METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE.
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH
STURM-LIOUVILLE
oleh
HILDA ANGGRIYANA
M0109035
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2013to user
commit
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Hilda Anggriyana, 2013. METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam. Universitas Sebelas Maret.
Pada proses penyelesaian induksi panas dengan teknik pemisahan variabel
muncul masalah Sturm-Liouville. Masalah Sturm-Liouville berdasarkan bentuk
persamaan diferensialnya terdiri dari dua jenis, yaitu linear dan nonlinear. Ide
pokok menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear adalah menentukan parameter eigen (λ) dan fungsi eigen (y(x)) yang bersesuaian dengan
λ. Pada beberapa masalah Sturm-Liouville, penyelesaian eksak tidak mudah atau
bahkan tidak dapat ditentukan, sehingga perlu ditentukan penyelesaian hampiran sebagai aternatif.
Metode iterasi variasional dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah
Sturm-Liouville linear dan nonlinear. Penyelesaian hampiran yang diperoleh dengan metode iterasi variasional ditentukan dengan memformulasikan persamaan
diferensial orde dua linear dan nonlinear ke bentuk fungsi koreksi
∫ x
yn+1 (x) = yn (x) +
µ(L[yn (s)] + N [ỹn (s)] − g(s))ds,
0
dengan L adalah operator diferensial linear dan N adalah operator diferensial
nonlinear. Metode ini dinilai efisien dan akurat.
Tujuan utama skripsi ini, yaitu mengkaji kembali penggunaan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear
berpangkat dua. Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa metode
iterasi variasional dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville
linear dan nonlinear. Pada kasus linear penyelesaian eksak dapat diperoleh hanya
dengan satu iterasi, sedangkan pada kasus nonlinear berpangkat dua peyelesaian
hampiran diperoleh melaui dua iterasi.
Kata kunci: metode iterasi variasional, masalah Sturm-liouville, nilai eigen,
fungsi eigen.
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Hilda Anggriyana, 2013. VARIATIONAL ITERATION METHOD FOR
STURM-LIOUVILLE PROBLEMS. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
By separating the variables in a heat conduction problem occurs SturmLiouville problems. Based on the differential equation form, there are two types
of Sturm-Liouville problems, linear and nonlinear. The main idea to solve linear
and nonlinear Sturm-Liouville problems are determined the (λ) parameter as eigenvalue and eigen function (y(x)). It is not easy to find an exact form solution
of some Sturm-Liouville problems, so that an aproximate solutions to these problems is needed, for alternative.
Variational iteration method is used to solve linear and nonlinear SturmLiouville problems. Aproximation solutions obtained by formulated the linear and
nonlinear second order differential equation to the following correction function
∫ x
yn+1 (x) = yn (x) +
µ(L[yn (s)] + N [ỹn (s)] − g(s))ds,
0
where L is a linear differential operator and N is a nonlinear differential operator.
These method is efective and accurate.
The main purpose of this thesis are to review an applied variational iteration
method to solve the linear and nonlinear second order Sturm-Liouville problems.
The results shows that the exact solution of linear case obtained only by one
iteration, while for nonlinear second order, approximation solutions are obtained
by two iterations.
Key words: variational iteration method, Sturm-Liouville problems, eigen value,
eigen function.
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
MOTTO
Keberhasilan dapat diraih, hal ini harus diyakini, dan untuk
mencapainya harus dengan kerja keras serta doa pada Allah SWT yang
selalu kontinu.
(Penulis)
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Karya sederhana ini kupersembahkan kepada :
kedua orangtuaku dan keluarga Om Joko-Tante Indah di Klaten.
Terima kasih untuk doa, semangat, dan cintanya.
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari
bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis
mengucapkan terima kasih kepada
1. Bapak Drs. Sutrima, M.Si. selaku Pembimbing I dan Ibu Dra. Yuliana
Susanti, M.Si. selaku Pembimbing II yang telah membimbing dan mengarahkan dalam penyusunan skripsi ini.
2. HIMATIKA dan teman-teman mahasiswa Jurusan Matematika angkatan
2009 atas kebersamaan dan kebahagiaan yang menambah semangat penulis,
serta seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan.
Surakarta, Desember 2013
Penulis
commit to user
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR ISI
I
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
II LANDASAN TEORI
2.1
5
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
Pengali Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2
Variasi Gâteaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.3
Kondisi Stasioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.4
commit to. user
Metode Iterasi Variasional
. . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.5
Masalah Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
viii
perpustakaan.uns.ac.id
2.1.6
2.2
digilib.uns.ac.id
Ruang Fungsi Eigen Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . .
10
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
III METODE PENELITIAN
13
IV PEMBAHASAN
14
4.1
Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville Linear . . . . . . . . . . . .
14
4.2
Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville Nonlinear . . . . . . . . . .
15
4.3
Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
V PENUTUP
28
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
DAFTAR PUSTAKA
29
commit to user
ix
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR GAMBAR
4.1
4.2
4.3
Plot Fungsi Eigen y(x) = yk (x) = Ck sin(kx) . . . . . . . . . . . .
√
144(3+16k2 π 2 )−27(1+x)4
Plot Fungsi Eigen y1 (x, λ) = Ck sin(
x) . . .
6(1+x)3
20
Plot Fungsi Eigen y2 (x, λ), 0 ≤ x ≤ 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
27
commit to user
x
23
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL
µ
:
pengali Lagrange
λ
:
nilai eigen
y(x)
:
fungsi penyelesaian eksak
yn (x)
:
fungsi penyelesaian hampiran yang diperoleh melalui n-iterasi
yn+1 (x, λ)
:
fungsi koreksi
T
:
operator diferensial
L
:
operator diferensial linear
N
:
operator diferensial nonlinear
ỹn (x, λ)
:
variasi terbatas
δ ỹn (x, λ)
:
variasi Gâteaux dari variasi terbatas
δyn+1 (x, λ)
:
variasi Gâteaux dari fungsi koreksi
R
:
himpunan bilangan real
P
:
pangkat dari fungsi y(x)
y0
:
fungsi awal
λk
:
nilai eigen ke-k
yk
:
fungsi eigen dari suatu nilai eigen λk
[a, b]
:
interval tertutup a dan b
V
:
ruang vektor
X
:
ruang vektor kompleks u
∂
∂ε
:
turunan parsial terhadap ε
·
:
dot product pada R3
Rd
:
ruang linear berdimensi d
C 1 [a, b]
:
himpunan fungsi yang mempunyai turunan pertama kontinu pada [a, b]
H
:
ruang Hilbert
X
:
0̄
:
ruang vektor kompleks
commit to user
vektor 0
⟨f, g⟩
:
hasil kali dalam dari fungsi f dan g
xi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
L2
:
himpunan fungsi penyelesaian (ruang Hilbert) dari masalah Sturm-Liouville
yP
:
i
:
pangkat ke-P
√
−1 atau bilangan imajiner
commit to user
xii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Bab I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Pada proses penyelesaian induksi panas dengan teknik pemisahan variabel
muncul masalah Sturm-Liouville. Masalah Sturm-Liouville berbentuk persamaan
diferensial linear
−
d
d
[p(x) y(x)] + q(x)y(x) = λr(x)y(x),
dx
dx
(1.1)
yang dilengkapi syarat batas
α1 y(a) + β1 y ′ (a) = 0,
α2 y(b) + β2 y ′ (b) = 0,
(1.2)
dengan p(x) > 0, r(x) > 0, fungsi p(x), p′ (x), q(x), r(x) merupakan fungsi kontinu dalam interval tertutup [a, b], r(x) adalah fungsi bobot dan α1 , α2 , β1 , β2
adalah konstanta real. Parameter λ merupakan nilai eigen yaitu suatu nilai yang
menyebabkan masalah Sturm-Liouville mempunyai penyelesaian nontrivial dan
y(x) yang bersesuaian dengan λ disebut fungsi eigen dari persamaan (1.1). Ide
pokok dari masalah (1.1)-(1.2) adalah menentukan λ dan fungsi y(x) yang bersesuaian dengan λ (Haberman, [7]).
Pada perkembangannya, persamaan Sturm-Liouville (1.1) dapat dikembangkan untuk kasus nonlinear. Secara khusus, berdasarkan Altintan dan Uğur [1],
masalah Sturm-Liouville nonlinear diberikan oleh persamaan diferensial nonlinear
− y ′′ (x) + y P (x) = λy(x), x ∈ I = (0, ℓ),
(1.3)
yang dilengkapi dengan syarat batas
commit to user
y(0) = y(ℓ) = 0,
1
(1.4)
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
dengan ℓ > 0, λ > 0, P merupakan pangkat dari y(x) dan P > 1.
