maksimum portofolio atas horizon ter-

Universitas Sumatera Utara

3
tentu, pada tingkat konfidensi tertentu.
Meskipun dengan penggunaannya yang luas, Value at Risk juga diketahui
memiliki sifat-sifat yang tidak menarik, alasannya Value at Risk merupakan ukuran risiko yang tidak kuat dan tidak konveks. Hal ini mendorong Artsner et
al.(1999) mengajukan penggunaan Tail Conditional Exspectation atau ekspektasi
bersyarat ekor, yang didefinisikan sebagai ekspektasi bersyarat kerugian di atas
VaR sebagai alternatif untuk Value at Risk. Tail Conditional Exspectation merupakan ukuran risiko yang kuat dan konveks dengan syarat teknis pada distribusi
risiko.
Fokus dari tesis ini adalah menentukan portofolio optimal dengan adanya
batasan Value at Risk. Dalam tesis ini dikembangkan rumusan Tail Conditional
Exspectation (ekspektasi bersyarat ekor) yang dapat digunakan untuk menyederhanakan kesimpulan statistik serta dapat menentukan portofolio optimal dengan
batasan Value at Risk.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun permasalahan penelitian ini adalah model yang bagaimana dapat
digunakan dalam Portofolio optimal dengan batasan Value at Risk.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk meninjau suatu model Portofolio optimal
dengan batasan Value at Risk.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat menggunakan model portofolio optimal dengan
adanya batasan Value at Risk yang dapat diterapkan pada analisis risiko keuangan.

Universitas Sumatera Utara

4
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan bersifat literatur, dengan langkah-langkah:
a. Pengertian risiko dalam bidang finansial.
b. Model mean variansi Markowitz.
c. Pengertian Value at Risk
d. Model optimisasi Value at Risk
e. Penentuan Portofolio optimal dengan adanya batasan Value at Risk
f. Mengkaji kasus batasan Tail Conditional Exspectation.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

Sudah lama para ahli ekonomi mempertimbangkan model perilaku empiris
bank atau perusahaan asuransi, di mana lembaga-lembaga ini memaksimalkan kriteria utilitas dengan batasan Value at Risk [Gollier et al (1996), Santomero dan
Babbel (1996)]. Peneliti lain juga mengkaji pemilihan portofolio optimal dengan
dibatasi oleh risiko terburuk sebagai alternatif efisien mean-variansi [Roy (1952),
Levy dan Sarnat (1972), Arzac dan Bawa (1977), Jansen et al. (1998)]. Selanjutnya penggunaan internal Value at Risk oleh lembaga-lembaga keuangan dikaji
dalam kerangka manajemen risiko untuk mengurangi masalah [Kimball (1997),
Froot dan Stein (1998), Stoughton dan Zechner (1999)]. Kalangan praktisi manajemen menentukan tingkat Value at Risk untuk setiap unit bisnis dan melaksanakan penghitngan Value at Risk untuk manajemen risiko.
Capital Aset Pricing Model (CAPM) yang dipelopori oleh Sharpe et al (1965)
mengasumsikan bahwa individu melakukan investasi berdasarkan teori portofolio,
yaitu setiap individu akan memaksimumkan tingkat keuntungan pada suatu tahap
risiko. Model ini menjadi model utama dalam bidang keuangan selama 15 tahun
yang pada akhirnya model ini diperdebatkan oleh Roll (1977). Kekurangan yang
terdapat pada Capital Aset Pricing Model ini menyebabkan Ross (1977) menghasilkan Arbitrage Pricing Theory (APT).
Menurut Arbitrage Pricing Theory, tingkat keuntungan yang diharapkan
harus dihubungkan dengan risiko yang menyebabkan suatu keadaan yang tidak
seorangpun investor dapat memperoleh keuntungan yang berlebihan melalui kegiatan arbitrage.
Tesis ini berdasarkan pada pendekatan Markowitz, H (1952) yang dimulai
dengan asumsi bahwa investor telah mengeluarkan sejumlah uang untuk investasi
masa kini. Uang ini akan diinvestasikan untuk jangka waktu tertentu yang disebut
periode kepemilikan investor. Pendekatan Markowitz dapat dipandang sebagai
5
Universitas Sumatera Utara

