Modul bab 3 Limit Fungsi

LIMIT FUNGSI

  Standar kompetensi :

  Mengunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

  Kompetensi Dasar :

   Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga.  Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar

  Tujuan Pembelajaran :

   Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tersebut  Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan  Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik dengan cerdas  Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit.  Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi. 

  Bekerjasama dan saling peduli dalam mengerjakan soal limit secara berkelompok.  Mengerjakan ulangan fungsi limit dengan jujur dan mandiri.

  PETA KONSEP LIMIT FUNGSI LIMIT FUNGSI ALJABAR

SUBSTITUSI

LANGSUNG

BENTUK TERTENTU BENTUK TAK TENTU →

• − + = ∞ − ∞

  =

  Faktorisasi Rasionalisasi bentuk aljabar →∞

  = ∞ ∞

  Membagi dengan pangkat tertinggi →∞

  Mengalikan dengan 1 dalam bentuk sekawan TEOREMA LIMIT

  Pengantar

  Dalam kehidupan sehari-hari ada beberapa contoh kegiatan yang perhitungan menggunakan konsep limit fungsi diantaranya :

  1. Kartu kredit yang digunakan orang dalam memenuhi kebutuhan sehari-hari.

  2. Bola basket yang dijatuhkan dari ketinggian tertentu kemudian memantul hingga berhenti (Panjang lintasan bola basket).

A. Limit Fungsi Aljabar 1.

   Pengertian Limit Fungsi Aljabar adalah nilai pendekatan fungsi ketika nilai peubahnya mendekati

  suatu nilai. Notasi pendekatan / mendekati dalam istilah limit dinyatakan dengan arah panah mendekati nilai (→). Nilai peubah

  ( )

  ditulis : → . Secara utuh, limit fungsi Aljabar ditulis sebagai berikut :

  lim ( ) =

  →

  Catatan :

  Nilai a dapat berupa : bilangan dan

  −∞, 0, ∞

  Nilai pendekatan ke dapat dipandang dari dua arah yaitu :

  a. dari arah kiri ditulis : Mendekati

  →

  b. dari arah kanan ditulis : Mendekati

  →

  Agar lebih jelas dalam menentukan limit fungsi aljabar maka dapat ditentukan secara numerik dan grafik.

  Contoh : 1.

  Tentukan nilai secara numerik dan grafik.

  ( + 2) lim

  →2 a.

  Secara numerik Tabel :

  ( ) = + 2 , , , , , → 2 2,0 2, 2,2 2, 2,

  ( ) , , , , , → ,0 , ,2 , , b. Secara grafik

  ( ) = + 2 ( ) ( )

  2

  − 2. secara numerik

  Tentukan nilai

  lim →

  − Jawab :

  Tabel : ( ) = + 2

  0, 0, 0, 0, 0, → ,0 , ,2 , , ( ) → 2.

   Menentukan Limit Fungsi Aljabar a.

   Menentukan limit fungsi aljabar berbentuk ( )

  →

1. Substitusi Langsung Contoh :

  lim

  Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :

  a)

  lim →2

  ( + 2) Jawab : lim

  →2 ( + 2)

  = 2 + 2 = + 2 =

  ( ) = ( ) Jawab :

  →

  

Ada beberapa cara yang digunakan untuk mencari nilainya

yaitu :

• 2 2 −

  √( − )

  2. Bentuk →

  ( ) ( )

  =

  Apabila bentuk limit nilainya maka penyelesaiannya ada 2 cara yaitu :

  lim →

  lim →

  b)

  c)

a) Faktorisasi

  adalah memfaktorkan fungsi

• – fungsi dalam limit

  contoh :

  ( + 2 )

  Jawab :

  2

  − 2

  lim →

  − 2 + 20 3) 4)

  2

  2

  lim →2

  2)

  = + 2 =

  →

  Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini : 1)

  →

( − ) ( + 2 )

  = lim

  − 2 − −

  2

  →

  Jawab : lim

  − 2 − −

  2

  lim →

  − = lim

• 2 −
>22

b) Merasionalkan Pembilang dan Penyebut Bentuk Akar

  adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan 1 dalam bentuk sekawan.

