# A NALISIS STRUKTUR MENGGUNAKAN IDEALIZED STRUCTURAL UNIT METHOD (ISUM) PADA ELEMEN PELAT SEGI EMPAT

(1)

Seminar Nasional Teori dan Aplikasi Teknologi Kelautan, 15 Desember 2011 II - 122

## METHOD (ISUM) PADA ELEMEN PELAT SEGI EMPAT

Sukron Makmun1), Achmad Zubaidy2), dan P. Eko Panunggal2)

1)

Mahasiswa Program Studi Teknik Produksi dan Material Kelautan, FTK-ITS,

2)Pengajar Program Studi Teknik Produksi dan Material Kelautan FTK-ITS

Abstract

The emphasis on structural design has moved from the allowable stress design to limit state design, because the limit state approach has more advantages. Limit state proved able to access the structure limits the more real. And one of the calculation of limit state design criteria is the ultimate limit state (ULS) and is often called the ultimate strength. ULS calculation method theoretically should consider the effects of buckling and yielding. The theory is known as the theory of elastoplastic large deflection analysis. The basic concept of this theory is to include the effects of geometry and material non-linear. FEM though very powerful in solving the problems of linear structure, but the FEM also has a weakness in analyzing non-linear structures that are large. The difficulty is in modeling the complex structure and time consuming in numerical calculations. This raises ISUM elements to model a structure as an arrangement of various types of structural elements units are large and well formulated analytically, numerically and experimentally, or combinations. By using numerical calculations ISUM elements in non-linear structures are more effective and efficient.

The purpose of this study was to examine the structures using ISUM. Form of the selected element was a rectangular plate. In this case, the idealized plate element such that a four-node and each node has 6 degrees of freedom. The element stiffness matrix formulation were programmed using MATLAB software. The results obtained indicate that ISUM able to analyze large-sized structures (ratio a/b = 0.75-1.5) with error rate <6%. ISUM analysis results are very useful for the calculation of non-linear structure. This is due to the non-linear structural analysis requires the modeling and computation time is longer when using conventional FEM analysis.

Keywords:limit state, ISUM, rectangular plate, stiffness matrix, non-linear structure 1. PENDAHULUAN

Penekanan desain struktur pada dekade terakhir telah berpindah dari allowable stress design ke limit state design, karena pendekatan limit state memiliki lebih banyak keuntungan (Yao, et al, [5]). Ultimate limit state (ULS) adalah salah satu desain kriteria perhitungan limit state (Paik, et al [2]). ULS adalah sebuah kriteria pengukuran yang realistis dari kekuatan struktur dan sistem, karena menunjukkan kapasitas maksimum untuk menerima beban. Hal ini berarti tidak ada tambahan beban yang dapat diterima pada kondisi ultimate. Menurut Paik, et al [2] pada kombinasi beban secara umum, buckling dan yielding akan mendominasi ultimate strength ketika compressive stress dominan dan yielding akan mendominasi ultimate strength pada saat tensile stress dominan. Kondisi elastic buckling merupakan salah satu kriteria kegagalan suatu struktur yang akan mencapai ULS. Metode perhitungan ULS secara teoritis harus mempertimbangkan efek buckling dan yielding. Teori tersebut dikenal sebagai teori elastoplastic large deflection analysis. Teori tersebut mengikutkan efek geometri dan material non-linier.

FEM merupakan sebuah program yang powerful untuk menyelesaikan permasalahan struktur non-linier. Tetapi FEM mempunyai kelemahan dalam menganalisis struktur yang berukuran besar. Kesulitan yang terjadi adalah dalam pemodelan struktur yang komplek dan perlu waktu yang banyak dalam perhitungan numeriknya. Kelemahan tersebut dapat diatasi dengan cara mengurangi jumlah derajat kebebasan (degree of freedom/DOF) dari FEM sehingga mengurangi jumlah yang tidak diketahui dari matrik kekakuannya. Salah satu metode yang dikembangkan untuk memecahkan permasalahan itu adalah dengan ISUM (Paik, et al., [3]). ISUM merupakan metode untuk memodelkan suatu struktur sebagai susunan dari beberapa jenis unit struktur yang besar dan diformulasikan baik secara analitis, numerik serta eksperimental atau kombinasinya. Hasil dari pemodelan tersebut adalah sebuah elemen ISUM. Berbagai kondisi yang telah diuraikan memunculkan ide penelitian, yaitu bagaimana pengembangan perangkat lunak untuk menganalisis suatu struktur berukuran besar dengan metode ISUM pada elemen pelat segi empat. Hasil yang didapatkan merupakan suatu formulasi matrik kekakuan elemen. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengkaji perilaku

(2)

Seminar Nasional Teori dan Aplikasi Teknologi Kelautan, 15 Desember 2011 II - 123 elemen struktur dengan menggunakan metode ISUM. Kemudian mengaplikasikannya ke dalam sebuah program perhitungan pada elemen pelat segi empat yang berbasis pada MATLAB software.