6
pendekatan periode tunggal, dengan permulaan periode dinotasikan t = 0 dan
akhir periode dinotasikan t = 1. Di t = 0, investor harus membuat keputusan
sekuritas apakah yang akan dibeli dan dimiliki sampai t = 1.
Dalam membuat keputusan di t = 0, investor sebaiknya tahu bahwa hasil
sekuritas di periode mendatang tidak dapat diketahui. Namun investor dapat
mengestimasi nilai harapan (mean) di berbagai sekuritas yang dipertimbangkan
dan berinvestasi di sekuritas yang memberi hasil tertinggi. Markowitz menekankan
bahwa hal ini bukan keputusan yang bijaksana karena biasanya investor, meskipun
ingin hasil yang tinggi, juga ingin hasil yang pasti. Hal ini berarti bahwa investor
dalam usaha memaksimumkan nilai harapan dan meminimumkan ketidakpastian
(risiko), memiliki dua konflik tujuan yang harus diseimbangkan satu sama lain
saat membuat keputusan membeli pada t = 0 (Sharpe William, 1995).
Meskipun Value at Risk telah digunakan secara intensif, namun literatur
yang mengkaji sifat-sifat teoritis ukuran risiko ini dan konsekuensinya pada manajemen risiko masih terbatas sekali. Dengan mengikuti pendekatan aksiomatik,
Arzner et al.(1996, 1997) membuktikan bahwa Value at Risk tidak memiliki sifat
subaditivitas untuk sebagian distribusi keuntungan aset. Ini dapat menghasilkan
insentif untuk memilah-milah portofolio guna menghindari batasan Value at Risk.
Value at Risk juga tidak selamanya konveks (cembung) atau teridentifikasi
pada alokasi portofolio sehingga dapat menimbulkan kesulitan sewaktu menghitung portofolio optimal dengan batasan Value at Risk. Pendekatan parametrik
secara umum digunakan oleh kalangan praktisi (Morgan, 1996), dan paling sering didasarkan pada asumsi normalitas gabungan keuntungan aset. Pendekatan
parametrik ini agak ketat dan umumnya mengisyaratkan penaksiran Value at Risk
yang terlalu rendah. Pendekatan nonparametrik juga ada diajukan dan terdiri
dari penentuan kwantil empiris (Value at Risk historis) seperti yang dikemukakan
oleh [Harrel dan Davis (1982), Falk (1984), (1985), Jorion (1997), Ridder (1997)].
Baru-baru ini dikembangkan pendekatan semi-parametrik yang didasarkan pada
aproksimasi nilai ekstrim [Bassi et al. (1998), Embrechts et al. (1998)], atau
Metode Likelihood [Gourieroux dan Jasiak (1999)].

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
LANDASAN TEORI

3.1 Optimisasi Portopolio
Tujuan utama seorang investor adalah mengalokasikan secara optimal investasinya diantara aset berbeda. Markowitz, H (1952) mengajukan optimisasi
mean-varians sebagai alat kuantitatif untuk membuat alokasi ini dengan memperhitungkan keseimbangan antara risiko, yang diukur oleh perolehan aset akan
datang (future).
Seorang investor yang dinamis memutuskan alokasi asetnya berdasarkan pada risiko nilai penjualan. Tujuan dari seorang pembagi aset yang dinamis adalah
untuk menemukan gabungan aset optimum dengan memaksimumkan fungsi utilitas nilai perolehan kekayaannya dari masing-masing periode tiap tahunnya. Dalam
suatu mean-varians, risiko pasar portofolio hanya bergantung pada matriks varianskovarians dan ketelitian para investor pada Value at Risk dengan tingkat kepercayaannya (95%, 97,5%, 99%) telah menjadi suatu acuan (1-p) % untuk mengukur
tinggi rendahnya risiko portofolio.
Asas pendekatan Markowitz adalah menggunakan perubahan atau variabilitas keuntungan sebagai taksiran untuk risiko investasi (Rodoni dan Othman,
2002). Markowitz mencoba membentuk konsep risiko dengan menggunakan konsep statistik yaitu varians. Teori portofolio dikembangkan setelah tahap risiko
investor ditetapkan.
Model portofolio Markowitz adalah berdasarkan empat kenyataan berikut :
1. Dua ciri yang relevan untuk sesuatu portofolio investasi adalah keuntungan
yang diharapkan dan risiko.
2. Investor yang rasional akan memilih untuk memegang portofolio yang efisien,

7
Universitas Sumatera Utara

8
yaitu portofolio yang memaksimumkan keuntungan pada tahap risiko tertentu atau meminimumkan risiko pada keuntungan tertentu yang diharapkan.
3. Secara teoritis ada kemungkinan untuk mendapatkan portofolio yang optimal dengan menganalisis setiap sekuritas berdasarkan keuntungan yang
diharapkan, varians keuntungan, dan koefisien korelasi antara keuntungan
setiap sekuritas dalam portofolio tersebut.
4. Program komputer tertentu dapat menggunakan informasi dalam setiap
sekuritas, untuk menunjukkan satu kedudukan portofolio yang efisien yang
disebut sebagai efficient frontier.

3.1.1 Model Optimisasi Portofolio
Model optimisasi portofolio berdasarkan mean-varians, dan mean- Value at
Risk yang diajukan oleh Wang (2000) adalah sebagai berikut :
a. Pendekatan Mean-Variance.
Andaikan ada n sekuritas dengan tingkat pengembalian Xi (i = 1, 2, . . . , n).
Means dan kovarians dari tingkat return (R) ini adalah :
µi = E(Xi ) dan σij = Cov(Ci, Xj ), i, j = 1, . . . , n
Vektor portopolio adalah: w = (w1, . . . , mwn) ∈ Rn dan

n
P

wi = 1

i=1

Didefinisikan bahwa kumpulan W adalah koleksi dari semua portofolio yang
mungkin :
W =

(

n
X

n

w ∈ R

Hasil total dari portofolio adalah :
Rw =

Wi = 1

i=1

n
X

)

wi Xi

i=1

Mean dan variansnya adalah :
w

µw = E(R ) = E

n
X
i=1

wi Xi

!

=

n
X

wi µi

i=1

Universitas Sumatera Utara

9
Dan
σw2

= var

n
X

wi Xi

i=1

Dimana

!

