BAB 7 Residu Dan Penggunaannya

BAB 7.
RESIDU DAN PENGGUNAAN

7.1. Residu dan kutub
Pada bagian sebelumnya telah kita pelajari bahwa suatu titik z0 disebut
titik singular dari f (z ) bila f (z ) gagal analitik di z0 tetapi analitik pada suatu
titik dari setiap lingkungan dari z0. Titik singular z0 disebut terisolasi bila ada
lingkungan dari z0 yang mengakibatkan f (z ) analitik pada lingkungan tersebut
kecuali di titik z0 itu sendiri atau dapat dikatakan ada bilangan positif riil R
sehingga f(z) analitik pada daerah berbentuk 0 < | z – z0 | < R.
Contoh 1. Carilah titik singular dan tentukan jenisnya dari fungsi berikut
a. f (z ) = 1/z
b. f ( z ) 
c. f ( z ) 

z 1
z ( z 2  1)
2

1
sin





.

z

Jawab :
a. z = 0 titik singular terisolasi
b. z = 0 dan z =  i titik singular terisolasi
c. z = 1/n ( n = (n  1,2,...) titik singular terisolasi dan z = 0 titik
singular tetapi tidak terisolasi.

Misal f (z ) analitik pada 0 < | z -z0 | < R dan z0 merupakan titik singular
terisolasi dari f (z ) . Maka fungsi f (z ) dapat diperderetkan menjadi deret Laurent
yaitu :

f ( z) 





 an ( z  z 0 ) n  

n 0

bn

n
n1 ( z  z 0 )

.

69

-n
f ( z0 )

1
d z, n =
Secara khusus koefisien dari z z0 yaitu bn 

2i C ( z  z 0 ) n1

1,2, … dengan C merupakan lintasan tutup sederhana yang termuat pada 0 <
| z -z0 | < R dan menutupi z0 dengan arah positif. Untuk n = 1 maka

b1 

1
f ( z ) d z . Selanjutnya b1 disebut residu dari f(z) di z0 ( nilai
2i C
1
) dan biasa dinotasikan dengan b1  Re s f ( z ) .
z z0
z  z0

koefisien dari suku

Bagian utama deret dari hasil perderetan fungsi f(z) di z = z0 adalah


b

 ( z  zn
n1

0)

n



b1
b2

 ... . Jika bm  0 dan bm+1 = bm+2 = bm+3
z  z 0 z  z 0 2

=……= 0,


maka f ( z )   an ( z  z 0 ) n 
n1

bm
b1
b2

 ... 
.
2
z  z 0 z  z 0 
z  z0 m

dengan 0 < | z -z0 | < R dan bm  0. Dari bagian utama deret di atas dikatakan
bahwa titik singular terisolasi z0 disebut kutub ( pole ) order m . Bila m = 1 maka
z0 disebut kutub sederhana. Bila m =  maka z0 disebut titik singular esensial.

Untuk menentukan order titik singular dari f (z ) dilakukan dengan
memperderetkan f (z ) ke dalam deret Laurent terlebih dahulu, seperti
diperlihatkan dalam contoh berikut.

z 2  2z  3
Contoh 2. Tentukan order dari titik singular fungsi f ( z ) 
z2
Jawab : Perhatikan bahwa f (z ) dapat dinyatakan dengan

3
z 2  2z  3
f ( z) 
= 2  ( z  2) 
, 0  z 2  .
z2
z2
Suku ketiga deret di atas merupakan bagian utama deret dan terlihat bahwa titik
singular z = 2 merupakan kutub order 1 ( kutub sederhana ).

70

Contoh 3. Tentukan order dari titik singular fungsi f ( z) 

sinh z

Jawab : Titik singular dari f ( z) 

f ( z) 

sinh z

f ( z) 

sinh z

z4
z4

z4

sinh z
z4

.

adalah z = 0. Perderetan fungsi

dengan pusat z = 0 adalah


1 
z3 z5
 4 z

 ...

