REPRESENTASI LINEAR GRUP BERHINGGA
REPRESENTASI LINEAR GRUP BERHINGGA
Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
Oleh: Antonius Yudhi Anggoro
NIM: 053114014
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
LINEAR REPRESENTATION OF FINITE GROUP
Thesis Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the SARJANA SAINS Degree In Mathematics
By: Antonius Yudhi Anggoro
Student Number: 053114014
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
Skripsi
REPRESENTASI LINEAR GRUP BERHINGGA
Disusun oleh: Antonius Yudhi Anggoro
NIM: 053114014 Telah disetujui oleh
Pembimbing
SKRIPSI
REPRESENTASI LINEAR GRUP BERHINGGA
Dipersiapkan dan ditulis oleh : Antonius Yudhi Anggoro
NIM : 053114014 Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji pada tanggal 27 Juni 2009 dan dinyatakan memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji Nama Lengkap Ketua : Prof. Dr. Frans Susilo, SJ Sekretaris : M.V. Any Herawati, S.Si, M.Si.
Anggota : Wanty Widjaya, M.Ed.
Yogyakarta, 3 Juli 2009 Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Dekan
! " # # # $ $ $ # % $ # & ' !() * ! #
) ) # $ + , '
Pernyataan Keaslian Karya
Saya menyatakan dengan sungguh bahwa skripsi ini tidak memuat karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagai ma- na layaknya sebuah karya ilmiah.
Yogyakarta, 4 Juni 2009 Penulis
Antonius Yudhi Anggoro
ABSTRAK
Representasi linear grup berhingga membahas cara menyajikan grup berhingga sebagai grup matriks tak singular. Hal ini dilakukan dengan cara sebagai berikut. Diberikan suatu grup berhingga dan lapangan kompleks . Setiap diaso- siasikan dengan sebuah matriks , sedemikian hingga fungsi ada- lah homomorfisma grup. Selanjutnya disebut representasi dari atas lapangan kompleks . Pembahasan tentang representasi grup berhingga dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu lewat representasi itu sendiri atau lewat modul- yang berkorespondensi dengannya. Hasil utama dari representasi linear grup berhingga adalah teorema Maschke dan Lema Schur.
ABSTRACT
Linear representation of finite group is concerned with the ways of writing a finite group as group of nonsingular matrices. This is done as follows: Given a finite group and complex field . Any is assosiated with matrix
, such that function is a group homomorphism. Function is then called representation of over complex field . Discussion about representation of finite group can be done in two ways, namely by representation itself or by -modul corresponding to it. The main results of linear representation of finite group are Maschke theorem and Schur lemma.
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Antonius Yudhi Anggoro Nomor Mahasiswa : 053114014
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul:
REPRESENTASI LINEAR GRUP BERHINGGA
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, menga- lihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikan di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya, selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta, Pada tanggal: 3 Juli 2009 Yang menyatakan
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Maha Esa atas berkat dan rahmat-Nya, se- hingga skripsi dengan judul “Representasi Linear Grup Berhingga” ini dapat di- selesaikan tepat pada waktunya.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa selesainya skripsi ini tidak lepas dari dukungan, dorongan, kerjasama maupun bimbingan banyak pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapakan banyak terima kasih kepada:
1. Bapak Heru Kuntjoro dan Ibu Lisawati Soegiharto yang telah memberi bantuan dan dukungan sehingga penulis dapat melanjutkan pendidikan di tingkat perguruan tinggi.
2. Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing sekaligus dosen penguji skripsi yang telah membimbing dan memberi masukan se- jak awal hingga selesainya skripsi ini.
3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ dan Ibu Wanty Widjaya, M.Ed. selaku dosen penguji yang telah memberi koreksi dan masukan kepada penulis.
4. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ke- tua Program Studi Matematika.
5. Perpustakaan Paingan Universitas Sanata Dharma beserta seluruh stafnya atas seluruh fasilitas dan pelayanan selama penulis mengerjakan skripsi ini.
6. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si yang telah meminjamkan buku-buku pendukung tentang teori representasi.
7. Bapak Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberi pelayanan administrasi kepada penulis selama masa kuliah.
8. Teman-teman mahasiswa angkatan 2005 prodi matematika Universitas Sanata Dharma.
9. Banyak pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Yogyakarta, 3 juli 2009 Penulis
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL …………………………………………….. i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS …………… ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …...……………. iii HALAMAN PENGESAHAN …………………………………… iv HALAMAN PERSEMBAHAN …………………………………. v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……...….. vi HALAMAN ABSTRAK ………………………………….……... vii HALAMAN ABSTRACT ………………………………….......... viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA
ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS …………….. ix KATA PENGANTAR …………………………………………… . x DAFTAR ISI …………………………………………….………. xii
BAB I PENDAHULUAN ………………………………......……
1 A. Latar Belakang Masalah …………………………………..
1 B. Rumusan Masalah ……………………………….……..…
2 C. Batasan Masalah ……………………………….....…........
3 D. Tujuan Penulisan ……………………………..……...……
3 E. Metode Penulisan …………..………………..……....……
3 F. Manfaat Penulisan ………..……………….………....…...
3 G. Sistematika Penulisan ………..……………………...…....
3
BAB II GRUP DAN RUANG VEKTOR ………….....….….........
