Pengaruh Kesalahan Pembulatan Pada Metode Iterasi
PENGARUH KESALAHAN PEMBULATAN PADA
METODE ITERASI
TESIS
Oleh
TOHOM PAHA MEI BANJARNAHOR
097021074/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
Universitas Sumatera Utara
PENGARUH KESALAHAN PEMBULATAN PADA
METODE ITERASI
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
TOHOM PAHA MEI BANJARNAHOR
097021074/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: PENGARUH KESALAHAN PEMBULATAN
PADA METODE ITERASI
Nama Mahasiswa : Tohom Paha Mei Banjarnahor
Nomor Pokok
: 097021074
Program Studi
: Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Ketua
(Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si)
Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 15 Juni 2011
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal 15 Juni 2011
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
:
Prof. Dr. Tulus, M.Si
Anggota
:
1. Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si
2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
3. Drs. Marwan Harahap, M.Eng
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Tesis ini membahas tentang bagaimana memperkirakan solusi dari persamaan non
linear pada ruang Banach dengan menggunakan metode Newton Raphson. Oleh
karena adanya kesalahan pembulatan pada barisan yang dihasilkan oleh komputer
sehingga berbeda dengan barisan yang dihasilkan secara teori, maka digunakan
hipotesis Lipschitz pada turunan Frechet ke-m (m ≥ 2, bulat) sebagai pengganti
dari barisan tersebut. Hal ini akan memenuhi syarat cukup konvergensi dan selanjutnya akan dapat mempercepat rasio konvergensi.
Kata kunci : Ruang banach, Metode newton, Turunan frechet, Syarat lipschitz.
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
This thesis discusses how to estimate the solution of non linear equations in Banach space using Newton Raphson method. Due to rounding errors in the sequence
generated by a computer different with a sequence generated analytically, then used
the hypothesis on the Lipschitz Frechet derivative mth (m ≥ 2, integer) instead of
the sequence. This convergence will be qualified enough and then will be able to
accelerate the convergence ratio.
Keywords : Banach space, Newton’s method, Frechet derivative, Lipschitz condition.
ii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan, karena berkat kasih
dan karunia-Nya jualah penulis dapat menyelesaikan perkuliahan tepat waktu dan
menyelesaikan Tesis dengan judul ”PENGARUH KESALAHAN PEMBULATAN PADA METODE ITERASI”.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr.dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K), selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara
yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti perkuliahan
pada Program Studi Magister Matematika.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Magister
Matematika pada Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Sumatera Utara dan juga selaku Ketua Komisi Panitia Penguji tesis ini, yang telah
dengan penuh kesabaran memotivasi dan membimbing penulis hingga selesainya
tesis ini dengan baik.
Bapak Dr. Saib Suwilo, MSc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera
Utara yang telah banyak memberikan saran dan masukan, juga motivasi belajar
selama masa perkuliahan.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si, selaku pembimbing
tesis yang telah banyak memberikan saran dan masukan, juga motivasi belajar
masa perkuliahan.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim, M.Sc dan Drs. Marwan Harahap, M.Eng, selaku
pembanding dan penguji atas segala saran dan petunjuk yang diberikan.
Gubernur Sumatera Utara, yang telah memberi bantuan beasiswa pendidikan kepada
penulis melalui BAPPEDASU.
iii
Universitas Sumatera Utara
Bapak Drs. Open Darnius, M.Sc ; Drs. Marihat Situmorang, Mkom; Drs. S.
Arriswoyo, M.Si; Drs. Sawaluddin, M.IT dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si sebagai
staf pengajar yang telah memberikan ilmunya kepada penulis selama perkuliahan.
Bapak Kepala Dinas Pendidikan, Sekretaris, Kabid SLTP / SM/PT dan jajarannya, Kepala UPT Disdik dan Camat Kecamatan Sirandorung dan rekan rekan Kepala Sekolah dalam lingkungan dinas pendidikan Kabupaten Tapanuli
Tengah
Rekan mahasiswa angkatan 2008 dan 2009 atas kerjasama dan kebersamaan
yang indah selama perkuliahan dan rekan-rekan guru dan staf SMA Negeri 1 Sirandorung Kabupaten Tapanuli Tengah yang turut memberi motivasi kepada penulis.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada istri tercinta Masda Br. Situmorang yang selalu mendukung penulis dalam menyelesaikan kuliah dan kepada
Anak-anakku tersayang Teresia Imelda, Blessinta, Anugerah dan Ruth Realita.
Secara khusus penulis menyampaikan terima kasih dan sayang yang mendalam kepada orangtua penulis ayahanda Alm. M. Banjarnahor dan Ibunda K.
Br. Siregar, kakak, adik-adik, ipar dan semua keponakan saya yang senantiasa
memberikan dukungan dan mendoakan keberhasilan penulis dalam menyelesaikan
pendidikan ini.
Kepada seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, penulis
berterima kasih atas semua bantuan yang diberikan, semoga Tuhan Yang Maha
Kuasa membalaskan segala kebaikan yang telah diberikan, Amin.
Penulis menyadari tesis ini masih jauh dari sempurna, namun penulis berharap
semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang memerlukannya.
Medan, 15 Juni 2011
Penulis,
Tohom Paha Mei Banjarnahor
iv
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama Tohom Paha Mei Banjarnahor dilahirkan di Bakara pada
tanggal 15 Mei 1971 anak ke-7 dari 9 orang bersaudara. Nama Ayah Alm. Madang
Banjarnahor dan Ibu Kristina Br. Siregar. Tamat dari Sekolah Dasar Negeri
Marbun tahun 1984, melajutkan pendidikan ke Sekolah Menengah Pertama Negeri
Bakara tamat tahun 1987, kemudian melanjut ke Sekolah Menengah Atas Negeri
Barus dan tamat tahun 1990.
Pada tahun 1990 kuliah di Institut Keguruan dan ilmu Pendidikan Negeri
Medan jurusan Pendidikan Matematika tamat tahun 1995.
Pada tahun 1997
penulis menjadi guru di SLTP Negeri 2 Manduamas Kabupaten Tapanuli Tengah,
dan pada tahun 2005 menjadi guru di SMA Negeri 1 Sirandorung dan mendapat
tugas tambahan sebagai kepala sekolah sampai dengan sekarang.
Sebagai seorang kepala rumah tangga, penulis tinggal bersama isteri dan anak
di Desa Siordang Kecamatan Sirandorung Kabupaten Tapanuli Tengah.
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK
i
ABSTRACT
ii
KATA PENGANTAR
iii
RIWAYAT HIDUP
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Kontribusi Penelitian
3
1.5 Metode Penelitian
3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
4
2.1 Aplikasi Metode Iterasi Variasional He dalam Menyelesaikan
Persamaan Orde ketujuh Swada-Kotera
4
2.2 Metode Iterasi Variasional He
4
2.3 Aplikasi Variational Iteration Method (VIM) untuk Ordo ke
7 Sawada Kotera (sSK) dan Lax’s Seventh Korteweg-de Vries
(LsKdV)
5
2.4 Penerapan dalam Contoh
6
BAB 3 LANDASAN TEORITIS
9
3.1 Kesalahan Pembulatan (Round off error)
3.2 Metode Iterasi (Iterative Method)
9
12
vi
Universitas Sumatera Utara
3.3 Metode Newton Rapshon dalam Sistem Persamaan Non Linier
14
3.3.1 Fungsi dan Himpunan Konveks
15
3.3.2 Ruang Banach (Banach Space)
16
3.3.3 Turunan Frechet
18
3.3.4 Lipschitz Kontinu
19
BAB 4 PEMBAHASAN
20
4.1 Pengaruh Kesalahan Pembulatan
20
4.2 Analisis Konvergensi
21
4.3 Penerapan dalam Kasus
25
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
30
5.1 Kesimpulan
30
5.2 Saran
30
DAFTAR PUSTAKA
31
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
3.1
Representase Kesalahan
10
3.2
Jumlah Iterasi dan Kesalahan ε = |xn − L|
12
4.1
Iterasi metode newton
27
4.2
Iterasi newton Raphson (pembulatan 5 desimal)
28
4.3
Iterasi newton Raphson (pembulatan 5 desimal)
29
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
2.1
Solusi hampiran u(x, t)
7
2.2
Solusi eksak u(x, t)
7
2.3
Solusi hampiran u(x, t)
8
2.4
Solusi eksak u(x, t)
8
ix
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Tesis ini membahas tentang bagaimana memperkirakan solusi dari persamaan non
linear pada ruang Banach dengan menggunakan metode Newton Raphson. Oleh
karena adanya kesalahan pembulatan pada barisan yang dihasilkan oleh komputer
sehingga berbeda dengan barisan yang dihasilkan secara teori, maka digunakan
hipotesis Lipschitz pada turunan Frechet ke-m (m ≥ 2, bulat) sebagai pengganti
dari barisan tersebut. Hal ini akan memenuhi syarat cukup konvergensi dan selanjutnya akan dapat mempercepat rasio konvergensi.
Kata kunci : Ruang banach, Metode newton, Turunan frechet, Syarat lipschitz.
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
This thesis discusses how to estimate the solution of non linear equations in Banach space using Newton Raphson method. Due to rounding errors in the sequence
generated by a computer different with a sequence generated analytically, then used
the hypothesis on the Lipschitz Frechet derivative mth (m ≥ 2, integer) instead of
the sequence. This convergence will be qualified enough and then will be able to
accelerate the convergence ratio.
Keywords : Banach space, Newton’s method, Frechet derivative, Lipschitz condition.
ii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dimulai pada tahun 1940-an, perkembangan dan ketersediaan komputer digital telah menyebabkan peningkatan penggunaan model matematika realistik dalam
ilmu pengetahuan, kedokteran, teknik, dan bisnis dimana analisa numerik diperlukan untuk menyelesaikan model matematika yang semakin kompleks. (Atkinson, 2007). Model matematika tersebut banyak yang sulit diselesaikan atau tidak
mungkin diselesaikan maupun dengan metode analitik dengan penggunaan rumusrumus aljabar. Untuk ini digunakan metode yang dapat menangani persoalan
tersebut dengan menggunakan metode numerik. Beberapa permasalahan dalam
bidang teknik yang sulit dapat diselesaikan dengan metode analitik karena sering
dihadapkan pada sistem persamaan berskala besar, sangat tak linier dan cakupan
yang lebih kompleks, persoalan demikian ini umumnya diselesaikan dengan metode
numerik.
Metode numerik adalah sebuah algoritma, menyangkut langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah numerik, sedangkan untuk menganalisis suatu metode
yang digunakan untuk menyelesaikan masalah numerik disebut analisis numerik.
Dalam analisis digunakan suatu model pendekatan dengan menggunakan teknikteknik kalkulasi berulang (teknik iterasi) dalam mencari solusi hampiran suatu
masalah tertentu. Karena teknik-teknik iterasi ini merupakan model pendekatan,
tentu saja terdapat kesalahan atau tidak menghasilkan solusi eksak. Selanjutnya
teknik-teknik yang digunakan mempunyai potensi membuat suatu kesalahan yang
di evaluasi secara bertahap untuk mendapatkan nilai kesalahan yang sangat kecil. Selisih antara solusi hampiran dengan solusi eksak inilah yang disebut dengan
kesalahan/galat/error. Kesalahan (error) terjadi terutama pada penyelesaian numerik seperti penyederhanaan hasil numerik, data-data yang diperoleh dari hasil
pengukuran yang kurang akurat atau karena pembulatan, nilai-nilai pendekatan
pada numerik dan sebagainya. Menurut Rizwan Butt (2009) ada tiga jenis sumber
kesalahan dalam perhitungan numerik yaitu kesalahan manusia (human error),
1
Universitas Sumatera Utara
2
kesalahan pembulatan (round off error) dan kesalahan pemotongan (truncation
error).
