BAB XXI Transformasi Geometri (1)
BAB XXI. TRANSFORMASI GEOMETRI Transformasi digunakan untuk untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada suatu bidang. Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang
membahas tentang perubahan (letak,bentuk , penyajian) yang didasarkan dengan gambar dan matriks.
: P(x,y) P ' (x ' , y ' ) = P ' (-x, y) Persamaan matriksnya :
1
=
' ' y x
y x
2. Pencerminan terhadap sumbu Y (dilambangkan dengan M Y ) M Y
1
1
=
1
y x
3. Pencerminan terhadap titik asal O(0,0) (dilambangkan dengan M O ) M O
: P(x,y) P '
(x ' , y ' ) = P ' (-x, -y) Persamaan matriksnya :
' ' y x
=
1
1
y x
4. Pencerminan terhadap garis y = x (dilambangkan dengan M x y )
M x y : P(x,y) P ' (x ' , y ' ) = P ' (y, x)
' ' y x
M x : P(x,y) P ' (x ' , y ' ) = P ' (x, -y) Persamaan matriksnya :
Transformasi pada bidang terdiri dari 4 macam :
1. Pencerminan terhadap sumbu X (dilambangkan dengan M X )
Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin.
B. Pencerminan (Refleksi)
2 adalah (1, 8)
3
Jadi bayangan titik P(3,5) oleh translasi T=
1. Pergeseran (Translasi)
2. Pencerminan (Refleksi)
3. Perputaran (Rotasi)
4. Perkalian (Dilatasi)
A. Pergeseran (Translasi)
2 adalah … jawab: T =
.
P ' (3 + (-2), 5 +3 )
2 : P(3,5)
3
Perpindahan titik-titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu yang diwakili oleh ruas garis berarah (vector) AB atau dengan suatu pasangan bilangan misal
b a
Translasi T =
3
b a
memetakan titik P(x 1 ,y 1 ) ke titik P ' ( x 1 + a, y 1 + b )yang dinotasikan dengan :
T =
b a
: P(x 1 ,y 1 ) P ' ( x 1 + a, y 1 + b ) contoh: Bayangan titik P(3,5) oleh translasi
'
Persamaan matriksnya :
.(
2 ) 1 .
5
x
= '
1 .( 2 ) .
5 '
y
1 x
x ' =
1 y
y ' x
5
= '
y 2
5. Pencerminan terhadap garis y = -x (dilambangkan dengan M ) y x ' 5
Jadi titik bayangan A adalah A ' ' ' '
2
M : P(x,y) P (x , y ) = P (-y, -x) y x
2. Bayangan garis y = 2x - 3 yang dicerminkan terhadap garis y = - x adalah..
Persamaan matriksnya : '
Jawab:
1 x
x ' = '
1 y
y x
1 x
' =
y
1 y
6 . Pencerminan terhadap garis x = h
(dilambangkan dengan M ) ' x h
y x
= '
x ' ' ' ' y
M : P(x,y) P (x , y ) = P (2h – x , y) x h ' ' x = -y x = - y
7. Pencerminan terhadap garis y = k ' ' y = -x y = - x (dilambangkan dengan M ) y k ' ' ' ' substitusikan ke persamaan garis y = 2x – 3 menjadi:
M : P(x,y) (x , y ) = P ( x , 2k - y) y k P ' ' ' '
- x = 2 (- y ) – 3 2 y = x - 3
8. Pencerminan terhadap titik (a,b) (dilambangkan dengan M ) Jadi bayangannya adalah 2y = x -3 ' ' ' ' ( a , b ) M : P(x,y) P (x , y ) = P ( 2a-x, 2b - y) ( a , b )
C. Perputaran (Rotasi)
Contoh:
Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan memutar titik-titik tersebut sejauh terhadap suatu titik pusat rotasi.
1. Titik A(-2, 5) dicerminkan terhadap garis y = x, kordinat titik bayangan A adalah…
Suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi dinotasikan dengan R (P, ).
Jawab: '
1. Rotasi terhadap titik pusat O(0,0)
1 x
x
= '
(dilambangkan dengan R(O, )
1 y
y
' Jika titik P(x,y) diputar sebesar belawanan arah jam Terhadap titik pusat O(0,0), maka diperoleh bayangan
1
2
x ' ' '
= ' P (x , y ).
