MODUL LIMIT
Ringkasan Materi :
Kasus I : x → a x
Bentuk I : lim
x a
Tips Pe elesaia li it u tuk → a :
i.
setiap soal li it u tuk → a la gkah perta a
selalu ganti saja x dengan a, apabila hasilnya
e dekati bila ga terte tu ada 2 be tuk
f ( x) f ( a )
ada ( bukan
Contoh :
( 1 ). lim (2 x 2 4) 2.(2) 2 4 2.4 4 8 4 4
0
, maka adakan penyederhanaan.
0
hasilnya
x 2
ii.
x 2 9 32 9 9 9 0
( 2 ). lim
0
x 3 x 2
32
1
1
0
) maka itulah hasilnya, dan jika
0
Cara singkat yang dapat ditempuh jika
Secara singkat kita katakan bahwa limit - limit pada bentuk
0
adalah dengan cara menurunkan
0
1
1
Jadi lim f ( x) lim f ( x) f (a) dst
I adalah limit yang selesai cukup dengan disubtitusikan
Contoh :
f(a) =
x a
Bentuk II :
lim f ( x) f (a)
lim
x a
x 3
Dalam bentuk ini
lim f ( x) tidak dapat dicari dengan
iii.
xa
mengganti ( mensubtitusi ) x dengan a, sebab nilai
0
1 9 6
1
Bentuk 9 , dan 6
0
0 0
0
adalah bilangan taktentu/ tak terdefinisi
0
menyederhanakan baik melalui faktorisasi atau
Bedakan antara bentuk – bentuk 0 , 0 , 0
1 9 6
dengan bentuk 1 , 9 , 6
Bentuk 0 0 0 0 , tetapi
0
Untuk menyelesaikan langkahnya adalah dengan
x2 9
2x
= lim
lim 2 x 2.3 6
x 3 x3 1 x3
0 0
f (a) akan berupa bilangan tak tentu ( yaitu 0 )
Ingat ! bahwa
x a
Kasus II : x → ∞ x
Bentuk I :
mengalikan dengan sekawannya
e dekati tak hi gga ada 2 be tuk
lim ( ax 2 bx c px 2 qx r )
x
Untuk bentuk ini kita pakai saja cara praktis ,
Contoh :
( i ). Jika p a, lim ( ax 2 bx c ax 2 qx r ) = b q
x2 9
lim
x 3 x 3
x
Pada soal ini apabila x diganti 3, maka hasilnya adalah :
32 9 9 9 0
yang merupakan bilangan tak tentu
33
0
0
2 a
( ii ). p a, lim ( ax 2 bx c
px 2 qx r ) = ∞
( iii ). p a, lim ( ax 2 bx c
px 2 qx r ) = - ∞
x
http://matematrick.blogspot.com
x
sebab
0
hasilnya bisa 1, bisa 2, 3, dll, dan ini bukan
0
Bentuk II :
jawaban, maka perlu diadakan penyederhanaan yaitu
Cara Praktis :
dengan proses faktorisasi
lim
x 3
ax m bx m1 ...
x px n qx n 1 ...
lim
x2 9
( x 3).( x 3)
lim
lim ( x 3) 3 3 6
x 3
x 3 x3
x3
( i ). Jika m = n, maka hasilnya =
a
p
( ii ). Jika m < n, maka hasilnya = 0
Jadi
lim
x 3
x2 9
=6
x3
( iii ). Jika m > n, maka hasilnya = ∞
Contoh Soal :
1.
x 2 2 x 15
= ....
lim
x 3
x3
a. -8
d. 2
b. -2
e. 8
c. 0
Penyelesaian :
2
Jelas jika x diganti -3 maka hasilnya = (3) 2.(3) 15
33
Paket Soal 18 :
Kelo pok → a
= 9 6 15 15 15 0
0
0
0
1.
Maka harus disederhanakan atau turunkan saja :
x 2 2 x 15
2x 2
= lim
lim
2.(3) 2 6 2 8
x 3
x 3
1
x
3
2x 2 8
....
x 2 x 2
lim
a.
-8
d. 4
b.
-4
e. 8
c.
-2
Jadi jawabannya A.