Kesalahan manusia merupakan kesalahan yang terjadi karena pengamatan
yang kurang tepat, kesalahan menginterpretasi data, atau kesalahan membaca
/menulis data. Kesalahan pemotongan adalah kesalahan karena pemenggalan data
misalnya pada deret suku-suku tak hingga yang hanya suku pertamanya digunakan, sedangkan kesalahan pembulatan terjadi karena adanya pembulatan dan
juga karena penggunaan digit yang terbatas pada mesin (kalkulator/komputer).
Sebaga ilustrasi, andaikan kita akan menjumlahkan bilangan 9.26541 dan 7,16252
dengan menggunakan komputer dengan ketelitian 6 digit, maka penjumlahan kedua bilangan dengan komputer tersebut akan menghasilkan bilangan : 16,4279
yang seharusnya 16,42793 sehingga terdapat suatu kesalahan pembulatan sebesar 0,00003. Jika pekerjaan komputer dilakukan dengan banyak operasi bilangan,
maka diperlukan pembulatan berkali-kali dan akibatnya terjadi kesalahan berulang
kali sehingga dapat memperbesar kesalahan.
Dalam menyelesaikan masalah numerik, khususnya dalam menentukan solusi
persamaan non linier yaitu pencarian akar F(x) = 0 dilakukan secara iterasi dengan
menggunakan berbagai metode. Metode pencarian akar tersebut salah satunya
adalah dengan metode Newton Raphson. Kinerja metode ini lebih cepat dalam
mencapai konvergensi, karena memiliki laju konvergensi kuadrat. Metode Newton merupakan metode terbaik yang terkenal untuk menentukan akar suatu fungsi
persamaan non linier, metode ini dinamakan juga sebagai metode Newton Raphson yang ditemukan oleh Isacc Newton (1669) dan Josep Raphson (1690) (Juan
C. Meza, 2010). Namun demikian penggunaan metode Newton Rapshon masih
terdapat kelemahan dalam mencapai konvergensi, salah satu penyebabnya adalah
adanya kesalahan pembulatan pada barisan iterasi yang dihasilkan oleh komputer
sehingga berbeda dengan barisan iterasi yang dihasilkan secara teori. (T.J. Ypma,
1983 dan I.K. Argyros, 2000). Dengan demikian dikembangkan Metode Newton
Raphson untuk menentukan akar dari suatu fungsi non linier yang didefenisikan
dalam ruang Banach dengan menggunakan hipotesis Lipshitz pada turunan Frechet
ke-m sehingga dapat mempercepat konvergensi.
Universitas Sumatera Utara
3
1.2 Perumusan Masalah
Masalah yang dibahas dalam penelitian ini yaitu ”Bagaimana menentukan solusi persamaan non linier pada ruang Banach dengan menggunakan metode Newton
Raphson, sebagai akibat dari adanya kesalahan pembulatan pada metode iterasi”.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan solusi persamaan non linier pada
ruang Banach dengan menggunakan metode Newton Raphson, sebagai akibat dari
adanya kesalahan pembulatan pada metode iterasi.
1.4 Kontribusi Penelitian
Manfaat dalam penelitian ini adalah membantu menyelesaikan suatu persamaan non linier untuk mempercepat konvergensi.
1.5 Metode Penelitian
Penelitian ini menggunakan metode studi literatur dengan langkah-langkah
sebagai berikut :
1. Mengumpulkan buku-buku, jurnal-jurnal, penelitian-penelitian maupun tulisan
yang berkaitan dengan penelitian yang dilakukan.
2. Mempelajari dan memahami bahan-bahan studi yang telah terkumpul seperti
Metode Newton Raphson
3. Membahas masalah persamaan non linier pada ruang Banach dengan menggunakan metode Newton Raphson untuk mempercepat konvergensi.
4. Mengecek validasi dari hasil yang diperoleh
5. Menarik kesimpulan dari hasil pembahasan dan memberikan saran-saran.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Aplikasi Metode Iterasi Variasional He dalam Menyelesaikan Persamaan Orde ketujuh Swada-Kotera
Metode analisis yang umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinier sangat terbatas dan teknik numerik yang melibatkan variabel-variabel deskrit
akan menimbulkan kesalahan pembulatan. Penelitian terbaru metode iterasi variasional oleh He memberikan pendekatan tentang kecepatan konvergensi dari solusi
eksak dan telah terbukti berhasil dalam menurunkan solusi analitis persamaan
diferensial nonliner dan linier. Metode ini lebih diminati karena bebas dari kesalahan pembulatan dan tidak memerlukan daya/memori yang besar pada komputer.
He telah menerapkan metode ini untuk mendapatkan solusi analitik dari persamaan
otonom diferensial. Metode iterasi variasional berhasil diterapkan oleh Burger’s
dan persamaan Burger’s, Schruondinger-KdV, generalisasi Kdv dan persamaan
peraian dangkal, persamaan differensial parsial Helmholtz, persamaan linier dan
non linier, Kdv, dan persamaan Boussinesg (Hossein Jafari, dkk, 2008).
Untuk menentukan penyelesaian persamaan berikut digunakan metode VIM
(Variational Iteration Method) :
ut + (63u4 + 63(2u2 uxx + uu2x ) + 21(uuxxxx + u2xx + ux uxxx) + ux uxxx)x = 0, (2.1)
Ut + (35u4 + 70(u2 uxx + uu2x ) + 7(2uuxxxx + 3u2xx + 4ux uxxx ) + ux uxxx)x = 0, (2.2)
Persamaan (2.1) dikenal sebagai persamaan urutan ketujuh Sawada-Kotera (S.M.
El-Sayed dan D. Kaya, 2004) dan Persamaan (2.2) sebagai persamaan Lax’s orde
ketujuh KdV (E.J. Parkes dan B.R. Duffy, 1996).
2.2 Metode Iterasi Variasional He
Penggunaan metode iterasi variasional, diawali dengan menentukan persamaan
differensial :
Lu + N u = g(x, t)
(2.3)
4
Universitas Sumatera Utara
5
dimana L adalah operator linear, N operator nonlinear dan g(x, t) adalah bentuk
persamaan. Metode iterasi variasional dapat dibentuk dan dianalisis dengan fungsi
sebagai berikut:
un + 1 (x, t) = un (x, t) +
Z
t
0
λ (ξ) (Lun (ξ) + N u
˜ (ξ) − g (ξ)) dξ,
n > 0,
(2.4)
dimana λ adalah pengali Lagrange (Inokuti, dkk, 1978), yang dapat diidentifikasi
dengan teori variasional, subskrip n menunjukkan hampiran orde u
˜n, ditentukan
dengan batas variasional dan δ˜
un = 0.
Hampiran un+1 (x, t), n ≥0 dari solusi u(x, t) akan mudah diperoleh dengan
menggunakan pengali Lagrange dan dengan menggunakan fungsi u0
sehingga solusinya menjadi:
u (x, t) = lim un (x, t)
(2.5)
n→∞
2.3
Aplikasi Variational Iteration Method (VIM) untuk Ordo ke 7
Sawada Kotera (sSK) dan Lax’s Seventh Korteweg-de Vries (LsKdV)
Untuk menerapkan VIM, pertama ditulis ulang persamaan (2.1) dalam ben-
tuk :
Lt (u) + (63N1 (u) + 63(2N2 (u)) + 21(N4 (u)) + Lx (u))x = 0,
(2.6)
dimana N1(u) = u4, N2 (u) = u2uxx , N3(u) = uu2x, N4 (u) = uuxxxx + u2xx + ux uxxxx,
melambangkan bentuk nonlinier. Lt =
∂
∂t
dan Lx =
∂6
∂x6
melambangkan operator
linier diferensial.
Ananlisis fungsi dari persamaan (2.6):
Z t
∂
+ (N (˜
un )) x dξ,
un + 1 (x, t) = un (x, t) +
λ (ξ)
∂ξ
0
n > 0,
(2.7)
dimana N (u) = (63N1 (u) + 63(2N2 (u) + N3 (u)) + 21(N4 (u)) + Lx (u). variasional
dengan variable bebas un , diketahui bahwa ∂N (˜
un ) = 0.
Universitas Sumatera Utara
6
δun + (x, t) = δun (x, t) + δ
Rt
0
λ (ξ)
h
∂
∂ξ
i
= (un ) + (N (˜
un )) x dξ,
Z t
t
= δun + (x, t) + λδun ξ = t −
λ (ξ)δ un dξ = 0
(2.8)
0
hal ini memenuhi syarat perlu1 + λ (ξ) = 0,
λt (ξ) |ξ = t = 0
(2.9)
dengan λ(ξ) = −1. Mensubstitusikan pengali Lagrange ke fungsi (2.7) akan memberikan rumus iterasi:
un+1 (x, t) = un (x, t) −
Z t
0
∂
(un ) x + (N (un )) x dξ, n > 0
∂ξ
(2.10)
Menggunakan pendekatan u0(x, t) ke persamaan (2.10) diperoleh nilai hampiran.
Dengan cara yang sama untuk LsKdV diperoleh rumus iterasi berikut:
Z t
∂
(un ) + F (un )x dξ, n > 0
(2.11)
un+1 (x, t) = un (x, t) −
∂ξ
0
dimana F (u) = 354u + 70(u2 uxx + uu2x ) + 7(2uuxxxx + 3u2xx + 4ux uxxx) + uxxxxxx.
Dengan demikian diperoleh solusi hampiran u (x, t) = lim un (x, t)
n→∞
2.4 Penerapan dalam Contoh
Untuk menunjukkan efekktivitas dari metode VIM ini, yang ditentukan dari
persamaan (2.1) dan (2.2) dengan memberikan syarat awal, disajikan dalam contoh
berikut.
Contoh 2.1. (Hossein Jafari, dkk, 2008). Tentukan SsK dari persamaan (2.1)
dengan syarat awal:
4k 2
2 − 3 tanh2 (kx)
(2.12)
3
Substitusikan persamaan (2.12) ke dalam persamaan (2.10) akan diperoleh:
u (x, t) =
u0 (x, t) = 43 k 2 2 − 3 tanh2 (kx)
u1 (x, t) = u0 (x, t) + 91 k 8 sec h2 (kx) t [2176 − 896 cosh (2kx)] ,
1
u2 (x, t) = u1 (x, t)+ 27
sec h8 (kx) k 14t2 ([6328576 − 6566144 cosh (2kx) + 1077248 cosh
Universitas Sumatera Utara
7
(4kx)+24832 cosh (6kx)−12544 cosh (8kx)]+ 31 k 6t2544812032 − 2746548224 cosh (2kx)
+305070080 cosh (4kx)+41746432 cosh (6kx)−5619712 cosh (8kx)]+ 91 k 12t2 [50980192256
−23855104000 cosh(2kx) − 55593402368 cosh(4kx) + 17983078400 cosh(6kx)−
1 18 3
1258815488 cosh(8kx)] 135
k t [−238459436400640 + 291359575506944 cosh(2kx)
−8208301695232 cosh(kx) + 10956730007552 cosh(6kx) − 563949338624 cosh(8kx)])
Pada gambar 2.1, dan gambar 2.2 u3(x, t)dan solusi eksak
Gambar 2.1 Solusi hampiran u(x, t)
Gambar 2.2 Solusi eksak u(x, t)
Contoh 2.2. (Hossein Jafari, dkk, 2008). Perhatikan persamaan LsKdV dengan
syarat awal yang diberikan :
U (x, 0) = 2k 2 sech2 (kx)
(2.13)
Universitas Sumatera Utara
8
dengan mensubstitusi persamaan (2.13) ke dalam persamaan (2.11) diperoleh hampiran :
u0(x, t) = 2k 2 sek 2 1(kx)
u1(x, t) = u0 (x, t) − 128k 8 tsech2(kx)
u2(x, t) = u1 (x, t)− 128
sech8 (kx)k 14t2(44040192t3 k 18+1720320t2 k 12+30464tk 6
3
+(−3440640t2 k 12−7168tk 6 +1803) cosh(2kx)+36(448k 6 t−11) cosh
(4kx) − 3 cosh(6kx) − 2004)
Pada gambar 2.3, u3(x, t) untuk k = 0, 1 dan x ∈ [−100, 100].
