PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA.

(1)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Ruang lingkup analisis multivariat adalah terdiri dari analisis statistika yang mengamati dua atau lebih variabel random yang berhubungan, sebagai suatu kesatuan dan mencoba mendapatkan hasil perhitungan secara menyeluruh dari hubungan di antara variabel-variabel tersebut (Jackson, 1991:4). Analisis multivariat didasarkan pada kenyataan bahwa tidak semua kasus yang dijadikan sumber pengamatan itu hanya didasarkan pada hubungan dua variabel saja.

Salah satu bagian dari analisis multivariat adalah analisis komponen utama, metode analisis ini bertujuan untuk mereduksi dimensi data, kemudian menginterpretasikannya. Meskipun pada suatu data multivariat yang melibatkan sebanyak p variabel dengan n individu, dibutuhkan p variabel untuk menjelaskan keragaman total, namun terkadang keragaman tersebut dapat diterangkan oleh sejumlah kecil komponen utama. Jika demikian, komponen utama cukup dapat memberikan informasi yang besar seperti yang diterangkan oleh p variabel awal. Sehingga sejumlah komponen utama tersebut dapat menggantikan sebanyak p variabel, artinya data awal yang terdiri dari n individu dengan p variabel kemudian direduksi menjadi n individu dengan beberapa komponen utama.

Komponen utama tersebut terbentuk dari kombinasi linear dari variabel-variabel awal. Pembentukan kombinasi linear dimulai dengan mencari akar karakteristik 1, 2, … , , dari matriks varians kovarians atau matriks korelasi,

(2)

dengan ₁≥ ₂ ≥ … ≥ . Di antara kombinasi linear yang terbentuk tidak akan terjadi korelasi antara yang satu dengan yang lainnya.

Dalam sebuah kasus multivariat yang mencakup banyak variabel, tentu tidak menutup kemungkinan bahwa individu yang akan diteliti berdasarkan karakteristik variabel-variabel tersebut juga terdiri dari jumlah yang besar. Tentu menjadi tidak mudah untuk menginterpretasi sebuah pengamatan multivariat terhadap individu dalam jumlah yang besar. Banyak teknik multivariat yang digunakan dalam rangka mempermudah penginterpretasian individu, namun penggunaan analisis komponen utama masih jarang digunakan. Oleh karena itu, dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai pereduksian ruang individu pada analisis komponen utama, yaitu dengan cara mereduksi dimensi ruang individu menjadi ruang individu yang berdimensi lebih kecil.

Pada sektor perekonomian, misalnya dalam pengamatan terhadap hasil produksi dari 14 sektor utama buah-buahan yang melibatkan seluruh provinsi di Indonesia. Tentu bukan hal yang mudah untuk memahami hasil produksi tersebut secara keseluruhan. Oleh karena itu, analisis komponen utama seolah-olah akan meringkas data tersebut, tanpa menghilangkan informasi secara substansial.

Keseluruhan provinsi di Indonesia tersebut, yang jumlahnya 33 provinsi dengan 14 sektor utama produksi buah-buahannya tidak dapat teramati dengan baik. Hal ini dikarenakan data dalam ruang individunya berdimensi 33. Sehingga proses pereduksian ruang dimensinya sangat diperlukan untuk menunjang pengamatan menjadi lebih baik.

(3)

Dengan analisis komponen utama, ruang provinsi yang berdimensi 33 akan direduksi menjadi k buah komponen. Artinya komponen utamanya adalah sebanyak k kombinasi linear dari provinsi-provinsi yang saling berkorelasi. Sehingga interpretasi dapat dilakukan pada ruang individu berdimensi k, tanpa kehilangan banyak informasi. Kemudian akan dilihat pengelompokkan individu (provinsi) yang memiliki kemiripan karakteristik. Tujuannya adalah untuk menyajikan provinsi dalam kelompok-kelompok yang terdiri atas provinsi-provinsi yang saling berdekatan.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian pada latar belakang masalah maka rumusan masalah yang diambil dalam penulisan ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana diagram dual ruang individu dan ruang variabel?

2. Bagaimana analisis komponen utama digunakan untuk mereduksi ruang individu?

3. Bagaimana interpretasi dari hasil analisis komponen utama untuk pereduksian ruang individu pada data hasil produksi sektor utama buah-buahan pada 33 provinsi di Indonesia?

1.3 Batasan Masalah

Dalam tugas akhir ini, data yang digunakan dalam pereduksian ruang individu adalah data dengan satuan yang sama. Sedangkan proses perhitungannya dilakukan dengan menggunakan software S-plus.

(4)

1.4 Tujuan Penulisan

Sesuai dengan rumusan masalah maka tujuan yang ingin dicapai dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Mengetahui diagram dual antara ruang individu dan ruang variabel.

2. Menentukan bagaimana cara analisis komponen utama digunakan untuk mereduksi ruang individu.

3. Mengetahui bagaimana interpretasi dari hasil analisis komponen utama untuk pereduksian ruang individu pada data hasil produksi sektor utama buah-buahan pada 33 provinsi di Indonesia?

1.5 Manfaat Penulisan

Adapun manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah 1. Manfaat Teoritis :

Menambah wawasan mengenai analisis komponen utama khususnya dalam pereduksian ruang individu.

2. Manfaat Praktis :

Mengetahui bagaimana aplikasi analisis komponen utama dalam kehidupan khususnya dalam mengidentifikasi adanya kesamaan karakteristik pada individu dengan jumlah yang besar.

1.6 Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan adalah studi literatur yaitu mempelajari teori yang berkaitan dengan salah satu kajian pada analisis multivariat yaitu analisis komponen utama.

