Penentuan Model Evaporasi Menggunakan Analisis Klaster dan Analisis Komponen Utama Studi Kasus: Data BMKG Kota Medan)

PENENTUAN MODEL EVAPORASI MENGGUNAKAN

KOMBINASI ANALISIS KLASTER DAN

ANALISIS KOMPONEN UTAMA

(Studi Kasus: Data BMKG Kota Medan)

SKRIPSI

HUIDE R. J. MARPAUNG

100803072

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2014

PENENTUAN MODEL EVAPORASI MENGGUNAKAN KOMBINASI ANALISIS KLASTER DAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA

(Studi Kasus: Data BMKG Kota Medan)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

HUIDE R. J. MARPAUNG 100803072

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2014

PERSETUJUAN

Judul : PENENTUAN MODEL EVAPORASI

MENGGUNAKAN ANALISIS KLASTER DAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA (Studi Kasus: Data BMKG Kota Medan)

Kategori : SKRIPSI

Nama : HUIDE R. J. MARPAUNG

Nomor Induk Mahasiswa : 100803072

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Agustus 2014 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Pasukat Sembiring, M.Si Drs. Open Darnius, M.Sc NIP 19531113 198503 1 002 NIP 19641014 199103 1 004

Diketahui/ Disetujui oleh:

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D. NIP 196209011988031002

PERNYATAAN

PENENTUAN MODEL EVAPORASI MENGGUNAKAN KOMBINASI ANALISIS KLASTER DAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA

(Studi Kasus: Data BMKG Kota Medan) SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2014

HUIDE R. J. MARPAUNG 100803072

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus karena atas berkat dan kasih setia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dalam waktu yang telah ditetapkan.

Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini, ucapan terima kasih saya sampaikan kepada:

1. Bapak Drs. Open Darnius, M.Sc selaku pembimbing I dan Bapak Dr. Pasukat Sembiring, M.Si. selaku pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan kepada saya sehingga skripsi ini dapat saya selesaikan.

2. Bapak Drs. Gim Tarigan, M.Sidan BapakDrs. Pengarapen Bangun, M. Si selaku dosen penguji saya.

3. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc dan Ibu Dr. Marpongahtun, M.Sc selaku Dekan dan Pembantu Dekan I Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

4. Bapak Prof. Tulus dan Ibu Dr. Mardiningsih selaku Ketua dan sekretaris Departemen Matematika, semua Dosenbeserta staff pegawai diDepartemen Matematika FMIPA USU .

5. Bapak Kepala Sasiun Klimatologi Klas I BMKG Sampali Medan beserta seluruh staff yang sudah membantu penulis dalam menyediakan data.

6. Teman-teman saya Anna, Jentina, Maria, Nadya Lorenza, Nadya Theresia, Naomi, Yurida, Diky, Junko, Darmenta, Frans, Septian, Joseph, Rival dan semua teman-teman KOMUTATIF 2010, adik-adik stambuk 2011, 2012 dan 2013 yang sudah ikut membantu dan selalu memberi semangat kepada penulis.

7. Dan yang teristimewa adalahorang tua tercinta Bapak J. Marpaung dan Ibu J. R. Siahaan serta adik-adik terkasih: Desti, Edo dan Tahlia yang senantiasa mendoakan penulis untuk menyelesaikan skripsi ini.

Kiranya skripsi ini dapat bermanfaat. Tuhan senantiasa memberkati kita semua.

Medan, 22 Juli 2014 Penulis,

ABSTRAK

Evaporasi merupakan salah satu komponen penting dalam siklus hidrologi. Evaporasi dapat dipengaruhi oleh intensitas radiasi matahari, kecepatan angin, suhu, tekanan dan kelembaban. Faktor-faktor yang memengaruhi evaporasi tersebut dapat berbeda dari satu tempat ke tempat lainnya. Untuk meneliti evaporasi dan faktor-faktornya ini dapat menggunakan beberapa metode Statistika Multivariat. Penelitian ini menggunakan analisis klaster, analisis komponen utama dan analisis regresi. Hasil yang diperoleh adalah bahwa terdapat 2 klaster yang ideal, yaitu temperatur, kecepatan angin, intensitas radiasi matahari dan tekanan sebagai klaster 1, dan kelembaban sebagai klaster 2. Hasil berikutnya adalah terdapat 2 komponen utama yang masing-masing memiliki nilai eigen lebih besar dari 1, yaitu 1.647 dan 1.165. Persamaan regresi dengan variabel baku Z menghasilkan:��= 3.199 + 0.1328�1−0.107�2−0.234�3−0.0804�4−0.349�5.

Kata Kunci: Evaporasi, Analisis Klaster, Analisis Komponen Utama, Analisis Regresi

DETERMINATION OF EVAPORATION MODEL USING THE COMBINATION OF CLUSTER ANALYSIS AND

PRINIPAL COMPONEN ANALYSIS

ABSTRACT

Evaporation is one of the component of hidrology cycle. It can be influenced by intensity of solar radiation, temperature, wind velocity, pressure and humidity. The factors that influence evaporation have differences from one place to another place. Multivariate statistic can be used to analyze evaporation and its factors. Cluster analysis, principal component analysis and regression are used in this research. The results are 2 clusters, they are temperature, wind velocity, intensity of solar radiation and pressure as cluster 1, and humidity as cluster 2. Next result is 2 principal components that each of them has eigen value higher than 1, they are 1.647 and 1.165. Regression model with standard variable Z is ��= 3.199 + 0.1328�1−0.107�2−0.234�3−0.0804�4−

0.349�5.

Keywords: Evaporation, Cluster Analysis, Principal Component Analysis, Regression.

PENENTUAN MODEL EVAPORASI MENGGUNAKAN

KOMBINASI ANALISIS KLASTER DAN

ANALISIS KOMPONEN UTAMA

(Studi Kasus: Data BMKG Kota Medan)

SKRIPSI

HUIDE R. J. MARPAUNG

100803072

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2014

PENENTUAN MODEL EVAPORASI MENGGUNAKAN KOMBINASI ANALISIS KLASTER DAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA

(Studi Kasus: Data BMKG Kota Medan)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

HUIDE R. J. MARPAUNG 100803072

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2014

PERSETUJUAN

Judul : PENENTUAN MODEL EVAPORASI

MENGGUNAKAN ANALISIS KLASTER DAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA (Studi Kasus: Data BMKG Kota Medan)

Kategori : SKRIPSI

Nama : HUIDE R. J. MARPAUNG

Nomor Induk Mahasiswa : 100803072

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Agustus 2014 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Pasukat Sembiring, M.Si Drs. Open Darnius, M.Sc NIP 19531113 198503 1 002 NIP 19641014 199103 1 004

Diketahui/ Disetujui oleh:

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D. NIP 196209011988031002

PERNYATAAN

PENENTUAN MODEL EVAPORASI MENGGUNAKAN KOMBINASI ANALISIS KLASTER DAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA

(Studi Kasus: Data BMKG Kota Medan) SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2014

HUIDE R. J. MARPAUNG 100803072

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus karena atas berkat dan kasih setia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dalam waktu yang telah ditetapkan.

Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini, ucapan terima kasih saya sampaikan kepada:

1. Bapak Drs. Open Darnius, M.Sc selaku pembimbing I dan Bapak Dr. Pasukat Sembiring, M.Si. selaku pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan kepada saya sehingga skripsi ini dapat saya selesaikan.

2. Bapak Drs. Gim Tarigan, M.Sidan BapakDrs. Pengarapen Bangun, M. Si selaku dosen penguji saya.

3. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc dan Ibu Dr. Marpongahtun, M.Sc selaku Dekan dan Pembantu Dekan I Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

4. Bapak Prof. Tulus dan Ibu Dr. Mardiningsih selaku Ketua dan sekretaris Departemen Matematika, semua Dosenbeserta staff pegawai diDepartemen Matematika FMIPA USU .

5. Bapak Kepala Sasiun Klimatologi Klas I BMKG Sampali Medan beserta seluruh staff yang sudah membantu penulis dalam menyediakan data.

6. Teman-teman saya Anna, Jentina, Maria, Nadya Lorenza, Nadya Theresia, Naomi, Yurida, Diky, Junko, Darmenta, Frans, Septian, Joseph, Rival dan semua teman-teman KOMUTATIF 2010, adik-adik stambuk 2011, 2012 dan 2013 yang sudah ikut membantu dan selalu memberi semangat kepada penulis.

7. Dan yang teristimewa adalahorang tua tercinta Bapak J. Marpaung dan Ibu J. R. Siahaan serta adik-adik terkasih: Desti, Edo dan Tahlia yang senantiasa mendoakan penulis untuk menyelesaikan skripsi ini.

Kiranya skripsi ini dapat bermanfaat. Tuhan senantiasa memberkati kita semua.

Medan, 22 Juli 2014 Penulis,

ABSTRAK

Evaporasi merupakan salah satu komponen penting dalam siklus hidrologi. Evaporasi dapat dipengaruhi oleh intensitas radiasi matahari, kecepatan angin, suhu, tekanan dan kelembaban. Faktor-faktor yang memengaruhi evaporasi tersebut dapat berbeda dari satu tempat ke tempat lainnya. Untuk meneliti evaporasi dan faktor-faktornya ini dapat menggunakan beberapa metode Statistika Multivariat. Penelitian ini menggunakan analisis klaster, analisis komponen utama dan analisis regresi. Hasil yang diperoleh adalah bahwa terdapat 2 klaster yang ideal, yaitu temperatur, kecepatan angin, intensitas radiasi matahari dan tekanan sebagai klaster 1, dan kelembaban sebagai klaster 2. Hasil berikutnya adalah terdapat 2 komponen utama yang masing-masing memiliki nilai eigen lebih besar dari 1, yaitu 1.647 dan 1.165. Persamaan regresi dengan variabel baku Z menghasilkan:��= 3.199 + 0.1328�1−0.107�2−0.234�3−0.0804�4−0.349�5.

Kata Kunci: Evaporasi, Analisis Klaster, Analisis Komponen Utama, Analisis Regresi

DETERMINATION OF EVAPORATION MODEL USING THE COMBINATION OF CLUSTER ANALYSIS AND

PRINIPAL COMPONEN ANALYSIS

ABSTRACT

Evaporation is one of the component of hidrology cycle. It can be influenced by intensity of solar radiation, temperature, wind velocity, pressure and humidity. The factors that influence evaporation have differences from one place to another place. Multivariate statistic can be used to analyze evaporation and its factors. Cluster analysis, principal component analysis and regression are used in this research. The results are 2 clusters, they are temperature, wind velocity, intensity of solar radiation and pressure as cluster 1, and humidity as cluster 2. Next result is 2 principal components that each of them has eigen value higher than 1, they are 1.647 and 1.165. Regression model with standard variable Z is ��= 3.199 + 0.1328�1−0.107�2−0.234�3−0.0804�4−

0.349�5.

Keywords: Evaporation, Cluster Analysis, Principal Component Analysis, Regression.

