Klasifikasi data menggunakan analisis komponen utama kernel dengan fungsi isotropik
KLASIFIKASI DATA MENGGUNAKAN ANALISIS
KOMPONEN UTAMA KERNEL DENGAN FUNGSI
ISOTROPIK
HANIF KHARISMAHADI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Klasifikasi Data
Menggunakan Analisis Komponen Utama Kernel dengan Fungsi Isotropik adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Hanif Kharismahadi
NIM G54100080
ABSTRAK
HANIF KHARISMAHADI. Klasifikasi Data Menggunakan Analisis Komponen
Utama Kernel dengan Fungsi Isotropik. Dibimbing oleh SISWADI dan TONI
BAKHTIAR.
Analisis komponen utama (AKU) merupakan bentuk khusus dari AKU
kernel dengan fungsi kernel linear. Tujuan dari studi ini ialah untuk
menyelesaikan permasalahan data yang tak terpisahkan secara linear dan
mengklasifikasikan suatu objek ke dalam kelompok menggunakan AKU kernel
sehingga diperoleh salah klasifikasi terkecil. Pengklasifikasian kelompok
menggunakan AKU kernel diselesaikan dengan fungsi kernel linear dan fungsi
isotropik (Gauss dan gelombang). Hasil untuk data pengenalan anggur
menunjukkan bahwa fungsi kernel linear memberikan salah klasifikasi 6.74%,
sedangkan fungsi isotropik yaitu Gauss dan gelombang masing-masing
memberikan salah klasifikasi 2.25% dan 7.30%.
Kata kunci: analisis komponen utama, kernel, isotropik.
ABSTRACT
HANIF KHARISMAHADI. Data Classification Using Kernel Principal
Component Analysis with Isotropic Function. Supervised by SISWADI and TONI
BAKHTIAR.
Principal component analysis (PCA) is a special case of the kernel PCA
with linear kernel function. The aim of this study is to resolve the data problem
that is not linearly separable and to classify objects into a group by using kernel
PCA to obtain the smallest classification error. Group classification using kernel
PCA is performed by the linear kernel function and isotropic function, i.e., Gauss
and wave functions. The result of the study shows for wine recognition data with
the linear function produces 6.74% classification error, whereas Gauss and wave
isotropic functions produce 2.25 % and 7.30% classification error, respectively.
Keywords: principal component analysis, kernel, isotropic.
KLASIFIKASI DATA MENGGUNAKAN ANALISIS
KOMPONEN UTAMA KERNEL DENGAN FUNGSI
ISOTROPIK
HANIF KHARISMAHADI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2014 ini ialah
analisis data, dengan judul Klasifikasi Data Menggunakan Analisis Komponen
Utama Kernel dengan Fungsi Isotropik.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Prof Dr Ir Siswadi MSc dan Dr Toni
Bakhtiar MSc selaku dosen pembimbing serta Ir Ngakan Komang Kutha Ardana
MSc selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima
kasih juga disampaikan kepada orang tua Bapak Istiadi SPd dan Ibu Sapriyah
yang selalu memberi doa, semangat dan kasih sayangnya hingga menyelesaikan
karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2014
Hanif Kharismahadi
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vii
DAFTAR GAMBAR
vii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Analisis Komponen Utama Kernel
2
Kernel Isotropik
5
METODE PENELITIAN
7
Sumber Data
7
Prosedur Analisis Data
7
HASIL DAN PEMBAHASAN
9
KESIMPULAN
18
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
20
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR TABEL
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Fungsi kernel yang diaplikasikan
Klasifikasi kelompok
Deskripsi data pengenalan anggur
Matriks kovarians
Matriks korelasi
Hasil salah klasifikasi (SK) fungsi Gauss
Hasil salah klasifikasi (SK) fungsi gelombang
Hasil pengklasifikasian kelompok data dengan fungsi linear
Hasil pengklasifikasian kelompok data dengan fungsi Gauss
Hasil pengklasifikasian kelompok data dengan fungsi gelombang
7
8
10
10
11
14
16
17
17
17
DAFTAR GAMBAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Ide dasar AKU kernel (Sugiyama 2013)
Ide utama metode kernel: memetakan data asal ke dimensi
lebih tinggi ruang fitur (
dan Smola 2002)
Fungsi kernel isotropik
Alkohol dengan Abu
Alkohol dengan Magnesium
Alkohol dengan Asam malat
Flavonoid dengan Proanthosianin
Prolina dengan Asam malat
Total fenol dengan Flavonoid
AKU atau fungsi linear
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
fungsi Gauss
Grafik kesalahan klasifikasi (%) terhadap
Fungsi gelombang dengan parameter
1
2
Fungsi gelombang dengan parameter
2
2
6
9
9
9
9
9
9
11
11
12
12
12
12
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
13
13
14
14
14
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
Fungsi gelombang dengan parameter
Fungsi gelombang dengan parameter
Fungsi gelombang dengan parameter
Fungsi gelombang dengan parameter
Fungsi gelombang dengan parameter
Fungsi gelombang dengan parameter
Fungsi gelombang dengan parameter
Fungsi gelombang dengan parameter
Grafik kesalahan klasifikasi (%) terhadap
3
4
5
6
7
8
9
10
fungsi gelombang
15
15
15
15
15
15
15
15
16
DAFTAR LAMPIRAN
1.
2.
Data pengenalan anggur
MATLAB
20
24
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam menyampaikan suatu data atau informasi, seringkali akan lebih
mudah dan menarik untuk menampilkannya dalam bentuk gambar, termasuk
dalam menampilkan data-data (atribut) suatu objek. Posisi relatif objek-objek
berdasarkan data yang dimilikinya dapat ditampilkan dalam sebuah plot sehingga
lebih mudah dibaca oleh pengguna informasi tersebut. Analisis peubah ganda
adalah salah satu analisis statistika yang dapat memvisualisasikan data. Analisis
peubah ganda merupakan analisis yang membutuhkan banyak informasi yang ada
pada peubah-peubah penjelasnya yang seringkali tumpang tindih sehingga
dibutuhkan cara untuk mengatasi masalah ini. Salah satu analisis yang dapat
diterapkan untuk mengatasinya adalah analisis komponen utama. Analisis
komponen utama pertama kali diperkenalkan oleh Karl Pearson pada tahun 1901.
Analisis komponen utama (AKU) sering digunakan mereduksi dimensi dari suatu
matriks data yang terdiri atas sejumlah besar peubah yang saling berkorelasi
menjadi sejumlah kecil peubah dan tidak saling berkorelasi, dengan tetap
mempertahankan sebanyak mungkin informasi yang terkandung dalam matriks
data baru (Jolliffe 2002). AKU menggunakan kombinasi linear antarpeubah untuk
merepresentasikan suatu data. Namun, kombinasi linear ini tidak dapat
memodelkan data yang kompleksitasnya tinggi dengan hubungan taklinear
antarpeubah. Oleh karena itu diperlukan suatu metode untuk menyelesaikan
masalah tersebut yaitu dengan menggunakan AKU kernel.
AKU merupakan bentuk khusus dari AKU kernel dengan fungsi kernel
linear. Fungsi kernel memetakan data ke dimensi yang lebih tinggi dan
membangun fungsi pemisah dalam ruang yang terpisahkan. Hal ini dilakukan
dengan menghitung fungsi kernel yang memberikan nilai hasil kali dalam pada
ruang fitur tanpa menunjukkan pemetaan secara eksplisit. AKU kernel juga
sebagai metode berbasis memori, yaitu jika x merupakan suatu objek maka
menemukan skor untuk objek tersebut dapat menggunakan nilai eigen dan vektor
eigen dari data asal (Nielsen dan Canty 2008). Karena dalam mengklasifikasikan
suatu objek ke dalam suatu kelompok diperlukan beberapa peubah penciri yang
dapat membedakan antara satu kelompok dengan kelompok yang lainnya, maka
atas dasar inilah AKU kernel dapat digunakan dalam menyelesaikan
pengklasifikasian suatu objek ke dalam suatu kelompok untuk memperoleh salah
klasifikasi terkecil.
Tujuan Penelitian
Karya ilmiah ini bertujuan untuk menyelesaikan permasalahan data yang
takterpisah secara linear dan mengklasifikasikan suatu objek ke dalam suatu
kelompok menggunakan AKU kernel dengan fungsi kernel linear dan isotropik
(Gauss dan gelombang) sehingga didapatkan hasil salah klasifikasi minimum.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Analisis Komponen Utama Kernel
Analisis komponen utama (AKU) merupakan suatu analisis yang biasa
digunakan untuk mereduksi dimensi dari suatu matriks data. AKU menggunakan
kombinasi linear antarpeubah untuk merepresentasikan suatu data, sehingga hanya
dapat mengatasi hubungan linear antarpeubah. Namun, pada kenyataannya banyak
data yang memiliki hubungan taklinear dan takterpisah antarpeubah. Diperlukan
suatu analisis untuk menunjukkan bentuk taklinear dari AKU, yaitu dengan
menggunakan AKU kernel. Dengan menggunakan fungsi kernel dapat diperoleh
nilai komponen utama secara lebih efisien dalam dimensi lebih tinggi ruang fitur
(ruang abstrak yang kadang tidak diketahui hasil pemetaannya). Transformasi dari
taklinear di ruang input menjadi linear di ruang fitur, dijelaskan pada Gambar 1.
Gambar 1 Ide dasar AKU kernel (Sugiyama 2013)
Dalam kondisi tertentu, fungsi-fungsi kernel dapat diartikan mewakili hasil
kali dalam dari objek data dengan pemetaan taklinear secara implisit pada ruang
fitur. Melalui transformasi ini (dari ruang input ke ruang fitur menggunakan
dan
fungsi kernel), diharapkan terdeteksi pola tertentu dalam data (
Smola 2002).
Selanjutnya akan diformulasikan metode kernel. Notasikan pemetaan dari
ruang input ke ruang fitur dengan
Transformasi dari taklinear dan takterpisah di ruang input menjadi linear terpisah
di ruang fitur, dijelaskan pada Gambar 2.
Gambar 2 Ide utama metode kernel: memetakan data asal ke dimensi lebih
dan Smola 2002)
tinggi ruang fitur (
3
Sebuah kernel merupakan fungsi k yang untuk semua x, z
memenuhi
Komposisi dari pemetaan fitur dengan hasil kali dalam
pada ruang fitur dapat dievaluasi dalam contoh berikut
Karenanya, fungsi
merupakan sebuah fungsi kernel dengan ℋ sebagai ruang fitur yang bersesuaian.
Ini artinya dapat menghitung hasil kali dalam antara proyeksi dari dua titik ke
dalam ruang fitur tanpa mengevaluasi koordinatnya secara eksplisit. Sebelum
menggunakan fungsi kernel, haruslah ditentukan apa bentuk dari fungsi
untuk memastikan bahwa itu merupakan kernel untuk beberapa ruang fitur. Oleh
karena itu, perlu diketahui beberapa hal yang berhubungan dengan fungsi kernel
1. Fungsi kernel harus simetrik
2. Memenuhi ketaksamaan Cauchy-Schwarz
Diberikan sebuah kernel dan suatu matriks data, yang dapat membentuk
matriks Gram, yang berisi evaluasi dari fungsi kernel pada semua pasang titik
, matriks Gram dilambangkan
data. Diberikan matriks data,
oleh G yang didefinisikan sebagai matriks berukuran
yang berelemen
Sehingga digunakan fungsi kernel k untuk mengevaluasi hasil
kali dalam pada ruang fitur dengan pemetaan fitur , dihubungkan dengan
matriks Gram G yang berelemen
.
Dalam kasus ini matriks G disebut juga sebagai matriks kernel K. Lambang
standar untuk menggambarkan matriks kernel K adalah sebagai berikut
.
dengan
,
Misalkan matriks data
terdiri atas n objek dan p peubah. Pemetaan ditunjukkan dengan menggunakan
fungsi :
, dengan data asal berada dalam ruang
dan fitur dalam .
dapat memunyai perubahan dimensi yang besar dan mungkin tak
Catat bahwa
terbatas (Shen 2007). Transformasi fungsi Φ mungkin taklinear dan mungkin
tidak dapat dijelaskan secara eksplisit. Pemetaan oleh fungsi Φ terhadap X
sehingga Φ berisi n objek dan q peubah dengan
menghasilkan matriks data
sebagai berikut:
4
Asumsikan bahwa data dalam ruang fitur memunyai rata-rata nol, sehingga
matriks
kovarians
memiliki
bentuk
yang bersesuaian dengan formulasi primal
sebagai berikut:
dengan menggunakan kembali simbol dan
eigen secara berturut-turut dalam ruang
bersesuaian diperoleh
sebagai nilai eigen dan vektor
Untuk formulasi dual yang
dengan menggunakan kembali simbol dan sebagai nilai eigen dan vektor
eigen secara berturut-turut. Seperti pada AKU nilai eigen taknol untuk formulasi
primal dan dual memberikan nilai yang sama dan vektor eigen dihubungkan
dengan
dan
. Pada formulasi dual
diketahui bersesuaian dengan matriks Gram atau matriks kernel yang berisi
elemen dari fungsi kernel.
Mengulang kembali masalah persamaan eigen pada formulasi dual, untuk
nilai eigen taknol dan vektor eigen yang bersesuaian . Dengan mengganti
dalam
dengan sebuah fungsi kernel
produk dalam
yang berasal dari beberapa pemetaan , diperoleh
dengan
merupakan matriks berukuran
. Permasalahan nilai eigen
tersebut umumnya diformulasikan tanpa faktor
,
memberikan
semua solusi dari vektor eigen dan
dari nilai eigen. Sehingga dalam
dan
.
kasus ini
Untuk menemukan skor komponen utama kernel dari permasalahan nilai
eigen, proyeksikan pemetaan x atas vektor eigen primal
.
Pada kenyataannya tidak dapat diasumsikan bahwa data pada ruang fitur sudah
terkoreksi terhadap nilai tengah. Oleh karena itu agar matriks Gram K terkoreksi
dengan
terhadap
nilai
tengah
gunakan
dan adalah matriks identitas. Berikut merupakan tiga fungsi
kernel yang biasa digunakan.
5
1. Gauss:
2. Polinom:
3. Sigmoid:
dengan
dan merupakan parameter.
Pada dasarnya ada fungsi kernel yang dapat diketahui jenis pemetaannya
pada ruang fitur, misalnya fungsi kernel polinom dengan menggunakan
dengan vektor 2 dimensi
dan
. Diperoleh sebagai berikut
.
Terlihat bahwa fungsi kernel memetakan vektor 2 dimensi ke vektor 6
tidak
dimensi. Namun, untuk banyak fungsi kernel fungsi balikan ke
mungkin diperoleh (Nielsen dan Canty 2008).