(5)

1.7 Sistematika Penulisan

Adapun sistematika penulisan dari tugas akhir ini adalah sebagai berikut: BAB I : Pendahuluan

Bab ini membahas tentang latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan dan sistematika penulisan.

BAB II : Tinjauan Pustaka

Bab ini menguraikan teori-teori yang menjadi landasan dari teori utama dan menjelaskan mengenai beberapa teori pendukung dalam analisis komponen utama untuk pereduksian ruang individu.

BAB III : Pereduksian Ruang Individu dengan Analisis Komponen Utama Bab ini menjelaskan tentang konsep dasar dari pereduksian ruang individu dengan analisis komponen utama.

BAB IV : Studi Kasus

Bab ini menguraikan aplikasi dari analisis komponen utama, dimulai dari pengolahan data sampai dengan analisis hasil pengolahan data dan interpretasinya.

BAB V : Kesimpulan dan Saran

Bab ini terdiri dari kesimpulan yang merupakan jawaban dari perumusan masalah yang diberikan, penulis juga memberikan beberapa saran terhadap permasalahan yang terjadi sesuai dengan kapasitas penulis secara akademis.

(6)

BAB III

PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA

Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang bertujuan untuk mereduksi dimensi data dengan membentuk kombinasi linear– kombinasi linear dari variabel yang saling berkorelasi. Kombinasi linear yang terbentuk dinamakan komponen utama, di antara komponen utama tidak akan saling berkorelasi satu dengan yang lainnya. Dengan komponen utama tersebut data awal akan dapat direpresentasi secara maksimal namun dengan sesedikit mungkin komponen utama.

Komponen utama pertama adalah kombinasi linear dari variabel-variabel awal dengan variansi maksimum, komponen utama kedua adalah kombinasi linear yang mempunyai variansi maksimum di antara semua kombinasi linear yang tidak berkorelasi dengan komponen utama pertama, dan seterusnya. Pada dasarnya, analisis komponen utama terkait pada akar karakteristik dan vektor karakteristiknya. Koefisien pada komponen utama pertama berhubungan dengan nilai akar karakteristik terbesar, begitu pula dengan proporsi variansinya (Muirhead, 1982:380).

Jackson (1991:63) menyatakan bahwa terdapat tiga metode yang harus dipertimbangkan dalam pemilihan matriks yang digunakan untuk mendapatkan vektor karakteristik. Metode tersebut adalah sebagai berikut:

1. Semua variabel yang digunakan adalah variabel asli tidak dilakukan perubahan apapun.

(7)

2. Menggunakan matriks data terpusat, sehingga setiap vektor variabelnya menjadi − , dengan demikian setiap variabel mempunyai rata-rata nol. 3. Dengan matriks data yang distandarkan, artinya setiap variabel dalam satuan

standar. Sehingga setiap variabel mempunyai rata-rata nol dan variansi satu.

Setiap variabel dinyatakan dengan

.

Jika metode yang digunakan adalah matriks data terpusat yaitu dengan pengurangan rata-rata, maka matriksnya adalah matriks varians-kovarians, sedangkan jika data distandarkan maka yang digunakan adalah matriks korelasi.

Secara umum, matriks varians-kovarians lebih banyak digunakan, namun pada beberapa kasus, vektor karakteristik menjadi tidak tepat bila didasarkan pada matriks varians-kovarians. Kemungkinan penyebabnya adalah sebagai berikut: 1. Variabel awal menggunakan satuan yang berbeda, sehingga operasi trace dari

matriks varians-kovarians menjadi tidak berarti. Ketika variabelnya dalam satuan yang berbeda, maka matriks data yang digunakan adalah matriks data yang distandarkan sehingga untuk mendapatkan vektor karakteristik digunakan matriks korelasi.

2. Variabel awal menggunakan satuan yang sama namun variansinya jauh berbeda. Jika kasusnya demikian, penggunaan matriks korelasi lebih tepat untuk digunakan.

Penggunaan matriks korelasi tersebar luas ke berbagai aplikasi, para pengguna jarang menggunakan matriks varians-kovarians dan meyakini bahwa penggunaanya tidak selamanya dapat digunakan untuk beberapa kasus. Walaupun demikian, ketika variabelnya dalam satuan ukuran yang sama dan besar

(8)

variansinya tidak jauh berbeda, maka matriks varians-kovarians lebih praktis untuk digunakan.

3.1 Pereduksian Ruang Variabel

Tujuan dari pereduksian ruang variabel dengan analisis komponen utama adalah mereduksi dimensi data yang terdiri dari variabel-variabel yang berkorelasi dengan jumlah yang banyak. Langkahnya adalah dengan mentransformasi variabel-variabel awal menjadi bentuk kombinasi linear yang tidak saling berkorelasi. Kombinasi linear tersebut dinamakan komponen utama, yang akan merepresentasikan keseluruhan dari variabel awal tanpa kehilangan banyak informasi.

Metode analisis komponen utama didasarkan pada hasil dari matriks pxp yang simetrik dan nonsingular, yaitu matriks varians kovarians yang kemudian direduksi menjadi matriks diagonal , dengan mengalikan oleh matriks ortonormal , sehingga persamaannya adalah sebagai berikut:

= (Jackson, 1991:7) 3.1 Diagonal dari elemen pada adalah ₁, ₂, … , yang kemudian disebut akar karakteristik atau nilai eigen dari . Kolom-kolom dari , , , … , disebut vektor karakteristik atau vektor eigen. Akar karakteristik dihasilkan dari solusi persamaan determinan yang disebut persamaan karakteristik.

| − |= 0 3.2

(9)

Vektor karakteristik dihasilkan dari solusi persamaan

− = 0 3.3

dan

! (Jackson, 1991:8) 3.4

untuk = 1,2, … , .