Halaman Judul ... i

Halaman Persetujuan... ii

Pernyataan ... iii

Penghargaan ... iv

Abstrak ... v

Abstract ... vi

Daftar Isi ... vii

Daftar Tabel ... ix

Daftar Gambar ... x

Bab 1 Pendahuluan 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Rumusan Masalah... 2

1.3 Batasan Masalah ... 2

1.4 Tinjauan Pustaka ... 3

1.4 Tujuan Penelitian ... 4

1.5 Kontribusi Penelitian ... 4

Bab 2 Landasan Teori 2.1 Evaporasi ... 5

2.1.1 Pengertian ... 5

2.1.2 Faktor-Faktor Yang Memengaruhi Evaporasi ... 5

2.1.2.1 Radiasi Matahari ... 7

2.1.2.2 Temperatur Udara ... 7

2.1.2.3 Tekanan Udara... 8

2.1.2.4 Kelembaban Udara ... 8

2.1.2.5 Kecepatan Angin ... 9

2.2 Aljabar Matriks ... 9

2.2.1 Definisi ... 9

2.2.3 Operasi Matriks ... 13

2.3 Nilai Eigen dan Vaktor Eigen ... 15

2.4 Matriks Korelasi ... 17

2.5 Analisis Regresi Linier Berganda ... 20

2.5.1 Asumsi Regresi Linier Berganda ... 21

2.5.2 Metode Kuadrat Terkecil (MKT) ... 21

2.5.3 Sifat Penduga Kuadrat Terkecil ... 23

2.6 Uji Regresi Linier ... 24

2.7 Analisis Klaster ... 26

2.7.1 Konsep Dasar ... 26

2.7.2 Melakukan Analisis Klaster ... 27

2.8 Analisis Komponen Utama ... 30

2.8.1 Menentukan Komponen Utama ... 31

2.8.1.1 Komponen Utama Berdasarkan Matriks Kovarian (Ʃ) .... 31

2.8.1.2 Komponen Utama Berdasarkan Matriks Korelasi (�) ... 35

2.8.2 Kriteria Pemilihan Komponen Utama ... 36

2.9 Analisis Regresi Komponen Utama... 36

Bab 3 Metodologi Penelitian ... 39

Bab 4 Pembahasan 4.1 Pengumpulan Data ... 40

4.2 Analisis Klaster ... 43

4.3 Analisis Komponen Utama ... 51

Bab 5 Kesimpulan dan Saran 5.1 Kesimpulan ... 60

5.2 Saran ... 61

Lampiran

Halaman Tabel 4.1 Data Meteorologi Kota Medan Periode Januari 2009 – Desember 2013 41

Tabel 4.2 Variabel yang Dibakukan 44

Tabel 4.3 Variabel Baku untuk Analisis Komponen Utama 52

Tabel 4.4 Matriks Korelasi 53

Tabel 4.5 Nilai Eigen, Proporsi Total Variansi, Proporsi Kumulatif 54

Tabel 4.6 Vektor Eigen 55

Tabel 4.7 Nilai Komponen Utama 55

Tabel 4.8 Analisis Variansi untuk Komponen Utama dan Evaporasi 56

Tabel 4.9 Komponen Utama, Kelembaban (Z5), Evaporasi (Y) 57

Tabel 4.10Analisis Variansi untuk Komponen Utama, Z5 dan Evaporasi 58

Halaman

Gambar 2.1 Pengklasteran Ideal 26

Gambar 2.2Pengklasteran dalam Praktik 27

Gambar 2.3Klasifikasi Prosedur Pengklasteran 28

Gambar 2.4Dendogram Pertalian Tunggal untuk Jarak Antara 5 Variabel 50

ABSTRAK

Evaporasi merupakan salah satu komponen penting dalam siklus hidrologi. Evaporasi dapat dipengaruhi oleh intensitas radiasi matahari, kecepatan angin, suhu, tekanan dan kelembaban. Faktor-faktor yang memengaruhi evaporasi tersebut dapat berbeda dari satu tempat ke tempat lainnya. Untuk meneliti evaporasi dan faktor-faktornya ini dapat menggunakan beberapa metode Statistika Multivariat. Penelitian ini menggunakan analisis klaster, analisis komponen utama dan analisis regresi. Hasil yang diperoleh adalah bahwa terdapat 2 klaster yang ideal, yaitu temperatur, kecepatan angin, intensitas radiasi matahari dan tekanan sebagai klaster 1, dan kelembaban sebagai klaster 2. Hasil berikutnya adalah terdapat 2 komponen utama yang masing-masing memiliki nilai eigen lebih besar dari 1, yaitu 1.647 dan 1.165. Persamaan regresi dengan variabel baku Z menghasilkan:��= 3.199 + 0.1328�1−0.107�2−0.234�3−0.0804�4−0.349�5.

Kata Kunci: Evaporasi, Analisis Klaster, Analisis Komponen Utama, Analisis Regresi

DETERMINATION OF EVAPORATION MODEL USING THE COMBINATION OF CLUSTER ANALYSIS AND

PRINIPAL COMPONEN ANALYSIS

ABSTRACT

Evaporation is one of the component of hidrology cycle. It can be influenced by intensity of solar radiation, temperature, wind velocity, pressure and humidity. The factors that influence evaporation have differences from one place to another place. Multivariate statistic can be used to analyze evaporation and its factors. Cluster analysis, principal component analysis and regression are used in this research. The results are 2 clusters, they are temperature, wind velocity, intensity of solar radiation and pressure as cluster 1, and humidity as cluster 2. Next result is 2 principal components that each of them has eigen value higher than 1, they are 1.647 and 1.165. Regression model with standard variable Z is ��= 3.199 + 0.1328�1−0.107�2−0.234�3−0.0804�4−

0.349�5.

Keywords: Evaporation, Cluster Analysis, Principal Component Analysis, Regression.

PENENTUAN MODEL EVAPORASI MENGGUNAKAN

KOMBINASI ANALISIS KLASTER DAN

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Fenomena alam sekarang sedang menjadi topik yang hangat dibicarakan. Mengingat kehidupan manusia yang juga sangat bergantung pada alam, hal-hal yang berkaitan dengan alam menjadi suatu hal yang perlu diperhatikan. Contohnya adalah siklus hidrologi. Ketersediaan air yang ada sampai sekarang ini berasal dari proses-proses yang terjadi di dalam siklus hidrologi atau sering juga disebut dengan istilah siklus air. Manusia pada dasarnya menginginkan siklus air dapat berlangsung seimbang. Kalau terjadi ketidakseimbangan, beberapa hal yang bisa terjadi adalah: banjir, kekeringan, el nino, dan lain sebagainya.

Salah satu komponen siklus hidrologi adalah evaporasi. Evaporasi dalam pengertian yang sangat sederhana adalah penguapan oleh air yang terjadi di udara. Dalam siklus hidrologi, evaporasi adalah peristiwa yang pertama sekali terjadi, kemudian dilanjutkan dengan proses kondensasi dan terakhir adalah proses infiltrasi (turunnya hujan).

Evaporasi dapat terjadi karena beberapa faktor, seperti: temperatur, kecepatan angin, tekanan udara, radiasi matahari dan kelembaban. Evaporasi juga sangat bergantung kepada karakteristik lokasi sehingga faktor-faktor meteorologi yang berperan dalam proses evaporasi dapat berbeda dari tempat ke tempat lainnya. Mengingat karena evaporasi adalah proses yang pertama sekali terjadi di dalam siklus hidrologi, perlu dilakukan suatu penelitian mengenai evaporasi karena evaporasi ini juga berperan penting dalam kestabilan siklus.

Di dalam statistika multivariat, ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk penelitian tentang evaporasi ini. Analisis regresi misalnya dapat digunakan untuk membuat model evaporasi (variabel terikat) terhadap faktor-faktor yang

memengaruhinya (variabel bebas). Kemudian analisis klaster digunakan untuk mengelompokkan faktor-faktor yang memengaruhi evaporasi. Analisis klaster biasanya digunakan untuk mengelompokkan objek, seperti: orang, kota, pasar. Namun di dalam penelitian ini, penulis mengelompokkan faktor-faktor (variabel bebas) untuk melihat karakteristik evaporasi. Hampir sama dengan analisis klaster, analisis komponen utama juga merupakan salah satu teknik mereduksi data (Supranto, 2010) sehingga nantinya akan didapat komponen-komponen utama mengenai faktor yang memengaruhi evaporasi.

Berdasarkan uraian di atas, maka penulis memberi judul penelian ini “Penentuan Model Evaporasi Menggunakan Kombinasi Analisis Klaster dan Analisis Komponen Utama(Studi Kasus: Data BMKG Kota Medan)”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan pendahuluan di atas, didapati bahwa evaporasi memiliki karakteristik yang berbeda dari satu tempat ke tempat lainnya, sehingga penulis menggunakan metode analisis klaster untuk mengelompokkan faktor-faktor yang memengaruhi evaporasi kota Medan. Setelah itu, penulis menggunakan analisis komponen utama untuk mendapatkan komponen utama dari klaster yang diperoleh dan kemudian memodelkannya dengan menggunakan analisis regresi.

1.3 Batasan Masalah

Agar penelitian yang dilakukan dapat menghasilkan penelitian yang fokus dan akurat, maka diberikan batasan masalah sebagai berikut:

1. penelitian ini menggunakan data meteorologi kota Medan.

2. data yang digunakan adalah data bulanan untuk periode Januari 2009 - Desember 2013 .

3. pengolahan data menggunakan analisis klaster dengan prosedur hierarki, yaitu single linkage method (metode pertalian tunggal), analisis komponen utama dan analisis regresi.

4. pengolahan data menggunakan bantuan softwareSPSS dan Ms. Excel.

1.4 Tinjauan Pustaka

Jain, A. K., Dubes, R. C., (1988) mengatakan bahwa analisis klaster adalah proses pengelompokan objek ke dalam bagian yang memiliki maksud/ arti dari suatu konteks masalah tertentu. Objek-objek tersebut dikelola ke dalam penyajian yang lebih efisien untuk mencirikan populasi.

Supranto, J. (2010) mengatakan bahwa di dalam analisis klaster tidak ada pembedaan variabel bebas dan variabel tak bebas karena analisis klaster mengaji hubungan interdependensi antara seluruh set variabel. Tujuan utamanya ialah mengelompokkan objek (kasus/elemen) ke dalam kelompok-kelompok yang relatif homogen didasarkan pada suatu set variabel yang dipertimbangkan untuk diteliti.

Makridakis (1983) mengatakan terdapat banyak usulan mengenai cara memilih variabel-variabel yang cocok digunakan untuk model akhir. Salah satu diantaranya adalah melakukan analisis komponen utama untuk semua variabel untuk menentukan mana yang merupakan variabel kunci.