2. Dasar Teori

2.1 Teori Large Displacement

Perilaku post buckling atau large deflection pelat dapat dianalisa dengan menyelesaikan dua persamaan diferensial non-linier dari large deflection plate theory. Persaman tersebut disebut sebagai persamaan kesetimbangan 1a dan persamaan compatibility 1b (Marguerre, [1]):

(1a) (1b) dimana: D = Et3/[12(1-υ2)] , ω, ωo = added dan initial deflection, F = fungsi tegangan Airy 2.2 ISUM

ISUM adalah penyederhanaan dari FEM non-linear. Perbedaan dengan FEM non-linier konvensional adalah ISUM mengidealisasikan komponen struktur menjadi sebuah elemen dengan nodal point yang lebih sedikit. Untuk membuat model struktur secara lengkap pada analisis struktur non-linier diperlukan berbagai jenis ISUM elemen. Perilaku setiap jenis unit struktur diselidiki berdasarkan teori-teori fundamental maupun analisis teori olahan, seperti analisis elemen hingga dan penelitian eksperimental. Kemudian diidealisasi dan berbagai kondisi diformulasikan untuk semua kemungkinan kegagalan yang akan terjadi dalam satu unit struktur. Hal ini berlaku seperti buckling pada beberapa unit komponen.

Hubungan Regangan dan Displasemen

Persamaan 2 digunakan untuk mengukur hubungan regangan dan displasemen pada ISUM.

(2)

Selain itu juga diperhitungkan pengaruh out-of-plane large deformation karena elemen pelat yang dianalisa berukuran besar. Sehingga pendekatannya digunakan persamaan incremental:

(3a) (3b)

(3c)

Nilai prefiks, ∆, menyatakan kenaikan yang sangat kecil dan terus menerus setiap variabel. Agar {U} lebih sederhana, maka dipisah menjadi: (1) {S}, adalah untuk komponen in-plane, (2) {W}, adalah untuk komponen out-of-plane, (3) Komponen untuk rotasi terhadap sumbu z. Sehingga:

(3)

Seminar Nasional Teori dan Aplikasi Teknologi Kelautan, 15 Desember 2011 II - 124 { } = [Bp]{∆S} - z[Bp]{∆W} + [Cp][Gp]{∆S} + [Cb][Gb]{∆W} + [∆Cp][Gp]{∆S} + [Cb][Gb]{∆W} = [B]{∆U} (4)

Dimana,

{ } = { x, ∆ y, ∆γxy} T

= increment of strain vector {U} = {S W}T = nodal displacement vector

{S} = {u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4}T= in-plane displacement vector

{W} = {w1 θx1 θx1 w2 θx1 θx1 w3 θx1 θx1 w4 θx1 θx1}T= the out of plane displacement vector [B] = strain-displacement matrix

Matrik Kekakuan Elastis

Persamaan untuk menentukan matrik kekakuan disajikan pada Persamaan 5.

## Dimana,

(4)

Seminar Nasional Teori dan Aplikasi Teknologi Kelautan, 15 Desember 2011 II - 125 3. Metodologi Penelitian

Penelitian yang dilakukan bersifat analitis dan numerik dalam hal perumusan matrik kekakuan elemen sampai tercapai kondisi buckling. Tahap penelitian selengkapnya tersaji pada Gambar 1.

Gambar 8. Diagram Alir Penelitian

Asumsi-asumsi yang ditetapkan dalam pendefinisian elemen pelat adalah sebagai berikut: a. Pembebanan bersifat kombinasi

b. Kondisi batas adalah simply supported c. Material bersifat isotropik

d. Elemen pelat mempunyai empat titik nodal pada tiap-tiap pojoknya

e. Tiap-tiap nodal poin mempunyai enam derajat kebebasan. Penentuan unit elemen pelat dan titik nodal yang digunakan ditampilkan pada Gambar 2.

Unit Elemen ISUM untuk Pelat Segi Empat

Elemen ISUM mempunyai empat nodal (1, 2, 3 dan 4). Kombinasi antara deformasi in-plane dan out-of-plane dapat digambarkan ke dalam dua vektor, yaitu nodal force vector {R} dan displacement vector {U} yang memiliki enam derajat kebebasan di setiap nodal.

{R} = {Rx1 Ry1 Rz1 Mx1 My1 Mz1…… Rx4 Ry4 Rz4 Mx4 My4 Mz4}T (6a) {U} = {u1 v1 w1θx1θy1θz1……u4 v4 w4θx4θy4θz4}T (6b)

Gambar 9. Unit Elemen dan Titik Nodal ( ) (Ueda, et al., [4])

START

Pendefinisian elemen ISUM Penentuan displacement function

Penentuan matrik kekakuan dan persamaannya Pendefinisian strain-displacement dan stress-strain

Pendefinisian perilaku elemen Penulisan Program Numerik

Running Validasi Yes

No

(5)

Seminar Nasional Teori dan Aplikasi Teknologi Kelautan, 15 Desember 2011 II - 126 Matrik kekakuan dan persamaannya diturunkan dengan menggunakan metode principal virtual work. Sedangkan rumusan numerik ditulis dengan menggunakan software MATLAB. Setelah pembuatan program numerik selesai maka program dijalankan sesuai dengan fungsinya. Langkah terakhir adalah validasi hasil dengan menggunakan perhitungan secara analitis. 4. Analisa Hasil dan Pembahasan