Kernel Isotropik
Fungsi kernel jika
bergantung pada vektor jarak antara dua objek
dan pada jarak 0 dengan
hasil fungsi tersebut adalah 1 maka
yaitu
kernel itu disebut isotropik (Genton 2001). Berikut beberapa fungsi kernel
isotropik yang bergantung pada jarak dan , yaitu.
a. Sirkular:
b. Sferikal:
,
c. Kuadrat rasional:
d. Eksponensial:
e. Gauss:
f. Gelombang:
Selanjutnya Gambar 3 memvisualisasikan grafik masing-masing fungsi kernel
isotropik.
6
Gambar 3 Fungsi kernel isotropik: (a) Sirkular; (b) Sferikal; (c) Kuadrat
rasional; (d) Eksponensial; (e) Gauss; (f) Gelombang (Genton
2001)
7
METODE PENELITIAN
Sumber Data
Data yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah ini merupakan data
sekunder sebagai data asal yang diperoleh melalui internet yaitu data pengenalan
anggur (Forina 1991) dapat dilihat pada Lampiran 1. Data ini adalah hasil dari
analisis kimia pada anggur yang tumbuh di daerah yang sama di Italia berasal dari
3 budidaya/kultivar (kelompok) yang berbeda. Matriks data pengenalan anggur
terdiri atas 178 objek dengan 3 kelompok di mana setiap kelompok terdiri atas 59,
71, dan 48 objek untuk kelompok 1, 2, dan 3 secara berturut-turut, dengan 13
peubah yaitu kadar alkohol, kadar asam malat, banyaknya abu, banyaknya alkali
pada abu, kadar magnesium, kadar fenol, kadar flavonoid, kadar fenol yang bukan
flavonoid, kadar proanthosianin, dan kadar prolina, intensitas warna dan warna
berdasarkan tingkat kecerahannya, dan anggur yang diencerkan pada
OD280/OD315 berdasarkan nilai serapannya.
Prosedur Analisis Data
Data asal merupakan data sekunder yang berasal dari data pengenalan
anggur. Analisis data yang pertama dilakukan dalam karya ilmiah ini ialah
mengamati plot pencar antarpeubah yang dihasilkan kemudian data asal
distandardisasi. AKU kernel akan dianalisis menggunakan dua fungsi kernel yaitu
linear dan isotropik (Gauss dan gelombang). Fungsi Gauss mewakili fungsi
isotropik lainnya dengan grafik fungsi yang ujung-ujung sumbunya relatif landai
dibandingkan dengan fungsi gelombang yang ujung-ujung sumbunya relatif
bergelombang, visualisasi dapat terlihat pada Gambar 3. Deskripsi ketiga fungsi
kernel diberikan pada Tabel 1.
Tabel 1 Fungsi kernel yang diaplikasikan
No.
Jenis fungsi
1
Linear
2
Gauss
3
Gelombang
Fungsi
Pemilihan parameter
pada fungsi kernel didasarkan dengan mencobacoba beberapa nilai yang berbeda dan dipilih parameter dengan hasil yang lebih
baik. Karena pada dasarnya belum ada ketentuan nilai parameter untuk setiap
fungsi kernel. Karya ilmiah ini memilih parameter untuk fungsi Gauss yaitu
dan fungsi gelombang
yaitu
untuk data
pengenalan anggur.
Tiga langkah berikut dilakukan dalam AKU kernel:
1. Menentukan fungsi kernel yang akan digunakan dalam hal ini linear dan
isotropik, kemudian menghitung hasil kali dalam matriks kernel
dengan
. Matriks kernel
8
juga harus dikoreksi terhadap nilai tengah setiap fungsi dengan
.
2. Menyelesaikan permasalahan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
dengan persamaan
. Kemudian dipilih 2 nilai eigen
terbesar dan vektor eigen yang bersesuaian. Dua nilai eigen ini
merupakan varians maksimum dari komponen utama 1 dan komponen
utama 2 secara berturut-turut.
3. Untuk menemukan skor komponen utama kernel dari permasalahan nilai
eigen, proyeksikan pemetaan x atas vektor eigan primal .
.
Selanjutnya visualisasikan plot pencar 2 komponen utama pertama dari
masing-masing fungsi dan parameter.
Pengklasifikasian kelompok dengan AKU kernel dilakukan menggunakan
kuadrat jarak Euclid untuk ruang dimensi dua dengan menghitung jarak terdekat
antara objek dengan rataan dari setiap kelompok sebagai berikut
merupakan objek pada skor komponen utama dan
merupakan ratadengan
rata skor komponen utama dari data asal pada kelompok k . Objek
masuk ke
. Evaluasi hasil dapat diperoleh dengan
dalam kelompok k jika
menghitung jumlah salah klasifikasi dari semua kelompok seperti yang diberikan
pada Tabel 2.
Tabel 2 Klasifikasi kelompok
Kelompok prediksi
Kelompok
asal
n11
n21
n31
n.1
n12
n22
n32
n.2
Salah klasifikasi (SK) didefinisikan sebagai
Total
n13
n23
n33
n.3
n1.
n2.
n3.
n = n..
9
HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis dilakukan terhadap data pengenalan anggur. Gambar 4 sampai 9
memvisualisasikan plot pencar dari beberapa pasang peubah untuk data
pengenalan anggur, diambil beberapa pasang peubah karena dimensi data yang
cukup besar. Pada gambar terlihat bahwa plot pencar hanya terdiri atas satu
kelompok yang berisi baik kelompok 1, 2, dan 3 yang tidak dapat dipisahkan
dengan beberapa data menjadi pencilan. Hal ini tidak cukup baik bila digunakan
dalam menganalisis struktur pada data dan akan menyulitkan dalam
pengklasifikasian data objek ke dalam kelompok tersebut, karena akan
menyebabkan salah klasifikasi yang cukup besar. Oleh karena itu, AKU kernel
akan digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini.
Gambar 4 Alkohol dengan abu
Gambar 5 Alkohol dengan magnesium
Gambar 6 Alkohol dengan asam Gambar
malat
Gambar 8 Prolina dengan asam malat
Gambar
7
9
Flavonoid
dengan
proanthosianin
Total fenol
flavonoid
dengan
Terlihat dari Gambar 4 sampai 9 bahwa hubungan antarpeubah tak terpisah
untuk setiap kelompok. Deskripsi data yang digunakan dapat diamati dalam Tabel
3. Pemilihan parameter pada fungsi kernel didasarkan pada plot pencar dari setiap
10
pasang peubah, dengan mencoba-coba beberapa nilai yang berbeda dan dipilih
parameter dengan hasil yang lebih baik. Karena pada dasarnya belum ada
ketentuan nilai parameter untuk setiap fungsi kernel. Tabel 3 menggambarkan
nilai-nilai yang ada dari setiap peubah. Rata-rata dan simpangan baku (SB) dari
setiap peubah akan digunakan untuk standarisasi data. Karya ilmiah ini akan
menggunakan tiga fungsi kernel yaitu linear (sesuai dengan AKU) dan fungsi
isotropik (Gauss dan gelombang).
Tabel 3 Deskripsi data pengenalan anggur
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Peubah
Alkohol (Al)
Asam malat (AM)
Abu (Ab)
Alkali pada abu (AA)
Magnesium (Mg)
Total fenol (Tf)
Flavonoid (FI)
Fenol yang bukan
flavonoid (FF)
Proanthosianin (Pa)
Intensitas warna (IW)
Warna (Wa)
Anggur yang diencerkan
pada OD280/OD315 (OD)
Prolina (Pr)
Minimum
11.03
0.74
1.36
10
70
0.13
0.09
0.13
Rata-rata
13
2.34
2.37
19.44
99.71
2.28
2.02
0.36
Maksimum
14.83
5.8
3.23
30
162
3.88
5.08
0.66
SB*
0.81
1.11
0.27
3.41
14.27
0.64
1.01
0.12
0.41
1.28
0.48
1.27
1.59
5.06
0.96
2.61
3.58
13
1.71
4
0.57
2.32
0.23
0.71
278
746.89
1680
314.91
* SB = simpangan baku
Analisis data dilakukan pada data yang telah distandardisasi, atau
bersesuaian dengan matriks korelasi. Hal ini dikarenakan varians setiap peubah
memiliki nilai yang cukup besar, sehingga tanpa distandardisasi analisis hanya
akan terfokus pada peubah dengan varians terbesar. Tabel 4 dan Tabel 5 masingmasing menjelaskan matriks kovarians dan matriks korelasi.
Tabel 4 Matriks kovarians
No Peubah
Al
AM
1
Al
2 AM
3 Ab
4 AA
5 Mg
6 TF
7
Fl
8
FF
9
Pa
10 IW
11 Wa
12 OD
13 Pr
0.656
0.089
0.047
-0.852
3.180
0.141
0.198
-0.015
0.062
1.022
-0.012
0.041
163.394
1.252
0.052
1.052
-0.780
-0.246
-0.455
0.040
-0.143
0.645
-0.143
-0.287
-64.452
Ab
AA
Mg
TF
Fl
FF
Pa
IW
Wa
OD
Pr
0.075
0.406 11.657
1.104 -5.209 203.900
0.023 -0.655
2.003 0.412
0.029 -1.107
2.628 0.554 1.013
0.006
0.141
-0.453 -0.036 -0.065 0.015
0.001 -0.370
1.941 0.222 0.374 -0.026 0.328
0.164 -0.095
6.675 -0.090 -0.385 0.037 -0.034 5.374
-0.005 -0.189
0.176 0.063 0.124 -0.007 0.039 -0.276 0.052
0.001 -0.600
0.665 0.317 0.560 -0.044 0.211 -0.706 0.092 0.504
19.193 -468.616 1775.845 99.648 156.148 -12.044 59.554 230.767 16.999 69.923 99166.717
11
Tabel 5 Matriks korelasi
No Peubah
Al
AM
Ab
AA
Mg
TF
Fl
FF
Pa
IW
Wa
OD
1
Al
1.000
2
AM
0.128
1.000
3
Ab
0.214
0.110
1.000
4
AA
-0.308 0.034
0.433
5
Mg
0.275
0.103
0.282 -0.107 1.000
6
TF
0.271
0.033
0.128 -0.299 0.218
1.000
7
Fl
0.243
0.052
0.106 -0.322 0.183
0.858
8
FF
-0.174 -0.003
0.196
9
Pa
0.133
0.032
0.008 -0.189 0.237
0.605
0.648
-0.199
1.000
10
IW
0.544
0.057
0.258 -0.012 0.202
-0.061 -0.165
0.029
-0.025
1.000
11
Wa
-0.064 -0.007 -0.075 -0.242 0.054
0.430
0.539
-0.150
0.296
-0.522
1.000
12
OD
0.071 -0.024
0.003 -0.248 0.066
0.695
0.784
-0.312
0.519
-0.429
0.565
1.000
13
Pr
0.641
0.222 -0.436 0.395
0.493
0.493
-0.234
0.330
0.316
0.236
0.313
0.113
Pr
1.000
1.000
0.344 -0.183 -0.281 -0.300
1.000
Analisis data menggunakan AKU kernel cukup baik memisahkan
antarkelompok dengan menggunakan dua komponen utama pertama. Walaupun
masih ada sebagian kecil objek antarkelompok yang bercampur. Dari ketiga
fungsi yang digunakan terlihat bahwa plot pencar dari dua komponen utama
kernel pertama cukup mampu menggambarkan pola yang terpisah pada data.
Untuk mendapatkan dua komponen utama pertama dari fungsi kernel Gauss dan
gelombang dapat digunakan peranti lunak MATLAB yang dapat dilihat pada
Lampiran 2. Gambar selanjutnya akan memvisualisasikan plot pencar dari dua
komponen utama untuk fungsi kernel linear dan Gauss.
Gambar 10 AKU atau fungsi linear
Gambar 11 Fungsi Gauss dengan parameter
1.000
12
Gambar 12 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 13 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 14 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 15 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 16 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 17 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 18 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 19 Fungsi Gauss dengan parameter
13
Gambar 20 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 21 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 22 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 23 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 24 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 25 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 26 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 27 Fungsi Gauss dengan parameter
Setelah diperoleh hasil pemisahan yang cukup baik antarkelompok,
selanjutnya akan dibahas tentang pengklasifikasian kelompok menggunakan AKU
kernel. Dengan menggunakan dua komponen utama pertama fungsi kernel linear
dan Gauss memberikan hasil pemisahan antarkelompok yang lebih baik
dibandingkan dengan plot pencar antarpeubah. Pada Tabel 6 dijelaskan jumlah
salah klasifikasi ( ) untuk setiap parameter dari fungsi Gauss.
14
Tabel 6 Hasil salah klasifikasi (SK) fungsi Gauss
SK
SK
1
2
3
4
5
6
7
8
9
45
24
17
13
8
7
7
6
6
25.28%
13.48%
9.55%
7.30%
4.49%
3.93%
3.93%
3.37%
3.3%
10
11
12
13
14
15
16
17
6
4
6
6
7
8
8
8
3.37%
2.25%
3.37%
3.37%
3.93%
4.49%
4.49%
4.49%
Hasil salah klasifikasi (SK) data dari fungsi Gauss dapat terlihat pada
Gambar 28 membentuk tren kuadratik. Dengan menggunakan regresi kuadratik
,
diperoleh SK
dari persamaan
. Untuk SK minimum dengan data
minimum sebesar 1.48% pada
analisis diperoleh sebesar 2.25% pada
, nilai SK pada
sama
dengan nilai SK pada
25
20
SK
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
h0
Gambar 28 Grafik kesalahan klasifikasi (%) terhadap
fungsi Gauss
Gambar selanjutnya akan memvisualisasikan plot pencar dari dua
komponen utama pertama untuk fungsi kernel gelombang.
Gambar 29 Fungsi gelombang dengan Gambar 30
parameter
1
Fungsi gelombang dengan
parameter
2
15
Gambar 31
Fungsi gelombang dengan Gambar 32
parameter
3
Fungsi gelombang dengan
parameter
4
Gambar 33 Fungsi gelombang dengan Gambar 34 Fungsi gelombang dengan
parameter
parameter
Gambar 35
Gambar 37
Fungsi gelombang dengan Gambar 36 Fungsi gelombang dengan
8
parameter
parameter
Fungsi gelombang dengan
parameter
9
Gambar 38
Fungsi gelombang dengan
parameter
10
Dengan menggunakan dua komponen utama pertama fungsi kernel
gelombang memberikan hasil pemisahan antarkelompok yang lebih baik
dibandingkan dengan plot pencar antarpeubah. Pada Tabel 7 dijelaskan jumlah
kesalahan klasifikasi (
) salah klasifikasi untuk setiap parameter dari fungsi
gelombang.