Aroef, M. A. (1991) mengatakan bahwa analisis komponen utama bertujuan untuk menyederhanakan variabel yang diamati dengan cara menyusutkan dimensinya. Hal ini dilakukan dengan menghilangkan korelasi variabel melalui transformasi variabel asal ke variabel baru yang tidak berkorelasi. Variabel baru (y) disebut komponen utama yang merupakan hasil transformasi dari variabel asal x yang modelnya dalam catatan matriks adalah:

dimana A adalah matriks yang melakukan transformasi terhadap variabel asal x, sehingga diperoleh vektor komponen y. Secara umum komponen utama ke-j dapat dituliskan sebagai berikut:

�� = �1��1+ �2��2… + �����

1.5 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk :

1. mengelompokkan faktor-faktor yang memengaruhi evaporasi berdasarkan data pengamatan menggunakan analisis klaster

2. mendapatakan komponen utama dari masing-masing klaster menggunakan analisis komponen utama

3. mendapatkan model evaporasi berdasarkan klaster yang telah diperoleh menggunakan analisis regresi

1.6 Kontribusi Penelitian

Adapun kontribusi penelitian ini adalah dapat memperlihatkan karakteristik evaporasi berdasarkan faktor-faktor yang memengaruhinya sehingga dapat digunakan oleh instansi terkait untuk penelitian terhadap evaporasi. Selain itu, penelitian ini dapat dijadikan sebagai referensi untuk peneliti berikutnya.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Evaporasi

2.1.1 Pengertian

Evaporasi adalah salah satu komponen siklus hidrologi, yaitu peristiwa menguapnya air dari permukaan air, tanah,dan bentuk permukaan bukan dari vegetasi lainnya.Evaporasi merupakan proses penguapan air yang berasal dari permukaan bentangan air atau dari bahan padat yang mengandung air (Lakitan, 1994). Sedangkan menurut Manan dan Suhardianto (1999), evaporasi (penguapan) adalah perubahan air menjadi uap air. Air yang ada di bumi bila terjadi proses evaporasi akan hilang ke atmosfer menjadi uap air. Evaporasi dapat terjadi dari permukaan air bebas seperti bejana berisi air, kolam, waduk, sungai ataupun laut. Proses evaporasi dapat terjadi pada benda yang mengandung air, lahan yang gundul atau pasir yang basah. Pada lahan yang basah, evaporasi mengakibatkan tanah menjadi kering dan dapat memengaruhi tanaman yang berada di tanah itu. Mengetahui banyaknya air yang dievaporasi dari tanah adalah penting dalam usaha mencegah tanaman mengalami kekeringan dengan mengembalikan sejumlah air yang hilang karena evaporasi.

2.1.2 Faktor-Faktor yang Memengaruhi Evaporasi

Faktor meteorologi yang memengaruhi evaporasi adalah radiasi matahari, suhu udara, kelembaban udara dan angin. Tempat-tempat dengan radiasi matahari tinggi mengakibatkan evaporasi tinggi karena evaporasi memerlukan energi. Umumnya radiasi matahari tinggi diikuti suhu udara tinggi dan kelembaban udara rendah. Kedua hal ini dapat memacu terjadinya evaporasi. Angin yang kencang membuat kelembaban udara rendah, hal inipun memacu evaporasi (Manan dan Suhardianto, 1999). Laju evaporasi

sangat tergantung pada masukan energi yang diterima. Semakin besar jumlah energi yang diterima, maka akan semakin banyak molekul air yang diuapkan. Sumber energi utama untuk evaporasi adalah radiasi matahari. Oleh sebab itu, laju evaporasi yang tinggi tercapai pada waktu sekitar tengah hari (solar noon). Selain masukan energi, laju evaporasi juga dipengaruhi oleh kelembaban udara di atasnya. Laju evaporasi akan semakin terpacu jika udara diatasnya kering (kelembaban rendah), sebaliknya akan terhambat jika kelembaban udaranya tinggi (Lakitan, 1994). Evaporasi sangat bergantung kepada karakteristik lokasi sehingga faktor-faktor meteorologi yang berperan dalam proses evaporasi dapat berbeda dari tempat ke tempat lainnya.

Faktor-faktor utama yang berpengaruh terhadap evaporasi adalah (Ward, 1967) : 1. Faktor-faktor meteorologi

a. Radiasi Matahari

b. Temperatur udara dan permukaan c. Kelembaban

d. Angin

e. Tekanan Barometer 2. Faktor-faktor Geografi

a. Kualitas air (warna, salinitas dan lain-lain) b. Jeluk tubuh air

c. Ukuran dan bentuk permukaan air 3. Faktor-faktor lainnya

a. Kandungan lengas tanah b. Karakteristik kapiler tanah c. Jeluk muka air tanah d. Warna tanah

e. Tipe, kerapatan dan tingginya vegetasi f. Ketersediaan air (hujan, irigasi dan lain-lain

Penelitian ini membahas faktor-faktor meteorologi yang memengaruhi evaporasi, yaitu: radiasi matahari, suhu udara, tekanan udara, kelembaban dan kecepatan angin.

2.1.2.1 Radiasi matahari (%)

Pada setiap perubahan bentuk zat; dari es menjadi air (pencairan), dari zat cair menjadi gas (penguapan) dan dari es lengsung menjadi uap air (penyubliman) diperlukan panas laten (laten heat). Panas laten untuk penguapan berasal dari radiasi matahari dan tanah. Radiasi matahari merupakan sumber utama panas dan memengaruhi jumlah evaporasi di atas permukaan bumi, yang tergantung letak pada garis lintang dan musim.

Radiasi matahari di suatu lokasi bervariasi sepanjang tahun, yang tergantung pada letak lokasi (garis lintang) dan deklinasi matahari. Pada bulan Desember kedudukan matahari berada paling jauh di selatan, sementara pada bulan Juni kedudukan matahari berada palng jauh di utara. daerah yang berada di belahan bumi selatan menerima radiasi maksimum matahari pada bulan Desember, sementara radiasi terkecil pada bulan Juni, begitu pula sebaliknya. Radiasi matahari yang sampai ke permukaan bumi juga dipengaruhi oleh penutupan awan. Penutupan oleh awan dinyatakan dalam persentase dari lama penyinaran matahari nyata terhadap lama penyinaran matahari yang mungkin terjadi.

2.1.2.2 Temperatur udara (°C)

Temperatur (suhu) udara pada permukaan evaporasi sangat berpengaruh terhadap evaporasi. Semakin tinggi suhu semakin besar kemampuan udara untuk menyerap uap air. Selain itu semakin tinggi suhu, energi kinetik molekul air meningkat sehingga molekul air semakin banyak yang berpindah ke lapis udara di atasnya dalam bentuk uap air. Oleh karena itu di daerah beriklim tropis jumlah evaporasi lebih tinggi, di banding dengan daerah di kutub (daerah beriklim dingin). Untuk variasi harian dan bulanan suhu udara di Indonesia relatif kecil.

Tekanan udara adalah tenaga yang bekerja untuk menggerakkan massa udara dalam setiap satuan luas tertentu. Diukur dengan menggunakan barometer. Satuan tekanan udara adalah milibar (mb).

Tekanan udara akan berbanding terbalik dengan ketinggian suatu tempat sehingga semakin tinggi tempat dari permukaan laut semakin rendah tekanan udarannya. Kondisi ini disebabkansemakin tinggi tempat akan semakin berkurang udara yang menekannya.

2.1.2.4 Kelembaban udara (%)

Pada saat terjadi penguapan, tekanan udara pada lapisan udara tepat di atas permukaan air lebih rendah di banding tekanan pada permukaan air. Perbedaan tekanan tersebut menyebabkan terjadinya penguapan. Pada waktu penguapan terjadi, uap air bergabung dengan udara di atas permukaan air, sehingga udara mengandung uap air.

Udara lembab merupakan campuran dari udara kering dan uap air. Apabila jumlah uap air yang masuk ke udara semakin banyak, tekanan uapnya juga semakin tinggi. Akibatnya perbedaan tekanan uap semakin kecil, yang menyebabkan berkurangnya laju penguapan. Apabila udara di atas permukaan air sudah jenuh uap air tekanan udara telah mencapai tekanan uap jenuh, di mana pada saat itu penguapan terhenti. Kelembaban udara dinyatakan dengan kelembaban relatif (RH).

Indonesia yang merupakan negara kepulauan dengan perairan laut cukup luas mempunyai kelembaban udara tinggi. Kelembaban udara tergantung pada musim, di mana nilainya tinggi pada musim penghujan dan berkurang pada musim kemarau. Di daerah pesisir kelembaban udara akan lebih tinggi daripada di daerah pedalaman.

Penguapan yang terjadi menyebabkan udara di atas permukaan evaporasi menjadi lebih lembab, sampai akhirnya udara menjadi jenuh terhadap uap air dan proses evaporasi terhenti. Agar proses penguapan dapat berjalan terus lapisan udara yang telah jenuh tersebut harus diganti dengan udara kering. Penggantian tersebut dapat terjadi apabila ada angin. Oleh karena itu kecepatan angin merupakan faktor penting dalam evaporasi. Di daerah terbuka dan banyak angin, penguapan akan lebih besar daripada di daerah yang terlindung dan udara diam.

Di Indonesia, kecepatan angin relatif rendah. Pada musim penghujan angin dominan berasal dari barat laut yang membawa banyak uap air, sementara pada musim kemarau angin berasal dari tenggara yang kering.

2.2 Aljabar Matriks

2.2.1 Definisi Matriks

Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom dan baris serta dibatasi tanda “[ ]” atau “( )”.

Suatu matriks dinotasikan dengan symbol huruf besar seperti A, X, atau Z dan sebagainya. Sebuah matriks A yang berukuran m baris dan n kolom dapat ditulis sebagai berikut:

���� = �

�11 �12 … �1� �21 �22 … �2�

⋮ ��1

⋮ ��2

⋱ …

⋮ ���

�

� = ����� ; �= 1, 2, … ,�;� = 1, 2, … ,� Skalar

Skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai, tetapi tidak memiliki arah.

Vektor Baris

Suatu matriks yang terdiri dari satu baris dan n kolom disebut vektor baris.

� = �����

���disebut vektor baris  m = 1

Vektor Kolom

Suatu matriks yang hanya terdiri dari m baris dan satu kolom disebut vektor kolom.

� = ��_���

���disebut vektor kolom  n = 1

Kombinasi Linier

Vektor w merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor �₁,�2, … ,�� jika terdapat

skalar �₁,�₂, … ,�_� sehingga berlaku:

� = �1�1+ �2�2+ … + ���� (2.1)

Jika vektor w = 0, maka disebut persamaan homogen dan �₁,�2, … ,�� disebut

vektor yang bebas linier, yang mengakibatkan �₁ =�₂= ⋯= �_� = 0, tetapi jika ada bilangan �₁,�2, … ,�� yang tidak semuanya sama dengan nol, maka �1,�2, … ,��disebut

vektor yang bergantung linier.

2.2.2 Jenis-jenis Matriks Matriks Kuadrat

Matriks kuadrat adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama banyak. Dalam suatu matriks kuadrat, elemen-elemen �₁₁,�22, … ,��� disebut elemen diagonal

���� = �

�11 �12 … �1� �21 �22 … �2�

⋮ ��1

⋮ ��2

⋱ … ⋮ ��� � Matriks Diagonal

Matriks kuadrat � = �����; �,�= 1, 2, … ,� disebut matrik simetris jika semua elemen di luar diagonal utama adalah nol, �_�� = 0 untuk i ≠ j dan paling tidak satu elemen pada diagonal pokok �_�� ≠0 untuk i = j. Jumlah elemen-elemen diagonal utama suatu matriks kuadrat A disebut trace A ditulis tr(A).