=

n
n X
X

wi wj σij

i=1 j=1

R

: batas portofolio

W

: kumpulan semua portofolio yang mungkin

w

: vektor portofolio

µw

: batas bawah rata-rata

µ0

: batas atas rata-rata

σw2

: batas bawah varians

σ02

: batas atas varians

q0

: batas atas tingkat pengembalian

qw

: batas bawah tingkat pengembalian

Ada dua model umum yang menggunakan prinsip mean-varians. Ide untuk
model pertama adalah memberi batas atas σ02 untuk hasil varians portofolio,
memilih suatu portofolio w, hingga µw adalah maksimum dengan σw2 ≤ σ02.
max µw
w∈W

(3.1)

Kendala σw2 ≤ σ02
Model kedua untuk memberi batas bawah µ0 untuk mean hasil portofolio,
memilih suatu portofolio w, hingga σw2 adalah minimum dengan µw ≥ µ0 :
max σw2
w∈W

(3.2)

Kendala µw ≥ µ0
b. Pendekatan Mean- Value at Risk.
Value at Risk mengukur kerugian harapan terburuk yang melebihi batas
waktu yang diberikan atas kondisi pasar normal pada suatu tingkat kepercayaan yang diberikan. Tepatnya, Value at Risk pada tingkat kepercayaan

Universitas Sumatera Utara

10
100(1 − α)% dari suatu portofolio w untuk suatu periode waktu tertentu

dari tingkat pengembalian qw sehingga probabilitas dari portofolio memiliki

tingkat pengembalian qw atau lebih kecil yaitu α:
P (Rw ≤ −qw ) = α

(3.3)

Sama seperti metode mean-variance, didefinisikan dua model untuk prinsip
mean- Value at Risk. Pertama adalah untuk batas atas yang diberikan q0
untuk Value at Risk hasil portofolio, memilih suatu portofolio w, sehingga
µw adalah maksimum dengan qw ≤ q0:
max µw
w∈W

(3.4)

Kendala qw ≥ q0
Tahap model kedua untuk batas atas µ0 yang diberikan untuk mean dari
hasil portopolio, memilih suatu portofolio w, hingga Value at Risk qw adalah
minimum dengan µw ≥ µ0 :

max qw
w∈W

(3.5)

Kendala µw ≥ µ0

3.1.2

Perbandingan Pendekatan Mean-Varians dan Mean- Value at
Risk
Pada bagian ini, dibandingkan pendekatan mean- Value at Risk dengan pen-

dekatan mean-varians. Dua pendekatan ini menggunakan ukuran risiko untuk
optimisasi portofolio. Pendekatan mean-varians hanya menggunakan mean dan
varians dari hasil portofolio. Pendekatan mean- Value at Risk hanya menggunakan
mean dan Value at Risk dari hasil portofolio. Kedua pendekatan ini mempunyai
banyak keuntungan, akan tetapi tidak menggunakan informasi dari distribusi hasil
portofolio.

Universitas Sumatera Utara

11
3.2 Sensitivitas dan Value at Risk
3.2.1 Definisi Value at Risk
Value at Risk sekarang ini menjadi alat standar dalam mengelola risiko pada
bank dan institusi keuangan lainnya. Hal ini diartikan sebagai kerugian untuk
suatu tingkat kepercayaan yang diberikan. Untuk suatu tingkat kepercayaan p =
99%, seorang percaya bahwa 99% pada akhir risiko terpilih tidak akan terdapat
lebih besar kerugian dari Value at Risk. Dalam teori peluang, Value at Risk
adalah 1% kuartil (secara umum (1 − p)% kuartil) dari keuntungan dan distribusi

kerugian.

Masalah sederhana adalah asumsi suatu distribusi normal, disini Value at
Risk adalah perkalian sederhana dari standar deviasi [pada tingkat kepercayaan
99%, Value at Risk adalah 2,33 standar deviasi (Jorion (2001))]. Pada masalah ini,
konsep Value at Risk tidak akan menghasilkan beberapa masalah teoritikal baru.
Akan tetapi, asumsi dari distribusi normal diragukan pada penetapan stok pasar.
Hal ini pada kenyataannya penting pada pengelolaan risiko yang kerugiannya
tinggi jauh melebihi kemungkinan pada stok pasar dari asumsi distribusi normal
yang diusulkan.
Perhatikan n aset keuangan yang harganya pada waktu t dinotasikan dengan
Pi,t i = 1, . . . , n. Dengan demikian, nilai pada waktu t dari portopolio dengan
n
P
alokasi ai, i = 1, . . . , n adalah : Wt (a) =
ai pi,t = apt = apt . Jika struktur
i=1

portopolio dipastikan tetap antara waktu sekarang t dan waktu masa mendatang
t + 1, maka perubahan nilai pasar diberikan oleh: Wt+1 − Wt (a) = a(pt+1 − pt ).

Tujuan analisa Value at Risk adalah untuk memberikan petunjuk kuantitatif
untuk penetapan besar cadangan (persyaratan modal) pada fase perubahan harga [Morgan (1996), Wilson (1996), Jorion (1997), Duffie dan Pan (1997), Dowd
(1998), Stuiz (1998) perihal analisa rinci atas konsep Value at Risk dan aplikasinya
pada manajemen risiko]. Untuk tingkat probabilitas kerugian α. Value at Risk

Universitas Sumatera Utara

12
(a, α) didefenisikan oleh :
Pt [Wt+1 (a) − Wt (a) + V aRt(a, α) < 0] = α

(3.6)

dimana Pt adalah distribusi bersyarat harga aset masa mendatang dengan memperhatikan informasi yang ada pada waktu t. Definisi sedemikian mengasumsikan distribusi bersyarat keuntungan kontinu. Nilai rentang probabilitas kerugian
adalah 1% sampai 5%, tergantung pada waktu. Karenanya Value at Risk menempati posisi global (portofolio plus cadangan) yang hanya mengalami kerugian
untuk probabilitas α kecil pada periode waktu tertentu, dan dinormalisaikan menjadi sama dengan satu. Value at Risk dapat dianggap sebagai kwartil atas pada
tingkat 1 − α, karena :
Pt [−a′yt+1 > V aRt (a, α)] = α