16
Tabel 7 Hasil salah klasifikasi (SK) fungsi gelombang
SK
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
62
21
13
20
31
31
33
33
33
56.18% 34.83% 11.80% 7.30% 11.24% 17.42% 17.42% 18.54% 18.54% 18.54%
Hasil salah klasifikasi (SK) data dari fungsi gelombang membentuk tren
kuadratik, terlihat pada Gambar 38. Dengan menggunakan regresi kuadratik dari
persamaan
diperoleh SK
minimum sebesar 9.5% pada
. Untuk SK minimum dengan data analisis
sedangkan nilai SK pada
adalah
diperoleh sebesar 7.30% pada
16.85%.
Gambar 38 Grafik kesalahan klasifikasi (%) terhadap
fungsi gelombang
Pada dasarnya studi dilakukan pada fungsi Gauss untuk parameter
dan fungsi gelombang untuk parameter
. Namun, untuk
memberikan gambaran hasilnya dipilih parameter untuk fungsi Gauss
dan fungsi gelombang
yang dari masing-masing fungsi dengan nilai
kesalahan yang berbeda-beda.
Fungsi linear memiliki salah klasifikasi sebesar 6.74%. Terlihat bahwa salah
klasifikasi kelompok menggunakan fungsi ini banyak terdapat pada kelompok 2.
Hal ini terjadi karena antarkelompok ini memang sulit dipisahkan secara
keseluruhan dan juga karena jarak yang berdekatan antarkelompok.
Tabel 8 Hasil pengklasifikasian kelompok data dengan fungsi linear
Kelompok asal
1
2
3
1
58
4
0
Kelompok prediksi
2
1
60
0
3
0
7
48
Total
SK
59
71
48
1
11
0
12
6.74%
SK
17
Fungsi Gauss dengan parameter
memiliki salah klasifikasi sebesar
2.25%. Terlihat bahwa salah klasifikasi kelompok menggunakan fungsi ini
banyak terdapat pada kelompok 2. Hal ini juga terjadi karena antarkelompok ini
memang sulit dipisahkan secara keseluruhan dan juga karena jarak yang
berdekatan antarkelompok.
Tabel 9 Hasil pengklasifikasian kelompok data dengan fungsi Gauss
Kelompok asal
1
2
3
1
59
0
0
Kelompok prediksi
2
0
68
1
3
0
3
47
Total
SK
59
71
48
0
3
1
4
2.25%
SK
memiliki salah klasifikasi
Fungsi gelombang dengan parameter
sebesar 7.30%. Terlihat bahwa salah klasifikasi kelompok menggunakan fungsi
ini banyak terdapat pada kelompok 2. Hal ini juga terjadi karena antarkelompok
ini memang sulit dipisahkan secara keseluruhan dan juga karena jarak yang
berdekatan antarkelompok.
Tabel 10 Hasil pengklasifikasian kelompok data dengan fungsi gelombang
Kelompok asal
1
2
3
1
56
3
0
Kelompok prediksi
2
3
63
2
3
0
5
46
Total
SK
59
71
48
3
8
2
13
7.30%
SK
18
KESIMPULAN
Metode analisis data AKU kernel menghasilkan berbagai tipe plot pencar
untuk dua komponen utama pertama bergantung pemilihan fungsi kernelnya.
Dalam pemilihan fungsi kernel yang tepat memberikan pola linear terpisah pada
data sehingga akan mempermudah saat menganalisis. Hasil untuk data pengenalan
anggur menunjukkan bahwa fungsi kernel linear dan isotropik yaitu Gauss pada
dan gelombang
masing-masing menghasilkan salah klasifikasi
sebesar 6.74%, 2.25% dan 7.30%. Terlihat bahwa fungsi Gauss dan linear lebih
baik dari fungsi gelombang dalam mengklasifikan data pengenalan anggur.
19
DAFTAR PUSTAKA
Forina M. 1991. Wine Recognition Data. [Internet]. [diunduh 2014 Jan 20].
Tersedia pada: http://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/wine/
wine.data.
Genton MG. 2001. Classes of Kernels for Machine Learning. Machine Learning
Research. 2. Doi:10.1.1.62.7887.
Jolliffe IT. 2002. Principal Component Analysis. 2nd ed. New York (US):
Springer-Verlag.
Nielsen AA, Canty MJ. 2008. Kernel Principal Component Analysis for Change
Detection. Image and Signal for Remote Sensing XIV. 7109.
Doi:10.1117/12.800141.
Schölkopf B, Smola AJ. 2002. Learning with Kernels. London (UK): The MIT
Press.
Shen Y. 2007. Outlier Detection Using the Smallest Kernel Principal Component.
[Disertasi]. Philadelphia (US): Temple University Graduate Board.
Sugiyama M. 2013. Advanced Data Analysis: Kernel PCA. [Internet]. [diunduh
2014 Jan 20]. Tersedia pada: www.ocw.titech.ac.jp/index.php.
20
Lampiran 1 Data pengenalan anggur
No. Kelompok Al
AM
Ab
AA
Mg
TF
2.8
Fl
1
1
14.23 1.71 2.43 15.6 127
2
1
13.2
3
1
13.16 2.36 2.67 18.6 101
4
1
14.37 1.95 2.5
5
1
13.24 2.59 2.87
6
1
14.2
7
1
14.39 1.87 2.45 14.6
96
2.5
2.52
8
1
14.06 3.15 2.61 17.6 121
FF
Pa
WI
Wa
OD
Pr
3.06 0.28
2.29
5.64 1.04
3.92
1065
1.78 2.14 11.2 100 2.65 2.76 0.26
1.28
4.38 1.05
3.4
1050
0.3
2.81
5.68 1.03
3.17
1185
16.8 113 3.85 3.49 0.24
2.18
7.8
0.86
3.45
1480
2.69 0.39
1.82
4.32 1.04
2.93
735
1.76 2.45 15.2 112 3.27 3.39 0.34
1.97
6.75 1.05
2.85
1450
0.3
1.98
5.25 1.02
3.58
1290
2.6
2.51 0.31
1.25
5.05 1.06
3.58
1295
21
118
2.8
2.8
3.24
9
1
14.83 1.64 2.17
14
97
2.8
2.98 0.29
1.98
5.2
1.08
2.85
1045
10
1
13.86 1.35 2.27
16
98
2.98 3.15 0.22
1.85
7.22 1.01
3.55
1045
11
1
14.1
18
105 2.95 3.32 0.22
2.38
5.75 1.25
3.17
1510
12
1
14.12 1.48 2.32 16.8
95
2.2
2.43 0.26
1.57
5
1.17
2.82
1280
13
1
13.75 1.73 2.41
89
2.6
2.76 0.29
1.81
5.6
1.15
2.9
1320
14
1
14.75 1.73 2.39 11.4
91
3.1
3.69 0.43
2.81
5.4
1.25
2.73
1150
15
1
14.38 1.87 2.38
102
3.3
3.64 0.29
2.96
7.5
1.2
3
1547
16
1
13.63 1.81 2.7
0.3
1.46
7.3
1.28
2.88
1310
17
1
14.3
1.92 2.72
20
120
3.14 0.33
1.97
6.2
1.07
2.65
1280
18
1
13.83 1.57 2.62
20
115 2.95
3.4
0.4
1.72
6.6
1.13
2.57
1130
19
1
14.19 1.59 2.48 16.5 108
3.3
3.93 0.32
1.86
8.7
1.23
2.82
1680
20
1
13.64
2.7
3.03 0.17
1.66
5.1
0.96
3.36
845
21
1
14.06 1.63 2.28
3
3.17 0.24
2.1
5.65 1.09
3.71
780
22
1
12.93
2.65 18.6 102 2.41 2.41 0.25
1.98
4.5
1.03
3.52
770
23
1
13.71 1.86 2.36 16.6 101 2.61 2.88 0.27
1.69
3.8
1.11
4
1035
24
1
12.85
1.6
25
1
13.5
1.81 2.61
26
1
13.05 2.05 3.22
27
1
28
2.16 2.3
3.1
3.8
16
12
17.2 112 2.85 2.91
2.56 15.2 116
16
95
2.48 2.37 0.26
1.46
3.93 1.09
3.63
1015
20
96
2.53 2.61 0.28
1.66
3.52 1.12
3.82
845
25
124 2.63 2.68 0.47
1.92
3.58 1.13
3.2
830
13.39 1.77 2.62 16.1
93
2.85 2.94 0.34
1.45
4.8
0.92
3.22
1195
1
13.3
1.72 2.14
94
2.4
2.19 0.27
1.35
3.95 1.02
2.77
1285
29
1
13.87
1.9
19.4 107 2.95 2.97 0.37
1.76
4.5
1.25
3.4
915
30
1
14.02 1.68 2.21
1.98
4.7
1.04
3.59
1035
31
1
13.73
3.25 0.29
2.38
5.7
1.19
2.71
1285
32
1
13.58 1.66 2.36 19.1 106 2.86 3.19 0.22
1.95
6.9
1.09
2.88
1515
33
1
13.68 1.83 2.36 17.2 104 2.42 2.69 0.42
1.97
3.84 1.23
2.87
990
34
1
13.76 1.53 2.7
0.5
1.35
5.4
1.25
3
1235
35
1
13.51
110 2.35 2.53 0.29
1.54
4.2
1.1
2.87
1095
36
1
13.48 1.81 2.41 20.5 100
2.7
2.98 0.26
1.86
5.1
1.04
3.47
920
37
1
13.28 1.64 2.84 15.5 110
2.6
2.68 0.34
1.36
4.6
1.09
2.78
880
38
1
13.05 1.65 2.55
39
1
13.07
1.5
1.8
1.5
2.52 17.8
126
2.8
2.8
2.7
2.65
2.1
17
16
96
22.5 101
2.65 2.33 0.26
3
19.5 132 2.95 2.74
19
18
98
2.45 2.43 0.29
1.44
4.25 1.12
2.51
1105
15.5
98
2.4
1.37
3.7
2.69
1020
2.64 0.28
1.18
21
40
1
14.22 3.99 2.51 13.2 128
0.2
2.08
5.1
0.89
3.53
760
41
1
13.56 1.71 2.31 16.2 117 3.15 3.29 0.34
2.34
6.13 0.95
3.38
795
42
1
13.41 3.84 2.12 18.8
90
1.48
4.28 0.91
3
1035
43
1
13.88 1.89 2.59
101 3.25 3.56 0.17
1.7
5.43 0.88
3.56
1095
44
1
13.24 3.98 2.29 17.5 103 2.64 2.63 0.32
1.66
4.36 0.82
3
680
45
1
13.05 1.77 2.1
0.28
2.03
5.04 0.88
3.35
885
46
1
14.21 4.04 2.44 18.9 111 2.85 2.65
0.3
1.25
5.24 0.87
3.33
1080
47
1
14.38 3.59 2.28
16
102 3.25 3.17 0.27
2.19
4.9
1.04
3.44
1065
48
1
13.9
1.68 2.12
16
101 3.1
3.39 0.21
2.14
6.1
0.91
3.33
985
49
1
14.1
2.02 2.4
18.8 103 2.75 2.95 0.32
2.38
6.2
1.07
2.75
1060
50
1
13.94 1.73 2.27 17.4 108 2.88 3.54 0.32
2.08
8.9
1.12
3.1
1260
51
1
13.05 1.73 2.04 12.4
92
2.72 3.27 0.17
2.91
7.2
1.12
2.91
1150
52
1
13.83 1.65 2.6
17.2
94
2.45 2.99 0.22
2.29
5.6
1.24
3.37
1265
53
1
13.82 1.75 2.42
14
111 3.88 3.74 0.32
1.87
7.05 1.01
3.26
1190
54
1
13.77
2.79 0.39
1.68
6.3
1.13
2.93
1375
55
1
13.74 1.67 2.25 16.4 118 2.6
2.9
0.21
1.62
5.85 0.92
3.2
1060
56
1
13.56 1.73 2.4
20.5 116 2.96 2.78
0.2
2.45
6.25 0.98
3.03
1120
57
1
14.22
16.3 118 3.2
0.26
2.03
6.38 0.94
3.31
970
58
1
13.29 1.97 2.68 16.8 102
3.23 0.31
1.66
6
1.07
2.84
1270
59
1
13.72 1.43 2.5
3.67 0.19
2.04
6.8
0.89
2.87
1285
60
2
12.37 0.94 1.36 10.6
88
1.98 0.57 0.28
0.42
1.95 1.05
1.82
520
61
2
12.33
101 2.05 1.09 0.63
0.41
3.27 1.25
1.67
680
62
2
12.64 1.36 2.02 16.8 100 2.02 1.41 0.53
0.62
5.75 0.98
1.59
450
63
2
13.67 1.25 1.92
18
94
2.1
1.79 0.32
0.73
3.8
1.23
2.46
630
64
2
12.37 1.13 2.16
19
87
3.5
3.1
0.19
1.87
4.45 1.22
2.87
420
65
2
12.7
19
104 1.89 1.75 0.45
1.03
2.95 1.45
2.23
355
66
2
12.37 1.21 2.56 18.1
98
2.42 2.65 0.37
2.08
4.6
1.19
2.3
678
67
2
13.11 1.01 1.7
78
2.98 3.18 0.26
68
2
12.37 1.17 1.92 19.6
78
2.11
69
2
13.34 0.94 2.36
110 2.53
70
1.9
1.7
1.1
15
17
107
2.68 17.1 115
2.3
2.28
1.45 2.53
3
2.45 2.68 0.27
3
3
3
16.7 108 3.4
16
3
3
2.28
5.3
1.12
3.18
502
2
0.27
1.04
4.68 1.12
3.48
510
1.3
0.55
0.42
3.17 1.02
1.93
750
2
12.21 1.19 1.75 16.8 151 1.85 1.28 0.14
2.5
2.85 1.28
3.07
718
71
2
12.29 1.61 2.21 20.4 103 1.1
1.02 0.375
1.46
3.05 0.906
1.82
870
72
2
13.86 1.51 2.67
25
86
2.95 2.86 0.21