4.1. Formulasi Elemen

Formulasi elemen ISUM merupakan serangkaian tahapan yang dimulai dari tahap pendefinisian elemen, penentuan displacement function, pendefinisian stress displacement dan stress strain sehingga dihasilkan suatu persamaan matrik kekakuan. Elemen yang digunakan untuk formulasi adalah pelat berbentuk segi empat. Bentuk ini dipilih karena banyak diaplikasikan pada bidang kontruksi kapal. Selain itu bentuk geometri tersebut sesuai dengan kondisi buckling.

Langkah-langkah penurunan matrik kekakuan secara lengkap adalah sebagai berikut:  Penentuan displacement function dan shape function (N)

Keterangan:

R : translasi nodal force arah sumbu x, y dan z

Mx & My :out-of-plane momen bending arah sumbu x dan y Mz : momen torsi arah sumbu z

u,v dan w : translasi displacement node arah sumbu x, y & z θx = -∂w/∂y, θy = -∂w/∂x dan θz adalah rotasi searah sumbu

x,y dan z

Gambar 10. Koordinat Lokal untuk Elemen ISUM dengan Nodal Forces dan Displasemennya Persamaan displasemen beserta rotasinya ditampilkan pada Persamaan (7) - (12).

(7) (8) (9) = -c3 - c5x - 2c6y - c8x2 - 2c9xy - 3c10y2- c11x3 - 3c12xy2 (10)

= c2 + 2c4x + c5y + 3c7x2 + 2c8xy + c9y2 + 3c11x2y + c12y3 (11)

= a3 + b2 (12)

dalam bentuk ringkas

## ,

(13)

(6)

Seminar Nasional Teori dan Aplikasi Teknologi Kelautan, 15 Desember 2011 II - 127 Untuk mendapatkan nilai a1-a4, b1-b4, c1-c12 dari Persamaan (1) dan (2), maka dimasukkanlah

koordinat titik simpul ke dalam persamaan tersebut. Hasil yang didapatkan ditunjukkan pada Persamaan (15) dan (16). Dimana koordinat nodalnya adalah:

nodal 1: (x1,y1), nodal 2: (x1,(y1+b)), nodal 3: ((x1+a),(y1+b)), dan nodal 4: ((x1+a),y1),

u1 1 x

1 y1 x1y1 0 0 0 1/2(b

2-y

12) a1

(15)

v1 0 0 0 1/2(a2- x12) 1 x1 y1 x1y1 a2

u2 1 x1 (y1+b) x1 (y1+b) 0 0 0 1/2(b2- (y1+b)2) a3

v2 0 0 0 1/2(a2- x12) 1 x1 (y1+b) x1 (y1+b) a4

u3 = 1 (x1+a) (y1+b) (x1+a)(y1+b) 0 0 0 1/2(b2- (y1+b)2) b1

v3 0 0 0

1/2(a2-

(x1+a)2) 1 (x1+a) (y1+b) (x1+a)(y1+b) b2

u4 1 (x1+a) y1 (x1+a)y1 0 0 0 1/2(b2- y12) b3

v4 0 0 0

1/2(a2-

(x1+a)2) 1 (x1+a) y1 (x1+a)y1 b4

w1 1 x1 y1 x12 x1y1 y12 x13 x12y1

x1 0 0 -1 0 -x1 -2y1 0 -x12 y1 0 1 0 2x1 y1 0 3x12 2x1y1

w2 1 x1 (y1+b) x12 x1(y1+b) (y1+b)2 x13 x12(y1+b) x2 0 0 -1 0 -x1

-2(y1+b)

0 -x12

y2 = 0 1 0 2x1 (y1+b) 0 3x12 2x1(y1+b)

w3 1 (x1+a) (y1+b) (x1+a)2 (x1+a)(y1+b) (y1+b)2 (x1+a)3 (x1+a)2(y1+b) x3 0 0 -1 0 -(x1+a)

-2(y1+b)

0 -(x1+a)2

y3 0 1 0 2(x1+a) (y1+b) 0 3(x1+a)2 2(x1+a)(y1+b)

w4 1 (x1+a) y1 (x1+a)2 (x1+a)y1 y12 (x1+a)3 (x1+a)2y1 x4 0 0 -1 0 -(x1+a) -2y1 0 -(x1+a)2 y4 0 1 0 2(x1+a) y1 0 3(x1+a)2 2(x1+a)y1

x1y12 y13 x13y1 x1y1 3

c1

-2x1y1 -3y12 -x13 -3x1y12 c2

y12 0 3x12y1 y13 c3

x1 (y1+b)2 (y1+b)3 x13(y1+b) x1 (y1+b)3 c4

-2x1 (y1+b) -3(y1+b)2 -x13 -3x1 (y1+b)2 c5

(y1+b)2 0 3x12(y1+b) (y1+b)3 c6 (16)

