Analisis Regresi Sirkular(2)-Linier Berpangkat m
ANALISIS REGRESI SIRKULAR(2)-LINIER BERPANGKAT m
MUHAMAD IRPAN NURHAB
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul ―Analisis Regresi Sirkular(2)-
Linier Berpangkat m‖ adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana
pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian
Bogor.
Bogor, September 2014
Muhamad Irpan Nurhab
G151120111
RINGKASAN
IRPAN NURHAB. Analisis Regresi Sirkular(2)-Linier
Berpangkat m. Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan I MADE
SUMERTAJAYA.
MUHAMAD
Perkembangan analisis data saat ini masih dominan menggunakan
statistika linier. Padahal dalam dunia penelitian ada jenis data lainnya yaitu data
berarah. Salah satu jenis data berarah adalah data sirkular. Analisis statistika yang
bertujuan untuk memodelkan hubungan antara peubah bebas dengan peubah tak
bebas adalah analisis regresi. Curah hujan dipengaruhi oleh arah angin dan arah
awan. Arah angin dan arah awan termasuk jenis data sirkular, sedangkan curah
hujan merupakan data linier, sehingga untuk memodelkan hubungan antara arah
angin dan arah awan dengan curah hujan adalah analisis regresi sirkular-linier.
Data sirkular adalah data hasil pengukuran yang nilai-nilainya berulang
secara periodik. Suatu nilai akan kembali ditemukan setelah menemui satu
periode/putaran penuh. Definisi karakteristik peubah sirkular sendiri adalah data
pada awal dan akhir skala pengukuran saling bertemu. Jenis data sirkular
dibedakan menjadi dua yaitu data sirkular jenis arah dan data sirkular jenis waktu.
Statistika sirkular merupakan suatu model sebaran dan teknik statistik untuk
menganalisis peubah acak yang berupa siklus di alam. Statistika sirkular
digunakan pada data yang hasil pengukurannya berupa arah dan biasanya
dinyatakan dalam ukuran sudut. Teknik ini telah berkembang di beberapa bidang
ilmu di mana eksplorasi, pemodelan, dan pengujian hipotesis dari data arah dan
sudut memegang peranan penting.
Tujuan penelitian ini adalah membangun model regresi sirkular(2)-linier
pada peubah sirkular yaitu arah angin ( ) dan arah awan (δ) terhadap peubah linier
yaitu curah hujan. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data simulasi
dan data sekunder yang diperoleh dari Badan Meteorologi, Klimatologi, dan
Geofisika (BMKG) Kota Bogor, data merupakan hasil pengamatan arah angin,
arah awan, dan curah hujan pada bulan Februari 2014 dan Maret 2014.
Penerapan regresi sirkular(2)-linier untuk melihat pengaruh arah angin (γ)
dan arah awan (δ) terhadap curah hujan pada bulan Februari 2014 dan Maret
2014 di Kota Bogor menghasilkan model yang terbaik adalah regresi sirkular(2)linier dengan pangkat 4, dilihat dari aspek Jumlah Kuadrat Galat (JKG) dan R2.
JKG regresi sirkular(2)-linier yaitu 9480.5 lebih kecil dari pada JKG regresi linier
berganda yaitu 10244.8. Hal ini menunjukkan model regresi sirkular(2)-linier
lebih baik dari model regresi linier berganda. R2 untuk regresi sirkular(2)-linier
jauh lebih besar yaitu 47% dibandingkan pada regresi linier berganda yaitu hanya
sebesar 1.7%, artinya model regresi sirkular(2)-linier lebih baik dari model regresi
linier berganda. Dari hasil analisis data sirkular yang dianalisis menggunkan
regresi linier berganda menghasilkan model regresi yang kurang baik, jika
dibandingkan dengan model regresi yang dihasilkan oleh regresi sirkular(2)-linier.
Kata kunci:
data sirkular, curah hujan, regresi linier berganda, regresi sirkular-linier.
SUMMARY
MUHAMAD IRPAN NURHAB. Circular(2)-Linear Regression Analysis of
Order m. Supervised by ANANG KURNIA and I MADE SUMERTAJAYA.
The development of data analysis is still predominantly use linear statistics.
Whereas in the world of research there are other types of data, namely the data direction.
One type of data is the data direction circular. Statistical analysis that aims to model the
relationship between independent variables with the dependent variable regression
analysis. Rainfall is affected by the wind direction and the direction of the cloud. Wind
direction and the direction of the cloud, including data types circular, while rainfall is
linear data, so as to model the relationship between wind direction and the direction of
clouds with precipitation is circular-linear regression analysis.
Circular data is the measurement data values are repeated periodically. A return
value will be found after the encounter of the period. The definition itself is a circular
variable characteristics of the data at the beginning and end of the measurement scale to
meet each other. Circular type of data that the data can be divided into two types of
circular direction and data type of circular the time. Statistics is a circular distribution
models and statistical techniques to analyze random variables that form cycles in nature.
Circular statistical data used in the measurement results in the form of direction and is
usually expressed in angular size. This technique has been developed in several areas of
science in which exploration, modeling, and testing hypotheses from the data direction
and angle plays an important role.
The purpose of this research is to build a circular(2)-linear regression model on
the circular variable wind direction (γ) and the direction of the cloud ( ) to the linear
variable rainfall. The data used in this study is the simulation data and secondary data
obtained from the Meteorology, Climatology, and Geophysics in Bogor, the data are
observations of wind direction, the direction of the clouds, and precipitation in February
2014 and March 2014. Application of circular(2)-linear regression to see the effect of
wind direction (γ) and the direction of the cloud ( ) of the rainfall in February 2014 and
March 2014 in Bogor produce the best model is the circular(2)-linear regression with rank
4, seen from the aspect of Sum of Squares Error (JKG) and R2. Sum of Squares Error
(JKG) circular(2)-linear regression, namely 9480.5 smaller than the multiple linear
regression JKG is 10244.8. This shows the circular (2)-linaer regression model better than
the multiple linear regression model. R2 for regression circular (2) -linear much greater is
47% compared to the multiple linear regression is only 1.7%, meaning circular (2)-linier
regression model better than the multiple linear regression model. From the analysis of
the data was analyzed using the circular multiple linear regression resulted in a poor
regression model, when compared with the regression models produced by circular (2)linear regression.
Keywords:
data circular, rainfall, multiple linear regression, circular - linear
regression.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau
menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian,
penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu
masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam
bentuk apa pun tanpa izin IPB
ANALISIS REGRESI SIRKULAR(2)-LINIER BERPANGKAT m
MUHAMAD IRPAN NURHAB
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Statistika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Farit M Afendi, MSi
Judul Tesis
: Analisis Regresi Sirkular(2)-Linier Berpangkat m
Nama
: Muhamad Irpan Nurhab
NIM
: G151120111
Disetujui oleh
Komisi Pembimbing
Dr Anang Kurnia, MSi
Dr Ir I Made Sumertajaya, MSi
Ketua
Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi
Dekan Sekolah Pascasarjana
Statistika
Dr Ir Anik Djuraidah, MS
Tanggal Ujian: 21 Juli 2014
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta‟ala atas
segala karunia-Nya sehingga Tesis ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih
dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2013 ini ialah
Statistika Sirkular, dengan judul Analisis Regresi Sirkular(2)-Linier Pangkat
m pada Peubah Sirkular dan terhadap Peubah δinier Y.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Anang Kurnia, M.Si dan
Bapak Dr Ir I Made Sumertajaya, M.Si selaku pembimbing, serta Bapak Dr Farit
M Afendi, M.Si yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, penghargaan
penulis sampaikan kepada seluruh Dosen Departemen Statsitika IPB yang telah
mengasuh dan mendidik penulis selama di bangku kuliah hingga berhasil
menyelesaikan studi, serta seluruh staf Departemen Statistika IPB atas bantuan,
pelayanan, dan kerjasamanya selama ini.
Ucapan terima kasih yang tulus dan penghargaan yang tak terhingga juga
penulis ucapkan kepada Ayahanda tercinta H Hasan Basri dan Ibunda tercinta Hj
Nuryanah yang telah membesarkan, mendidik, dan mendoakan penulis dengan
penuh kasih sayang demi keberhasilan penulis selama menjalani proses
pendidikan, juga kepada kakakku tersayang Malahayati Nurhab, S.Pd M.M dan
Badaruddin Nurhab, S.ThI M.M, serta kakak iparku Sutanpri, S.Pd dan Anisah
Nabila, dan ponakakanku Haniyah Tsbitah SP, Fatiah Ghaniza SP, dan Naufal
Aizar Rudian atas doa dang semangatnya.
Terakhir tak lupa penulis juga menyampaikan terima kasih kepada seluruh
mahasiswa Pascasarjana Departemen Statistika IPB atas segala bantuan dan
kebersamaannya selama menghadapi masa-masa terindah maupun tersulit dalam
menuntut ilmu, serta semua pihak yang telah banyak membantu dan tak sempat
penulis sebutkan satu per satu.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.
