Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga

Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga
By Plengdut - March 11, 2013 2878
Perhatikan himpunan-himpunan berikut.
P adalah himpunann nama-nama hari, dapat ditulis P = {senin, selasa, rabu,
kamis, jumat, sabtu, minggu}.
Himpunan bilangan cacah, dapat ditulis C = {0, 1, 2, 3, 4, …} dengan
anggotanya 0, 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.
Himpunan bilangan ganjil, dapat ditulis G = {1, 3, 5, 7, …} dengan anggotanya
1, 3, 5, 7, … dan seterusnya.
S adalah himpunan bilangan asli kurang dari 100, dapat ditulis S = {1, 2, 3, 4, 5,
6, …, 99}.
Pada himpunan P di atas, semua anggota himpunan P sudah didaftar, yaitu
senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, dan minggu. Jadi, banyaknya anggota
himpunan P ada 7.

Perhatikan himpunan S. Tidak semua anggota himpunannya didaftar di antara
dua kurung kurawal. Namun, kamu bisa menentukan bilangan yang paling besar
anggotanya, yaitu 99. Jika diurutkan mulai dari 1, 2, 3, 4, …, 99 lalu dihitung
maka banyak anggotanya ada 99.

Himpunan seperti P dan S disebut himpunan berhingga. Sekarang, perhatikan

himpunan C dan G di atas. Tidak semua anggotanya didaftar dan juga tidak
dapat ditentukan, berapakah bilangan terbesar yang merupakan anggota
himpunan. Karena tidak diketahui anggota yang terbesar maka tidak dapat
dihitung banyaknya anggota pada himpunan C dan G. Himpunan seperti C dan G
disebut himpunan tak berhingga. Jadi, kapankah suatu himpunan dikatakan tak
berhingga dan kapan dikatakan berhingga?

Contoh Soal:
Apakah himpunan berikut termasuk himpunan tak berhingga atau himpunan
berhingga?
a. K adalah himpunan nama hari dalam seminggu yang dimulai huruf S
b. L adalah himpunan bilangan bulat positif

Penyelesaian:
a. K = {senin, selasa, sabtu}

Banyaknya anggota K ada 3, maka n (K) = 3
Jadi, K merupakan himpunan berhingga.

b. L = {1, 2, 3, 4, …}

Banyaknya anggota L tidak semuanya dapat didaftar karena tidak dapat
ditentukan berapa bilangan terbesar yang merupakan anggota himpunan L,
maka banyak anggota himpunan L tidak dapat dihitung. Jadi, L merupakan
himpuan tak berhingga.

Gottfried Wilhelm Leibniz
Selain berperan dalam kalkulus, Pria Jerman, Gottfried Wilhelm Leibniz memiliki
kontribusi yang besar dalam pengembangan Logika Simbolis. Saat kecil, Leibniz
belajar berbagai macam pengetahuan secara otodidak. Dia belajar Bahasa Latin
sendiri saat usianya delapan tahun dan mulai belajar bahasa Yunani saat
berumur dua belas tahun. Saat itu, dia sedang mempelajari karya Aristoteles dan
mulai tertarik pada Logika Formal.

Pada usia lima belas tahun, Leibniz menjadi siswa di University of Leipzig untuk
belajar ilmu hukum. Dia mendapat gelar Bachelor dua tahun kemudian dan gelar
master tahun berikutnya kemudian pindah ke University of Nuremberg.

Leibniz menerima gelar doktornya dalam setahun. kemudian segera mendapat
tawaran Profesorship yang ditolaknya, dia mengatakan bahwa "Ada sesuatu
yang lain dipikirannya". Selain ilmu hukum, sesuatu yang lain itu termasuk

politik, religi, sejarah, literature, metafisik, filosofi, logika dan matematika. Dia
bekerja dari dukungan banyak pihak, dan melayani elit saat itu sebagai seorang
pengacara, sejarawan dan pustakawan. Saat itu, Leibniz ditawari unuk menjadi
pustakawan di Vatikan yang lagi-lagi ditolaknya.