(x1+a)(y1+b)2 (y1+b)3 (x1+a)3(y1+b) (x1+a)(y1+b)3 c7

-2(x1+a)(y1+b) -3(y1+b)2 -(x1+a)3 -3(x1+a)(y1+b)2 c8

(y1+b)2 0 3(x1+a)2(y1+b) (y1+b)3 c9

(x1+a)y12 y13 (x1+a)3y1 (x1+a)y13 c10

-2(x1+a)y1 -3y12 -(x1+a)3 -3(x1+a)y12 c11

y12 0 3(x1+a)2y1 y13 c12

Persamaan (15) dan Persamaan (16), dapat ditulis dalam bentuk ringkas menjadi, dan

dimana ukuran matrik adalah 8x8 dan ukuran adalah 12x12, sehingga konstanta dan dan dapat diselesaikan dengan:

dan

(7)

Seminar Nasional Teori dan Aplikasi Teknologi Kelautan, 15 Desember 2011 II - 128 dimana , : persamaan shape function 1

: persamaan shape function 2

Jadi, persamaan shape function secara umum dapat ditulis sbb:

 Pendefinisian hubungan strain-displacement dan stress-strain

Pendefinisian elemen strain dan stress dinyatakan dengan tidak diketahuinya variabel nodal displacements (elemen matrik ab dan c).

o Hubungan strain-displacement dinyatakan dalam Persamaan (2), dan dinyatakan dalam bentuk inkremen dalam Persamaan (3), kemudian dimasukkan nilai shape function ke dalam persamaan tersebut dan setelah itu didapatkan nilai matrik [B], yang dinyatakan Persamaan (4).

o Setelah itu didapatkan nilai tegangan dari hubungan stress-strain yang dinyatakan dalam Persamaan 17.

{ } = [D]E { }E (17)

 Penurunan matrik kekakuan

Persamaan matrik kekakuan sudah didefinisikan dalam Persamaan (5), dengan memasukkan nilai-nilai komponen yang telah didapatkan dari langkah sebelumnya. 4.2. Pembuatan Program Numerik

Hasil dari matrik kekakuan dalam tahap formulasi elemen kemudian dimasukkan ke dalam program numerik. Dimana matrik kekakuan yang dihasilkan mempunyai sifat-sifat dari elemen ISUM, yaitu mampu menghitung struktur dengan elemen yang lebih besar dan mempunyai hasil yang sama dengan FEM biasa maupun dengan pembuktian perhitungan analitis. Dalam hal ini pemograman numerik ditulis kedalam MATLAB code dan dengan langkah-langkah yang sesuai dengan formulasi elemen yang telah dijabarkan sebelumnya.

4.3. Running Program

Program numerik yang dihasilkan kemudian diaplikasikan untuk menganalisa kasus struktur elastis sederhana. Struktur merupakan sebuah pelat segi empat yang dikenai beban merata dan mendapatkan tumpuan sederhana pada sisi yang berhadapan. Input data yang diberikan dalam MATLAB code ditunjukkan secara detail pada Gambar 4.

Input Data:

Young’s εodulus, E = 215x 10^9 Pa

Plate thickness, t = 0.01 m Poisson’s ratio, υ = 0.γ Length of the plate, a = 1 m

Breadth of the plate, b = 0.5 m

Gambar 4. Model Struktur Beserta Beban dan Tumpuannya

Dalam pemodelan numerik yang disajikan pada Gambar 4 didefinisikan sebuah pelat dengan jumlah elemen 1 dan jumlah nodal 4 pada setiap sudutnya. Hasil running menunjukkan bahwa

x y) mempunyai nilai yang sama pada tiap

(8)

Seminar Nasional Teori dan Aplikasi Teknologi Kelautan, 15 Desember 2011 II - 129 (a) Koordinat Tegangan dalam Pelat (b) Distribusi Tegangan Pada Sumbu x

Gambar 5. Distribusi Tegangan Pada Pelat

Gambar 5(a) dan 5(b) menampilkan distribusi kontur warna yang sama. Hal ini mengandung pengertian bahwa beban yang terjadi merata, demikian pula tegangan yang dihasilkan. Nilai persentase error dari perhitungan tegangan ditampilkan pada Gambar 6.

Gambar 6. Hubungan Rasio Dimensi Elemen dengan Persentase Tingkat Kesalahan

Gambar 6 memberikan informasi bahwa rasio dimensi elemen pelat paling efektif ditunjukkan pada rentang antara 0.75-1.5. Hal ini disebabkan pada rentang tersebut dihasilkan tingkat kesalahan yang relatif kecil dibandingkan dengan rasio sebelum dan sesudahnya.

4.4. Validasi

Hasil perhitungan secara numerik tersebut kemudian divalidasi dengan menggunakan persamaan analitis sebagai berikut:

2

2

2

## 5 N

Hasil perhitungan program MATLAB dan hasil validasi untuk tegangan secara analitis disajikan pada Tabel 1.