2. Nilai
lim
x
2.
x( x 2)
x 2 5x 6
=…
x2 4
Lim
x 2
x 2 2 ....
a. ∞
b. 2
a.
1
2
d.
1
4
b.
1
4
e.
1
2
c. 1
c. 0
d. 0
e. -1
3. Nilai dari
Penyelesaian :
Jelas i i kasus →∞ be tuk I.
Ubah soal menjadi :
lim
x
x( x 2)
x 2 2 = lim
x
Berarti ini kasus a = p,
dengan b = 2 dan q = 0,
dan a = p = 1 maka hasilnya
adalah
=
x
2
2x x 2 2
20
2 1
2
1
2
2 a
4.
8 x 3 3x 2 5
3. lim
....
x 17 5 x 2 x 3
http://matematrick.blogspot.com
a.
1
3
d.
1
8
b.
1
6
e.
1
9
c.
1
7
Jadi jawabannya C
bq
a. -4
d. 4
b. -2
e. ∞
c. 0
5.
Penyelesaian :
x 2 3x
....
lim 3
2
x 3 x 2 x 15 x
x 2 2x 8
= ....
x4
lim
x 4
a.
-6
d. 2
b.
-2
e. 6
c.
0
x 2 5x 6
= ....
x 1
Lim
x 1
Ubah bentuk soal agar susunan suku – suku pada penyebut dari
a.
5
d. 15
x yang pangkatnya tertinggi :
b.
7
e. 18
c.
9
8 x 3 3x 2 5
8 x 3 3x 2 5
lim
=
x 2 x 3 5 x 17
x 17 5 x 2 x 3
lim
Tampak bahwa ini kasus
→∞ be tuk II de ga
= n = 3, maka hasilnya
a
p
=
lim
6. Nilai
8
4
2
x 3
3
7
a. 4
d.
b.
3
e. 1
7
c.
2
Jadi jawabannya A
7.
x3
= ....
x x 12
2
Lim
x 1
(3x 1) 2 4
= ….
x 2 4x 5
a.
0
d. 4
b.
∞
c.
2
e. 8
x2 9
= .... ( UN 2010 )
x 2 5x 6
lim
8. Nilai
x 3
d. 3
2
a. – 6
b. - 3
2
c.
14.
e. 6
b.
5
3
2
c.
5
3
3
a.
–2
b.
3
2
c.
1
2
3x 14 x 8
= .... ( UN 2011 )
x 2 3x 4
lim
9. Nilai
x 4
d.
1
2
a. 4
d. – 2
b. 2
e. – 4
e.
3
2
1
2
c.
5
3
6
2 x 22 = ....
limit 4 x 2 2 x 5
x
0
2
e.
Catatan : soal – soal nomor 1 s.d 7 dapat ditentukan dengan
model penurunan.
15. Nilai
Kelo pok →∞
lim
10. Nilai
x
x
2
a. -6 12
d. -2 12
b. -4 12
e. -2
x
a. –8
d. 2
b. –4
e. 4
3 4x x 2
= ....
16. Nilai Lim
x 3 x 2 2 x 3
a. -1
c.
11.
c.
1
3
Lim x 2 2 x 5 x 2 2 x 11 = ....
a. -2
d. 2
b. 0
e. ∞
http://matematrick.blogspot.com
2x
Lim
x
17. Nilai
2
5x 8 2 x 2 2 x 1 = ….
a.
3
2
2
d.
3
2
4
b.
3
4
2
e.
4
2
3
3
c. -
2
13.
e. 1
x
Lim
x
a.
3x
5 3
2
5x
3x 2 3 =…
d.
5
3
4
Lim
x
4x 2 2x 1
= .... ( UN 2010 )
3x 2 2
a.
4
3
d. 1
2
b.
3
4
e. 0
c.
3
5
c. 1
12.
d. 0
1
3
b.
1
2
-3
= ….
c. –2
2 x 1 x 3x 2 adalah ....
2
lim x 2 2 x 3 ( x 3)
18. Nilai lim (5 x 1) 25 x 5 x 7 = …. UN
x
2
a.
3
2
d. - 1
2
b.
2
3
e. - 3
2
c.