  Contoh :

  Hitunglah nilai limit fungsi

• – fungsi berikut ini : −

  1)

  lim → √

• −2

  Jawab :

  √ 2 −

  lim ( )

  → √ + −2

  √ 2 − + + 2

  

(√ )

  =

  lim →

• ( ) − − (√ + + 2 )

  = lim

  →

  − = lim

  → (√ + + 2) = √ + + 2 = 2 + 2 =

  2 − √ − 2)

  lim →

  2

  −

  Jawab :

b. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Berbentuk

  atau

• ( ) − ( )+

  Agar hasilnya menjadi tertentu, kita dapat menggunakan cara- cara berikut :

  →∞

  2

  2 −

  lim →∞

  a)

  Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :

  ∞ ∞ dan

  ∞ − ∞ yang merupakan bentuk – bentuk tak tentu.

  ( ) ( )

  ( ) − ( ) , maka kita akan memperoleh bentuk

  ( ) ( ) dan

  Apabila kita mensubsitusikan langsung nilai → ∞ pada fungsi

  Limit fungsi aljabar untuk → ∞ biasanya ditemukan dalam bentuk :

  →∞ ( )

1) Membagi dengan variabel pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebut. Contoh :

• Jawab :

  2

  2

  =

  lim →∞ 2 −

  2 2 +

• 2

  2

  2

  2

  lim →∞

  b)

  = =

  = 0 − 0

  −

  (dibagi dengan pangkat tertinggi yaitu

  2

  lim →∞

  =

  2

  2

  2

  −

  2

  2

  ) =

  2

  lim →∞

• 2
• 0
• −
• →∞

  − +

  c)

  lim →∞

  2

• 2 +

  2 √

  d)

  lim →∞

  2 √

  2 − + +

  Jawab : 2) Mengalikan dengan satu (1), tetapi dalam bentuk sekawan.

  Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :

  a)

  lim (√ + − √ − ) →∞

  Jawab :

  √ √

  = lim →∞ (√ + − √ − ) ( )

  √ √

  ( + ) − ( + ) = lim ( )

  →∞

  √ + + √ − − = lim ( )

  →∞

  √ + − √ −

• + √

  − ) = √ + 0 + √ − 0 =

  (√

  2

  2

  →∞ (√

  

Berdasarkan cara mengalikan dengan 1 dalam bentuk sekawan, maka

dapat dibuktikan bahwa : Jawab : lim

  2

  2

  lim →∞

  b)

  √ + √ = 0

  √ +

  2

  (

−

  →∞

  = lim

• − √
• − )
• − √
• ) =

  2 √

• – fungsi berikut ini :
• 2 + − √

• 2 + − √

  → maka berlaku teorema limit berikut ini :

  Selain cara-cara diatas, ada cara lain dalam menyelesaikan konsep limit yaitu dengan menggunakan Teorema Limit. Untuk setiap konstanta dan , jika dan merupakan fungsi – fungsi yang mempunyai limit untuk

   Teorema Limit

  2 − − − 2) B.

  (√

  lim →∞

  c)

  2 − 2 + )

  (( − 2) − √

  lim →∞

  b)

  = =

  2√

  =

  2 ( ) 2√

  =

  2√

  2 − + 2) =

  2

  →∞ (√

  Jawab : lim

  2 − + 2)

  2

  (√

  lim →∞

  a)

  Contoh : Dengan memakai rumus di atas, hitunglah nilai limit fungsi

  Jawab :

• ( ) ± ( )+ = lim

  Jawab :

  → ( ) = lim

  → ( ) 5. lim

  →

  → ( ))(lim

  → ( )) 6. lim

  → ( ) ( )

  =

  lim

  →

  →

  ( ) lim

  ( ) 7.

  lim →

  → ( )+ 8. lim

  → √ ( ) = √lim

  → ( )

  , dengan

  lim →

  ( ) ≥ 0

  untuk genap.