��(�) =�� �_��, (� =�) �=1

���� = �

�11 �12 … �1� �21 �22 … �2�

⋮ ��1

⋮ ��2

⋱ …

⋮ ���

� ��(�) =�₁₁+�₂₂+⋯+�_��

Matriks Simetris

Suatu matriks kuadrat � = �����;�,� = 1, 2, … ,� disebut matriks simetris jika elemen di bawah diagonal utama merupakan cermin dari elemendi atas diagonal utama. Matriks

�� _{=� artinya �}

�� = ��� Contoh: �= � 2 3 1 −3 3 0 6 −2 1 6 −4 8 −3 −2 8 5 � Matriks Identitas

Matriks A disebut matriks identitas dan biasa diberi simbol I.

� =����� = 1 �= 1, 2, … ,� <=>�= �dan untuk

��� = 1 → � =� ��� = 1 → � ≠ �

Matriks nol suatu matriks dengan semua elemennya mempunyai nilai nol. Biasanya diberi simbol 0, dibaca nol.

Matriks Elementer

Suatu matriks nxn dikatakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks identitas nxn yakni Indengan melakukan operasi baris elementer tunggal.

Matriks Segitiga

Matriks � =����� suatu matriks bujur sangkar dikatakan segitiga bawah (lower triangular) jika �_�� = 0 untuk i < j dan matriks �= ����� suatu matriks bujur sangkar dikatakan segitiga atas (upper triangular) jika �_�� = 0 untuk i > j.

Contoh:

Segitiga bawah �= � 5 −1 2 3 0 2 5 5 0 0 3 4 0 0 0 1

�, segitia atas � = � −1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 2 0 5 3 6 3 � Matriks Singular

Matriks kuadrat � = ��_��� dikatakan singular jika semua elemen pada salah satu baris atau kolom adalah nol atau jika semua kofaktor dari elemen suatu baris atau kolom sama dengan nol. Untuk melihat kesigularan suatu matriks adalah dengan menghitung determinan matriks tersebut. Apabila determinannya sama dengan nol, maka matriks tersebut singular.

Matriks Ortogonal

Matriks kuadrat � = ����� dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matriks ortogonal P sehingga berlaku �−1��= �−1AP. Matriks ortogonal didefinisikan sebagai matriks kuadrat yang inversnya sama dengan transposenya, sehingga:

�−1 _=�

2.2.3 Operasi Matriks

Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika �= ����� adalah matriks mxn dan k adalah suatu skalar, maka hasil kali A dengan k adalah �= ����� matiks mxn dengan �_�� =��_��(1≤ � ≤ �, 1≤ � ≤ �).

Perkalian Matriks dengan Matriks

Jika � = ��_��� adalah matriks mxp dan � = ��_��� adalah matriks pxn maka hasil kali dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan AB adalah C matriks mxn. Secara matematik dapat ditulis sebagai berikut:

��� = ��1�1� + ��2�2� + … + ������

= ∑�_�=1�_���_�� (1≤ � ≤ �, 1≤ � ≤ �) (2.2)

Penjumlahan Matriks

Jika �= ����� adalah matriks mxn dan �= ����� adalah matriks mxn maka penjumlahan matriks dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan � = ����� dengan: �_�� = �_�� + �_��(� = 1, 2, … ,�;� = 1, 2, … ,�).

Pengurangan Matriks

Jika �= ����� adalah matriks mxn dan �= ����� adalah matriks mxn maka pengurangan matriks dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan � = ����� dengan: �_�� = �_�� − �_��(� = 1, 2, … ,�;�= 1, 2, … ,�).

Transpose Suatu Matriks

Jika �= ����� adalah matriks mxn maka matriks nxm dengan �′ = ����′ � dan �_��′ = ���(1≤ � ≤ �, 1≤ � ≤ �) disebut dengan transpose dari matriks A.

Matriks secara umum dapat ditulis:

���� = �

�11 �12 … �1� �21 �22 … �2�

⋮ ��1

⋮ ��2

⋱ …

⋮ ���

maka�′_��� = �_��� = �

�11 �12 … �1� �21 �22 … �2�

⋮ ��1

⋮ ��2

⋱ … ⋮ ��� � Determinan Matriks

Misalkan � = ����� adalah matriks nxn. Fungsi determinan dari A ditulis dengan det(A) atau |�| . Secara matematis ditulis:

Det(A) = |�| = ∑(±)�1_�1�2_�2…��_�� dengan �1,�2, … ,�� merupakan himpunan S =

{1, 2, ..., n}.

Invers Matriks

Misalkan A matiks nxn disebut matriks non singular (invertible) jika terdapat matriks B sehinga menyebabkan: ��= �� =�, maka matriks B disebut invers matriks A. Jika tidak terdapat matriks B yang menyebabkan kejadian tersebut, maka matriks A disebut matriks singular (non-invertible).

Secara umum invers matriks A adalah:

�−1 ₌ 1

det(�)��� (�)

Adjoint matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemmennya terdiri dari semua elemen-elemen kofaktor matriks A, dengan �_��adalah kofaktor elemen-elemen

���, �,� = 1, 2, … ,�. Sehingga dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:

���(�) = �

�11 �12 … ��1 �21 �22 … ��2

⋮ �1�

⋮ �2�

⋮ … ⋮ ��� � dengan:

��� = (−1)�+�det�����

Sifat-sifat Invers:

a. Jika A adalah matriks non singular, maka (A-1)-1adalah non singuar dan (A-1)-1 = A

b. Jika A dan B adalah matriks non singular, maka AB adalah non singular dan (AB)-1 = B-1A-1

c. Jika A adalah matriks singular, maka (AT)-1 = (A-1)

2.3 Nilai Eigen dan Vaktor Eigen

Jika A adalah matriks nxn, maka vektor tak nol X di dalam Rn dinamakan vektor eigen (eigen vector) dari A jika AX adalah kelipatan skalar dari X, yakni:

AX = λX (2.3)

untuk suatu skalar λ. Skalar λ ini dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan X dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.

Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran nxn, dari persamaan (2.3) dapat ditulis kembali sebagai suatu persamaan homogen:

(A – λI) X = 0 (2.4)

Dengan I adalah matriks identitas yang berordo sama dengan matriks A, dalam catatan mariks:

���� = �

�11 �12 … �1� �21 �22 … �2�

⋮ ��1

⋮ ��2

⋱ …

⋮ ���

�,�_��� = �

1 0 … 0

0 1 … 0

⋮ 0 ⋮ 0 ⋱ … ⋮ 1 �,�= � �1 �2 ⋮ �� �

AX = λX, X≠ 0 AX = λ IX

AX - λ IX = 0 (A - λ I)X = 0

X ≠ 0 → | A - λ I| = 0 (2.5)

Untuk memperoleh nilai λ,

| A - λ I| = 0 2.5

�(�) = �₀�� + �₁��−1 _{+ … + �}

�−1�+ �� = 0 maka didapatlah n buah akar

λ1,λ2, … ,λn.

Jika nilai eigen �_� disubstitusi pada persamaan (A - λ I)X = 0, maka solusi dari vektor eigen �� adalah (A - λn I)Xn = 0. (2.6)

Jadi apabila matriks�_��� mempunyai akar karakteristik λ1,λ2, … ,λn dan ada

kemungkinan bahwa diantaranya mempunyai nilai yang sama, bersesuaian dengan akar-akar karakteristik ini adalah himpunan vektor-vektor karakteristik yang ortogonal (artinya masing-masing nilai akar karakteristik akan memerikan vektor karakteristik) X₁,X₂, … ,X_n sedemikian sehingga:

��′�� = 0;� ≠ ��,� = 1,2, … ,�

Tanpa menghilangkan sifat umum, vektor-vektor tersebut dapat dibuat normal (standard) sedemikian rupa sehingga �_�′�_� = � untuk semua i, suatu himpunan vektor-vektor ortogonal yang telah dibuat normal (standard) disebut ortogonal set.

Apabila X merupakan matriks nxn, dimana kolom-kolomnya terdiri dari vektor-vektor �� dan kemudian bisa ditulis dengan dua syarat berikut:

1. �_�′�_� = 0, jika � ≠ �

��′�� = 1, jika �= �

2. �′�= �_� sehingga �′ = �−1

Matriks yang mempunyai sifat demikian dinamakan matriks ortogonal.

Definisi:

Misalkan � = ����� matriks nxn. Determinan �(�) =det(� − ��_�) = �

�21− � … �1�

⋮ ⋮ ⋮

��1 … ��� − �

�

dikatakan karakterisitik polinom dari A.

Persamaan �(�) =det(� − ���) = 0 dikatakan persamaan karakterstik dari A.

Matriks korelasi adalah matriks yang di dalamnya terdapat korelasi-korelasi Andaikan X adalah matriks data, �̅ adalah matriks rata-rata dan Σ adalah matriks ragam pragam. Dengan:

�̅= ��1 +��2+⋯+���

� = �_�′ � �̅= � �̅1 �̅2 ⋮ �̅� �= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡�1′

� �2′ �

⋮ �3′

� ⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = 1 ��

�11 �12 … �1� �21 �22 … �2�

⋮ x_�1

⋮ ��2

⋱ … ⋮ ��� � � 1 1 ⋮ 1 �

�̅ = 1

��1 (2.7)

�̅dihitung dari matriks yang dikalikan dengan vektor 1 dan kostanta 1

�.

Selanjutnya persamaan (2.7) dikalikan dengan vektor 1’, sehingga dihasilkan matriks �̅1’.

�̅1’= 1

n�11’ = �

�̅1 �̅1 … �̅1 �̅2 �̅2 … �̅2

⋮

�̅� �̅�⋮ …⋱ ⋮ �̅�

� (2.8)

Kurangkan matriks X dengan persamaan matriks (2.8) yang menghasilkan matriks baku pxn yang dinotasikan dengan V.

� = � −1

��11′= �

�11− �̅1 �12− �̅1 … �1� − �̅1 �21− �̅2 �22− �̅2 … �2� −�̅2

⋮ ��1− �̅�

⋮ ��2− �̅�

⋱ …

⋮ ��� − �̅�

� (2.9)

Matriks (� −1)� adalah perkalian silang antara matriks (2.9) dengan matriks transposenya.

