BAB 18 Transformasi Geometri fixs

BAB 18
TRANSFORMASI GEOMETRI
Pada bab ini akan dipelajari mengenai Translasi (pergeseran), Refleksi
(pencerminan), Rotasi (perputaran), Dilatasi (perbesaran/pengecilan),
transformasi matriks, komposisi dua transformasi.
A. TRANSLASI (PERGESERAN)
1. Translasi pada titik

 ba

Titik A (x,y) ditranslasi oleh
maka akan menghasilkan bayangan
titik A’(x + a, y + b)
Contoh :
Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan
B(3,5). Tentukan koordinat bayangan segitiga OAB tersebut jika
1
3
ditranslasi oleh T =
jawab :





1
T 3

� O’(0+1, 0+3) = O’(1,3)
titik O (0,0) ���



1
T 3

� A’(3+1, 0+3) = A’(4,3)
titik A (3,0) ���



1
T 3

� B’ (3+1, 5+3) = B’(4,8)
titik B (3,5) ���
2.

Translasi pada garis

 ba

Garis Ax + By + C = 0 ditranslasi oleh
bayangan garis : A(x – a) + B(y – b) + C = 0
Contoh :

maka akan menghasilkan

1

3 

Bayangan persamaan lingkaran x + y = 25 oleh translasi T =
!
2

adalah….
Jawab :
Metode supertrik : cari lawannya !

215

2

 x  1 2   y  3  2  25

� x2  2x  1  y2  6y  9  25
� x2  y2  2x  6y  15  0

B. REFLEKSI (PENCERMINAN)
1. Refleksi Pada Titik
Misalkan titik A (x,y) akan direfleksi terhadap :

a. Sumbu x
Menghasilkan bayangan titik A’ (x,– y)
sumbu x
A  x,y  ���
� A'  x, y 

b.

Sumbu y
Menghasilkan bayangan titik A’(– x, y)
sumbu y
A  x,y  ���
� A'  x,y 

c.

Garis y = x atau y – x = 0
Menghasilkan bayangan titik A’ ( y, x)
garis y  x
A  x,y  ���

�
� A' y,x 

d.

Garis y = – x atau x + y = 0
Menghasilkan bayangan titik A’(–y,–x)
garis y   x
A  x,y  ����
� A'   y, x 

e.

Garis x = h
Menghasilkan bayangan titik A’ (2h – x, y)
garis x  h
A  x,y  ����
� A'  2h  x,  y 

f.

Garis y = k
Menghasilkan bayangan titik A’(x,2k– y)
garis y  k
A  x,y  ����
� A' x, 2k  y 

g.

Titik asal (0,0)
Menghasilkan bayangan titik A’(–x,–y)
titik asal
A  x,y  ���
� A'  x,  y 

h.

2.

Garis y = x + k

y x k
A  x,y  ���
� A'  x',y' 
dengan x'  y  k
y'  x  k
Refleksi Pada Garis
Misalkan garis 3x + 4y – 12 = 0 direfleksikan terhadap :

216

a.

 x, y 

Sumbu x
Bayangannya : 3(x) + 4( - y) – 12 = 0 atau 3x – 4y – 12 = 0

  x,y 

b. Sumbu y

Bayangannya : 3(- x) + 4( y) – 12 = 0 atau – 3x + 4y – 12 = 0
c. Garis y = x ( y,x)
Bayangannya : 3(y) + 4(x) – 12 = 0 atau 4x + 3y – 12 = 0
d. Garis y = x ( - y, - x)
Bayangannya : 3(- y) + 4(- x) – 12 = 0 atau – 3y – 4x – 12 = 0
e. Garis x = k
Bayangannya : 3(2.k – x) + 4(y) – 12 = 0
f. Garis x = h
Bayangannya : 3(x) + 4(2.h – y) – 12 = 0
g. Titik asal ( - x, - y)
Bayangannya : 3(- x) + 4(- y) – 12 = 0 atau – 3x – 4y – 12 = 0
C.