(3.7)

di mana yt+1 = pt+1 − pt
Pada waktu t, Value at Risk adalah fungsi dari informasi masa sebelumnya,
struktur portofolio a dan tingkat probabilitas kerugian α.
3.2.2 Portofolio Efisien Value at Risk
Pemilihan portofolio didasarkan pada pertimbangan antara perkiraan keuntungan dan risiko, dan mengharuskan pilihan untuk ukuran risiko yang akan
diimplementasikan. Biasanya risiko dinilai dengan momen orde dua bersyarat,
yaitu sifat mudah berubah. Ini menghasilkan penentuan portofolio efisien meanvariansi yang diperkenalkan Markowitz (1952). Pemilihan portofolio didasarkan
pada kriteria paling penting (probabilitas kegagalan), yang diajukan pertama kali
oleh Roy (1952) [Levy dan Sarnat (1972), Arzac dan Bawa (1977), Jansen et
al.(1998)].
Tidak banyak literatur yang memberi perhatian tentang topik pengembangan model optimisasi berdasarkan Value at Risk karena sifatnya yang diskrit
yang sulit dimasukkan dalam bentuk model stokastik tradisional. Uryasev dan

Universitas Sumatera Utara

13
Rockafellar (1999) mengajukan model berbasis-skenario untuk optimisasi portofolio dengan menggunakan Conditional Value at Risk (CVaR) yang didefinisikan
sebagai perkiraan nilai kerugian yang melebihi Value at Risk. Model optimisasinya
meminimalkan Conditional Value at Risk sekaligus menghitung Value at Risk dan
dalam kasus keuntungan portofolio yang berdistribusi normal, portofolio Conditional Value at Risk minimum ekivalen dengan portofolio Value at Risk minimum.
Kalin dan Zagst (1999) menunjukkan bagaimana Value at Risk dapat diperoleh
dari model dengan batasan sifat mudah berubah. Akan tetapi, tulisan tersebut
juga tidak mengajukan model yang memasukkan Value at Risk sebagai metrik
risiko untuk penilaian portofolio.
Basak dan Shapiro (1999) menunjukkan secara teoritis bahwa keputusan optimal yang didasarkan pada Value at Risk menghasilkan keterpaparan risiko yang
lebih tinggi daripada bila keputusan didasarkan pada perkiraan kerugian. Pada dasarnya, mereka menunjukkan bahwa bila kerugian terjadi kerugian tersebut
akan lebih besar dengan strategi manejemen risiko Value at Risk. Mereka menyatakan bahwa hal ini merupakan kelemahan signifikan dari kebijakan berbasis
Value at Risk dan mengajukan bahwa ukuran alternatif yang didasarkan pada perkiraan nilai kerugian, dimasukkan dalam strategi manajemen risiko. Pada bagian
ini diperluas teori portofolio efisien, Value at Risk diadopsi sebagai ukuran risiko
sebagai pengganti variansi.
3.2.3 Definisi Portofolio Efisien Value at Risk
Suatu anggaran tertentu w akan dialokasikan pada waktu t di antara n aset
berisiko dan satu aset bebas risiko. Harga aset berisiko pada waktu t adalah pt ,
sementara harga aset bebas risiko sama dengan satu dan suku bunga bebas risiko
sama dengan r. Batasan anggaran pada waktu t adalah : W = a0 + a′pt di mana
a0 adalah nilai dana yang diinvestasikan pada aset bebas risiko dan a alokasi pada
aset berisiko. Nilai portofolio pada waktu berikut adalah :
wt+1 = a0 (1 + r) + a′ pt+1

Universitas Sumatera Utara

14
= w(1 + r) + a′ (pt+1 − (1 + r)pt ]

= w(1 + r) + a′ yt+1

Value at Risk portofolio ini didefinisikan dengan :
Pt [Wt+1 < −V aRt(a0 , a; α)] = α

(3.8)

dan dapat ditulis dalam bentuk kwantil dari bagian risiko portofolio.
V aRt(0, a, α) = w(1 + r) + V aRt (a, α)

(3.9)

dimana V aRt (a, α) memenuhi :
Pt [ayt+1 < −V aRt (a, α)] = α

(3.10)

Didefinisikan portofolio efisien Value at Risk sebagai portofolio dengan alokasi
yang menyelesaikan masalah optimisasi dengan batasan :
n
maxa Et Wt+1
s.t.V aRt(a0 , a, α) ≤ V aR0

(3.11)

Masalah ini ekuivalen dengan :
n
maxaEt yt+1
s.t.V aRt (a; α) ≤ V aR0 − w(1 + r) = V aR0

(3.12)

dimana V aR0 adalah batasan Value at Risk.