Pada gambar 2.4 solusi eksak u(x, t) = 2k 2 sech2 (kx)
Gambar 2.3 Solusi hampiran u(x, t)
Gambar 2.4 Solusi eksak u(x, t)
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
LANDASAN TEORITIS
3.1 Kesalahan Pembulatan (Round off error)
Solusi dengan metode numerik adalah solusi hampiran (aproksimasi) terhadap solusi eksak, dengan demikian solusi numerik mempunyai kesalahan yakni
selisih antara solusi hampiran dengan solusi eksak. Rizwan Butt (2009) menjelaskan kesalahan (error) sebagai berikut :
Solusi hampiran p mendekati solusi eksak α ditulis sebagai :
p≈α
(3.1)
dengan kesalahan E terhadap solusi hampiran p, yaitu perbedaan antara solusi
hampiran p dengan solusi eksak α yang didefenisikan
E = α−p
(3.2)
jika α > p maka E positif, dan jika α < p maka E negatif, sehingga kesalahan
absolut/mutlak didefenisikan
|E| = |α − p|
(3.3)
dengan kesalahan relatif (RE) terhadap solusi hampiran p yang merupakan rasio
dari kesalahan absolut dengan solusi eksak, maka
RE =
dan persentase kesalahan =
|α − p|
α
|α − p|
× 100%
α
α 6= 0
(3.4)
(3.5)
dengan :
E
: Error (galat)
RE : Relative Error (galat relatif)
p
: Solusi hampiran
α
: solusi eksak
9
Universitas Sumatera Utara
10
Secara umum terdapat tiga sumber utama penyebab kesalahan dalam perhitungan numerik yaitu kesalahan manusia (human error), kesalahan pemotongan
(truncation error) dan kesalahan pembulatan (round of error). Kesalahan dalam
membulatkan sebuah bilangan disebut juga kesalahan pembulatan yaitu perbedaan
solusi hampiaran dengan solusi eksak dalam perhitungan matematika. Analisis numerik secara khusus memperkirakan kesalahan dengan menggunakan pendekatan
persamaan atau algoritma, terutama ketika banyak menggunakan angka terbatas
untuk menyatakan bilangan riil (digit tak hingga) atau disebut kesalahan kuantitas.
Kesalahan yang dihasilkan ketika sebuah kalkulator atau komputer digunakan
untuk melakukan perhitungan bilangan riil disebut kesalahan pembulatan. Hal
ini terjadi karena aritmatika dilakukan di mesin melibatkan angka dengan jumlah
digit terbatas, dengan hasil perhitungan yang dilakukan hanya merupakan angka
perkiraan dari angka yang sebenarnya. Komputer hanya sebagian kecil dari sistem bilangan digunakan untuk menyatakan bilangan riil positif atau negatif, dan
menyimpan bagian pecahan bersama-sama dengan bagian eksponensial (Richard
L. Burden dan J. Douglas Faires, 2005).
Representasi kesalahan diperkenalkan dengan menyatakan bilangan dalam
komputer (kesalahan representasi), dapat ditunjukkan pada table berikut.
Tabel 3.1 Representase Kesalahan
Bilangan
1/7
ℓn 2
Log
√2
3 2
√
2
e
π
Dinyatakan
0,693
0,301
1,259
1,414
2,718
3,141
147
029
921
213
281
592
0.142857
180 559 945
995 663 981
049 894 873
562 373 095
828 459 045
653 589 793
Hampiran
309
195
164
048
235
238
41...
21...
76...
80...
36...
46...
0,142 857
0,693 147
0,3010
1,25992
1,41421
2,718 281 828 459 045
3,141 592 653 589 793
Kesalahan
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
000
029
001
003
000
000
180
995
049
562
000
000
0, 000000142857
559 945 309 41...
663 981 195 21...
894 873 164 76...
373 095 048 80...
000 000 235 36...
000 000 238 46...
Sumber : http://en.wikipedia.org/wiki/rounding error
Penambahan jumlah digit dapat dilakukan dalam representasi bilangan untuk mengurangi besarnya kesalahan pembulatan namun setiap representasi terbatas pada digit terbatas yang akan menyebabkan tingkat kesalahan pembulatan
bilangan riil.
Pembulatan berulang-ulang akan dapat meningkangkatkan kesalahan pembulatan. Sebagai contoh, jika bilangan 9,945309 dibulatkan menjadi dua tempat
Universitas Sumatera Utara
11
desimal (9,95) dengan tujuan entri data, dan kemudian dibulatkan lagi satu tempat
desimal (10,0) untuk tujuan tampilan, kesalahan pembulatan adalah 0,054691. Jika
bilangan 9,9 dibulatkan menjadi satu tempat desimal, kesalahan pembulatannya
adalah 0,045309.
Menurut Frank R. Giardano, dkk (2009) kesalahan pembulatan disebabkan
oleh penggunaan digit terbatas pada hitungan mesin. Karena semua bilangan
tidak dapat dinyatakan dengan tepat penggunaannya hanya terbatas seharusnya
diharapkan kesalahan pembulatan dapat dinyatakan. Contohnya dengan menggunakan kalkulator atau komputer digunakan delapan digit aritmatik maka bilangan
1
3
dinyatakan dengan 0,33333333 juga bahwa 3x 13 adalah 0,99999999 kesalahan
10−8 oleh karena pembulatan. Bilangan riil
1
3
adalah string tak hingga dari digit
desimal 0,333..... namun pada kalkulator atau komputer dapat dihitung dengan
ketelitian terbatas. Ketika beberapa operasi hitungan dilakukan berturut-turut,
salah satunya dengan pembulatan, akumulasi pengaruh pembulatan sangat berarti
terhadap hasil sebenaranya. Oleh karenanya kesalahan pembulatan merupakan hal
yang harus diperhatikan ketika menggunakan mesin hitung.
Pembulatan dalam aritmatika menurut standar IEEE dilakukan dengan ketentuan sebagai berikut :
1. Pemotongan : hanya mengenal satu digit ; juga disebut pembulatan ke nol
0. 142.857 ≈ 0, 142 ; pengurangan angka signifikan setelah digit ke tiga
2. Bulat untuk terdekat ; bulat untuk nilai terdekat 0. 142.857 ≈ 0, 143; pembualatan angka signifikan keempat, dibualatkan ke atas karena 8 > 5
0. 142.857 ≈ 0, 14; pembulatan yang ketiga digit yang signifikan, dibulatkan
ke bawah karena 2 < 5
3. Bulat untuk−∞ ; selalu bulat ke kiri pada garis bilangan
4. Bulat untuk +∞ ; selalu bulat ke kanan pada garis bilangan
Jika digit terakhir dari angka desimal adalah 5, maka dapat dibulatkan ke
atas atau ke bawah karena besarnya kesalahan pembulatan adalah sama.
Universitas Sumatera Utara
12
Pengaruh kesalahan pembulatan pada metode iterasi dapat ditunjukkan dengan menggunakan metode Newton’s dalam menghitung akar dari persamaan (J.M.
Chesneaux, dkk, 2010) :
F (x) = x4 − 1002x3 + 252001x2 − 501000x + 250000
(3.6)
dengan menentukan x0 = 11000 dan solusi eksak L = 500, kriteria penghentian
iterasi |xn − xn−1 | ≤ ε|xn−1 | dimana jumlah iterasi maksimum 1000. Hasilnya
ditunjukkan dalam tabel berikut :
Tabel 3.2 Jumlah Iterasi dan Kesalahan ε = |xn − L|
ε
10−7
10−8
10−9
10−10
10−11
10−12
10−13
n
26
29
33
35
127
1000
1000
|xn − L|
3,3689676 E-05
4,211986 E-06
2,525668 E-07
1,405326 E-07
1,273870 E-07
1,573727 E-07
1,573727 E-07
3.2 Metode Iterasi (Iterative Method)
Dalam matematika, iterasi dapat diartikan sebagai suatu proses perulangan
atau metode yang digunakan secara berulang dalam menyelesaikan permasalahan
matematika. Salah satu metode yang paling penting dalam perhitungan sekarang
yaitu solusi dengan metode iterasi. Persamaan non linier antara lain persamaan
kuadrat, persamaan trigonometri, persamaan yang memuat logaritma atau eksponen. Dalam kasus sederhana persamaan non linier dapat diselesaikan secara
eksak atau analitik dengan menggunakan metode atau rumus tertentu, misalnya
persamaan kuadrat diselesaikan dengan cara memfaktorkan atau menggunakan rumus. Namun secara umum persamaan non linier tidak dapat diselesaikan secara
analitik, sehingga diperlukan metode iterasi untuk menyelesaikannya.
Menurut Rogers W. Donald (2003) metode iterasi telah lama dikenal dan
digunakan secara luas dalam komputer, pada umumnya metode iterasi digunakan
karena metode analitik gagal atau memerlukan waktu yang sangat lama dimana
semakin luasnya perhitungan aljabar. Prosedur umum metode iterasi adalah untuk menentukan solusi hampiran suatu persoalan dalam matematika dengan pe-
Universitas Sumatera Utara
13
rulangan perhitungan. Selanjutnya David H. Urmann (2008) meyatakan bahwa
metode iterasi digunakan untuk memecahkan masalah matematika dengan mencari solusi eksak, dengan memberikan pendekatan awal dan diulangi untuk langkah
selanjutnya sampai diperoleh solusi akhir.
Dalam menentukan solusi persamaan non linier, misalnya masalah nilai batas
dalam teori kinetik gas, elastisitas dan masalah menentukan akar persamaan non
linier digunakan metode iterasi Newton (M. Heydari dkk, 2011). Metode Newton
Raphson dapat digunakan untuk membahas salah satu masalah dalam aproksimasi
(hampiran) numerik yaitu masalah penentuan akar persamaan non linier. Bentuk
umum permasalahnya yaitu menentukan nilai variabel x sehingga F (x) = 0 dimana F merupakan suatu fungsi non linier. Penyelesaian atau akar persamaan
tersebut adalah semua nilai x yang memenuhi persamaan dimaksud. Akar suatu
persamaan non linier dapat berupa nilai tunggal, lebih dari satu, atau bahkan
tidak mempunyai akar sama sekali. Untuk mengidentifikasi ada tidaknya atau
berapa banyak akar suatu persamaan non linier diperlukan syarat cukup agar suatu persamaan non linier mempunyai akar di dalam suatu interval sehingga dapat
dijadikan pedoman untuk melokalisir akar persamaan non linier tersebut. Pemilihan tebakan awal akan mempengaruhi kecepatan konvergensi barisan iterasi yang
menjamin tidak akan terjadi derivatif nol.