ROTASI (PERPUTARAN)
adalah perputaran. Rotasi ditentukan oleh pusat rotasi dan besar sudut
rotasi.
1. Rotasi Pada Titik
a. Rotasi dengan pusat (0,0) dan besar sudut 
cos   sin  x
MR 0,   sin  cos  y



 

Metode supertrik :
- Jika titik A (x,y) dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 90 0
berlawanan arah dengan jarum jam akan menghasilkan
bayangan titik A’(- y,x).
- Jika titik A (x,y) dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 90 0 searah
dengan jarum jam akan menghasilkan bayangan titik
A’( y, - x).
- Jika titik A (x,y) dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 180 0 akan
menghasilkan bayangan titik A’( - x, - y)
b. Rotasi dengan pusat P(a,b) dan besar sudut 
R P, 
A  x,y  ���
� A'  x',y'
dengan x' a   x  a cos    y  b  sin 
y' b   x  a sin    y  b  cos 

2.

Rotasi Pada Garis dan Kurva

217

a.

Rotasi dengan pusat (0,0) dan besar sudut 
cos   sin  x
MR 0,   sin  cos  y



 

Metode supertrik :
- Jika garis ax + by + c = 0 dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh
900 berlawanan arah dengan jarum jam akan menghasilkan
bayangan garis : ay – bx + c = 0

- Jika garis ax + by + c = 0 dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh
900 searah dengan jarum jam akan menghasilkan bayangan
garis : – ay + bx + c = 0
- Jika garis ax + by + c = 0 dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh
1800 akan menghasilkan bayangan garis : – ax – by + c = 0.
b.

Rotasi dengan pusat (a,b) dan besar sudut 
R P, 
A  x,y  ���
� A'  x',y'
dengan x' a   x  a cos    y  b  sin 
y' b   x  a sin    y  b  cos 

D. DILATASI
Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau
memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya.
1. Dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala k
Rumus :
 0,k 
A  x,y  ���
A'  kx,ky 
2.

Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor skala k
Rumus :
 P,k 
A  x,y  ���
A'  x',y' 
dengan:
�
x' � x
a
 k y   1  k b
'�
�
y
��
Dilatasi pada titik
Contoh :
Tentukan bayangan titik A (3, - 4) oleh dilatasi dengan pusat (0,0) dan
faktor skala 2 !
Jawab :
Bayangan titik A adalah A’ (3.2, - 4.2) atau A’ (6, - 8)
Dilatasi pada garis



3.

4.



 
y  mx  c ���
y  mx  ck
0,k

218

5.

E.

Contoh :
Tentukan bayangan garis 3x + 4y – 12 = 0 yang didilatasikan dengan
pusat (0,0) dan faktor skala 3 !
Jawab :
Bayangan garis 3x + 4y – 12 = 0 adalah 3x + 4y – 12(3) = 0 atau 3x + 4y
– 36 = 0
Dilatasi pada kurva
Dilatasi pada kurva y = ax2 + bx + c oleh D[0,n] menghasilkan
2
��x �
�x � �
y n �
a � � b � � c �
��n � �n � �
bayangan kurva
Contoh :
Tentukan bayangan kurva y = x2 – 2x + 5 oleh dilatasi dengan pusat
(0,0) dan faktor skala 3 !
Jawab :
Metode supertrik pada dilatasi kurva :
2
��x �
�x � �
y n �
a� � b � � c �
��n � �n � �
2
�
�
�
x2 2x
�x � �x � �
� y 3 �
 5�
� � 2 � � 5�� y  3 � 
3
�3 � �3 � �
�9
�
�
2
x
�y
 2x  15  kalikan 3 
3
� x2  6x  3y  45  0

TRANSFORMASI MATRIKS
Basic concept :
Transformasi
Matriks
Identitas
Translasi
Refleksi
terhadap sumbux

( ) ( )( )
( ) ()( )
( ) ( )( )
x'
1
=
y' 0
x' = x
y'
y
x' = 1
y' 0

0 x
1 y
+ p
q
0 x
−1 y

219

Refleksi
terhadap sumbuy
Refleksi
terhadap garis
y=x
Refleksi
terhadap garis
y=-x
Refleksi
terhadap titik
pusat/asal (0,0)
Refleksi
terhadap garis
y=x+k
Refleksi
terhadap garis
y=-x+k
Rotasi dengan
pusat (0,0) dan
sudut putar α
Rotasi dengan
pusat P(a,b) dan
sudut putar α
Dilatasi dengan
pusat (0,0) dan
faktor dilatasi k
Dilatasi dengan
pusat P(a,b) dan
faktor dilatasi k