3! 5!
z 

=

1
z3



z z3
1
 
 ... 0  z   .
3! z 5! 7!

Terlihat bahwa z = 0 merupakan kutub order 3.
Contoh 4. Jika f ( z)  e

1

z





1

 n!z n ,

0  z   , maka z = 0 merupakan titik

n 0

singular esensial.
Dari contoh 2 – 4 terlihat bahwa berturut-turut nilai dari residu di titik
singularnya adalah 3, 1/6 dan 1. Dalam menentukan residu suatu fungsi di titik
singularnya kita tidak harus memperderetkan fungsi tersebut terlebih dahulu,
namun dilakukan dengan cara sebagai berikut.

7.2. Menghitung Residu
Misal fungsi f (z ) dengan titik singular z0. Maka kemungkinan bentuk
dari f (z ) dan rumus perhitungan residu di z0 dapat diberikan sebagai berikut:

Kutub sederhana
Misal f (z ) mempunyai kutub sederhana di z0. Maka residu dari f (z ) di z = z0
dihitung dengan, Re s f (z )  lim
z  z0

z z 0

Dari kondisi tersebut, bila f ( z ) 

z z0f (z)

P( z )
dengan P(z) dan Q(z) keduanya analitik
Q( z )

71

di z = z0
dan (z -z0 ) merupakan faktor linier tidak berulang dari Q(z) serta P( z0 )  0
maka Re s f ( z ) 
z  z0

P( z0 )
.
Q' ( z0 )

Kutub order m
Misal f (z ) mempunyai kutub order m ( m = 2,3,4,…) di z = z0 . Maka residu dari

f (z ) di z = z0 dapat dihitung sebagai berikut :





1 d (m1)
z  z0 m f ( z) .

1
m
z  z0 (m  1)! dz

Re s f ( z )  lim
z  z0

Jika f ( z ) 

( z )
dengan ( z ) analitik di z = z0 dan ( z0 )  0 maka residu
( z  z0 )m

f (z ) dapat dicari dengan Re s f ( z ) 
z  z0

(m1) ( z0 )
.
(m  1)!

Contoh 5. Tentukan residu di titik singular dari fungsi berikut :
a. f ( z ) 
b. f ( z) 
c. f ( z) 

2z
z 4
2

.

z 2  2z
.
( z  3)2
1
z(e  1)
z

.

Penyelesaian.
a. Titik singular terisolasi f (z ) , z =  2i , ( kutub sederhana ).
Untuk z = 2i maka f ( z ) 

( z )
2z
, dimana ( z ) 
analitik di
z  2i
z  2i

z = 2i dan (2i) = 1.
Jadi residu di z = 2i : Re s f ( z )  1 .
z  2i

72

Untuk z = - 2i maka f ( z ) 

( z ) 

( z )
, dimana
z  2i

2z
analitik di z = - 2i dan (- 2i) = - 1. Jadi residu di
z  2i

z = - 2i : Re s f ( z )  1.
z  2i

b. Titik singular tersisolasi f (z ) , z = 3 ( kutub order 2 ).
Untuk kasus ini f ( z) 

( z)
, ( z)  z 2  2 z , fungsi entire
2
( z  3)

dan ' ( z )  2 z  2 .

Re s f ( z ) 
z  z0

' (3)
 8.
1!

c. Titik singular terisolasi f (z ) adalah z = 0.
Jika

( z )
1
dengan ( z )  z
maka (z) tidak
z
e 1

f ( z) 

analitik di z = 0. Oleh karena rumus perhitungan residu tidak
dapat digunakan. Penyelesaiaannya adalah dengan
memperderetkan e z di z = 0, sehingga diperoleh

f ( z) 

( z ) 

1
z (e z  1)



1


z z2
z 2 1    ...
 2! 3!




1
z z2
1    ...
2! 3!

