BAB 7. RESIDU DAN PENGGUNAAN 7.1. Residu dan kutub - BAB 7

Bab 7. Residu dan Penggunaannya

yudiari

BAB 7.
RESIDU DAN PENGGUNAAN

7.1. Residu dan kutub
Pada bagian sebelumnya telah kita pelajari bahwa suatu titik z0 disebut
titik singular dari f (z ) bila f (z ) gagal analitik di z0 tetapi analitik pada suatu

titik dari setiap lingkungan dari z0. Titik singular z0 disebut terisolasi bila ada
lingkungan dari z0 yang mengakibatkan f (z ) analitik pada lingkungan tersebut
kecuali di titik z0 itu sendiri atau dapat dikatakan ada bilangan positif riil R
sehingga f(z) analitik pada daerah berbentuk 0 < | z – z0 | < R.
Contoh 1. Carilah titik singular dan tentukan jenisnya dari fungsi berikut
a. f ( z ) = 1/z
b. f ( z ) =
c. f ( z ) =

z −1

2

z ( z 2 + 1)

1
sin

π

.

z

Jawab :
a. z = 0 titik singular terisolasi
b. z = 0 dan z = ± i titik singular terisolasi
c. z = 1/n ( n = (n = ±1,±2,...) titik singular terisolasi dan z = 0 titik
singular tetapi tidak terisolasi.
Misal f (z ) analitik pada 0 < | z -z0 | < R dan z0 merupakan titik singular
terisolasi dari f ( z ) . Maka fungsi f ( z ) dapat diperderetkan menjadi deret Laurent

yaitu :

f ( z) =

∞

∞

∑ an ( z − z0 ) n + ∑

n =0

n =1 ( z

bn
− z0 ) n

.

69

Bab 7. Residu dan Penggunaannya

yudiari

-n
f ( z0 )
1
Secara khusus koefisien dari (z −z0) yaitu bn =
d z, n =
∫
2πi C ( z − z 0 ) − n +1

1,2, … dengan C merupakan lintasan tutup sederhana yang termuat pada 0 <
| z -z0 | < R dan menutupi z0 dengan arah positif. Untuk n = 1 maka

b1 =

1
f ( z ) d z . Selanjutnya b1 disebut residu dari f(z) di z0 ( nilai

2πi C∫

koefisien dari suku

1
) dan biasa dinotasikan dengan b1 = Re s f ( z ) .
z= z0
z − z0

Bagian utama deret dari hasil perderetan fungsi f(z) di z = z0 adalah
∞

b

∑ ( z − zn
n =1

0)

n

=

b1
b2
+
+ ... . Jika bm ≠ 0 dan bm+1 = bm+2 = bm+3
z − z 0 ( z − z 0 )2

=……= 0,
∞

maka f ( z ) = ∑ a n ( z − z 0 ) n +
n =1

bm
b1
b2
+
+ ... +

.
2
z − z 0 (z − z 0 )
(z − z 0 )m

dengan 0 < | z -z0 | < R dan bm ≠ 0. Dari bagian utama deret di atas dikatakan
bahwa titik singular terisolasi z0 disebut kutub ( pole ) order m . Bila m = 1 maka
z0 disebut kutub sederhana. Bila m = ∞ maka z0 disebut titik singular esensial.
Untuk menentukan order titik singular dari f (z ) dilakukan dengan
memperderetkan f (z ) ke dalam deret Laurent terlebih dahulu, seperti
diperlihatkan dalam contoh berikut.
Contoh 2. Tentukan order dari titik singular fungsi f ( z ) =

z 2 − 2z + 3
z−2

Jawab : Perhatikan bahwa f (z ) dapat dinyatakan dengan

f ( z) =

z 2 − 2z + 3
3
= 2 + ( z − 2) +
, 0< z−2