(� −1)�=

�

�11− �̅1 �12− �̅1 … �1� − �̅1 �21− �̅2 �22− �̅2 … �2� −�̅2

⋮ ��1− �̅�

⋮ ��2− �̅�

⋱ …

⋮ ��� − �̅�

� � �

�11 − �̅1 �12− �̅1 … �1� − �̅1 �21 − �̅2 �22− �̅2 … �2� −�̅2

⋮ ��1− �̅�

⋮ ��2− �̅�

⋱ …

⋮ ��� − �̅�

�

= (� −1

��11′)(� − 1

��11′)′ = � �1− 1

Karena

�1−1

�11′� �1− 1 �11′�

′

= 1−1

�11′ −1− 1

�11′ + 1− 1

�211′ = 1−

1 �11′

Sehinga didapat

�= 1

�−1� �1− 1

�11′� �′ (2.10)

Persamaan (2.10) menunjukkan dengan jelas hubungan operasi perkalian matriks data dengan �1−_�111′� dan transpose matriks data. Jika S telah diketahui dari persamaan (2.10), maka S dapat dihubungkan ke matriks korelasi ρ dengan cara:

1. menghitung matriks Σ

��� = 1

� −1�(��� − �̅�)(��� − �̅� �

�=1

) �11 = (�1− �̅1)(�1− �̅1) = (�1− �̅1)2

�12 = (�1− �̅1)(�2− �̅2) �1� = (�1− �̅1)(��− �̅�)

�_2� = (�₂− �̅₂)(�_�− �̅_�) ��� = (��− �̅�)(��− �̅�)=(��− �̅�)2

Σ = �

(�1− �̅1)2 ⋮

(�1− �̅1)(�� − �̅�)

(�1− �̅1)(�2− �̅2) ⋮

(�₂− �̅₂)(�_�− �̅_�) ⋯

⋱ ⋯

(�1− �̅1)(��− �̅�) ⋮

(�_�− �̅_�)2 �

Σ = � �11

⋮ �1�

�12 ⋮ �2�

⋯ ⋱ ⋯

�1� ⋮ ���

�

2. menghitung matriks baku yang isinya adalah simpangan baku, dengan asumsi

� ≠k dihasilkan ��� (�,�) = 0 sehingga dapat ditulis ke dalam bentuk matriks sebagai berikut:

�(���) 1 2⁄

= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢

⎡��11 0 … 0

0 ��₁₁ … 0 ⋮ 0 ⋮ 0 ⋱ … ⋮ ��11⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎤

(�₍1 2_���⁄ ₎)−1 ₌ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 √�11

0 … 0

0 1 √�22 … 0 ⋮ 0 ⋮ 0 ⋱ … ⋮ 1 ����⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

maka dapat dihasilkan matriks korelasi dengan rumus � = (�1 2⁄ ₎−1_(�1 2⁄ ₎−1_�=

⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡√�111 0 … 0

0 1

√�22 … 0

⋮ 0 ⋮ 0 ⋱ … ⋮ 1 ����⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

��11⋮ �1�

�12 ⋮ �2�

⋯ ⋱ ⋯

�1� ⋮ ��� � ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡√�111 0 … 0

0 1

√�22 … 0

⋮ 0 ⋮ 0 ⋱ … ⋮ 1 ����⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ �= ⎣ ⎢ ⎢

⎡√�11�11√�11

⋮ �1�

√�11����

�12

√�11√�22

⋮ �2�

√�22����

⋯ ⋱ ⋯

�1�

√�11����

⋮ ��� ��������⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = � 1 ⋮ �1�

�12 ⋮ �2�

⋯ ⋱ ⋯

�1� ⋮ 1

�

dengan:

��� = _�−1₁∑��=1����_��−�̅_���� ����_��−�̅_���� (2.11)

Untuk i = k menghasilkan r =1

�11 =�

�1− �̅1 √�11 � �

�1− �̅1 √�11 �

= (�1− �̅1)(�1− �̅1) √�11√�11

= 1 ��� = ��� − �̅� ���� � � ��− �̅� ���� �= (�_� − �̅_�)(�_� − �̅_�)

�������� = 1

Dan untuk i ≠ k

�12 =�

�1− �̅1 √�11 � �

�2− �̅2 √�22 �

= (�1− �̅1)(�2− �̅2) √�11√�22 �1� =�

�1− �̅1 √�11 � �

��− �̅� ���� � =

(�₁− �̅₁)(�_�− �̅_�) √�11���� �2� =�

�2− �̅2 √�22 � �

��− �̅� ���� �=

(�1− �̅1)(�� − �̅�) √�22����

2.5 Analisis Regresi Linier Berganda

Dalam perkembangannya, terdapat dua jenis regresi yang sangat terkenal, yaitu regresi linier sederhana dan regresi linier berganda. Regresi linier sederhana digunakan untuk menggambarkan hubungan antara suatu variabel bebas (X) dengan satu variabel tak bebas (Y) dalam bentuk persamaan linier sederhana.

�0+ �1�1i = 1,2, …, n (2.12)

Regresi linier berganda merupakan perluasan dari regresi linier sederhana. Perluasannya terlihat dari banyaknya variabel bebas pada model regresi tersebut. Bentuk umum persamaan regresi linier berganda dapat dinyatakan secara statistik sebagai berikut: �_� = �₀+ �₁�_1�+�₂�_2� + ⋯+ �_��_�� +ɛ_� (2.13)

dengan:

�� = variabel tak bebas �� = variabel bebas �0, ⋯, ��= parameter regresi

ɛ� = variabel gangguan

2.5.1 Asumsi Regresi Linier Berganda

Dalam model regresi linier berganda ada beberapa asumsi yang harus dipenuhi, asumsi tersebut adalah:

1. Nilai rata-rata kesalahan pengganggu nol, yaitu E(��) = 0, untuk i= 1, 2, …, n

2. Varian (�_�) = E(�_�2) = �2, sama untuk semua kesalahan pengganggu (asumsi heterokedastisitas)

3. Tidak ada autokorelasi antara kesalahan pengganggu, berarti kovarian (�_�,�_�) = 0,� ≠ �

4. Variabel bebas �₁,�₂, … ,�_�, konstan dalam sampling yang terulang dan bebas terhadap kesalahan pengganggu ��.

5. Tidak ada multikolinieritas dalam variabel bebas X.

6. �� ~ � (0; �2, artinya kesalahan pengganggu mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 0 dan varian �2.

2.5.2 Metode Kuadrat Terkecil (MKT)

Metode kuadrat terkecil merupakan suatu metode yang paling banyak digunakan untuk menduga parameter-parameter regresi. Pada model regresi linier berganda juga digunakan metode kuadrat terkecil untuk menduga parameter. Biasanya metode kuadrat terkecil ini diperoleh dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat. Misalkan model yang akan diestimasi adalah parameter dari persamaan dengan n pengamatan, maka diperoleh:

�� = �0+ �1�1� +�2�2� + ⋯+ ����� +ɛ� �� = �0+ �1�1� +�2�2� + ⋯+ ����� +ɛ�

⋮

�� = �0+ �1�1� +�2�2� + ⋯+ ����� +ɛ�

Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks:

� =��+ ɛ (2.14)

dengan: �=� �1 �2 �3 �4 � � =�

1 �11 �11 ⋯ �11

1 �₁₁ �11 ⋯ �11 ⋮

1 ⋮ �11

⋮ ⋯ ⋮ �11 ⋯ �11

� � =� �0 �0 �0 �0

� ɛ= � ɛ1 ɛ1 ɛ1 ɛ1 �

Untuk mendapatkan penaksir-penaksir MKT bagi �, maka dengan asumsi klasik ditentukan dua vektor (�̂ dan �̂) sebagai:

�̂ =� �1 �1 �1 �1 � �̂= � �1 �1 �1 �1 �

Persamaan hasil estimasi dari persamaan (2.14) dapat ditulis sebagai:

�=��̂+ ɛ atau

� =� − ��̂ (2.15)

Karena tujuan MKT adalah meminimumkan jumlah kuadrat dari kesalahan, yaitu ∑�_�=1�_�2= minimum, maka:

� �_�2 _{= �} �2 �

�=1

+�_�2+⋯+�_�2

= [�1 �1 … �1]� �1 �1 �1 �1

�= � (2.16)

jadi,

� �� _�2 �=1

=�′� = (� − ��̂)′(� − ��̂ )

= �′� − �̂′�′� − �′��̂+�̂′�′��̂

Oleh karena �̂′�′� adalah skalar, maka matriks transposenya adalah:

��̂′_�′_��′ _{= �}′_��̂

jadi,

�′_�=�′_{� −2�̂}′_�′_{�+�̂′�′��̂ (2.17)}

Untuk menakar parameter �̂,maka �′� harus diminimumkan terhadap �̂, maka:

� ��2 � �=1

�

��̂′�� �� 2 � �=1 �

=�′� −2�̂′�′�+�̂′�′��̂= 0

atau:

�′_{��̂ =�′�}

�̂ = (�′�)−1_{�′� dengan ketentuan det (�′�)}≠ 0 _(2.18)

2.5.3 Sifat Penduga Kuadrat Terkecil

Menurut Sembiring (2003), metode kuadrat terkecil memiliki beberapa sifat yang baik. Untuk menyelidiki sifatnya, pandang kembali model umum regresi linier pada persamaa (2.14). Dalam hal ini, dianggap bahwa � bebas satu sama lain dan E(�) = 0, var = �2. Dengan demikian, maka �(�) =��̂ dan ���(�) =�2_�.

Jadi sifat penduga kuadrat terkecil adalah: 1. Tak bias

Jika ���̂�= � maka �̂ adalah penduga tak bias dari �. Dari persamaan (2.15) diketahui:

�̂= (�′�)−1_�′�

= (�′�)−1_�′_{(��+ �)}

= (�′�)−1_�′_{��+ (�}′_�)−1_�′ _�

= �+ (�′�)−1_�′ _(2.19)

dengan (�′�)−1_�′_{�= 1}

���̂�=�[(�′�)−1_�′_�]

= (�′�)−1_�′ _�(�)

= (�′�)−1_�′_(��)

= (�′�)−1_�′_��

= �� = � 2. Varian minimum

Jika ���(�) =�2_{� maka matriks kovarian untuk �̂ diberikan oleh �}2 ₌

(�′�)−1_{. Jika �(�) =�� dan ���(�) =�}2_{�, maka penduga kuadrat terkecil �̂}

mempunyai varian minimum diantara semua variabel penduga tak bias linier. Bukti:

�����̂�= � ����̂ − ���̂�� ��̂ − ���̂��� ′

� = �[( �+ (�′�)−1_�′_{� − �)(�+ (�}′_�)−1_(�′_{)�)− �}′_]

=�[((�′�)−1_�′_�)((�′_�)−1_�′_�)′_]

= �[(�′�)−1_�′_��′_{�(�′�)}−1_]

= (�′�)−1_�′_�(�′_�)−1_�(�′_�)

= (�′�)−1_��2

= (�′�)−1_�2 _(2.20)

2.6 Uji Regresi Linier

Pengujian nyata regresi adalah sebuah pengujian untuk menentukan apakah ada hubungan linier antara varaiabel tak bebas Y dan variabel bebas �₁,�2, … ,��.

Uji yang digunakan adalah uji mengggunakan statistik F berbentuk:

������� = ���

� � ���

(�−�−1)

� (2.21)

dengan:

JKR = Jumlah Kuadrat Regresi JKS = Jumlah Kuadrat Sisa k = Derajat kebebasan JKR (n– k- 1) = Derajat kebebasan JKS

Dalam uji hipotesis, digunakan daerah kritis:

�0 ditolak jika ������� >������

dengan:

Selanjutnya, jika model regresi layak digunakan akan dilakukan lagi uji terhadap koefisien-koefisien regresi secara terpisah untuk mengetahui apakah koefisien tersebut layak dipakai dalam persamaan atau tidak.

Rumusan hipotesis untuk menguji parameter regresi secara parsial adalah sebagai berikut:

�0 ∶ �� = 0 artinya koefisien regresi ke-� tidak signifikan atau variabel bebas ke-� tidak

berpengaruh nyata terhadap �.

�1 ∶ �� ≠0 artinya koefisien regresi ke-� signifikan atau variabel bebas ke-�

berpengaruh nyata terhadap �.