SigM(y) Distribution -1.55E+003 -1.47E+003 -1.38E+003 -1.29E+003 -1.21E+003 -1.12E+003 -1.03E+003 -9.48E+002 -8.62E+002 -7.75E+002 -6.89E+002 -6.02E+002 -5.16E+002 -4.30E+002 -3.43E+002 -2.57E+002 -1.71E+002 -8.42E+001 +2.21E+000 +8.86E+001 +1.75E+002 +2.61E+002 +3.48E+002 +4.34E+002 SigM(x) Distribution +8.51E+002 +8.77E+002 +9.03E+002 +9.29E+002 +9.55E+002 +9.81E+002 +1.01E+003 +1.03E+003 +1.06E+003 +1.08E+003 +1.11E+003 +1.14E+003 +1.16E+003 +1.19E+003 +1.21E+003 +1.24E+003 +1.27E+003 +1.29E+003 +1.32E+003 +1.34E+003 +1.37E+003 +1.40E+003 +1.42E+003 +1.45E+003

(9)

Seminar Nasional Teori dan Aplikasi Teknologi Kelautan, 15 Desember 2011 II - 130

Tabel 1. Perbandingan Tegangan Distribution dengan Hasil Validasi

a/b x) (%)

error

MATLAB Analitis

1,50 1054,51 1000,00 5,5

1,25 1046,65 1000,00 4,7

1,00 1032,17 1000,00 3,2

0,75 1000,89 1000,00 0,1

Tabel 1 menyajikan prosentase kesalahan untuk rentang rasio dimensi elemen dalam rentang 0.75-1.5, yaitu sebesar 0.001-0.055 (< 6%).

5. Kesimpulan

Hasil yang didapatkan menunjukkan bahwa ISUM mampu menganalisa struktur berukuran besar (rasio a/b = 0.75-1.5) menggunakan MATLAB software dengan tingkat error < 6%. Hasil analisa ISUM tersebut sangat berguna untuk perhitungan struktur non-linier. Hal ini disebabkan analisa struktur non-linier memerlukan waktu pemodelan dan perhitungan yang lama bila menggunakan analisa FEM konvensional. Keuntungan lain dari ISUM adalah mampu merespon beban kombinasi (beban compressive, tensile dan beban pressure) dilihat dari bentuk persamaan shape function yang dihasilkan.

Ucapan Terimakasih

Penulis ingin mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya kepada segenap staf PT. Biro Klasifikasi Indonesia (Persero) atas semua dukungan yang diberikan. Selain itu juga disampaikan kepada Indri Suryawati, ST atas bantuan dalam pemahaman terkait MATLAB code.

REFRENSI

Marguerre, K. (1938), Zur Thorie der Gekreumter Platter Grosser Formaenderung. Proceedings of the 5th International Congress for Applied Mechanics, Cambridge.

Paik, J.K., Seo, J.K. dan Kim, D.M., (2006), Idealized Structural Unit Method and Its Application to Progressive Hull Girder Collapse Analysis of Ship, SAOS, Vol. 1 No. 3 pp. 235-247. Paik, J.K., Thayamballi, A.K., dan Kim, B.J. (2001), Advanced Ultimate Strength Formulations

for Ship Plating Under Combined Biaxial Compression/Tension, Edge Shear, and Lateral Pressure Loads, Marine Technology, Vol. 38, No. 1, pp. 9-25.

Ueda, Y., Rashed, S.M.H. dan Abdel-Nasser, Y., 1993, An Improved ISUM Rectangular Plate Element Taking Account of Post-Ultimate Strength Behavior, Marine Structures, Vol. 6, 139-172.

Yao, T., Brunner, E., Cho, S.R., Choo, Y.S., Czujko, J., Estefen, S.F., Gordo, J.M., Hess, P.E., Naar, H., Pu, Y., Rigo, P., dan Wan, Z.Q., Ultimate Strength, 16th International Ship And Offshore Structures Congress (ISSC), Vol. 1, 20-25 Agustus 2006, Southampton, United Kingdom.

(1)

Seminar Nasional Teori dan Aplikasi Teknologi Kelautan, 15 Desember 2011 II - 125 3. Metodologi Penelitian

Penelitian yang dilakukan bersifat analitis dan numerik dalam hal perumusan matrik kekakuan elemen sampai tercapai kondisi buckling. Tahap penelitian selengkapnya tersaji pada Gambar 1.

Gambar 8. Diagram Alir Penelitian

Asumsi-asumsi yang ditetapkan dalam pendefinisian elemen pelat adalah sebagai berikut: a. Pembebanan bersifat kombinasi

b. Kondisi batas adalah simply supported c. Material bersifat isotropik

d. Elemen pelat mempunyai empat titik nodal pada tiap-tiap pojoknya

e. Tiap-tiap nodal poin mempunyai enam derajat kebebasan. Penentuan unit elemen pelat dan titik nodal yang digunakan ditampilkan pada Gambar 2.

Unit Elemen ISUM untuk Pelat Segi Empat

Elemen ISUM mempunyai empat nodal (1, 2, 3 dan 4). Kombinasi antara deformasi in-plane dan out-of-plane dapat digambarkan ke dalam dua vektor, yaitu nodal force vector {R} dan displacement vector {U} yang memiliki enam derajat kebebasan di setiap nodal.