1.87
3.38 1.36
3.16
410
73
2
13.49 1.66 2.24
24
87
1.88 1.84 0.27
1.03
3.74 0.98
2.78
472
74
2
12.99 1.67 2.6
30
139 3.3
2.89 0.21
1.96
3.35 1.31
3.5
985
75
2
11.96 1.09 2.3
21
101 3.38 2.14 0.13
1.65
3.21 0.99
3.13
886
76
2
11.66 1.88 1.92
16
97
1.61 1.57 0.34
1.15
3.8
1.23
2.14
428
77
2
13.03
1.71
16
86
1.95 2.03 0.24
1.46
4.6
1.19
2.48
392
78
2
11.84 2.89 2.23
18
112 1.72 1.32 0.43
0.95
2.65 0.96
2.52
500
79
2
12.33 0.99 1.95 14.8 136 1.9
1.85 0.35
2.76
3.4
1.06
2.31
750
80
2
12.7
81
2
12
82
2
0.9
15
3.04
17
3.87 2.4
23
101 2.83 2.55 0.43
1.95
2.57 1.19
3.13
463
0.92
19
86
2.42 2.26
0.3
1.43
2.5
1.38
3.12
278
18.8
86
2.2
2.53 0.26
1.77
3.9
1.16
3.14
714
2
12.72 1.81 2.2
22
83
2
12.08 1.13 2.51
0.4
1.4
2.2
1.31
2.72
630
84
2
13.05 3.86 2.32 22.5
85
1.65 1.59 0.61
1.62
4.8
0.84
2.01
515
85
2
11.84 0.89 2.58
18
94
2.2
2.21 0.22
2.35
3.05 0.79
3.08
520
86
2
12.67 0.98 2.24
87
2
12.16 1.61 2.31 22.8
18
99
2.2
1.94
0.3
1.46
2.62 1.23
3.16
450
90
1.78 1.69 0.43
1.56
2.45 1.33
2.26
495
88
2
11.65 1.67 2.62
88
1.92 1.61
0.4
1.34
2.6
1.36
3.21
562
89
2
11.64 2.06 2.46 21.6
84
1.95
1.6
0.48
1.35
2.8
1
2.75
680
90
2
12.08 1.33 2.3
23.6
70
2.2
1.59 0.42
1.38
1.74 1.07
3.21
625
91
2
12.08 1.83 2.32 18.5
81
1.6
1.5
0.52
1.64
2.4
1.08
2.27
480
92
2
86
1.45 1.25
0.5
1.63
3.6
1.05
2.65
450
93
2
12.69 1.53 2.26 20.7
80
1.38 1.46 0.58
1.62
3.05 0.96
2.06
495
94
2
12.29 2.83 2.22
18
88
2.45 2.25 0.25
1.99
2.15 1.15
3.3
290
95
2
11.62 1.99 2.28
18
98
3.02 2.26 0.17
1.35
3.25 1.16
2.96
345
96
2
12.47 1.52 2.2
19
162
2.5
2.27 0.32
3.28
2.6
1.16
2.63
937
97
2
11.81 2.12 2.74 21.5 134
1.6 0.099 0.14
1.56
2.5
0.95
2.26
625
98
2
12.29 1.41 1.98
16
85
2.55
0.29
1.77
2.9
1.23
2.74
428
99
2
12.37 1.07 2.1
18.5
88
3.52 3.75 0.24
1.95
4.5
1.04
2.77
660
100
2
12.29 3.17 2.21
18
88
2.85 2.99 0.45
2.81
2.3
1.42
2.83
406
101
2
12.08 2.08 1.7
17.5
97
2.23 2.17 0.26
1.4
3.3
1.27
2.96
710
102
2
12.6
18.5
88
1.45 1.36 0.29
1.35
2.45 1.04
2.77
562
103
2
12.34 2.45 2.46
21
98
2.56 2.11 0.34
1.31
2.8
0.8
3.38
438
104
2
11.82 1.72 1.88 19.5
86
2.5
1.64 0.37
1.42
2.06 0.94
2.44
415
105
2
12.51 1.73 1.98 20.5
85
2.2
1.92 0.32
1.48
2.94 1.04
3.57
672
106
2
12.42 2.55 2.27
22
90
1.68 1.84 0.66
1.42
2.7
0.86
3.3
315
107
2
12.25 1.73 2.12
19
80
1.65 2.03 0.37
1.63
3.4
1
3.17
510
108
2
12.72 1.75 2.28 22.5
84
1.38 1.76 0.48
1.63
3.3
0.88
2.42
488
109
2
12.22 1.29 1.94
19
92
2.36 2.04 0.39
2.08
2.7
0.86
3.02
312
110
2
11.61 1.35 2.7
20
94
2.74 2.92 0.29
2.49
2.65 0.96
3.26
680
111
2
11.46 3.74 1.82 19.5 107 3.18 2.58 0.24
3.58
2.9
0.75
2.81
562
112
2
12.52 2.43 2.17
21
88
1.22
2
0.9
2.78
325
113
2
11.76 2.68 2.92
20
100 1.75 2.03
0.6
1.05
3.8
1.23
2.5
607
114
2
11.41 0.74 2.5
21
88
2.48 2.01 0.42
1.44
3.08
1.1
2.31
434
115
2
12.08 1.39 2.5
22.5
84
2.56 2.29 0.43
1.04
2.9
0.93
3.19
385
116
2
11.03 1.51 2.2
21.5
85
2.46 2.17 0.52
2.01
1.9
1.71
2.87
407
117
2
11.82 1.47 1.99 20.8
86
1.98
0.3
1.53
1.95 0.95
3.33
495
118
2
12.42 1.61 2.19 22.5 108
2.09 0.34
1.61
2.06 1.06
2.96
345
119
2
12.77 3.43 1.98
16
80
1.63 1.25 0.43
0.83
3.4
0.7
2.12
372
120
2
12
3.43
2
19
87
2
1.64 0.37
1.87
1.28 0.93
3.05
564
121
2
11.45
2.4
2.42
20
96
2.9
2.79 0.32
1.83
3.25
0.8
3.39
625
122
2
11.56 2.05 3.23 28.5 119 3.18 5.08 0.47
1.87
6
0.93
3.69
465
123
2
12.42 4.43 2.73 26.5 100
2.2
1.71
2.08 0.92
3.12
365
124
2
13.05
2.62 2.65
2.01
2.6
3.1
380
12
1.51 2.42
1.34 1.9
5.8
24
26
22
2.13 21.5
78
86
2
1.58
2.5
2.55 2.27 0.26
2
1.6
2.13 0.43
0.3
0.73
23
125
2
11.87 4.31 2.39
21
82
2.86 3.03 0.21
2.91
2.8
0.75
3.64
380
126
2
12.07 2.16 2.17
21
85
2.6
2.65 0.37
1.35
2.76 0.86
3.28
378
127
2
12.43 1.53 2.29 21.5
86
2.74 3.15 0.39
1.77
3.94 0.69
2.84
352
128
2
11.79 2.13 2.78 28.5
92
2.13 2.24 0.58
1.76
0.97
2.44
466
129
2
12.37 1.63 2.3
24.5
88
2.22 2.45
0.4
1.9
2.12 0.89
2.78
342
130
2
12.04
2.38
22
80
2.1
1.75 0.42
1.35
2.6
0.79
2.57
580
131
3
12.86 1.35 2.32
18
122 1.51 1.25 0.21
0.94
4.1
0.76
1.29
630
132
3
12.88 2.99 2.4
20
104 1.3
1.22 0.24
0.83
5.4
0.74
1.42
530
133
3
12.81 2.31 2.4
24
98
1.15 1.09 0.27
0.83
5.7
0.66
1.36
560
134
3
12.7
5
0.78
1.29
600
135
3
12.51 1.24 2.25 17.5
85
5.45 0.75
1.51
650
136
3
12.6
18.5
137
3
12.25 4.72 2.54
21
138
3
12.53 5.51 2.64
25
139
3
140
4.3
3.55 2.36 21.5 106 1.7
3
1.2
0.17
0.84
0.58
0.6
1.25
94
1.62 0.66 0.63
0.94
7.1
0.73
1.58
695
89
1.38 0.47 0.53
0.8
3.85 0.75
1.27
720
96
1.79
0.63
1.1
5
0.82
1.69
515
13.49 3.59 2.19 19.5
88
1.62 0.48 0.58
0.88
5.7
0.81
1.82
580
3
12.84 2.96 2.61
24
101 2.32
0.6
0.53
0.81
4.92 0.89
2.15
590
141
3
12.93 2.81 2.7
21
96
1.54
0.5
0.53
0.75
4.6
0.77
2.31
600
142
3
13.36 2.56 2.35
20
89
1.4
0.5
0.37
0.64
5.6
0.7
2.47
780
143
3
13.52 3.17 2.72 23.5
97
1.55 0.52
0.5
0.55
4.35 0.89
2.06
520
144
3
13.62 4.95 2.35
92
0.47
1.02
4.4
2.05
550
145
3
12.25 3.88 2.2
18.5 112 1.38 0.78 0.29
1.14
8.21 0.65
146
3
13.16 3.57 2.15
21
102 1.5
147
3
13.88 5.04 2.23
20
80
0.98 0.34
148
3
12.87 4.61 2.48 21.5
86
1.7
149
3
13.32 3.24 2.38 21.5
92
150
3
13.08
3.9
151
3
13.5
3.12 2.62
24
123 1.4
152
3
12.79 2.67 2.48
22
153
3
13.11
1.9
2.75 25.5 116 2.2
1.28 0.26
154
3
13.23
3.3
2.28 18.5
0.83 0.61
155
3
12.58 1.29 2.1
20
156
3
13.17 5.19 2.32
22
157
3
158
2.46 2.2
20
2
2
0.6
0.8
0.91
2
855
1.3
4
0.6
1.67
830
0.4
0.68
4.9
0.58
1.33
415
0.65 0.47
0.86
7.65 0.54
1.86
625
1.93 0.76 0.45
1.25
8.42 0.55
1.62
650
2.36 21.5 113 1.41 1.39 0.34
1.14
9.4
0.57
1.33
550
1.57 0.22
1.25
8.6
0.59
1.3
500
112 1.48 1.36 0.24
1.26
10.8 0.48
1.47
480
1.56
7.1
0.61
1.33
425
1.87 10.52 0.56
1.51
675
103 1.48 0.58 0.53
1.4
7.6
0.58
1.55
640
93
1.74 0.63 0.61
1.55
7.9
0.61
1.48
725
13.84 4.12 2.38 19.5
89
1.8
0.83 0.48
1.56
9.01 0.57
1.64
480
3
12.45 3.03 2.64
27
97
1.9
0.58 0.63
1.14
7.5
0.67
1.73
880
159
3
14.34 1.68 2.7
25
98
2.8
1.31 0.53
2.7
13
0.57
1.96
660
160
3
13.48 1.67 2.64 22.5
89
2.6
1.1
0.52
2.29 11.75 0.57
1.78
620
161
3
12.36 3.83 2.38
21
88
2.3
0.92
0.5
1.04
7.65 0.56
1.58
520
162
3
13.69 3.26 2.54
20
107 1.83 0.56
0.5
0.8
5.88 0.96
1.82
680
163
3
12.85 3.27 2.58
22
106 1.65
0.6
0.6
0.96
5.58 0.87
2.11
570
164
3
12.96 3.45 2.35 18.5 106 1.39
0.7
0.4
0.94
5.28 0.68
1.75
675
165
3
13.78 2.76 2.3
1.35 0.68 0.41
1.03
9.58
0.7
1.68
615
166
3
13.73 4.36 2.26 22.5
88 0.128 0.47 0.52
1.15
6.62 0.78
1.75
520
167
3
13.45
111 1.7
1.46 10.68 0.85
1.56
695
3.7
2.6
22
23
98
90
1.8
0.55 0.43
0.92 0.43
24
168
3
12.82 3.37 2.3
169
3
170
3
171
172
0.97 10.26 0.72
1.75
685
13.58 2.58 2.69 24.5 105 1.55 0.84 0.39
1.54
8.66 0.74
1.8
750
13.4
4.6
2.86
25
112 1.98 0.96 0.27
1.11
8.5
0.67
1.92
630
3
12.2
3.03 2.32
19
96
1.25 0.49
0.4
0.73
5.5
0.66
1.83
510
3
12.77 2.39 2.28 19.5
86
1.39 0.51 0.38
0.64
9.89 0.57
1.63
470
173
3
14.16 2.51 2.48
91
1.68
0.44
1.24
9.7
0.62
1.71
660
174
3
13.71 5.65 2.45 20.5
95
1.68 0.61 0.52
1.06
7.7
0.64
1.74
740
175
3
13.4
3.91 2.48
23
102
1.8
0.75 0.43
1.41
7.3
0.7
1.56
750
176
3
13.27 4.28 2.26
20
120 1.59 0.69 0.43
1.35
10.2 0.59
1.56
835
177
3
13.17 2.59 2.37
10
120 1.65 0.68 0.53
1.46
9.3
0.6
1.62
840
178
3
14.13
96
1.35
9.2
0.61
1.6
560
4.1
19.5
20
2.74 24.5
88
1.48 0.66
0.7
0.4
2.05 0.76 0.56
Lampiran 2 MATLAB
Fungsi Gauss
Fungsi gelombang
function Z =
gausskpca(X,r,sigma)
[rx,cx] = size(X);
if r > cx
error
end
K = zeros (rx,rx);
for i = 1:rx,
for j=1:i,
K(i,j) = exp(sum(((X(i,:)X(j,:)).^2))/(sigma));
K(j,i)=K(i,j);
end
end
v1 = ones(size(K))/rx;
K = K-v1*K-K*v1+v1*K*v1;
[v,lambda]=eig(K);
for j = 1:size(v,2)
v(:,j)=v(:,j)./(sqrt(lambda(j,j)
));
end
[l,k] =
sort(diag(lambda),'descend');
v = v(:,k);
Z = zeros(rx,r);
for j = 1:r
Z(:,j) = K*v(:,j);
end
plot(Z(1:59,1),Z(1:59,2),'ko',Z(
60:130,1),Z(60:130,2),'go',Z(131
:178,1),Z(131:178,2),'ro')
function Z = wave(X,r,sigma)
[rx,cx] = size(X);
if r > cx
error
end
K = zeros (rx,rx);
for i = 1:rx,
for j=1:i,
if X(i,:)==X(j,:)
K(i,j)=1;
else
K(i,j) = (sigma/sum((X(i,:)X(j,:)).^2))*(sin(sum(X(i,:)X(j,:)).^2/sigma));
end
K(j,i)=K(i,j);
end
end
v1 = ones(size(K))/rx;
K = K-v1*K-K*v1+v1*K*v1;
[v,lambda]=eig(K);
for j = 1:size(v,2)
v(:,j)=v(:,j)./(sqrt(lambda(j,j)
));
end
[l,k] =
sort(diag(lambda),'descend');
v = v(:,k);
Z = zeros(rx,r);
for j = 1:r
Z(:,j) = K*v(:,j);
end
plot(Z(1:59,1),Z(1:59,2),'ko',Z(
60:130,1),Z(60:130,2),'go',Z(131
:178,1),Z(131:178,2),'ro')
25
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada tanggal 30 Mei 1992 di Purworejo Jawa Tengah,
sebagai anak pertama dari pasangan berbahagia Istiadi dan Sapriyah. Penulis lulus
SMA Negeri 1 Anyer dan melanjutkan studi di Institut Pertanian Bogor (IPB)
dengan jalur USMI. Selama menjalankan studi di IPB penulis juga mengikuti
beberapa organisasi yaitu GUMATIKA, UKM Bulutangkis, UKM Beladiri
Merpati Putih, Club Ilmiah Asrama serta beberapa kegiatan di dalamnya.