Dalam metode numerik penentuan akar dilakukan secara iterasi, metode penentuan akar terdiri dari metode tertutup dan metode terbuka. Metode tertutup
menggunakan selang [a,b] untuk menentukan akar yang berada pada selang tersebut dan pada selang tersebut dipastikan paling sedikit terdapat satu buah akar.
Metode tertutup diantaranya metode bagi dua dan metode Regula-Falsi. Sedangkan pada metode terbuka tidak diperlukan selang seperti pada metode tertutup,
namun diperlukan nilai tebakan awal. Hampiran akar didasarkan pada hampiran
akar sebelumnya melalui prosedur iterasi. Jika iterasinya konvergen maka konvergensi berlangsung sangat cepat. Jenis metode terbuka diantarannya metode iterasi
titik tetap dan metode Newton Raphson.
Universitas Sumatera Utara
14
3.3
Metode Newton Rapshon dalam Sistem Persamaan Non Linier
Generasi lain dari metode Newton Raphson adalah metode Newton-like (New-
ton’s Method) yang digunakan untuk menentukan solusi dari suatu fungsi yang
didefinisikan dalam ruang Banach atau dapat ditulis denganF (x) = 0 dimana
F : Rn → Rm .
Modifikasi atau pengembangan metode Newton dalam menyelesaikan sistem
persamaan non linier salah satunya metode inexact Newton-like. Metode Newton
untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier F (x) = 0 adalah xn+1 = xn −
(F (xn)−1 )(F (xn ) dimana x berada pada Rn . Fungsi F adalah fungsi dari himpunan
′
bagian pada Rn ke himpunan bagian Rn dan F (x) adalah matriks Jacobian dari
F (x). Pengembangan dari metode Newton yang disebut metode inexact Newtonlike dalam menentukan solusi persamaan nonlinier F (x) = 0 adalah xn+1 = xn −
(A(xn ))−1 F (xn) (M. Podisuk, 2000).
Luca Bergamaschi (2008) menjelaskan metode Newton dalam sistem persamaan non linier. Bentuk umum sistem persamaan non linier adalah sebagai
berikut :
lebih khusus F (x) = 0
F1 (x1, x2, . . . xn ) = 0
...
F1 (x1, x2, . . . xn ) = 0
(3.7)
F1 (x1, x2, . . . xn ) = 0
dimana
F1
F
2
F =
···
Fn
x
1
x
2
x=
···
xn
Fungsi F dapat dideferensialkan dalam himpunan bagian terbuka D pada Rn
.
Perhitungan skalar akan digunakan untuk menghitung solusi hampiran xn
pada xn+1 = xn + y
Universitas Sumatera Utara
15
misalkan F (xn+1 ) = 0 yang dikembangkan dari deret Taylor pada fungsiF (xn+1 ).
′
0 = F (xn + 1) = F (xn ) + F (xn )y
(3.8)
′
dimana F (xn ) adalah sistem Jacobian yang dievaluasi pada xn .
′
(F (x))ij =
∂Fi
(x)
∂xj
(3.9)
sebelumnya akan dihitung y dalam vektor n
′
y = −(F (xn ))−1 F (xn )
(3.10)
iterasi ke - n dalam metode Newton di tulis sebagai
′
Xn+1 = xn − (F (xn ))−1 F (xn)
(3.11)
dengan beberapa asumsi :
′
1. Matriks Jacobian F (xn ) saling invers
2. Konvergensi lokal pada metode Newton dapat menunjukkan bukti berupa
harga tebakan awal x0 memenuhi syarat dekat dengan solusi
3. Perhitungan xn+1 dimulai dari xn memerlukan invers dan matrik Jacobian
dalam prakteknya vektor n dievaluasi untuk menyelesaikan persamaan berikut
′
F (xn )y = −F (xn)
(3.12)
′
4. F kebanyakan tidak simetrik, sehingga metode iteratif General Minimal
Residual Solusion ( GMRES ) disarankan untuk solusi dari metode Newton.
3.3.1 Fungsi dan Himpunan Konveks
Definisi 3.1. (Robert Nurnberg, 2008) Sebuah himpunan S ⊂ Rn disebut
himpunan konveks jika segmen garis lurus yang menghubungkan dua titik dalam
himpunan S terletak di dalam himpunan S. Misalkan untuk dua titik x, y ∈ S
terdapat
∝ x + (1− ∝)y ∈ S
∀ ∝∈ [0, 1]
(3.13)
Universitas Sumatera Utara
16
Fungsi F : D → R disebut fungsi konveks jika domain D ⊂ Rn himpunan konveks
dan jika untuk dua titik x, y ∈ D,
f( 0.
′
Misalkan F (x∗) tidak tunggal, F (x∗) = 0
)
(
′
F (x∗)−1 F (m) (x) − F (m) (x∗ )
x ∈ U (x∗, σ) , x 6= x∗
(4.11)
αm+1 = sup
kx − x∗k
dan
′ ∗ −1 (i) ∗
αi ≥
F (x ) F (x )
, i = 2, . . . , m
(4.12)
kx0 − x∗ k < δ0
(4.13)
Jika x0 ∈ U (x∗ , σ) dan
dimana δ0 merupakan positif nol dari persamaan
αm+1 m
t + . . . α2t − 1 = 0,
m!
(4.14)
kemudian
x0 − F ′ (x0)−1 F (x0 ) − x∗
≤
mαm+1
(m+1)!
α
(m−1)αm
k¯
x0 −x∗ km−2 +···+ 2!2
m!
α
m+1
m
1−α2 k¯
x0 −x∗ k−···− m! k¯
x0 −x∗ k
k¯
x0 −x∗ km−1 +
x
k¯
x0 − x∗k2
(4.15)
kx0 − x∗ k < δ
(4.16)
disamping itu jika
dimana δ adalah positif nol dari persamaan
(2m + 1) αm+1 (2m − 1) αm m−1
3α2
+
t
t − 1 = 0,
+ ...+
(m + 1)!
m!
2
(4.17)
Universitas Sumatera Utara
23
maka metode Newton konvergen kuadratik ke x∗
Teorema 3. (I.K. Argyros, 2000) Jika η0 = 0, w0 < 1, x
¯0 ∈ U (x∗ , σ) dengan
x
¯0 6= x∗, dan k¯
x0 − x∗k < min{δ, δ0}
(4.18)
dimana δ0 adalah akar positif dari fungsi
f0 (t)
αm
α2
αm+1
(1 − w0+2m ) tm +
[2m − (1 − w0 )] tm−1 +. . .+ (3 − w0) t+w0−1,
(m + 1)!
m!
2!
(4.19)
maka
¯ (¯
φ
x0 ) − x∗
≤ {w0 + (1 + w0 )} k¯
x 0 − x∗ k x
mαm+1
(m+1)!
m x
kx¯ 0 −x∗ km−1 + (m−1)α
k ¯0 −x∗ km−2 +...+ α2!2
m!
α
1−α1 k¯
x0 −x∗ k−...− m+1
k¯
x0 −x∗ km
m!
k¯
x0 − x∗ k < k¯
x0 − x∗ k
x
(4.20)
Bukti : Dari persamaan (4.18) diketahui bahwa k¯
x0 − x∗k < δ. Jika φ(¯
x0) =
′
x
¯ − F (¯
x0)−1 F (¯
x0) maka pertidaksamaan (4.15) menghasilkan
kφ(¯
x 0 ) − x∗ k
<
mαm+1
(m+1)!
(m−1)αm
k¯
x0 − x∗ km−2 + . . . + α2!2
m!
k¯
x0 − x∗ km
α2 k¯
x0 − x∗ k − . . . − αm+1
m!
k¯
x0 − x∗ km−1 +
1−
k¯
x0 − x∗|2
(4.21)
pertidaksamaan pertama dalam (4.20) yang sebelumnya telah diketahui dalam
(4.9) dengan menentukan n = 0 dan menggunakan (4.21), lambang kurung kurawal
dalam (4.20) adalah kurang dari satu dengan menggunakan persamaan (4.18), sehingga teorema 3 terbukti.
Berikut ini akan ditunjukkan syarat cukup konvergensi lokal dalam metode
Newton.
Teorema 4. (I.K Argyros, 2000)
Jika ηn = 0, wn ≤ w < 1 untuk setiap n ≥ 0 dan x
¯0 ∈ U (x∗ , σ) maka
k¯
x0 − x∗ k < δ(w),
(4.22)
Universitas Sumatera Utara
24
dimana δ(w) adalah akar positif dari fungsi (4.19) dengan w0 menjadi w,
αm+1
αm
α2
(1 − w + 2m) tm +
[2m − (1 + w)]m−1 +. . .
(3 − w) t+w−1,
(m + 1)!
m!
2!
(4.23)
f (t) =
Kemudian metode Newton pada persamaan (4.6) - (4.8) menghasilkan barisan
{¯
xn }(n ≥ 0) yang konvergen ke x∗.
Pernyataan 1. Syarat yang digunakan dalam penelitian ini berbeda dari hubungan pada
persamaan (4.6) - (4.8) kecuali α = 0, dan E1 = E2 = Ri (i ∈ N)
Pernyataan 2. Teorema 4 memberikan syarat cukup untuk konvergensi lokal. Seperti yang
dijelaskan oleh T.J. Ypma (1983),ηn 6= 0, mengakibatkan wn > 1, sehingga
konvergensi menurun. Oleh karena itu dalam teori diperkirakan menurun
secara monoton pada barisan {kxn − x∗k} (n ≥ 0) dalam prakteknya syarat
dalam teori ini tidak dapat digunakan untuk beberapa nilai sekitar x∗, dalam
nilai persekitaran pada {¯
xn }(n ≥ 0).
Untuk memperkirakan nilai persekitaran digunakan :
σn = wn + (1 + wn )
x
mαm+1
(m+1)!
α
m k¯
k¯
xn −x∗ km−1 + (m−1)α
xn −x∗ km−2 +...+ 2!2
m!
α
k¯
xn −x∗ km
1−α2 k¯
xn −x∗ k−...− m+1
m!
(4.24)
k¯
xn − x∗k
untuk n ≥ 0. Dengan menggunakan persamaan (4.9), (4.15) dan (4.24) dengan
¯xn ) − x∗
< k¯
xn − x∗k jika
mudah diketahui
φ¯
µn
k¯
xn − x∗ k
>
, (1 + ηn )σn < 1
∗
kx k
1 − (1 + ηn )σn
(4.25)
Selanjutnya syarat perlu σn < 1, dan dengan persamaan (4.24) syarat tersebut
menyatakan
wn < 1,
k¯
xn − x∗k < min{δ, δn}(n ≥ 0)
(4.26)
dimana δn adalah akar positif dari fungsi
f (t) =
αm+1
αm
α2
(1 − wn + 2m) tm +
[2m − (1 + wn )]tm−1 + . . .
(3 − w) t + wn − 1, (n ≥ 0)
(m + 1)!
m!
2!