Bogor, September 2014
Muhamad Irpan Nurhab
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
1
1
2
2 TINJAUAN PUSTAKA (OPSIONAL)
2
Data dan Statistika Sirkular
2
Regresi Sirkular
5
Pendugaan Koefisien Regresi
5
Pengurangan Jumlah Kuadrat Galat
6
3 METODE
Data
Metode Analisis
7
7
7
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
8
5 SIMPULAN DAN SARAN
19
DAFTAR PUSTAKA
20
LAMPIRAN
21
RIWAYAT HIDUP
28
DAFTAR TABEL
1 Statistika deskriptif data simulasi dari Peubah Sirkular γ dan Peubah
Sirkular
2 Regresi linier berganda dan regresi sirkular(2)-linier pada data simulasi
untuk melihat pengaruh peubah sirkular γ dan peubah sirkular
terhadap peubah Y
3 Statistika deskriptif arah angin (γ) dan arah awan ( ) pada bulan
Februari 2014 dan Maret 2014 di Kota Bogor
4 Regresi linier berganda dan regresi sirkular(2)-linier untuk melihat
pengaruh arah angin (γ) terhadap curah hujan (Y) bulan Februari 2014
dan Maret 2014 di Kota Bogor
5 Regresi linier berganda dan regresi sirkular(2)-linier untuk melihat
pengaruh arah awan ( ) terhadap curah hujan (Y) bulan Februari 2014
dan Maret 2014 di Kota Bogor
6 Regresi linier berganda dan regresi sirkular(2)-linier untuk melihat
pengaruh arah awan (γ) dan arah awan ( ) terhadap curah hujan (Y)
bulan Februari 2014 dan Maret 2014 di Kota Bogor
7
9
11
12
13
14
DAFTAR GAMBAR
1 Contoh kesalahan arah rata-rata yang dapat terjadi jika data sirkular
analisis metode linier
2 Diagram Pancar
3 Histogram Siklik
4 Diagram Mawar
5 Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat polar
6 Grafik Q-Q plot kecocokan sebaran von εises pada Peubah γ
7 Grafik Q-Q plot kecocokan sebaran von εises pada Peubah
8 Diagram Pancar Peubah γ
9 Diagram Mawar Peubah γ
10 Diagram Pancar Peubah
11 Diagram Mawar Peubah
12 Grafik Perbandingan dugaan Y simulasi data, data simulai Y, dan galat
pada regresi linier berganda
13 Grafik Perbandingan dugaan Y simulasi data, data simulai Y, dan galat
pada regresi sirkular sirkular - linier.
14 Grafik Q-Q plot kecocokan sebaran von εises pada arah angin (γ)
15 Grafik Q-Q plot kecocokan sebaran von Mises pada arah awan ( )
16 Diagram Pancar arah angin (γ)
17 Diagram Mawar arah angin (γ)
1
3
3
3
5
8
8
8
8
8
8
10
10
11
11
12
12
18 Diagram Pancar arah awan ( )
19 Diagram Mawar arah awan ( )
20 Grafik Perbandingan dugaan curah hujan, curah hujan, dan galat pada
regresi linier berganda antara arah angin (γ) dan arah awan ( ) terhadap
curah hujan (Y)
21 Grafik Perbandingan dugaan curah hujan, curah hujan, dan galat pada
regresi sirkular(2)-linier antara arah angin (γ) dan arah awan ( )
terhadap curah hujan (Y)
12
12
16
16
DAFTAR LAMPIRAN
1 ANOVA Data Simulasi
2 ANOVA Data BMKG
18
19
1. PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perkembangan analisis data saat ini masih dominan menggunakan
statistika linier. Dalam dunia penelitian ada jenis data lainnya yaitu data berarah.
Salah satu jenis data berarah adalah data sirkular, yaitu data yang diukur dalam
bentuk sudut atau berorientasi dua dimensi yang bersatuan waktu atau derajat
arah. Data sirkular ditemui hampir diseluruh cabang ilmu pengetahuan, seperti
Biologi, Geografi, Geologi-Geofisika, Kedokteran, Meteorologi, Kelautan, dan
lain-lain. Beberapa ilustrasi data sirkular, yaitu arah datang dan arah pergi burungburung, arah angin dan arah pergerakan awan, waktu kedatangan pasien (24 jam)
di ruang gawat darurat di suatu rumah sakit, banyaknya kejadian dalam satu tahun
atau dalam waktu bulanan (Mardia & Jupp 2000), pola waktu terjadinya tindak
kriminal dalam waktu harian dan mingguan (Brunsdon & Corcoran 2006).
Data sirkular merupakan jenis dari data berarah (Jammalamadaka &
SenGupta 2001). Oleh karena itu, data sirkular kurang tepat dianalisis dengan
statistika linier, sehingga data sirkular perlu dianalisis dengan menggunakan
statistika sirkular. Salah satu contoh kesalahan yang dapat terjadi jika data sirkular
dianalisis menggunakan statistika linier yaitu pada perhitungan arah rata-rata.
Gambar 1 menunjukkan contoh dari kesalahan tersebut. Garis putus-putus
menunjukkan arah rata-rata dengan statistika linier, sedangkan garis penuh adalah
arah rata-rata statistika sirkular. Rata-rata linear berada di sekitar 180o sedangkan
data pengamatan berada di sekitar 0o.
Gambar 1 Contoh kesalahan arah rata-rata yang dapat terjadi jika data sirkular
analisis metode linier
Analisis data sirkular awalnya dimulai pada pertengahan abad ke-18. Pada
tahun 1767, John Mitchell FRS mengamati posisi antar bintang. Mitchell ingin
membuktikan bahwa arah bintang-bintang tersebut menyebar seragam.
Menggunakan konsep statistika sirkular Mitchell menemukan bahwa jumlah
pasangan bintang yang berdekatan terlalu banyak. Berdasarkan hal ini Mitchell
menyimpulkan bahwa pasangan bintang-bintang secara fisik tertata gaya tarik
gravitasi (Fisher 1993).
Analisis statistika yang bertujuan untuk memodelkan hubungan sebab
akibat antara peubah bebas dengan peubah tak bebas adalah analisis regresi.
Penelitian ini mengangkat kasus curah hujan. Faktor yang mempengaruhi curah
hujan, diantaranya adalah arah angin dan arah awan. Arah angin dan arah awan
termasuk jenis data sirkular, sedangkan curah hujan merupakan data linier,
sehingga untuk memodelkan hubungan antara arah angin dan arah awan dengan
curah hujan adalah analisis regresi sirkular-linier berganda. Terdapat dua peubah
bebas sirkular dan satu peubah tak bebas linier maka pada penelitian ini
menggunakan istilah analisis regresi sirkular(2)-linier.
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah membangun model regresi sirkular(2)-linier
dengan pangkat m berdasarkan dua buah peubah bebas sirkular untuk
memodelkan curah hujan di Kota Bogor.
2. TINJAUAN PUSTAKA
Data dan Statistika Sirkular
Data sirkular adalah data hasil pengukuran yang nilai-nilainya berulang
secara periodik. Suatu nilai akan kembali ditemukan setelah menemui satu
periode/putaran penuh. Definisi karakteristik peubah sirkular sendiri adalah data
pada awal dan akhir skala pengukuran saling bertemu (Martin 2008). Jenis data
sirkular dibedakan menjadi dua yaitu data sirkular jenis arah dan data sirkular
jenis waktu (Mardia & Jupp 2000).
Statistika sirkular merupakan suatu model sebaran dan teknik statistik
untuk menganalisis peubah acak yang berupa siklus di alam. Statistika sirkular
digunakan pada data yang hasil pengukurannya berupa arah dan biasanya
dinyatakan dalam ukuran sudut. Teknik ini telah berkembang di beberapa bidang
ilmu di mana eksplorasi, pemodelan, dan pengujian hipotesis dari data arah dan
sudut memegang peranan penting.
Sebaran von Mises adalah sebaran normal sirkular dengan sebaran
1
g ( ; , )
e cos( ) . Metode yang digunakan untuk mengevaluasi
2I 0 ( 0 )
1
sebaran von Mises adalah QQ-plot, dengan mencari Z i sin i
2
i 1,2,..., n lalu nilai Zi disusun berdasarkan nilai terkecil sampai terbesar
sehingga
Z1
≤
...
≤
Zn.
Setelah
itu
membuat
plot
1 1
sin q1 , Z1 ,..., sin q n , Z n . Jika data mengikuti sebaran von Mises, plot
2 2
mengikuti garis lurus (0,0) dengan kemiringan 450 (Fisher 1993).
Sebuah data akan mudah dianalisis apabila dapat digambarkan dalam
sebuah grafik. Menurut Fisher (1993), representasi data sirkular dalam bentuk
grafis sangat penting dalam analisis data sirkular. Bentuk grafis yang biasa
digunakan untuk data sirkular adalah:
Gambar 2 Diagram
Pancar
Gambar 3 Histogram
Siklik
Gambar 4 Diagram
Mawar
Untuk menganalisis data sirkular ada dua fungsi trigonometri yang
digunakan sebagai dasar yaitu sinus dan cosinus. Kedua fungsi dasar trigonometri
ini digunakan untuk membantu menentukan posisi suatu data. Kedua fungsi
tersebut digunakan untuk menyelaraskan dua sistem koordinat. Jammalamadaka
dan SenGupta menyatakan posisi yang berupa arah dapat ditentukan oleh
koordinat polar atau koordinat kartesius. Pada koordinat kartesius titik P
dinyatakan sebagai nilai (X, Y) atau sebagai nilai (r,θ) pada koordinat polar di
mana r merupakan jarak titik P dari titik pusat O. Koordinat polar dapat di rubah
menjadi koordinat kartesius dengan menggunakan persamaan trigonometri
berikut:
x r cos , y r sin
Gambar 5 Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat polar
Dalam analisis sirkular yang diperhatikan adalah arah dan bukan besaran
vektor, sehingga untuk kemudahan diambill vektor-vektor ini menjadi vektor unit,
yaitu vektor yang mempunyai panjang satuan dengan r = 1. Setiap arah
berhubungan dengan sebuah titik P dalam keliling suatu lingkaran. Kebalikannya,
titik ini dalam keliling suatu lingkaran dapat dinyatakan sebagai sudut. Jika titik P
terletak dalam keliling lingkaran, perubahan koordinat polar dan koordinat
kartesius adalah
(1, ) ( x cos , y sin )
Arah rata-rata dari contoh pada data sirkular diperoleh dengan menghitung
resultan vektor dari vektor-vektor unit masing-masing contoh. Arah dari resultan
vektor-vektor menyatakan arah rata-rata dari contoh data dan panjang rata-rata
dari resultan tiap contoh menyatakan konsentrasi dari data terhadap arah rata-rata.