KOMPONEN UTAMA KERNEL DENGAN FUNGSI
ISOTROPIK
HANIF KHARISMAHADI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Klasifikasi Data
Menggunakan Analisis Komponen Utama Kernel dengan Fungsi Isotropik adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Hanif Kharismahadi
NIM G54100080
ABSTRAK
HANIF KHARISMAHADI. Klasifikasi Data Menggunakan Analisis Komponen
Utama Kernel dengan Fungsi Isotropik. Dibimbing oleh SISWADI dan TONI
BAKHTIAR.
Analisis komponen utama (AKU) merupakan bentuk khusus dari AKU
kernel dengan fungsi kernel linear. Tujuan dari studi ini ialah untuk
menyelesaikan permasalahan data yang tak terpisahkan secara linear dan
mengklasifikasikan suatu objek ke dalam kelompok menggunakan AKU kernel
sehingga diperoleh salah klasifikasi terkecil. Pengklasifikasian kelompok
menggunakan AKU kernel diselesaikan dengan fungsi kernel linear dan fungsi
isotropik (Gauss dan gelombang). Hasil untuk data pengenalan anggur
menunjukkan bahwa fungsi kernel linear memberikan salah klasifikasi 6.74%,
sedangkan fungsi isotropik yaitu Gauss dan gelombang masing-masing
memberikan salah klasifikasi 2.25% dan 7.30%.
Kata kunci: analisis komponen utama, kernel, isotropik.
ABSTRACT
HANIF KHARISMAHADI. Data Classification Using Kernel Principal
Component Analysis with Isotropic Function. Supervised by SISWADI and TONI
BAKHTIAR.
Principal component analysis (PCA) is a special case of the kernel PCA
with linear kernel function. The aim of this study is to resolve the data problem
that is not linearly separable and to classify objects into a group by using kernel
PCA to obtain the smallest classification error. Group classification using kernel
PCA is performed by the linear kernel function and isotropic function, i.e., Gauss
and wave functions. The result of the study shows for wine recognition data with
the linear function produces 6.74% classification error, whereas Gauss and wave
isotropic functions produce 2.25 % and 7.30% classification error, respectively.
Keywords: principal component analysis, kernel, isotropic.
KLASIFIKASI DATA MENGGUNAKAN ANALISIS
KOMPONEN UTAMA KERNEL DENGAN FUNGSI
ISOTROPIK
HANIF KHARISMAHADI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2014 ini ialah
analisis data, dengan judul Klasifikasi Data Menggunakan Analisis Komponen
Utama Kernel dengan Fungsi Isotropik.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Prof Dr Ir Siswadi MSc dan Dr Toni
Bakhtiar MSc selaku dosen pembimbing serta Ir Ngakan Komang Kutha Ardana
MSc selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima
kasih juga disampaikan kepada orang tua Bapak Istiadi SPd dan Ibu Sapriyah
yang selalu memberi doa, semangat dan kasih sayangnya hingga menyelesaikan
karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2014
Hanif Kharismahadi
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vii
DAFTAR GAMBAR
vii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Analisis Komponen Utama Kernel
2
Kernel Isotropik
5
METODE PENELITIAN
7
Sumber Data
7
Prosedur Analisis Data
7
HASIL DAN PEMBAHASAN
9
KESIMPULAN
18
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
20
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR TABEL
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Fungsi kernel yang diaplikasikan
Klasifikasi kelompok
Deskripsi data pengenalan anggur
Matriks kovarians
Matriks korelasi
Hasil salah klasifikasi (SK) fungsi Gauss
Hasil salah klasifikasi (SK) fungsi gelombang
Hasil pengklasifikasian kelompok data dengan fungsi linear
Hasil pengklasifikasian kelompok data dengan fungsi Gauss
Hasil pengklasifikasian kelompok data dengan fungsi gelombang
7
8
10
10
11
14
16
17
17
17
DAFTAR GAMBAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Ide dasar AKU kernel (Sugiyama 2013)
Ide utama metode kernel: memetakan data asal ke dimensi
lebih tinggi ruang fitur (
dan Smola 2002)
Fungsi kernel isotropik
Alkohol dengan Abu
Alkohol dengan Magnesium
Alkohol dengan Asam malat
Flavonoid dengan Proanthosianin
Prolina dengan Asam malat
Total fenol dengan Flavonoid
AKU atau fungsi linear
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
Fungsi Gauss dengan parameter
fungsi Gauss
Grafik kesalahan klasifikasi (%) terhadap
Fungsi gelombang dengan parameter
1
2
Fungsi gelombang dengan parameter
2
2
6
9
9
9
9
9
9
11
11
12
12
12
12
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
13
13
14
14
14
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
Fungsi gelombang dengan parameter
Fungsi gelombang dengan parameter
Fungsi gelombang dengan parameter
Fungsi gelombang dengan parameter
Fungsi gelombang dengan parameter
Fungsi gelombang dengan parameter
Fungsi gelombang dengan parameter
Fungsi gelombang dengan parameter
Grafik kesalahan klasifikasi (%) terhadap
3
4
5
6
7
8
9
10
fungsi gelombang
15
15
15
15
15
15
15
15
16
DAFTAR LAMPIRAN
1.
2.
Data pengenalan anggur
MATLAB
20
24
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam menyampaikan suatu data atau informasi, seringkali akan lebih
mudah dan menarik untuk menampilkannya dalam bentuk gambar, termasuk
dalam menampilkan data-data (atribut) suatu objek. Posisi relatif objek-objek
berdasarkan data yang dimilikinya dapat ditampilkan dalam sebuah plot sehingga
lebih mudah dibaca oleh pengguna informasi tersebut. Analisis peubah ganda
adalah salah satu analisis statistika yang dapat memvisualisasikan data. Analisis
peubah ganda merupakan analisis yang membutuhkan banyak informasi yang ada
pada peubah-peubah penjelasnya yang seringkali tumpang tindih sehingga
dibutuhkan cara untuk mengatasi masalah ini. Salah satu analisis yang dapat
diterapkan untuk mengatasinya adalah analisis komponen utama. Analisis
komponen utama pertama kali diperkenalkan oleh Karl Pearson pada tahun 1901.
Analisis komponen utama (AKU) sering digunakan mereduksi dimensi dari suatu
matriks data yang terdiri atas sejumlah besar peubah yang saling berkorelasi
menjadi sejumlah kecil peubah dan tidak saling berkorelasi, dengan tetap
mempertahankan sebanyak mungkin informasi yang terkandung dalam matriks
data baru (Jolliffe 2002). AKU menggunakan kombinasi linear antarpeubah untuk
merepresentasikan suatu data. Namun, kombinasi linear ini tidak dapat
memodelkan data yang kompleksitasnya tinggi dengan hubungan taklinear
antarpeubah. Oleh karena itu diperlukan suatu metode untuk menyelesaikan
masalah tersebut yaitu dengan menggunakan AKU kernel.
AKU merupakan bentuk khusus dari AKU kernel dengan fungsi kernel
linear. Fungsi kernel memetakan data ke dimensi yang lebih tinggi dan
membangun fungsi pemisah dalam ruang yang terpisahkan. Hal ini dilakukan
dengan menghitung fungsi kernel yang memberikan nilai hasil kali dalam pada
ruang fitur tanpa menunjukkan pemetaan secara eksplisit. AKU kernel juga
sebagai metode berbasis memori, yaitu jika x merupakan suatu objek maka
menemukan skor untuk objek tersebut dapat menggunakan nilai eigen dan vektor
eigen dari data asal (Nielsen dan Canty 2008). Karena dalam mengklasifikasikan
suatu objek ke dalam suatu kelompok diperlukan beberapa peubah penciri yang
dapat membedakan antara satu kelompok dengan kelompok yang lainnya, maka
atas dasar inilah AKU kernel dapat digunakan dalam menyelesaikan
pengklasifikasian suatu objek ke dalam suatu kelompok untuk memperoleh salah
klasifikasi terkecil.
Tujuan Penelitian
Karya ilmiah ini bertujuan untuk menyelesaikan permasalahan data yang
takterpisah secara linear dan mengklasifikasikan suatu objek ke dalam suatu
kelompok menggunakan AKU kernel dengan fungsi kernel linear dan isotropik
(Gauss dan gelombang) sehingga didapatkan hasil salah klasifikasi minimum.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Analisis Komponen Utama Kernel
Analisis komponen utama (AKU) merupakan suatu analisis yang biasa
digunakan untuk mereduksi dimensi dari suatu matriks data. AKU menggunakan
kombinasi linear antarpeubah untuk merepresentasikan suatu data, sehingga hanya
dapat mengatasi hubungan linear antarpeubah. Namun, pada kenyataannya banyak
data yang memiliki hubungan taklinear dan takterpisah antarpeubah. Diperlukan
suatu analisis untuk menunjukkan bentuk taklinear dari AKU, yaitu dengan
menggunakan AKU kernel. Dengan menggunakan fungsi kernel dapat diperoleh
nilai komponen utama secara lebih efisien dalam dimensi lebih tinggi ruang fitur
(ruang abstrak yang kadang tidak diketahui hasil pemetaannya). Transformasi dari
taklinear di ruang input menjadi linear di ruang fitur, dijelaskan pada Gambar 1.
Gambar 1 Ide dasar AKU kernel (Sugiyama 2013)
Dalam kondisi tertentu, fungsi-fungsi kernel dapat diartikan mewakili hasil
kali dalam dari objek data dengan pemetaan taklinear secara implisit pada ruang
fitur. Melalui transformasi ini (dari ruang input ke ruang fitur menggunakan
dan
fungsi kernel), diharapkan terdeteksi pola tertentu dalam data (
Smola 2002).
Selanjutnya akan diformulasikan metode kernel. Notasikan pemetaan dari
ruang input ke ruang fitur dengan
Transformasi dari taklinear dan takterpisah di ruang input menjadi linear terpisah
di ruang fitur, dijelaskan pada Gambar 2.
Gambar 2 Ide utama metode kernel: memetakan data asal ke dimensi lebih
dan Smola 2002)
tinggi ruang fitur (
3
Sebuah kernel merupakan fungsi k yang untuk semua x, z
memenuhi
Komposisi dari pemetaan fitur dengan hasil kali dalam
pada ruang fitur dapat dievaluasi dalam contoh berikut
Karenanya, fungsi
merupakan sebuah fungsi kernel dengan ℋ sebagai ruang fitur yang bersesuaian.
Ini artinya dapat menghitung hasil kali dalam antara proyeksi dari dua titik ke
dalam ruang fitur tanpa mengevaluasi koordinatnya secara eksplisit. Sebelum
menggunakan fungsi kernel, haruslah ditentukan apa bentuk dari fungsi
untuk memastikan bahwa itu merupakan kernel untuk beberapa ruang fitur. Oleh
karena itu, perlu diketahui beberapa hal yang berhubungan dengan fungsi kernel
1. Fungsi kernel harus simetrik
2. Memenuhi ketaksamaan Cauchy-Schwarz
Diberikan sebuah kernel dan suatu matriks data, yang dapat membentuk
matriks Gram, yang berisi evaluasi dari fungsi kernel pada semua pasang titik
, matriks Gram dilambangkan
data. Diberikan matriks data,
oleh G yang didefinisikan sebagai matriks berukuran
yang berelemen
Sehingga digunakan fungsi kernel k untuk mengevaluasi hasil
kali dalam pada ruang fitur dengan pemetaan fitur , dihubungkan dengan
matriks Gram G yang berelemen
.
Dalam kasus ini matriks G disebut juga sebagai matriks kernel K. Lambang
standar untuk menggambarkan matriks kernel K adalah sebagai berikut
.
dengan
,
Misalkan matriks data
terdiri atas n objek dan p peubah. Pemetaan ditunjukkan dengan menggunakan
fungsi :
, dengan data asal berada dalam ruang
dan fitur dalam .
dapat memunyai perubahan dimensi yang besar dan mungkin tak
Catat bahwa
terbatas (Shen 2007). Transformasi fungsi Φ mungkin taklinear dan mungkin
tidak dapat dijelaskan secara eksplisit. Pemetaan oleh fungsi Φ terhadap X
sehingga Φ berisi n objek dan q peubah dengan
menghasilkan matriks data
sebagai berikut:
4
Asumsikan bahwa data dalam ruang fitur memunyai rata-rata nol, sehingga
matriks
kovarians
memiliki
bentuk
yang bersesuaian dengan formulasi primal
sebagai berikut:
dengan menggunakan kembali simbol dan
eigen secara berturut-turut dalam ruang
bersesuaian diperoleh
sebagai nilai eigen dan vektor
Untuk formulasi dual yang
dengan menggunakan kembali simbol dan sebagai nilai eigen dan vektor
eigen secara berturut-turut. Seperti pada AKU nilai eigen taknol untuk formulasi
primal dan dual memberikan nilai yang sama dan vektor eigen dihubungkan
dengan
dan
. Pada formulasi dual
diketahui bersesuaian dengan matriks Gram atau matriks kernel yang berisi
elemen dari fungsi kernel.
Mengulang kembali masalah persamaan eigen pada formulasi dual, untuk
nilai eigen taknol dan vektor eigen yang bersesuaian . Dengan mengganti
dalam
dengan sebuah fungsi kernel
produk dalam
yang berasal dari beberapa pemetaan , diperoleh
dengan
merupakan matriks berukuran
. Permasalahan nilai eigen
tersebut umumnya diformulasikan tanpa faktor
,
memberikan
semua solusi dari vektor eigen dan
dari nilai eigen. Sehingga dalam
dan
.
kasus ini
Untuk menemukan skor komponen utama kernel dari permasalahan nilai
eigen, proyeksikan pemetaan x atas vektor eigen primal
.
Pada kenyataannya tidak dapat diasumsikan bahwa data pada ruang fitur sudah
terkoreksi terhadap nilai tengah. Oleh karena itu agar matriks Gram K terkoreksi
dengan
terhadap
nilai
tengah
gunakan
dan adalah matriks identitas. Berikut merupakan tiga fungsi
kernel yang biasa digunakan.
5
1. Gauss:
2. Polinom:
3. Sigmoid:
dengan
dan merupakan parameter.
Pada dasarnya ada fungsi kernel yang dapat diketahui jenis pemetaannya
pada ruang fitur, misalnya fungsi kernel polinom dengan menggunakan
dengan vektor 2 dimensi
dan
. Diperoleh sebagai berikut
.
Terlihat bahwa fungsi kernel memetakan vektor 2 dimensi ke vektor 6
tidak
dimensi. Namun, untuk banyak fungsi kernel fungsi balikan ke
mungkin diperoleh (Nielsen dan Canty 2008).