Langkah awal dalam analisis komponen utama adalah pada matriks varians kovarians (atau matriks korelasi). Misalkan untuk p variabel

= $ %

% %% ⋯⋯ %% ''

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

% % _{⋯ %}

dengan %2 variansi dari variabel ke-i, dan %₊ adalah kovarian dari variabel ke-i dengan variabel ke-j. Bila kovariansnya tidak sama dengan nol, ini mengindikasikan bahwa terdapat hubungan linear antara dua variabel. Besarnya hubungan yang digambarkan oleh koefisien korelasi adalah

, +=_{% %+}% + (Jackson, 1991:11) 3.5 Transformasi sumbu utama akan mentransformasi p variabel X1, X2, …, Xp yang berkorelasi menjadi p variabel baru Z1, Z2, …, ZP yang tidak saling berkorelasi. Sumbu koordinat dari variabel baru tersebut digambarkan oleh vektor karakteristik . , dengan transformasi

/ = 0 ₋_{(Jackson, 1991:11)} _3.6 X adalah vektor p x 1 dari observasi pada variabel awal sedangkan . adalah vektor p x 1 sebagai rata-ratanya.

(10)

Transformasi dari variabel disebut komponen utama. Komponen utama ke-i mempunyai rata-rata nol dengan variansinya sebesar akar karakteristik ke-i yaitu . Komponen utama ke-i tersebut adalah

/ = 2 − .3 (Jackson, 1991:11) 3.7 Bila dalam kombinasi linear yang terbentuk, besarnya koefisien pada semua variabelnya hampir sama dan bertanda positif, maka hal ini mengindikasikan bahwa kombinasi linearnya diboboti rata oleh semua variabel didalamnya. Namun bila koefisien variabelnya berlawanan tanda, maka korelasi yang terjadi adalah korelasi negatif, artinya bila variabel yang satu nilainya semakin besar, variabel yang satunya akan semakin kecil.

Sifat umum dan komponen keragaman pada analisis komponen utama adalah:

1. Determinan dari matriks varians kovarians, | |. Ini disebut generalized variance.

2. Jumlah variansi dari variabel:

%₁2_{+ %} 2

2_{+ … + %}2 _{= 6,}_{(trace dari )}

Kegunaan sifat umum dan komponen keragaman pada analisis komponen utama tersebut adalah untuk mempertahankan nilai yaitu:

1. | |=| |= ₁. ₂. … .

Determinan dari matriks varians kovarians akan sama dengan hasil perkalian dari akar karakteristik yang merupakan determinan dari matriks diagonal .

2. 6, = 6,

(11)

Sifat variansi yang kedua akan digunakan untuk mengetahui proporsi variansi yang dijelaskan oleh komponen utama. Perbandingan dari masing-masing akar karakteristik dengan total karakteristik akan mengindikasikan proporsi dari variansi tersebut. Korelasi dari masing-masing komponen utama dengan setiap variabel awal yang terkait juga dapat diketahui. Untuk menentukan korelasi dari setiap komponen utama dengan setiap variabel awal adalah

,78= + _%+9 (Jackson, 1991:14) (3.8)

,78 adalah korelasi antara komponen utama ke-i, /, dengan variabel awal ₊.

3.2 Pereduksian Ruang Individu

Analisis komponen utama tidak hanya digunakan untuk mereduksi ruang variabel, ruang individu juga dapat direduksi dengan analisis komponen utama. Seperti halnya pereduksian pada ruang variabel, pereduksian ruang individu juga akan membentuk kombinasi linear-kombinasi linear dari individu yang saling berkorelasi. Artinya, pereduksian ruang individu dengan analisis komponen utama dapat dilakukan bila terdapat korelasi pada individunya. Sehingga pada akhirnya antara kombinasi linear yang terbentuk tidak akan terjadi korelasi. Kombinasi linear yang terbentuk selanjutnya dikatakan sebagai komponen utama.

Misalkan _:; adalah matriks hasil pengukuran p buah variabel kuantitatif pada n individu, baris menyatakan variabel-variabel pengukuran, sedangkan kolom menyatakan individu-individu yang diukur dari variabel-variabel tersebut. Meskipun dalam menjelaskan informasi keseluruhan dibutuhkan sebanyak n individu, namun ada kalanya sebanyak n individu tersebut dapat

(12)

diwakili oleh k komponen utama. Sejumlah k komponen utama tersebut akan menggantikan n individu tanpa kehilangan banyak informasi.

= < = = = >8

8 88

⋯ 8 ⋯

⋯ 8 ⋯ 88;;

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮

8 8 ⋯ 8 ⋯ 8;?@

@ @ A

8+ yang merupakan elemen baris ke-j dan kolom ke-i, adalah nilai pengukuran terhadap variabel ke-j pada individu ke-i, dengan i di = B1,2, … , CD dan E =

B1,2, … , D.