( xy'' )=(−10 01 )( xy)
( xy'' )=(01 10 )( xy )
( xy'' )=(−10 −10 )( xy )
x ' = −1 0 x
( y ' ) ( 0 −1 )( y )

 x'y'
0 1 x
0
  1 0  y  k    k 
 x'y'
0 1 x
0
  1 0  y  k    k 
 x'y'
cos   sin x
  sin  cos   y 
 x'y'  ba
cos   sin  x  a
  sin  cos   y  b 

( xy'' )=(k0 0k )( xy)

 x'y'
k 0 x a
a
  0 k  y  b    b 

PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN

220

1.

UN 2011
Bayangan garis x – 2y = 5 jika ditransfomasikan dengan matriks
3 5
1 2
transformasi
dilanjutkan dengan pencerminan terhadap
sumbu x adalah…
A. 11x + 4y = 5
B. 4x + 2y = 5
C. 4x + 11y = 5
D. 3x + 5y = 5
E. 3x + 11y = 5
Pembahasan :
Cari invers matriks terlebih dahulu :
1 2 5 x
3 5
2x  5y
1 2 � 6  5 1 3 y  x  3y
Maka bayangan garis x – 2y = 5 menjadi (2x – 5y) – 2(3y – x) = 5
4x – 11y = 5 kemudian direfleksi terhadap sumbu x :

 

 



  



sb.x  x,  y 

4x 11y  5 �����4  x   11  y   5
4x  11y  5

Jawaban:C

2.

UN 2012
Persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 4 jika dicerminkan terhadap
3
4
garis x = 2 dilanjutkan dengan translasi
adalah…
2
2
x  y  2x  8y  13  0
A.

 

B.

x2  y2  2x  8y  13  0

C.

x2  y2  2x  8y  13  0

D.

x2  y2  2x  8y  13  0

x2  y2  8x  2y  13  0
E.
Pembahasan :
Metode supertrik :
pada lingkaran, langsung mencari bayangan pusat lingkaran, jari – jari
tetap

221


 40 ���� 40 43 � 14  �� ba

a 0 x 2
pusat b  0 ��� 2.2  0,0  � 4,0 
3
T �4 �
� �
�
�

Jadi, bayangan pusat lingkaran = (1,4)
 2a, 2b 
Trik : yang ditengah =
x2  y2  2x  8y  13  0
�
2 .1, 2 .4





Jawaban:A
3.

UN 2012
Bayangan kurva y = 3x – 9x 2 jika dirotasi dengan pusat O (0,0) sejauh
900 dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O (0,0) dan faktor skala
3 adalah…
2
A. x  3y  3y
B.

x  y2  3y

C.

x  3y 2  3y

D.

y  3x 2  3x

E. y  x  3x
Pembahasan :
x R 0,90
y
y ���� x
2
bayangan kurva menjadi  x   3  y   9  y 
atau  x  3y  9y2
2�
��y � �y �
D 0,3
x  3y  9y2 ���
� x  3 �
3 � � 9 � ��
��3 � �3 ��
�  x  3y  3y 2 atau x  3y 2  3y
2



 

Jawaban:A
4.

UN 2010
Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 karena refleksi terhadap garis x +
y = 0, dilanjutkan refleksi terhadap garis y – x = 0 adalah…
A. y + 2x – 3 = 0
B. y – 2x – 3 = 0

222

C. 2y + x – 3 = 0
D. 2y – x – 3 = 0
E. 2y + x + 3 = 0
Pembahasan :
x y  x  y y  x x
�  x ���
� y
y ���



 

 

Jadi bayangan garis y = 2x – 3 adalah (– y) = 2(– x) – 3 atau y – 2x – 3 =
0
Jawaban:B

5.

Bayangan kurva y = x2 – x + 3 yang ditransformasikan oleh matriks
0 1
1 0
1 0
0 1
dilanjutkan oleh matriks
adalah…
2
y x x 3
A.







