enkripsi didefinisikan oleh mod dan menghasilkan siferteks c.
3. Algoritme 3 Dekripsi Untuk menemukan kembali m dari c, B
harus melakukan hal-hal berikut a.
Menggunakan kunci pribadi a untuk menghitung
mod . Dengan catatan
. b.
Menemukan kembali m dengan
menghitung mod .
Pada proses dekripsi, dengan dan didefinisikan :
, sehingga fungsi dekripsi didefinisikan oleh
mod . Menezes et al. 1996
Berikut ini diberikan suatu ilustrasi penyandian yang dihitung dengan
menggunakan software Maple 12 dengan PC processor Intel Pentium Dual Core 1,73 GHz,
Ram 512 MB.
Contoh ElGamal
A mengirim pesan kepada B. Pesan tersebut adalah 91819250104.
Langkah pertama, B membuat kunci publik dan kunci pribadi. Setelah melalui
Algoritme 1 Pembangkitan Kunci, diperoleh kunci publik
, , 9574006709478958
762709029785327385064807, 5, 468663437 0436292147431903521064446370856 dan
kunci pribadi 665638090635425982769
337333168305062441. Kemudian, kunci publik tersebut dikirim ke A.
Setelah A memperoleh kunci publik , , dari B, kemudian A memilih integer
positif acak k dan menghitung
mod 52940576363150816401527749-
6545355441362, dan mod =
598- 510960553455680182318130888811111301.
A mengirim pesan yang telah disandikan tadi siferteks kepada B dengan bentuk
, = 529405763631508164015277496- 545355441362, 5985109605534556801823-
18130888811111301. Setelah B menerima siferteks tadi, maka
B mendekripsikan siferteks tadi untuk menemukan kembali pesan m dengan
menggunakan kunci pribadi, mod , dimana
pesan yang telah didekripsikan tadi sama dengan pesan yang sebelum dienkripsikan.
III PEMBAHASAN
Field dengan karakteristik prima merupakan suatu kasus khusus, dimana tidak
ada pengurangan pada operasi aljabarnya. Seperti yang telah dipaparkan pada bab 2,
di bawah ini akan dibahas struktur grup kurva eliptik
Supersingular dengan ,
dan Non-Supersingular sehingga titik
0,0 berada di luar kurva yang merepresentasikan titik
∞.
3.1 Aritmetika Kurva
Eliptik Supersingular
. Misalkan
adalah field dengan karakteristik prima
Supersingular dengan bentuk sederhana dari persamaan
kurva eliptiknya adalah :
dengan , ,
dan ∆
∆ .
Didefinisikan persamaan kurva eliptik Supersingular
, |
∞ . 1.
Misalkan terdapat titik ,
sembarang. Karena syarat dan dengan
, maka titik ,
dijamin tidak terletak pada kurva dan dapat digunakan untuk merepresentasikan
∞ , . Akibatnya,
∞ ,
, 2.
Dengan titik , yang direpresentasikan
dengan titik di tak-hingga maka untuk setiap
, , terdapat
invers dari yang dinotasikan dengan –
, berlaku,
, ∞.
dimana ∞ ∞.
3. Untuk setiap
, dimana
, ,
, dan
maka titik yang akan dicari adalah ,
.
Terdapat tiga titik pada E, maka berlaku tiga persamaan
1.1 1.2
1.3 Jika dilihat dari definisi secara
geometri, maka , dan
, adalah segaris. Jika gradiennya
dimisalkan dengan maka diperoleh persamaan
1.4 Kemudian apabila dari persamaan
1.1 dan 1.3 kita jumlahkan dan dimodulokan dengan dua, akan diperoleh
Apabila pada ruas kiri kita tambahkan nilai
, maka persamaan di atas menjadi
Kemudian kedua ruas disederhanakan dan dibagi dengan
diperoleh
1.5 Setelah memperoleh persamaan 1.5
dengan dari persamaan 1.4, maka
untuk persamaan 1.2, 1.3 akan diperoleh dengan cara yang sama,
sehingga didapatkan
1.6 Untuk memperoleh
dan , akan dijumlahkan persamaan 1.5, 1.6
sehingga kita peroleh Apabila kita bagi kedua ruas dengan
maka didapatkan dan dari
dihasilkan .
Jadi, dihasilkan ,
dengan dan
dengan .
4. Untuk setiap
, dan
, titik yang ingin ditentukan adalah
, .
Apabila diperhatikan secara geometri, titik P dan R berada pada kurva E. Oleh
sebab itu, terdapat dua persamaan dan
. 1.7 Jika ditarik garis lurus P dan R’ titik
sebelum dicerminkan terhadap sumbu-x, terlihat merupakan sebuah garis singgung.
Dimisalkan gradiennya , maka 1.8
Kemudian, dengan turunan implisit dengan memisalkan
, ,
dapat kita peroleh nilai yaitu
, ,
1.9 Sama halnya dengan penurunan kasus
pada persamaan 1.5, diperoleh persamaan
Sehingga . Untuk diperoleh
dari persamaan 1.8 yaitu dengan
. Dari uraian di atas, diperoleh aritmetik
pada kurva eliptik Supersingular sebagai
berikut 1.
Titik di luar kurva yang digunakan adalah ∞
, . 2.
, dan
– ,
apabila dijumlahkan menghasilkan titik
∞. 3.
, dimana
, ,
, dan
maka,
, dimana
dan dengan
. 4.
, dan
, berlaku
, dimana
dan dengan
. Di bawah operasi di atas, maka kurva
eliptik supersingular merupakan grup
dengan unsur identitas ∞
, dan invers dari adalah
– ,
.
3.2 Algoritme Aritmetik Kurva Eliptik Supersingular.