Statistik uji yang digunakan untuk menguji parameter regresi secara parsial adalah:

������� ��̂��= ��� ���� �����

(2.23)

Jika �������� ��̂_���> �(_�−�−1);�/2, maka �0 ditolak yang artinya variabel bebas ke-�

berpengaruh nyata terhadap �. 2.7 Analisis Klaster

2.7.1 Konsep Dasar

Analisis klaster merupakan suatu kelas teknik, dipergunakan untuk mengklasisfikasi objek atau kasus (responden) ke dalam kelompok yang relatif homogen, yang disebut klaster (cluster). Objek/ kasus/ variabel dalam satu klaster cenderung mirip satu sama lain dan berbeda jauh (tidak sama) dengan objek dari klaster lainnya. Analisis klaster disebut juga analisis klasifikasi atau taksonomi numerik (numerical taxonomy). Setiap objek hanya masuk ke dalam 1 klaster saja, tidak terjadi tumpang tindih (overlapping) (Supranto, 2010).

(X2)

(X1)

Gambar 2.1 menunjukkan hasil pengklasteran yang ideal, di mana setiap objek/ variabel/ kasus hanya masuk atau menjadi anggota dari salah satu klaster (tidak mungkin menjadi anggota dari dua klaster atau lebih). Gambar 2.1 menunjukkan situasi di mana klaster dipisahkan secara berbeda (distincly separated) pada dua variabel. Perhatikan bahwa setiap objek/ kasus/ variabel hanya masuk ke dalam1 klaster dan tidak terjadi tumpang tindih, kalster saling meniadakan (mutually exclusive).

Sebaliknya pada gambar 2.2 menunjukkan hasil pengklasteran yang sering terjadi dalam praktik, yaitu terjadi tumpang tindih, artinya objek/ variabel yang seharusnya menjadi anggota klaster 1, menjadi anggota klaster 2, dan sebaliknya.

Gambar 2.2: Pengklasteran dalam praktik (X2)

2.7.2 Melakukan Analisis Klaster

Adapaun langkah-langkah yang diperlukan untuk melakukan analisis klaster adalah: 1. Merumuskan Masalah

Hal yang paling penting dalam perumusan masalah analisis klaster ialah pemilihan variabel-variabel yang akan digunakan untuk pengklasteran Memasukkan satu atau dua varaiebel yang tidak relevan akan mendistorsi hasil pengklasteran yang kemungkinan besar sangat bermanfaat.

Pada dasarnya set variabel yang dipilih harus menguraikan kemiripan (similarity), yang memang benar-benar relevan dengan permasalahn yang akan dibahas.

2. Memilih Ukuran Jarak

Oleh karena tujuan analisis klaster adalah untuk mengelompokkan objek/ variabel yang mirip dalam klaster yang sama, maka beberapa ukuran diperlukan untuk mengakses seberapa mirip atau berbeda objek/ objek atau varaiabel/ varaiabel tersebut.Pendekatan yang paling biasa ialah mengukur kemiripan dinyatakan dalam jarak (distance) antara pasangan objek.

Ukuran kemiripan yang yang paling biasa dipakai ialah jarak euclidean (euclidean distance) atau nilai kuadratnya yang merupakan akar dari jumlah kuadrat perbedaan/ deviasi di dalam nilai untuk setiap variabel. Rumusnya adalah sebagai berikut:

�(�,�) =�(∑ �_� − �_�)2 _(2.25)

3. Memilih Suatu Prosedur Pengklasteran

Gambar 2.3: Klasifikasi Prosedur Pengklasteran

Clustering Procedure

Hierarchical

Devisive

Agglomerative Sequential Paralle Optimizing

Prosedur pengklasteran bisa hierarki dan bisa juga non hierarki. Pengklasteran hierarki ditandai dengan pengembangan suatu hierarki atau struktur mirip pohon (tree like structure). Metode hierarki bisa aglomeratif atau devisif (agglomerative or divisive).

Pengklasteran agglomeratif dimulai dengan setiap objek dalam suatu klaster yang terpisah. Klaster dibentuk dengan mengelompokkan objek/ variabel ke dalam klaster yang semakin membesar., yaitu semakin banyak elemen atau objek yang menjadi anggotanya. Proses ini dilanjutkan sampai semua objek menjadi anggota dari suatu klaster tunggal. Sebaliknya pengklasteran devisif dimulai dari semua objek dikelompokkan menjadi klaster tunggal. Kemudian klaster dibagi atau dipisah, sampai setiap objek berada di dalam klaster yang terpisah.

Hasil dari kedua metode agglomeratif dan devisif bisa disajikan dalam bentuk dendogram, sebagai suatu diagram dua dimensi. Di sini akan dibahas prosedur agglomerasi hierarkis, khususnya metode pertalian (linkage method), yaitu single linkage method (metode pertalian tunggal), complete linkage method (metode pertalian lengkap), average linkage method (metode pertalian rata-rata).

Berikut adalah langkah-langkah di dalam pengklasteran agglomeratif hierarkis untuk mengelompokkan N objek (responden/ kasus/ variabel).

a. Mulai dengan N kelompok (klaster), masing-masing kelompok suatu objek tunggal dan matriks simetris N x N berjarak D = {dik}.

Centroid Variance

Linkage

Ward’s Method

Average Linkage Complete Linkage

b. Selidiki jarak matriks untuk pasangan kelompok yang paling mirip atau paling dekat. Misalkan jarak yang paling mirip yaitu U dan V = duv.

c. Gabungkan kelompok atau klaster U dan V.

Klaster ini disebut klaster (UV). Perbaharui entry di dalam matriks jarak dengan:

i. Menghapus/ menghilangkan baris dan kolom, sesuai dengan klaster U dan V.

ii. Tambah satu baris dan kolom memberikan jarak antara klaster (UV) dan sisa klaster.

d. Ulangi langkah (2 dan 3) sebanyak (N-1) kali.

Seluruh objek akan berada dalam 1 klaster/ kelompok setelah algoritma selesai. Catat identitas klaster yang digabung dan tingkatan (distance or similarities) pada saat mana penggabungan terjadi.

Jenis prosedur pengklasteran yang kedua yaitu metode nonhierarki atau yang sering disebut K-means clustering sangat berbeda dengan metode hierarki. Dalam metode ini, kita terlebih dahulu menentukan jumlah klaster dan pusat klaster sembarang, sehingga hasil klaster bergantung pada bagaimana pusat (center) dipilih. 4. Menentukan Banyaknya Klaster

Isu utama dalam analisis klaster ialah menetukan berapa banyaknya klaster. Dalam kenyataannya, tidaka ada aturan baku untuk menentukan berapa sebetulnya banyaknya klaster, namun demikian ada beberapa petunjuk yang bisa dipergunakan, yaitu:

a. Pertimbanngan teoritis, konseptual, praktis, mungkin bisa diusulkan/ disarankan untuk menetukan berapa banyaknya klaster yang sebenarnya.

b. Di dalam pengklasteran hierarki, jarak dimana klaster digabung bisa dipergunakan sebagai kriteria. Hal paling mudah adalah dengan melihat dendogram.

c. Di dalam pengklasteran nonhierarki, rasio jumlah varian dalam klaster dengan jumlah varian antarklaster dapat diplotkan melawan banyaknya klaster, di luar titik ini biasanya tidak perlu.

5. Menginterpretasi dan Memprofil Klaster

2.8 Analisis Komponen utama

Analisis komponen utama merupakan teknik statsistik yang dapat digunakan untuk mereduksi sejumlah variabel bebas menjadi beberapa variabel baru yang bersifat orthogonal dan tetap mempertahankan total keragaman dari variabel asalnya.

Analisis komponen utama bertujuan untuk mengubah dari sebagian besar variabel asli yang digunakan yang saling berkorelasi menjadi satu set variabel baru yang lebih kecil saling bebas dan merupakan kombinasi linier dari variabel asalnya. Selanjutnya variabel baru ini dinamakan komponen utama (principal component). Secara umum tujuan dari analisis komponen utama adalah mereduksi dimensi data sehingga lebih mudah untuk menginterpretasikan data tersebut.

2.8.1 Menentukan Komponen Utama

Komponen utama ditentukan melalui matriks kovarian (Ʃ) dan matriks korelasi (�) dari

�1,�2, … ,��. Matriks kovarian Ʃdigunakan untuk membentuk komponen utama apabila

semua variabel yang diamati mempunyai satuan pengukuran yang sama. Sedangkan matriks korelasi � digunakan apabila variabel yang diamati tidak mempunyai satuan pengukuran yang sama. Variabel tersebut perlu dibakukan, sehingga komponen utama berdasarkan matriks korelasi ditentukan dari variabel baku.

2.8.1.1 Komponen Utama Berdasarkan Matriks Kovarian (Ʃ)

Dipunyai matriks kovarianƩdari � buah variabel, �₁,�2, … ,��. Total varian dari

variabel-variabel tersebut didefinisikan sebagai ��(Ʃ) =�����(Ʃ) yaitu penjumlahan dari unsur diagonal matriks Ʃ. Melalui matriks kovarian Ʃ bisa diturunkan akar ciri-akar

cirinya, yaitu: �₁ ≥ �₂ ≥ ⋯ ≥ �_� ≥0 dan vektor ciri-vektor cirinya �₁,�2, … ,��.

Komponen utama dari vektor berukuran �× 1,�=��1,�2, … ,��� ′

adalah kombinasi linier terbobot dari variabel asal yang dapat menerangkan keragaman terbesar.

Komponen utama pertama dapat dituliskan sebagai:

�1 = �11�1+�12�2+⋯+�1���

�1 =�1′� (2.29)

dengan:

�1′�=��11,�12, … ,�1�� ′

dan �₁′�₁ = 1

Varian dari komponen utama pertama adalah:

�2_�

1 =� � ��1��1��� �

�=1 �

�=1

= �1′ ∑ �1 (2.30)

Vektor pembobot �′ adalah vektor normal, koefisisen �_�1 adalah unsur-unsur dari vektor ciri yang berhubungan dengan akar ciri terbesar �₁ yang diturunkan dari matriks kovarian Ʃ dipilih sedemikian sehingga �2�₁ mencapai maksimum dengan kendala �₁′�₁ = 1. Menggunakan teknik pemaksimuman berkendala Lagrange diperoleh persamaan:

�(�₁,�₁) =�2_�

1− �1(�1′�1−1) =�1′ � �1− �1(�1′�1−1)

Fungsi ini mencapai maksimum jika turunan parsial pertama �(�₁,�1) terhadap �1 sama dengan nol.

��(�1,�1)

��1 = 2∑ �1 −2�1�1 = 0

atau ∑ �₁ = �1�1 (2.31)

Persamaan (2.31) dipenuhi oleh �₁ dan �₁ yang merupakan pasangan akar ciri dan vektor ciri matriks Ʃ. Akibatnya, �₁′ ∑ �₁ =�₁′�1�1 =�1�1′�1 = �1. Oleh karena itu,

varian �₁ = �2�1 =�1′ ∑ �1 = �1 harus maksimum, maka �1 adalah akar ciri yang

terbesar dari matriks Ʃdan�₁ adalah vektor ciri yang bersesuaian dengan �₁.