Misalkan ada contoh �1 , �2 , … , � dengan n observasi sirkular yang dinyatakan
dalam sudut. Diketahui transformasi koordinat polar ke koordinat kartesius untuk
setiap observasi sebagai berikut,
(1, i ) ( x cos i , y sin i ), i 1,2,..., n
diperoleh vektor resultan dari vektor-vektor unit dengan menjumlahkan masingmasing komponennya, yaitu
n
n
R=
cos , sin
i 1
i
i 1
i
= C, S
dengan,
LR = R = � 2 + � 2 , 0 ≤ LR ≤ n
LR menyatakan panjang dari vektor resultan R.
LR
R=
,0 ≤ R ≤ 1
n
dengan R menyatakan panjang rata-rata dari vektor resultan dan juga
menunjukkan ukuran konsentrasi dari data terhadap arah rata-rata.
Arah dari resultan vektor R merupakan arah rata-rata sirkular yang
dinotasikan dengan dan didefinisikan,
cos α0 =
C
S
, sin α0 =
LR
LR
Untuk lebih eksplisitnya diberikan inverse ―quadrant-spesifik‖ dari tangen,
arctan S / C
/ 2
S
0 arctan* arctan S / C
C
arctan S / C 2
tidakterdefinisi
jika C.0, S 0
jika C 0, S 0
jika C 0
jika C 0, S 0
jika C 0, S 0
Apabila semua sudut titik menyatakan arah yang sama, maka data tersebut
terkonsentrasi dan R mendekati nilai n. Sebaliknya jika data menyebar di seluruh
lingkaran, maka data tidak terkonsentrasi dan LR mendekati nilai 0
(Jammalamadaka & SenGupta 2001). Mardia (1976) mendefinisikan ragam
contoh sirkular adalah V = 1 - R . Semakin kecil nilai ragam sirkular maka data
semakin terkonsentrasi ke suatu titik tertentu.
Regresi Sirkular
Persamaan regresi untuk data sirkular dibagi menjadi tiga jenis
(Jammalamadaka & Sarma 1988), yaitu:
1. Regresi Sirkular-Linier: analisis regresi dengan peubah bebas adalah peubah
sirkular dan peubah tak bebas adalah peubah linier.
2. Regresi Linier-Sirkular: analisis regresi dengan peubah bebas adalah peubah
linier dan peubah tak bebas adalah peubah sirkular.
3. Regresi Sirkular-Sirkular: analisis regresi dengan peubah bebas maupun
peubah tak bebas adalah peubah sirkular.
Model Regresi Sirkular(2)-Linier antara peubah respon Y dengan dua
peubah bebas sirkular α dapat ditulis (Mardia 1976):
E ( X ) A0 A1 cos(1 01 ) A2 cos( 2 02 )
Persamaan ini dapat diuraikan,
misalkan Bk1 Ak cos 0k dan Bk 2 Ak cos 0k maka dapat ditulis:
E ( X ) A0 B11 cos 1 B12 sin 1 B21 cos 2 B22 sin 2
Bentuk model regresi Sirkular(2)-Linier ini dapat ditulis sebagai berikut:
Y A0 B11 cos 1 B12 sin 1 B21 cos 2 B22 sin 2
Pendugaan Koefisien Regresi
Koefisien regresi A0 , B11, B12 , B21, B22 akan diduga dengan menggunakan
Metode Kuadrat Terkecil. Metode Kuadrat terkecil memilih nilai parameter
sedemikian sehingga nilai Jumlah Kuadrat Galat (JKG) minimum. Solusi dari
sistem persamaan adalah dugaan kuadrat terkecil, yaitu Aˆ 0 , Bˆ11, Bˆ12 ,, Bˆ p1 , Bˆ p 2
(Jammalamadaka & Sarma 1988).
Model regresi Sirkular(2)-Linier bila ditulis dalam bentuk matriks adalah
Y Z
dengan
a0
b
11
b12
y1
y
y 2 ; b1m
b21
yn
b
22
b2 m
1 � ��11 �� �11
1 � ��21 �� �21
�=
1 � ��
1
�� �
1
1
2
n
� �
� �
� �
�11 ��
�21 ��
�
1
��
�11 � � �12 �� �12
�21 � � �22 �� �22
�
1
� ��
2
�� �
2
� �
� �
� �
�12 ��
�22 ��
�
2
��
�12
�22
�
2
dengan,
y = vektor pengamatan berukuran (nx1)
Z = matriks berukuran (nx(1+4m))
= vektor koefisien regresi berukuran ((1+4m)x1)
ε = vektor random error berukuran (nx1)
kemudian dicari vektor penduga kuadrat terkecil � yang meminimimkan fungsi
kuadrat galat L.
(2.1)
L=
� = �′ � = � − �� ′ � − �� = � ′ � − �′�′��
�
sehingga vektor dugaan adalah
(2.2)
� = �′� − �′�
Jumlah Kuadrat Galat (JKG) diperoleh dengan mensubtitusikan (2.2) ke
persamaan (2.1), sehingga
� = � ′ � − �� ′ �
Pengurangan Jumlah Kuadrat Galat (JKG)
Hal paling penting dalam menentukan pangkat pada regresi polinomial
adalah mengurangi JKG ketika m bertambah. Keputusan diambil pangkat
polinomial trigonometri ke-(m+1) dengan menambahkan kolom-kolom. Dengan
persamaan Jumlah Kuadrat Galat,
� = � ′ � − �� ′ �
Dalam menentukan apakah mengambil pangkat (m+1), pertama kita
hitung pengurangan JKG. Jika pengurangan itu secara nyata besar maka kita
putuskan untuk memasukkan pangkat (m+1) (Jammalamadaka & Sarma 1988).
3. METODE
Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data simulasi dan data
sekunder. Peubah Bebas γ dan data simulasi diperoleh dengan menggunakan
rvm (60,0,1) pada software R.3.0.1 (Lund & Agostinelli 2010).
Data sekunder diperoleh dari Badan Meteorologi, Klimatologi, dan
Geofisika (BMKG) Kota Bogor, data merupakan hasil pengamatan arah angin (γ)
yang diperoleh dari pengukuran manual, arah awan ( ) yang diperoleh dengan
menggunakan alat anenometer digital, dan curah hujan (Y) yang diukur dengan
menggunakan alat raingauge pada bulan Februari 2014 dan Maret 2014.
Metode Analisis
Prosedur-prosedur yang dilakukan untuk mencapai tujuan penelitian ini:
Tahap 1:
Membuat analisis deskriptif statistika sirkular untuk masing-masing
peubah arah angin ( ) dan arah awan (δ).
Representasi grafis data sirkular untuk masing-masing peubah
dan peubah δ dengan diagram pancar dan diagram Mawar.
Grafik kecocokan sebaran von Mises.
Arah rata-rata sirkular dan linier untuk masing-masing peubah
dan peubah δ
jika C 0, S 0
arctan S / C
/ 2
jika C 0, S 0
arctan S / C jika C 0
arctan S / C 2 jika C 0, S 0
tidakterdefinisi
jika C 0, S 0 .
Panjang vektor rata-rata sirkular untuk masing-masing peubah
dan peubah δ
R
R , dimana R C 2 S 2 .
n
Ragam data pada statistika sirkular dan statistika linier untuk
masing-masing peubah dan peubah δ
V = 1 - R , dengan inteval V berada pada [0,1].
Tahap 2:
Analisis regresi linier berganda dan regresi sirkular(2)-linier untuk
peubah dan peubah δ sebagai peubah bebas terhadap peubah linier Y
sebagai peubah tak bebas.
Persamaan regresi sirkular sirkular - linier untuk pangkat m=1,
diketahui
Y A0 B11 cos 1 B12 sin 1 B21 cos 2 B22 sin 2
.
Tahap 3:
Penentuan pangkat m dari regresi sirkular(2)-linier polinomial.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Statistik Deskriptif Data Simulasi Peubah Sirkular γ dan Peubah Sirkular δ
Terlihat arah rata-rata pada Tabel 1 dengan statistika sirkular adalah
350.73 . Sedangkan untuk arah rata-rata dengan statistika linier adalah 203.470.
Pada Tabel 1 juga bisa dilihat panjang resultan sebesar 30.7 dan panjang rata-rata
resultan sebesar 0.51 hal ini menunjukkan konsentrasi yang cukup besar dari data
terhadap arah rata-rata sirkular peubah . Nilai ragam pada statistika sirkular data
adalah 0.49, hal ini menunjukkan sebaran datanya kecil. Namun nilai ragam pada
statistika linier data sebesar 17738.73, hal ini menunjukkan sebaran data sangat
besar.