{R} = {Rx1 Ry1 Rz1 Mx1 My1 Mz1…… Rx4 Ry4 Rz4 Mx4 My4 Mz4}T (6a)

{U} = {u1 v1 w1θx1θy1θz1……u4 v4 w4θx4θy4θz4}T (6b)

Gambar 9. Unit Elemen dan Titik Nodal ( ) (Ueda, et al., [4])

START

Pendefinisian elemen ISUM Penentuan displacement function

Penentuan matrik kekakuan dan persamaannya Pendefinisian strain-displacement dan stress-strain

Pendefinisian perilaku elemen Penulisan Program Numerik

Running Validasi Yes

No

(2)

Seminar Nasional Teori dan Aplikasi Teknologi Kelautan, 15 Desember 2011 II - 126 Matrik kekakuan dan persamaannya diturunkan dengan menggunakan metode principal virtual work. Sedangkan rumusan numerik ditulis dengan menggunakan software MATLAB. Setelah pembuatan program numerik selesai maka program dijalankan sesuai dengan fungsinya. Langkah terakhir adalah validasi hasil dengan menggunakan perhitungan secara analitis. 4. Analisa Hasil dan Pembahasan

4.1. Formulasi Elemen

Formulasi elemen ISUM merupakan serangkaian tahapan yang dimulai dari tahap pendefinisian elemen, penentuan displacement function, pendefinisian stress displacement dan stress strain sehingga dihasilkan suatu persamaan matrik kekakuan. Elemen yang digunakan untuk formulasi adalah pelat berbentuk segi empat. Bentuk ini dipilih karena banyak diaplikasikan pada bidang kontruksi kapal. Selain itu bentuk geometri tersebut sesuai dengan kondisi buckling.

Langkah-langkah penurunan matrik kekakuan secara lengkap adalah sebagai berikut:  Penentuan displacement function dan shape function (N)

Keterangan:

R : translasi nodal force arah sumbu x, y dan z

Mx & My :out-of-plane momen bending arah sumbu x dan y Mz : momen torsi arah sumbu z

u,v dan w : translasi displacement node arah sumbu x, y & z

θx = -∂w/∂y, θy = -∂w/∂x dan θz adalah rotasi searah sumbu x,y dan z

Gambar 10. Koordinat Lokal untuk Elemen ISUM dengan Nodal Forces dan Displasemennya Persamaan displasemen beserta rotasinya ditampilkan pada Persamaan (7) - (12).

(7) (8) (9) = -c3 - c5x - 2c6y - c8x2 - 2c9xy - 3c10y2- c11x3 - 3c12xy2 (10)

= c2 + 2c4x + c5y + 3c7x2 + 2c8xy + c9y2 + 3c11x2y + c12y3 (11)

= a3 + b2 (12)

dalam bentuk ringkas

## ,

(13)

(3)

Seminar Nasional Teori dan Aplikasi Teknologi Kelautan, 15 Desember 2011 II - 127 Untuk mendapatkan nilai a1-a4, b1-b4, c1-c12 dari Persamaan (1) dan (2), maka dimasukkanlah

koordinat titik simpul ke dalam persamaan tersebut. Hasil yang didapatkan ditunjukkan pada Persamaan (15) dan (16). Dimana koordinat nodalnya adalah:

nodal 1: (x1,y1), nodal 2: (x1,(y1+b)), nodal 3: ((x1+a),(y1+b)), dan nodal 4: ((x1+a),y1),

u1 1 x

1 y1 x1y1 0 0 0 1/2(b

2-y

12) a1

(15)

v1 0 0 0 1/2(a2- x12) 1 x1 y1 x1y1 a2

u2 1 x1 (y1+b) x1 (y1+b) 0 0 0 1/2(b2- (y1+b)2) a3

v2 0 0 0 1/2(a2- x12) 1 x1 (y1+b) x1 (y1+b) a4

u3 = 1 (x1+a) (y1+b) (x1+a)(y1+b) 0 0 0 1/2(b2- (y1+b)2) b1

v3 0 0 0

1/2(a2-

(x1+a)2) 1 (x1+a) (y1+b) (x1+a)(y1+b) b2

u4 1 (x1+a) y1 (x1+a)y1 0 0 0 1/2(b2- y12) b3

v4 0 0 0

1/2(a2-

(x1+a)2) 1 (x1+a) y1 (x1+a)y1 b4

w1 1 x1 y1 x12 x1y1 y12 x13 x12y1

x1 0 0 -1 0 -x1 -2y1 0 -x12

y1 0 1 0 2x1 y1 0 3x12 2x1y1

w2 1 x1 (y1+b) x12 x1(y1+b) (y1+b)2 x13 x12(y1+b)

x2 0 0 -1 0 -x1

-2(y1+b)

