Metode Iterasi Gauss Seidell

Metode Iterasi Gauss Seidell
Metode interasi Gauss-Seidel : metode yang menggunakan
proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah.
Bila diketahui persamaan linier simultan:
a11
a 21

x1
x1

+
+

a12
a 22

x2
x2

+
+

a13
a 23

x3
x3

+
+

+
+

a1n
a2n

xn
xn

=

=

b1
b2

a 31
...

x1
...

+
...

a 32
...

x2
...

+
...

a 33
...

x3
...

+ ... +
... ... ...

a 3n
...

xn
...

=
...

b3
...

a n1

x1

+

an2

x2

+

a n3

x3

+

a nn

xn

=

bn

...
...

...

+

Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n) kemudian persamaan
linier simultan diatas dituliskan menjadi :
x1 =

1
(b1 − a12 x2 − a13 x3 − .... − a1n xn )
a11

x2 =

1
(b2 − a 21 x1 − a 23 x3 − .... − a 2n xn )
a 22

...............................................................
1
(bn − a n1 x1 − a n 2 x2 − ....Iterasi
xn =
− a nn −1 x n −1 )
Gauss-Seidel
a nn

1

Metode Iterasi Gauss Seidell
Penyelesaian pers. linier simultan:
• Bila nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah = nilai xi
pada iterasi sebelumnya
• Atau proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi
(i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai
tolerasi error yang ditentukan.

Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier ketika menggunakan
metode iterasi Gauss-Seidel ini. Perhatikan setiap koefisien dari
masing-masing xi pada semua persamaan di diagonal utama (aii).
Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk setiap xi pada
diagonal utama. Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus
benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan
menyebabkan iterasi menjadiIterasi
divergen
dan tidak diperoleh hasil 2
Gauss-Seidel
yang benar.

Contoh Metode Iterasi Gauss Seidell
Selesaikan sistem persamaan linier: x1 + x 2 = 5

2 x1 + 4 x 2 = 14
nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0
iterasi 1 :

x1 = 5 − 0 = 5
x2 =

1
(14 − 2.5) = 1
4

iterasi 2 :
x1 = 5 − 1 = 4
x2 =

1

3
(14 − 2.4) =
4
2

iterasi 3 :
x1 = 5 −

3 7
=
2 2

1⎛
7⎞ 7
x 2 = ⎜14 − 2. ⎟ =
4⎝
2⎠ 4

iterasi 4 :
7 13

x1 = 5 − =
4 4
1⎛
13 ⎞ 15
x 2 = ⎜14 − 2. ⎟ =
4⎝
4⎠ 8

x1 = 5 − x 2
x2 =

1
(14 − 2 x1 )
4

iterasi 7 :

iterasi 5 :

63 97

=
32 32
1⎛
97 ⎞ 127
x 2 = ⎜14 − 2. ⎟ =
4⎝
32 ⎠ 64
x1 = 5 −

15 25
=
5
8
1⎛
25 ⎞ 31
x 2 = ⎜14 − 2. ⎟ =
4⎝
8 ⎠ 16
x1 = 5 −

iterasi 6 :

31 49
=
16 16
1⎛
49 ⎞ 63
x 2 = ⎜14 − 2. ⎟ =
4⎝
16 ⎠ 32
x1 = 5 −

Nilai interasi ke-7 sudah tidak berbeda
jauhGauss-Seidel
dengan nilai interasi ke-6
Iterasi
maka proses dihentikan dan diperoleh penyelesaian:

3

Algoritma Metode Iterasi Gauss Seidell
Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel adalah :
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n
Tentukan batas maksimum iterasi max_iter
Tentukan toleransi error ε
Tentukan nilai awal dari xi, untuk i=1 s/d n
Simpan xi dalam si, untuk i=1 s/d n
Untuk i=1 s/d n hitung :

⎛
⎞
⎜ bi − ∑ ai , j x j ⎟
ei = xi − si
⎜
⎟
j ≠i
⎝
⎠
7. iterasi Å iterasi+1
8. Bila iterasi lebih dari max_iter atau tidak terdapat ei