5 A. Grup …………………………………………………...….
5 B. Homomorfisma Grup ……………………………...……..
17 C. Ruang Vektor …………………………………...…..…….
24 D. Transformasi Linear …………………………….…....…..
41 BAB III REPRESENTASI GRUP BERHINGGA DAN MODUL-
67 A. Representasi Grup Berhingga ………..………….........…..
67 B. Modul- ………………………………………….....…..
74 C. Submodul- dan Ketereduksian …………………….….
89 D. Grup Aljabar ……………………………….………...…...
98 E. Homomorfisma- ………………..………..…...……….... 109
BAB IV TEOREMA MASCHKE DAN LEMA SCHUR ………. 125 A. Teorema Maschke ……………..……….…………...……. 125 B. Lema Schur …………………………………………...….. 136 BAB V PENUTUP ……………………….…………………...…. 146 A. Kesimpulan ……………………………………....………. 146 B. Saran ………………………………………………..…..... 147 DAFTAR PUSTAKA ………………………………………….… 148
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Teori representasi grup adalah cabang ilmu matematika yang membahas
cara menyajikan grup sebagai grup matriks tak singular. Teori ini memiliki peran penting baik dalam disiplin ilmu matematika maupun dalam disiplin ilmu lain seperti fisika dan kimia.
Salah satu peran penting teori representasi grup dalam bidang matema- tika tampak ketika para matematikawan mencoba membuktikan teorema Burnside. Teorema Burnside menyatakan bahwa “ Misalkan , adalah bi-
, adalah bilangan bulat tak negatif yang memenuhi langan prima dan
2. Jika adalah grup berorde , maka tak simpel”. Pada tahun 1897 Burnside mempresentasikan bukti atas teorema tersebut dalam bukunya yang berjudul Theory of Groups of Finite Order. Ia membuktikannya dengan pendekatan teori grup dengan cara memilih beberapa bilangan bulat dan tertentu. Sampai saat itu Burnside belum berhasil membuktikan teorema ini secara umum, yaitu untuk sebarang bilangan bulat tak negatif , yang me-
2. Teori ini baru dapat dibuktikan secara umum setelah menuhi Georg Frobenius menemukan teori representasi. Fakta lain yang menarik ada- lah bahwa berbagai usaha untuk membuktikan teorema Burnside tanpa meng- gunakan teori representasi gagal sampai pada akhirnya H. Bender berhasil menemukannya pada tahun 1972. Teori representasi grup dikembangkan oleh seorang matematikawan Jerman bernama Ferdinand Georg Frobenius pada akhir tahun 1800-an. Fro- benius dilahirkan di Charlottenberg, Jerman. Ia memperoleh pendidikan ma- tematikanya dari Universitas Berlin dibawah bimbingan pengajar terkenal se- perti E. Kummer, L. Kronecker, dan K. Weierstrass. Setelah menyelesaikan masa studinya, Frobenius mengajar di almamaternya. Selepas dari sana ia mengajar di Eidgenossische Technische Hochschule (E.T.H). Selama menga- jar, ia banyak memberikan kontribusi dalam bidang matematika. Kontribu- sinya dalam berbagai topik. Fokusnya pada bidang aljabar berawal dari bukti teorema Sylow yang dipublikasikan pada tahun 1887. Semenjak itu ia mulai memfokuskan diri pada bidang aljabar sampai pada akhirnya menemukan teo- ri representasi. Beberapa tokoh lain yang berperan besar dalam pengemban- gan teori ini antara lain Richard Dedekind, William Burnside, Heinrich Maschke dan Schur.
Secara formal representasi dari grup atas lapangan kompleks dide- finisikan sebagai berikut: Misalkan adalah grup. Representasi dari atas lapangan kompleks adalah homomorfisma grup ρ dari ke grup linear
, umum , yaitu grup matriks tak singular berukuran . Selanjutnya disebut derajat dari representasi ρ.
, Jadi, jika ρ , maka ρ adalah suatu representasi jika dan hanya jika ρ ρ untuk setiap , .
ρ
B. Rumusan Masalah
2. Bagaimana cara mengonstruksi representasi dari grup berhingga?
3. Bagaimana sifat representasi dari grup berhingga?
C. Batasan Masalah 1. Grup yang dibicarakan dalam skripsi ini adalah grup berhingga.
2. Skripsi ini tidak membahas representasi dari grup berhingga atas sebarang lapangan , namun dibatasi pada lapangan kompleks .