0 -x12

y2 = 0 1 0 2x1 (y1+b) 0 3x12 2x1(y1+b)

w3 1 (x1+a) (y1+b) (x1+a)2 (x1+a)(y1+b) (y1+b)2 (x1+a)3 (x1+a)2(y1+b) x3 0 0 -1 0 -(x1+a)

-2(y1+b)

0 -(x1+a)2 y3 0 1 0 2(x1+a) (y1+b) 0 3(x1+a)2 2(x1+a)(y1+b)

w4 1 (x1+a) y1 (x1+a)2 (x1+a)y1 y12 (x1+a)3 (x1+a)2y1 x4 0 0 -1 0 -(x1+a) -2y1 0 -(x1+a)2 y4 0 1 0 2(x1+a) y1 0 3(x1+a)2 2(x1+a)y1

x1y12 y13 x13y1 x1y1

3

c1

-2x1y1 -3y12 -x13 -3x1y12 c2

y12 0 3x12y1 y13 c3

x1 (y1+b)2 (y1+b)3 x13(y1+b) x1 (y1+b)3 c4

-2x1 (y1+b) -3(y1+b)2 -x13 -3x1 (y1+b)2 c5

(y1+b)2 0 3x12(y1+b) (y1+b)3 c6 (16)

(x1+a)(y1+b)2 (y1+b)3 (x1+a)3(y1+b) (x1+a)(y1+b)3 c7

-2(x1+a)(y1+b) -3(y1+b)2 -(x1+a)3 -3(x1+a)(y1+b)2 c8

(y1+b)2 0 3(x1+a)2(y1+b) (y1+b)3 c9

(x1+a)y12 y13 (x1+a)3y1 (x1+a)y13 c10

-2(x1+a)y1 -3y12 -(x1+a)3 -3(x1+a)y12 c11

y12 0 3(x1+a)2y1 y13 c12

Persamaan (15) dan Persamaan (16), dapat ditulis dalam bentuk ringkas menjadi, dan

dimana ukuran matrik adalah 8x8 dan ukuran adalah 12x12, sehingga konstanta dan dan dapat diselesaikan dengan:

dan

(4)

Seminar Nasional Teori dan Aplikasi Teknologi Kelautan, 15 Desember 2011 II - 128 dimana , : persamaan shape function 1

: persamaan shape function 2

Jadi, persamaan shape function secara umum dapat ditulis sbb:

 Pendefinisian hubungan strain-displacement dan stress-strain

Pendefinisian elemen strain dan stress dinyatakan dengan tidak diketahuinya variabel nodal displacements (elemen matrik ab dan c).

o Hubungan strain-displacement dinyatakan dalam Persamaan (2), dan dinyatakan dalam bentuk inkremen dalam Persamaan (3), kemudian dimasukkan nilai shape function ke dalam persamaan tersebut dan setelah itu didapatkan nilai matrik [B], yang dinyatakan Persamaan (4).

o Setelah itu didapatkan nilai tegangan dari hubungan stress-strain yang dinyatakan dalam Persamaan 17.

{ } = [D]E { }E (17)

 Penurunan matrik kekakuan

Persamaan matrik kekakuan sudah didefinisikan dalam Persamaan (5), dengan memasukkan nilai-nilai komponen yang telah didapatkan dari langkah sebelumnya. 4.2. Pembuatan Program Numerik

Hasil dari matrik kekakuan dalam tahap formulasi elemen kemudian dimasukkan ke dalam program numerik. Dimana matrik kekakuan yang dihasilkan mempunyai sifat-sifat dari elemen ISUM, yaitu mampu menghitung struktur dengan elemen yang lebih besar dan mempunyai hasil yang sama dengan FEM biasa maupun dengan pembuktian perhitungan analitis. Dalam hal ini pemograman numerik ditulis kedalam MATLAB code dan dengan langkah-langkah yang sesuai dengan formulasi elemen yang telah dijabarkan sebelumnya.

4.3. Running Program

Program numerik yang dihasilkan kemudian diaplikasikan untuk menganalisa kasus struktur elastis sederhana. Struktur merupakan sebuah pelat segi empat yang dikenai beban merata dan mendapatkan tumpuan sederhana pada sisi yang berhadapan. Input data yang diberikan dalam MATLAB code ditunjukkan secara detail pada Gambar 4.

Input Data:

Young’s εodulus, E = 215x 10^9 Pa

Plate thickness, t = 0.01 m

Poisson’s ratio, υ = 0.γ Length of the plate, a = 1 m

Breadth of the plate, b = 0.5 m

Gambar 4. Model Struktur Beserta Beban dan Tumpuannya

Dalam pemodelan numerik yang disajikan pada Gambar 4 didefinisikan sebuah pelat dengan jumlah elemen 1 dan jumlah nodal 4 pada setiap sudutnya. Hasil running menunjukkan bahwa

x y) mempunyai nilai yang sama pada tiap

(5)

Seminar Nasional Teori dan Aplikasi Teknologi Kelautan, 15 Desember 2011 II - 129

(a) Koordinat Tegangan dalam Pelat (b) Distribusi Tegangan Pada Sumbu x

Gambar 5. Distribusi Tegangan Pada Pelat

Gambar 5(a) dan 5(b) menampilkan distribusi kontur warna yang sama. Hal ini mengandung pengertian bahwa beban yang terjadi merata, demikian pula tegangan yang dihasilkan. Nilai persentase error dari perhitungan tegangan ditampilkan pada Gambar 6.