Alokasi efisien Value at Risk tergantung pada probabilitas kerugian α, dimana
V aR0 adalah batasan risiko, dan anggaran awal w. Ini dinotasikan dengan a∗t =
a∗t [α, V aR0 ].
Batasan ini ekuivalen dengan :
(
∂V aR1
Et yt+1 = −λt ∗
∂a
V aRt (a∗t , α) ≤ V aR0

(3.13)

di mana λ∗t adalah pengali Lagrange. Pada dasarnya ini mengisyaratkan proporsionalitas pada optimum antara ekspektasi global dan lokal dari keuntungan
bersih :
i
h ′
Et Yt+1 = λ∗1 Et aat yt+1 = −V aR0

(3.14)

Universitas Sumatera Utara

15
3.2.4 Batas Value at Risk
Basak dan Shapiro (2001) mengkaji masalah optimisasi statis berikut :
sup E[u(WT )]
Wt ≥0

Dengan batasan E[ξT WT ] ≤ W0
P [W0 − WT > V aR] ≤ α

(3.15)

Pedagang yang memulai niaga dengan W0 dan harus memilih portofolio
π ∈ A untuk memaksimalkan perkiraan utilitas E[u(WTπ )] dari portofolio niaga,

dengan batasan waktu t ∈ [0, T ], nilai berisiko portofolionya, V aRαπ
t , tidak lebih

besar dari tingkat yang ditetapkan V aR(Wtπ , t) ≥ 0.

Diasumsikan bahwa fungsi utilitas u : R ∪ {−∞} naik murni, konkaf murni,

terdiferensikan kontinu dalam interior domain dom(u) = {W ∈ R : u(W ) > −∞},
dan memenuhi syarat : limW →∞ u′ (W ) = 0, limW →∞ u′(W ) = ∞ untuk W u :=
inf {W ∈ R : u(W ) > −∞}.

Masalah pemilihan portofolio yang dihadapi si pedagang adalah yang berikut
:
sup E[u(WTπ )]
dengan batasan W0π = W0 .
≤ V aR(Wtπ , t)∀t ∈ [0, T ]
V aRα,π
t

(3.16)

Didalam (3.15) diperoleh batas Value at Risk pada waktu t tergantung pada waktu
kalender dan pada nilai portofolio saat ini.
=
Karena diasumsikan bahwa V aR(Wtπ , t) ≥ 0, maka dari rumus V aRπ,0
1

T CE1π,0 = 0 dengan menetapkan π1 = 0 (yaitu, menginvestasikan segalanya pada

obligasi tidak berisiko) selalu memenuhi batasan Value at Risk. Karenanya, n
strategi niaga layak tidak kosong.
Rumus Value at Risk mengimplikasikan bahwa portofolio π memenuhi batasan:

Universitas Sumatera Utara

16
π
V aRαπ
t ≤ V aR(Wt , t)

jika dan hanya jika:


 
√
1 T 2
V aR(Wtπ , t)
−1
T
T
|η
log 1 −
r
−
N
−
r
+
π
(α)|π
σ|
σ|
µ
−
τ ≤ 0 (3.17)
t
t
t
Wtπ
2
Dalam masalah asset berisiko tunggal (n = 1), bahwa rumus ini ekivalen dengan
batas atas dan batas bawah bagian dari π1 yang dialokasikan ke asset berisiko :

π − (Wtπ , t) ≤ nt ≤ π + (Wt′, t),
di mana :


µ √
1
√
π (W, t) =
r ± N −1 ±
|σ| r |σ|
v
!
u
+
2

u µ √
V
aR(W,
t)
t
− rr 
r ± N −1 (α)
− 2 log 1 −
|σ|
W
±

(3.18)

Khususnya, dengan nilai portofolio Wtπ , himpunan portofolio yang dibolehkan πt
konveks jika n = 1 atau jika n > 1 dan α ≤ 12 . Hal ini mungkin tidak konveks
jika α >

1
2

dan n > 1. Karena dalam aplikasi praktis α < 21 , mengasumsikan

ketaksamaan ini untuk selanjutnya.
Dengan menulis ulang 3.16 sebagai masalah kontrol stokastik
sup E[u(WTπ )]
π∈A

Rt
Rt
dengan batasan Wtπ = W0 + 0 Wsπ (r + πsT µ)ds + 0 Wsπ πsT σ dws
+ 


√
1 T 2
V aR(Wtπ , t)
T
τ − N −1 (α)|πtT σ| τ 6 0
− r + πt µ − |πt σ|
log 1 −
π
Wt
2
(3.19)
dihasilkanlah karakterisasi strategi niaga optimal berikut.
Asumsikan bahwa α ≤

1
2

dan misalkan V (W, t) = sup E[u(WTπ )|Wtπ = W ]
π∈A

menyatakan fungsi nilai untuk masalah kontrol stokastik (3.19). Definisikan
√
1
√
|K| τ + N −1 (α) +
ϕ+
α (W, t) =
|K| τ
v
!
u
+

u


√
t |K| τ + N −1 (α) 2 − 2 log 1 − V aR(W, t)
− rr  (3.20)
w

Universitas Sumatera Utara

17
di mana κ = σ T (σσ T )−1 µ. Maka,ϕ+
α (W, t) ≥ 0 untuk semua W, t) ∈ (0, ∞)×[0, T ]

dan V menyelesaikan persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB).
 1 V2
w
|K}|2 + Vw W r + Vt
if − W VVwww 6 ϕ+
− 2 Vww
α,
0=
1
2
+ 2
2 +
V W |Kϕα | + Vw W (r + |K| ϕα ) + V1
2 ww

(3.21)

dengan syarat,
V (W, T ) = u(W )

(3.22)


VW (W, t)
+
· ϕ (W, t)
ϕ(W, t) = min −
W VW W (W, t) α

(3.23)