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk memahami representasi dari grup berhingga atas lapangan kompleks .
E. Metode Penulisan
Metode penulisan yang akan digunakan dalam skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal ilmiah, dan karangan ilmiah yang telah dipublikasikan. Oleh karena itu, di sini tidak disajikan hal baru dalam bidang matematika.
F. Manfaat Penulisan 1. Memahami pengertian representasi dari suatu grup berhingga .
2. Pembaca dapat mengonstruksi suatu representasi.
3. Memahami sifat-sifat suatu representasi.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Metode Penulisan
F. Manfaat Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II GRUP DAN RUANG VEKTOR A. Grup B. Homomorfisma Grup C. Ruang Vektor D. Transformasi Linear BAB III REPRESENTASI GRUP BERHINGGA DAN MODUL- A. Representasi Grup Berhingga B. Modul- C. Submodul- dan Ketereduksian D. Grup Aljabar E. Homomorfisma- BAB IV TEOREMA MASCHKE DAN LEMA SCHUR A. Teorema Maschke B. Lema Schur BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran
BAB II GRUP DAN RUANG VEKTOR A. Grup Definisi 2.1.1 Misalkan adalah himpunan takkosong. Operasi biner pada adalah fungsi
dengan . Selanjutnya, di- : , | , , notasikan dengan untuk setiap .
,
Definisi 2.1.2 Grup adalah himpunan takkosong yang dilengkapi dengan operasi biner
pada sedemikian hingga untuk setiap , , ,
1. (sifat assosiatif)
2. Terdapat elemen identitas, yaitu yang memenuhi
1
1
1
3. Setiap mempunyai invers, yaitu yang memenuhi
1 Secara khusus, jika untuk setiap , maka disebut grup , Abel .
Setiap grup mempunyai tepat satu elemen identitas dan setiap ele- mennya mempunyai tepat satu invers. Jika memuat tak hingga banyak ele- men, disebut grup tak hingga. Jika sebaliknya, disebut grup berhingga. Banyaknya elemen grup berhingga disebut orde dari dan dinotasikan dengan | |.
Definisi 2.1.3
Misalkan adalah grup. Untuk setiap dan , berturut-turut dan didefinisikan dengan dan
… …
! "!# ! "!#
% %Selain itu, didefinisikan dengan 1.
Contoh 2.1.4
1. Himpunan &, ' dan ( adalah grup abel terhadap operasi penjumlahan biasa. Selain itu
) * 0 adalah grup abel terhadap operasi perkalian bilangan kompleks.
2. Himpunan semua matriks tak singular berukuran , dengan entri bi- langan kompleks adalah grup terhadap operasi perkalian matriks.
Grup ini disebut grup linear umum dan dinotasikan dengan - , ) . Matriks identitas . adalah elemen identitas dari - , ) .
3. Untuk setiap , semua akar kompleks persamaan 234 5 6 , 1 diberi- kan dengan / 0, )|, 1 , 0,1, … , * 17. Terhadap operasi perkalian bilangan kompleks, 264 / merupakan grup. Misalkan 5
9
, maka dan 8 1 / 1, 8, 8 , … , 8 8 1.
Definisi 2.1.5
Misalkan adalah grup. Himpunan bagian takkosong : dari disebut grup
bagian dari jika dan hanya jika
1. Untuk setiap , :, :
2. Untuk setiap :, :
Selanjutnya, notasi : ; digunakan untuk menyatakan bahwa : adalah grup bagian dari .
Contoh 2.1.6
Untuk setiap grup , 1 dan adalah grup bagian dari .
Teorema 2.1.7
Misalkan : adalah himpunan bagian takkosong dari grup . Himpunan : adalah grup bagian dari jika dan hanya jika memenuhi:
Jika , :, maka :
Bukti
< Misalkan
: grup bagian dari . Jelas bahwa 1 :. Kemudian misalkan , :. Menurut definisi 2.1.5, :. Akibatnya :.
= Misalkan 1 :. Jika :, maka berdasar asumsi 2 ,
1 :. Kemudian misalkan
, :. Telah ditunjukkan bahwa jika : maka
:. Dengan demikian, berdasar asumsi 2 , :. Jadi, : adalah grup bagian dari .
■
Teorema 2.1.8
Misalkan adalah grup dan . Himpunan bagian 8 8 | & dari ada- lah grup bagian dari . Grup bagian dari ini disebut grup bagian siklik dari
yang dibangun oleh 8 dan dinotasikan dengan ?8@.
Bukti
Jelas bahwa 8 | & takkosong karena 8 8 8 | & . Selanjutnya
A
misalkan untuk su-
, 8 | & . Dengan demikian 8 dan
8 atu , B &.