(4.27)
Universitas Sumatera Utara
25
Oleh karena itu, disimpulkan bahwa syarat cukup konvergensi:
−1
A¯n F¯n − Fn
¯−1 ′
METODE ITERASI
TESIS
Oleh
TOHOM PAHA MEI BANJARNAHOR
097021074/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
Universitas Sumatera Utara
PENGARUH KESALAHAN PEMBULATAN PADA
METODE ITERASI
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
TOHOM PAHA MEI BANJARNAHOR
097021074/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: PENGARUH KESALAHAN PEMBULATAN
PADA METODE ITERASI
Nama Mahasiswa : Tohom Paha Mei Banjarnahor
Nomor Pokok
: 097021074
Program Studi
: Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Ketua
(Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si)
Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 15 Juni 2011
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal 15 Juni 2011
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
:
Prof. Dr. Tulus, M.Si
Anggota
:
1. Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si
2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
3. Drs. Marwan Harahap, M.Eng
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Tesis ini membahas tentang bagaimana memperkirakan solusi dari persamaan non
linear pada ruang Banach dengan menggunakan metode Newton Raphson. Oleh
karena adanya kesalahan pembulatan pada barisan yang dihasilkan oleh komputer
sehingga berbeda dengan barisan yang dihasilkan secara teori, maka digunakan
hipotesis Lipschitz pada turunan Frechet ke-m (m ≥ 2, bulat) sebagai pengganti
dari barisan tersebut. Hal ini akan memenuhi syarat cukup konvergensi dan selanjutnya akan dapat mempercepat rasio konvergensi.
Kata kunci : Ruang banach, Metode newton, Turunan frechet, Syarat lipschitz.
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
This thesis discusses how to estimate the solution of non linear equations in Banach space using Newton Raphson method. Due to rounding errors in the sequence
generated by a computer different with a sequence generated analytically, then used
the hypothesis on the Lipschitz Frechet derivative mth (m ≥ 2, integer) instead of
the sequence. This convergence will be qualified enough and then will be able to
accelerate the convergence ratio.
Keywords : Banach space, Newton’s method, Frechet derivative, Lipschitz condition.
ii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan, karena berkat kasih
dan karunia-Nya jualah penulis dapat menyelesaikan perkuliahan tepat waktu dan
menyelesaikan Tesis dengan judul ”PENGARUH KESALAHAN PEMBULATAN PADA METODE ITERASI”.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr.dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K), selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara
yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti perkuliahan
pada Program Studi Magister Matematika.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Magister
Matematika pada Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Sumatera Utara dan juga selaku Ketua Komisi Panitia Penguji tesis ini, yang telah
dengan penuh kesabaran memotivasi dan membimbing penulis hingga selesainya
tesis ini dengan baik.
Bapak Dr. Saib Suwilo, MSc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera
Utara yang telah banyak memberikan saran dan masukan, juga motivasi belajar
selama masa perkuliahan.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si, selaku pembimbing
tesis yang telah banyak memberikan saran dan masukan, juga motivasi belajar
masa perkuliahan.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim, M.Sc dan Drs. Marwan Harahap, M.Eng, selaku
pembanding dan penguji atas segala saran dan petunjuk yang diberikan.
Gubernur Sumatera Utara, yang telah memberi bantuan beasiswa pendidikan kepada
penulis melalui BAPPEDASU.
iii
Universitas Sumatera Utara
Bapak Drs. Open Darnius, M.Sc ; Drs. Marihat Situmorang, Mkom; Drs. S.
Arriswoyo, M.Si; Drs. Sawaluddin, M.IT dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si sebagai
staf pengajar yang telah memberikan ilmunya kepada penulis selama perkuliahan.
Bapak Kepala Dinas Pendidikan, Sekretaris, Kabid SLTP / SM/PT dan jajarannya, Kepala UPT Disdik dan Camat Kecamatan Sirandorung dan rekan rekan Kepala Sekolah dalam lingkungan dinas pendidikan Kabupaten Tapanuli
Tengah
Rekan mahasiswa angkatan 2008 dan 2009 atas kerjasama dan kebersamaan
yang indah selama perkuliahan dan rekan-rekan guru dan staf SMA Negeri 1 Sirandorung Kabupaten Tapanuli Tengah yang turut memberi motivasi kepada penulis.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada istri tercinta Masda Br. Situmorang yang selalu mendukung penulis dalam menyelesaikan kuliah dan kepada
Anak-anakku tersayang Teresia Imelda, Blessinta, Anugerah dan Ruth Realita.
Secara khusus penulis menyampaikan terima kasih dan sayang yang mendalam kepada orangtua penulis ayahanda Alm. M. Banjarnahor dan Ibunda K.
Br. Siregar, kakak, adik-adik, ipar dan semua keponakan saya yang senantiasa
memberikan dukungan dan mendoakan keberhasilan penulis dalam menyelesaikan
pendidikan ini.
Kepada seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, penulis
berterima kasih atas semua bantuan yang diberikan, semoga Tuhan Yang Maha
Kuasa membalaskan segala kebaikan yang telah diberikan, Amin.
Penulis menyadari tesis ini masih jauh dari sempurna, namun penulis berharap
semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang memerlukannya.
Medan, 15 Juni 2011
Penulis,
Tohom Paha Mei Banjarnahor
iv
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama Tohom Paha Mei Banjarnahor dilahirkan di Bakara pada
tanggal 15 Mei 1971 anak ke-7 dari 9 orang bersaudara. Nama Ayah Alm. Madang
Banjarnahor dan Ibu Kristina Br. Siregar. Tamat dari Sekolah Dasar Negeri
Marbun tahun 1984, melajutkan pendidikan ke Sekolah Menengah Pertama Negeri
Bakara tamat tahun 1987, kemudian melanjut ke Sekolah Menengah Atas Negeri
Barus dan tamat tahun 1990.
Pada tahun 1990 kuliah di Institut Keguruan dan ilmu Pendidikan Negeri
Medan jurusan Pendidikan Matematika tamat tahun 1995.
Pada tahun 1997
penulis menjadi guru di SLTP Negeri 2 Manduamas Kabupaten Tapanuli Tengah,
dan pada tahun 2005 menjadi guru di SMA Negeri 1 Sirandorung dan mendapat
tugas tambahan sebagai kepala sekolah sampai dengan sekarang.
Sebagai seorang kepala rumah tangga, penulis tinggal bersama isteri dan anak
di Desa Siordang Kecamatan Sirandorung Kabupaten Tapanuli Tengah.
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK
i
ABSTRACT
ii
KATA PENGANTAR
iii
RIWAYAT HIDUP
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Kontribusi Penelitian
3
1.5 Metode Penelitian
3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
4
2.1 Aplikasi Metode Iterasi Variasional He dalam Menyelesaikan
Persamaan Orde ketujuh Swada-Kotera
4
2.2 Metode Iterasi Variasional He
4
2.3 Aplikasi Variational Iteration Method (VIM) untuk Ordo ke
7 Sawada Kotera (sSK) dan Lax’s Seventh Korteweg-de Vries
(LsKdV)
5
2.4 Penerapan dalam Contoh
6
BAB 3 LANDASAN TEORITIS
9
3.1 Kesalahan Pembulatan (Round off error)
3.2 Metode Iterasi (Iterative Method)
9
12
vi
Universitas Sumatera Utara
3.3 Metode Newton Rapshon dalam Sistem Persamaan Non Linier
14
3.3.1 Fungsi dan Himpunan Konveks
15
3.3.2 Ruang Banach (Banach Space)
16
3.3.3 Turunan Frechet
18
3.3.4 Lipschitz Kontinu
19
BAB 4 PEMBAHASAN
20
4.1 Pengaruh Kesalahan Pembulatan
20
4.2 Analisis Konvergensi
21
4.3 Penerapan dalam Kasus
25
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
30
5.1 Kesimpulan
30
5.2 Saran
30
DAFTAR PUSTAKA
31
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
3.1
Representase Kesalahan
10
3.2
Jumlah Iterasi dan Kesalahan ε = |xn − L|
12
4.1
Iterasi metode newton
27
4.2
Iterasi newton Raphson (pembulatan 5 desimal)
28
4.3
Iterasi newton Raphson (pembulatan 5 desimal)
29
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
2.1
Solusi hampiran u(x, t)
7
2.2
Solusi eksak u(x, t)
7
2.3
Solusi hampiran u(x, t)
8
2.4
Solusi eksak u(x, t)
8
ix
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Tesis ini membahas tentang bagaimana memperkirakan solusi dari persamaan non
linear pada ruang Banach dengan menggunakan metode Newton Raphson. Oleh
karena adanya kesalahan pembulatan pada barisan yang dihasilkan oleh komputer
sehingga berbeda dengan barisan yang dihasilkan secara teori, maka digunakan
hipotesis Lipschitz pada turunan Frechet ke-m (m ≥ 2, bulat) sebagai pengganti
dari barisan tersebut. Hal ini akan memenuhi syarat cukup konvergensi dan selanjutnya akan dapat mempercepat rasio konvergensi.
Kata kunci : Ruang banach, Metode newton, Turunan frechet, Syarat lipschitz.
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
This thesis discusses how to estimate the solution of non linear equations in Banach space using Newton Raphson method. Due to rounding errors in the sequence
generated by a computer different with a sequence generated analytically, then used
the hypothesis on the Lipschitz Frechet derivative mth (m ≥ 2, integer) instead of
the sequence. This convergence will be qualified enough and then will be able to
accelerate the convergence ratio.
Keywords : Banach space, Newton’s method, Frechet derivative, Lipschitz condition.
ii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dimulai pada tahun 1940-an, perkembangan dan ketersediaan komputer digital telah menyebabkan peningkatan penggunaan model matematika realistik dalam
ilmu pengetahuan, kedokteran, teknik, dan bisnis dimana analisa numerik diperlukan untuk menyelesaikan model matematika yang semakin kompleks. (Atkinson, 2007). Model matematika tersebut banyak yang sulit diselesaikan atau tidak
mungkin diselesaikan maupun dengan metode analitik dengan penggunaan rumusrumus aljabar. Untuk ini digunakan metode yang dapat menangani persoalan
tersebut dengan menggunakan metode numerik. Beberapa permasalahan dalam
bidang teknik yang sulit dapat diselesaikan dengan metode analitik karena sering
dihadapkan pada sistem persamaan berskala besar, sangat tak linier dan cakupan
yang lebih kompleks, persoalan demikian ini umumnya diselesaikan dengan metode
numerik.
Metode numerik adalah sebuah algoritma, menyangkut langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah numerik, sedangkan untuk menganalisis suatu metode
yang digunakan untuk menyelesaikan masalah numerik disebut analisis numerik.
Dalam analisis digunakan suatu model pendekatan dengan menggunakan teknikteknik kalkulasi berulang (teknik iterasi) dalam mencari solusi hampiran suatu
masalah tertentu. Karena teknik-teknik iterasi ini merupakan model pendekatan,
tentu saja terdapat kesalahan atau tidak menghasilkan solusi eksak. Selanjutnya
teknik-teknik yang digunakan mempunyai potensi membuat suatu kesalahan yang
di evaluasi secara bertahap untuk mendapatkan nilai kesalahan yang sangat kecil. Selisih antara solusi hampiran dengan solusi eksak inilah yang disebut dengan
kesalahan/galat/error. Kesalahan (error) terjadi terutama pada penyelesaian numerik seperti penyederhanaan hasil numerik, data-data yang diperoleh dari hasil
pengukuran yang kurang akurat atau karena pembulatan, nilai-nilai pendekatan
pada numerik dan sebagainya. Menurut Rizwan Butt (2009) ada tiga jenis sumber
kesalahan dalam perhitungan numerik yaitu kesalahan manusia (human error),
1
Universitas Sumatera Utara
2
kesalahan pembulatan (round off error) dan kesalahan pemotongan (truncation
error).