Kontribusi Leibniz untuk logika adalah karyanya "Karakter Universal." Leibniz
percaya, mengkombinasikan logika dan matematika, sebuah bahasa simbolis
yang umum dapat diciptakan yang dengan demikian dapat membantu mencari
solusi masalah sains dengan kesalahan sekecil mungkin. Dalam Bahasa
Universal ini, pernyataan dan relasi logika direpresentasikan oleh huruf dan
simbol. Dalam kata-katanya "All thruth reason would be reduced to a kind of
calculus, and the errors would only be errors of computation."

Substansinya, Leibniz percaya saat suatu masalah dibahasakan dalam bahasa
universal ini, masalah itu akan dengan sendirinya terpecahkan dengan
mengaplikasikan aturan matematis yang berlaku untuk simbol itu.

Leibniz bekerja dalam pengkajian logika simbolis dan tidak memiliki karir
akademi lagi. Pengkajian secara sistematis terhadap logika simbolis tidak
berjalan sampai abad ke sembilan belas.

Diposkan oleh Adhie di 20.06
Kirimkan Ini lewat Email
BlogThis!
Berbagi ke Twitte

MAKALAH LOGIKA PROPOSIONAL

Latar Belakang

Logika berasal dari kata bahasa Yunani “Logos”, yang dalam bahasa inggris
berarti “Word”, “Speech”, atau “What Is Spoken”, lebih dekat lagi dengan istilah
“Thought” atau “Reason”. Oleh karena itu, definisi logika adalah ilmu
pengetahuan yang mempelajari atau berkaitan dengan prisip-prinsip dari
penalaran argumen yang valid. Logika itu sendiri pertama kali dikemukakan oleh
Aristoteles ( 384 – 322 SM ), Filsuf dan ahli sains dari Yunani, seorang murid
Akademi Plato, sehingga logika yang diperkenalkannya disebut logika Aristoteles
yang merupakan logika klasik atau tradisional. Ia merumuskan logika dengan
cara menuliskan argumen/pendapat yang akan bisa dibuktikan kebenarannya
yang disebut Silogisme.

Sebuah contoh silogisme(disebut silogisme barbara) :

Premis : Semua A adalah B

Premis : Semua B adalah C

Konklusi : Semua A adalah C

Aristoteles mengembangkan suatu aturan-aturan untuk penalaran silogistik yang
benar Menurutnya, suatu silogisme yang benar adalah suatu argumen yang

terbentuk dari pernyataan-pernyataan dengan salah satu atau keempat bentuk
berikut:

Semua A adalah B (Universal Affirmative)
Tidak A adalah B(Universal Negative)
Beberapa A adalah B(Particular Affirmative)
Beberapa A adalah tidak B(Particular Negative)
Huruf A dan B diatas menggantikan suatu kata benda.

Pada awalnya logika dipelajari sebagai salah satu cabang filosofi. Kemudian
dipergunakan dalam bidang matematika dan sekarang dalam ilmu komputer.
Logika disini disebut logika simbol karena mempelajari usaha-usaha untuk
menyimbolisasikan logika secara formal. Dengan kata lain logika dipelajari
sebagai sistem formal yang menjelaskan peranan sekumpulan rumus-rumus atau
sekumpulan aturan untuk derivasi. Derivasi dipahami sebagai pembuktian
valliditas argumen yang kuat dengan didukung kenyataan bahwa kesimpulan
yang benar harus diperoleh dari premis-premis yang benar.