A CA
1. . Jadi, 8 8 8 8 | & .
2.
8 . Karena * &, akibatnya 8 | & . Jadi, 8 | & adalah grup bagian dari .
■ Jika ?8@ maka disebut grup siklik dan 8 disebut pembangun . Selanjutnya misalkan adalah grup dan . Dalam beberapa kasus terda-
8 pat sedemikian hingga
8
1. Dalam kasus ini, ?8@ merupakan grup berhingga. Banyaknya elemen dari ?8@ sama dengan bilangan bulat positif te- kecil sedemikian hingga
8
1. Selanjutnya bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi 8 1 disebut orde dari elemen 8.
Contoh 2.1.9 264 5 Grup
se- / dan & adalah grup siklik. Pembangun dari / adalah 8 1 dangkan pembangun dari
& adalah *1 dan 1.
Teorema 2.1.10
Misalkan adalah grup dan . Himpunan bagian ,
? , @ dari yang
E F G F E 2 G 2 E 5 G 5
diberikan dengan |, … H (dalam hal ini
? , @ D, dan I , J & untuk setiap 1,2, … , ) adalah grup bagian dari .
# #
Grup bagian ? , @ dari ini disebut grup bagian dari yang dibangun oleh dan .
Bukti
Jelas bahwa ? , @ takkosong. Selanjutnya misalkan ,, K ? , @ Dengan
E F G F E 2 G 2 E 5 G 5
demikian dan
, dan K dapat dinyatakan dengan , …
# F L F # 2 L 2 # M L M
. Lebih jauh, K …
E F G F E 2 G 2 E 5 G 5 # F L F # 2 L 2 # M L M 1.
,K … … ? , @
E F G F E 2 G 2 E 5 G
5
2., …
G 5 E 5 G 2 E 2 G F E F
…
% G 5 E 5 G 2 E 2 G F E F %
… ? , @
Jadi, ? , @ adalah grup bagian dari .
■
Definisi 2.1.11 lah fungsi P: N O yang memenuhi
1. Untuk setiap ,, K N, jika P , P K maka , K
2. Untuk setiap K O terdapat , N sedemikian hingga P , K
Fungsi P: N O yang memenuhi sifat 1 pada definisi 2.1.11 disebut fungsi injektif sedangkan fungsi
P: N O yang memenuhi sifat 2 pada de- finisi 2.1.11 disebut fungsi surjektif. Dengan demikian fungsi bijektif adalah fungsi yang surjektif sekaligus injektif.
Dapat ditunjukkan bahwa fungsi P: N O adalah fungsi bijektif jika dan hanya jika terdapat fungsi
P : O N sedemikian hingga P P 8 8 dan P P Q Q untuk setiap 8 N dan Q O. Jika fungsi P ada, P disebut invers dari P dan P dikatakan dapat dibalik.
Definisi 2.1.12 Permutasi dari himpunan N adalah fungsi bijektif P: N N.
Teorema 2.1.13
Misalkan adalah himpunan semua per- N adalah himpunan takkosong dan R
S mutasi pada adalah grup.
N. Terhadap operasi komposisi fungsi, R
S Bukti
Pertama-tama ingat bahwa fungsi komposisi bersifat assosiatif. Selanjutnya, jelas bahwa .: N N yang didefinisikan dengan . 8 8 untuk setiap 8 N
. Karena permutasi adalah fungsi .P 8 P 8 . Jadi, . adalah identitas R
S
bijektif, untuk setiap terdapat sedemikian hingga P R P R PP
S S
adalah grup terhadap operasi komposisi fung- PP .. Dengan demikian R
S si.
■ ■ ■ ■
Definisi 2.1.14
Misalkan . Himpunan semua permutasi dari R 1,2, … , dengan R yang dilengkapi dengan operasi komposisi fungsi disebut grup simetrik ber- derajat dan dinotasikan dengan
R . Orde dari R adalah |R | ! dan se- tiap U R dinotasikan dengan
W
2 U V 1 W U X U 1 U 2
Definisi 2.1.15
Misalkan 8, Q R . Grup dihedral adalah grup bagian Y
?8, Q@ dari R
9
9
yang memenuhi dan
8 Q 1 dan Q 8Q 8 untuk setiap adalah Z 2. Orde dari Y 2 .
9 Sebagai akibat dari sifat dapat dinyatakan
Q 8Q 8 , setiap , Y
9 E G
9
dengan untuk suatu , Q
8 I, J &. Selanjutnya karena 8 Q 1, maka I 0,1 dan J 0,1, … , * 1. Dengan demikian,
9
9 Y 1, 8, 8 , … , 8 , Q, 8Q, Q8 , … , Q8
?8, Q@
9
Definisi 2.1.16
Misalkan dan anggota himpunan [ , [ , … , [ R 1,2, … , dengan
9 \
] ; . Putaran [ [ W [ dengan panjang ] adalah permutasi U yang di-
9 \
definisikan dengan U [ [ , U [ [ , … , U [ [ dan U [ [ un-
9 9 ^ \
tuk setiap untuk setiap [ R namun [ _ [ I 1,2, … , ]. Jika ] 2 maka pu-
E taran disebut transposisi.