Pada beberapa masalah Sturm-Liouville tidak mudah atau bahkan tidak dapat ditentukan penyelesaian eksaknya, sehingga diperlukan penyelesaian hampiran sebagai alternatif. Penelitian terhadap metode penyelesaian masalah SturmLiouville masih terus dilakukan sampai dengan saat ini. Somali dan Gokmen
[12] menggunakan metode dekomposisi adomian untuk menyelesaikan masalah
Sturm-Liouville. Selain itu, Altintan dan Uǧur [1] juga telah menyelesaikan masalah Sturm-Liouville menggunakan metode iterasi variasional, namun pada kasus nonlinear penyelesaian yang diperoleh mendasarkan pada metode dekomposisi
adomian yang dilakukan oleh Somali dan Gokmen [12].
Metode iterasi variasional adalah metode untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Metode ini memiliki karakteristik membentuk formula iterasi
yang merupakan fungsi penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut. Formula iterasi yang merupakan fungsi penyelesaian disebut fungsi koreksi dan memuat
pengali Lagrange (µ). Fungsi koreksi yang optimum dapat diperoleh dengan teori
variasional yang mendasarkan pada variasi Gâteaux.
Berdasarkan He [9], konsep dasar dari metode iterasi variasional yaitu diawali dengan mengambil pemisalan persamaan
T y(x) = g(x), x ∈ I
(1.5)
dengan T merupakan operator diferensial yang bekerja pada fungsi y(x) yang
berada pada suatu interval I ⊆ R. Fungsi y(x) dan g(x) merupakan fungsi
kontinu untuk semua x ⊆ I. Dalam metode iterasi variasional, operator T dapat
dinyatakan sebagai jumlahan dari operator linear (L) dan nonlinear (N ), sehingga
persamaan (1.5) dapat dituliskan sebagai
L[y(x)] + N [y(x)] = g(x).
(1.6)
Dari (1.6) dapat dibentuk fungsi koreksi
∫ x
yn+1 (x) = yn (x) +
µ(L[yn (s)] + N [ỹn (s)] − g(s))ds.
(1.7)
0
commit to user
Pada (1.7), yn adalah fungsi yang diperoleh melalui n iterasi, dan ỹn merupakan
variasi terbatas yang variasi Gâteauxnya bernilai nol (δ ỹn (x, λ) = 0).
2
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Pada penelitian sebelumnya, Ganji et al. [5] menggunakan metode iterasi
variasional untuk menyelesaikan persamaan Hirota-Satsuma, penyelesaian hampiran yang dihasilkan lebih akurat jika dibandingkan dengan metode dekomposisi adomian. Biazar et al. [3] menggunakan metode iterasi variasional untuk
menyelesai- kan pendekatan dari suatu sistem persamaan diferensial, pada penelitiannya disimpulkan bahwa proses penyelesaian menggunakan metode iterasi
variasional sederhana atau mudah diaplikasikan dan akurat. Khaled dan Belal [10] menggunakan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan
oskilator nonlinear. Selain itu, Barari et al. [2] menggunakan metode iterasi
variasional untuk menyelesaikan masalah syarat batas linear maupun nonlinear,
sebagai hasilnya diperoleh bahwa pada masalah linear penyelesaian hampiran dapat diperoleh hanya dengan satu iterasi.
Dari fakta-fakta di atas, maka metode iterasi variasional dapat digunakan
untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah persamaan diferensial. Masalah syarat batas Sturm-Liouville (1.1)-(1.2) dan (1.3)-(1.4) dapat dituliskan kembali ke
bentuk persamaan (1.6)-(1.7). Oleh karena itu, pada pembahasan ini akan dikaji
kembali mengenai penerapan metode iterasi variasional pada penyelesaian masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear dengan P = 2 berdasarkan Altintan dan
Uğur [1].
1.2
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan dapat diambil dua perumusan
masalah yaitu
1. bagaimana menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear menggunakan metode iterasi variasional?
2. bagaimana menyelesaikan masalah Sturm-Liouville nonlinear menggunakan
metode iterasi variasional?
commit to user
3
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
1.3
Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, permasalahan dibatasi hanya pada masalah SturmLiouville linear dan nonlinear tipe regular dengan syarat batas tertentu, serta
pada masalah nonlinear diberikan P = 2.
1.4
Tujuan
Penelitian ini bertujuan untuk
1. menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear menggunakan metode iterasi
variasional,
2. menyelesaikan masalah Sturm-Liouville nonlinear menggunakan metode iterasi variasional.