Logika Modern

Setelah Aristoteles masih banyak pemikir-pemikir yang menemukan konsep lain
tentang logika tapi masih berkisar pada pemikiran Aristoteles, kemudian baru
pada abad ke 19, Augustus De Morgan (1806-1871) dan George Boole (18151864), para ahli matematika Inggris yang mengembangkan logika klasik menjadi
logika modern atau logika simbolik. Sumbangsih dari kedua tokoh tersebut
adalah Induksi Matematika dan hukum ekuivalensi De Morgan(Augustus De
Morgan) serta Aljabar Boole((George Boole). Logika tersebut kemudian
dikembangkan dan diperkaya oleh penemuan-penemuan dari Gottlob Frege
(1848-1925), ahli matematika dari Jerman, Bertrand Russell (1872-1970), Alfred
North Whitehead (1861-1947), dan lainnya. Sistem logika yang dikembangkan

oleh dua nama terakhir membahas argumen-argumen yang memungkinkan
sesuatu dapat dimasukkan ke dalam bentuk yang lebih luas daripada silogistik.
Logika modern ini mengenalkan simbol-simbol untuk kalimat yang lengkap dan
perangkai-perangkai (Connectives) yang akan merangkainya “and”, “or”, “if…
the…”, “if and only if..” dan sebagainya. Dalam bentuk yang biasa, semua wellformed sentences didalam logika modern memiliki satu nilai saja dari dua nilai
berikut, yaitu benar (True) atau salah (False).

Logika klasik dan modern, termasuk logika deduktif dimana premis-premis dari
suatu argument yang valid harus memiliki kesimpulan, atau kebenaran suatu
kesimpulan mengkuti premis-premisnya.dalam benuk yang biasa,semua well
formed sentences didalam logika modern memiliki satu nilai saja dari 2 nilai

berikut yaitu “True” atau “False”. Nilai benar dapat diganti dengan angka satu
dan nilai salah dapat diganti dengan angka 0.. logika modern dijadikan dasar
pembuatan aljabar-boole yang dikembangkan oleh George Boole dan menjadi
dasar teori tentang pengembangan computer digital, terutama dalam
pengembangan mikroprocesor sebagai otak komputer digital.

Suatu well-formed sentence, dalam logika akan diformulasikan dalam bentuk
suatu rumus sehingga dinamakan well-formed formulae(wff) atau bentuk logika

yang menggunakan tanda kurung(fully parenthesized expression).

Logika matematika yang menangani masalah well-formed formulae yang hanya
memiliki nilai benar dan salah adalah :

Logika proposisional memfokuskan Pernyataan yang mempunyai benar atau
salah.
Logika Predikat. Memfokuskan penanganan terhadap pernyataan yang tidak
dapat diproses oleh logika proposional.
Logika proposisional dikembangkan oleh George Boole dan Augustus De Morgan
yang memberinya nama logika simbolik karena logika tersebut bekerja dengan
mamanipulasi symbol-simbol. Dasar pemberian nilainya kemudian
diformulasikan pada Tabel Kebenaran yang diperkenalkan oleh Emil L. Post dan
Ludwig J.J Wittgenstein. Morgan sendiri akhirnya bisa membuktikan kesalahan
dari silogisme.

Contoh : Semua kuda adalah hewan

Dengan demikian, semua kepala kuda adalah kepala semua hewan.

Logika proposisional sendiri sebenarnya sudah berkembang untuk menangani
pernyataan-pernyataan yang tak mampu diselesaikan oleh logika proposisional
dan berkembang menjadi logika predikat yang sudah diperkenalkan oleh Sir
William Hamilton dengan doktrinnya yang dinamakan “Quantification Theory” =.
Sehingga tidak heran jika ada yang menyebutnya logika kuantifikasi atau
pengkuantoran logika. Kemudian dikembangkan oleh Gottlob Frege, tetapi
formula-formula logika predikat yang digunakan sekarang yang diberi nama First
Order Logic dikenalkan oleh David Hilbert dan Wilhelm Ackerman pada Tahun
1928.

Biografi George Boole Pencetus Aljabar Boolean

George Boole adalah seorang filsuf dan matematikawan yang berasal dari
Inggris. Beliau membangun modern logika simbolik dan yang aljabar logika,
sekarang disebut Aljabar Boolean, yang digunakan sebagai dasar untuk desain
sirkuit komputer digital.

