Identifikasi Sebaran Campuran Berhingga
IDENTIFIKASI SEBARAN CAMPURAN BERHINGGA
W C E MARIA ULFA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2000
YUCE M R I A ULFA. Identfiasi Sebaran Campm Berlungg (Idenr$c?:iir,. ofJniie
Dibilnbing olch BERLIAN S E T I A W A n - clan I. G. PCrI-i; PURXAB.4.
hfisalkan
s=;F(.,a) / a €R;'
mi.rrures).
} adalah keluarga fun_esi s e b a m yang dicirka:, oleh parameter a €R;'
.
dinmaR;' adalah lumpunan bagian Borei dari ruang Euciidenn berdiniensi n ~.?-.
. Fungsi F( ...) l e d w di
R'x R;' . Sebaran campuran berhingga H didefinisikan sebagai berihui
1
dinuna
a, E R I . i=I.Z .....k . I:
c, > O . x c , =1.
E
!V.
l i l
hj 0l c. ~. c , = l . a , ~ R 1P =. 1 _ ....
2 _ I .~ E . V
Jika terdapat dua scbann campuran
_
!.an? meinenuhi H(xj = H ( x ) . bcnlcibat ;:= 1; dan uniili; seiiap I. lerdapat
c, = (, , a: = 6 , n l a h cedikatakan dc2-r diideniijiko.c:
SLE;:~
j sedemikian
stllingza
Untuk m?nsidcnriftkasi kelas scbann c ~ p u r a nberliin::~ aiperl&.an syarai :crlu &III s!arat cuh-up.
Contoli dari kelns sei~nraxiscbann camp.%n berhingga yang &pat diidcntifitc?~]a&lali kelas scbann
~?on,ioi.gnnr~r~n
d m Poisson
IDENTIFIKASI SEBARAN CAMPURAN BERHINGGA
YUCE MARIA ULFA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Jurusan Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2000
Judul
Nama
NRP
: Identifikasi Sebaran Campuran Berhingga
: Yuce Maria UIfa
: GO5496022
Menyetujui,
Dr. Ir. I. G. Putu Pumaba
Pembimbing II
Dr. Berlian Setiawatv
Pembimbing I
3
Msc
Tanggal Lulus :
'3 %!'iT 288
Penulis dialirkan di Mataram pada tanggal 12 Januari 1978 sebagai anak kelima dari enam orang
bersaudm ,anak dari pasangan Abdul Qadir dan Saunah.
Tahun 1996 penulis lulus dari SMA Negeri I Mataran1 dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk
IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB pada Jurusan Matematika Fakdtas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliallan penulis menjadi asisten lnata kuliah Fisika Dasar I pada tahun ajaran
199711998. serta ~natakuliah Persamaan Diferensial Biasa pada tahun ajaxan 199811999 dan mata kulial~
Penganm Matematika dan KalMus I pada tahun ajaran 199912000,
PRAKATA
Puji dan qwkw penulis panjatkan kepada AUah SWT atas segala kamia-Nya sehingga karya ilmiah
ini bisa diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penulisan karya ilmiah ini adalah Identifikasi Sebaran
Campuran Berlingga.
Terilnakasih penulis sampaikan kepada berbagai pihak yang telah membantu penyelesaian kaqa
ilmiah ini, antara lain Ibu Dr. Berlian Setiawaty dan Bapak Dr. Ir. 1.G.Putu Pumaba selaku p e m b i m b i i
atas bimbingan dan kesabarannya, serta Bapak Dr. Ir. N.K. Kutha Ardana sebagai penguji skripsi, atas
saran-saran yang diberikan dart Bapak Drs.Jaharuddin Msi sebagai dosen pembimbiig akademik atas
bimbingan dan dorongannya selama ini, serta Bapak dan Ibu dosen atas illnu yang sudah diberikan
kepada penulis. Ungkapan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada bapak, mamak, kakak dan adikku
tersayang atas do'a dan dukungannyq serta teman-temanku Ayun, Ela, Eka, Aam, Aih, Tini, Euis,
Nandar, Anto, Tonah teman-teman matematika seangkatan atas kebersamaannya selama ini, dan
saudaraku sepejuangan keluarga besar Az-Zahirah atas bantuan dan do'anya.
Semoga karya tulis ini dapat bermanfaat.
Bogor, Novenber 2000
Yuce A4aria U[fa
DAFTAR IS1
Halaman
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakan
1.2 Tujuan Penulis
1.3 Sistematika P
11. LANDASAN TEON
2.1 Ukuran
2.2 Fungsi Sebaran ...............................................................................................................
2.: Transfonnasi Laplace
2.4 Basis Suatu Ruang Vektor ...............................................................................................
1
1
1
2
2
3
4
111. SEBARAN CAMPURAN BERHWGGA ............. ............ ............ ........... .............................. .. 4
1V.SYARAT KELAS SEBARAN CAMPURAN BERHR.IGGA DAPAT DIIDENTIFIKASI ...... 6
V. KELAS SEBARAN CAMPURAN BERHINGGA YANG DAPAT DIIDENTiFIKASI
9
VI.KESJMPULAN...........
.
.
.
..................................................................................................
11
DAFTARPUSTAKA ..........................................................................................................
12
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belaknng
Misalkan 9.= {F(.,a) I U E R;' 1 adalah
keluarga fungsi sebaran yang dicirikan oleh
parameter a6 R;' . dimana R;' adalab lulnpunan
bagian Borel dari ruang Euclideai? berdimensi ni.
R!" Fnngsi F(...) terukur di R'XR;' .
Sebaran canlpuran berhingga H didefinisikan
sebagai berikut
Sebaran di alas mungkin berasal dari
2 .
H(x) = f ~ ( - l , l ) + ~ 0 ( - 2 . 2 )
,
(1)
J
atau
1
H(x) =-u(-2,l)+LU(-1,2)
2
2
(2)
atau
P
H(x) =
c, ~ ( xa. , )
t=1
i
dinlana
c, > 0.
c, = 1.
>=I
a, E R;', i = 1,2....,k ;
k EN.
Misalkan c%adald~ kelas sebaran campuran
berllingga dari Fyaitu
i
i
c % = { ~ ( . ) = ; I : c , ~ ( , a , ) I c , >O.;I:c, = L
,=I
I=!
U,ER;", i=1,2,....k, ~ E A ' } .
Masalah yang menarik untuk dipelajari di c%
adalal~jika terdapat dua sebaran campuran
1
dan
H(x)=CE,F(X.&,)EC~~,
i=!
yang memenuhi H(x) = k ( x ) , apakah li dengan
idan
pasangan (c,.aj) dengan (Ej,Gj) dapat
diidentifikasi. atau dengan kata lain dapdt
ditunjulckan k = i dan untuk setiap i. terdapat
suatuj sede~nikiansehingga c, = E, , a j = &, .
_
Perhatikan contoh dibawah ini, misalkan dari
data diperoleli sebaran ebagai berikut
f
--T-L
-2
-1
0
1
2
dimana U(a.b) adalah sebaran sengam pada
selang (a,b).
Karena sebaran tersebut diperoleli dari data
ti& ada alasan untuk mengatakan persamaan (I),
(2) atau (3) yang benar. Pennasaldm yang tejadi
terletak pada penentuan d x i tiap-tiap komponen
penyusun sebaran campuran tersebut. Adanya
beragan pemecahan dari data tersebut dapat
membuat pendugaan panmeter menjadi lebih
sulit.
Masalah di atas penting untuk pendugaan
parameter. Salah satu aplikasi masalah ini adalah
untuk mengidentifikasi parameter-parameter pada
model 1\4arl.
Dcfinisi 12. (Bebas Linier)[Anton, 19911
Misalkan V adalah mang vektor atas R. Jiia
S = {IJI.~~Z
,...,v,) adalah himpunan vektor di I/,
maka persamaan
klvl + k Zl'z+ ...+ k "18" = 0
mempunyai paling sedikit satn pemecahan yaitu
k , = o . n ; = o . k ~ = o...., k,=O.
Jika ini adalah satu-satunya pemecallan maka S
disebut lunlpunan yang bebas linier. Jika ada
peinecalian lain. inaka S disebut lulnpunan tali
bebas linier.