[ [
9 Contoh 2.1.17
Diberikan R 1,2,3,4 . Putaran 1 2 4 dan transposisi 1 3 berturut-turut merupakan permutasi
3 4 3 4 dan
U b 1 2 U b 1 2
9
2 4 3 1 c 3 2 1 4 c
Definisi 2.1.18
Misalkan adalah grup, dan : grup bagian dari . Koset kiri dari : dalam yang memuat adalah himpunan
: | : . Sedangkan ko-
set kanan dari
: dalam yang memuat adalah himpunan : | : dari .
Contoh 2.1.19
Diberikan grup R 1 , 1 2 , 1 3 , 2 3 , 1 2 3 , 1 3 2 dan grup ba-
^
gian . Koset-koset kiri dari : 1 , 1 3 dari R : dalam diberikan se-
^
bagai berikut
1 2 : 1 2 , 1 2 1 3 1 2 , 1 3 2 1 3 2 : 1 3 : 1 3 , 1 3 1 3 1 3 , 1 : 2 3 : 2 3 , 2 3 1 3 2 3 , 1 2 3 1 2 3 :
Koset-koset kiri (kanan) dari : dalam yang berbeda memartisi . Ar- tinya, setiap elemen dari tepat berada pada salah satu koset tersebut. De- ngan demikian merupakan gabungan dari koset-koset tersebut. Contoh 2.1.19 memberikan gambaran yang jelas tentang hal ini.
Teorema 2.1.20 (Teorema Lagrange)
Jika adalah grup berhingga dan : adalah grup bagian dari , maka |:| membagi
| |.
Bukti
Misalkan adalah semua koset kanan dari : , : , … , : : dalam yang
9 \
semuanya berbeda. Pandang fungsi yang didefinisikan dengan P: : :
E
untuk setiap P I 1,2, … , ] dan :. Akan ditunjukkan bahwa P
E fungsi bijektif.
Misalkan , maka , :. Jika P P
9
9
P P9 E
9 E E E
9 E E
9 Jadi, , maka ter-
P injektif. Selanjutnya jika diambil sebarang K :
E E
dapat , sedemikian hingga :, yaitu dengan memilih P K. Ja- di,
P surjektif. Karena P surjektif dan injektif maka P bijektif. Dengan demi- kian |:| |: | untuk setiap I.
E
Dengan mengingat bahwa dan : d : d … d : : e : f
9 \ E G
jika I _ J, maka
| | |: d : d … d : |
9 \
|: | g |: | | g W g |:
9 \
|:| g |:| g W g |:|
! "!# \
]|:| Jadi, |:| membagi | |.
■ ■ ■ ■
Definisi 2.1.21
Misalkan : adalah grup bagian dari grup . Banyaknya koset kiri (kanan) da- ri
: dalam yang berbeda disebut indeks : : dari : dalam . Jika ber- hingga, maka : :
| |/|:|
Definisi 2.1.22
Misalkan : adalah grup bagian dari grup . Grup bagian : disebut grup ba-
gian normal dari jika dan hanya jika . Selan-
8: :8 untuk setiap 8 jutnya notasi : i menyatakan bahwa : adalah grup bagian normal dari .
Contoh 2.1.23
Untuk setiap grup , 1 dan adalah grup bagian normal. Jika grup abel, maka setiap grup bagian : dari adalah grup bagian normal.
Teorema 2.1.24
Misalkan : adalah grup bagian normal dari grup . Himpunan /: adalah grup terhadap operasi biner yang didefinisikan dengan
:8|8 . Grup seperti ini disebut grup fak-
:8 :Q : 8Q untuk setiap 8, Q
tor dari oleh :.
Bukti
Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa operasi biner yang didefinisikan den- gan well-defined, yaitu untuk se- :8 :Q : 8Q untuk setiap 8, Q
k
tiap :8, :8 , :Q, :Ql /:, jika :8 :8l dan :Q :Ql maka : 8Q
k k k
: 8 Ql . Jelas bahwa 8 18 :8l. Karena :8 :8l, akibatnya 8l :8.
k
Dengan demikian 8 8 untuk suatu :. Demikian pula jelas bahwa
k k
Q
1Q :Ql. Karena :Q :Ql, akibatnya Ql :Q. Dengan demikian
k Q Q untuk suatu :.