Kernel Isotropik
Fungsi kernel jika
bergantung pada vektor jarak antara dua objek
dan pada jarak 0 dengan
hasil fungsi tersebut adalah 1 maka
yaitu
kernel itu disebut isotropik (Genton 2001). Berikut beberapa fungsi kernel
isotropik yang bergantung pada jarak dan , yaitu.
a. Sirkular:
b. Sferikal:
,
c. Kuadrat rasional:
d. Eksponensial:
e. Gauss:
f. Gelombang:
Selanjutnya Gambar 3 memvisualisasikan grafik masing-masing fungsi kernel
isotropik.
6
Gambar 3 Fungsi kernel isotropik: (a) Sirkular; (b) Sferikal; (c) Kuadrat
rasional; (d) Eksponensial; (e) Gauss; (f) Gelombang (Genton
2001)
7
METODE PENELITIAN
Sumber Data
Data yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah ini merupakan data
sekunder sebagai data asal yang diperoleh melalui internet yaitu data pengenalan
anggur (Forina 1991) dapat dilihat pada Lampiran 1. Data ini adalah hasil dari
analisis kimia pada anggur yang tumbuh di daerah yang sama di Italia berasal dari
3 budidaya/kultivar (kelompok) yang berbeda. Matriks data pengenalan anggur
terdiri atas 178 objek dengan 3 kelompok di mana setiap kelompok terdiri atas 59,
71, dan 48 objek untuk kelompok 1, 2, dan 3 secara berturut-turut, dengan 13
peubah yaitu kadar alkohol, kadar asam malat, banyaknya abu, banyaknya alkali
pada abu, kadar magnesium, kadar fenol, kadar flavonoid, kadar fenol yang bukan
flavonoid, kadar proanthosianin, dan kadar prolina, intensitas warna dan warna
berdasarkan tingkat kecerahannya, dan anggur yang diencerkan pada
OD280/OD315 berdasarkan nilai serapannya.
Prosedur Analisis Data
Data asal merupakan data sekunder yang berasal dari data pengenalan
anggur. Analisis data yang pertama dilakukan dalam karya ilmiah ini ialah
mengamati plot pencar antarpeubah yang dihasilkan kemudian data asal
distandardisasi. AKU kernel akan dianalisis menggunakan dua fungsi kernel yaitu
linear dan isotropik (Gauss dan gelombang). Fungsi Gauss mewakili fungsi
isotropik lainnya dengan grafik fungsi yang ujung-ujung sumbunya relatif landai
dibandingkan dengan fungsi gelombang yang ujung-ujung sumbunya relatif
bergelombang, visualisasi dapat terlihat pada Gambar 3. Deskripsi ketiga fungsi
kernel diberikan pada Tabel 1.
Tabel 1 Fungsi kernel yang diaplikasikan
No.
Jenis fungsi
1
Linear
2
Gauss
3
Gelombang
Fungsi
Pemilihan parameter
pada fungsi kernel didasarkan dengan mencobacoba beberapa nilai yang berbeda dan dipilih parameter dengan hasil yang lebih
baik. Karena pada dasarnya belum ada ketentuan nilai parameter untuk setiap
fungsi kernel. Karya ilmiah ini memilih parameter untuk fungsi Gauss yaitu
dan fungsi gelombang
yaitu
untuk data
pengenalan anggur.
Tiga langkah berikut dilakukan dalam AKU kernel:
1. Menentukan fungsi kernel yang akan digunakan dalam hal ini linear dan
isotropik, kemudian menghitung hasil kali dalam matriks kernel
dengan
. Matriks kernel
8
juga harus dikoreksi terhadap nilai tengah setiap fungsi dengan
.
2. Menyelesaikan permasalahan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
dengan persamaan
. Kemudian dipilih 2 nilai eigen
terbesar dan vektor eigen yang bersesuaian. Dua nilai eigen ini
merupakan varians maksimum dari komponen utama 1 dan komponen
utama 2 secara berturut-turut.
3. Untuk menemukan skor komponen utama kernel dari permasalahan nilai
eigen, proyeksikan pemetaan x atas vektor eigan primal .
.
Selanjutnya visualisasikan plot pencar 2 komponen utama pertama dari
masing-masing fungsi dan parameter.
Pengklasifikasian kelompok dengan AKU kernel dilakukan menggunakan
kuadrat jarak Euclid untuk ruang dimensi dua dengan menghitung jarak terdekat
antara objek dengan rataan dari setiap kelompok sebagai berikut
merupakan objek pada skor komponen utama dan
merupakan ratadengan
rata skor komponen utama dari data asal pada kelompok k . Objek
masuk ke
. Evaluasi hasil dapat diperoleh dengan
dalam kelompok k jika
menghitung jumlah salah klasifikasi dari semua kelompok seperti yang diberikan
pada Tabel 2.
Tabel 2 Klasifikasi kelompok
Kelompok prediksi
Kelompok
asal
n11
n21
n31
n.1
n12
n22
n32
n.2
Salah klasifikasi (SK) didefinisikan sebagai
Total
n13
n23
n33
n.3
n1.
n2.
n3.
n = n..
9
HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis dilakukan terhadap data pengenalan anggur. Gambar 4 sampai 9
memvisualisasikan plot pencar dari beberapa pasang peubah untuk data
pengenalan anggur, diambil beberapa pasang peubah karena dimensi data yang
cukup besar. Pada gambar terlihat bahwa plot pencar hanya terdiri atas satu
kelompok yang berisi baik kelompok 1, 2, dan 3 yang tidak dapat dipisahkan
dengan beberapa data menjadi pencilan. Hal ini tidak cukup baik bila digunakan
dalam menganalisis struktur pada data dan akan menyulitkan dalam
pengklasifikasian data objek ke dalam kelompok tersebut, karena akan
menyebabkan salah klasifikasi yang cukup besar. Oleh karena itu, AKU kernel
akan digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini.
Gambar 4 Alkohol dengan abu
Gambar 5 Alkohol dengan magnesium
Gambar 6 Alkohol dengan asam Gambar
malat
Gambar 8 Prolina dengan asam malat
Gambar
7
9
Flavonoid
dengan
proanthosianin
Total fenol
flavonoid
dengan
Terlihat dari Gambar 4 sampai 9 bahwa hubungan antarpeubah tak terpisah
untuk setiap kelompok. Deskripsi data yang digunakan dapat diamati dalam Tabel
3. Pemilihan parameter pada fungsi kernel didasarkan pada plot pencar dari setiap
10
pasang peubah, dengan mencoba-coba beberapa nilai yang berbeda dan dipilih
parameter dengan hasil yang lebih baik. Karena pada dasarnya belum ada
ketentuan nilai parameter untuk setiap fungsi kernel. Tabel 3 menggambarkan
nilai-nilai yang ada dari setiap peubah. Rata-rata dan simpangan baku (SB) dari
setiap peubah akan digunakan untuk standarisasi data. Karya ilmiah ini akan
menggunakan tiga fungsi kernel yaitu linear (sesuai dengan AKU) dan fungsi
isotropik (Gauss dan gelombang).
Tabel 3 Deskripsi data pengenalan anggur
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Peubah
Alkohol (Al)
Asam malat (AM)
Abu (Ab)
Alkali pada abu (AA)
Magnesium (Mg)
Total fenol (Tf)
Flavonoid (FI)
Fenol yang bukan
flavonoid (FF)
Proanthosianin (Pa)
Intensitas warna (IW)
Warna (Wa)
Anggur yang diencerkan
pada OD280/OD315 (OD)
Prolina (Pr)
Minimum
11.03
0.74
1.36
10
70
0.13
0.09
0.13
Rata-rata
13
2.34
2.37
19.44
99.71
2.28
2.02
0.36
Maksimum
14.83
5.8
3.23
30
162
3.88
5.08
0.66
SB*
0.81
1.11
0.27
3.41
14.27
0.64
1.01
0.12
0.41
1.28
0.48
1.27
1.59
5.06
0.96
2.61
3.58
13
1.71
4
0.57
2.32
0.23
0.71
278
746.89
1680
314.91
* SB = simpangan baku
Analisis data dilakukan pada data yang telah distandardisasi, atau
bersesuaian dengan matriks korelasi. Hal ini dikarenakan varians setiap peubah
memiliki nilai yang cukup besar, sehingga tanpa distandardisasi analisis hanya
akan terfokus pada peubah dengan varians terbesar. Tabel 4 dan Tabel 5 masingmasing menjelaskan matriks kovarians dan matriks korelasi.
Tabel 4 Matriks kovarians
No Peubah
Al
AM
1
Al
2 AM
3 Ab
4 AA
5 Mg
6 TF
7
Fl
8
FF
9
Pa
10 IW
11 Wa
12 OD
13 Pr
0.656
0.089
0.047
-0.852
3.180
0.141
0.198
-0.015
0.062
1.022
-0.012
0.041
163.394
1.252
0.052
1.052
-0.780
-0.246
-0.455
0.040
-0.143
0.645
-0.143
-0.287
-64.452
Ab
AA
Mg
TF
Fl
FF
Pa
IW
Wa
OD
Pr
0.075
0.406 11.657
1.104 -5.209 203.900
0.023 -0.655
2.003 0.412
0.029 -1.107
2.628 0.554 1.013
0.006
0.141
-0.453 -0.036 -0.065 0.015
0.001 -0.370
1.941 0.222 0.374 -0.026 0.328
0.164 -0.095
6.675 -0.090 -0.385 0.037 -0.034 5.374
-0.005 -0.189
0.176 0.063 0.124 -0.007 0.039 -0.276 0.052
0.001 -0.600
0.665 0.317 0.560 -0.044 0.211 -0.706 0.092 0.504
19.193 -468.616 1775.845 99.648 156.148 -12.044 59.554 230.767 16.999 69.923 99166.717
11
Tabel 5 Matriks korelasi
No Peubah
Al
AM
Ab
AA
Mg
TF
Fl
FF
Pa
IW
Wa
OD
1
Al
1.000
2
AM
0.128
1.000
3
Ab
0.214
0.110
1.000
4
AA
-0.308 0.034
0.433
5
Mg
0.275
0.103
0.282 -0.107 1.000
6
TF
0.271
0.033
0.128 -0.299 0.218
1.000
7
Fl
0.243
0.052
0.106 -0.322 0.183
0.858
8
FF
-0.174 -0.003
0.196
9
Pa
0.133
0.032
0.008 -0.189 0.237
0.605
0.648
-0.199
1.000
10
IW
0.544
0.057
0.258 -0.012 0.202
-0.061 -0.165
0.029
-0.025
1.000
11
Wa
-0.064 -0.007 -0.075 -0.242 0.054
0.430
0.539
-0.150
0.296
-0.522
1.000
12
OD
0.071 -0.024
0.003 -0.248 0.066
0.695
0.784
-0.312
0.519
-0.429
0.565
1.000
13
Pr
0.641
0.222 -0.436 0.395
0.493
0.493
-0.234
0.330
0.316
0.236
0.313
0.113
Pr
1.000
1.000
0.344 -0.183 -0.281 -0.300
1.000
Analisis data menggunakan AKU kernel cukup baik memisahkan
antarkelompok dengan menggunakan dua komponen utama pertama. Walaupun
masih ada sebagian kecil objek antarkelompok yang bercampur. Dari ketiga
fungsi yang digunakan terlihat bahwa plot pencar dari dua komponen utama
kernel pertama cukup mampu menggambarkan pola yang terpisah pada data.
Untuk mendapatkan dua komponen utama pertama dari fungsi kernel Gauss dan
gelombang dapat digunakan peranti lunak MATLAB yang dapat dilihat pada
Lampiran 2. Gambar selanjutnya akan memvisualisasikan plot pencar dari dua
komponen utama untuk fungsi kernel linear dan Gauss.
Gambar 10 AKU atau fungsi linear
Gambar 11 Fungsi Gauss dengan parameter
1.000
12
Gambar 12 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 13 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 14 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 15 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 16 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 17 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 18 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 19 Fungsi Gauss dengan parameter
13
Gambar 20 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 21 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 22 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 23 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 24 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 25 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 26 Fungsi Gauss dengan parameter
Gambar 27 Fungsi Gauss dengan parameter
Setelah diperoleh hasil pemisahan yang cukup baik antarkelompok,
selanjutnya akan dibahas tentang pengklasifikasian kelompok menggunakan AKU
kernel. Dengan menggunakan dua komponen utama pertama fungsi kernel linear
dan Gauss memberikan hasil pemisahan antarkelompok yang lebih baik
dibandingkan dengan plot pencar antarpeubah. Pada Tabel 6 dijelaskan jumlah
salah klasifikasi ( ) untuk setiap parameter dari fungsi Gauss.
14
Tabel 6 Hasil salah klasifikasi (SK) fungsi Gauss
SK
SK
1
2
3
4
5
6
7
8
9
45
24
17
13
8
7
7
6
6
25.28%
13.48%
9.55%
7.30%
4.49%
3.93%
3.93%
3.37%
3.3%
10
11
12
13
14
15
16
17
6
4
6
6
7
8
8
8
3.37%
2.25%
3.37%
3.37%
3.93%
4.49%
4.49%
4.49%
Hasil salah klasifikasi (SK) data dari fungsi Gauss dapat terlihat pada
Gambar 28 membentuk tren kuadratik. Dengan menggunakan regresi kuadratik
,
diperoleh SK
dari persamaan
. Untuk SK minimum dengan data
minimum sebesar 1.48% pada
analisis diperoleh sebesar 2.25% pada
, nilai SK pada
sama
dengan nilai SK pada
25
20
SK
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
h0
Gambar 28 Grafik kesalahan klasifikasi (%) terhadap
fungsi Gauss
Gambar selanjutnya akan memvisualisasikan plot pencar dari dua
komponen utama pertama untuk fungsi kernel gelombang.
Gambar 29 Fungsi gelombang dengan Gambar 30
parameter
1
Fungsi gelombang dengan
parameter
2
15
Gambar 31
Fungsi gelombang dengan Gambar 32
parameter
3
Fungsi gelombang dengan
parameter
4
Gambar 33 Fungsi gelombang dengan Gambar 34 Fungsi gelombang dengan
parameter
parameter
Gambar 35
Gambar 37
Fungsi gelombang dengan Gambar 36 Fungsi gelombang dengan
8
parameter
parameter
Fungsi gelombang dengan
parameter
9
Gambar 38
Fungsi gelombang dengan
parameter
10
Dengan menggunakan dua komponen utama pertama fungsi kernel
gelombang memberikan hasil pemisahan antarkelompok yang lebih baik
dibandingkan dengan plot pencar antarpeubah. Pada Tabel 7 dijelaskan jumlah
kesalahan klasifikasi (
) salah klasifikasi untuk setiap parameter dari fungsi
gelombang.