  → ( ) 4. lim

  →

  → ( ) ± lim

• ( ) ( )+ = (lim
• ( )+ = *lim

  lim →

  Contoh :

  Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut dengan menggunakan teorema limit. 1)

  lim →2

  (2 − ) Jawab : lim

  →2 (2 − ) = lim

  →2 2 − lim

  →2 (teorema 3) = 2 2 − = − = − (teorema 1 dan 2 )

  2)

  2

  → = 3. lim

  3)

  lim →

  (

  2 − 2 + )

  4)

  lim → √

  2

  lim →

  = 2. lim

• TEOREMA LIMIT 1.
• –4 c.

• – 3
• – 3
• –8 c.
• –2
• –4

  4

  x x x x = ….

   

    

  2

  2 lim

  8

  14

  2

  c. 0

  4

  d. 2 5. Nilai

  e. 8 b.

  c. 0

  = … a.

  3 x x x _x

  2

  2 lim

  a.

  e. 10 b.

  3

  a.

  7

  1 d.

  7

  2  b.

  5

  c. 0 e.

  1

  5

  x x x x = ….

  d. 7 6. Nilai

  

    

  2

  3 lim

  3

  2

  5

  3

  15

      

  1 

  a.

  8

  2

  2 2. Nilai

  3

  4 d.

  4 b.

  3

  2 e.

    = ….

  2

  2

  2 lim

  4

  3

  x x x x

  Nilai

   Pilihan Ganda 1.

  Latihan Soal A.

  2 lim

  2  

     

  3

  









  d. 17 4. Nilai dari

  b. 7

  e. 19

  c. 10

  a. 6

  ....

  2 x x x

  8

    x x _x

  3

  3

   

  x  

  3 lim 

  d. 4 3. Nilai

  e. 8 b.

  = … a.

• –8
• –2
• –9
• –7

7. Nilai

  2 

  9

  9

  2

  2

  6

  3 lim

  2

    

   x x

  x x

  = ….

  a.

  e. 2 b.

• –2 c.
• –6
• – 2
• –4
• –1

  9

  3 lim

  a. 4 c.

  = …

   x x x x _x

     

  4

  2

  2

  14

  1 e.

  8

  3

  4

  Nilai

  2 11.

  5

  d. 4

  2

  2

  b. 2 d.

  b. 2

  3

  1

  2

  3 d.

  4

  e. 0 b.

  3

  5

  4 c.

  = … a.

  Nilai

    x x x _x

  2   

  2

  4 lim

  2

  1

  3

  2

  5

  2

  3

   x x x _x

  4

  Nilai

  3 9.

  2

  3 d.

  e. 6 b.

  c. 0

  = … a.

  3   

  8 lim

  2

  2

  9 lim

  5

  6

  2 8. Nilai

  3

  2  d.

  12

  2

  5

  2x 3x

  e. 5

  2

  5

  c. 3

  a. 0

     = ...

  35 Limit x 5x

  5

  2

  2 x

  2

  d. 1 10. Nilai dari

  e. 4 b.

  c. 0

  = … a.

   x x x _x

  2   

  

• – 4
• – 2 12.

13. Nilai

  c. 0

  e. 1 b.

  1

  6

  3

  1

  2 lim

  2

  2    

    x x x x _x

  = … a.

• –1
• – 3

• –2
• –1 16.

  5

  6

  Lim _x = ... .

    x x x

  2   

  10

  7

  4

  7

  1 17.

  Nilai

  e. 5 b.

  4

  3

  4 d.

  3

  e. 0 b.

  c. 1

  4

  a.

  d. 4 18. Nilai dari

  3

  2

  c. 1 e.

  = … a. 

  2 x x x _x

    2 ) 2 ( lim

         

  d. 1 19. Nilai 

  b. 4

  1

  c. 2 e.

  3

  

  a.

     = ...

  

  1 Limit (2x 1)

  4x 3x

  3 x

  2

  3

  a.

  1 d.

  5

  1

  2

  = a.

  3 x x x x _x

  2

  3

  2 lim

  4

  4

  2

  10

       

     

     

  Nilai

  1 14.

  3

   c.

  1 e.

  Lim _x = ....

  2 x x ^x = ... .

    x x x

  2   

  3

  1

  4

  b. 1 d.

  c. 0 e.

  a. 2

  4 lim

   b.

  3

  2

   

     

     

  d. 1 15. Hasil dari

  1

  2

• – 5 c.
• –1
• – 4
• –1
• – 2

• – 2

  5 c.