0
Tabel 1 statistik deskriptif data simulasi dari Peubah Sirkular dan Peubah Sirkular δ
Peubah
Peubah γ
Peubah
Jumlah pengamatan
60
60
Arah rata-rata sirkular
350.730
12.970
Arah rata-rata linier
203.470
174.070
Panjang resultan
30.7
28.75
Panjang rata-rata resultan
0.51
0.48
Ragam sirkular
0.49
0.52
Ragam linier
17738.73
17006.5
Untuk peubah δ terlihat arah rata-rata dengan statistika sirkular adalah
12.97 . Sedangkan untuk arah rata-rata δ dengan statistika linier adalah 174.070.
Juga bisa dilihat pada peubah δ panjang resultan sebesar 28.75 dan panjang ratarata resultan sebesar 0.48 hal ini menunjukkan konsentrasi yang cukup kecil dari
data terhadap arah rata-rata pada statistika sirkular peubah δ. Nilai ragam pada
statistika sirkular data adalah 0.52, hal ini menunjukkan sebaran datanya kecil.
Namun nilai ragam pada statistika linier data sebesar 17006.5, hal ini
menunjukkan sebaran data sangat besar.
0
Grafik Kecocokan Sebaran von Mises Data Simulasi
Hasil uji kecocokan sebaran von Mises yang dilakukan dengan von Mises
Q-Q plot pada peubah α dan peubah δ dapat dilihat pada Gambar 6 dan Gambar 7,
pada Q-Q plot untuk data peubah dan peubah δ menunjukkan sebaran data
mengikuti garis lurus (0,0) dengan kemiringan 45 o maka dapat dikatakan data
peubah dan peubah δ mengikuti sebaran normal sirkular atau von Mises.
se
ba
ra
n
e
m
pi
ris
se
ba
ra
n
e
m
pi
ris
sebaran von Mises
Gambar 6
Grafik
Q-Q
plot
kecocokan sebaran von
Mises pada Peubah
sebaran von Mises
Gambar 7
Grafik
Q-Q
plot
kecocokan sebaran von
Mises pada Peubah δ
Representasi Grafik Data Simulasi
Diagram pancar dan diagram mawar pada Gambar 8 dan Gambar 9,
terlihat bahwa garis lurus merah adalah arah rata-rata statistika sirkular dari
peubah sebesar 350.730 berarti peubah dengan statistika sirkular mempunyai
kecenderungan ke arah utara dan garis lurus putus-putus warna hitam adalah arah
rata-rata statistika linier dari peubah sebesar 203.470 berarti peubah dengan
statistika linier mempunyai kecenderungan ke selatan.
Gambar 8 Diagram pancar peubah γ
Gambar 9 Diagram mawar peubah
γ
Hal ini menunjukkan perbedaan perhitungan arah rata-rata data antara
statistika sirkular yang berada pada sebaran data dengan statistika linier yang
menjauh dari sebaran data.
Gambar 10 Diagram pancar peubah
Gambar 11 Diagram mawar peubah
Diagram pancar dan diagram mawar pada Gambar 10 dan Gambar 11
terlihat bahwa garis lurus merah adalah arah rata-rata statistika sirkular dari
peubah sebesar 12.970 berarti peubah dengan statistika sirkular mempunyai
kecenderungan ke arah utara dan garis lurus putus-putus warna hitam adalah arah
rata-rata statistika linier dari peubah sebesar 174.070, berarti peubah dengan
statistika linier mempunyai kecenderungan ke arah selatan. Hal ini menunjukkan
perbedaan perhitungan arah rata-rata data antara statistika sirkular yang berada
pada sebaran data dengan statistika linier yang menjauh dari sebaran data.
Regresi Linier Berganda dan Regresi Sirkular(2)-Linier Pada Data
Simulasi
Nilai koefisien determinasi regresi linier berganda pada Tabel 2 sebesar
33.4%, artinya sebesar 33.4% keragaman dari peubah Y dapat dijelaskan oleh
peubah dan peubah δ dalam hubungan linier, dan sisanya dipengaruhi oleh
faktor lain. Sedangkan nilai koefisien determinasi pada regresi sirkular(2)-linier
pada Tabel 2 sebesar 95.1% untuk pangkat 1 dan 95.3% untuk pangkat 2, artinya
sebesar 95.1% lebih keragaman dari peubah linier Y dapat dijelaskan oleh peubah
sirkular γ dan peubah sirkular δ, dan sisanya dipengaruhi oleh faktor lain. Terlihat
bahwa regresi sirkular(2)-linier memiliki hasil yang jauh lebih baik dari regresi
linier berganda untuk melihat pengaruh peubah sirkular γ dan peubah sirkular δ
terhadap peubah linier Y.
Nilai-p pada regresi linier berganda sebesar 0.000, sehingga dengan
tingkat kesalahan α = 0.1,maka Nilai-p (0.000) < α (0,1). Hal ini dapat diartikan,
model regresi linier berganda signifikan untuk melihat pengaruh peubah γ dan
peubah δ terhadap rata-rata peubah Y dengan tingkat kepercayaan 90%. Pada
regresi sirkular(2)-linier, dengan tingkat kesalahan α = 0.1, maka Nilai-p (0.000) <
α (0.1). Hal ini dapat diartikan model regresi sirkular(2)-linier pangkat 1 dan 2
signifikan untuk melihat pengaruh peubah sirkular γ dan peubah sirkular δ
terhadap rata-rata peubah linier Y dengan tingkat kepercayaan 90%.
Tabel 2
Regresi linier berganda dan regresi sirkular(2)-linier pada data simulasi
untuk melihat pengaruh peubah sirkular dan peubah sirkular terhadap
peubah Y
Model Regresi
Linier Berganda
JKG
61.959
R2(%)
33.4
Nilai-p
0.000
Sirkular(2)-Linier
Pangkat 1
Pangkat 2
4.557
4.395
95.1
95.3
0.000
0.000
Salah satu cara untuk menentukan model terbaik dengan pengurangan nilai
JKG. Nilai JKG pangkat 1 – JKG pangkat 2 = 0.162 hal ini menunjukkan bahwa
pengurangan dari JKG sangat kecil, sehingga model regresi sirkular(2)-linier
pangkat 1 lebih baik dari pada pangkat 2. Sehingga model yang terbaik untuk
melihat pengaruh peubah sirkular γ dan peubah sirkular δ terhadap peubah Y pada
data simulasi adalah Yˆi = 10.0 + 0.970 cos i + 1.04 sin i + 1.02 cos i + 1.01
sin i + .
Y14
12
10
8
6
4
2
0
data
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59
Gambar 12
Grafik perbandingan dugaan Y simulasi data, data simulasi Y, dan
galat pada regresi linier berganda.
Y14
12
10
8
6
4
2
0
data
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59
Gambar 13
Grafik perbandingan dugaan Y simulasi data, Y data simulasi, dan galat
pada regresi sirkular(2)- linier.
Grafik Y duga pada regresi linier berganda Gambar 12 menunjukkan
kurang mendekati nilai Y sesungguhnya, sehingga menghasilkan galat yang
tinggi. Gambar 13 menunjukkan grafik Y duga pada regresi sirkular(2)-linier
sangat mendekati nilai Y sesungguhnya. Jadi regresi sirkular(2)-linier memiliki
hasil yang lebih baik dari pada regresi linier berganda pada data simulasi.
Statistik Deskriptif Arah Angin ( ) dan Arah Awan (δ)
Arah rata-rata arah angin (γ) dengan statistika sirkular pada tabel 3 adalah
332.56 . Sedangkan untuk arah rata-rata arah angin (γ) dengan statistika linier
adalah 284.190. Pada Tabel 3 juga bisa dilihat panjang resultan sebesar 51.76 dan
panjang rata-rata resultan sebesar 0.89 hal ini menunjukkan konsentrasi yang
sangat besar dari data terhadap arah rata-rata pada statistika sirkular arah angin
(γ). Nilai ragam pada statistika sirkular data adalah 0.11, hal ini menunjukkan
sebaran datanya kecil. Namun nilai ragam pada statistika linier data sebesar
11539.53, hal ini menunjukkan sebaran data sangat besar.
0
Tabel 3
Statistik deskriptif Arah Angin (γ) dan Arah Awan (δ) pada bulan Februari
2014 dan Maret 2014 di Kota Bogor
Peubah
Arah Angin (γ) Arah Awan (δ)
Jumlah pengamatan
58
58
Arah rata-rata sirkular
332.560
313.700
Arah rata-rata linier
284.190
304.890
Panjang resultan
51.76
48.47
Panjang rata-rata resultan
0.89
0.83
Ragam sirkular
0.11
0.16
Ragam linier
11539.53
2906.91
Arah awan (δ) terlihat arah rata-rata dengan statistika sirkular adalah
313.700. Sedangkan untuk arah rata-rata arah awan (δ) dengan statistika linier
adalah 304.890. Juga bisa dilihat pada arah awan (δ) panjang resultan sebesar
48.47 dan panjang rata-rata resultan sebesar 0.83 hal ini menunjukkan konsentrasi
yang sangat besar dari data terhadap arah rata-rata pada statistika sirkular arah
awan (δ). Nilai ragam pada statistika sirkular data adalah 0.52 hal ini
menunjukkan sebaran datanya kecil. Namun nilai ragam pada statistika linier data
sebesar 17006.5 hal ini menunjukkan sebaran data sangat besar.