1
5
y
R(O, ): P(x,y) P (x , y ) = P (x cos - y sin , x sin + y cos ) ' ' ' '
2. Dilatasi terhadap titik pusat A(a,b) Titik P(x,y) dilatasi terhadap titik pusat A (a,b) dengan factor skala k, didapat bayangan P ' ( x ' , y ' ) dengan:
1
=
' ' y x
3 b.
1
=
' ' y x
3
1
1
1
=
' ' y x
y x
1
1
1
=
y x
k k
=
' ' y x
1. Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) Pemetaannya: [O, k] : P(x,y) P ' (kx, ky) persamaan matriksnya :
3 D. Perkalian atau Dilatasi Transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan factor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Perkalian atau dilatasi ini ditentukan oleh factor skala (k) dan pusat dilatasi.
1
' ' y x
y x
1
3
1
1
=
' ' y x
=
Persamaan matriknya:
1 R(O, -90 )
1
(-x, -y)
1 R(O, 180 )
1
(y, -x)
1
(y, -x)
Rotasi Bayangan Matriks R(O, 90 ) (-y, x)
= 90 , -90 , 180 , 270 , -270 dengan memasukkan nilai tersebut didapat table sbb:
y x Untuk
cos sin sin cos
=
' ' y x
1 R(O, 270 )
' ' y x
1
1 R(O, -270 ) (-y, x)
1
1
2. Rotasi terhadap titik pusat P(a, b) (dilambangkan dengan R(O,
) Jika suatu titik P (x,y) diputar sejauh berlawanan dengan arah jam terhadap titik pusat A(a,b) maka bayangannya adalah P ' (x ' , y ' ) dengan
x ' - a = (x –a) cos - (y-b) sin y ' - b = (x – a) sin + (y- b) cos
Persamaan matriknya:
=
-
cos sin sin cos
b y a x
b a
Contoh soal: 1. Titik B(1,3) dirotasikan terhadap titik (0,0). Tentukan Bayangan titik B apabila titik B dirotasikan
a. sejauh
90 berlawanan arah dengan jarum jam
b. sejauh 90 searah jarum jam Jawab: a.
' ' y x
-
-
-
2
2
3
3
2
' ' y x
=
2
7
2
7 Jadi bayangan titik B(-1, 2) dilatasi terhadap titik pusat A(2,3) dengan skala -
2
1
adalah B ' (
1
2
2
1
2
1
=
1
3
3
2
' ' y x
2 7 , 2 7 )
E. Transformasi oleh suatu Matriks.
Suatu titik A (x,y) ditransformasikan oleh matriks
' ' y x
=
d c b a
y x
=
5
3
4
2
3
' ' y x
2 terhadap titik B(2, -3) adalah… jawab:
d c b a
d c b a
menjadi A ' ( x ' , y ' ). Hubungan di atas dapat dituliskan dalam persamaan matriks:
' ' y x
=
4
y x
Contoh: Hasil transformasi matriks
5
3
=
-
=
y x
k = 2, x = 1 ; y = 3 masukkan ke dalam pers matriks:
' ' y x
2
2
3
1 didapat : x ' = 2 dan y ' = 6 Jadi bayangan titik B(1,3) dilatasi terhadap titik pusat O (0,0) dengan factor skala 2 adalah B ' (2,6)
2. Bayangan titik B(-1,2) dilatasi terhadap titik pusat A(2,3) dengan factor skala -
k k
' ' y x
=
x ' - a = k(x - a) dan y ' - b = k (y - b) Persamaan matriksnya :
' ' y x
=
k k
1
b y a x
b a
Contoh:
1. Bayangan titik B(1,3) dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan factor skala 2 adalah: Jawab:
2
adalah: jawab:
' ' y x
2
1
2
1
3
2
2
1
3
2
-
b y a x
' ' y x
=
k k
=
b a
k = -
2
1
; x = -1 ; y = 2 ; a = 2 ; b ; 3 masukkan ke dalam persamaan matriks:
' ' y x
4
1 , bayangan titik B adalah… jawab:
3 kemudian dilanjutkan dengan T 2
2
F. Komposisi Transformasi
T = T 2
-
=
1 =
3
2
4
d b c a
T 1
=
4
b a
=
6
-
'' '' y x
1. Sejajar terhadap sumbu x Jika titik P ' ( x ' , y ' ) adalah hasil pencerminan ter- hadap garis y = a dan titik P '' (x '' , y '' ) adalah hasil pencerminan titik P ' ( x ' , y ' ) terhadap garis y = b. (lihat gambar) y