Urutan bilangan F81, 82, … , 8 G adalah urutan nilai pengukuran variabel pertama sampai dengan variabel ke-p pada individu ke-i, yang dapat dinyatakan dengan vektor

H._I=

< = = = >81

⋮ 8 ?@

@ @ A

= J8K_L_._M K=1

di P = Q 3.9

SL._T,L._U, … , L._VW menyatakan basis kanonik dari ruang vektor individu E. Jadi, H._I menggambarkan vektor individu ke-i (i = 1, 2, ..., n) di E. Sedangkan urutan bilangan X8₁+,8₂+,… , 8_C+Y merupakan hasil pengukuran variabel ke-j terhadap individu pertama sampai dengan individu ke-n dan dapat dinyatakan sebagai

.Z₌

< = = = >81+

8₂+ ⋮ 8_C+?@

@ @ A

= JC 8_K+[._M

K=1

di \ = QC 3.10

S[._T, [._U, … ,[._]W menyatakan basis kanonik dari ruang vektor variabel F. Artinya, H.Z menggambarkan vektor variabel ke-j ( j = 1, 2, ..., p) di F.

(13)

Pada E akan terdapat awan titik-titik individu BH._I ; i = 1,2, … , CD dan pada F akan terdapat awan titik-titik variabel SH.Z ; j = 1,2, … , W. E* dan F* adalah ruang dual dari E dan F dengan SL._T∗, L._U∗, … , L._V∗W dan a[._T∗, [._U∗, … , [._]∗b adalah basis-basis dualnya.

Berdasarkan definisi basis dual, akan diperoleh:

• L._Z∗ _H_.

I = L.Z∗F∑K=18KL.MG=〈L.Z∗, H.I〉= 8+ 3.11

• _[._I∗FH.Z_G_{= [}_. I

∗_X∑ ₈

K +_[_.

M C

K=1 Y=〈[.I∗, H.Z〉= 8+ 3.12

Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai L._Z∗ ada pada vektor individu ke-i atau dengan kata lain L._Z∗ menggambarkan variabel ke-j di E*. Sedangkan nilai [._I∗ ada pada vektor variabel ke-j. Jadi, [._I∗ menyatakan individu ke-i di F*.

Misalkan E ruang euclid dengan metrik M yang berperan mengukur kedekatan antara individu. Dengan memandang M sebagai isomorfisma dari E pada E*, kemudian metrik W akan diterapkan untuk F* sedemikian sehingga

‖H._I− H._M‖_g=h[._I∗− [._M∗h_i (3.13) dengan F[_I∗G = 8̅_k; = 1,2, … , C. Mekanisme tersebut dapat disajkan dalam diagram dual berikut:

Gambar 1.1 Diagram Dual

E F*

E* _{Type equa}Xt F

M _W

(14)

Secara umum, untuk setiap |. dan }. di F* dengan W, didefinisikan menjadi

~ |. − F}.G~_g=~|.− }.~_i 3.14

yang berarti pula bahwa untuk setiap |. di F* berlaku:

‖ |. ‖_g=‖|.‖_i

Teorema 3.2.1

Jika untuk setiap |. di F* berlaku ‖ |. ‖_g=‖|.‖_i maka diagram dual berlaku komutatif, artinya i = 0g .

Bukti:

Karena ‖ |. ‖_g=‖|.‖_i berlaku untuk setiap |. di F*, maka untuk setiap pasangan (i,k) berlaku g H._I, H._M = iF[_I∗, [_M∗G, akan tetapi

g H.I, H.M = 〈g H.I , H.M〉 = 〈g F[I∗G, F[M∗G〉 = 〈 0g F[I∗G, F[M∗G〉 dan iF[_I∗, [_M∗G = 〈iF[_I∗G, [_M∗〉

Jadi untuk setiap pasangan (i,k) berlaku:

g X[._I∗,[._M∗Y= iX[._I∗, [._M∗Y, dengan kata lain i = 0g .

Bila pada teorema 3.2.1 didefinisikan g adalah matriks diagonal, dengan entri-entri pada setiap diagonalnya sebesar , maka i adalah matriks varians-kovarians yang kemudian didefinisikan oleh Jackson (1991:190). Sehingga pada matriks data _8C dengan < C, matriks varians-kovarians untuk pereduksian variabel diperoleh dari perkalian matriks 0/ C − 1 , sedangkan untuk pereduksian individu diperoleh dari / − 1 . Sebelum menghitung matriks varians-kovarians untuk pereduksian ruang individu, setiap vektor individunya

(15)

dikurangi dengan vektor rata-ratanya. Sehingga rata-rata setiap vektor individunya sama dengan nol.

3.2.1 Penyajian Individu

Analisis komponen utama berusaha mereduksi ruang individu p menjadi berdimensi k, dengan k<p. Sehingga interpretasi dapat dilakukan pada ruang individu berdimensi k, tanpa kehilangan banyak informasi. Dengan melihat kesamaan karakteristik dari variabelnya, individu akan disajikan dalam kelompok-kelompok yang terdiri dari individu-individu yang mirip satu sama lain. Tujuannya adalah untuk menyajikan individu dalam kelompok-kelompok yang terdiri atas individu-individu yang saling berdekatan.

Pada dasarnya, pereduksian ruang individu dengan analisis komponen utama ini tidak akan cukup berarti bila pada individu–individu tidak mempunyai korelasi. Banyaknya maksimum komponen utama dari kombinasi linear dari individu tersebut sama dengan banyaknya individu awal. Bila pada sebuah pereduksian ruang individu, banyaknya komponen utama sama dengan individu awal, maka analisis komponen utama menjadi tidak berarti karena tidak didapatkan ruang individu dengan dimensi yang lebih kecil.

Misalkan _8C adalah matriks data yang terdiri dari p variabel dan n individu. Maka terdapat awan titik-titik individu B8. ; = 1,2, … , CDdi E = R . Misalkan terhadap individu ke-i, artinya terhadap setiap vektor 8. pada awan titik-titik individu tersebut diberikan bobot sebesar , dengan nilai lebih dari nol, dan ∑C₌₁ = 1.