Kesalahan manusia merupakan kesalahan yang terjadi karena pengamatan
yang kurang tepat, kesalahan menginterpretasi data, atau kesalahan membaca
/menulis data. Kesalahan pemotongan adalah kesalahan karena pemenggalan data
misalnya pada deret suku-suku tak hingga yang hanya suku pertamanya digunakan, sedangkan kesalahan pembulatan terjadi karena adanya pembulatan dan
juga karena penggunaan digit yang terbatas pada mesin (kalkulator/komputer).
Sebaga ilustrasi, andaikan kita akan menjumlahkan bilangan 9.26541 dan 7,16252
dengan menggunakan komputer dengan ketelitian 6 digit, maka penjumlahan kedua bilangan dengan komputer tersebut akan menghasilkan bilangan : 16,4279
yang seharusnya 16,42793 sehingga terdapat suatu kesalahan pembulatan sebesar 0,00003. Jika pekerjaan komputer dilakukan dengan banyak operasi bilangan,
maka diperlukan pembulatan berkali-kali dan akibatnya terjadi kesalahan berulang
kali sehingga dapat memperbesar kesalahan.
Dalam menyelesaikan masalah numerik, khususnya dalam menentukan solusi
persamaan non linier yaitu pencarian akar F(x) = 0 dilakukan secara iterasi dengan
menggunakan berbagai metode. Metode pencarian akar tersebut salah satunya
adalah dengan metode Newton Raphson. Kinerja metode ini lebih cepat dalam
mencapai konvergensi, karena memiliki laju konvergensi kuadrat. Metode Newton merupakan metode terbaik yang terkenal untuk menentukan akar suatu fungsi
persamaan non linier, metode ini dinamakan juga sebagai metode Newton Raphson yang ditemukan oleh Isacc Newton (1669) dan Josep Raphson (1690) (Juan
C. Meza, 2010). Namun demikian penggunaan metode Newton Rapshon masih
terdapat kelemahan dalam mencapai konvergensi, salah satu penyebabnya adalah
adanya kesalahan pembulatan pada barisan iterasi yang dihasilkan oleh komputer
sehingga berbeda dengan barisan iterasi yang dihasilkan secara teori. (T.J. Ypma,
1983 dan I.K. Argyros, 2000). Dengan demikian dikembangkan Metode Newton
Raphson untuk menentukan akar dari suatu fungsi non linier yang didefenisikan
dalam ruang Banach dengan menggunakan hipotesis Lipshitz pada turunan Frechet
ke-m sehingga dapat mempercepat konvergensi.
Universitas Sumatera Utara
3
1.2 Perumusan Masalah
Masalah yang dibahas dalam penelitian ini yaitu ”Bagaimana menentukan solusi persamaan non linier pada ruang Banach dengan menggunakan metode Newton
Raphson, sebagai akibat dari adanya kesalahan pembulatan pada metode iterasi”.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan solusi persamaan non linier pada
ruang Banach dengan menggunakan metode Newton Raphson, sebagai akibat dari
adanya kesalahan pembulatan pada metode iterasi.
1.4 Kontribusi Penelitian
Manfaat dalam penelitian ini adalah membantu menyelesaikan suatu persamaan non linier untuk mempercepat konvergensi.
1.5 Metode Penelitian
Penelitian ini menggunakan metode studi literatur dengan langkah-langkah
sebagai berikut :
1. Mengumpulkan buku-buku, jurnal-jurnal, penelitian-penelitian maupun tulisan
yang berkaitan dengan penelitian yang dilakukan.
2. Mempelajari dan memahami bahan-bahan studi yang telah terkumpul seperti
Metode Newton Raphson
3. Membahas masalah persamaan non linier pada ruang Banach dengan menggunakan metode Newton Raphson untuk mempercepat konvergensi.
4. Mengecek validasi dari hasil yang diperoleh
5. Menarik kesimpulan dari hasil pembahasan dan memberikan saran-saran.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Aplikasi Metode Iterasi Variasional He dalam Menyelesaikan Persamaan Orde ketujuh Swada-Kotera
Metode analisis yang umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinier sangat terbatas dan teknik numerik yang melibatkan variabel-variabel deskrit
akan menimbulkan kesalahan pembulatan. Penelitian terbaru metode iterasi variasional oleh He memberikan pendekatan tentang kecepatan konvergensi dari solusi
eksak dan telah terbukti berhasil dalam menurunkan solusi analitis persamaan
diferensial nonliner dan linier. Metode ini lebih diminati karena bebas dari kesalahan pembulatan dan tidak memerlukan daya/memori yang besar pada komputer.
He telah menerapkan metode ini untuk mendapatkan solusi analitik dari persamaan
otonom diferensial. Metode iterasi variasional berhasil diterapkan oleh Burger’s
dan persamaan Burger’s, Schruondinger-KdV, generalisasi Kdv dan persamaan
peraian dangkal, persamaan differensial parsial Helmholtz, persamaan linier dan
non linier, Kdv, dan persamaan Boussinesg (Hossein Jafari, dkk, 2008).
Untuk menentukan penyelesaian persamaan berikut digunakan metode VIM
(Variational Iteration Method) :
ut + (63u4 + 63(2u2 uxx + uu2x ) + 21(uuxxxx + u2xx + ux uxxx) + ux uxxx)x = 0, (2.1)
Ut + (35u4 + 70(u2 uxx + uu2x ) + 7(2uuxxxx + 3u2xx + 4ux uxxx ) + ux uxxx)x = 0, (2.2)
Persamaan (2.1) dikenal sebagai persamaan urutan ketujuh Sawada-Kotera (S.M.
El-Sayed dan D. Kaya, 2004) dan Persamaan (2.2) sebagai persamaan Lax’s orde
ketujuh KdV (E.J. Parkes dan B.R. Duffy, 1996).
2.2 Metode Iterasi Variasional He
Penggunaan metode iterasi variasional, diawali dengan menentukan persamaan
differensial :
Lu + N u = g(x, t)
(2.3)
4
Universitas Sumatera Utara
5
dimana L adalah operator linear, N operator nonlinear dan g(x, t) adalah bentuk
persamaan. Metode iterasi variasional dapat dibentuk dan dianalisis dengan fungsi
sebagai berikut:
un + 1 (x, t) = un (x, t) +
Z
t
0
λ (ξ) (Lun (ξ) + N u
˜ (ξ) − g (ξ)) dξ,
n > 0,
(2.4)
dimana λ adalah pengali Lagrange (Inokuti, dkk, 1978), yang dapat diidentifikasi
dengan teori variasional, subskrip n menunjukkan hampiran orde u
˜n, ditentukan
dengan batas variasional dan δ˜
un = 0.
Hampiran un+1 (x, t), n ≥0 dari solusi u(x, t) akan mudah diperoleh dengan
menggunakan pengali Lagrange dan dengan menggunakan fungsi u0
sehingga solusinya menjadi:
u (x, t) = lim un (x, t)
(2.5)
n→∞
2.3
Aplikasi Variational Iteration Method (VIM) untuk Ordo ke 7
Sawada Kotera (sSK) dan Lax’s Seventh Korteweg-de Vries (LsKdV)
Untuk menerapkan VIM, pertama ditulis ulang persamaan (2.1) dalam ben-
tuk :
Lt (u) + (63N1 (u) + 63(2N2 (u)) + 21(N4 (u)) + Lx (u))x = 0,
(2.6)
dimana N1(u) = u4, N2 (u) = u2uxx , N3(u) = uu2x, N4 (u) = uuxxxx + u2xx + ux uxxxx,
melambangkan bentuk nonlinier. Lt =
∂
∂t
dan Lx =
∂6
∂x6
melambangkan operator
linier diferensial.
Ananlisis fungsi dari persamaan (2.6):
Z t
∂
+ (N (˜
un )) x dξ,
un + 1 (x, t) = un (x, t) +
λ (ξ)
∂ξ
0
n > 0,
(2.7)
dimana N (u) = (63N1 (u) + 63(2N2 (u) + N3 (u)) + 21(N4 (u)) + Lx (u). variasional
dengan variable bebas un , diketahui bahwa ∂N (˜
un ) = 0.
Universitas Sumatera Utara
6
δun + (x, t) = δun (x, t) + δ
Rt
0
λ (ξ)
h
∂
∂ξ
i
= (un ) + (N (˜
un )) x dξ,
Z t
t
= δun + (x, t) + λδun ξ = t −
λ (ξ)δ un dξ = 0
(2.8)
0
hal ini memenuhi syarat perlu1 + λ (ξ) = 0,
λt (ξ) |ξ = t = 0
(2.9)
dengan λ(ξ) = −1. Mensubstitusikan pengali Lagrange ke fungsi (2.7) akan memberikan rumus iterasi:
un+1 (x, t) = un (x, t) −
Z t
0
∂
(un ) x + (N (un )) x dξ, n > 0
∂ξ
(2.10)
Menggunakan pendekatan u0(x, t) ke persamaan (2.10) diperoleh nilai hampiran.
Dengan cara yang sama untuk LsKdV diperoleh rumus iterasi berikut:
Z t
∂
(un ) + F (un )x dξ, n > 0
(2.11)
un+1 (x, t) = un (x, t) −
∂ξ
0
dimana F (u) = 354u + 70(u2 uxx + uu2x ) + 7(2uuxxxx + 3u2xx + 4ux uxxx) + uxxxxxx.
Dengan demikian diperoleh solusi hampiran u (x, t) = lim un (x, t)
n→∞
2.4 Penerapan dalam Contoh
Untuk menunjukkan efekktivitas dari metode VIM ini, yang ditentukan dari
persamaan (2.1) dan (2.2) dengan memberikan syarat awal, disajikan dalam contoh
berikut.
Contoh 2.1. (Hossein Jafari, dkk, 2008). Tentukan SsK dari persamaan (2.1)
dengan syarat awal:
4k 2
2 − 3 tanh2 (kx)
(2.12)
3
Substitusikan persamaan (2.12) ke dalam persamaan (2.10) akan diperoleh:
u (x, t) =
u0 (x, t) = 43 k 2 2 − 3 tanh2 (kx)
u1 (x, t) = u0 (x, t) + 91 k 8 sec h2 (kx) t [2176 − 896 cosh (2kx)] ,
1
u2 (x, t) = u1 (x, t)+ 27
sec h8 (kx) k 14t2 ([6328576 − 6566144 cosh (2kx) + 1077248 cosh
Universitas Sumatera Utara
7
(4kx)+24832 cosh (6kx)−12544 cosh (8kx)]+ 31 k 6t2544812032 − 2746548224 cosh (2kx)
+305070080 cosh (4kx)+41746432 cosh (6kx)−5619712 cosh (8kx)]+ 91 k 12t2 [50980192256
−23855104000 cosh(2kx) − 55593402368 cosh(4kx) + 17983078400 cosh(6kx)−
1 18 3
1258815488 cosh(8kx)] 135
k t [−238459436400640 + 291359575506944 cosh(2kx)
−8208301695232 cosh(kx) + 10956730007552 cosh(6kx) − 563949338624 cosh(8kx)])
Pada gambar 2.1, dan gambar 2.2 u3(x, t)dan solusi eksak
Gambar 2.1 Solusi hampiran u(x, t)
Gambar 2.2 Solusi eksak u(x, t)
Contoh 2.2. (Hossein Jafari, dkk, 2008). Perhatikan persamaan LsKdV dengan
syarat awal yang diberikan :
U (x, 0) = 2k 2 sech2 (kx)
(2.13)
Universitas Sumatera Utara
8
dengan mensubstitusi persamaan (2.13) ke dalam persamaan (2.11) diperoleh hampiran :
u0(x, t) = 2k 2 sek 2 1(kx)
u1(x, t) = u0 (x, t) − 128k 8 tsech2(kx)
u2(x, t) = u1 (x, t)− 128
sech8 (kx)k 14t2(44040192t3 k 18+1720320t2 k 12+30464tk 6
3
+(−3440640t2 k 12−7168tk 6 +1803) cosh(2kx)+36(448k 6 t−11) cosh
(4kx) − 3 cosh(6kx) − 2004)
Pada gambar 2.3, u3(x, t) untuk k = 0, 1 dan x ∈ [−100, 100].