9
9 Selanjutnya diperoleh k
:8 Ql : 8 Q
9
:8 Q
9
8: Q
9
8:Q
Jadi, operasi biner tersebut well-defined. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa /: adalah grup.
1. Untuk setiap :8, :Q, :m /:,
:8 :Q :m :8 : Qm : 8 Qm : 8Q m : 8Q : m :8 :Q :m
2. Himpunan /: memuat elemen identitas, yaitu :1 : /:. Un- tuk setiap
:8 /:, ::8 :8: :8.
3. Setiap :8 /: memiliki invers :8 :8 /:. Perhati- kan bahwa
:8:8 :8 :8 :. Jadi, /: adalah grup.
■ ■ ■ ■
Teorema 2.1.25
Misalkan , , … , adalah grup. Himpunan
9
… , , … , | ; I 1,2, … ,
9
9 E E
adalah grup terhadap operasi biner yang didefinisikan dengan , , … , , , … , , , … ,
9 9 9 9
untuk setiap . Grup ini di-
, , … , , , , … , …
9
9
9
9
Buktisebut dengan darab langsung dari , , … , .
Misalkan dan berturut-turut , … , , , … , , … , elemen grup
…
9
, … , , … , , … , , … ,
, … , , … , , … , , … , , … , 2. Terdapat elemen identitas, yaitu .
1,1, … ,1 …
9
3. Setiap mempunyai invers, yaitu , , … , …
9
9
, , … ,
9 Jadi, adalah grup.
…
9
■ ■ ■ ■ Jika
, , … , masing-masing adalah grup berhingga, maka
9
juga merupakan grup berhingga. Orde dari …
…
9
9
adalah | | | || … | … | |.
9
9 B. Homomorfisma Grup Definisi 2.2.1
Misalkan dan : adalah grup. Fungsi o: : disebut homomorfisma jika untuk setiap . o o o ,
9
9
9 Jika o bijektif, maka o disebut isomorfisma dan dikatakan isomorfis :. Notasi yang biasa dipakai untuk menyatakan bahwa isomorfis : adalah p :.
Teorema 2.2.2
Jika P: : adalah homomorfisma grup dan P dapat dibalik, maka invers dari
P juga merupakan homomorfisma grup.
Bukti
Misalkan dan 8, Q P adalah invers dari P.
P P 8 P Q P P 8 P P Q P P 8 P Q 8Q P bP P 8 P Q c P 8Q
P 8 P Q P 8Q Jadi, P adalah homomorfisma.
■ ■ ■ ■
Contoh 2.2.3
1. Misalkan adalah grup Abel. Fungsi yang didefinisikan o: dengan untuk setiap adalah suatu homomorfisma o karena jika maka
, o o o o o .
9
2. Diberikan grup Y Q 1, Q 8Q 8 @. Setiap
?8, Q|8
9 memenuhi 0 ; I ; 1 dan 0 ; J ; * 1. Misalkan : adalah sebarang
9
grup yang memuat elemen , dan K yang memenuhi , K 1 dan
K ,K , . Fungsi o: Y : yang didefinisikan dengan
9
E G E G E G8 K , Q
8 Y
9
untuk setiap adalah homomorfisma. Un- o Q
tuk menunjukkan hal ini, misalkan 0 ; ] ; 1, 0 ; [ ; * 1, adalah grup, akibatnya 0 ; q ; 1 dan 0 ; r ; * 1. Karena Y
9 \ s t E G
untuk suatu Q
8 Q
8 Q 8 0 ; I ; 1 dan 0 ; J ; * 1. Lebih
9
jauh, I dan J ditentukan oleh persamaan 8 Q 1 dan Q 8Q 8 .
9 Karena
, K 1 dan K ,K , , dapat disimpulkan pula bah-
\ s t E G
wa . Dengan demikian K , K , K ,
\ s t E G
u Q
8 Q 8 u Q
8 E G K ,
\ s t
K , K ,
\ s t
u Q 8 u Q
8 Jadi, u adalah homomorfisma.
Teorema 2.2.4
Jika adalah grup, maka terdapat grup permutasi l sedemikian hingga p l.
Bukti
Misalkan adalah grup dan . Pertama-tama didefinisikan fungsi v , v K maka
w w
, K , K , K
w
Jadi, injektif. Selanjutnya untuk setiap , ambil . Perha- v , K ,
tikan bahwa surjektif. v K v , , ,. Dengan demikian v
w w w
w w .