Dcfinisi 13. (Basis Suatu Ruang Vektor)[Anton.
19911
Jika li adalah se~nbarangmang vektor atas R dan
S = {i'1.i'2.....i~,) adalah liimpunan vektor di V
maka S dikatkan basis unluk I.jika S bebas linier
dan S ilierentang I'
Misalkan d = {F(.,a) I aeR;')
adalah
keluarga fungsi sebaran yang dicirikan oleh
parameter a ER;' , dimanaR;' adalah hiipunan
bagian Bore1 dari ruang Euclidean berdimensi 111,
Rm.Fnngsi F(.,.) terukur di R'XR;' . Misalkan G(.)
mempakan fungsi sebaran pada R;' , maka
H(x) =
I F(x.a)dG(a)
(3.1)
R;
disebut sebaran cantpuran dengan G adalah
sebaran pencanlpur. [Teicher, 19601
Contoh 3. [Lloyd, 19801
Misalkan f adalah fungsi kepekatan peluang dari
keluarga fungsi sebaran eksponensial 6,yang
didefinisikan oleh
x > O,8 > 0,
fix,@ = Be'&,
dan g adalah fungsi kepekatan peluang pencampur
yang hanya tergantung pada parameter 8 yang
didefinisikan ole11
g(O ) = ae'". a > O,B > 0,
maka sebaran canlpuran dari fungsi eksponensial
adalah
Misalkan Cfi = {G(.)/ G fungsi sebaran pada
R;' ) adalah kelas semua sebaran pencampur G
dan cie*adalah kelas selnua sebaran campuran H,
yaitu
&={H(.)lH(x)=
JF(x.a)dG(a)).
acRp
Misalkan
H ( x )=
I F(x.a)dG(a)
E
cie*
as~y
dan
fi(x) = IF(x.a)dG(a) E c
*.
~ER?
jikaH =fi berakibatG = 6 dimanaG.6 E&
Inaka c%9
dikalakan dapat diiidetttifihsi.
[Teicl~er,!960]
Jika scbaran G pa& (3.1) dislcrit dan
memberikan ~ulai positif c, untuk a, E R r ,
dcngan i = 1.2 .....k. 111aka H disebut sebnrnrt
cat?tpuran berltittgga dan H dapat ditulis
P
H(x) = x c , F ( x . a , ) .
/=I
Colltoll 4.
Misalk:ln @- adalah kelas sebaran binom Xang
didefinisikan olcl~
OO.~c,=l
.->
rebaran camplmn bsrl~ingga yany dalx11
,=n
diidcntifik~si airara lain sebaml~nor~iial.g ; ~ ~ u r u : ~
a , ~ R " : ! = 1 . 2 ...., !0)
S2 = { i e I l a ; < O )
s, = {1,2,...,1;)- sl-$,
dari persamaan (1) dan (2) diperoleh Sl dan S2
bukan hinlpunan kosong.
Misalkan b = makr,,,. / a; I maka
26
1
- E ~ C ( X )its2
~+- f i ( x ) + ~ - & ( x )
c
%St
dimana
c2
IS$
(3)
Jika proses seperti di atas dilanjutkan terus akan
diperoleh
zlF1Q1.i) = 0,
dengan mengambil yI.~++rn, maka diperoleh
zl = 0, kontradiksi dengan kenyataan bahwa rl t 0.
Jadi, agar sebalan daxi {Fj(x)I 1 r i 5 k) dapat
identifikasi, haruslah
terdapat xl,x2,...xi riil
sehingga
F;(x,) F+,) . . .
) , ,
. . .
D
. .
J;,,
,,,
5(xx) F A ) .
.
.
.
. &(.$I
Syarat cukup kelas sebaran campuran
berhingga dapat diidentifikasi diberikan dalam
teorema berikut.
Tcorcma 2. [Teicher. 19631
Misalkan 6 = {F)merupakan keluarga fungsi
sebaran dengan transformasi $(t) yang terdefi~si
pada S$. sedemikian seliingga pemetaan A4:F+$
adalah linier dan satu-salu. Jika ada urutan < dari
>qsedemikian selungga Fl < F2 berakibat
i. S+, E S+?ii. Ada rl E S$, , r, tidak tergantung pada $2rdan
-
S$, adalah penutup dari S+!, sedemikian
+ 2 ( f ) =0,
sel~inggalim '+I1
Dengan membagi persamaan di atas dengan $ I ( [ )
di~eroleh
Anibil 1+ ti melalui I di TI. maka dari persanuan
(5) diperoleh cl = 0, ini kontradiksi dengan cl > 0,
seliingga diperoleh Fl = dan untuk suatu t 6 TI
Dengan n~engambil r + rl untuk t E T I pada (6)
maka akan diperoleh c, - i, = 0 atau c, = 2.)
seldngga
(1)
$1
maka kelas dari semua sebaran campuran
berliingga ctedari Cfdapat diidentifikasi.
Dengan menggunakan proses yang sama seperti di
atas akan diperoleh6 =
dan c, = iiuntuk
6,
Bukti :
Misalkan C f i , C.i;i c d d i n m
i= 1.2,..., min(k,i). Jika k + i misalkan k > i
maka persamaan (4)menjadi
~={~,~l PI maka
-
Proposisi 2. [Teicher, 19633
Kelas semua sebaran campuran berllingga dari
sebaran garnma dapat diidentifikasi.
Bukti :
Misalkan F adalah sebaran gamma dengan dua
parameter a dan 6, dimana a > 0 dan p > 0.
= 0.
Berdasarkan teorenla 2, kelas semua sebaran
campuran berlungga dari sebaran garnma dapat
0
diidentifikasi.
Bentuk transformasi Laplace dari sebaran gamma
diberikan oleh
Proposisi 3.
Kelas semua sebaran campuran berhingga dari
sebaran Poisson dapat diidentifisi .
Definisikan
Bukti :
Misalkan F adalah adalah sebaran Poisson dengan
parameter h > 0,
Fi (x,ai,P~)< Fz(x-a2,P?),
jika a1 < a2,atan ai = a2tetapi pi > pz,
1
Pilih t, = -- , maka untuk t + ti diperoleh
Pi
lim
+(t,ai , P I )
,+-PI
Transformasi Laplace dari sebaran Poisson
diberikan ole11
A(e-'-i) , t € (-mp).
+(I,?.) = e
Definisikan
F(x.hi)< F(x.h?),
jika 1, >?.?. Maka S+I =(-m,m) dan S+2 =(-m,m),
pilih ti = -m sehingga, untuk t + tl diperoleh
e>.2(a-'-i)
+(t h2) lim - lim
4 , (t,?. )
I+-eX,(~-'-l)
= 0.
Sehiigga dari teorelna 2, terbukti kelas semua
sebaran campuran berhingga dari sebaran Poisson
0
dapat diidentifikasi.
VI. KESIMPULAN
Untuk
~nengidentifikasi kelas
sebaran
calnpuran herlungga diperlukan syarat perlu dan
cukup.
Misalkm
k
k
& = { H ( x ) = C c i F , ( x ) I c i > O , x c i =1 ),
/=I
,=I
adalah kelas sebaran campuran berhingga dari
{F,(x)I i = 1.2.. ..,k). Jika &dopat diidentijikasi.
nlaka terdapat nilai nil xl,xz,....xk sehingga
Misalkan Cf= {F)m e ~ p a k a nkeluarga fungsi
sebaran dengan transformasi +(t)yang terdefinisi
pada S+, sedenlikian sehingga pemetaan
A4: F + 6 adalah l i ~ edan
r satu-satu.
<
Jika ada urutan
dari & sedemikian sehingga
F,
F, berakibat
r S+>
i.
ii. Ada I , E
tI tidak terganhmg pada
dan
<
-
x,
m2,
S$, adalali penutup dari S+I, sedemikian
schingga lim- b(')= 0,
$1
(0
nlaka kelas dari semua sebaran campuran
berl~inggaM d a p a ! diidentijikasi.
Syarat perlu dan cukup kelas sebaran
canlpuran berhingga & dari Cf dapnt
diidenrijkasi yaitu Cflumpunan bebas l i ~ e pada
r
lapangan bilangan liil.