π ∗(W, t) = ϕ(W, t)(σσ T )−1 µ

(3.24)

dengan memisalkan


dan

Persamaan (3.24) menunjukkan bahwa portofolio optimal dengan batasan
Value at Risk adalah kombinasi dari asset tanpa risiko dan portofolio efisien meanvariansi (σσ T )−1 µ. Dengan demikian, dengan pendapatan asset berdistribusi lognormal, batasan Value at Risk mempengaruhi distribusi portofolio optimal antara
asset tanpa risiko dan asset risiko, tetapi menimbulkan penyimpangan pada komposisi portofolio optimal asset berisiko.
Fungsi ϕ+
α (W, t) dalam (3.20) mengidentifikasi bagian maksimum dari kekayaan
yang bisa diinvestasikan pada portofolio efisien mean-variansi pada waktu t dengan batasan Value at Risk, portofolio efisien mean-variansi tidak pernah optimal.
Hasil memungkinkan menghitung distribusi nilai portofolio dengan strategi niaga
optimal.
Misalkan p(W, t) menotasikan fungsi kepadatan Wtπ∗ . Maka, p menyelesaikan persamaan maju Kolmogorov
1 ∂2
∂
∂
2
p=
[W (r + ϕ|K|2 )p]
[(W
ϕ|K|)
p]
−
2
∂t
2 ∂W
∂W

(3.25)

dengan syarat awal p(W, 0) = δ(W − W0 ), di mana ϕ adalah fungsi dalam (3.23)

dan δ menotasikan fungsi delta Dirac. (Rumus 3,15 s/d 3.25 oleh Basak dan
Shapiro, 2001).

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
PEMBAHASAN

4.1 Bentuk Model Berbasis Value at Risk
Ada tiga model yang dikembangkan untuk pemilihan portofolio Value at
Risk yang merupakan perluasan langsung dari model yang pada dasarnya dikembangkan untuk digunakan bersama ukuran risiko lainnya. Yang pertama dari
ketiga model ini didasarkan pada kerangka Mean Variance (MV), yang kedua
adalah Model Minimax (MM) dan yang ketiga dikembangkan dari model Stochastic Programming (SP). Ketiga model tersebut, semuanya merupakan variasi dari
model pemilihan portofolio bentuk-umum, digunakan atas serangkaian skenario
yang menggambarkan keuntungan saham. Masing-masing skenario menggambakan satu realisasi gabungan yang mungkin dari keuntungan yang tidak pasti
atas horizon perencanaan.
Pada model Mean Variance, digunakan skenario untuk menghasilkan matriks variansi/kovariansi input, dan pada model lainnya skenario dimasukkan
secara langsung. Masing-masing model dikembangkan dengan asumsi horizon
perencanaan periode-tunggal. Asumsi ini dapat diperlonggar pada semua model
kecuali model Mean Variance dan digunakan untuk memungkinkan perbandingan
antar bentuk model. Keuntungan untuk Value at Risk dinyatakan pada semua
model sebagai keuntungan persentil ke-P dari R∗ .
4.1.1 Model Mean Variance (MV)
Model Mean Variance didefinisikan sebagai berikut :
min

XX
i

Xi Xj COVij

j

Dengan batasan CX T ≥ G

(4.1)

P XT ≥ 1
18
Universitas Sumatera Utara

19
X ≥0
di mana X adalah vektor 1 × N dari proporsi alokasi saham (Xj ), COVij adalah
kovariansi antara saham i dan saham j, C¯ adalah vektor 1 × N dari perkiraan ke-

untungan saham (C¯j ), P adalah vektor 1 × N dari harga sama (Pj ) dan G adalah

perkiraan keuntungan minimum yang diharuskan. Untuk mengimplementasikan
model Mean Variance dalam kerangka keputusan Value at Risk, G divariasikan

secara sistematik dari perkiraan keuntungan portofolio variansi-minimum ke perkiraan keuntungan-maksimum sampai Value at Risk target dicapai.
Tidak ada jaminan bahwa pendekatan Mean Variance akan konvergen ke
solusi layak Value at Risk. Ada kemungkinan bahwa pendekatan Mean Variance
akan konvergen ke portofolio variansi-minimum dengan keuntungan persentil keP lebih kecil dari R∗ target. Semakin tinggi tingkat merugikan risiko semakin
besar kemungkinan ini akan terjadi dan risiko portofolio akan lebih besar dari
yang dispesifikasi oleh Value at Risk target. Sama halnya, juga ada kemungkinan
pendekatan Mean Variance akan konvergen ke portofolio keuntungan maksimum
dengan keuntungan persentil ke-P lebih besar dari R∗ target yang menghasilkan
portofolio dibandingkan dengan Value at Risk yang diinginkan.
Probabilitas kejadiannya semakin besar apabila tingkat merugikan risiko berkurang. Agar supaya pendekatan Mean Variance menghasilkan portofolio yang tidak
terlalu berisiko dan juga tidak terlalu hati-hati, R∗ haruslah terletak diantara
persentil ke-P portofolio keuntungan-maksimum dan persentil ke-P portofolio
variansi-minimum.
Dengan distribusi keuntungan portofolio simetris, pendekatan Mean Variance dalam teori akan menghasilkan portofolio dengan perkiraan-keuntungan maksimum utunk Value at Risk jika R∗ berada di dalam rentang yang diperbolehkan
yang dijelaskan di atas. Akan tetapi, di dalam prakteknya, dengan rangkaian sampel skenario terbatas, model Mean Variance akan menjadi kurang handal apabila
tingkat kurtosis meningkat. Pendekatan Mean Variance telah terbukti sangat sensitif terhadap salah-spesifikasi parameter input (Koskosidis dan Duarte, 1997).
Jika keuntungan skenario sampel miring karena sedikit ekstrim di ujungnya,