Grafik Kecocokan Sebaran von Mises Arah Angin ( ) dan Arah Awan (δ)
Uji kecocokan sebaran von Mises dilakukan dengan von Mises Q-Q plot
pada arah angin ( ) dan arah awan (δ) dapat dilihat pada Gambar 8 dan Gambar 9,
pada Q-Q plot untuk data arah angin ( ) dan arah awan (δ) menunjukkan sebaran
data mengikuti garis lurus (0,0) dengan kemiringan 45 o maka dapat dikatakan data
arah angin ( ) dan arah awan (δ) mengikuti sebaran normal sirkular atau von
Mises.
Se
ba
ra
n
e
m
pi
ris
Se
ba
ra
n
e
m
pi
ris
sebaran von Mises
sebaran von Mises
Gambar 14
Grafik
Q-Q
plot
kecocokan sebaran von
Mises pada arah angin
()
Gambar 15
Grafik
Q-Q
plot
kecocokan
sebaran
von Mises pada arah
awan (δ)
Representasi Grafik Data Simulasi Peubah Arah Angin (γ) dan Peubah
Arah Awan (δ)
Gambar 16 dan Gambar 17 pada diagram pancar dan diagram mawar
terlihat bahwa garis lurus merah adalah arah rata-rata statistika sirkular dari arah
angin (γ) sebesar 332,560 berarti arah angin (γ) dengan statistika sirkular
mempunyai kecenderungan ke arah barat laut dan garis lurus putus-putus warna
hitam adalah arah rata-rata statistika linier dari arah angin ( ) sebesar 284,190
berarti, arah angin (γ) dengan statistika linier mempunyai kecenderungan ke arah
barat. Hal ini menunjukkan perbedaan perhitungan arah rata-rata data dengan
statistika sirkular berada pada sebaran data, sedangkan statistika linier sedikit
menjauh dari sebaran data.
Gambar 16 Diagram pancar arah
angin ( )
Gambar 17 Diagram mawar arah
angin (γ)
Diagram pancar dan diagram mawar pada Gambar 18 dan Gambar 19
terlihat bahwa garis lurus merah adalah arah rata-rata statistika sirkular dari arah
awan ( ) sebesar 313.700 dan garis lurus putus-putus warna hitam adalah arah
rata-rata statistika linier dari Arah Awan ( ) sebesar 304.890, berarti arah awan ( )
dengan statistika sirkular dan statistika linier mempunyai kecenderungan ke arah
barat laut.
Gambar 18 Diagram pancar arah awan
( )
Gambar 19 Diagram mawar arah awan
( )
Regresi Linier dan Regresi Sirkular-Linier Untuk Melihat Pengaruh
Arah Angin ( ) Terhadap Curah Hujan (Y)
Pada Tabel 4, nilai koefisien determinasi pada regresi linier sebesar 1.5%,
artinya sebesar 1.5% keragaman dari curah hujan (Y) dapat dijelaskan oleh arah
angin ( ) dalam hubungan linier, dan sisanya dipengaruhi oleh faktor lain.
Sedangkan nilai koefisien determinasi pada regresi sirkular-linier pada tabel 4
sebesar 5.5% untuk pangkat 1 dan 16.6% untuk pangkat 5, artinya sebesar 5.5%
lebih keragaman dari curah hujan (Y) dapat dijelaskan oleh arah angin ( ), dan
sisanya dipengaruhi oleh faktor lain. Terlihat bahwa regresi sirkular-linier
memiliki hasil yang jauh lebih baik dari regesai linier untuk melihat pengaruh
arah angin ( ) terhadap curah hujan (Y).
Tabel 4
Regresi Linier dan Regresi Sirkular-Linier Untuk Melihat Pengaruh Arah
Angin (γ) terhadap Curah Hujan (Y) Bulan Februari 2014 dan Maret 2014 di
Kota Bogor
Model Regresi
Linier
JKG
10261.2
R2(%)
1.5
Nilai-p
0.359
Sirkular-Linier
Pangkat 1
Pangkat 2
Pangkat 3
Pangkat 4
Pangkat 5
9845.0
9816.4
9523.0
8763.3
8685.2
5.5
5.8
8.6
15.9
16.6
0.211
0.523
0.576
0.344
0.508
Nilai-p pada regresi linier sebesar 0.359, sehingga dengan tingkat
kesalahan α = 0.25, maka Nilai-p (0.359) > α (0.25). Hal ini dapat diartikan,
model regresi linier tidak signifikan untuk melihat pengaruh arah angin ( )
terhadap rata-rata curah hujan (Y) dengan tingkat kepercayaan 75%. Pada regresi
sirkular-linier, dengan tingkat kesalahan α = 0.25, maka Nilai-p (0.211) < α
(0.25). Hal ini dapat diartikan, model regresi sirkular-linier pangkat 1 signifikan
untuk melihat pengaruh Arah Angin ( ) terhadap rata-rata Curah Hujan (Y)
dengan tingkat kepercayaan 75%.
Pada pengurangan nilai JKG, nilai JKG pangkat 1 – JKG pangkat 2 = 28.6.
Hal ini menunjukkan bahwa pengurangan dari JKG sangat kecil, sehingga model
regresi sirkular-linier pangkat 1 lebih baik dari pada pangkat 2. Selain itu model
regresi sirkular-linier pangkat 2 tidak signifikan pada α = 0.025 (Nilai-p = 0.523).
Jadi model yang terbaik untuk melihat pengaruh arah angin ( ) terhadap curah
hujan Y adalah Yˆi = 22.8 – 13.2 cos i + 4.40 sin i + .
Regresi Linier dan Regresi Sirkular-Linier Untuk Melihat Pengaruh
Arah Awan (δ) Terhadap Curah Hujan (Y)
Nilai koefisien determinasi Pada Tabel 5 untuk regresi linier sebesar 0.5%,
artinya sebesar 0.5% keragaman dari curah hujan (Y) dapat dijelaskan oleh arah
awan (δ) dalam hubungan linier, dan sisanya dipengaruhi oleh faktor lain.
Sedangkan nilai koefisien determinasi pada regresi sirkular - linier pada tabel 5
sebesar 3.5% untuk pangkat 1 dan 33.8% untuk pangkat 5, artinya sebesar 3.5%
lebih keragaman dari curah hujan (Y) dapat dijelaskan oleh arah awan (δ), dan
sisanya dipengaruhi oleh faktor lain. Terlihat bahwa regresi sirkular-linier
memiliki hasil yang jauh lebih baik dari regesai linier untuk melihat pengaruh
arah awan (δ) terhadap curah hujan (Y).
Tabel 5
Regresi Linier dan Regresi Sirkular-Linier Untuk Melihat Pengaruh Arah
Awan (δ) terhadap Curah Hujan (Y) Bulan Februari 2014 dan Maret 2014 di
Kota Bogor
Model Regresi
Linier
Sirkular - Linier
Pangkat 1
Pangkat 2
Pangkat 3
Pangkat 4
Pangkat 5
JKG
10411.4
R2(%)
0.1
Nilai-p
0.851
10048.8
3.5
0.371
9700.4
8993.1
7043.2
6901.2
6.9
13.7
32.4
33.8
0.426
0.254
0.009
0.022
Nilai-p pada regresi linier sebesar 0.851, sehingga dengan tingkat
kesalahan α = 0.1, maka Nilai-P (0.851) > α (0.1). Hal ini dapat diartikan, model
regresi linier tidak signifikan untuk melihat pengaruh arah awan (δ) terhadap ratarata curah hujan (Y) dengan tingkat kepercayaan 90%. Pada regresi sirkular-linier,
dengan tingkat kesalahan α = 0,1, maka Nilai-p (0.009) < α (0.1). Hal ini dapat
diartikan, model regresi sirkular-linier pangkat 4 sangat signifikan untuk melihat
pengaruh arah awan (δ) terhadap rata-rata curah hujan (Y) dengan tingkat
kepercayaan 90%.
Pada pengurangan nilai JKG, nilai JKG pangkat 4 – JKG pangkat 5 = 142,
hal ini menunjukkan bahwa pengurangan dari JKG kecil, sehingga model regresi
sirkular-linier pangkat 4 lebih baik dari pada pangkat 5. Jadi model yang terbaik
untuk melihat pengaruh arah awan (δ) terhadap curah hujan Y adalah Yˆi = - 357 -
186 cos i - 665 sin i + 462 cos (2 i ) - 241 sin (2 i ) + 177 cos (3 i ) + 258
sin (3 i )- 95,3 cos (4 i ) + 45,1 sin (4 i )+ .
Regresi Linier Berganda dan Regresi Sirkular(2)-Linier Untuk Melihat
Pengaruh Arah Angin ( ) dan Arah Awan (δ) Terhadap Curah
Hujan(Y)
Nilai koefisien determinasi regresi linier berganda pada Tabel 6 sebesar
1.7%, artinya sebesar 1.7% keragaman dari curah hujan (Y) dapat dijelaskan oleh
arah angin (γ) dan arah awan (δ) dalam hubungan linier dan sisanya dipengaruhi
oleh faktor lain. Sedangkan nilai koefisien determinasi pada regresi sirkular(2)linier sebesar 9% untuk pangkat 1 dan 49% untuk pangkat 5, artinya sebesar 9%
lebih keragaman dari curah hujan (Y) dapat dijelaskan oleh arah angin (γ) dan
arah awan (δ), dan sisanya dipengaruhi oleh faktor lain. Terlihat bahwa regresi
sirkular(2)-linier memiliki hasil yang jauh lebih baik dari regesai linier berganda
untuk melihat pengaruh arah angin (γ) dan arah awan (δ) terhadap curah hujan
(Y).