Contoh dari kelas sebaran campuran berhingga
yang dapat diiderrtijkasi adalah kelas sebaran
normal. gamma, dan Poisson.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1991. Aijabar Linier Elementer. Ed.
ke-3. Tejemahan Pantur Silaban. Erlangga
Jakarta.
Lloyd, E. 1980. Hand book of
Aplicable
Adathe~iraiics.Vo1.2. Probability. Jolm Willey
& Sons, New York.
Billingsley, P. 1978. Probability and Measure
John Willey & Sons. New York.
Setiawaty, B. 1999. Consistent Estimator of the
order for Hidden Markov Models. Thesis tlle
University of Adelaide.
Farlow, S. J. 1991. An Introducfio~t to
DiJJrentinl Equations and Tlteir Aplications.
Mc G n w Hill, New York.
Hogg, R V. Sr Craig, A. T. 1995.11ttroductianto
A4atheiiratical Stat~stics.Ed. ke-5. Mc Millan
New York.
Kolmogorov, A. N. & Fomin, S.V. 1961.
Elenlents of
Theoty of
Functions and
Functional Analysis. Vol. 2 . Translated from
the first (1960) Russian Edition by Hyman
Kame1 and Horace Komm. Graylock Press,
Albany, New York.
Teicher, H. 1961. Identifiable of Mixtures. J.4m7.
Math. Statisl. 32: 211-258.
Teicher, H. 1963. Identifiable of Finite Mixtures.
J. ilrtn. .bJatlt. Statist. 32: 1265-1269.
Yako~vitz,S. J. & Sparagin, J. D. 1968. On the
Identifiability of Finite MixTures. J! -4nn.
Statist, 39: 209-211.
LAMPIRAN
Lampiran : Pembuktian lema
Lema 1.
Transfonnasi Laplace dari sebaran nomnl adalah
L{n
e9
=
j
-m
= exp-
= exp= exp= exp-
1
e-xip
GJZ;;
1 x-p
e X p - & - - ] dx
(p2- ( . u - 1 0 ~ ) ~ )
202
pZ - ( p ? - 2 p 0 2 +
202
p2 - p 2 +2p102 - ( 1 ~ . 2 ) ~
202
2*02
-(1g2)2
2a2
2pr-(r202)
= exp2
2
Lema 2.
Tranforrnasi Laplace dari sebaran gamma
X
(6.1) diperoleh dengan memisalkan y = -(tP
P
+ 1) , t>-l/P
,dx=-
atau x = (PI + 1)
P
(PI + 1)
dy.0
IDENTIFIKASI SEBARAN CAMPURAN BERHINGGA
W C E MARIA ULFA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2000
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belaknng
Misalkan 9.= {F(.,a) I U E R;' 1 adalah
keluarga fungsi sebaran yang dicirikan oleh
parameter a6 R;' . dimana R;' adalab lulnpunan
bagian Borel dari ruang Euclideai? berdimensi ni.
R!" Fnngsi F(...) terukur di R'XR;' .
Sebaran canlpuran berhingga H didefinisikan
sebagai berikut
Sebaran di alas mungkin berasal dari
2 .
H(x) = f ~ ( - l , l ) + ~ 0 ( - 2 . 2 )
,
(1)
J
atau
1
H(x) =-u(-2,l)+LU(-1,2)
2
2
(2)
atau
P
H(x) =
c, ~ ( xa. , )
t=1
i
dinlana
c, > 0.
c, = 1.
>=I
a, E R;', i = 1,2....,k ;
k EN.
Misalkan c%adald~ kelas sebaran campuran
berllingga dari Fyaitu
i
i
c % = { ~ ( . ) = ; I : c , ~ ( , a , ) I c , >O.;I:c, = L
,=I
I=!
U,ER;", i=1,2,....k, ~ E A ' } .
Masalah yang menarik untuk dipelajari di c%
adalal~jika terdapat dua sebaran campuran
1
dan
H(x)=CE,F(X.&,)EC~~,
i=!
yang memenuhi H(x) = k ( x ) , apakah li dengan
idan
pasangan (c,.aj) dengan (Ej,Gj) dapat
diidentifikasi. atau dengan kata lain dapdt
ditunjulckan k = i dan untuk setiap i. terdapat
suatuj sede~nikiansehingga c, = E, , a j = &, .
_
Perhatikan contoh dibawah ini, misalkan dari
data diperoleli sebaran ebagai berikut
f
--T-L
-2
-1
0
1
2
dimana U(a.b) adalah sebaran sengam pada
selang (a,b).
Karena sebaran tersebut diperoleli dari data
ti& ada alasan untuk mengatakan persamaan (I),
(2) atau (3) yang benar. Pennasaldm yang tejadi
terletak pada penentuan d x i tiap-tiap komponen
penyusun sebaran campuran tersebut. Adanya
beragan pemecahan dari data tersebut dapat
membuat pendugaan panmeter menjadi lebih
sulit.
Masalah di atas penting untuk pendugaan
parameter. Salah satu aplikasi masalah ini adalah
untuk mengidentifikasi parameter-parameter pada
model 1\4arlo,~ € 0dan
f(x)dx= 1
n
inaka P(.II). untuk A E F dapat dinyatakan sebagai
P(A) = P(,Yd) = Jf(x)dx
A
diinana Ax) disebut fungsi kepekntan pelrtang
dari peubali acak X.
Definisi 6. (Fungsi Sebaran)[Hogg & Craig, 19953
Fungsi sebaran dari peubah acak X didefinisikan
oleh
F(x) = P[.Y 2 x] =
(o)do
as =
untnk setiap xeR.
If
2.3 Transformasi Laplace
Definisi 10. (Transfonnasi Lap1ace)parlow.
19941
Misalkan f adalah fungsi dari R ke R, maka
transforntasi Laplace daxi fadalah suatu fungsi F
yang didefinisikan oleh
m
Sifat fungsi sebaran adalah
1. lim F(x) = 0 dan lim F(x) = 1
*---
F(t)
-m
r--
2. F fungsi tak turun
3. F fungsi yang kontinu k a n a yaitu
l i ~ nF(x) = F(xO).untuk s e t i a p x ~ ~ R .
I-'%*
Definisi 7. (Fungsi Sebaran Normal)[Hogg &
Craig, 19953
Peubah acak X dikatakan menyebar norntal
dengan parameter p dan o: dimana PER, dan
o > 0, jika S mempunyai fungsi kepekatan
peluang
J e-x' f (x) dx
=
dan dinotasikan dengan L m .
Lema 1.
Transfor171asi Laplace dari sebaran nonnal adalall
Buliti : lihat lampiran.
2
1 x-p
1
Ax) = e
p
- ,-m 0, jikaSmempunyai fungsi kepekatan peluang
dengan
Definisi 9. (Fungsi Sebaran Poisson)[Hogg &
Craig, 19953
Peubah acak X dikatakan mempunyai sebaran
Poisson dengan parameter i. > 0, jika fungsi
kepekatan peluang dari -1- dapat dinyatakan
sebagai
Bukti : lihat lampiran
Lema 3,
Transfor~nasi Laplace dari s e b a m Poisson
dengan pamneter h > 0 adalah
Buliti :
2.4 Basis Suatu Ruang Vektor
Definisi 11. (Merentang) [Anton, 19911
Misalkan 'I adalah mang \&lor alas R. Jika
S = {i71.ix1
..... 1.' ) adalah lumpunan vektor di .1' dan
jika setiap vektor )I'EP' dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier
is = k l ~ '+l k2v2+ ...+kni>"
uniuk suatu k; E R. i = 1.2.3.....17; maka vektorvekor di S dikatakan rnerentang 1' dan
dinotasikan I,'= < S >.
Dcfinisi 12. (Bebas Linier)[Anton, 19911
Misalkan V adalah mang vektor atas R. Jiia
S = {IJI.~~Z
,...,v,) adalah himpunan vektor di I/,
maka persamaan
klvl + k Zl'z+ ...+ k "18" = 0
mempunyai paling sedikit satn pemecahan yaitu
k , = o . n ; = o . k ~ = o...., k,=O.