(16)

Vektor mean atau pusat gravitasi dari awan individu tersebut dinyatakan dengan vektor ‚., dan didefinisikan dengan:

ƒ. =J H._I

C =1

3.15

Sedangkan elemen ke-j yang merupakan mean sampel untuk variabel ke-j adalah

ƒ._Z=JC 8+ 3.16

Khususnya jika dilakukan pembobotan yang sama untuk setiap individu, = 1

C ; untuk setiap = 1,2, … , C , maka

ƒ. _{= 1C}JH._I

C =1

dan ƒ._Z _{= 1C}JC 8+

Definisi 3.2.1.1

Momen inersia individu H._I yang berbobot terhadap suatu |. di E adalah bobot dikalikan dengan kuadrat jarak atau ‖H._I− |.‖_g2.

Definisi 3.2.1.2

Momen inersia awan individu B8. ; i = 1,2, … , CD, dengan H._I berbobot , terhadap suatu |. di E adalah

† = J k‖H.I− |.‖‡ ;

kˆ

Teorema 3.2.1.3

Untuk setiap |. di E berlaku:

(17)

Bukti:

Karena H._I− |. = 8. − ƒ. + ƒ.− |. , maka

‖H._I− |.‖_g2 ₌_‖_H_._I_{− ƒ}_.‖_g2 ₊_‖_ƒ_. _{− |}_.‖_g2 _{+ 2g H}_._I_{− ƒ}_._{, ƒ}_._{− Š}_. Sedangkan,

C =1

g H._I− ƒ., ƒ.− |. = g‹J

C =1

._I− ƒ., ƒ. − |. Œ

= g •J _kH._I

; kˆ

− ƒ. J _k

; kˆ

, ƒ. − |.Ž = g ƒ. − ƒ., ƒ. − |. , karena J kH.I

; kˆ

= ‚̅, J k

; kˆ

= 1 = g •., ƒ. − |. = 0

Jadi,

† = J k‖H.I− |.‖‡ ;

kˆ

= J F‖H._I− ƒ.‖_g2 ₊_{‖ƒ. − |.‖}

‡G

C =1

= JC ‖H._I− ƒ.‖_g2 =1

+‖ƒ. − |.‖‡J C =1 = _‰+ ‖ƒ. − |.‖_‡

Teorema tersebut kemudian dinamakan Teorema Huyghens, yang menyimpulkan bahwa vektor mean ƒ. adalah vektor yang meminimumkan _Š., artinya _Š. akan minimum bila ƒ.= |..

(18)

Teorema 3.2.1.4

Momen inersia awan individu di E terhadap ƒ., yakni _‚. memenuhi:

‰ = 6, g

Bukti:

‚.=J ‖H.I− ƒ.‖g2 C

=1 =

J ‖H._I‖_g2

=1 karena terpusat

= J k

; kˆ

H._I‘_{g H.} I

= J k

; kˆ

6, H._I‘_{g H.}

I karena H.I‘ g H.I adalah bilangan riil

= J k

; kˆ

6, H.I H.I ‘g

= 6, •J k H.I H.I ‘ ;

kˆ

gŽ = 6, g

Misalkan i adalah ruang bagian dari P, dan i⊥ adalah M-ortogonal dari

i maka P = i ⊕ i˜, untuk setiap = 1,2, … , C kemudian dituliskan

H._I= ™._I+ š._I (3.17)

dengan ™._Idi W dan š._I di i⊥. Jadi, ™._I adalah proyeksi M-ortogonal dari H._I pada W. Momen inersia awan individu B8. ; i = 1,2, … , CD terhadap ruang bagian W:

i=J ~š._I~_g2

C =1

3.18

(19)

• _‚.= i+ _i⊥, karena ‚.=J ‖H.I‖g2

C =1

=JC ‖™._I‖_g2 =1

+J ~š._I~_g2

C =1

3.19 Teorema 3.2.1.5

Misalkan W ruang bagian dari E, jika i = i ⨁ i dengan i₁ ⊥ i₂, maka:

i⊥ = i1⊥+ i2⊥

Bukti:

P = i ⊕ i˜_{. Maka}_{P = i ⨁ i ⊕ i}˜_.

Sehingga untuk setiap = 1,2, … , C, dari persamaan 3.17 H._I= ™._I+ š._I dengan

™._Idi W dan š._I di W⊥, sedangkan ™._I= ž._I+ Ÿ._I dengan ž._Idi i dan Ÿ._I di i₂. Berdasarkan dalil Pythagoras,

i=J ‖™.I‖g2

=1 =

J X~ž. ~_g2 +~Ÿ.~_g2Y

C =1

= _¡¢+ _£¢

karena ž._I dan Ÿ._I merupakan proyeksi M-ortogonal dari H._I masing–masing pada

i dan i₂.

Akibat:

‚.= i+ i⊥, maka i = ‚.− _i1⊥− _i2⊥

Analisis komponen utama berusaha mereduksi dimensi ruang individu

FP = Q G menjadi berdimensi k (k < p). Ini dilakukan untuk membentuk kelompok-kelompok individu bila ruang individunya berada pada ruang vektor yang berdimensi p (p > 3). Pembentukan kelompok-kelompok individu tersebut akan didapat melalui bidang P. Bidang P yang dibangun oleh dan .₂

(20)

dinamakan bidang utama sedangkan sumbu △ yang dibangun oleh . adalah sumbu utama ke-i.