Tabel 6
Regresi Linier Berganda dan Regresi Sirkular(2)-Linier Untuk Melihat
Pengaruh Arah Angin (γ) dan Arah Awan (δ) terhadap Curah Hujan (Y) Bulan
Februari 2014 dan Maret 2014 di Kota Bogor
Model Regresi
Linier Berganda
JKG
10244.8
Sirkular(2)-Linier
Pangkat 1
Pangkat 2
Pangkat 3
Pangkat 4
Pangkat 5
9480.5
9141.6
8094.1
5423.9
5290.9
R2(%)
1,7
Nilai-p
0.630
9.0
12.3
22.3
47.9
49.2
0.278
0.560
0.401
0.014
0.061
Pada regresi linier berganda nilai Nilai-p sebesar 0.630, sehingga dengan
tingkat kesalahan α = 0,1, maka Nilai-p (0.630) > α (0.1). Hal ini dapat diartikan,
model regresi linier berganda tidak signifikan untuk melihat pengaruh arah angin
(γ) dan arah awan (δ) terhadap rata-rata curah hujan (Y) dengan tingkat
kepercayaan 90%. Pada regresi sirkular(2)-linier, dengan tingkat kesalahan α =
0.1, maka Nilai-p (0.014) < α (0.1). Hal ini dapat diartikan, model regresi
sirkular(2)-linier pangkat 4 sangat signifikan untuk melihat pengaruh arah angin
(γ) dan arah awan (δ) terhadap rata-rata curah hujan (Y) dengan tingkat
kepercayaan 90%.
Pada pengurangan nilai Jumlah Kuadrat Galat, nilai JKG pangkat 4 – JKG
pangkat 5 = 133, hal ini menunjukkan bahwa pengurangan dari JKG sangat kecil,
sehingga model regresi sirkular(2)-linier pangkat 4 lebih baik dari pada pangkat 5.
Jadi model yang terbaik untuk melihat pengaruh arah angin (γ) dan arah awan (δ)
terhadap curah hujan (Y) adalah Yˆi = - 16975 + 31092 cos i - 1516 sin i - 256
cos i + 421 sin i - 20433 cos 2 i + 4283 sin 2 i - 236 cos 2 i - 346 sin 2 i +
7738 cos 3 i - 3940 sin 3 i + 259 cos 3 i - 41 sin 3 i - 1149 cos 4 i + 1192 sin
4 i - 32,6 cos 4 i + 74,3 sin 4 i + .
60 hujan
curah
50
40
30
20
10
0
1 3 5 7 9 111315171921232527293133353739414345474951535557
Gambar 20
hari
Grafik perbandingan dugaan curah hujan, curah hujan, dan galat
pada regresi linier berganda antara arah angin (γ) dan arah awan
( ) terhadap curah hujan (Y).
60
curah
hujan
50
40
30
20
10
0
hari
1 3 5 7 9 111315171921232527293133353739414345474951535557
-10
Gambar 21
Plot perbandingan dugaan curah hujan, curah hujan, dan galat
pada regresi sirkular sirkular – linier antara arah angin (γ) dan
arah awan ( ) terhadap curah hujan (Y).
grafik Y duga Gambar 20 pada regresi linier berganda tidak mendekati
nilai Y sesungguhnya, sehingga menghasilkan galat yang sangat tinggi. Gambar
21 menunjukkan grafik Y duga pada regresi sirkular(2)-linier mendekati nilai Y
sesungguhnya. Jadi regresi sirkular(2)-linier memiliki hasil yang lebih baik dari
pada regresi linier berganda untuk melihat pengaruh arah angin dan arah awan
terhadap curah hujan di Kota Bogor bulan Februari dan Maret 2014.
SIMPULAN
Diagnosa data sebelum melakukan regresi merupakan tahap awal yang
harus dilakukan untuk mengetahui jenis regresi yang sesuai. Jenis data yang
bersatuan arah (arah angin, arah navigasi, arah awan) dan waktu (hari, bulan,
tahun, jam) merupakan jenis data sirkular. Data sirkular yang dianalisis
menggunkan regresi linier berganda menghasilkan model regresi yang kurang
baik, jika dibandingkan dengan model regresi yang dihasilkan oleh regresi
sirkular(2)-linier.
Penerapan regresi sirkular(2)-linier pangkat m pada peubah sirkular γ dan
peubah sirkular terhadap peubah linier (Y), untuk melihat pengaruh arah angin
(γ) dan arah awan (δ) terhadap curah hujan (Y) pada bulan Februari 2014 dan
Maret 2014 di Kota Bogor menghasilkan model yang terbaik adalah regresi
sirkular(2)-linier dengan pangkat 4, dilihat dari aspek Jumlah Kuadrat Galat
(JKG) dan R2 dengan persamaannya Yˆi = - 16975 + 31092 cos i - 1516 sin i 256 cos i + 421 sin i - 20433 cos 2 i + 4283 sin 2 i - 236 cos 2 i - 346 sin 2
i + 7738 cos 3 i - 3940 sin 3 i + 259 cos 3 i - 41 sin 3 i - 1149 cos 4 i +
1192 sin 4 i - 32,6 cos 4 i + 74,3 sin 4 i + .
DAFTAR PUSTAKA
Aziz A. 2011. Pengaruh Pemilihan Arah Acuan 00 Dan Arah Rotasi Pada
Analisis Korelasi Dan Regresi Linier-sirkular. Departemen Statistika.
Bogor: IPB
Batscheled E. 1981. Circular Statistics in Biology. Academic Press, Switzerland.
Brunsdon, Corcoran. 2006. Using Circular statistics to analyse time patterns in
crime incidence. Computers, Environment and Urban Systems 30:300-319.
Conover WJ. 1980. Practical Nonparametric Statistics. Jhon Wiley and Sons,
Inc., Texas.
Fisher NI. 1993. Statistical Analysis of Circular Data. Cambridge: Cambridge
University Press.
Jammalamadaka SR, SenGupta A. 2001. Topics in circular Statistics. London:
World Scientifics Publishing.
Jammalamadaka SR, Sarma YR. 1988. A Correlation Coefficient for Angular
Variables. In Matusita, K. editor, Statistical Theory and Data Analysis II,
pages 349—364. North Holland, Amsterdam.
Johnson RA, Wehrly TE. 1977. Measures and models for angular correlation and
angular-linier correlation. Jurnal of Royal Statistics Society, 39, 222-229.
Juanda B. 2009. Permodelan dan Pendugaan. Bogor : IPB Press.
Lund U, Agostinelli C. 2010. Package „circular‟. Repository CRAN-R.
Mardia. 1976. Linier-Circular Correlation Coefficients and rythmometry.
Biometrika, 63, 403-405.
Mardia, Jupp. 2000. Directional Statistics. New York: Jhon Wiley & Sons.
Martin GK. 2008. Circular Statistics. Article Alley. http://www.articlealley.com/
circular-statistics-657388.html [17 Februari 2014].
Novianti P. 2012. Kajian statistik deskriptif circular pada data yang berupa arah
dan sudut. Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Bengkulu, Bengkulu.
Putri E. 2011. Kajian Perbandingan Arah Rata-Rata Sirkular. Departemen
Statistika. Bogor: IPB.
Suhaeni C. 2011. Pendugaan Selang Kepercayaan Bootstrap Bagi Ukuran
Pemusatan Data Sirkular. Departemen Statistika. Bogor: IPB.
Lampiran 1
ANOVA DATA SIMULASI
1. ANOVA dari analisis regresi linier berganda pada data simulasi γ dan
terhadap Y
Model
: Yˆ = 12.5 – 0.00390 γ – 0.00406 +
R-square : 33.4%
JUMLAH KUADRAT
SUMBER
DB
F HITUNG
KUADRAT TENGAH
REGRESI
2
31. 024
15. 512
14. 27
GALAT
57
61. 959
1. 087
TOTAL
59
92. 983
NILAI-p
0. 000
2. ANOVA dari analisis regresi sirkular(2)-linier pangkat 1 pada data simulasi γ
dan terhadap Y
Model
: Yˆ = 10.0 + 0.970 cos γ + 1.04 sin γ + 1.02 cos + 1.01 sin +
R-square : 95.1%
JUMLAH KUADRAT
SUMBER
DB
F HITUNG NILAI-p
KUADRAT TENGAH
REGRESI
4
88. 426
22.107
266.82
0.000
GALAT
55
4. 557
0.083
TOTAL
59
92. 983
3. ANOVA dari analisis regresi sirkular(2)-linier pangkat 2 pada data simulasi γ
dan terhadap Y
: Yˆ = 10,0 + 0.992 cos γ + 1.04 sin γ + 0.965 cos + 1.03 sin 0.0312 cos 2 γ + 0.0093 sin 2 γ + 0.0857 cos 2 – 0.0235
sin 2 +
R-square : 95.3%
JUMLAH KUADRAT
SUMBER
DB
F HITUNG NILAI-p
KUADRAT TENGAH
REGRESI
8
88.589
11.074
128.51
0.000
GALAT
51
4.395
0.086
TOTAL
59
92.983
Model
Lampiran 2 ANOVA DATA BMKG
PENGARUH ARAH ANGIN
TERHADAP CURAH HUJAN
DAN
ARAH
AWAN
1. ANOVA dari analisis regresi linier berganda pada arah angin (γ) dan arah
awan ( ) terhadap curah hujan (Y)
Model
: Yˆ = 18.1 – 0.016 γ – 0.01 +
R-square : 1.7%
JUMLAH KUADRAT
SUMBER
DB
F HITUNG
KUADRAT TENGAH
REGRESI
2
173.3
86.7
0.47
GALAT
55
10244.8
186.3
TOTAL
57
10418.1
NILAI-p
0.630
2. ANOVA dari analisis regresi sirkular(2)-linier pangkat 1 pada arah angin (γ)
dan arah awan ( ) terhadap curah hujan (Y)
Model
: Yˆ = 26.1 – 12.3 cos γ + 6.36 sin γ – 5.81 cos – 0.20 sin +
R-square : 9%
JUMLAH KUADRAT
SUMBER
DB
F HITUNG NILAI-p
KUADRAT TENGAH
REGRESI
4
937. 6
234. 4
1. 31
0. 278
GALAT
53
9480. 5
178. 9
TOTAL
57
10418. 1
3. ANOVA dari analisis regresi sirkular(2)-linier pangkat 2 pada arah angin (γ)
dan arah awan ( ) terhadap curah hujan (Y)
: Yˆ = 0.3 – 5.2 cos γ + 7.2 sin γ – 3.42 cos - 38 sin – 3.5 cos
2 γ + 0.32 sin 2 γ + 16.2 cos 2 + 5.98 sin 2 +
R-square : 12.3%
JUMLAH KUADRAT
SUMBER
DB
F HITUNG NILAI-p
KUADRAT TENGAH
REGRESI
8
1276.5
159.6
0.86
0.560
GALAT
49
9141.6
186.6
TOTAL
57
10418.1
Model
4. ANOVA dari analisis regresi sirkular(2)-linier pangkat 3 pada arah angin (γ)
dan arah awan ( ) terhadap curah hujan (Y)
Model
: Yˆ = -185 + 671 cos γ + 58.2 sin γ – 26.4 cos + 284 sin –
414 cos 2 γ + 10.6 sin 2 γ - 172 cos 2 – 27.3 sin 2 + 110
cos 3 γ – 29.3 sin 3 γ + 24.9 cos 3 – 57.2 sin 3 +
R-square : 22.3%
JUMLAH KUADRAT
SUMBER
DB
F HITUNG NILAI-p
KUADRAT TENGAH
REGRESI
12
2324. 0
1
MUHAMAD IRPAN NURHAB
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul ―Analisis Regresi Sirkular(2)-
Linier Berpangkat m‖ adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana
pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian
Bogor.