Jika ini adalah satu-satunya pemecallan maka S
disebut lunlpunan yang bebas linier. Jika ada
peinecalian lain. inaka S disebut lulnpunan tali
bebas linier.
Dcfinisi 13. (Basis Suatu Ruang Vektor)[Anton.
19911
Jika li adalah se~nbarangmang vektor atas R dan
S = {i'1.i'2.....i~,) adalah liimpunan vektor di V
maka S dikatkan basis unluk I.jika S bebas linier
dan S ilierentang I'
Misalkan d = {F(.,a) I aeR;')
adalah
keluarga fungsi sebaran yang dicirikan oleh
parameter a ER;' , dimanaR;' adalah hiipunan
bagian Bore1 dari ruang Euclidean berdimensi 111,
Rm.Fnngsi F(.,.) terukur di R'XR;' . Misalkan G(.)
mempakan fungsi sebaran pada R;' , maka
H(x) =
I F(x.a)dG(a)
(3.1)
R;
disebut sebaran cantpuran dengan G adalah
sebaran pencanlpur. [Teicher, 19601
Contoh 3. [Lloyd, 19801
Misalkan f adalah fungsi kepekatan peluang dari
keluarga fungsi sebaran eksponensial 6,yang
didefinisikan oleh
x > O,8 > 0,
fix,@ = Be'&,
dan g adalah fungsi kepekatan peluang pencampur
yang hanya tergantung pada parameter 8 yang
didefinisikan ole11
g(O ) = ae'". a > O,B > 0,
maka sebaran canlpuran dari fungsi eksponensial
adalah
Misalkan Cfi = {G(.)/ G fungsi sebaran pada
R;' ) adalah kelas semua sebaran pencampur G
dan cie*adalah kelas selnua sebaran campuran H,
yaitu
&={H(.)lH(x)=
JF(x.a)dG(a)).
acRp
Misalkan
H ( x )=
I F(x.a)dG(a)
E
cie*
as~y
dan
fi(x) = IF(x.a)dG(a) E c
*.
~ER?
2.4 Basis Suatu Ruang Vektor
Definisi 11. (Merentang) [Anton, 19911
Misalkan 'I adalah mang \&lor alas R. Jika
S = {i71.ix1
..... 1.' ) adalah lumpunan vektor di .1' dan
jika setiap vektor )I'EP' dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier
is = k l ~ '+l k2v2+ ...+kni>"
uniuk suatu k; E R. i = 1.2.3.....17; maka vektorvekor di S dikatakan rnerentang 1' dan
dinotasikan I,'= < S >.
Dcfinisi 12. (Bebas Linier)[Anton, 19911
Misalkan V adalah mang vektor atas R. Jiia
S = {IJI.~~Z
,...,v,) adalah himpunan vektor di I/,
maka persamaan
klvl + k Zl'z+ ...+ k "18" = 0
mempunyai paling sedikit satn pemecahan yaitu
k , = o . n ; = o . k ~ = o...., k,=O.
Jika ini adalah satu-satunya pemecallan maka S
disebut lunlpunan yang bebas linier. Jika ada
peinecalian lain. inaka S disebut lulnpunan tali
bebas linier.
Dcfinisi 13. (Basis Suatu Ruang Vektor)[Anton.
19911
Jika li adalah se~nbarangmang vektor atas R dan
S = {i'1.i'2.....i~,) adalah liimpunan vektor di V
maka S dikatkan basis unluk I.jika S bebas linier
dan S ilierentang I'
Misalkan d = {F(.,a) I aeR;')
adalah
keluarga fungsi sebaran yang dicirikan oleh
parameter a ER;' , dimanaR;' adalah hiipunan
bagian Bore1 dari ruang Euclidean berdimensi 111,
Rm.Fnngsi F(.,.) terukur di R'XR;' . Misalkan G(.)
mempakan fungsi sebaran pada R;' , maka
H(x) =
I F(x.a)dG(a)
(3.1)
R;
disebut sebaran cantpuran dengan G adalah
sebaran pencanlpur. [Teicher, 19601
Contoh 3. [Lloyd, 19801
Misalkan f adalah fungsi kepekatan peluang dari
keluarga fungsi sebaran eksponensial 6,yang
didefinisikan oleh
x > O,8 > 0,
fix,@ = Be'&,
dan g adalah fungsi kepekatan peluang pencampur
yang hanya tergantung pada parameter 8 yang
didefinisikan ole11
g(O ) = ae'". a > O,B > 0,
maka sebaran canlpuran dari fungsi eksponensial
adalah
Misalkan Cfi = {G(.)/ G fungsi sebaran pada
R;' ) adalah kelas semua sebaran pencampur G
dan cie*adalah kelas selnua sebaran campuran H,
yaitu
&={H(.)lH(x)=
JF(x.a)dG(a)).
acRp
Misalkan
H ( x )=
I F(x.a)dG(a)
E
cie*
as~y
dan
fi(x) = IF(x.a)dG(a) E c
*.
~ER?
jikaH =fi berakibatG = 6 dimanaG.6 E&
Inaka c%9
dikalakan dapat diiidetttifihsi.
[Teicl~er,!960]
Jika scbaran G pa& (3.1) dislcrit dan
memberikan ~ulai positif c, untuk a, E R r ,
dcngan i = 1.2 .....k. 111aka H disebut sebnrnrt
cat?tpuran berltittgga dan H dapat ditulis
P
H(x) = x c , F ( x . a , ) .
/=I
Colltoll 4.
Misalk:ln @- adalah kelas sebaran binom Xang
didefinisikan olcl~
OO.~c,=l
.->
rebaran camplmn bsrl~ingga yany dalx11
,=n
diidcntifik~si airara lain sebaml~nor~iial.g ; ~ ~ u r u : ~
a , ~ R " : ! = 1 . 2 ...., !0)
S2 = { i e I l a ; < O )
s, = {1,2,...,1;)- sl-$,
dari persamaan (1) dan (2) diperoleh Sl dan S2
bukan hinlpunan kosong.
Misalkan b = makr,,,. / a; I maka
26
1
- E ~ C ( X )its2
~+- f i ( x ) + ~ - & ( x )
c
%St
dimana
c2
IS$
(3)
Jika proses seperti di atas dilanjutkan terus akan
diperoleh
zlF1Q1.i) = 0,
dengan mengambil yI.~++rn, maka diperoleh
zl = 0, kontradiksi dengan kenyataan bahwa rl t 0.
Jadi, agar sebalan daxi {Fj(x)I 1 r i 5 k) dapat
identifikasi, haruslah
terdapat xl,x2,...xi riil
sehingga
F;(x,) F+,) . . .
) , ,
. . .
D
. .
J;,,
,,,
5(xx) F A ) .
.
.
.
. &(.$I
Syarat cukup kelas sebaran campuran
berhingga dapat diidentifikasi diberikan dalam
teorema berikut.
Tcorcma 2. [Teicher. 19631
Misalkan 6 = {F)merupakan keluarga fungsi
sebaran dengan transformasi $(t) yang terdefi~si
pada S$. sedemikian seliingga pemetaan A4:F+$
adalah linier dan satu-salu. Jika ada urutan < dari
>qsedemikian selungga Fl < F2 berakibat
i. S+, E S+?ii. Ada rl E S$, , r, tidak tergantung pada $2rdan
-
S$, adalah penutup dari S+!, sedemikian
+ 2 ( f ) =0,
sel~inggalim '+I1
Dengan membagi persamaan di atas dengan $ I ( [ )
di~eroleh
Anibil 1+ ti melalui I di TI. maka dari persanuan
(5) diperoleh cl = 0, ini kontradiksi dengan cl > 0,
seliingga diperoleh Fl = dan untuk suatu t 6 TI
Dengan n~engambil r + rl untuk t E T I pada (6)
maka akan diperoleh c, - i, = 0 atau c, = 2.)
seldngga
(1)
$1
maka kelas dari semua sebaran campuran
berliingga ctedari Cfdapat diidentifikasi.