  3

  5 d.

  2

  3

  5 b.

  6

  3

  5 e.

  3

  3

  3

  5 24.

  =… a.

  2 Lim x x x _x

  2

  3

  5

  3

  3

   

         

  Nilai dari 

  39 23.

  4

  Nilai

  21 d.

   

  2 d.

  3

  3 b.

  1 e.

  2

  3 c.

  2

  = … a.

  2 lim x x x _x

  5 25 ) 1 5 (

  7

       

     

     

  d. 1 25. Nilai

  e. 6 b.

  c. 0

  = … a.

  2 lim x x x _x

  4

  3

  1

   

       

  10

  10

  1

  1

  2 x

  2

  Nilai dari

  1 21.

  2

  1 d.

  2

  b. 4

  1 e.

  2

  c. 3

  2

  

  a. 6

  = …

  2 x x x x _x

  

2

  1 2 lim

  3

  2

   

           

  d. 0 20. Nilai 

  b. 2

  Limit 6x x 7 6x 5x 1

       = ... .

   b.

  

5

  9 e.

  10

  c.

  39 

  10

  a.

  Limit = ….

  2      x x x x

  25 ~

  9

  16

  3

  a.

  6 22. Nilai

  1

  6

  6 d.

  1

  2

  6 b. 

  1

  3

  c. 0 e.

   6

• – 6
• – 1
• – 2
• – 2
• − 2

• 2 2 −

  −

  −

  )2 e. lim

  →

  − 2

  2

  Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.

  a.

  lim →

  − − √ 2 −2 b.

  lim →

  2 −

  2

  √

  2

  2

  lim → √ + 2 −

  √

  − 2 d.

  lim → √

  −

  2 4.

  Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.

  a.

  lim →∞

  −

  2

  (

  2 − 20

  −

  a.

  B.

   Essay 1.

  Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.

  a.

  lim →

  2

  − b.

  lim →2

  (

  2 √

  ) 2.

  Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.

  lim → 2

  lim →

  2

  2

  − b.

  lim →2

  (

  − 2

  −

  2

  −

  ) c. lim

  → √ ( − ) √

  − d.

• 0
>22 3.
• c.
• 2

<
• 2
• 2
• c.
• d.
• 2 e.

  Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.

  2

  →∞ (√

  2 − + ) e. lim

  →∞ ((2 + ) − √

  →∞ (√( + )( + ) − √( + )( + )) d. lim

  →∞ (√ + − √ ) √ + c. lim

  2 − + ) b. lim

  2

  (√

  lim →∞

  a.

  2

  lim →∞ √

  2

  lim →∞ √

  2

  − 2 + )

  2

  2 (

  lim →∞

  2

  lim →∞

  b.

• 5.
• − √
• − − ( + 2))

  Jawab :

  Glosarium Bentuk Sekawan Pasangan bilangan atau bentuk aljabar yang

  memuat bentuk akar yang hasil kalinya bilangan rasional atau bentuk aljabar yang tidak memuat bentuk akar

  Contoh :

  (√ + √2) sekawan dengan (√ − √2) Bentuk tak tentu Bentuk – bentuk yang nilainya tidak tepat.

  ∞ Bentuk tak tentu diantaranya dan 0, ∞.

  ,

  ∞

  Limit Kata – kata “batas, mendekati, hampir, sedikit

  lagi” dan sebagainya dapat disamakan dengan pengertian “limit” dalam matematika.

  Limit Fungsi

  Limit fungsi untuk mendekati ( ) = ( → ) ditulis pengertiannya jika

  lim ( ) =

→

  dekat dengan tetapi tidak sama dengan maka harga fungsi ( ) mendekati .

  Daftar Pustaka

  Suwah Sembiring dkk, 2012, Matematika Berbasis Pendidikan Karakter Bangsa untuk SMA / MA Kelas XI IPS / Bahasa, YRAMA WIDYA Bandung. Sukino, 2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga. Sartono Wirodikromo,2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga. Enung S dkk, 2009. Evaluasi Mandiri Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA, Erlangga. Rignan Wargiyanto dkk, 2008, Buku Kerja Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA Semester 1, Erlangga.