Gambar 6. Hubungan Rasio Dimensi Elemen dengan Persentase Tingkat Kesalahan

Gambar 6 memberikan informasi bahwa rasio dimensi elemen pelat paling efektif ditunjukkan pada rentang antara 0.75-1.5. Hal ini disebabkan pada rentang tersebut dihasilkan tingkat kesalahan yang relatif kecil dibandingkan dengan rasio sebelum dan sesudahnya.

4.4. Validasi

Hasil perhitungan secara numerik tersebut kemudian divalidasi dengan menggunakan persamaan analitis sebagai berikut:

2

2

2

## 5 N

Hasil perhitungan program MATLAB dan hasil validasi untuk tegangan secara analitis disajikan pada Tabel 1.

SigM(y) Distribution -1.55E+003 -1.47E+003 -1.38E+003 -1.29E+003 -1.21E+003 -1.12E+003 -1.03E+003 -9.48E+002 -8.62E+002 -7.75E+002 -6.89E+002 -6.02E+002 -5.16E+002 -4.30E+002 -3.43E+002 -2.57E+002 -1.71E+002 -8.42E+001 +2.21E+000 +8.86E+001 +1.75E+002 +2.61E+002 +3.48E+002 +4.34E+002 SigM(x) Distribution +8.51E+002 +8.77E+002 +9.03E+002 +9.29E+002 +9.55E+002 +9.81E+002 +1.01E+003 +1.03E+003 +1.06E+003 +1.08E+003 +1.11E+003 +1.14E+003 +1.16E+003 +1.19E+003 +1.21E+003 +1.24E+003 +1.27E+003 +1.29E+003 +1.32E+003 +1.34E+003 +1.37E+003 +1.40E+003 +1.42E+003 +1.45E+003

(6)

Seminar Nasional Teori dan Aplikasi Teknologi Kelautan, 15 Desember 2011 II - 130

Tabel 1. Perbandingan Tegangan Distribution dengan Hasil Validasi

a/b x) (%)

error

MATLAB Analitis

1,50 1054,51 1000,00 5,5

1,25 1046,65 1000,00 4,7

1,00 1032,17 1000,00 3,2

0,75 1000,89 1000,00 0,1

Tabel 1 menyajikan prosentase kesalahan untuk rentang rasio dimensi elemen dalam rentang 0.75-1.5, yaitu sebesar 0.001-0.055 (< 6%).

5. Kesimpulan

Hasil yang didapatkan menunjukkan bahwa ISUM mampu menganalisa struktur berukuran besar (rasio a/b = 0.75-1.5) menggunakan MATLAB software dengan tingkat error < 6%. Hasil analisa ISUM tersebut sangat berguna untuk perhitungan struktur non-linier. Hal ini disebabkan analisa struktur non-linier memerlukan waktu pemodelan dan perhitungan yang lama bila menggunakan analisa FEM konvensional. Keuntungan lain dari ISUM adalah mampu merespon beban kombinasi (beban compressive, tensile dan beban pressure) dilihat dari bentuk persamaan shape function yang dihasilkan.

Ucapan Terimakasih

Penulis ingin mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya kepada segenap staf PT. Biro Klasifikasi Indonesia (Persero) atas semua dukungan yang diberikan. Selain itu juga disampaikan kepada Indri Suryawati, ST atas bantuan dalam pemahaman terkait MATLAB code.

REFRENSI

Marguerre, K. (1938), Zur Thorie der Gekreumter Platter Grosser Formaenderung. Proceedings of the 5th International Congress for Applied Mechanics, Cambridge.

Paik, J.K., Seo, J.K. dan Kim, D.M., (2006), Idealized Structural Unit Method and Its Application to Progressive Hull Girder Collapse Analysis of Ship, SAOS, Vol. 1 No. 3 pp. 235-247. Paik, J.K., Thayamballi, A.K., dan Kim, B.J. (2001), Advanced Ultimate Strength Formulations

for Ship Plating Under Combined Biaxial Compression/Tension, Edge Shear, and Lateral Pressure Loads, Marine Technology, Vol. 38, No. 1, pp. 9-25.

Ueda, Y., Rashed, S.M.H. dan Abdel-Nasser, Y., 1993, An Improved ISUM Rectangular Plate Element Taking Account of Post-Ultimate Strength Behavior, Marine Structures, Vol. 6, 139-172.

Yao, T., Brunner, E., Cho, S.R., Choo, Y.S., Czujko, J., Estefen, S.F., Gordo, J.M., Hess, P.E., Naar, H., Pu, Y., Rigo, P., dan Wan, Z.Q., Ultimate Strength, 16th International Ship And Offshore Structures Congress (ISSC), Vol. 1, 20-25 Agustus 2006, Southampton, United Kingdom.