P =△¦¡⊕△¦£

Bila kualitas penyajian di P, artinya bagian inersia global yang diterangkan oleh P cukup baik, maka dengan memproyeksikan awan individu BH._I ; = 1,2, … , CD, dapat dilakukan analisis terhadap individu secara visual melalui P. Sehingga pengelompokkan individu–individu yang berdekatan dapat dilakukan dengan melihat awan proyeksi individu di P.

Misalkan ™._I adalah proyeksi dari H._I pada P, maka

™._I= §1_¨_._T_{+ §}2_¨_._U_3.20 untuk setiap = 1,2, … , C. Misalkan š._Z adalah proyeksi M-ortogonal dari L._Z pada P, maka proyeksi sumbu △_©+ di P dibangun oleh š._Z ; + = 1,2, … , . Untuk mengetahui kordinat dari š._Z:

š._Z= ª₊1 ¨._T+ ª₊2 ¨._U 3.21

Jadi, ª₊1= gFL._Z,¨._TG dan ª_« = gFL_Z, ¨._UG.

Karena komponen ke-j dari ©₊ berharga satu dan komponen lainnya nol, maka:

ª₊1= L._Z g¨._T

= 0, … , 0, 1, 0, … , 0 $ ¬

¬ ¬¬ ⋯⋯ ¬¬

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

¬ ¬ _{⋯ ¬} *_<=

= >

⋮ ? @ @ A

= J ¬«- ῖ --ˆ

(21)

Dengan cara yang sama didapat

ª₊2= J¬+K

K=1 2

K_3.23

Secara umum, dengan menuliskan

._Z= ª₊1¨._T+ ª2₊¨._U+ … + ª₊¨._V 3.24

Kordinat L._Z pada ¨._I adalah

ª₊= J¬+K K=1

K_3.25

Dalam hal ini g = (metrik euclid klasik), maka

ª₊= + 3.26

Jadi vektor ke-j dari vektor karakteristik ¨._I sama dengan kordinat L._Zpada ¨._I. Bila kualitas penyajian di P kurang memuaskan, maka penyajiannya dapat dilakukan pada ruang bagian berdimensi tiga.

P =△¦¡⊕△¦£⊕△¦¯

Pada dasarnya sama dengan penyajian di P, hanya saja data disajikan pada bidang – bidang berikut:

P1 =△ 1⊕△ 2

P2 =△ 1⊕△ 3

P3 =△ 2⊕△ 3

Bila kualitas pada ruang bagian berdimensi tiga belum cukup optimal, maka bidang - bidangnya akan semakin banyak, hingga kualitas penyajiannya memadai.

(22)

3.2.2 Kualitas Global

Pada prinsipnya, komponen-komponen utama akan disajikan melalui bidang P. Komponen utama yang dihasilkan harus dapat menjelaskan total variansi. Kualitas komponen-komponen utama tersebut dinamakan kualitas global.

Bila sebagian besar (80% - 90%) dari persentasi kualitas penyajian individu untuk n yang besar dapat dijelaskan oleh satu, dua, atau tiga kombinasi linear dari individu-individu tersebut, maka komponen utama tersebut dapat menggantikan n indvidu awal tanpa kehilangan banyak informasi.

Karena P =△_¦¡⊕△て£ , berdasarkan akibat Teorema 3.2.1.5,

= 6, g − _∆

1 ⊥ − _∆

2 ⊥ atau

= 6, g − 1− 2

Sehingga kualitas penyajian individu secara global di P ditunjukkan oleh besarnya

±¡²±£

³´ µ‡

3.27

3.2.3 Kualitas Individual

Kualitas penyajian individu H._I oleh ™._I di P dapat diukur dengan membandingkan ‖H._I‖_g=‖™._I‖_g. Misalkan ¶ adalah sudut antara H._I dan ™._I.

(23)

Gambar 3.2 Kualitas Individual

cos ¶k =‖¸. ‖_{‖:̅ ‖} 3.28

menyatakan kualitas penyajian H._I oleh ™._I. Makin besar harga cos ¶, makin bagus kualitasnya. Cos ¶ akan menyatakan alat ukur yang bagus, bila H._I cukup jauh dari

⊥_.

3.2.4 Minimum Covariance Determinant

Analisis komponen utama klasik didasarkan dari matriks varians kovarians dari data, oleh karena itu akan sangat sensitif dengan observasi yang berbeda dengan yang lainnya (pencilan). Akibatnya, komponen utama seringkali tertarik ke arah pencilan serta variansi dari observasi-observasi lainnya mungkin menjadi lebih besar. Pereduksian dimensi data menjadi kurang terpercaya bila pencilan tersebut dibiarkan begitu saja dalam data. Minimum covariance determinant (MCD) adalah salah satu metode untuk mendeteksi pencilan.

Definisi 3.2.4.1 MCD (Hardin dan Rocke, 2002:626)

Diketahui 〰=B81,82,… , 8CD merupakan himpunan data dari n pengamatan dan

p variabel dengan C ≥ + 1. Penaksir MCD merupakan pasangan ∈ Q dan C ˜

‚̅ = 0

8̅k

¼k

¶k

(24)

adalah matriks simetris definit positif berdimensi pxp dari suatu subsampel berukuran h pengamatan dengan C + + 1 /2 ≤ ℎ ≤ C dengan

61= 1ℎ J HI ∈¿1

3.29 À1= 1ℎJ HI− 61 HI− 61

∈¿1

3.30

yang meminimumkan det(C).