Pada gambar 2.4 solusi eksak u(x, t) = 2k 2 sech2 (kx)
Gambar 2.3 Solusi hampiran u(x, t)
Gambar 2.4 Solusi eksak u(x, t)
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
LANDASAN TEORITIS
3.1 Kesalahan Pembulatan (Round off error)
Solusi dengan metode numerik adalah solusi hampiran (aproksimasi) terhadap solusi eksak, dengan demikian solusi numerik mempunyai kesalahan yakni
selisih antara solusi hampiran dengan solusi eksak. Rizwan Butt (2009) menjelaskan kesalahan (error) sebagai berikut :
Solusi hampiran p mendekati solusi eksak α ditulis sebagai :
p≈α
(3.1)
dengan kesalahan E terhadap solusi hampiran p, yaitu perbedaan antara solusi
hampiran p dengan solusi eksak α yang didefenisikan
E = α−p
(3.2)
jika α > p maka E positif, dan jika α < p maka E negatif, sehingga kesalahan
absolut/mutlak didefenisikan
|E| = |α − p|
(3.3)
dengan kesalahan relatif (RE) terhadap solusi hampiran p yang merupakan rasio
dari kesalahan absolut dengan solusi eksak, maka
RE =
dan persentase kesalahan =
|α − p|
α
|α − p|
× 100%
α
α 6= 0
(3.4)
(3.5)
dengan :
E
: Error (galat)
RE : Relative Error (galat relatif)
p
: Solusi hampiran
α
: solusi eksak
9
Universitas Sumatera Utara
10
Secara umum terdapat tiga sumber utama penyebab kesalahan dalam perhitungan numerik yaitu kesalahan manusia (human error), kesalahan pemotongan
(truncation error) dan kesalahan pembulatan (round of error). Kesalahan dalam
membulatkan sebuah bilangan disebut juga kesalahan pembulatan yaitu perbedaan
solusi hampiaran dengan solusi eksak dalam perhitungan matematika. Analisis numerik secara khusus memperkirakan kesalahan dengan menggunakan pendekatan
persamaan atau algoritma, terutama ketika banyak menggunakan angka terbatas
untuk menyatakan bilangan riil (digit tak hingga) atau disebut kesalahan kuantitas.
Kesalahan yang dihasilkan ketika sebuah kalkulator atau komputer digunakan
untuk melakukan perhitungan bilangan riil disebut kesalahan pembulatan. Hal
ini terjadi karena aritmatika dilakukan di mesin melibatkan angka dengan jumlah
digit terbatas, dengan hasil perhitungan yang dilakukan hanya merupakan angka
perkiraan dari angka yang sebenarnya. Komputer hanya sebagian kecil dari sistem bilangan digunakan untuk menyatakan bilangan riil positif atau negatif, dan
menyimpan bagian pecahan bersama-sama dengan bagian eksponensial (Richard
L. Burden dan J. Douglas Faires, 2005).
Representasi kesalahan diperkenalkan dengan menyatakan bilangan dalam
komputer (kesalahan representasi), dapat ditunjukkan pada table berikut.
Tabel 3.1 Representase Kesalahan
Bilangan
1/7
ℓn 2
Log
√2
3 2
√
2
e
π
Dinyatakan
0,693
0,301
1,259
1,414
2,718
3,141
147
029
921
213
281
592
0.142857
180 559 945
995 663 981
049 894 873
562 373 095
828 459 045
653 589 793
Hampiran
309
195
164
048
235
238
41...
21...
76...
80...
36...
46...
0,142 857
0,693 147
0,3010
1,25992
1,41421
2,718 281 828 459 045
3,141 592 653 589 793
Kesalahan
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
000
029
001
003
000
000
180
995
049
562
000
000
0, 000000142857
559 945 309 41...
663 981 195 21...
894 873 164 76...
373 095 048 80...
000 000 235 36...
000 000 238 46...
Sumber : http://en.wikipedia.org/wiki/rounding error
Penambahan jumlah digit dapat dilakukan dalam representasi bilangan untuk mengurangi besarnya kesalahan pembulatan namun setiap representasi terbatas pada digit terbatas yang akan menyebabkan tingkat kesalahan pembulatan
bilangan riil.
Pembulatan berulang-ulang akan dapat meningkangkatkan kesalahan pembulatan. Sebagai contoh, jika bilangan 9,945309 dibulatkan menjadi dua tempat
Universitas Sumatera Utara
11
desimal (9,95) dengan tujuan entri data, dan kemudian dibulatkan lagi satu tempat
desimal (10,0) untuk tujuan tampilan, kesalahan pembulatan adalah 0,054691. Jika
bilangan 9,9 dibulatkan menjadi satu tempat desimal, kesalahan pembulatannya
adalah 0,045309.
Menurut Frank R. Giardano, dkk (2009) kesalahan pembulatan disebabkan
oleh penggunaan digit terbatas pada hitungan mesin. Karena semua bilangan
tidak dapat dinyatakan dengan tepat penggunaannya hanya terbatas seharusnya
diharapkan kesalahan pembulatan dapat dinyatakan. Contohnya dengan menggunakan kalkulator atau komputer digunakan delapan digit aritmatik maka bilangan
1
3
dinyatakan dengan 0,33333333 juga bahwa 3x 13 adalah 0,99999999 kesalahan
10−8 oleh karena pembulatan. Bilangan riil
1
3
adalah string tak hingga dari digit
desimal 0,333..... namun pada kalkulator atau komputer dapat dihitung dengan
ketelitian terbatas. Ketika beberapa operasi hitungan dilakukan berturut-turut,
salah satunya dengan pembulatan, akumulasi pengaruh pembulatan sangat berarti
terhadap hasil sebenaranya. Oleh karenanya kesalahan pembulatan merupakan hal
yang harus diperhatikan ketika menggunakan mesin hitung.
Pembulatan dalam aritmatika menurut standar IEEE dilakukan dengan ketentuan sebagai berikut :
1. Pemotongan : hanya mengenal satu digit ; juga disebut pembulatan ke nol
0. 142.857 ≈ 0, 142 ; pengurangan angka signifikan setelah digit ke tiga
2. Bulat untuk terdekat ; bulat untuk nilai terdekat 0. 142.857 ≈ 0, 143; pembualatan angka signifikan keempat, dibualatkan ke atas karena 8 > 5
0. 142.857 ≈ 0, 14; pembulatan yang ketiga digit yang signifikan, dibulatkan
ke bawah karena 2 < 5
3. Bulat untuk−∞ ; selalu bulat ke kiri pada garis bilangan
4. Bulat untuk +∞ ; selalu bulat ke kanan pada garis bilangan
Jika digit terakhir dari angka desimal adalah 5, maka dapat dibulatkan ke
atas atau ke bawah karena besarnya kesalahan pembulatan adalah sama.
Universitas Sumatera Utara
12
Pengaruh kesalahan pembulatan pada metode iterasi dapat ditunjukkan dengan menggunakan metode Newton’s dalam menghitung akar dari persamaan (J.M.
Chesneaux, dkk, 2010) :
F (x) = x4 − 1002x3 + 252001x2 − 501000x + 250000
(3.6)
dengan menentukan x0 = 11000 dan solusi eksak L = 500, kriteria penghentian
iterasi |xn − xn−1 | ≤ ε|xn−1 | dimana jumlah iterasi maksimum 1000. Hasilnya
ditunjukkan dalam tabel berikut :
Tabel 3.2 Jumlah Iterasi dan Kesalahan ε = |xn − L|
ε
10−7
10−8
10−9
10−10
10−11
10−12
10−13
n
26
29
33
35
127
1000
1000
|xn − L|
3,3689676 E-05
4,211986 E-06
2,525668 E-07
1,405326 E-07
1,273870 E-07
1,573727 E-07
1,573727 E-07
3.2 Metode Iterasi (Iterative Method)
Dalam matematika, iterasi dapat diartikan sebagai suatu proses perulangan
atau metode yang digunakan secara berulang dalam menyelesaikan permasalahan
matematika. Salah satu metode yang paling penting dalam perhitungan sekarang
yaitu solusi dengan metode iterasi. Persamaan non linier antara lain persamaan
kuadrat, persamaan trigonometri, persamaan yang memuat logaritma atau eksponen. Dalam kasus sederhana persamaan non linier dapat diselesaikan secara
eksak atau analitik dengan menggunakan metode atau rumus tertentu, misalnya
persamaan kuadrat diselesaikan dengan cara memfaktorkan atau menggunakan rumus. Namun secara umum persamaan non linier tidak dapat diselesaikan secara
analitik, sehingga diperlukan metode iterasi untuk menyelesaikannya.
Menurut Rogers W. Donald (2003) metode iterasi telah lama dikenal dan
digunakan secara luas dalam komputer, pada umumnya metode iterasi digunakan
karena metode analitik gagal atau memerlukan waktu yang sangat lama dimana
semakin luasnya perhitungan aljabar. Prosedur umum metode iterasi adalah untuk menentukan solusi hampiran suatu persoalan dalam matematika dengan pe-
Universitas Sumatera Utara
13
rulangan perhitungan. Selanjutnya David H. Urmann (2008) meyatakan bahwa
metode iterasi digunakan untuk memecahkan masalah matematika dengan mencari solusi eksak, dengan memberikan pendekatan awal dan diulangi untuk langkah
selanjutnya sampai diperoleh solusi akhir.
Dalam menentukan solusi persamaan non linier, misalnya masalah nilai batas
dalam teori kinetik gas, elastisitas dan masalah menentukan akar persamaan non
linier digunakan metode iterasi Newton (M. Heydari dkk, 2011). Metode Newton
Raphson dapat digunakan untuk membahas salah satu masalah dalam aproksimasi
(hampiran) numerik yaitu masalah penentuan akar persamaan non linier. Bentuk
umum permasalahnya yaitu menentukan nilai variabel x sehingga F (x) = 0 dimana F merupakan suatu fungsi non linier. Penyelesaian atau akar persamaan
tersebut adalah semua nilai x yang memenuhi persamaan dimaksud. Akar suatu
persamaan non linier dapat berupa nilai tunggal, lebih dari satu, atau bahkan
tidak mempunyai akar sama sekali. Untuk mengidentifikasi ada tidaknya atau
berapa banyak akar suatu persamaan non linier diperlukan syarat cukup agar suatu persamaan non linier mempunyai akar di dalam suatu interval sehingga dapat
dijadikan pedoman untuk melokalisir akar persamaan non linier tersebut. Pemilihan tebakan awal akan mempengaruhi kecepatan konvergensi barisan iterasi yang
menjamin tidak akan terjadi derivatif nol.