Karena bijektif, dapat disimpulkan bahwa adalah permutasi untuk setiap v v
w
Bentuk himpunan l Dv | H. Himpunan l adalah grup terhadap ope-
rasi komposisi fungsi. Untuk menunjukkan hal ini, misalkan . Maka, ,
w x
, v , v l. Dengan demikian untuk setiap ,
v v , v v , v , , , v ,
w x w x w wx
Jadi, l tertutup terhadap operasi komposisi fungsi. Perlu diingat bahwa ope- rasi komposisi fungsi bersifat asosiatif. Selanjutnya l memuat elemen identi- tas, yaitu yang didefinisikan dengan v : v , 1, , untuk setiap
. Akhirnya, untuk setiap yF , v l pilih v l. Perhatikan bahwa un-
w w
tuk setiap , yF yF v v , v v , , v ,
w w w w yF
w w
Jadi setiap v l mempunyai invers, yaitu v l. Dengan demikian, l
adalah grup terhadap operasi komposisi fungsi.
Selanjutnya definisikan untuk setiap .
P: l dengan P v
w
Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa P adalah homomorfisma. Untuk setiap
wx w x Jika . Akibatnya, .
, , P v v v P P .
P P maka v v , , untuk setiap ,
w x
Akhirnya diperoleh . Jadi, P injektif. Selanjutnya untuk setiap v l
w
pilih . Perhatikan bahwa . Jadi, , P , P v P surjektif. Ka-
w
rena P bijektif dan memenuhi sifat homomorfisma, maka P adalah isomor- fisma. Dengan demikian p l.
■ ■ ■ ■
Definisi 2.2.5
Misalkan o: : adalah homomorfisma. Kernel dari o dinotasikan dengan z1] o dan didefinisikan dengan z1] o |o
1 Sedangkan bayangan dari o dinotasikan dengan .B o dan didefinisikan dengan
.B o :| o ,
Teorema 2.2.6
Jika o: : adalah homomorfisma, maka : z1] o adalah grup bagian normal .
Bukti
1.
1. Jelas bahwa 1 : karena o 1
2. Misalkan 8, Q :. Maka o 8Q o 8 o Q 1 o Q 1.
Akibatnya, 8Q :. Dengan demikian, : grup bagian dari . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa . Jika
8: :8 untuk setiap 8 , 8:, maka , 8 untuk suatu :. Dengan demikian o , o 8 o 8 o o 8 . Jadi, o , o 8 . Selanjutnya, o , o 8
- 1
o , o 8
1 o , o 8 1 o ,8
1 Jadi, untuk suatu ,8 :. Dengan demikian ,8 :. Akhirnya,
9
9
, 8 :8. Jika , :8, maka , 8 untuk suatu :. Dengan
9 ^ ^
^ ^
demikian o , o 8 o o 8 o 8 . Jadi, o , o 8 . Selan-
jutnya, o , o 8
- 1
1 o , o 8 1 o , o 8 1 o , 8 Jadi, untuk suatu
, 8 :. Dengan demikian , 8 :. Akhirnya,
{ {
. Dengan kata lain, , 8 8:. Jadi, 8: :8 untuk setiap 8
{
Teorema 2.2.7
Jika fungsi P: l adalah homomorfisma grup dan : z1] P , maka /: p .B P .
Bukti
Didefinisikan fungsi o: /: .B P yang diberikan dengan o :8 P 8 untuk setiap . Pertama-tama akan dibuktikan bahwa
8 o well-defined. Mi- salkan :8, :Q /: dan :8 :Q. Maka 8 Q :. Sehingga
P 8 Q 1 P 8 P Q 1 P 8 P Q 1 P Q P 8 Jadi, o well-defined. Selanjunya akan ditunjukkan bahwa o isomorfisma. Un- tuk setiap
:8, :Q /:, o :8 :Q o :8Q P 8Q P 8 P Q o :8 o :Q Jadi, o memenuhi sifat homomorfisma. Selanjutnya jika o :8 o :Q maka
P 8 P Q . Sehingga 8 Q :. Jadi, :8 :Q. Jadi, o injektif. Se- lanjutnya misalkan sedemikian
K .B P . Dengan demikian terdapat , hingga , jelas bahwa P , K. Karena , :, /:. Jadi, untuk setiap
K .B P terdapat :, /: sedemikian hingga o :, P , K. Jadi, o surjektif. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa o isomorfisma. Dengan de- mikian, /: p .B P .
C. Ruang Vektor Definisi 2.3.1
Ruang Vektor
| atas lapangan kompleks ) adalah himpunan takkosong | yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan antara dua anggota | serta ope- rasi perkalian skalar antara
} | dengan ), sedemikian hingga untuk se- tiap r, }, ~ | dan , • ) 1. r g } | 2. r g } } g r 3. r g } g ~ r g } g ~
4. Terdapat 0 | sedemikian hingga 0 g } } g 0 } untuk setiap } |.
5. Untuk setiap } |, terdapat *} | sedemikian hingga } g *}
- } g } 0 6.
} | 7. r g } r g } 8. g • } } g •} 9.
- } •} 10.