16
Tabel 7 Hasil salah klasifikasi (SK) fungsi gelombang
SK
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
62
21
13
20
31
31
33
33
33
56.18% 34.83% 11.80% 7.30% 11.24% 17.42% 17.42% 18.54% 18.54% 18.54%
Hasil salah klasifikasi (SK) data dari fungsi gelombang membentuk tren
kuadratik, terlihat pada Gambar 38. Dengan menggunakan regresi kuadratik dari
persamaan
diperoleh SK
minimum sebesar 9.5% pada
. Untuk SK minimum dengan data analisis
sedangkan nilai SK pada
adalah
diperoleh sebesar 7.30% pada
16.85%.
Gambar 38 Grafik kesalahan klasifikasi (%) terhadap
fungsi gelombang
Pada dasarnya studi dilakukan pada fungsi Gauss untuk parameter
dan fungsi gelombang untuk parameter
. Namun, untuk
memberikan gambaran hasilnya dipilih parameter untuk fungsi Gauss
dan fungsi gelombang
yang dari masing-masing fungsi dengan nilai
kesalahan yang berbeda-beda.
Fungsi linear memiliki salah klasifikasi sebesar 6.74%. Terlihat bahwa salah
klasifikasi kelompok menggunakan fungsi ini banyak terdapat pada kelompok 2.
Hal ini terjadi karena antarkelompok ini memang sulit dipisahkan secara
keseluruhan dan juga karena jarak yang berdekatan antarkelompok.
Tabel 8 Hasil pengklasifikasian kelompok data dengan fungsi linear
Kelompok asal
1
2
3
1
58
4
0
Kelompok prediksi
2
1
60
0
3
0
7
48
Total
SK
59
71
48
1
11
0
12
6.74%
SK
17
Fungsi Gauss dengan parameter
memiliki salah klasifikasi sebesar
2.25%. Terlihat bahwa salah klasifikasi kelompok menggunakan fungsi ini
banyak terdapat pada kelompok 2. Hal ini juga terjadi karena antarkelompok ini
memang sulit dipisahkan secara keseluruhan dan juga karena jarak yang
berdekatan antarkelompok.
Tabel 9 Hasil pengklasifikasian kelompok data dengan fungsi Gauss
Kelompok asal
1
2
3
1
59
0
0
Kelompok prediksi
2
0
68
1
3
0
3
47
Total
SK
59
71
48
0
3
1
4
2.25%
SK
memiliki salah klasifikasi
Fungsi gelombang dengan parameter
sebesar 7.30%. Terlihat bahwa salah klasifikasi kelompok menggunakan fungsi
ini banyak terdapat pada kelompok 2. Hal ini juga terjadi karena antarkelompok
ini memang sulit dipisahkan secara keseluruhan dan juga karena jarak yang
berdekatan antarkelompok.
Tabel 10 Hasil pengklasifikasian kelompok data dengan fungsi gelombang
Kelompok asal
1
2
3
1
56
3
0
Kelompok prediksi
2
3
63
2
3
0
5
46
Total
SK
59
71
48
3
8
2
13
7.30%
SK
18
KESIMPULAN
Metode analisis data AKU kernel menghasilkan berbagai tipe plot pencar
untuk dua komponen utama pertama bergantung pemilihan fungsi kernelnya.
Dalam pemilihan fungsi kernel yang tepat memberikan pola linear terpisah pada
data sehingga akan mempermudah saat menganalisis. Hasil untuk data pengenalan
anggur menunjukkan bahwa fungsi kernel linear dan isotropik yaitu Gauss pada
dan gelombang
masing-masing menghasilkan salah klasifikasi
sebesar 6.74%, 2.25% dan 7.30%. Terlihat bahwa fungsi Gauss dan linear lebih
baik dari fungsi gelombang dalam mengklasifikan data pengenalan anggur.
19
DAFTAR PUSTAKA
Forina M. 1991. Wine Recognition Data. [Internet]. [diunduh 2014 Jan 20].
Tersedia pada: http://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/wine/
wine.data.
Genton MG. 2001. Classes of Kernels for Machine Learning. Machine Learning
Research. 2. Doi:10.1.1.62.7887.
Jolliffe IT. 2002. Principal Component Analysis. 2nd ed. New York (US):
Springer-Verlag.
Nielsen AA, Canty MJ. 2008. Kernel Principal Component Analysis for Change
Detection. Image and Signal for Remote Sensing XIV. 7109.
Doi:10.1117/12.800141.
Schölkopf B, Smola AJ. 2002. Learning with Kernels. London (UK): The MIT
Press.
Shen Y. 2007. Outlier Detection Using the Smallest Kernel Principal Component.
[Disertasi]. Philadelphia (US): Temple University Graduate Board.
Sugiyama M. 2013. Advanced Data Analysis: Kernel PCA. [Internet]. [diunduh
2014 Jan 20]. Tersedia pada: www.ocw.titech.ac.jp/index.php.
20
Lampiran 1 Data pengenalan anggur
No. Kelompok Al
AM
Ab
AA
Mg
TF
2.8
Fl
1
1
14.23 1.71 2.43 15.6 127
2
1
13.2
3
1
13.16 2.36 2.67 18.6 101
4
1
14.37 1.95 2.5
5
1
13.24 2.59 2.87
6
1
14.2
7
1
14.39 1.87 2.45 14.6
96
2.5
2.52
8
1
14.06 3.15 2.61 17.6 121
FF
Pa
WI
Wa
OD
Pr
3.06 0.28
2.29
5.64 1.04
3.92
1065
1.78 2.14 11.2 100 2.65 2.76 0.26
1.28
4.38 1.05
3.4
1050
0.3
2.81
5.68 1.03
3.17
1185
16.8 113 3.85 3.49 0.24
2.18
7.8
0.86
3.45
1480
2.69 0.39
1.82
4.32 1.04
2.93
735
1.76 2.45 15.2 112 3.27 3.39 0.34
1.97
6.75 1.05
2.85
1450
0.3
1.98
5.25 1.02
3.58
1290
2.6
2.51 0.31
1.25
5.05 1.06
3.58
1295
21
118
2.8
2.8
3.24
9
1
14.83 1.64 2.17
14
97
2.8
2.98 0.29
1.98
5.2
1.08
2.85
1045
10
1
13.86 1.35 2.27
16
98
2.98 3.15 0.22
1.85
7.22 1.01
3.55
1045
11
1
14.1
18
105 2.95 3.32 0.22
2.38
5.75 1.25
3.17
1510
12
1
14.12 1.48 2.32 16.8
95
2.2
2.43 0.26
1.57
5
1.17
2.82
1280
13
1
13.75 1.73 2.41
89
2.6
2.76 0.29
1.81
5.6
1.15
2.9
1320
14
1
14.75 1.73 2.39 11.4
91
3.1
3.69 0.43
2.81
5.4
1.25
2.73
1150
15
1
14.38 1.87 2.38
102
3.3
3.64 0.29
2.96
7.5
1.2
3
1547
16
1
13.63 1.81 2.7
0.3
1.46
7.3
1.28
2.88
1310
17
1
14.3
1.92 2.72
20
120
3.14 0.33
1.97
6.2
1.07
2.65
1280
18
1
13.83 1.57 2.62
20
115 2.95
3.4
0.4
1.72
6.6
1.13
2.57
1130
19
1
14.19 1.59 2.48 16.5 108
3.3
3.93 0.32
1.86
8.7
1.23
2.82
1680
20
1
13.64
2.7
3.03 0.17
1.66
5.1
0.96
3.36
845
21
1
14.06 1.63 2.28
3
3.17 0.24
2.1
5.65 1.09
3.71
780
22
1
12.93
2.65 18.6 102 2.41 2.41 0.25
1.98
4.5
1.03
3.52
770
23
1
13.71 1.86 2.36 16.6 101 2.61 2.88 0.27
1.69
3.8
1.11
4
1035
24
1
12.85
1.6
25
1
13.5
1.81 2.61
26
1
13.05 2.05 3.22
27
1
28
2.16 2.3
3.1
3.8
16
12
17.2 112 2.85 2.91
2.56 15.2 116
16
95
2.48 2.37 0.26
1.46
3.93 1.09
3.63
1015
20
96
2.53 2.61 0.28
1.66
3.52 1.12
3.82
845
25
124 2.63 2.68 0.47
1.92
3.58 1.13
3.2
830
13.39 1.77 2.62 16.1
93
2.85 2.94 0.34
1.45
4.8
0.92
3.22
1195
1
13.3
1.72 2.14
94
2.4
2.19 0.27
1.35
3.95 1.02
2.77
1285
29
1
13.87
1.9
19.4 107 2.95 2.97 0.37
1.76
4.5
1.25
3.4
915
30
1
14.02 1.68 2.21
1.98
4.7
1.04
3.59
1035
31
1
13.73
3.25 0.29
2.38
5.7
1.19
2.71
1285
32
1
13.58 1.66 2.36 19.1 106 2.86 3.19 0.22
1.95
6.9
1.09
2.88
1515
33
1
13.68 1.83 2.36 17.2 104 2.42 2.69 0.42
1.97
3.84 1.23
2.87
990
34
1
13.76 1.53 2.7
0.5
1.35
5.4
1.25
3
1235
35
1
13.51
110 2.35 2.53 0.29
1.54
4.2
1.1
2.87
1095
36
1
13.48 1.81 2.41 20.5 100
2.7
2.98 0.26
1.86
5.1
1.04
3.47
920
37
1
13.28 1.64 2.84 15.5 110
2.6
2.68 0.34
1.36
4.6
1.09
2.78
880
38
1
13.05 1.65 2.55
39
1
13.07
1.5
1.8
1.5
2.52 17.8
126
2.8
2.8
2.7
2.65
2.1
17
16
96
22.5 101
2.65 2.33 0.26
3
19.5 132 2.95 2.74
19
18
98
2.45 2.43 0.29
1.44
4.25 1.12
2.51
1105
15.5
98
2.4
1.37
3.7
2.69
1020
2.64 0.28
1.18
21
40
1
14.22 3.99 2.51 13.2 128
0.2
2.08
5.1
0.89
3.53
760
41
1
13.56 1.71 2.31 16.2 117 3.15 3.29 0.34
2.34
6.13 0.95
3.38
795
42
1
13.41 3.84 2.12 18.8
90
1.48
4.28 0.91
3
1035
43
1
13.88 1.89 2.59
101 3.25 3.56 0.17
1.7
5.43 0.88
3.56
1095
44
1
13.24 3.98 2.29 17.5 103 2.64 2.63 0.32
1.66
4.36 0.82
3
680
45
1
13.05 1.77 2.1
0.28
2.03
5.04 0.88
3.35
885
46
1
14.21 4.04 2.44 18.9 111 2.85 2.65
0.3
1.25
5.24 0.87
3.33
1080
47
1
14.38 3.59 2.28
16
102 3.25 3.17 0.27
2.19
4.9
1.04
3.44
1065
48
1
13.9
1.68 2.12
16
101 3.1
3.39 0.21
2.14
6.1
0.91
3.33
985
49
1
14.1
2.02 2.4
18.8 103 2.75 2.95 0.32
2.38
6.2
1.07
2.75
1060
50
1
13.94 1.73 2.27 17.4 108 2.88 3.54 0.32
2.08
8.9
1.12
3.1
1260
51
1
13.05 1.73 2.04 12.4
92
2.72 3.27 0.17
2.91
7.2
1.12
2.91
1150
52
1
13.83 1.65 2.6
17.2
94
2.45 2.99 0.22
2.29
5.6
1.24
3.37
1265
53
1
13.82 1.75 2.42
14
111 3.88 3.74 0.32
1.87
7.05 1.01
3.26
1190
54
1
13.77
2.79 0.39
1.68
6.3
1.13
2.93
1375
55
1
13.74 1.67 2.25 16.4 118 2.6
2.9
0.21
1.62
5.85 0.92
3.2
1060
56
1
13.56 1.73 2.4
20.5 116 2.96 2.78
0.2
2.45
6.25 0.98
3.03
1120
57
1
14.22
16.3 118 3.2
0.26
2.03
6.38 0.94
3.31
970
58
1
13.29 1.97 2.68 16.8 102
3.23 0.31
1.66
6
1.07
2.84
1270
59
1
13.72 1.43 2.5
3.67 0.19
2.04
6.8
0.89
2.87
1285
60
2
12.37 0.94 1.36 10.6
88
1.98 0.57 0.28
0.42
1.95 1.05
1.82
520
61
2
12.33
101 2.05 1.09 0.63
0.41
3.27 1.25
1.67
680
62
2
12.64 1.36 2.02 16.8 100 2.02 1.41 0.53
0.62
5.75 0.98
1.59
450
63
2
13.67 1.25 1.92
18
94
2.1
1.79 0.32
0.73
3.8
1.23
2.46
630
64
2
12.37 1.13 2.16
19
87
3.5
3.1
0.19
1.87
4.45 1.22
2.87
420
65
2
12.7
19
104 1.89 1.75 0.45
1.03
2.95 1.45
2.23
355
66
2
12.37 1.21 2.56 18.1
98
2.42 2.65 0.37
2.08
4.6
1.19
2.3
678
67
2
13.11 1.01 1.7
78
2.98 3.18 0.26
68
2
12.37 1.17 1.92 19.6
78
2.11
69
2
13.34 0.94 2.36
110 2.53
70
1.9
1.7
1.1
15
17
107
2.68 17.1 115
2.3
2.28
1.45 2.53
3
2.45 2.68 0.27
3
3
3
16.7 108 3.4
16
3
3
2.28
5.3
1.12
3.18
502
2
0.27
1.04
4.68 1.12
3.48
510
1.3
0.55
0.42
3.17 1.02
1.93
750
2
12.21 1.19 1.75 16.8 151 1.85 1.28 0.14
2.5
2.85 1.28
3.07
718
71
2
12.29 1.61 2.21 20.4 103 1.1
1.02 0.375
1.46
3.05 0.906
1.82
870
72
2
13.86 1.51 2.67
25
86
2.95 2.86 0.21