Universitas Sumatera Utara

20
solusi Mean Variance lebih besar kemungkinannya konvergen ke portofolio variansiminimum jika ada kemiringan negatif dan konvergen ke portofolio yang terlalu
hati-hati jika ada kemiringan positip. Dalam uji berikut, R∗ ditetapkan pada nilai tinggi untuk menjamin model Mean Variance agar tidak konvergen ke portofolio variansi-minimum. Akan tetapi, model Mean Variance karena distribusi
keuntungan leptokurtik akan tetap konvergen ke portofolio terhadap portofolio
keuntungan-maksimum layak Value at Risk.
4.1.2 Model Minimax (MM)
Kerangka portofolio Model Minimax yang diajukan Young (1998) adalah
berbentuk:
max m
Dengan batasan C(ξ)X T − m ≥ 0∀ξ = 1 sampai S

(4.2)

CX T ≥ G
P XT ≤ 1
X ≥0
di mana m adalah keuntungan atas portofolio keuntungan-minimum dan C(ξ)
adalah vektor 1 × N dari keuntungan saham dengan skenario ξ, {cj (ξ)}. Young

mengajukan model ini sebagai pendekatan praktis terhadap pemilihan portofo-

lio sehingga manajer keuangan dapat mengimplementasikan teknik penghitungan
standar tertentu. Struktur program linier juga memungkinkan dimasukkannya
batasan sampingan bentuk khusus. Dalam pengujian yang ekstensif atas model
Model Minimax, kinerjanya terbukti serupa dengan kinerja yang teralisasi dengan
menggunakan kerangka model Mean Variance. Karena alasan ini dan karena sifat
diskrit dari metrik risiko yang dimasukkan dalam model, model Model Minimax
merupakan implementasi dengan metrik Value at Risk. Ini dicapai dengan cara
yang sama seperti dalam kerangka Mean Variance dengan menyesuaikan G sampai
keuntungan Value at Risk target R∗ dicapai.

Universitas Sumatera Utara

21
Ada dua kelemahan potensial pada implementasi model Model Minimax dengan kerangka Value at Risk (Uryasev dan Rockafellar, 1999). Pertama, ukuran
model meningkat secara langsung sesuai dengan jumlah skenario.
Kedua, di titik solusi optimal pada model Model Minimax hanya batasan
skenario kasus-terburuk dalam (4.2) yang mengikat. Idealnya, persentil ke-P batasan portofolio yang lebih rendah akan mengikat pada titik solusi optimal. Ini
mengisyaratkan bahwa profil risiko untuk portofolio Model Minimax optimal terlalu tergantung pada skenario kasus terburuk dan bukan pada rangkaian skenario
terburuk secara keseluruhan di bawah persentil ke-P . Dalam kasus distribusi
yang sangat leptokurtik (distribusi miring negatif) pendekatan Model Minimax
akan menghasilkan portofolio yang terlalu hati-hati relatif terhadap risiko yang
dispesifikasi Value at Risk.
4.1.3 Model Stochastic Programming (SP)
Kerangka stochastic programming terbukti sangat kuat untuk masalah pemilihan portofolio (Carino et al. 1994; Golub et al. 1995; Holmer dan Zenios, 1995;
Koskosidis dan Duarte, 1997). Pendekatan stochastic programming yang diajukan
Hiller dan Eckstein (1993) memberikan kerangka yang paling mudah disesuaikan
untuk alokasi portofolio Value at Risk. Model ini berbentuk
X
π(ξ)d(ξ, X)
max CX T − λ
ξ

Dengan batasan C(ξ)X T + d(ξ, X) ≥ R∗ ∀ξ = 1 sampai S

(4.3)

P XT ≤ 1
X ≥0
dimana d(ξ, X) adalah jumlah dibawah keuntungan R∗ untuk setiap skenario ξ.
Perkiraan jumlah di bawah R∗ dinyatakan dalam fungsi tujuan sebagai π(ξ)d(ξ, X),
dimana π(ξ) adalah probabilitas skenario ξ.
Suku risiko ini yang merupakan CVaR untuk portofolio (Uryasev dan Rockafellar, 1999) diberi bobot λ, dimana λ yang lebih tinggi bersesuaian dengan

Universitas Sumatera Utara

22
tingkat risiko yang lebih tinggi. Hiller dan Eckstein (1993) mengajukan model
ini sebagai model dedikasi stokastik untuk portofolio pendapatan-tetap. Pada
model awal mereka untuk manajemen aktiva/ kewajiban, R∗ ditetapkan sama
dengan nol yang menghasilkan suku risiko yang mencerminkan probabilitas dan
keparahan insolvensi atas semua skenario. Sebelum model Hiller dan Eckstein
(1993) implementasi metrik risiko mean parsial yang lebih rendah dianggap resistan dalam perhitungan pada stochastic programming. Rumus tertentu yang
diajukan oleh Hiller dan Eckstein (1993) mudah disesuaikan untuk kerangka Value at Risk dengan menetapkan R∗ sama dengan keuntungan kasus terburuk target
P
dan dengan memvariasikan parameter risiko λ hingga π(ξ) sama dengan P/100,
ξ

fungsi kepadatan probabilitas pada R∗ .