Metode MCD mencari himpunan bagian dari , sejumlah h elemen dengan h integer terkecil dari C + + 1 /2. Tetapi, jika n besar, maka banyak sekali kombinasi subsampel yang harus ditemukan untuk mendapatkan penaksir MCD. Karena keterbatasan tersebut Rousseeuw dan Drissen membuat sebuah algoritma Fast MCD dengan teorema C-Step.

Teorema 3.2.4.2 C-Step (Rousseeuw dan Drissen, 1999:214)

Misalkan himpunan data _C =B8₁, 8₂, … , 8_CD dari n pengamatan dengan p variabel. Misalkan ¿₁⊂B8₁, 8₂, … , 8_CD dengan |¿₁|= ℎ, dan

61= 1ℎJ HI ∈¿1

À1 = 1ℎJ HI− 61 HI− 61 ∈¿1

Jika det À ≠ 0, maka definisi jarak relatifnya adalah

Â1 =! HI− 61 À1−1 HI− 61 untuk i =1,2, …, n. 3.31 Selanjutnya ambil ¿₂ sedemikian sehingga BÂ₁ ; ∈ ¿₂D=B Â_{1 1:C}, … , Â_{1 ℎ:C}D, dengan Â_{1 1:C} ≤ Â_{1 2:C} ≤ ⋯ ≤ Â_{1 C:C} adalah urutan jarak dan hitung 6₂ dan

(25)

À2 berdasarkan himpunan ¿₂. Maka det À ≤ det À jika dan hanya jika

61= 62 dan À₁ = À₂.

3.2.5 Pembobotan Pencilan

Putrasto (1996:12) mengungkapkan bahwa setiap pencilan akan diboboti, kemudian dibentuk matriks data baru

Ä

dari matriks data dengan pembobotan. Mekanisme diagram dual dari transformasi matriks data menjadi matriks data

dengan pembobotan pencilan

Ä

, nampak pada diagram dual berikut:

gambar 3.3 Diagram Dual dengan Pembobotan

Pembobotan pencilan tersebut dinyatakan dengan matriks diagonal, yaitu matriks Δ_ii

.

Setiap entri ke-ii yang merupakan pencilan diberi bobot satu sedangkan yang bukan merupakan pencilan diboboti nol. Kemudian matriks tersebut dikalikan dengan

; , dengan C adalah banyaknya pencilan.

Definisi 3.2.5.1 Pembobotan Pencilan (Putrasto, 1996:15)

Misalkan adalah matriks data asli, maka matriks pembobotan pencilan dinotasikan dengan Æ.

Æ ₌ _X _C8C_{− 1}_C₁_C 1 C ΔY

E F*

E* F

M _W

(26)

dengan 1_C adalah matriks nxn, dengan entri pertama hingga entri ke-n pada vektor pertamanya bernilai satu. Kemudian matriks Æ akan menggantikan matriks , sehingga pembentukan matriks varians-kovariansnya tidak lagi dari . Begitu pula dalam pembentukan kombinasi linearnya, penentuan akar karakteristiknya didapatkan dari matriks varians-kovarians dari

Ä

Berdasarkan uraian-uraian sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa langkah-langkah dalam pereduksian ruang individu adalah sebagai berikut:

1. Menentukan matriks varians-kovarians dari , yaitu dengan / − 1 . Namun sebelumnya, setiap vektor individunya harus dikurangi dengan vektor rata-ratanya. Sehingga rata-rata setiap vektor individunya sama dengan nol. 2. Menentukan akar karakteristik dan vektor karakteristiknya.

3. Membentuk kombinasi linear dari vektor karakteristik yang ortonormal.

4. Menghitung proporsi komponen utama untuk menentukan banyaknya komponen yang akan diambil.

Untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat, dapat dilakukan pendeteksian dan penanganan pencilan sebagai berikut:

1. Pendeteksian pencilan dengan menggunakan metode minimum covariance determinant.

2. Transformasi matriks data menjadi matriks data dengan pembobotan

pencilan

Ä

, yaitu dengan Æ = X _C8C− 1_C1_C _C1 ΔY .

3. Menentukan matriks varians-kovarians dari matriks data

Ä

. Lakukan seperti langkah-langkah pada pereduksian individu biasa.

(27)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1

Kesimpulan

Ruang individu dan ruang variabel masing-masing memiliki ruang dual. Diagram dual merupakan diagram pemetaan antara ruang-ruang. Mekanisme dari diagram dual tersebut tampak sebagai berikut:

Adapun langkah-langkah dalam pereduksian ruang individu adalah dengan menentukan matriks varians kovarians, kemudian ditentukan akar karakteristiknya dan vektor karakteristik yang ortonormal. Sehingga dapat dibentuk kombinasi linear dari vektor yang ortonormal tersebut. Kemudian dapat ditentukan seberapa besar keragaman yang dapat dijelaskan oleh komponen utama tersebut dengan cara membandingkan tiap-tiap akar karakteristik dengan trace-nya.

Pada data hasil produksi sektor utama buah-buahan pada tahun 2009, 33 provinsi dapat direduksi menjadi dua komponen utama, dengan total persentase keragaman yang dapat dijelaskan sebesar 91%. Kemudian setelah dideteksi pencilan dengan menggunakan MCD ternyata menemukan pencilan

E F*

E* Xt F

Type equa

M _W

(28)

sebanyak sembilan provinsi. Kemudian dilakukan analisis komponen utama dengan matriks data yang telah diboboti, dan diperoleh komponen utama yang mampu menjelaskan total keragaman hingga 87% sedangkan komponen keduanya sebesar 7%. Artinya komponen yang digunakan bisa saja hanya satu, namun karena pengamatan pada dimensi dua sudah sangat baik, maka pengamatan dilakukan pada dimensi dua. Kenaikan total keragaman yang dapat dijelaskan setelah pencilan diboboti kurang lebih sebesar 3%. Sedangkan untuk pengelompokkan terhadap 33 provinsi tersebut membentuk enam buah kelompok provinsi. Untuk provinsi Sumatera Utara, Lampung, Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur, mereka tidak memiliki kesamaan karakteristik dengan provinsi yang lain, sehingga masing-masing provinsi tersebut memiliki kelompok tersendiri. Sementara 28 provinsi lainnya menempati kelompok yang sama, karena memiliki kesamaan karakteristik.