Bogor, September 2014
Muhamad Irpan Nurhab
G151120111
RINGKASAN
IRPAN NURHAB. Analisis Regresi Sirkular(2)-Linier
Berpangkat m. Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan I MADE
SUMERTAJAYA.
MUHAMAD
Perkembangan analisis data saat ini masih dominan menggunakan
statistika linier. Padahal dalam dunia penelitian ada jenis data lainnya yaitu data
berarah. Salah satu jenis data berarah adalah data sirkular. Analisis statistika yang
bertujuan untuk memodelkan hubungan antara peubah bebas dengan peubah tak
bebas adalah analisis regresi. Curah hujan dipengaruhi oleh arah angin dan arah
awan. Arah angin dan arah awan termasuk jenis data sirkular, sedangkan curah
hujan merupakan data linier, sehingga untuk memodelkan hubungan antara arah
angin dan arah awan dengan curah hujan adalah analisis regresi sirkular-linier.
Data sirkular adalah data hasil pengukuran yang nilai-nilainya berulang
secara periodik. Suatu nilai akan kembali ditemukan setelah menemui satu
periode/putaran penuh. Definisi karakteristik peubah sirkular sendiri adalah data
pada awal dan akhir skala pengukuran saling bertemu. Jenis data sirkular
dibedakan menjadi dua yaitu data sirkular jenis arah dan data sirkular jenis waktu.
Statistika sirkular merupakan suatu model sebaran dan teknik statistik untuk
menganalisis peubah acak yang berupa siklus di alam. Statistika sirkular
digunakan pada data yang hasil pengukurannya berupa arah dan biasanya
dinyatakan dalam ukuran sudut. Teknik ini telah berkembang di beberapa bidang
ilmu di mana eksplorasi, pemodelan, dan pengujian hipotesis dari data arah dan
sudut memegang peranan penting.
Tujuan penelitian ini adalah membangun model regresi sirkular(2)-linier
pada peubah sirkular yaitu arah angin ( ) dan arah awan (δ) terhadap peubah linier
yaitu curah hujan. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data simulasi
dan data sekunder yang diperoleh dari Badan Meteorologi, Klimatologi, dan
Geofisika (BMKG) Kota Bogor, data merupakan hasil pengamatan arah angin,
arah awan, dan curah hujan pada bulan Februari 2014 dan Maret 2014.
Penerapan regresi sirkular(2)-linier untuk melihat pengaruh arah angin (γ)
dan arah awan (δ) terhadap curah hujan pada bulan Februari 2014 dan Maret
2014 di Kota Bogor menghasilkan model yang terbaik adalah regresi sirkular(2)linier dengan pangkat 4, dilihat dari aspek Jumlah Kuadrat Galat (JKG) dan R2.
JKG regresi sirkular(2)-linier yaitu 9480.5 lebih kecil dari pada JKG regresi linier
berganda yaitu 10244.8. Hal ini menunjukkan model regresi sirkular(2)-linier
lebih baik dari model regresi linier berganda. R2 untuk regresi sirkular(2)-linier
jauh lebih besar yaitu 47% dibandingkan pada regresi linier berganda yaitu hanya
sebesar 1.7%, artinya model regresi sirkular(2)-linier lebih baik dari model regresi
linier berganda. Dari hasil analisis data sirkular yang dianalisis menggunkan
regresi linier berganda menghasilkan model regresi yang kurang baik, jika
dibandingkan dengan model regresi yang dihasilkan oleh regresi sirkular(2)-linier.
Kata kunci:
data sirkular, curah hujan, regresi linier berganda, regresi sirkular-linier.
SUMMARY
MUHAMAD IRPAN NURHAB. Circular(2)-Linear Regression Analysis of
Order m. Supervised by ANANG KURNIA and I MADE SUMERTAJAYA.
The development of data analysis is still predominantly use linear statistics.
Whereas in the world of research there are other types of data, namely the data direction.
One type of data is the data direction circular. Statistical analysis that aims to model the
relationship between independent variables with the dependent variable regression
analysis. Rainfall is affected by the wind direction and the direction of the cloud. Wind
direction and the direction of the cloud, including data types circular, while rainfall is
linear data, so as to model the relationship between wind direction and the direction of
clouds with precipitation is circular-linear regression analysis.
Circular data is the measurement data values are repeated periodically. A return
value will be found after the encounter of the period. The definition itself is a circular
variable characteristics of the data at the beginning and end of the measurement scale to
meet each other. Circular type of data that the data can be divided into two types of
circular direction and data type of circular the time. Statistics is a circular distribution
models and statistical techniques to analyze random variables that form cycles in nature.
Circular statistical data used in the measurement results in the form of direction and is
usually expressed in angular size. This technique has been developed in several areas of
science in which exploration, modeling, and testing hypotheses from the data direction
and angle plays an important role.
The purpose of this research is to build a circular(2)-linear regression model on
the circular variable wind direction (γ) and the direction of the cloud ( ) to the linear
variable rainfall. The data used in this study is the simulation data and secondary data
obtained from the Meteorology, Climatology, and Geophysics in Bogor, the data are
observations of wind direction, the direction of the clouds, and precipitation in February
2014 and March 2014. Application of circular(2)-linear regression to see the effect of
wind direction (γ) and the direction of the cloud ( ) of the rainfall in February 2014 and
March 2014 in Bogor produce the best model is the circular(2)-linear regression with rank
4, seen from the aspect of Sum of Squares Error (JKG) and R2. Sum of Squares Error
(JKG) circular(2)-linear regression, namely 9480.5 smaller than the multiple linear
regression JKG is 10244.8. This shows the circular (2)-linaer regression model better than
the multiple linear regression model. R2 for regression circular (2) -linear much greater is
47% compared to the multiple linear regression is only 1.7%, meaning circular (2)-linier
regression model better than the multiple linear regression model. From the analysis of
the data was analyzed using the circular multiple linear regression resulted in a poor
regression model, when compared with the regression models produced by circular (2)linear regression.
Keywords:
data circular, rainfall, multiple linear regression, circular - linear
regression.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau
menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian,
penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu
masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam
bentuk apa pun tanpa izin IPB
ANALISIS REGRESI SIRKULAR(2)-LINIER BERPANGKAT m
MUHAMAD IRPAN NURHAB
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Statistika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Farit M Afendi, MSi
Judul Tesis
: Analisis Regresi Sirkular(2)-Linier Berpangkat m
Nama
: Muhamad Irpan Nurhab
NIM
: G151120111
Disetujui oleh
Komisi Pembimbing
Dr Anang Kurnia, MSi
Dr Ir I Made Sumertajaya, MSi
Ketua
Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi
Dekan Sekolah Pascasarjana
Statistika
Dr Ir Anik Djuraidah, MS
Tanggal Ujian: 21 Juli 2014
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta‟ala atas
segala karunia-Nya sehingga Tesis ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih
dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2013 ini ialah
Statistika Sirkular, dengan judul Analisis Regresi Sirkular(2)-Linier Pangkat
m pada Peubah Sirkular dan terhadap Peubah δinier Y.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Anang Kurnia, M.Si dan
Bapak Dr Ir I Made Sumertajaya, M.Si selaku pembimbing, serta Bapak Dr Farit
M Afendi, M.Si yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, penghargaan
penulis sampaikan kepada seluruh Dosen Departemen Statsitika IPB yang telah
mengasuh dan mendidik penulis selama di bangku kuliah hingga berhasil
menyelesaikan studi, serta seluruh staf Departemen Statistika IPB atas bantuan,
pelayanan, dan kerjasamanya selama ini.