1.87
3.38 1.36
3.16
410
73
2
13.49 1.66 2.24
24
87
1.88 1.84 0.27
1.03
3.74 0.98
2.78
472
74
2
12.99 1.67 2.6
30
139 3.3
2.89 0.21
1.96
3.35 1.31
3.5
985
75
2
11.96 1.09 2.3
21
101 3.38 2.14 0.13
1.65
3.21 0.99
3.13
886
76
2
11.66 1.88 1.92
16
97
1.61 1.57 0.34
1.15
3.8
1.23
2.14
428
77
2
13.03
1.71
16
86
1.95 2.03 0.24
1.46
4.6
1.19
2.48
392
78
2
11.84 2.89 2.23
18
112 1.72 1.32 0.43
0.95
2.65 0.96
2.52
500
79
2
12.33 0.99 1.95 14.8 136 1.9
1.85 0.35
2.76
3.4
1.06
2.31
750
80
2
12.7
81
2
12
82
2
0.9
15
3.04
17
3.87 2.4
23
101 2.83 2.55 0.43
1.95
2.57 1.19
3.13
463
0.92
19
86
2.42 2.26
0.3
1.43
2.5
1.38
3.12
278
18.8
86
2.2
2.53 0.26
1.77
3.9
1.16
3.14
714
2
12.72 1.81 2.2
22
83
2
12.08 1.13 2.51
0.4
1.4
2.2
1.31
2.72
630
84
2
13.05 3.86 2.32 22.5
85
1.65 1.59 0.61
1.62
4.8
0.84
2.01
515
85
2
11.84 0.89 2.58
18
94
2.2
2.21 0.22
2.35
3.05 0.79
3.08
520
86
2
12.67 0.98 2.24
87
2
12.16 1.61 2.31 22.8
18
99
2.2
1.94
0.3
1.46
2.62 1.23
3.16
450
90
1.78 1.69 0.43
1.56
2.45 1.33
2.26
495
88
2
11.65 1.67 2.62
88
1.92 1.61
0.4
1.34
2.6
1.36
3.21
562
89
2
11.64 2.06 2.46 21.6
84
1.95
1.6
0.48
1.35
2.8
1
2.75
680
90
2
12.08 1.33 2.3
23.6
70
2.2
1.59 0.42
1.38
1.74 1.07
3.21
625
91
2
12.08 1.83 2.32 18.5
81
1.6
1.5
0.52
1.64
2.4
1.08
2.27
480
92
2
86
1.45 1.25
0.5
1.63
3.6
1.05
2.65
450
93
2
12.69 1.53 2.26 20.7
80
1.38 1.46 0.58
1.62
3.05 0.96
2.06
495
94
2
12.29 2.83 2.22
18
88
2.45 2.25 0.25
1.99
2.15 1.15
3.3
290
95
2
11.62 1.99 2.28
18
98
3.02 2.26 0.17
1.35
3.25 1.16
2.96
345
96
2
12.47 1.52 2.2
19
162
2.5
2.27 0.32
3.28
2.6
1.16
2.63
937
97
2
11.81 2.12 2.74 21.5 134
1.6 0.099 0.14
1.56
2.5
0.95
2.26
625
98
2
12.29 1.41 1.98
16
85
2.55
0.29
1.77
2.9
1.23
2.74
428
99
2
12.37 1.07 2.1
18.5
88
3.52 3.75 0.24
1.95
4.5
1.04
2.77
660
100
2
12.29 3.17 2.21
18
88
2.85 2.99 0.45
2.81
2.3
1.42
2.83
406
101
2
12.08 2.08 1.7
17.5
97
2.23 2.17 0.26
1.4
3.3
1.27
2.96
710
102
2
12.6
18.5
88
1.45 1.36 0.29
1.35
2.45 1.04
2.77
562
103
2
12.34 2.45 2.46
21
98
2.56 2.11 0.34
1.31
2.8
0.8
3.38
438
104
2
11.82 1.72 1.88 19.5
86
2.5
1.64 0.37
1.42
2.06 0.94
2.44
415
105
2
12.51 1.73 1.98 20.5
85
2.2
1.92 0.32
1.48
2.94 1.04
3.57
672
106
2
12.42 2.55 2.27
22
90
1.68 1.84 0.66
1.42
2.7
0.86
3.3
315
107
2
12.25 1.73 2.12
19
80
1.65 2.03 0.37
1.63
3.4
1
3.17
510
108
2
12.72 1.75 2.28 22.5
84
1.38 1.76 0.48
1.63
3.3
0.88
2.42
488
109
2
12.22 1.29 1.94
19
92
2.36 2.04 0.39
2.08
2.7
0.86
3.02
312
110
2
11.61 1.35 2.7
20
94
2.74 2.92 0.29
2.49
2.65 0.96
3.26
680
111
2
11.46 3.74 1.82 19.5 107 3.18 2.58 0.24
3.58
2.9
0.75
2.81
562
112
2
12.52 2.43 2.17
21
88
1.22
2
0.9
2.78
325
113
2
11.76 2.68 2.92
20
100 1.75 2.03
0.6
1.05
3.8
1.23
2.5
607
114
2
11.41 0.74 2.5
21
88
2.48 2.01 0.42
1.44
3.08
1.1
2.31
434
115
2
12.08 1.39 2.5
22.5
84
2.56 2.29 0.43
1.04
2.9
0.93
3.19
385
116
2
11.03 1.51 2.2
21.5
85
2.46 2.17 0.52
2.01
1.9
1.71
2.87
407
117
2
11.82 1.47 1.99 20.8
86
1.98
0.3
1.53
1.95 0.95
3.33
495
118
2
12.42 1.61 2.19 22.5 108
2.09 0.34
1.61
2.06 1.06
2.96
345
119
2
12.77 3.43 1.98
16
80
1.63 1.25 0.43
0.83
3.4
0.7
2.12
372
120
2
12
3.43
2
19
87
2
1.64 0.37
1.87
1.28 0.93
3.05
564
121
2
11.45
2.4
2.42
20
96
2.9
2.79 0.32
1.83
3.25
0.8
3.39
625
122
2
11.56 2.05 3.23 28.5 119 3.18 5.08 0.47
1.87
6
0.93
3.69
465
123
2
12.42 4.43 2.73 26.5 100
2.2
1.71
2.08 0.92
3.12
365
124
2
13.05
2.62 2.65
2.01
2.6
3.1
380
12
1.51 2.42
1.34 1.9
5.8
24
26
22
2.13 21.5
78
86
2
1.58
2.5
2.55 2.27 0.26
2
1.6
2.13 0.43
0.3
0.73
23
125
2
11.87 4.31 2.39
21
82
2.86 3.03 0.21
2.91
2.8
0.75
3.64
380
126
2
12.07 2.16 2.17
21
85
2.6
2.65 0.37
1.35
2.76 0.86
3.28
378
127
2
12.43 1.53 2.29 21.5
86
2.74 3.15 0.39
1.77
3.94 0.69
2.84
352
128
2
11.79 2.13 2.78 28.5
92
2.13 2.24 0.58
1.76
0.97
2.44
466
129
2
12.37 1.63 2.3
24.5
88
2.22 2.45
0.4
1.9
2.12 0.89
2.78
342
130
2
12.04
2.38
22
80
2.1
1.75 0.42
1.35
2.6
0.79
2.57
580
131
3
12.86 1.35 2.32
18
122 1.51 1.25 0.21
0.94
4.1
0.76
1.29
630
132
3
12.88 2.99 2.4
20
104 1.3
1.22 0.24
0.83
5.4
0.74
1.42
530
133
3
12.81 2.31 2.4
24
98
1.15 1.09 0.27
0.83
5.7
0.66
1.36
560
134
3
12.7
5
0.78
1.29
600
135
3
12.51 1.24 2.25 17.5
85
5.45 0.75
1.51
650
136
3
12.6
18.5
137
3
12.25 4.72 2.54
21
138
3
12.53 5.51 2.64
25
139
3
140
4.3
3.55 2.36 21.5 106 1.7
3
1.2
0.17
0.84
0.58
0.6
1.25
94
1.62 0.66 0.63
0.94
7.1
0.73
1.58
695
89
1.38 0.47 0.53
0.8
3.85 0.75
1.27
720
96
1.79
0.63
1.1
5
0.82
1.69
515
13.49 3.59 2.19 19.5
88
1.62 0.48 0.58
0.88
5.7
0.81
1.82
580
3
12.84 2.96 2.61
24
101 2.32
0.6
0.53
0.81
4.92 0.89
2.15
590
141
3
12.93 2.81 2.7
21
96
1.54
0.5
0.53
0.75
4.6
0.77
2.31
600
142
3
13.36 2.56 2.35
20
89
1.4
0.5
0.37
0.64
5.6
0.7
2.47
780
143
3
13.52 3.17 2.72 23.5
97
1.55 0.52
0.5
0.55
4.35 0.89
2.06
520
144
3
13.62 4.95 2.35
92
0.47
1.02
4.4
2.05
550
145
3
12.25 3.88 2.2
18.5 112 1.38 0.78 0.29
1.14
8.21 0.65
146
3
13.16 3.57 2.15
21
102 1.5
147
3
13.88 5.04 2.23
20
80
0.98 0.34
148
3
12.87 4.61 2.48 21.5
86
1.7
149
3
13.32 3.24 2.38 21.5
92
150
3
13.08
3.9
151
3
13.5
3.12 2.62
24
123 1.4
152
3
12.79 2.67 2.48
22
153
3
13.11
1.9
2.75 25.5 116 2.2
1.28 0.26
154
3
13.23
3.3
2.28 18.5
0.83 0.61
155
3
12.58 1.29 2.1
20
156
3
13.17 5.19 2.32
22
157
3
158
2.46 2.2
20
2
2
0.6
0.8
0.91
2
855
1.3
4
0.6
1.67
830
0.4
0.68
4.9
0.58
1.33
415
0.65 0.47
0.86
7.65 0.54
1.86
625
1.93 0.76 0.45
1.25
8.42 0.55
1.62
650
2.36 21.5 113 1.41 1.39 0.34
1.14
9.4
0.57
1.33
550
1.57 0.22
1.25
8.6
0.59
1.3
500
112 1.48 1.36 0.24
1.26
10.8 0.48
1.47
480
1.56
7.1
0.61
1.33
425
1.87 10.52 0.56
1.51
675
103 1.48 0.58 0.53
1.4
7.6
0.58
1.55
640
93
1.74 0.63 0.61
1.55
7.9
0.61
1.48
725
13.84 4.12 2.38 19.5
89
1.8
0.83 0.48
1.56
9.01 0.57
1.64
480
3
12.45 3.03 2.64
27
97
1.9
0.58 0.63
1.14
7.5
0.67
1.73
880
159
3
14.34 1.68 2.7
25
98
2.8
1.31 0.53
2.7
13
0.57
1.96
660
160
3
13.48 1.67 2.64 22.5
89
2.6
1.1
0.52
2.29 11.75 0.57
1.78
620
161
3
12.36 3.83 2.38
21
88
2.3
0.92
0.5
1.04
7.65 0.56
1.58
520
162
3
13.69 3.26 2.54
20
107 1.83 0.56
0.5
0.8
5.88 0.96
1.82
680
163
3
12.85 3.27 2.58
22
106 1.65
0.6
0.6
0.96
5.58 0.87
2.11
570
164
3
12.96 3.45 2.35 18.5 106 1.39
0.7
0.4
0.94
5.28 0.68
1.75
675
165
3
13.78 2.76 2.3
1.35 0.68 0.41
1.03
9.58
0.7
1.68
615
166
3
13.73 4.36 2.26 22.5
88 0.128 0.47 0.52
1.15
6.62 0.78
1.75
520
167
3
13.45
111 1.7
1.46 10.68 0.85
1.56
695
3.7
2.6
22
23
98
90
1.8
0.55 0.43
0.92 0.43
24
168
3
12.82 3.37 2.3
169
3
170
3
171
172
0.97 10.26 0.72
1.75
685
13.58 2.58 2.69 24.5 105 1.55 0.84 0.39
1.54
8.66 0.74
1.8
750
13.4
4.6
2.86
25
112 1.98 0.96 0.27
1.11
8.5
0.67
1.92
630
3
12.2
3.03 2.32
19
96
1.25 0.49
0.4
0.73
5.5
0.66
1.83
510
3
12.77 2.39 2.28 19.5
86
1.39 0.51 0.38
0.64
9.89 0.57
1.63
470
173
3
14.16 2.51 2.48
91
1.68
0.44
1.24
9.7
0.62
1.71
660
174
3
13.71 5.65 2.45 20.5
95
1.68 0.61 0.52
1.06
7.7
0.64
1.74
740
175
3
13.4
3.91 2.48
23
102
1.8
0.75 0.43
1.41
7.3
0.7
1.56
750
176
3
13.27 4.28 2.26
20
120 1.59 0.69 0.43
1.35
10.2 0.59
1.56
835
177
3
13.17 2.59 2.37
10
120 1.65 0.68 0.53
1.46
9.3
0.6
1.62
840
178
3
14.13
96
1.35
9.2
0.61
1.6
560
4.1
19.5
20
2.74 24.5
88
1.48 0.66
0.7
0.4
2.05 0.76 0.56
Lampiran 2 MATLAB
Fungsi Gauss
Fungsi gelombang
function Z =
gausskpca(X,r,sigma)
[rx,cx] = size(X);
if r > cx
error
end
K = zeros (rx,rx);
for i = 1:rx,
for j=1:i,
K(i,j) = exp(sum(((X(i,:)X(j,:)).^2))/(sigma));
K(j,i)=K(i,j);
end
end
v1 = ones(size(K))/rx;
K = K-v1*K-K*v1+v1*K*v1;
[v,lambda]=eig(K);
for j = 1:size(v,2)
v(:,j)=v(:,j)./(sqrt(lambda(j,j)
));
end
[l,k] =
sort(diag(lambda),'descend');
v = v(:,k);
Z = zeros(rx,r);
for j = 1:r
Z(:,j) = K*v(:,j);
end
plot(Z(1:59,1),Z(1:59,2),'ko',Z(
60:130,1),Z(60:130,2),'go',Z(131
:178,1),Z(131:178,2),'ro')
function Z = wave(X,r,sigma)
[rx,cx] = size(X);
if r > cx
error
end
K = zeros (rx,rx);
for i = 1:rx,
for j=1:i,
if X(i,:)==X(j,:)
K(i,j)=1;
else
K(i,j) = (sigma/sum((X(i,:)X(j,:)).^2))*(sin(sum(X(i,:)X(j,:)).^2/sigma));
end
K(j,i)=K(i,j);
end
end
v1 = ones(size(K))/rx;
K = K-v1*K-K*v1+v1*K*v1;
[v,lambda]=eig(K);
for j = 1:size(v,2)
v(:,j)=v(:,j)./(sqrt(lambda(j,j)
));
end
[l,k] =
sort(diag(lambda),'descend');
v = v(:,k);
Z = zeros(rx,r);
for j = 1:r
Z(:,j) = K*v(:,j);
end
plot(Z(1:59,1),Z(1:59,2),'ko',Z(
60:130,1),Z(60:130,2),'go',Z(131
:178,1),Z(131:178,2),'ro')
25
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada tanggal 30 Mei 1992 di Purworejo Jawa Tengah,
sebagai anak pertama dari pasangan berbahagia Istiadi dan Sapriyah. Penulis lulus
SMA Negeri 1 Anyer dan melanjutkan studi di Institut Pertanian Bogor (IPB)
dengan jalur USMI. Selama menjalankan studi di IPB penulis juga mengikuti
beberapa organisasi yaitu GUMATIKA, UKM Bulutangkis, UKM Beladiri
Merpati Putih, Club Ilmiah Asrama serta beberapa kegiatan di dalamnya.