1.5
Manfaat
Penelitian ini diharapkan dapat menerapkan metode iterasi variasional pada penyelesaian masalah Sturm-Liouville linear maupun nonlinear.
commit to user
4
digilib.uns.ac.id
METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH
STURM-LIOUVILLE
oleh
HILDA ANGGRIYANA
M0109035
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2013to user
commit
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Hilda Anggriyana, 2013. METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam. Universitas Sebelas Maret.
Pada proses penyelesaian induksi panas dengan teknik pemisahan variabel
muncul masalah Sturm-Liouville. Masalah Sturm-Liouville berdasarkan bentuk
persamaan diferensialnya terdiri dari dua jenis, yaitu linear dan nonlinear. Ide
pokok menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear adalah menentukan parameter eigen (λ) dan fungsi eigen (y(x)) yang bersesuaian dengan
λ. Pada beberapa masalah Sturm-Liouville, penyelesaian eksak tidak mudah atau
bahkan tidak dapat ditentukan, sehingga perlu ditentukan penyelesaian hampiran sebagai aternatif.
Metode iterasi variasional dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah
Sturm-Liouville linear dan nonlinear. Penyelesaian hampiran yang diperoleh dengan metode iterasi variasional ditentukan dengan memformulasikan persamaan
diferensial orde dua linear dan nonlinear ke bentuk fungsi koreksi
∫ x
yn+1 (x) = yn (x) +
µ(L[yn (s)] + N [ỹn (s)] − g(s))ds,
0
dengan L adalah operator diferensial linear dan N adalah operator diferensial
nonlinear. Metode ini dinilai efisien dan akurat.
Tujuan utama skripsi ini, yaitu mengkaji kembali penggunaan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear
berpangkat dua. Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa metode
iterasi variasional dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville
linear dan nonlinear. Pada kasus linear penyelesaian eksak dapat diperoleh hanya
dengan satu iterasi, sedangkan pada kasus nonlinear berpangkat dua peyelesaian
hampiran diperoleh melaui dua iterasi.
Kata kunci: metode iterasi variasional, masalah Sturm-liouville, nilai eigen,
fungsi eigen.
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Hilda Anggriyana, 2013. VARIATIONAL ITERATION METHOD FOR
STURM-LIOUVILLE PROBLEMS. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
By separating the variables in a heat conduction problem occurs SturmLiouville problems. Based on the differential equation form, there are two types
of Sturm-Liouville problems, linear and nonlinear. The main idea to solve linear
and nonlinear Sturm-Liouville problems are determined the (λ) parameter as eigenvalue and eigen function (y(x)). It is not easy to find an exact form solution
of some Sturm-Liouville problems, so that an aproximate solutions to these problems is needed, for alternative.
Variational iteration method is used to solve linear and nonlinear SturmLiouville problems. Aproximation solutions obtained by formulated the linear and
nonlinear second order differential equation to the following correction function
∫ x
yn+1 (x) = yn (x) +
µ(L[yn (s)] + N [ỹn (s)] − g(s))ds,
0
where L is a linear differential operator and N is a nonlinear differential operator.
These method is efective and accurate.
The main purpose of this thesis are to review an applied variational iteration
method to solve the linear and nonlinear second order Sturm-Liouville problems.
The results shows that the exact solution of linear case obtained only by one
iteration, while for nonlinear second order, approximation solutions are obtained
by two iterations.
Key words: variational iteration method, Sturm-Liouville problems, eigen value,
eigen function.
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
MOTTO
Keberhasilan dapat diraih, hal ini harus diyakini, dan untuk
mencapainya harus dengan kerja keras serta doa pada Allah SWT yang
selalu kontinu.
(Penulis)
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Karya sederhana ini kupersembahkan kepada :
kedua orangtuaku dan keluarga Om Joko-Tante Indah di Klaten.
Terima kasih untuk doa, semangat, dan cintanya.
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari
bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis
mengucapkan terima kasih kepada
1. Bapak Drs. Sutrima, M.Si. selaku Pembimbing I dan Ibu Dra. Yuliana
Susanti, M.Si. selaku Pembimbing II yang telah membimbing dan mengarahkan dalam penyusunan skripsi ini.
2. HIMATIKA dan teman-teman mahasiswa Jurusan Matematika angkatan
2009 atas kebersamaan dan kebahagiaan yang menambah semangat penulis,
serta seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan.
Surakarta, Desember 2013
Penulis
commit to user
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR ISI
I
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
II LANDASAN TEORI
2.1
5
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
Pengali Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2
Variasi Gâteaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.3
Kondisi Stasioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.4
commit to. user
Metode Iterasi Variasional
. . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.5
Masalah Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
viii
perpustakaan.uns.ac.id
2.1.6
2.2
digilib.uns.ac.id
Ruang Fungsi Eigen Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . .
10
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
III METODE PENELITIAN
13
IV PEMBAHASAN
14
4.1
Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville Linear . . . . . . . . . . . .
14
4.2
Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville Nonlinear . . . . . . . . . .
15
4.3
Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
V PENUTUP
28
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
DAFTAR PUSTAKA
29
commit to user
ix
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR GAMBAR
4.1
4.2
4.3
Plot Fungsi Eigen y(x) = yk (x) = Ck sin(kx) . . . . . . . . . . . .
√
144(3+16k2 π 2 )−27(1+x)4
Plot Fungsi Eigen y1 (x, λ) = Ck sin(
x) . . .
6(1+x)3
20
Plot Fungsi Eigen y2 (x, λ), 0 ≤ x ≤ 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
27
commit to user
x
23
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL
µ
:
pengali Lagrange
λ
:
nilai eigen
y(x)
:
fungsi penyelesaian eksak
yn (x)
:
fungsi penyelesaian hampiran yang diperoleh melalui n-iterasi
yn+1 (x, λ)
:
fungsi koreksi
T
:
operator diferensial
L
:
operator diferensial linear
N
:
operator diferensial nonlinear
ỹn (x, λ)
:
variasi terbatas
δ ỹn (x, λ)
:
variasi Gâteaux dari variasi terbatas
δyn+1 (x, λ)
:
variasi Gâteaux dari fungsi koreksi
R
:
himpunan bilangan real
P
:
pangkat dari fungsi y(x)
y0
:
fungsi awal
λk
:
nilai eigen ke-k
yk
:
fungsi eigen dari suatu nilai eigen λk
[a, b]
:
interval tertutup a dan b
V
:
ruang vektor
X
:
ruang vektor kompleks u
∂
∂ε
:
turunan parsial terhadap ε
·
:
dot product pada R3
Rd
:
ruang linear berdimensi d
C 1 [a, b]
:
himpunan fungsi yang mempunyai turunan pertama kontinu pada [a, b]
H
:
ruang Hilbert
X
:
0̄
:
ruang vektor kompleks
commit to user
vektor 0
⟨f, g⟩
:
hasil kali dalam dari fungsi f dan g
xi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
L2
:
himpunan fungsi penyelesaian (ruang Hilbert) dari masalah Sturm-Liouville
yP
:
i
:
pangkat ke-P
√
−1 atau bilangan imajiner
commit to user
xii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Bab I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Pada proses penyelesaian induksi panas dengan teknik pemisahan variabel
muncul masalah Sturm-Liouville. Masalah Sturm-Liouville berbentuk persamaan
diferensial linear
−
d
d
[p(x) y(x)] + q(x)y(x) = λr(x)y(x),
dx
dx
(1.1)
yang dilengkapi syarat batas
α1 y(a) + β1 y ′ (a) = 0,
α2 y(b) + β2 y ′ (b) = 0,
(1.2)
dengan p(x) > 0, r(x) > 0, fungsi p(x), p′ (x), q(x), r(x) merupakan fungsi kontinu dalam interval tertutup [a, b], r(x) adalah fungsi bobot dan α1 , α2 , β1 , β2
adalah konstanta real. Parameter λ merupakan nilai eigen yaitu suatu nilai yang
menyebabkan masalah Sturm-Liouville mempunyai penyelesaian nontrivial dan
y(x) yang bersesuaian dengan λ disebut fungsi eigen dari persamaan (1.1). Ide
pokok dari masalah (1.1)-(1.2) adalah menentukan λ dan fungsi y(x) yang bersesuaian dengan λ (Haberman, [7]).
Pada perkembangannya, persamaan Sturm-Liouville (1.1) dapat dikembangkan untuk kasus nonlinear. Secara khusus, berdasarkan Altintan dan Uğur [1],
masalah Sturm-Liouville nonlinear diberikan oleh persamaan diferensial nonlinear
− y ′′ (x) + y P (x) = λy(x), x ∈ I = (0, ℓ),
(1.3)
yang dilengkapi dengan syarat batas
commit to user
y(0) = y(ℓ) = 0,
1
(1.4)
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
dengan ℓ > 0, λ > 0, P merupakan pangkat dari y(x) dan P > 1.