Akan tetapi ada beberapa masalah yang dapat ditemukan dalam mengimplementasikan stochastic programming untuk pemilihan portofolio dengan Value
at Risk. Pertama, model stochastic programming padat perhitungan dan banyak
kasus menjadi resistan perhitungan dengan rangkaian asumsi yang realistis, jumlah saham yang layak dan horizon perencanaan periode waktu ganda (Dahl et
al. 1993). Seperti halnya kerangka Model Minimax, ukuran model stochastic programming meningkat secara langsung sesuai dengan jumlah skenario yang menjadi
isu implementasi yang signifikan dalam kerangka Value at Risk jika probabilitas
kejadian merugikan yang tidak mungkin dan akan digambarkan dalam rangkaian
skenario.
Dengan tidak memasukkan risiko ini, model akan gagal mengontrol jenisjenis risiko yang berfungsi sebagai daya pendorong utama atas penerimaan Value
at Risk (McKay dan Keefer, 1996). Kedua, model stochastic programming akan
konvergen pada portofolio sangat leptokurtik.
Dampaknya pada keuntungan tidak sama signifikansinya dengan yang ditemukan pada Model Minimax, tetapi karena skenario keuntungan kasus terburuk
semuanya tercakup dalam fungsi tujuan, untuk mencapai Value at Risk yang
diinginkan untuk keuntungan kasus terburuk rata-rata, perkiraan kinerja keuntungan dikorbankan. Ini berarti bahwa kerangka stochastic programming, seperti

Universitas Sumatera Utara

23
pendekatan Model Minimax dan model Mean Variance, memasukkan perkiraan
kerugian dalam pengukuran kinerja ”kasus terburuk”.
4.1.4 Model Tail Conditional Exspectation (TCE)
Dalam tulisan ini dikaji perilaku optimal dengan memenuhi batasan Tail
Conditional Exspectation, dan membuktikan bahwa Tail Conditional Exspectation dan Value at Risk ekivalen sebagai alat kontrol risiko, dengan batasan Tail
Conditional Exspectation dinamik, dan batas Value at Risk dinamik. Ini berlaku
meskipun dengan fakta bahwa Tail Conditional Exspectation merupakan ukuran
risiko yang kuat, sementara Value at Risk tidak, dan karena fakta bahwa Value
at Risk, walaupun tidak bersifat subaditif namun bersifat aditif comonotonisitas
(Pflug, 2000).
Batas risiko kerugian berbasis utilitas menyebabkan keterpaparan risiko
yang lebih kecil daripada tanpa adanya batasan ini tetapi mengharuskan komitmen dari investor. Sampai sejauh ini itu tidak digunakan dalam aplikasi praktek.
Cuoco dan Liu (2006) mengkaji, dalam pendekatan tulisan ini, masalah
pelaporan dan investasi bersama sebuah lembaga keuangan dengan memenuhi
persyaratan modal minimum yang ditentukan berdasarkan ukuran Value at Risk
yang dilaporkan sendiri. Pirvu dan Zitkovic (2006) meneliti masalah ergodik maksimisasi laju pertumbuhan dengan Value at Risk, Tail Conditional Exspectation
dan membatasi perkiraan kerugian. Penulis mengasumsikan koefisien pasar stokastik dan menerapkan pendekatan untuk menilai ulang risiko secara dinamik.
Waktu-kontinu atas horizon berhingga [0, T ]. Ketidakpastian dinyatakan
dengan ruang probabilitas tersaring (Ω, F, F, P ), di mana F = {Ft} adalah filtrasi
alami yang dihasilkan oleh gerakan w Brownian d-dimensi.

Peluang investasi dinyatakan dengan n + 1 sekuritas jangka-panjang. Sekuritas pertama (”obligasi”) adalah rekening pasar uang dengan suku bunga campuran konstan secara kontinu r > 0. Ke- n asset lainnya (”saham”) berisiko dan
proses harganya S (termasuk dividen yang diinvestasikan kembali) adalah gerakan

Universitas Sumatera Utara

24
Brownian geometrik n-dimensi dengan vektor penyimpangan rl + µ dan matriks
difusi σ, yaitu
St = S0 +

Zt

IsS (r¯l +

0

di mana

ItS

µ)ds +

Zt

IsS σdws

(4.4)

0

menotasikan matriks n×n dengan elemen-elemen St dan ¯l = (1, . . . , l)T .

Diasumsikan tanpa kehilangan keumuman bahwa 1 ≤ n ≤ d dan bahwa rank
(σ) = n. Obligasi dan saham berlangsung secara kontinu dan tanpa gesekan.

Pedagang diberi waktu nol dengan kekayaan awal W0 > 0. Ia memilih proses
bobot portofolio n-dimensi yang disesuaikan πt. Sehingga proses nilai terkait Wtπ
memenuhi batasan anggaran dinamik
Wtπ = W0 +

Zt

WtS (r + πsT µ)ds +

0

Zt

WtS πsT σdws

0

Diasumsikan bahwa proses πt diperbolehkan, dan ditulis π ∈ A jika
∞ dan proses Wtπ memenuhi Wtπ ≥ 0, 0 ≤ t ≤ T . Dari (4.5) diperoleh

Z t+τ
Z t+τ


π
π
T
T
1  T 2
(r + πs µ − 2 πs σ )ds+
πs σdws
St+τ = Wt exp
t

(4.5)

RT
0

|πt|2 ds <

(4.6)

t

untuk suatu τ > 0. Untuk τ > 0 tertentu, W > 0 dan π ∈ R, misalkan


Wt+τ (W, π) = W exp (r + π T µ − 12 |π T σ|2)