Komponen utama kedua adalah kombinasi linier terbobot variabel asal yang tidak berkorelasi dengan komponen utama pertama, serta memaksimumkan sisa kovarian data setelah diterangkan oleh komponen utama pertama. Komponen utama kedua dapat dituliskan sebagai:

�2 = �21�1+�22�2+⋯+�2���

�2 = �2′� (2.32)

dengan:

�2′�= ��21,�22, … ,�2�� ′

dan �₂′�₂ = 1

Vektor pembobot �′ adalah vektor normal yang dipilih sehingga keragaman komponen utama kedua maksimum, serta orthogonal terhadap vektor pembobot �₁′ dari komponen utama pertama. Agar varian dari komponen utama kedua maksimum, serta antara komponen utama kedua tidak berkorelasi dengan komponen utama pertama, maka vektor pembobot �₂ dipilih sedemikan sehingga �₂ =�2′� tidak berkorelasi

dengan �₁= �₁′�. Varian komponen utama kedua (�₂) adalah:

�2_�

2 = � � ��2��2��� �

�=1 �

�=1

= �₂′ ∑ �2 (2.33)

Varian tersebut akan dimaksimumkan dengan kendala �₂′�₂ = 1 dan

���(�₁,�2) =���(�1�,�2�) =�1′ ∑ �2 = 0. Karena �1 adalah vektor ciri dari Ʃ dan Ʃ

adalah matriks simetris, maka: �₁′Ʃ= (Ʃ�₁)′ = (��₁)′ = ��₁′.

Kendala �₁′ ∑ �₂ =��₁′�2 = 0 dapat dituliskan sebagai �1′�2 = 0. Jadi fungsi

Lagrange yang dimaksimumkan adalah:

Fungsi ini mencapai maksimum jika turunan parsial pertama �(�₂,�₂,�) terhadap �₂ sama dengan nol, sehingga diperoleh:

��(_�1,�1,�)

��2 = 2∑ �2−2�2�2− � ∑ �1 = 0 (2.35)

Jika persamaan (2.35) dikalikan dengan �₁′ maka diperoleh: 2�₁′ ∑ �₂ −2�₂�₁′�₂− ��₁′ ∑ �₁ = 0 (karena ∑ �₁ = �₁�₁)

2�₁′ � �₂−2�₂�₁′�₂− ��₁�₁′�₁ = 0 2�₁′ � �2 −0− ��1 = 0

Oleh karena 2�₁′ ∑ �2 = 0 maka �= 0. Dengan demikian persamaan (2.35) setelah

diturunkan terhadap �₂ menjadi

��(�₁,�1,�) ��2

= 2� �₂−2�₂�₂ = 0

∑ �2− �2�2 = 0 (2.36)

Jadi �₂ dan �₂ merupakan pasangan akar ciri dan vektor ciri dari matriks varian kovarian Ʃ. Seperti halnya penurunan pada pencarian �₁, akan diperoleh bahwa �₁ adalah vektor yang bersesuaian dengan akar ciri terbesar kedua dari matriks Ʃ.

Secara umum komponen utama ke-j dapat dituliskan sebagai berikut:

�� =�1��1+�2��2+⋯+�����

�� = ��′� (2.37)

dengan:

��′ = ���1,��2, … ,���� ′

dan �_�′�� = 1

vektor pembobot �_�′ diperoleh dengan memaksimumkan keragaman komponen utama ke-j, yaitu:

�2_�

� =��′∑ �� (2.38)

dengan kendala:

�_�′_�

Dengan kendala ini, maka akar ciri �_� dapat diinterpretasikan sebagai ragam komponen utama ke-j sesama komponen utama tidak berkorelasi.

Vektor pembobot �_�′ yang merupakan koefisien pembobot variabel asal bagi komponen utama ke- j diperoleh dari matriks peragam Ʃ yang diduga dengan matriks S berikut:

�= 1

�−1∑ (�ℎ− �̅)(�ℎ− �̅) ′ �

ℎ=1 (2.39)

2.8.1.2 Komponen Utama Berdasarkan Matriks Korelasi (�)

Jika variabel yang diamati tidak mempunyai satuan pengukuran yang sama, maka varaiabel tersebut perlu dibakukan sehingga komponen utama ditentukan dari variabel baku (Vincent Gasperz, 1991). Variabel asal perlu ditransformasi ke dalam variabel baku Z, dalam catatan matriks adalah:

� =�−µ

� (2.40)

dengan:

Z = variabel baku X = variabel asal

µ = rata-rata variabel asal σ = standard deviasi

Komponen utama dari Z dapat ditentukan dari vektor ciri yang diperoleh melalui matriks korelasi yang diduga dengan matriks �, dimana vektor pembobot �_�′ diperoleh dengan memaksimumkan keragaman komponen utama ke- j dengan kendala: �_�′�_� = 1, serta �_�′�_� = 0, untuk � ≠ �.

Semua formula yang telah diturunkan berdasarkan variabel-variabel �₁,�₂, … ,�_� dengan matriks Ʃ akan berlaku untuk peubah-peubah �₁,�₂, … ,�_� dengan nilai matriks

Sehingga diperoleh komponen utama ke- jdengan menggunakan variabel baku yaitu:

�� = ��′�

dengan:

�� = komponen utama ke- j ��′ = vektor ciri ke- j � = variabel baku

2.8.2 Kriteria Pemilihan Komponen Utama

Salah satu tujuan dari analisis komponen utama adalah mereduksi dimensi data asal yang semula terdapat p variabel bebas menjadi k komponen utama (dimana �< �). Kriteria pemilihan k didasarkan pada akar ciri yang lebih besar dari satu, dengan kata lain hanya komponen utama yang memiliki akar ciri lebih besar dari satu yang dilibatkan dalam analisis.

2.9 Analisis Regresi Komponen Utama

Aroef, M. A. (1991) mengatakan bahwa analisis komponen utama bertujuan untuk menyederhanakan variabel yang diamati dengan cara menyusutkan dimensinya. Hal ini dilakukan dengan menghilangkan korelasi variabel melalui transformasi variabel asal ke variabel baru yang tidak berkorelasi. Variabel baru (y) disebut komponen utama yang merupakan hasil transformasi dari variabel asal x yang modelnya dalam catatan matriks adalah:

y= Ax

dimana A adalah matriks yang melakukan transformasi terhadap variabel asal x, sehingga diperoleh vektor komponen y. Secara umum komponen utama ke-j dapat dituliskan sebagai berikut:

�� = �1��1+ �2��2… + �����

Regresi komponen utama adalah teknik yang digunakan untuk meregresikan komponen utama dengan variabel tak bebas melalui metode kuadrat terkecil. Tahap pertama pada prosedur regresi komponen utama yaitu menentukan komponen utama yang merupakan kombinasi linier dari beberapa variabel X, dan tahap kedua adalah variabel tak bebas diregresikan pada komponen utama dalam sebuah model regresi linier.

Persamaan regresi komponen utama berdasarkan matriks kovarian pada dasarnya hampir sama dengan persamaan regresi komponen utama berdasarkan matriks korelasi yaitu variabel X1, X2, …, Xp diganti dengan variabel baku Z1, Z2, …, Zp. Kedua persamaan tersebut digunakan sesuai dengan pengukuran variabel-variabel yang diamati.

Apabila diberikan notasi W1, W2, …, Wksebagai banyaknya komponen utama yang dilibatkan dalam analisis regresi komponen utama, dimana k lebih kecil daripada banyaknya variabel penjelas asli X, yaitu sejumlah p(k<p). Maka bentuk umum persamaan regresi komponen utama adalah:

� = �₀ + �₁�₁+ �₂�₂ + … + ���_� (2.41) dengan:

Y = variabel tak bebas

Wi = variabel komponen utama

δi = parameter model regresi komponen utama

Komponen utama merupakan kombinasi linier dari variabel Z:

�1 = �11�1+ �21�2+ … + ��1��

�2 = �12�1+ �22�2+ … +��2��

. . . … . . . . … .

�� = �1��1+ �2��2+ … + �����

dengan:

Wi = komponen utama

αij =koefisien komponen utama Zi = variabel baku

Komponen utama W1, W2, …, Wkdalam persamaan di atas disubstitusikan ke dalam persamaan bentuk umum regresi komponen utama, kemudian diselesaikan secara aljabar, maka diperoleh:

Ŷ= �0+ �1�1+ �2�2+ … + ���� (2.42)

dengan:

β0 = δ0 = Ŷ

β1 = δ1α11+ δ2α12+ … + δkα1k . . . … . . . . … . . . . … . β p = δ1αp1+ δ2αp2+ … + δkαpk

BAB 3

METODOLOGI PENELITIAN

Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Studi Literatur

Tahap ini dilakukan dengan mengidentifikasi permasalahan, mengkaji dan memahami teori-teori yang dipelajari diantaranya mengenai evaporasi, konsep dasar analisis klaster, analisis komponen utama dan regresi. Penelusuran referensi ini bersumber dari buku, jurnal penelitian maupun situs internet mengenai hal-hal yang berhubungan dengan evaporasi,analisis klaster, analisis komponen utama dan regresi.

2. Mengumpulkan data, yaitu dengan melakukan peninjauan dan pengambilan data di stasiun Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG) Stasiun Klimatologi Klas I Sampali Medan secara langsung.

Coefficientsa

Model

Unstandardized Coefficients

Standardized Coefficients

t Sig.

B Std. Error Beta

1 (Constant) -90.003 104.151 -.864 .391

Temperatur 3.601 3.117 .210 1.156 .253

Kecepatan Angin 5.241 6.031 .130 .869 .389

Intensitas Radiasi Matahari -.053 .101 -.075 -.528 .600

Tekanan .202 .172 .162 1.174 .245

Kelembaban .405 .368 .187 1.099 .277

a. Dependent Variable: Evaporasi

Lampiran Hasil Menggunakan Ms. Excel

Tabel untuk Menghitung Nilai

Z

Penga-matan Waktu

Temperatur (°C)

Kecepatan Angin (m/s)

Tekanan Udara (mb)

Intensitas Radiasi Matahari (%)

Kelembaban (%)

Evaporasi (mm)