Dalam metode numerik penentuan akar dilakukan secara iterasi, metode penentuan akar terdiri dari metode tertutup dan metode terbuka. Metode tertutup
menggunakan selang [a,b] untuk menentukan akar yang berada pada selang tersebut dan pada selang tersebut dipastikan paling sedikit terdapat satu buah akar.
Metode tertutup diantaranya metode bagi dua dan metode Regula-Falsi. Sedangkan pada metode terbuka tidak diperlukan selang seperti pada metode tertutup,
namun diperlukan nilai tebakan awal. Hampiran akar didasarkan pada hampiran
akar sebelumnya melalui prosedur iterasi. Jika iterasinya konvergen maka konvergensi berlangsung sangat cepat. Jenis metode terbuka diantarannya metode iterasi
titik tetap dan metode Newton Raphson.
Universitas Sumatera Utara
14
3.3
Metode Newton Rapshon dalam Sistem Persamaan Non Linier
Generasi lain dari metode Newton Raphson adalah metode Newton-like (New-
ton’s Method) yang digunakan untuk menentukan solusi dari suatu fungsi yang
didefinisikan dalam ruang Banach atau dapat ditulis denganF (x) = 0 dimana
F : Rn → Rm .
Modifikasi atau pengembangan metode Newton dalam menyelesaikan sistem
persamaan non linier salah satunya metode inexact Newton-like. Metode Newton
untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier F (x) = 0 adalah xn+1 = xn −
(F (xn)−1 )(F (xn ) dimana x berada pada Rn . Fungsi F adalah fungsi dari himpunan
′
bagian pada Rn ke himpunan bagian Rn dan F (x) adalah matriks Jacobian dari
F (x). Pengembangan dari metode Newton yang disebut metode inexact Newtonlike dalam menentukan solusi persamaan nonlinier F (x) = 0 adalah xn+1 = xn −
(A(xn ))−1 F (xn) (M. Podisuk, 2000).
Luca Bergamaschi (2008) menjelaskan metode Newton dalam sistem persamaan non linier. Bentuk umum sistem persamaan non linier adalah sebagai
berikut :
lebih khusus F (x) = 0
F1 (x1, x2, . . . xn ) = 0
...
F1 (x1, x2, . . . xn ) = 0
(3.7)
F1 (x1, x2, . . . xn ) = 0
dimana
F1
F
2
F =
···
Fn
x
1
x
2
x=
···
xn
Fungsi F dapat dideferensialkan dalam himpunan bagian terbuka D pada Rn
.
Perhitungan skalar akan digunakan untuk menghitung solusi hampiran xn
pada xn+1 = xn + y
Universitas Sumatera Utara
15
misalkan F (xn+1 ) = 0 yang dikembangkan dari deret Taylor pada fungsiF (xn+1 ).
′
0 = F (xn + 1) = F (xn ) + F (xn )y
(3.8)
′
dimana F (xn ) adalah sistem Jacobian yang dievaluasi pada xn .
′
(F (x))ij =
∂Fi
(x)
∂xj
(3.9)
sebelumnya akan dihitung y dalam vektor n
′
y = −(F (xn ))−1 F (xn )
(3.10)
iterasi ke - n dalam metode Newton di tulis sebagai
′
Xn+1 = xn − (F (xn ))−1 F (xn)
(3.11)
dengan beberapa asumsi :
′
1. Matriks Jacobian F (xn ) saling invers
2. Konvergensi lokal pada metode Newton dapat menunjukkan bukti berupa
harga tebakan awal x0 memenuhi syarat dekat dengan solusi
3. Perhitungan xn+1 dimulai dari xn memerlukan invers dan matrik Jacobian
dalam prakteknya vektor n dievaluasi untuk menyelesaikan persamaan berikut
′
F (xn )y = −F (xn)
(3.12)
′
4. F kebanyakan tidak simetrik, sehingga metode iteratif General Minimal
Residual Solusion ( GMRES ) disarankan untuk solusi dari metode Newton.
3.3.1 Fungsi dan Himpunan Konveks
Definisi 3.1. (Robert Nurnberg, 2008) Sebuah himpunan S ⊂ Rn disebut
himpunan konveks jika segmen garis lurus yang menghubungkan dua titik dalam
himpunan S terletak di dalam himpunan S. Misalkan untuk dua titik x, y ∈ S
terdapat
∝ x + (1− ∝)y ∈ S
∀ ∝∈ [0, 1]
(3.13)
Universitas Sumatera Utara
16
Fungsi F : D → R disebut fungsi konveks jika domain D ⊂ Rn himpunan konveks
dan jika untuk dua titik x, y ∈ D,
f( 0.
′
Misalkan F (x∗) tidak tunggal, F (x∗) = 0
)
(
′
F (x∗)−1 F (m) (x) − F (m) (x∗ )
x ∈ U (x∗, σ) , x 6= x∗
(4.11)
αm+1 = sup
kx − x∗k
dan
′ ∗ −1 (i) ∗
αi ≥
F (x ) F (x )
, i = 2, . . . , m
(4.12)
kx0 − x∗ k < δ0
(4.13)
Jika x0 ∈ U (x∗ , σ) dan
dimana δ0 merupakan positif nol dari persamaan
αm+1 m
t + . . . α2t − 1 = 0,
m!
(4.14)
kemudian
x0 − F ′ (x0)−1 F (x0 ) − x∗
≤
mαm+1
(m+1)!
α
(m−1)αm
k¯
x0 −x∗ km−2 +···+ 2!2
m!
α
m+1
m
1−α2 k¯
x0 −x∗ k−···− m! k¯
x0 −x∗ k
k¯
x0 −x∗ km−1 +
x
k¯
x0 − x∗k2
(4.15)
kx0 − x∗ k < δ
(4.16)
disamping itu jika
dimana δ adalah positif nol dari persamaan
(2m + 1) αm+1 (2m − 1) αm m−1
3α2
+
t
t − 1 = 0,
+ ...+
(m + 1)!
m!
2
(4.17)
Universitas Sumatera Utara
23
maka metode Newton konvergen kuadratik ke x∗
Teorema 3. (I.K. Argyros, 2000) Jika η0 = 0, w0 < 1, x
¯0 ∈ U (x∗ , σ) dengan
x
¯0 6= x∗, dan k¯
x0 − x∗k < min{δ, δ0}
(4.18)
dimana δ0 adalah akar positif dari fungsi
f0 (t)
αm
α2
αm+1
(1 − w0+2m ) tm +
[2m − (1 − w0 )] tm−1 +. . .+ (3 − w0) t+w0−1,
(m + 1)!
m!
2!
(4.19)
maka
¯ (¯
φ
x0 ) − x∗
≤ {w0 + (1 + w0 )} k¯
x 0 − x∗ k x
mαm+1
(m+1)!
m x
kx¯ 0 −x∗ km−1 + (m−1)α
k ¯0 −x∗ km−2 +...+ α2!2
m!
α
1−α1 k¯
x0 −x∗ k−...− m+1
k¯
x0 −x∗ km
m!
k¯
x0 − x∗ k < k¯
x0 − x∗ k
x
(4.20)
Bukti : Dari persamaan (4.18) diketahui bahwa k¯
x0 − x∗k < δ. Jika φ(¯
x0) =
′
x
¯ − F (¯
x0)−1 F (¯
x0) maka pertidaksamaan (4.15) menghasilkan
kφ(¯
x 0 ) − x∗ k
<
mαm+1
(m+1)!
(m−1)αm
k¯
x0 − x∗ km−2 + . . . + α2!2
m!
k¯
x0 − x∗ km
α2 k¯
x0 − x∗ k − . . . − αm+1
m!
k¯
x0 − x∗ km−1 +
1−
k¯
x0 − x∗|2
(4.21)
pertidaksamaan pertama dalam (4.20) yang sebelumnya telah diketahui dalam
(4.9) dengan menentukan n = 0 dan menggunakan (4.21), lambang kurung kurawal
dalam (4.20) adalah kurang dari satu dengan menggunakan persamaan (4.18), sehingga teorema 3 terbukti.
Berikut ini akan ditunjukkan syarat cukup konvergensi lokal dalam metode
Newton.
Teorema 4. (I.K Argyros, 2000)
Jika ηn = 0, wn ≤ w < 1 untuk setiap n ≥ 0 dan x
¯0 ∈ U (x∗ , σ) maka
k¯
x0 − x∗ k < δ(w),
(4.22)
Universitas Sumatera Utara
24
dimana δ(w) adalah akar positif dari fungsi (4.19) dengan w0 menjadi w,
αm+1
αm
α2
(1 − w + 2m) tm +
[2m − (1 + w)]m−1 +. . .
(3 − w) t+w−1,
(m + 1)!
m!
2!
(4.23)
f (t) =
Kemudian metode Newton pada persamaan (4.6) - (4.8) menghasilkan barisan
{¯
xn }(n ≥ 0) yang konvergen ke x∗.
Pernyataan 1. Syarat yang digunakan dalam penelitian ini berbeda dari hubungan pada
persamaan (4.6) - (4.8) kecuali α = 0, dan E1 = E2 = Ri (i ∈ N)
Pernyataan 2. Teorema 4 memberikan syarat cukup untuk konvergensi lokal. Seperti yang
dijelaskan oleh T.J. Ypma (1983),ηn 6= 0, mengakibatkan wn > 1, sehingga
konvergensi menurun. Oleh karena itu dalam teori diperkirakan menurun
secara monoton pada barisan {kxn − x∗k} (n ≥ 0) dalam prakteknya syarat
dalam teori ini tidak dapat digunakan untuk beberapa nilai sekitar x∗, dalam
nilai persekitaran pada {¯
xn }(n ≥ 0).
Untuk memperkirakan nilai persekitaran digunakan :
σn = wn + (1 + wn )
x
mαm+1
(m+1)!
α
m k¯
k¯
xn −x∗ km−1 + (m−1)α
xn −x∗ km−2 +...+ 2!2
m!
α
k¯
xn −x∗ km
1−α2 k¯
xn −x∗ k−...− m+1
m!
(4.24)
k¯
xn − x∗k
untuk n ≥ 0. Dengan menggunakan persamaan (4.9), (4.15) dan (4.24) dengan
¯xn ) − x∗
< k¯
xn − x∗k jika
mudah diketahui
φ¯
µn
k¯
xn − x∗ k
>
, (1 + ηn )σn < 1
∗
kx k
1 − (1 + ηn )σn
(4.25)
Selanjutnya syarat perlu σn < 1, dan dengan persamaan (4.24) syarat tersebut
menyatakan
wn < 1,
k¯
xn − x∗k < min{δ, δn}(n ≥ 0)
(4.26)
dimana δn adalah akar positif dari fungsi
f (t) =
αm+1
αm
α2
(1 − wn + 2m) tm +
[2m − (1 + wn )]tm−1 + . . .
(3 − w) t + wn − 1, (n ≥ 0)
(m + 1)!
m!
2!
(4.27)
Universitas Sumatera Utara
25
Oleh karena itu, disimpulkan bahwa syarat cukup konvergensi:
−1
A¯n F¯n − Fn
¯−1 ′