Jadi Re s f ( z ) 
z  z0



( z )
dimana
z2

di z = 0.

analitik

' (0)
1
 .
2!
2

Soal Latihan
Tentukan Residu pada titik singular dari fungsi berikut :
1. f ( z ) 

z
.
( z  1)( z  3)

2. f ( z ) 

z 1
.
( z  1)3 ( z  3)2

73

3. f ( z ) 
5. f ( z ) 
7. f ( z ) 

cosh z
z 1
4

4. f ( z ) 

.

2z  3
z 3  3z

6. f ( z ) 

.
2

9z  i
z3  z

.

 z 2  22 z  8
.
z 3  5z 2  4 z

z 1
.
sin z

7.3. Penggunaan residu untuk menghitung integral kompleks.
Perhitungan integral kompleks selain menggunakan rumus Cauchy dan
bentuk turunannya dapat juga diselesaikan menggunakan residu. Adapun metode
residu ini diberikan sebagai berikut.
Misal C lintasan tutup sederhana dengan arah positif, f (z ) analitik
kecuali pada sebanyak hingga titik singular zk ( k = 1,2,3,…., n) pada daerah yang
dibatasi oleh C. Maka



n

f ( z )dz  2i  Re s f ( z ) .
k 1 z  zk

C

Cara penyelesaian dari integral kompleks tersebut dilakukan sebagai berikut :
1

Ditentukan semua titik singular dari integran f (z ) .

2

Dicari residu dari f (z ) di semua titik singular yang terletak di dalam
lintasan C

3

Perhitungan integral kompleks dapat diperoleh dengan mengalikan jumlah
hasil kedua dengan 2 i.

Contoh 4 . Tentukan

2z  3

 z( z  1) dz

, dimana C adalah lingkaran |z| = 2 dengan

C

arah positif.
Penyelesaian.
Fungsi f ( z ) 

2z  3
mempunyai titik singular z = 0 dan z = –1,
z ( z  1)

74

keduanya terletak di dalam daerah yang dibatasi oleh C.

Re s f ( z )  3 dan Re s f ( z )  5 .
z 0

z  1

Dengan demikian

2z  3

 z( z  1) dz  2i(3  5)  4i .

C

Contoh 5.

Hitung :

z 2  3z
 ( z  3i)( z 2  1) dz
C

dz , dimana C diambil arah positif

adalah
a. C  |z + 1| = 2
b. C : | z | = 4

Penyelesaian.
Fungsi f ( z ) 

z 3  3z
( z  3i)( z 2  1)

mempunyai titik singular : z = 3i
2

dan z =  i 
a. z =  i terletak di dalam daerah yang dibatasi C.

Re s f ( z ) 
z  i

Jadi

i  3i
i
 i  3i
i
 dan Re s f ( z ) 
 .
z i
(i  3i)(2i) 4
(i  3i)(2i) 4

z 3  3z
dz   .

2
C ( z  3i)( z  1)

b. z = 3i dan z =  i terletak di dalam daerah yang dibatasi C.
9
11
z 3  3z
Re s f ( z )  i . Jadi 
.
dz  
2
z 3i
4
2
(
3
)(
1
)
z

i
z

C
Soal Latihan
Menggunakan residu hitung integral  f ( z )dz berikut jika ;
C

1. f ( z ) 

2z  3
; dengan C : |z| = 2 arah positif
z ( z  1)

2. f ( z) 

1
; dengan C : |z| = 2 arah positif
z (1  z)2
6

75

3. f ( z ) 
4. f ( z ) 

2z  3
z 3  3z 2
z
z4 1

; dengan C : |z| = 2 arah positif

; C : |z| = 4 arah positif.

5. f ( z) 

( z 2  1)e z
; C : |z – 2| = 3 arah positif.
( z  i)( z  1)3

6. f ( z) 

( z 2  1)e z
; C : |z | = ½ arah positif.
( z  i)( z  1)3

7. f ( z) 

z3
; C : |z| = 2 arah positif.
( z 4  1)2

76