1 Januari 2009 26.6 1.66 1010.9 42 82 2.57

2 Februari 2009 27.4 1.65 1009.6 51 81 2.97

3 Maret 2009 27.5 1.81 1009.6 54 81 2.94

4 April 2009 28.2 2.01 1009.1 58 81 3

5 Mei 2009 28.3 2.03 1008.2 57 81 2.88

6 Juni 2009 28.7 1.94 1009.3 58 78 3.71

7 Juli 2009 28 2.1 1009 65 81 3.21

8 Agustus 2009 27.8 1.55 1009.2 12 83 3.05

9 September 2009 27.7 1.53 1009.6 46 82 2.76

10 Oktober 2009 27 1.62 1010.5 40 84 2.06

12 Desember 2009 27.2 1.7 1010.4 51 83 2.33

13 Januari 2010 27.3 1.99 1011.1 47 82 2.81

14 Februari 2010 28.5 2.08 1010.1 61 79 3.43

15 Maret 2010 28.7 2.23 1010.1 12 78 3.68

16 April 2010 28.7 1.76 1009.6 10 81 3.17

17 Mei 2010 29.2 1.65 1007.7 32 79 2.61

18 Juni 2010 28.3 1.61 1009.7 32 81 3.26

19 Juli 2010 27.7 1.68 1009.1 35 83 2.66

20 Agustus 2010 27.8 1.66 1008.8 34 81 3.08

21 September 2010 27.7 1.3 1009.3 32 80 4.26

22 Oktober 2010 28.1 1.43 1008.6 22 80 3.16

23 November 2010 27.1 1.31 1008.7 21 83 2.73

24 Desember 2010 26.7 1.22 1008.1 15 84 2.06

25 Januari 2011 26.6 1.33 1009.1 27 83 3.68

26 Februari 2011 27.5 1.29 1009.4 60 81 3.01

27 Maret 2011 27.4 1.43 1008.9 15 82 3.67

28 April 2011 27.8 1.4 1009.3 13 82 2.98

29 Mei 2011 28.2 2.05 1009.4 25 82 3.82

30 Juni 2011 28.2 1.4 1008.5 27 81 6.53

31 Juli 2011 28.1 1.48 1008.5 48 82 2.36

32 Agustus 2011 27.6 1.45 1009.1 22 83 1.96

33 September 2011 27.5 1.45 1009.8 18 82 2.04

34 Oktober 2011 27.2 1.61 1009.6 25 83 2.38

35 November 2011 26.9 0.81 1009.8 30 85 1.75

36 Desember 2011 26.6 0.86 1009.7 22 85 2.64

37 Januari 2012 26.7 1.29 1009.9 37 83 1.96

38 Februari 2012 27.5 1.56 1008.9 27 81 2.4

39 Maret 2012 27.5 2.22 1008.7 34 81 2.51

40 April 2012 27.8 1.41 1009.6 27 81 2.28

41 Mei 2012 28.1 1.98 1008.5 24 80 3.33

42 Juni 2012 28.5 1.29 1008.8 42 75 2.77

43 Juli 2012 27.6 1.13 1008.6 26 79 2.25

44 Agustus 2012 27.6 1.2 1009.8 23 81 9.69

45 September 2012 27.6 0.96 1010.1 20 82 4.47

46 Oktober 2012 27.3 1.51 1010 16 83 2.55

47 November 2012 27.3 1.04 1009.5 12 83 1.85

48 Desember 2012 27.2 1.08 1008.9 34 84 2.17

49 Januari 2013 27.5 1.24 1010.8 34 81 5.09

50 Februari 2013 27.2 1.22 1009.6 29 82 3.14

51 Maret 2013 28.7 1.02 1009.8 52 80 2.45

52 April 2013 28.5 1.24 941.9 18 84 2.85

53 Mei 2013 28.7 1.56 1008.4 42 79 3.98

55 Juli 2013 27.9 1.2 1008.3 34 79 6.15

56 Agustus 2013 27.5 1.47 1009.3 19 80 8.1

57 September 2013 27.2 1.52 1009.9 14 80 2.27

58 Oktober 2013 26.9 1.32 1010.5 33 78 2.11

59 November 2013 27.2 1.44 1009 13 82 5.42

60 Desember 2013 26.6 1.23 1008.4 28 81 1.73

Rata-rata 27.6666667 1.514166667 1008.195 32.05 81.33333333 3.2026667

Standar Deviasi 0.63743838 0.336916686 8.73614011 14.55256399 1.928085611 1.4536941

Tabel Yang Digunakan Untuk Mentransformasi Z ke Peubah Asal X

0.1328 Z1 0.107 Z2 0.234 Z3 0.0804 Z4 0.349 Z5 -0.22222 -0.04631 -0.072454 -0.0549718 -0.12067237 -0.05556 -0.04314 -0.037633 -0.104695 0.060336187 -0.03472 -0.09395 -0.037633 -0.1212694 0.060336187 0.11111 -0.15747 -0.024241 -0.1433686 0.060336187 0.13194 -0.16382 -0.000134 -0.1378438 0.060336187 0.21528 -0.13524 -0.029598 -0.1433686 0.603361867 0.06944 -0.18605 -0.021562 -0.1820421 0.060336187 0.02778 -0.01138 -0.026919 0.11077223 -0.30168093 0.00694 -0.00503 -0.037633 -0.077071 -0.12067237 -0.13889 -0.03361 -0.06174 -0.0439222 -0.48268949 -0.13889 -0.03679 -0.037633 0.00027624 -0.48268949 -0.09722 -0.05902 -0.059062 -0.104695 -0.30168093 -0.07639 -0.15112 -0.077811 -0.0825958 -0.12067237 0.17361 -0.17970 -0.051026 -0.1599429 0.422353307 0.21528 -0.22734 -0.051026 0.11077223 0.603361867 0.21528 -0.07807 -0.037633 0.12182183 0.060336187 0.31945 -0.04314 0.0132587 0.00027624 0.422353307 0.13194 -0.03044 -0.040312 0.00027624 0.060336187 0.00694 -0.05267 -0.024241 -0.0162982 -0.30168093 0.02778 -0.04631 -0.016205 -0.0107734 0.060336187 0.00694 0.06802 -0.029598 0.00027624 0.241344747 0.09028 0.02673 -0.010848 0.05552424 0.241344747 -0.11806 0.06484 -0.013527 0.06104904 -0.30168093 -0.20139 0.09342 0.0025446 0.09419783 -0.48268949 -0.22222 0.05849 -0.024241 0.02790024 -0.30168093 -0.03472 0.07119 -0.032276 -0.1544181 0.060336187 -0.05556 0.02673 -0.018884 0.09419783 -0.12067237 0.02778 0.03626 -0.029598 0.10524743 -0.12067237

0.11111 -0.17017 -0.032276 0.03894984 -0.12067237 0.11111 0.03626 -0.00817 0.02790024 0.060336187 0.09028 0.01085 -0.00817 -0.0881206 -0.12067237 -0.01389 0.02038 -0.024241 0.05552424 -0.30168093 -0.03472 0.02038 -0.04299 0.07762343 -0.12067237 -0.09722 -0.03044 -0.037633 0.03894984 -0.30168093 -0.15972 0.22363 -0.04299 0.01132584 -0.66369805 -0.22222 0.20775 -0.040312 0.05552424 -0.66369805 -0.20139 0.07119 -0.045669 -0.0273478 -0.30168093 -0.03472 -0.01456 -0.018884 0.02790024 0.060336187 -0.03472 -0.22416 -0.013527 -0.0107734 0.060336187 0.02778 0.03308 -0.037633 0.02790024 0.060336187 0.09028 -0.14794 -0.00817 0.04447464 0.241344747 0.17361 0.07119 -0.016205 -0.0549718 1.146387547 -0.01389 0.12201 -0.010848 0.03342504 0.422353307 -0.01389 0.09977 -0.04299 0.04999944 0.060336187 -0.01389 0.17600 -0.051026 0.06657384 -0.12067237 -0.07639 0.00132 -0.048347 0.08867303 -0.30168093 -0.07639 0.15059 -0.034955 0.11077223 -0.30168093 -0.09722 0.13789 -0.018884 -0.0107734 -0.48268949 -0.03472 0.08707 -0.069776 -0.0107734 0.060336187 -0.09722 0.09342 -0.037633 0.01685064 -0.12067237 0.21528 0.15694 -0.04299 -0.1102198 0.241344747 0.17361 0.08707 1.7757304 0.07762343 -0.48268949 0.21528 -0.01456 -0.005491 -0.0549718 0.422353307 0.19444 -0.15747 0.0186158 -0.0107734 0.603361867 0.04861 0.09977 -0.002812 -0.0107734 0.422353307 -0.03472 0.01403 -0.029598 0.07209864 0.241344747 -0.09722 -0.00185 -0.045669 0.09972263 0.241344747 -0.15972 0.06166 -0.06174 -0.0052486 0.603361867 0.09722 0.02355 -0.021562 0.10524743 -0.12067237 -0.22222 0.09025 -0.005491 0.02237544 0.060336187

Sehingga didapatlah Variabel Asal X

X1 X2 X3 X4 X5

27.525 1.499 1007.562 31.250 81.101 27.631 1.500 1007.866 30.526 81.450 27.645 1.483 1007.866 30.285 81.450 27.737 1.461 1007.983 29.964 81.450 27.751 1.459 1008.194 30.044 81.450 27.804 1.469 1007.936 29.964 82.497

27.711 1.451 1008.007 29.401 81.450 27.684 1.510 1007.960 33.662 80.752 27.671 1.512 1007.866 30.928 81.101 27.578 1.503 1007.656 31.411 80.403 27.578 1.502 1007.866 32.054 80.403 27.605 1.494 1007.679 30.526 80.752 27.618 1.463 1007.515 30.848 81.101 27.777 1.454 1007.749 29.722 82.148 27.804 1.438 1007.749 33.662 82.497 27.804 1.488 1007.866 33.823 81.450 27.870 1.500 1008.311 32.054 82.148 27.751 1.504 1007.843 32.054 81.450 27.671 1.496 1007.983 31.813 80.752 27.684 1.499 1008.053 31.893 81.450 27.671 1.537 1007.936 32.054 81.799 27.724 1.523 1008.100 32.858 81.799 27.591 1.536 1008.077 32.938 80.752 27.538 1.546 1008.217 33.421 80.403 27.525 1.534 1007.983 32.456 80.752 27.645 1.538 1007.913 29.803 81.450 27.631 1.523 1008.030 33.421 81.101 27.684 1.526 1007.936 33.582 81.101 27.737 1.457 1007.913 32.617 81.101 27.737 1.526 1008.124 32.456 81.450 27.724 1.518 1008.124 30.768 81.101 27.658 1.521 1007.983 32.858 80.752 27.645 1.521 1007.819 33.180 81.101 27.605 1.504 1007.866 32.617 80.752 27.565 1.590 1007.819 32.215 80.054 27.525 1.584 1007.843 32.858 80.054 27.538 1.538 1007.796 31.652 80.752 27.645 1.509 1008.030 32.456 81.450 27.645 1.439 1008.077 31.893 81.450 27.684 1.525 1007.866 32.456 81.450 27.724 1.464 1008.124 32.697 81.799 27.777 1.538 1008.053 31.250 83.544 27.658 1.555 1008.100 32.536 82.148 27.658 1.548 1007.819 32.778 81.450 27.658 1.573 1007.749 33.019 81.101 27.618 1.515 1007.773 33.340 80.752 27.618 1.565 1007.890 33.662 80.752 27.605 1.561 1008.030 31.893 80.403 27.645 1.544 1007.585 31.893 81.450

27.605 1.546 1007.866 32.295 81.101 27.804 1.567 1007.819 30.446 81.799 27.777 1.544 1023.708 33.180 80.403 27.804 1.509 1008.147 31.250 82.148 27.791 1.461 1008.358 31.893 82.497 27.698 1.548 1008.170 31.893 82.148 27.645 1.519 1007.936 33.099 81.799 27.605 1.514 1007.796 33.501 81.799 27.565 1.535 1007.656 31.974 82.497 27.729 1.522 1008.007 33.582 81.101 27.525 1.545 1008.147 32.376 81.450