1
2
Kasus I : x → a x
Bentuk I : lim
x a
Tips Pe elesaia li it u tuk → a :
i.
setiap soal li it u tuk → a la gkah perta a
selalu ganti saja x dengan a, apabila hasilnya
e dekati bila ga terte tu ada 2 be tuk
f ( x) f ( a )
ada ( bukan
Contoh :
( 1 ). lim (2 x 2 4) 2.(2) 2 4 2.4 4 8 4 4
0
, maka adakan penyederhanaan.
0
hasilnya
x 2
ii.
x 2 9 32 9 9 9 0
( 2 ). lim
0
x 3 x 2
32
1
1
0
) maka itulah hasilnya, dan jika
0
Cara singkat yang dapat ditempuh jika
Secara singkat kita katakan bahwa limit - limit pada bentuk
0
adalah dengan cara menurunkan
0
1
1
Jadi lim f ( x) lim f ( x) f (a) dst
I adalah limit yang selesai cukup dengan disubtitusikan
Contoh :
f(a) =
x a
Bentuk II :
lim f ( x) f (a)
lim
x a
x 3
Dalam bentuk ini
lim f ( x) tidak dapat dicari dengan
iii.
xa
mengganti ( mensubtitusi ) x dengan a, sebab nilai
0
1 9 6
1
Bentuk 9 , dan 6
0
0 0
0
adalah bilangan taktentu/ tak terdefinisi
0
menyederhanakan baik melalui faktorisasi atau
Bedakan antara bentuk – bentuk 0 , 0 , 0
1 9 6
dengan bentuk 1 , 9 , 6
Bentuk 0 0 0 0 , tetapi
0
Untuk menyelesaikan langkahnya adalah dengan
x2 9
2x
= lim
lim 2 x 2.3 6
x 3 x3 1 x3
0 0
f (a) akan berupa bilangan tak tentu ( yaitu 0 )
Ingat ! bahwa
x a
Kasus II : x → ∞ x
Bentuk I :
mengalikan dengan sekawannya
e dekati tak hi gga ada 2 be tuk
lim ( ax 2 bx c px 2 qx r )
x
Untuk bentuk ini kita pakai saja cara praktis ,
Contoh :
( i ). Jika p a, lim ( ax 2 bx c ax 2 qx r ) = b q
x2 9
lim
x 3 x 3
x
Pada soal ini apabila x diganti 3, maka hasilnya adalah :
32 9 9 9 0
yang merupakan bilangan tak tentu
33
0
0
2 a
( ii ). p a, lim ( ax 2 bx c
px 2 qx r ) = ∞
( iii ). p a, lim ( ax 2 bx c
px 2 qx r ) = - ∞
x
http://matematrick.blogspot.com
x
sebab
0
hasilnya bisa 1, bisa 2, 3, dll, dan ini bukan
0
Bentuk II :
jawaban, maka perlu diadakan penyederhanaan yaitu
Cara Praktis :
dengan proses faktorisasi
lim
x 3
ax m bx m1 ...
x px n qx n 1 ...
lim
x2 9
( x 3).( x 3)
lim
lim ( x 3) 3 3 6
x 3
x 3 x3
x3
( i ). Jika m = n, maka hasilnya =
a
p
( ii ). Jika m < n, maka hasilnya = 0
Jadi
lim
x 3
x2 9
=6
x3
( iii ). Jika m > n, maka hasilnya = ∞
Contoh Soal :
1.
x 2 2 x 15
= ....
lim
x 3
x3
a. -8
d. 2
b. -2
e. 8
c. 0
Penyelesaian :
2
Jelas jika x diganti -3 maka hasilnya = (3) 2.(3) 15
33
Paket Soal 18 :
Kelo pok → a
= 9 6 15 15 15 0
0
0
0
1.
Maka harus disederhanakan atau turunkan saja :
x 2 2 x 15
2x 2
= lim
lim
2.(3) 2 6 2 8
x 3
x 3
1
x
3
2x 2 8
....
x 2 x 2
lim
a.
-8
d. 4
b.
-4
e. 8
c.
-2
Jadi jawabannya A.