' ' y x
=
9
8 Jadi B ' adalah (-8, -9)
Gabungan dari beberapa transformasi disebut dengan komposisi transformasi. Transformasi T 1 dilanjutkan dengan transformasi T 2 terhadap suatu titik P (x,y) :
Dalam bentuk bagan urutan transformasi dapat diperlihatikan sbb: T 1 T 2 P(x,y) P ' ( x ' , y ' ) P '' (x '' , y '' )
Pengerjaan transformasi ini dapat ditulis dengan: T 2
T 1 T 2 T 1 P(x,y) P '' (x '' , y '' )
a . Komposisi dua refleksi terhadap sumbu-sumbu sejajar
d c
2. Komposisi Refleksi
6 jadi bayangannya adalah (6,10)
10
4 =
6
2
4
=
1. Komposisi dua translasi
T 3 ) (asosiatif) contoh: Titik B(2,4) ditranslasikan oleh T 1
b a
T 1 =
, komposisi translasi T 1 dilanjutkan dengan T 2 dapat diwakili oleh translasi tunggal yang ditentukan oleh: T 2
d c
dan T 2
d c
b a
P '' (x '' , y '' ) y =b b
P ' ( x ' , y ' ) y = a a
P ( x,y ) x y = a P ( x,y ) P ' (x, 2a – y) y = b
P ' (x, 2a – y) P '' ( x, 2b –(2a-y) ) P '' ( x, 2(b –a) +y ) P '' ( x, 2 d +y ) d = b – a jarak antara dua sumbu yang sejajar
Jika translasi T 1
=
-
2. Untuk tiga translasi berurutan berlaku (T 1
( T 2
T 3 = T 1
T 2 )
T 1
= T 2
T 2
1. Untuk dua translasi berurutan berlaku T 1
sifat-sifat komposisi translasi
d b c a
(komutatif) Jadi jika transformasi pencerminan terhadap garis b . Komposisi dua refleksi terhadap sumbu-sumbu saling tegak lurus y = a disebut dengan M dan transformasi y a pencerminan terhadap garis y = b disebut dengan ' ' '
Jika titik
P ( x , y ) adalah hasil pencerminan titik M , maka y b '' '' ''
P (x, y) terhadap garis x = a dan titik P (x , y ) adalah ' ' ' hasil pencerminan titik P ( x , y ) tehadap garis y=b. M M y b y a '' P (x, y) P ( x, 2 d +y ) ; d = b – a
2. Sejajar terhadap sumbu y ' ' ' Jika titik P ( x , y ) adalah hasil pencerminan ter- '' '' '' hadap garis x = a dan titik P (x , y ) adalah hasil ' ' ' pencerminan titik P ( x , y ) terhadap garis x = b
(lihat gambar) y P ( x, y ) P ( x , y ) P (x , y ) ' ' ' '' '' ''
Maka:
x = a '
P ( x,y ) P ( (2a-x), y) y = b ' ''
x
P (2a-x, y) P (2a-x, 2b-y)
x =a x = b
Jadi x = a ' M M y b x a P ( x,y ) P ( (2a-x), y) ''
P ( x,y ) P (2a-x, 2b-y) x = b ' '' Pencerminan terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus
P (2a-x, y) P (2b –(2a-x),y ) '' ekuivalen dengan rotasi pusat perpotongan dua sumbu dan P ( (2b- 2a)+ x, y ) '' sudut putar 180 , ditulis sbb: P ( (2(b- a)+ x, y ) '' P (2 d +x, y )
M M = R((a,b), 180 ) y b x a d = b – a jarak antara dua sumbu yang c . Komposisi dua refleksi terhadap sumbu-sumbu sejajar saling berpotongan
Jadi jika transformasi pencerminan terhadap Pencerminan terhadap dua sumbu yang saling garis x = a disebut dengan M dan x a berpotongan akan menghasilkan rotasi yang bersifat:
Transformasi pencerminan terhadap garis x =
1. Titik potong kedua sumbu pencerminan adalah pusat b disebut dengan M , maka x b perputaran
2. Besar sudut putar adalah dua kali sudut antara kedua M M x b x a '' sumbu pencerminan
3. Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama (x, y) P (2d + x, y ) ; d = b – a ke sumbu kedua.