1} } Selanjutnya, setiap anggota
| disebut vektor dan setiap anggota ) disebut skalar .
Dalam pembahasan selanjutnya, ruang vektor | atas lapangan kom-
Contoh 2.3.2
1. Misalkan | adalah himpunan semua matriks ukuran 2 2 yang ang- gota-anggotanya bilangan kompleks. Maka,
| adalah ruang vektor bi- la operasi penjumlahan didefinisikan sebagai penjumlahan matriks dan operasi perkalian skalar didefinisikan sebagai perkalian skalar dengan matriks.
2. Misalkan . Himpunan ) yaitu himpunan semua pasangan teru- rut
, , , , … , , dengan , , , , … , , ) adalah ruang vektor terha-
9
9
dap lapangan ) jika penjumlahan dan perkalian skalar dalam ) ber- turut-turut didefinisikan dengan
, , , , … , , g K , K , … , K , g K , , g K , … , , g K
9
9
9
9
, , , , … , , , , , , … , ,
9
9
untuk setiap , , , , … , , , K , K , … , K ) dan ). Dalam
9
9
pembahasan selanjutnya, setiap , , , , … , , ) akan dituliskan
9
dengan menggunakan matriks kolom, yaitu , ,
9
, , , , … , , € ‚
- 9
,
Definisi 2.3.3
Jika | adalah ruang vektor dan ƒ adalah himpunan bagian takkosong dari |, maka
ƒ adalah ruang bagian dari | jika dan hanya jika: i. Jika
}, ~ ƒ, maka } g ~ ƒ Dapat ditunjukkan bahwa ruang bagian adalah himpunan bagian dari suatu ruang vektor | yang juga merupakan ruang vektor dengan operasi pen- jumlahan dan operasi perkalian skalar yang didefinisikan dalam
|.
Contoh 2.3.4
1. Untuk sebarang ruang vektor |, ƒ 0 dan | adalah ruang bagian dari
|.
9
2. Himpunan |, )7 adalah
ƒ yang diberikan dengan ƒ 0„,,… )
9 ruang bagian dari ruang vektor .
)
Definisi 2.3.5
9 Vektor
Misalkan | adalah ruang vektor dan } |. Misalkan pula } , } , … , } |.
} disebut kombinasi linear dari vektor-vektor } , } , … , } jika dan
9
hanya jika } dapat dinyatakan dalam bentuk
} } g } g W g }
9
9
dengan , , … , ). Selanjutnya, himpunan yang memuat semua kom-
9
binasi linear dari } , } , … , } disebut rentang dari } , } , … , } dan dinotasi-
9
9
kan dengan [† } , } , … , }
9
Contoh 2.3.6
9
9
1. Misalkan dan . Maka setiap vektor | )
} „8Q… ) „10…,„ 1… |
1 adalah kombinasi linear dari karena } „8Q… 8„
1… 0… g „10… dan „ Q „01….
3
^
2. Vektor adalah kombinasi linear dari vektor-vektor ‡ Š )
6
9
1
1
1
3
1
1
1
^
karena ‡ Š , ‡ Š , ‡ Š ) ‡ Š 1 ‡ Š * 1 ‡ Š g 3 ‡ Š 1 *2
1
6 1 *2
1
3
9
3 Teorema 2.3.7 Jika
| adalah ruang vektor dan } , } , … , } |, maka [† } , } , … , } ada-
9
9
lah ruang bagian dari |.
Bukti
Misalkan
- ) dan r, } [† } , } , … , } . Maka, r } g } g W g
9
9
9 } dan } m } g m } g W g m } .
9
9
9
9 2.
1. Karena 0 0} g 0} g W g 0} , maka 0 [† } , } , … , } .
r g } } g } g W g } g m } g m } g W g m }
9
9
9
9
gm } g gm } g W g gm }
9
9
9 Jadi,
r g } [† } , } , … , }
9 3.
- r • } g } g W g } • } g • } g W g • }
9
9
9
9 Dengan demikian terbukti bahwa [† } , } , … , } adalah ruang bagian dari
9 |.
■
Definisi 2.3.8
Misalkan ‹ Q , Q , … , Q adalah himpunan vektor-vektor pada ruang vek-
9
tor |. Himpunan ‹ dikatakan merentang | jika [† Q , Q , … , Q |, yaitu
9
9 Definisi 2.3.9
setiap } | dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari Q , Q , … , Q .
Misalkan ‹ Q , Q , … , Q adalah himpunan vektor-vektor pada ruang vek-
9
tor |. Himpunan ‹ dikatakan bebas linear jika satu-satunya solusi persamaan
Q g Q g W g Q 0 adalah W
0. Jika terdapat
9
9
9
solusi lain, maka ‹ dikatakan bergantung linear.
Contoh 2.3.10
1
2
3
^