Pada beberapa masalah Sturm-Liouville tidak mudah atau bahkan tidak dapat ditentukan penyelesaian eksaknya, sehingga diperlukan penyelesaian hampiran sebagai alternatif. Penelitian terhadap metode penyelesaian masalah SturmLiouville masih terus dilakukan sampai dengan saat ini. Somali dan Gokmen
[12] menggunakan metode dekomposisi adomian untuk menyelesaikan masalah
Sturm-Liouville. Selain itu, Altintan dan Uǧur [1] juga telah menyelesaikan masalah Sturm-Liouville menggunakan metode iterasi variasional, namun pada kasus nonlinear penyelesaian yang diperoleh mendasarkan pada metode dekomposisi
adomian yang dilakukan oleh Somali dan Gokmen [12].
Metode iterasi variasional adalah metode untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Metode ini memiliki karakteristik membentuk formula iterasi
yang merupakan fungsi penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut. Formula iterasi yang merupakan fungsi penyelesaian disebut fungsi koreksi dan memuat
pengali Lagrange (µ). Fungsi koreksi yang optimum dapat diperoleh dengan teori
variasional yang mendasarkan pada variasi Gâteaux.
Berdasarkan He [9], konsep dasar dari metode iterasi variasional yaitu diawali dengan mengambil pemisalan persamaan
T y(x) = g(x), x ∈ I
(1.5)
dengan T merupakan operator diferensial yang bekerja pada fungsi y(x) yang
berada pada suatu interval I ⊆ R. Fungsi y(x) dan g(x) merupakan fungsi
kontinu untuk semua x ⊆ I. Dalam metode iterasi variasional, operator T dapat
dinyatakan sebagai jumlahan dari operator linear (L) dan nonlinear (N ), sehingga
persamaan (1.5) dapat dituliskan sebagai
L[y(x)] + N [y(x)] = g(x).
(1.6)
Dari (1.6) dapat dibentuk fungsi koreksi
∫ x
yn+1 (x) = yn (x) +
µ(L[yn (s)] + N [ỹn (s)] − g(s))ds.
(1.7)
0
commit to user
Pada (1.7), yn adalah fungsi yang diperoleh melalui n iterasi, dan ỹn merupakan
variasi terbatas yang variasi Gâteauxnya bernilai nol (δ ỹn (x, λ) = 0).
2
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Pada penelitian sebelumnya, Ganji et al. [5] menggunakan metode iterasi
variasional untuk menyelesaikan persamaan Hirota-Satsuma, penyelesaian hampiran yang dihasilkan lebih akurat jika dibandingkan dengan metode dekomposisi adomian. Biazar et al. [3] menggunakan metode iterasi variasional untuk
menyelesai- kan pendekatan dari suatu sistem persamaan diferensial, pada penelitiannya disimpulkan bahwa proses penyelesaian menggunakan metode iterasi
variasional sederhana atau mudah diaplikasikan dan akurat. Khaled dan Belal [10] menggunakan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan
oskilator nonlinear. Selain itu, Barari et al. [2] menggunakan metode iterasi
variasional untuk menyelesaikan masalah syarat batas linear maupun nonlinear,
sebagai hasilnya diperoleh bahwa pada masalah linear penyelesaian hampiran dapat diperoleh hanya dengan satu iterasi.
Dari fakta-fakta di atas, maka metode iterasi variasional dapat digunakan
untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah persamaan diferensial. Masalah syarat batas Sturm-Liouville (1.1)-(1.2) dan (1.3)-(1.4) dapat dituliskan kembali ke
bentuk persamaan (1.6)-(1.7). Oleh karena itu, pada pembahasan ini akan dikaji
kembali mengenai penerapan metode iterasi variasional pada penyelesaian masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear dengan P = 2 berdasarkan Altintan dan
Uğur [1].
1.2
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan dapat diambil dua perumusan
masalah yaitu
1. bagaimana menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear menggunakan metode iterasi variasional?
2. bagaimana menyelesaikan masalah Sturm-Liouville nonlinear menggunakan
metode iterasi variasional?
commit to user
3
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
1.3
Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, permasalahan dibatasi hanya pada masalah SturmLiouville linear dan nonlinear tipe regular dengan syarat batas tertentu, serta
pada masalah nonlinear diberikan P = 2.
1.4
Tujuan
Penelitian ini bertujuan untuk
1. menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear menggunakan metode iterasi
variasional,
2. menyelesaikan masalah Sturm-Liouville nonlinear menggunakan metode iterasi variasional.
1.5
Manfaat
Penelitian ini diharapkan dapat menerapkan metode iterasi variasional pada penyelesaian masalah Sturm-Liouville linear maupun nonlinear.
commit to user
4