'
Pemetaannya dapat ditulis sbb: mentransformasikan bangun A menjadi bangun A , maka : '
Luas Bangun A = |det T | x Luas bangun A
No Transformasi Notasi Matriks
|det T | M M = R(T, 2 ) 2 1 dinamakan factor perbesaran luas, merupakan nilai mutlak determinan matriks T.
T = titik potong kedua sumbu
= sudut antara kedua sumbu
| det T | = |ad – bc|
3. Komposisi Rotasi Contoh soal:
Dua rotasi berurutan yang sepusat ekivalen dengan Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(1,1), B(1,5), rotasi sejauh jumlah kedua sudut rotasinya terhadap C(6,1). Berapa luas bayangan segitiga ABC oleh pusat yang sama. transformasi yang bersesuaian dengan
1
3 matriks ?
)
Jika R = R (0, ) dan R = R(0, 1 2
2
2 maka:
Jawab: R R = R(0, ( + ) ) 2 1 Komposisi Transformasi dengan Matriks
Jika T adalah transformasi yang bersesuaian dengan 1
a b
matriks M = dan T adalah transformasi 1 2
c d
c d
yang bersesuaian dengan matriks M = maka 2
diketahui
ABC :
e f
Alas = AC = 5 ; tinggi = AB=4
komposisi transformasi :
1
1 Luas x alas x tinggi = x AC x AB ABC =
1. T T adalah perkalian matriks M . M 2 1 2 1
2
2 c d a b
M . M = 2 1
e f c d
1
= . 5 . 4 = 10 satuan luas
2
2. T T adalah perkalian matriks M . M 1 2 1 2
ABC ditransformasikan yang bersesuaian dengan matriks
1
3
a b c d
. M . M = 1 2
2
2
c d e f
Misal matriks ini adalah T, maka: |det T | = |1 .2 – 3(-2) | = |2 + 6| = 8
Luas daerah bangun hasil transformasi
Luas bayangan ABC = |det T | x Luas ABC
a b
Jika matriks transformasi T =
c d = 8 x 10
= 80 satuan luas
' Tabel a P(x ,y ) P ( x + a, y + b ) a
1 1 1 1
Translasi
macam
1
b b
'
- - 2 Pencerminan terhadap sumbu X
1 macam P(x,y) P (x, -y)
(Refleksi)
Transf
1 '
ormasi
3 Pencerminan terhadap sumbu Y P(x,y) P (-x, y) 1
dan
(Refleksi)
matrik
1 '
snya :
4 Pencerminan terhadap titik asal
1 P(x,y) P (-x, -y) (0,0)
1 '
5 Pencerminan terhadap garis y = x P(x,y) P (y, x)
1
1 '
6 Pencerminan terhadap garis y = -x
1 P(x,y) P (-y, -x)
1 '
7 Pencerminan terhadap garis x = h P(x,y) (2h – x , y)
P '
8 Pencerminan terhadap garis y = k P(x,y) P ( x , 2k - y) '
9 Pencerminan terhadap titik (a,b) P(x,y) P ( 2a-x, 2b - y) ' cos sin
Rotasi terhadap titik pusat O(0,0)
10 P(x,y) P (x cos - y sin , x sin + y cos sin cos
R(O, ) berlawanan arah jam ) '
Rotasi terhadap titik pusat P(a, b)
11 x - a = (x –a) cos - (y-b) sin x a a
cos sin '
- ) berlawanan R(O,
y - b = (x – a) sin + (y- b) cos
sin cos y b b dengan arah jam '
12 Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) [O, k] : P(x,y) P (kx, ky) k x
k y '
13 Dilatasi terhadap titik pusat A(a,b) x - a = k(x - a) k x a a
- ' y - b = k (y - b)
k y b b
- Jika M dan M adalah matriks transformasi T dan 1 2 1 T maka T T adalah M x M 2 2 1 2 1
T 2 T Transformasi T dilanjutkan oleh T 1 1 2