2. Nilai
lim
x
2.
x( x 2)
x 2 5x 6
=…
x2 4
Lim
x 2
x 2 2 ....
a. ∞
b. 2
a.
1
2
d.
1
4
b.
1
4
e.
1
2
c. 1
c. 0
d. 0
e. -1
3. Nilai dari
Penyelesaian :
Jelas i i kasus →∞ be tuk I.
Ubah soal menjadi :
lim
x
x( x 2)
x 2 2 = lim
x
Berarti ini kasus a = p,
dengan b = 2 dan q = 0,
dan a = p = 1 maka hasilnya
adalah
=
x
2
2x x 2 2
20
2 1
2
1
2
2 a
4.
8 x 3 3x 2 5
3. lim
....
x 17 5 x 2 x 3
http://matematrick.blogspot.com
a.
1
3
d.
1
8
b.
1
6
e.
1
9
c.
1
7
Jadi jawabannya C
bq
a. -4
d. 4
b. -2
e. ∞
c. 0
5.
Penyelesaian :
x 2 3x
....
lim 3
2
x 3 x 2 x 15 x
x 2 2x 8
= ....
x4
lim
x 4
a.
-6
d. 2
b.
-2
e. 6
c.
0
x 2 5x 6
= ....
x 1
Lim
x 1
Ubah bentuk soal agar susunan suku – suku pada penyebut dari
a.
5
d. 15
x yang pangkatnya tertinggi :
b.
7
e. 18
c.
9
8 x 3 3x 2 5
8 x 3 3x 2 5
lim
=
x 2 x 3 5 x 17
x 17 5 x 2 x 3
lim
Tampak bahwa ini kasus
→∞ be tuk II de ga
= n = 3, maka hasilnya
a
p
=
lim
6. Nilai
8
4
2
x 3
3
7
a. 4
d.
b.
3
e. 1
7
c.
2
Jadi jawabannya A
7.
x3
= ....
x x 12
2
Lim
x 1
(3x 1) 2 4
= ….
x 2 4x 5
a.
0
d. 4
b.
∞
c.
2
e. 8
x2 9
= .... ( UN 2010 )
x 2 5x 6
lim
8. Nilai
x 3
d. 3
2
a. – 6
b. - 3
2
c.
14.
e. 6
b.
5
3
2
c.
5
3
3
a.
–2
b.
3
2
c.
1
2
3x 14 x 8
= .... ( UN 2011 )
x 2 3x 4
lim
9. Nilai
x 4
d.
1
2
a. 4
d. – 2
b. 2
e. – 4
e.
3
2
1
2
c.
5
3
6
2 x 22 = ....
limit 4 x 2 2 x 5
x
0
2
e.
Catatan : soal – soal nomor 1 s.d 7 dapat ditentukan dengan
model penurunan.
15. Nilai
Kelo pok →∞
lim
10. Nilai
x
x
2
a. -6 12
d. -2 12
b. -4 12
e. -2
x
a. –8
d. 2
b. –4
e. 4
3 4x x 2
= ....
16. Nilai Lim
x 3 x 2 2 x 3
a. -1
c.
11.
c.
1
3
Lim x 2 2 x 5 x 2 2 x 11 = ....
a. -2
d. 2
b. 0
e. ∞
http://matematrick.blogspot.com
2x
Lim
x
17. Nilai
2
5x 8 2 x 2 2 x 1 = ….
a.
3
2
2
d.
3
2
4
b.
3
4
2
e.
4
2
3
3
c. -
2
13.
e. 1
x
Lim
x
a.
3x
5 3
2
5x
3x 2 3 =…
d.
5
3
4
Lim
x
4x 2 2x 1
= .... ( UN 2010 )
3x 2 2
a.
4
3
d. 1
2
b.
3
4
e. 0
c.
3
5
c. 1
12.
d. 0
1
3
b.
1
2
-3
= ….
c. –2
2 x 1 x 3x 2 adalah ....
2
lim x 2 2 x 3 ( x 3)
18. Nilai lim (5 x 1) 25 x 5 x 7 = …. UN
x
2
a.
3
2
d. - 1
2
b.
2
3
e. - 3
2
c.
1
2