Dengan menggunakan proses yang sama seperti di
atas akan diperoleh6 =
dan c, = iiuntuk
6,
Bukti :
Misalkan C f i , C.i;i c d d i n m
i= 1.2,..., min(k,i). Jika k + i misalkan k > i
maka persamaan (4)menjadi
~={~,~l
W C E MARIA ULFA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2000
YUCE M R I A ULFA. Identfiasi Sebaran Campm Berlungg (Idenr$c?:iir,. ofJniie
Dibilnbing olch BERLIAN S E T I A W A n - clan I. G. PCrI-i; PURXAB.4.
hfisalkan
s=;F(.,a) / a €R;'
mi.rrures).
} adalah keluarga fun_esi s e b a m yang dicirka:, oleh parameter a €R;'
.
dinmaR;' adalah lumpunan bagian Borei dari ruang Euciidenn berdiniensi n ~.?-.
. Fungsi F( ...) l e d w di
R'x R;' . Sebaran campuran berhingga H didefinisikan sebagai berihui
1
dinuna
a, E R I . i=I.Z .....k . I:
c, > O . x c , =1.
E
!V.
l i l
hj 0l c. ~. c , = l . a , ~ R 1P =. 1 _ ....
2 _ I .~ E . V
Jika terdapat dua scbann campuran
_
!.an? meinenuhi H(xj = H ( x ) . bcnlcibat ;:= 1; dan uniili; seiiap I. lerdapat
c, = (, , a: = 6 , n l a h cedikatakan dc2-r diideniijiko.c:
SLE;:~
j sedemikian
stllingza
Untuk m?nsidcnriftkasi kelas scbann c ~ p u r a nberliin::~ aiperl&.an syarai :crlu &III s!arat cuh-up.
Contoli dari kelns sei~nraxiscbann camp.%n berhingga yang &pat diidcntifitc?~]a&lali kelas scbann
~?on,ioi.gnnr~r~n
d m Poisson
IDENTIFIKASI SEBARAN CAMPURAN BERHINGGA
YUCE MARIA ULFA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Jurusan Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2000
Judul
Nama
NRP
: Identifikasi Sebaran Campuran Berhingga
: Yuce Maria UIfa
: GO5496022
Menyetujui,
Dr. Ir. I. G. Putu Pumaba
Pembimbing II
Dr. Berlian Setiawatv
Pembimbing I
3
Msc
Tanggal Lulus :
'3 %!'iT 288
Penulis dialirkan di Mataram pada tanggal 12 Januari 1978 sebagai anak kelima dari enam orang
bersaudm ,anak dari pasangan Abdul Qadir dan Saunah.
Tahun 1996 penulis lulus dari SMA Negeri I Mataran1 dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk
IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB pada Jurusan Matematika Fakdtas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliallan penulis menjadi asisten lnata kuliah Fisika Dasar I pada tahun ajaran
199711998. serta ~natakuliah Persamaan Diferensial Biasa pada tahun ajaxan 199811999 dan mata kulial~
Penganm Matematika dan KalMus I pada tahun ajaran 199912000,
PRAKATA
Puji dan qwkw penulis panjatkan kepada AUah SWT atas segala kamia-Nya sehingga karya ilmiah
ini bisa diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penulisan karya ilmiah ini adalah Identifikasi Sebaran
Campuran Berlingga.
Terilnakasih penulis sampaikan kepada berbagai pihak yang telah membantu penyelesaian kaqa
ilmiah ini, antara lain Ibu Dr. Berlian Setiawaty dan Bapak Dr. Ir. 1.G.Putu Pumaba selaku p e m b i m b i i
atas bimbingan dan kesabarannya, serta Bapak Dr. Ir. N.K. Kutha Ardana sebagai penguji skripsi, atas
saran-saran yang diberikan dart Bapak Drs.Jaharuddin Msi sebagai dosen pembimbiig akademik atas
bimbingan dan dorongannya selama ini, serta Bapak dan Ibu dosen atas illnu yang sudah diberikan
kepada penulis. Ungkapan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada bapak, mamak, kakak dan adikku
tersayang atas do'a dan dukungannyq serta teman-temanku Ayun, Ela, Eka, Aam, Aih, Tini, Euis,
Nandar, Anto, Tonah teman-teman matematika seangkatan atas kebersamaannya selama ini, dan
saudaraku sepejuangan keluarga besar Az-Zahirah atas bantuan dan do'anya.
Semoga karya tulis ini dapat bermanfaat.
Bogor, Novenber 2000
Yuce A4aria U[fa
DAFTAR IS1
Halaman
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakan
1.2 Tujuan Penulis
1.3 Sistematika P
11. LANDASAN TEON
2.1 Ukuran
2.2 Fungsi Sebaran ...............................................................................................................
2.: Transfonnasi Laplace
2.4 Basis Suatu Ruang Vektor ...............................................................................................
1
1
1
2
2
3
4
111. SEBARAN CAMPURAN BERHWGGA ............. ............ ............ ........... .............................. .. 4
1V.SYARAT KELAS SEBARAN CAMPURAN BERHR.IGGA DAPAT DIIDENTIFIKASI ...... 6
V. KELAS SEBARAN CAMPURAN BERHINGGA YANG DAPAT DIIDENTiFIKASI
9
VI.KESJMPULAN...........
.
.
.
..................................................................................................
11
DAFTARPUSTAKA ..........................................................................................................
12
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belaknng
Misalkan 9.= {F(.,a) I U E R;' 1 adalah
keluarga fungsi sebaran yang dicirikan oleh
parameter a6 R;' . dimana R;' adalab lulnpunan
bagian Borel dari ruang Euclideai? berdimensi ni.
R!" Fnngsi F(...) terukur di R'XR;' .
Sebaran canlpuran berhingga H didefinisikan
sebagai berikut
Sebaran di alas mungkin berasal dari
2 .
H(x) = f ~ ( - l , l ) + ~ 0 ( - 2 . 2 )
,
(1)
J
atau
1
H(x) =-u(-2,l)+LU(-1,2)
2
2
(2)
atau
P
H(x) =
c, ~ ( xa. , )
t=1
i
dinlana
c, > 0.
c, = 1.
>=I
a, E R;', i = 1,2....,k ;
k EN.
Misalkan c%adald~ kelas sebaran campuran
berllingga dari Fyaitu
i
i
c % = { ~ ( . ) = ; I : c , ~ ( , a , ) I c , >O.;I:c, = L
,=I
I=!
U,ER;", i=1,2,....k, ~ E A ' } .
Masalah yang menarik untuk dipelajari di c%
adalal~jika terdapat dua sebaran campuran
1
dan
H(x)=CE,F(X.&,)EC~~,
i=!
yang memenuhi H(x) = k ( x ) , apakah li dengan
idan
pasangan (c,.aj) dengan (Ej,Gj) dapat
diidentifikasi. atau dengan kata lain dapdt
ditunjulckan k = i dan untuk setiap i. terdapat
suatuj sede~nikiansehingga c, = E, , a j = &, .
_
Perhatikan contoh dibawah ini, misalkan dari
data diperoleli sebaran ebagai berikut
f
--T-L
-2
-1
0
1
2
dimana U(a.b) adalah sebaran sengam pada
selang (a,b).
Karena sebaran tersebut diperoleli dari data
ti& ada alasan untuk mengatakan persamaan (I),
(2) atau (3) yang benar. Pennasaldm yang tejadi
terletak pada penentuan d x i tiap-tiap komponen
penyusun sebaran campuran tersebut. Adanya
beragan pemecahan dari data tersebut dapat
membuat pendugaan panmeter menjadi lebih
sulit.
Masalah di atas penting untuk pendugaan
parameter. Salah satu aplikasi masalah ini adalah
untuk mengidentifikasi parameter-parameter pada
model 1\4arl.
Dcfinisi 12. (Bebas Linier)[Anton, 19911
Misalkan V adalah mang vektor atas R. Jiia
S = {IJI.~~Z
,...,v,) adalah himpunan vektor di I/,
maka persamaan
klvl + k Zl'z+ ...+ k "18" = 0
mempunyai paling sedikit satn pemecahan yaitu
k , = o . n ; = o . k ~ = o...., k,=O.
Jika ini adalah satu-satunya pemecallan maka S
disebut lunlpunan yang bebas linier. Jika ada
peinecalian lain. inaka S disebut lulnpunan tali
bebas linier.