B.

y  x 2  x  3

C.

x  y2  y  3

D.

x  y2  y  3

x  y2  y  3
E.
Pembahasan :
�x' �  1 0 0  1

�y' �
�� 0 1 1 0
0 1 x
 1 0 y
1 0
cari inversnya 
1 1
1 y


1  x
bayangankurva :
 x   y 2  y  3
x  y2  y  3




  



 xy 



 

1 x
0 y
y
x

 

Jawaban:C
PAKET SOAL LATIHAN

223

1.

2.

3.

1

2
Bayangan garis 3x + 4y – 12 = 0 ditranslasikan oleh T=
adalah…

A. 4x + 3y – 7 = 0
B. 4x + 3y + 7 = 0
C. 3x + 4y – 7 = 0
D. 3x + 4y + 7 = 0
E. 3x + 4y + 14 = 0
Bayangan garisk 3x – 5y + 15 = 0 yang didilatasikan oleh [O,5] adalah…
A. 3x – 5y – 10 = 0
D. 15x – 25y + 75 = 0
B. 3x – 5y + 25 = 0
E. 8x + 10y + 20 = 0
C. 3x – 5y + 75 = 0
3
2
Garis 2x + 3y = 6 ditranslasikan dengan matriks
dan dilanjutkan
1
1
dengan
. Bayangan garis tersebut adalah…
A. 2x + 3y + 5 = 0
D. 3x + 2y – 5 = 0
B. 2x + 3y – 5 = 0
E. 3x + 2y + 5 = 0
C. 2x – 3y + 5 = 0

 

 

 x  2    y  3  25 oleh rotasi dengan
Persamaan bayangan lingkaran
pusat (0,0) sejauh setengah putaran searah dengan jarum jam, dilanjutkan
dengan refleksi terhadap garis y = 2 adalah…
2

4.

A.

 x  2  2   y  3 2  25

B.

 x  2  2   y  3 2  25

C.

 x  2  2   y  3 2  25

D.

 x  3 2   y  2  2  25

 x  3   y  2   25
E.
Jika titik (p,q) direfleksikan terhadap sumbu Y kemudian dilanjutkan
2 1
1 2
dengan transformasi matriks
menghasilkan titik (1, - 8), maka
nilai p + q = …
A. 2
D. – 2
B. 1
E. – 3
C. – 1
2

5.

2

2





224

Persamaan bayangan parabola y = 2x2 – 4x + 3 jika dicerminkan terhadap
sumbu x dilanjutkan dengan rotasi pusat O sejauh 90 0, dan dilanjutkan
dilatasi terhadap pusat O faktor skala 2 adalah…
A. x = y2 + 2y – 6
D. x = y2 – 4y – 6
2
B. x = y + 4y – 6
E. x = y2 – 4y + 6
2
C. x = y + 4y + 6
7. Bayangan segitiga ABC, dengan titik A (2,1), B (6,1), dan C(5,3) oleh
 O, adalah…
pencerminan terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi
A"  2, 1  , B"  6, 1  ,C"  5,3 
A.
A"  1,2  , B"  1,6  ,C"  3,5 
B.
A"  2, 1 , B" 6, 1 ,C" 5,3 
C.
A" 2,1 , B"  6,1  ,C"  5, 3 
D.
A"  1, 2  , B"  1, 6  ,C"  3,5 
E.
8. Bayangan kurva y = x2 + x + 3 yang ditransformasikan oleh matriks
0 1
1 0
1 0
0 1
dilanjutkan oleh matriks
adalah…
2
y x x3
y  x2  x  3
A.
D.
x  y 2  y  3
x  y2  y  3
B.
E.
x  y2  y  3
C.
9. Bayangan titik B oleh pencerminan terhadap garis x = – 2 dilanjutkan
dengan pencerminan terhadap sumbu y adalah (– 3, 4), koordinat titik B
adalah…
A. (7, – 4)
D. (– 4, 7)
B. ( – 7, 4)
E. (– 4,– 7)
C. (7,4)
10. Bayangan titik P (4,6) oleh refleksi garis y = x + 3 adalah…
A. P’ (3,6)
D. P’ (7,3)
B. P’ (3,7)
E. P’ (6,3)
C. P’ (4,7)
6.







225