George Boole lahir pada tanggal 2 November di Lincoln, England. Orang tuanya
bernama John Boole dan Mary Ann Joyce. Ia diberi pelajaran pertama dalam
matematika dan juga diajarkan untuk membuat instrumen optik oleh ayahnya,

seorang pembuat sepatu.

George memiliki pendidikan sekolah dasar, namun sedikit pengajaran yang lebih
formal dan akademik. William Brooke, sastra di Lincoln, mungkin telah
membantunya dalam mengajarkan Latin, yang mana ia juga dapat belajar di
sekolah Thomas Bainbridge.

Biografi George Boole Pencetus Aljabar Boolean
sumber : en.wikipedia.org
George harus membantu keluarganya ketika bisnis ayahnya menurun. Saat
berusia 16 tahun, ia sudah mengajar di sebuah sekolah yang berada di Riding of
Yorkshie Barat. Ia memanfaatkan waktu luangnya untuk membaca.

George membaca jurnal matetika di Lincoln Mechanics Institute. Ia juga
membaca Isaac Newton Principia, Pierre-Simon Laplace Traite de mécanique
céleste, dan Joseph-Louis Lagrange Mécanique analytique dan belajar untuk
memecahkan masalah-masalah dalam aljabar.

George belajar mengenai kalkulus lebih dalam melalui buku matematika yang
diberikan oleh teman kenalannya ketika ia berpatisipasi di Lincoln Mechanics

Institute yang didirikan pada tahun 1833, yaitu bernama Sir Edward Bromhead.
Ia juga mendapat teks kalkulus karya Sylvestre Francois Lacroix yang didapatkan
dari George Stevens Dickson dari St Swithin Lincoln.

Saat berusia 20 tahun George Boolean mendirikan sebuah sekolah di Lincoln.
Saat berusia 24 tahun ia mengambil alih Hall's Academy di Waddington. Akademi
tersebut ia dapatlan ketika Robert Hall yang pada saat itu berstatus pemiliknya
meninggal dunia.

Pada tahun 1841, ia menemukan Invarian Teori, cabang baru matematika. Teori
matematika ini adalah sumber inspirasi bagi Albert Einstein. Pada tahun 1844, ia
membahas mengenai metode gabungan aljabar dan kalkulus melalui kertas di
Transaksi Filosofis dari Royal Society.

Pada tahun 1849, ia bekerja sebagai profesor matematika di Queen College, Cork
di Irlandia. Pada tahun 1854, ia bekerja pada aljabar logika yang lebih dikenal
sebagai aljabar boolean. Pada tahun yang sama ia memperkenalkan metode
simbolik umum inferensi logis melalui Laws of Thought.

George menikah dengan Mary Everest pada tahun 1855. Dari pernikahan
tersebut mereka mempunyai lima orang anak perempuan yang diberi nama,
Mary Lucy, Magaret, Alicia, Lucy Everest, dan Ethel Lilian. Pada tahun 1847 ia
ikut serta dalam membangun sebuah building society.

Alicia Boole salah satu anak perempuannya menjadi seorang ahli matematika.
Sementara saudaranya Everest Boole menjadi seorang profesor wanita pertama
dalam bidang kimia di Inggris. Selain ayahnya anaknya juga berprestasi.

George dianugerahi Keith Medal oleh Royal Society of Edinburgh pada tahun
1855 dan terpilih sebagai Fellow dari Royal Society pada tahun 1857. Ia juga
menerima gelar kehormatan dari LL.D. dari University of Dublin dan Universitas
Oxford.

George salah satu ahli matematika modern yang paling berpengaruh penting
dalam sejarah dunia kalkulus. Beliau juga yang meletakan pondasi dasar bagi
era informasi. Berkat kontribusi George dalam matematika benar benar efektif
dalam membantu merancang komputer digital dan sirkuit elektronik.