Dcfinisi 13. (Basis Suatu Ruang Vektor)[Anton.
19911
Jika li adalah se~nbarangmang vektor atas R dan
S = {i'1.i'2.....i~,) adalah liimpunan vektor di V
maka S dikatkan basis unluk I.jika S bebas linier
dan S ilierentang I'
Misalkan d = {F(.,a) I aeR;')
adalah
keluarga fungsi sebaran yang dicirikan oleh
parameter a ER;' , dimanaR;' adalah hiipunan
bagian Bore1 dari ruang Euclidean berdimensi 111,
Rm.Fnngsi F(.,.) terukur di R'XR;' . Misalkan G(.)
mempakan fungsi sebaran pada R;' , maka
H(x) =
I F(x.a)dG(a)
(3.1)
R;
disebut sebaran cantpuran dengan G adalah
sebaran pencanlpur. [Teicher, 19601
Contoh 3. [Lloyd, 19801
Misalkan f adalah fungsi kepekatan peluang dari
keluarga fungsi sebaran eksponensial 6,yang
didefinisikan oleh
x > O,8 > 0,
fix,@ = Be'&,
dan g adalah fungsi kepekatan peluang pencampur
yang hanya tergantung pada parameter 8 yang
didefinisikan ole11
g(O ) = ae'". a > O,B > 0,
maka sebaran canlpuran dari fungsi eksponensial
adalah
Misalkan Cfi = {G(.)/ G fungsi sebaran pada
R;' ) adalah kelas semua sebaran pencampur G
dan cie*adalah kelas selnua sebaran campuran H,
yaitu
&={H(.)lH(x)=
JF(x.a)dG(a)).
acRp
Misalkan
H ( x )=
I F(x.a)dG(a)
E
cie*
as~y
dan
fi(x) = IF(x.a)dG(a) E c
*.
~ER?
jikaH =fi berakibatG = 6 dimanaG.6 E&
Inaka c%9
dikalakan dapat diiidetttifihsi.
[Teicl~er,!960]
Jika scbaran G pa& (3.1) dislcrit dan
memberikan ~ulai positif c, untuk a, E R r ,
dcngan i = 1.2 .....k. 111aka H disebut sebnrnrt
cat?tpuran berltittgga dan H dapat ditulis
P
H(x) = x c , F ( x . a , ) .
/=I
Colltoll 4.
Misalk:ln @- adalah kelas sebaran binom Xang
didefinisikan olcl~
OO.~c,=l
.->
rebaran camplmn bsrl~ingga yany dalx11
,=n
diidcntifik~si airara lain sebaml~nor~iial.g ; ~ ~ u r u : ~
a , ~ R " : ! = 1 . 2 ...., !0)
S2 = { i e I l a ; < O )
s, = {1,2,...,1;)- sl-$,
dari persamaan (1) dan (2) diperoleh Sl dan S2
bukan hinlpunan kosong.
Misalkan b = makr,,,. / a; I maka
26
1
- E ~ C ( X )its2
~+- f i ( x ) + ~ - & ( x )
c
%St
dimana
c2
IS$
(3)
Jika proses seperti di atas dilanjutkan terus akan
diperoleh
zlF1Q1.i) = 0,
dengan mengambil yI.~++rn, maka diperoleh
zl = 0, kontradiksi dengan kenyataan bahwa rl t 0.
Jadi, agar sebalan daxi {Fj(x)I 1 r i 5 k) dapat
identifikasi, haruslah
terdapat xl,x2,...xi riil
sehingga
F;(x,) F+,) . . .
) , ,
. . .
D
. .
J;,,
,,,
5(xx) F A ) .
.
.
.
. &(.$I
Syarat cukup kelas sebaran campuran
berhingga dapat diidentifikasi diberikan dalam
teorema berikut.
Tcorcma 2. [Teicher. 19631
Misalkan 6 = {F)merupakan keluarga fungsi
sebaran dengan transformasi $(t) yang terdefi~si
pada S$. sedemikian seliingga pemetaan A4:F+$
adalah linier dan satu-salu. Jika ada urutan < dari
>qsedemikian selungga Fl < F2 berakibat
i. S+, E S+?ii. Ada rl E S$, , r, tidak tergantung pada $2rdan
-
S$, adalah penutup dari S+!, sedemikian
+ 2 ( f ) =0,
sel~inggalim '+I1
Dengan membagi persamaan di atas dengan $ I ( [ )
di~eroleh
Anibil 1+ ti melalui I di TI. maka dari persanuan
(5) diperoleh cl = 0, ini kontradiksi dengan cl > 0,
seliingga diperoleh Fl = dan untuk suatu t 6 TI
Dengan n~engambil r + rl untuk t E T I pada (6)
maka akan diperoleh c, - i, = 0 atau c, = 2.)
seldngga
(1)
$1
maka kelas dari semua sebaran campuran
berliingga ctedari Cfdapat diidentifikasi.
Dengan menggunakan proses yang sama seperti di
atas akan diperoleh6 =
dan c, = iiuntuk
6,
Bukti :
Misalkan C f i , C.i;i c d d i n m
i= 1.2,..., min(k,i). Jika k + i misalkan k > i
maka persamaan (4)menjadi
~={~,~l PI maka
-
Proposisi 2. [Teicher, 19633
Kelas semua sebaran campuran berllingga dari
sebaran garnma dapat diidentifikasi.
Bukti :
Misalkan F adalah sebaran gamma dengan dua
parameter a dan 6, dimana a > 0 dan p > 0.
= 0.
Berdasarkan teorenla 2, kelas semua sebaran
campuran berlungga dari sebaran garnma dapat
0
diidentifikasi.
Bentuk transformasi Laplace dari sebaran gamma
diberikan oleh
Proposisi 3.
Kelas semua sebaran campuran berhingga dari
sebaran Poisson dapat diidentifisi .
Definisikan
Bukti :
Misalkan F adalah adalah sebaran Poisson dengan
parameter h > 0,
Fi (x,ai,P~)< Fz(x-a2,P?),
jika a1 < a2,atan ai = a2tetapi pi > pz,
1
Pilih t, = -- , maka untuk t + ti diperoleh
Pi
lim
+(t,ai , P I )
,+-PI
Transformasi Laplace dari sebaran Poisson
diberikan ole11
A(e-'-i) , t € (-mp).
+(I,?.) = e
Definisikan
F(x.hi)< F(x.h?),
jika 1, >?.?. Maka S+I =(-m,m) dan S+2 =(-m,m),
pilih ti = -m sehingga, untuk t + tl diperoleh
e>.2(a-'-i)
+(t h2) lim - lim
4 , (t,?. )
I+-eX,(~-'-l)
= 0.
Sehiigga dari teorelna 2, terbukti kelas semua
sebaran campuran berhingga dari sebaran Poisson
0
dapat diidentifikasi.
VI. KESIMPULAN
Untuk
~nengidentifikasi kelas
sebaran
calnpuran herlungga diperlukan syarat perlu dan
cukup.
Misalkm
k
k
& = { H ( x ) = C c i F , ( x ) I c i > O , x c i =1 ),
/=I
,=I
adalah kelas sebaran campuran berhingga dari
{F,(x)I i = 1.2.. ..,k). Jika &dopat diidentijikasi.
nlaka terdapat nilai nil xl,xz,....xk sehingga
Misalkan Cf= {F)m e ~ p a k a nkeluarga fungsi
sebaran dengan transformasi +(t)yang terdefinisi
pada S+, sedenlikian sehingga pemetaan
A4: F + 6 adalah l i ~ edan
r satu-satu.
<
Jika ada urutan
dari & sedemikian sehingga
F,
F, berakibat
r S+>
i.
ii. Ada I , E
tI tidak terganhmg pada
dan
<
-
x,
m2,
S$, adalali penutup dari S+I, sedemikian
schingga lim- b(')= 0,
$1
(0
nlaka kelas dari semua sebaran campuran
berl~inggaM d a p a ! diidentijikasi.
Syarat perlu dan cukup kelas sebaran
canlpuran berhingga & dari Cf dapnt
diidenrijkasi yaitu Cflumpunan bebas l i ~ e pada
r
lapangan bilangan liil.