5.2

Saran

Analisis komponen utama dapat digunakan sebagai analisis pendahuluan untuk analisis lebih lanjut, seperti analisis klaster untuk pengelompokkan, sehingga hasil-hasil dari tugas akhir ini dapat digunakan untuk keperluan tersebut.

(29)

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. (1987). Aljabar Linear Elementer. Jakarta : Erlangga.

Badan Pusat Statistik. (2009). Produksi Buah-buahan Menurut Provinsi 2009. [Online].Tersedia:http://www.bps.go.id/tab_sub/view.php?tabel=1&daftar =1&id_subyek=55&notab=1. [28 Mei 2011]

Bartle, R.B. dan Sherbert, D.R. (2000). Introduction to Real Analysis. New York: John Wiley & Sons,Inc.

Djauhari, M.A. (1988). Materi Pokok Struktur Data Statistik. Jakarta: Karunika. Frank, Wood. (2009). Principal Component Analysis. [Online]. Tersedia:

http://www.google.co.id/search?client=opera&rls=en&q=frank+wood+pri ncipal+joliffe&sourceid=opera&ie=utf-8&oe=utf-8. [19 Desember 2010] Hardin, J dan Rocke, D.M. (2002). “Outlier Detection in the Multiple Clustering

Setting using the Minimum Covariance Determinant Estimator”. Computational Statistics & Data Analysis 44.

Hubert, M. dan Debruyne. (2010). “Minimum Covariance Determinant”. Stat Comp Volume 2.

Jackson, J.E. (1991). A User’s Guide to Principal Components. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Johnson, R.A. dan Wichern, D.W. (1982). Applied Multivariate Statistical Analysis. New Jersey: Prentice Hall.

Kolman, Bernard. (1997). Introductory Linear Algebra With Aplications. New Jersey: Prentice Hall.

Muirhead, R.J. (1982). Aspect of Multivariate Statistical Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Putrasto. (1996). Pemusatan pada Analisis Komponen Utama. Bandung : Tidak diterbitkan.

Rencher, A.C. (2002). Methods of Multivariat Analysis. Canada : John Wiley & Sons, Inc.

(30)

Rousseeuw, P.J. dan Drissen, K.V. (1999). “A Fast Alghorithm for the Minimum Covariance Determinan Estimator”. Journal American Statistical Association and the American Society for Quality Technometric VOL. 41. Sharma, Subhash. (1996). Applied Multivariate Technique. New York: John

Wiley & Sons, Inc.

Shlens, John. (2003). A Tutorial On Principal Component Analysis. [Online]. Tersedia:http://www.google.co.id/search?client=opera&rls=en&q=john+sh lens+motivation+toy&sourceid=opera&ie=utf-8&oe=utf-8. [19 Desember 2010]

Timm, N.H. (2002). Applied Multivariat Technique. New York : Springer-Verlag. Wakhinudin. (2009). Analisis Komponen Utama. [Online]. Tersedia:

http://wakhinuddin.wordpress.com/2009/12/26/analisis-komponen-utama-aku/. [18 Juli 2010]

(1)

À2 berdasarkan himpunan ¿₂. Maka det À ≤ det À jika dan hanya jika 61= 62 dan À1 = À2.

3.2.5 Pembobotan Pencilan

Putrasto (1996:12) mengungkapkan bahwa setiap pencilan akan diboboti, kemudian dibentuk matriks data baru

Ä

dari matriks data dengan pembobotan. Mekanisme diagram dual dari transformasi matriks data menjadi matriks data dengan pembobotan pencilan

Ä

, nampak pada diagram dual berikut:

gambar 3.3 Diagram Dual dengan Pembobotan

Pembobotan pencilan tersebut dinyatakan dengan matriks diagonal, yaitu matriks Δ_ii

.

Setiap entri ke-ii yang merupakan pencilan diberi bobot satu sedangkan yang bukan merupakan pencilan diboboti nol. Kemudian matriks tersebut dikalikan dengan

; , dengan C adalah banyaknya pencilan.

Definisi 3.2.5.1 Pembobotan Pencilan (Putrasto, 1996:15)

Misalkan adalah matriks data asli, maka matriks pembobotan pencilan dinotasikan dengan Æ.

Æ ₌ _X _C8C_{− 1}_C₁_C 1 C ΔY

E F*

E* F

M _W

(2)

Ä

Berdasarkan uraian-uraian sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa langkah-langkah dalam pereduksian ruang individu adalah sebagai berikut:

3. Membentuk kombinasi linear dari vektor karakteristik yang ortonormal.

4. Menghitung proporsi komponen utama untuk menentukan banyaknya komponen yang akan diambil.

Untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat, dapat dilakukan pendeteksian dan penanganan pencilan sebagai berikut:

1. Pendeteksian pencilan dengan menggunakan metode minimum covariance determinant.

2. Transformasi matriks data menjadi matriks data dengan pembobotan pencilan