Contoh dari kelas sebaran campuran berhingga
yang dapat diiderrtijkasi adalah kelas sebaran
normal. gamma, dan Poisson.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1991. Aijabar Linier Elementer. Ed.
ke-3. Tejemahan Pantur Silaban. Erlangga
Jakarta.
Lloyd, E. 1980. Hand book of
Aplicable
Adathe~iraiics.Vo1.2. Probability. Jolm Willey
& Sons, New York.
Billingsley, P. 1978. Probability and Measure
John Willey & Sons. New York.
Setiawaty, B. 1999. Consistent Estimator of the
order for Hidden Markov Models. Thesis tlle
University of Adelaide.
Farlow, S. J. 1991. An Introducfio~t to
DiJJrentinl Equations and Tlteir Aplications.
Mc G n w Hill, New York.
Hogg, R V. Sr Craig, A. T. 1995.11ttroductianto
A4atheiiratical Stat~stics.Ed. ke-5. Mc Millan
New York.
Kolmogorov, A. N. & Fomin, S.V. 1961.
Elenlents of
Theoty of
Functions and
Functional Analysis. Vol. 2 . Translated from
the first (1960) Russian Edition by Hyman
Kame1 and Horace Komm. Graylock Press,
Albany, New York.
Teicher, H. 1961. Identifiable of Mixtures. J.4m7.
Math. Statisl. 32: 211-258.
Teicher, H. 1963. Identifiable of Finite Mixtures.
J. ilrtn. .bJatlt. Statist. 32: 1265-1269.
Yako~vitz,S. J. & Sparagin, J. D. 1968. On the
Identifiability of Finite MixTures. J! -4nn.
Statist, 39: 209-211.
LAMPIRAN
Lampiran : Pembuktian lema
Lema 1.
Transfonnasi Laplace dari sebaran nomnl adalah
L{n
e9
=
j
-m
= exp-
= exp= exp= exp-
1
e-xip
GJZ;;
1 x-p
e X p - & - - ] dx
(p2- ( . u - 1 0 ~ ) ~ )
202
pZ - ( p ? - 2 p 0 2 +
202
p2 - p 2 +2p102 - ( 1 ~ . 2 ) ~
202
2*02
-(1g2)2
2a2
2pr-(r202)
= exp2
2
Lema 2.
Tranforrnasi Laplace dari sebaran gamma
X
(6.1) diperoleh dengan memisalkan y = -(tP
P
+ 1) , t>-l/P
,dx=-
atau x = (PI + 1)
P
(PI + 1)
dy.0
IDENTIFIKASI SEBARAN CAMPURAN BERHINGGA
W C E MARIA ULFA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2000
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belaknng
Misalkan 9.= {F(.,a) I U E R;' 1 adalah
keluarga fungsi sebaran yang dicirikan oleh
parameter a6 R;' . dimana R;' adalab lulnpunan
bagian Borel dari ruang Euclideai? berdimensi ni.
R!" Fnngsi F(...) terukur di R'XR;' .
Sebaran canlpuran berhingga H didefinisikan
sebagai berikut
Sebaran di alas mungkin berasal dari
2 .
H(x) = f ~ ( - l , l ) + ~ 0 ( - 2 . 2 )
,
(1)
J
atau
1
H(x) =-u(-2,l)+LU(-1,2)
2
2
(2)
atau
P
H(x) =
c, ~ ( xa. , )
t=1
i
dinlana
c, > 0.
c, = 1.
>=I
a, E R;', i = 1,2....,k ;
k EN.
Misalkan c%adald~ kelas sebaran campuran
berllingga dari Fyaitu
i
i
c % = { ~ ( . ) = ; I : c , ~ ( , a , ) I c , >O.;I:c, = L
,=I
I=!
U,ER;", i=1,2,....k, ~ E A ' } .
Masalah yang menarik untuk dipelajari di c%
adalal~jika terdapat dua sebaran campuran
1
dan
H(x)=CE,F(X.&,)EC~~,
i=!
yang memenuhi H(x) = k ( x ) , apakah li dengan
idan
pasangan (c,.aj) dengan (Ej,Gj) dapat
diidentifikasi. atau dengan kata lain dapdt
ditunjulckan k = i dan untuk setiap i. terdapat
suatuj sede~nikiansehingga c, = E, , a j = &, .
_
Perhatikan contoh dibawah ini, misalkan dari
data diperoleli sebaran ebagai berikut
f
--T-L
-2
-1
0
1
2
dimana U(a.b) adalah sebaran sengam pada
selang (a,b).
Karena sebaran tersebut diperoleli dari data
ti& ada alasan untuk mengatakan persamaan (I),
(2) atau (3) yang benar. Pennasaldm yang tejadi
terletak pada penentuan d x i tiap-tiap komponen
penyusun sebaran campuran tersebut. Adanya
beragan pemecahan dari data tersebut dapat
membuat pendugaan panmeter menjadi lebih
sulit.
Masalah di atas penting untuk pendugaan
parameter. Salah satu aplikasi masalah ini adalah
untuk mengidentifikasi parameter-parameter pada
model 1\4arlo,~ € 0dan
f(x)dx= 1
n
inaka P(.II). untuk A E F dapat dinyatakan sebagai
P(A) = P(,Yd) = Jf(x)dx
A
diinana Ax) disebut fungsi kepekntan pelrtang
dari peubali acak X.
Definisi 6. (Fungsi Sebaran)[Hogg & Craig, 19953
Fungsi sebaran dari peubah acak X didefinisikan
oleh
F(x) = P[.Y 2 x] =
(o)do
as =
untnk setiap xeR.
If
2.3 Transformasi Laplace
Definisi 10. (Transfonnasi Lap1ace)parlow.
19941
Misalkan f adalah fungsi dari R ke R, maka
transforntasi Laplace daxi fadalah suatu fungsi F
yang didefinisikan oleh
m
Sifat fungsi sebaran adalah
1. lim F(x) = 0 dan lim F(x) = 1
*---
F(t)
-m
r--
2. F fungsi tak turun
3. F fungsi yang kontinu k a n a yaitu
l i ~ nF(x) = F(xO).untuk s e t i a p x ~ ~ R .
I-'%*
Definisi 7. (Fungsi Sebaran Normal)[Hogg &
Craig, 19953
Peubah acak X dikatakan menyebar norntal
dengan parameter p dan o: dimana PER, dan
o > 0, jika S mempunyai fungsi kepekatan
peluang
J e-x' f (x) dx
=
dan dinotasikan dengan L m .
Lema 1.
Transfor171asi Laplace dari sebaran nonnal adalall
Buliti : lihat lampiran.
2
1 x-p
1
Ax) = e
p
- ,-m 0, jikaSmempunyai fungsi kepekatan peluang
dengan
Definisi 9. (Fungsi Sebaran Poisson)[Hogg &
Craig, 19953
Peubah acak X dikatakan mempunyai sebaran
Poisson dengan parameter i. > 0, jika fungsi
kepekatan peluang dari -1- dapat dinyatakan
sebagai
Bukti : lihat lampiran
Lema 3,
Transfor~nasi Laplace dari s e b a m Poisson
dengan pamneter h > 0 adalah
Buliti :
2.4 Basis Suatu Ruang Vektor
Definisi 11. (Merentang) [Anton, 19911
Misalkan 'I adalah mang \&lor alas R. Jika
S = {i71.ix1
..... 1.' ) adalah lumpunan vektor di .1' dan
jika setiap vektor )I'EP' dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier
is = k l ~ '+l k2v2+ ...+kni>"
uniuk suatu k; E R. i = 1.2.3.....17; maka vektorvekor di S dikatakan rnerentang 1' dan
dinotasikan I,'= < S >.
Dcfinisi 12. (Bebas Linier)[Anton, 19911
Misalkan V adalah mang vektor atas R. Jiia
S = {IJI.~~Z
,...,v,) adalah himpunan vektor di I/,
maka persamaan
klvl + k Zl'z+ ...+ k "18" = 0
mempunyai paling sedikit satn pemecahan yaitu
k , = o . n ; = o . k ~ = o...., k,=O.
Jika ini adalah satu-satunya pemecallan maka S
disebut lunlpunan yang bebas linier. Jika ada
peinecalian lain. inaka S disebut lulnpunan tali
bebas linier.
Dcfinisi 13. (Basis Suatu Ruang Vektor)[Anton.
19911
Jika li adalah se~nbarangmang vektor atas R dan
S = {i'1.i'2.....i~,) adalah liimpunan vektor di V
maka S dikatkan basis unluk I.jika S bebas linier
dan S ilierentang I'
Misalkan d = {F(.,a) I aeR;')
adalah
keluarga fungsi sebaran yang dicirikan oleh
parameter a ER;' , dimanaR;' adalah hiipunan
bagian Bore1 dari ruang Euclidean berdimensi 111,
Rm.Fnngsi F(.,.) terukur di R'XR;' . Misalkan G(.)
mempakan fungsi sebaran pada R;' , maka
H(x) =
I F(x.a)dG(a)
(3.1)
R;
disebut sebaran cantpuran dengan G adalah
sebaran pencanlpur. [Teicher, 19601
Contoh 3. [Lloyd, 19801
Misalkan f adalah fungsi kepekatan peluang dari
keluarga fungsi sebaran eksponensial 6,yang
didefinisikan oleh
x > O,8 > 0,
fix,@ = Be'&,
dan g adalah fungsi kepekatan peluang pencampur
yang hanya tergantung pada parameter 8 yang
didefinisikan ole11
g(O ) = ae'". a > O,B > 0,
maka sebaran canlpuran dari fungsi eksponensial
adalah
Misalkan Cfi = {G(.)/ G fungsi sebaran pada
R;' ) adalah kelas semua sebaran pencampur G
dan cie*adalah kelas selnua sebaran campuran H,
yaitu
&={H(.)lH(x)=
JF(x.a)dG(a)).
acRp
Misalkan
H ( x )=
I F(x.a)dG(a)
E
cie*
as~y
dan
fi(x) = IF(x.a)dG(a) E c
*.
~ER?
2.4 Basis Suatu Ruang Vektor
Definisi 11. (Merentang) [Anton, 19911
Misalkan 'I adalah mang \&lor alas R. Jika
S = {i71.ix1
..... 1.' ) adalah lumpunan vektor di .1' dan
jika setiap vektor )I'EP' dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier
is = k l ~ '+l k2v2+ ...+kni>"
uniuk suatu k; E R. i = 1.2.3.....17; maka vektorvekor di S dikatakan rnerentang 1' dan
dinotasikan I,'= < S >.
Dcfinisi 12. (Bebas Linier)[Anton, 19911
Misalkan V adalah mang vektor atas R. Jiia
S = {IJI.~~Z
,...,v,) adalah himpunan vektor di I/,
maka persamaan
klvl + k Zl'z+ ...+ k "18" = 0
mempunyai paling sedikit satn pemecahan yaitu
k , = o . n ; = o . k ~ = o...., k,=O.
Jika ini adalah satu-satunya pemecallan maka S
disebut lunlpunan yang bebas linier. Jika ada
peinecalian lain. inaka S disebut lulnpunan tali
bebas linier.
Dcfinisi 13. (Basis Suatu Ruang Vektor)[Anton.
19911
Jika li adalah se~nbarangmang vektor atas R dan
S = {i'1.i'2.....i~,) adalah liimpunan vektor di V
maka S dikatkan basis unluk I.jika S bebas linier
dan S ilierentang I'
Misalkan d = {F(.,a) I aeR;')
adalah
keluarga fungsi sebaran yang dicirikan oleh
parameter a ER;' , dimanaR;' adalah hiipunan
bagian Bore1 dari ruang Euclidean berdimensi 111,
Rm.Fnngsi F(.,.) terukur di R'XR;' . Misalkan G(.)
mempakan fungsi sebaran pada R;' , maka
H(x) =
I F(x.a)dG(a)
(3.1)
R;
disebut sebaran cantpuran dengan G adalah
sebaran pencanlpur. [Teicher, 19601
Contoh 3. [Lloyd, 19801
Misalkan f adalah fungsi kepekatan peluang dari
keluarga fungsi sebaran eksponensial 6,yang
didefinisikan oleh
x > O,8 > 0,
fix,@ = Be'&,
dan g adalah fungsi kepekatan peluang pencampur
yang hanya tergantung pada parameter 8 yang
didefinisikan ole11
g(O ) = ae'". a > O,B > 0,
maka sebaran canlpuran dari fungsi eksponensial
adalah
Misalkan Cfi = {G(.)/ G fungsi sebaran pada
R;' ) adalah kelas semua sebaran pencampur G
dan cie*adalah kelas selnua sebaran campuran H,
yaitu
&={H(.)lH(x)=
JF(x.a)dG(a)).
acRp
Misalkan
H ( x )=
I F(x.a)dG(a)
E
cie*
as~y
dan
fi(x) = IF(x.a)dG(a) E c
*.
~ER?
jikaH =fi berakibatG = 6 dimanaG.6 E&
Inaka c%9
dikalakan dapat diiidetttifihsi.
[Teicl~er,!960]
Jika scbaran G pa& (3.1) dislcrit dan
memberikan ~ulai positif c, untuk a, E R r ,
dcngan i = 1.2 .....k. 111aka H disebut sebnrnrt
cat?tpuran berltittgga dan H dapat ditulis
P
H(x) = x c , F ( x . a , ) .
/=I
Colltoll 4.
Misalk:ln @- adalah kelas sebaran binom Xang
didefinisikan olcl~
OO.~c,=l
.->
rebaran camplmn bsrl~ingga yany dalx11
,=n
diidcntifik~si airara lain sebaml~nor~iial.g ; ~ ~ u r u : ~
a , ~ R " : ! = 1 . 2 ...., !0)
S2 = { i e I l a ; < O )
s, = {1,2,...,1;)- sl-$,
dari persamaan (1) dan (2) diperoleh Sl dan S2
bukan hinlpunan kosong.
Misalkan b = makr,,,. / a; I maka
26
1
- E ~ C ( X )its2
~+- f i ( x ) + ~ - & ( x )
c
%St
dimana
c2
IS$
(3)
Jika proses seperti di atas dilanjutkan terus akan
diperoleh
zlF1Q1.i) = 0,
dengan mengambil yI.~++rn, maka diperoleh
zl = 0, kontradiksi dengan kenyataan bahwa rl t 0.
Jadi, agar sebalan daxi {Fj(x)I 1 r i 5 k) dapat
identifikasi, haruslah
terdapat xl,x2,...xi riil
sehingga
F;(x,) F+,) . . .
) , ,
. . .
D
. .
J;,,
,,,
5(xx) F A ) .
.
.
.
. &(.$I
Syarat cukup kelas sebaran campuran
berhingga dapat diidentifikasi diberikan dalam
teorema berikut.
Tcorcma 2. [Teicher. 19631
Misalkan 6 = {F)merupakan keluarga fungsi
sebaran dengan transformasi $(t) yang terdefi~si
pada S$. sedemikian seliingga pemetaan A4:F+$
adalah linier dan satu-salu. Jika ada urutan < dari
>qsedemikian selungga Fl < F2 berakibat
i. S+, E S+?ii. Ada rl E S$, , r, tidak tergantung pada $2rdan
-
S$, adalah penutup dari S+!, sedemikian
+ 2 ( f ) =0,
sel~inggalim '+I1
Dengan membagi persamaan di atas dengan $ I ( [ )
di~eroleh
Anibil 1+ ti melalui I di TI. maka dari persanuan
(5) diperoleh cl = 0, ini kontradiksi dengan cl > 0,
seliingga diperoleh Fl = dan untuk suatu t 6 TI
Dengan n~engambil r + rl untuk t E T I pada (6)
maka akan diperoleh c, - i, = 0 atau c, = 2.)
seldngga
(1)
$1
maka kelas dari semua sebaran campuran
berliingga ctedari Cfdapat diidentifikasi.
Dengan menggunakan proses yang sama seperti di
atas akan diperoleh6 =
dan c, = iiuntuk
6,
Bukti :
Misalkan C f i , C.i;i c d d i n m
i= 1.2,..., min(k,i). Jika k + i misalkan k > i
maka persamaan (4)menjadi
~={~,~l