Ucapan terima kasih yang tulus dan penghargaan yang tak terhingga juga
penulis ucapkan kepada Ayahanda tercinta H Hasan Basri dan Ibunda tercinta Hj
Nuryanah yang telah membesarkan, mendidik, dan mendoakan penulis dengan
penuh kasih sayang demi keberhasilan penulis selama menjalani proses
pendidikan, juga kepada kakakku tersayang Malahayati Nurhab, S.Pd M.M dan
Badaruddin Nurhab, S.ThI M.M, serta kakak iparku Sutanpri, S.Pd dan Anisah
Nabila, dan ponakakanku Haniyah Tsbitah SP, Fatiah Ghaniza SP, dan Naufal
Aizar Rudian atas doa dang semangatnya.
Terakhir tak lupa penulis juga menyampaikan terima kasih kepada seluruh
mahasiswa Pascasarjana Departemen Statistika IPB atas segala bantuan dan
kebersamaannya selama menghadapi masa-masa terindah maupun tersulit dalam
menuntut ilmu, serta semua pihak yang telah banyak membantu dan tak sempat
penulis sebutkan satu per satu.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.
Bogor, September 2014
Muhamad Irpan Nurhab
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
1
1
2
2 TINJAUAN PUSTAKA (OPSIONAL)
2
Data dan Statistika Sirkular
2
Regresi Sirkular
5
Pendugaan Koefisien Regresi
5
Pengurangan Jumlah Kuadrat Galat
6
3 METODE
Data
Metode Analisis
7
7
7
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
8
5 SIMPULAN DAN SARAN
19
DAFTAR PUSTAKA
20
LAMPIRAN
21
RIWAYAT HIDUP
28
DAFTAR TABEL
1 Statistika deskriptif data simulasi dari Peubah Sirkular γ dan Peubah
Sirkular
2 Regresi linier berganda dan regresi sirkular(2)-linier pada data simulasi
untuk melihat pengaruh peubah sirkular γ dan peubah sirkular
terhadap peubah Y
3 Statistika deskriptif arah angin (γ) dan arah awan ( ) pada bulan
Februari 2014 dan Maret 2014 di Kota Bogor
4 Regresi linier berganda dan regresi sirkular(2)-linier untuk melihat
pengaruh arah angin (γ) terhadap curah hujan (Y) bulan Februari 2014
dan Maret 2014 di Kota Bogor
5 Regresi linier berganda dan regresi sirkular(2)-linier untuk melihat
pengaruh arah awan ( ) terhadap curah hujan (Y) bulan Februari 2014
dan Maret 2014 di Kota Bogor
6 Regresi linier berganda dan regresi sirkular(2)-linier untuk melihat
pengaruh arah awan (γ) dan arah awan ( ) terhadap curah hujan (Y)
bulan Februari 2014 dan Maret 2014 di Kota Bogor
7
9
11
12
13
14
DAFTAR GAMBAR
1 Contoh kesalahan arah rata-rata yang dapat terjadi jika data sirkular
analisis metode linier
2 Diagram Pancar
3 Histogram Siklik
4 Diagram Mawar
5 Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat polar
6 Grafik Q-Q plot kecocokan sebaran von εises pada Peubah γ
7 Grafik Q-Q plot kecocokan sebaran von εises pada Peubah
8 Diagram Pancar Peubah γ
9 Diagram Mawar Peubah γ
10 Diagram Pancar Peubah
11 Diagram Mawar Peubah
12 Grafik Perbandingan dugaan Y simulasi data, data simulai Y, dan galat
pada regresi linier berganda
13 Grafik Perbandingan dugaan Y simulasi data, data simulai Y, dan galat
pada regresi sirkular sirkular - linier.
14 Grafik Q-Q plot kecocokan sebaran von εises pada arah angin (γ)
15 Grafik Q-Q plot kecocokan sebaran von Mises pada arah awan ( )
16 Diagram Pancar arah angin (γ)
17 Diagram Mawar arah angin (γ)
1
3
3
3
5
8
8
8
8
8
8
10
10
11
11
12
12
18 Diagram Pancar arah awan ( )
19 Diagram Mawar arah awan ( )
20 Grafik Perbandingan dugaan curah hujan, curah hujan, dan galat pada
regresi linier berganda antara arah angin (γ) dan arah awan ( ) terhadap
curah hujan (Y)
21 Grafik Perbandingan dugaan curah hujan, curah hujan, dan galat pada
regresi sirkular(2)-linier antara arah angin (γ) dan arah awan ( )
terhadap curah hujan (Y)
12
12
16
16
DAFTAR LAMPIRAN
1 ANOVA Data Simulasi
2 ANOVA Data BMKG
18
19
1. PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perkembangan analisis data saat ini masih dominan menggunakan
statistika linier. Dalam dunia penelitian ada jenis data lainnya yaitu data berarah.
Salah satu jenis data berarah adalah data sirkular, yaitu data yang diukur dalam
bentuk sudut atau berorientasi dua dimensi yang bersatuan waktu atau derajat
arah. Data sirkular ditemui hampir diseluruh cabang ilmu pengetahuan, seperti
Biologi, Geografi, Geologi-Geofisika, Kedokteran, Meteorologi, Kelautan, dan
lain-lain. Beberapa ilustrasi data sirkular, yaitu arah datang dan arah pergi burungburung, arah angin dan arah pergerakan awan, waktu kedatangan pasien (24 jam)
di ruang gawat darurat di suatu rumah sakit, banyaknya kejadian dalam satu tahun
atau dalam waktu bulanan (Mardia & Jupp 2000), pola waktu terjadinya tindak
kriminal dalam waktu harian dan mingguan (Brunsdon & Corcoran 2006).
Data sirkular merupakan jenis dari data berarah (Jammalamadaka &
SenGupta 2001). Oleh karena itu, data sirkular kurang tepat dianalisis dengan
statistika linier, sehingga data sirkular perlu dianalisis dengan menggunakan
statistika sirkular. Salah satu contoh kesalahan yang dapat terjadi jika data sirkular
dianalisis menggunakan statistika linier yaitu pada perhitungan arah rata-rata.
Gambar 1 menunjukkan contoh dari kesalahan tersebut. Garis putus-putus
menunjukkan arah rata-rata dengan statistika linier, sedangkan garis penuh adalah
arah rata-rata statistika sirkular. Rata-rata linear berada di sekitar 180o sedangkan
data pengamatan berada di sekitar 0o.
Gambar 1 Contoh kesalahan arah rata-rata yang dapat terjadi jika data sirkular
analisis metode linier
Analisis data sirkular awalnya dimulai pada pertengahan abad ke-18. Pada
tahun 1767, John Mitchell FRS mengamati posisi antar bintang. Mitchell ingin
membuktikan bahwa arah bintang-bintang tersebut menyebar seragam.
Menggunakan konsep statistika sirkular Mitchell menemukan bahwa jumlah
pasangan bintang yang berdekatan terlalu banyak. Berdasarkan hal ini Mitchell
menyimpulkan bahwa pasangan bintang-bintang secara fisik tertata gaya tarik
gravitasi (Fisher 1993).
Analisis statistika yang bertujuan untuk memodelkan hubungan sebab
akibat antara peubah bebas dengan peubah tak bebas adalah analisis regresi.
Penelitian ini mengangkat kasus curah hujan. Faktor yang mempengaruhi curah
hujan, diantaranya adalah arah angin dan arah awan. Arah angin dan arah awan
termasuk jenis data sirkular, sedangkan curah hujan merupakan data linier,
sehingga untuk memodelkan hubungan antara arah angin dan arah awan dengan
curah hujan adalah analisis regresi sirkular-linier berganda. Terdapat dua peubah
bebas sirkular dan satu peubah tak bebas linier maka pada penelitian ini
menggunakan istilah analisis regresi sirkular(2)-linier.
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah membangun model regresi sirkular(2)-linier
dengan pangkat m berdasarkan dua buah peubah bebas sirkular untuk
memodelkan curah hujan di Kota Bogor.
2. TINJAUAN PUSTAKA
Data dan Statistika Sirkular
Data sirkular adalah data hasil pengukuran yang nilai-nilainya berulang
secara periodik. Suatu nilai akan kembali ditemukan setelah menemui satu
periode/putaran penuh. Definisi karakteristik peubah sirkular sendiri adalah data
pada awal dan akhir skala pengukuran saling bertemu (Martin 2008). Jenis data
sirkular dibedakan menjadi dua yaitu data sirkular jenis arah dan data sirkular
jenis waktu (Mardia & Jupp 2000).
Statistika sirkular merupakan suatu model sebaran dan teknik statistik
untuk menganalisis peubah acak yang berupa siklus di alam. Statistika sirkular
digunakan pada data yang hasil pengukurannya berupa arah dan biasanya
dinyatakan dalam ukuran sudut. Teknik ini telah berkembang di beberapa bidang
ilmu di mana eksplorasi, pemodelan, dan pengujian hipotesis dari data arah dan
sudut memegang peranan penting.
Sebaran von Mises adalah sebaran normal sirkular dengan sebaran
1
g ( ; , )
e cos( ) . Metode yang digunakan untuk mengevaluasi
2I 0 ( 0 )
1
sebaran von Mises adalah QQ-plot, dengan mencari Z i sin i
2
i 1,2,..., n lalu nilai Zi disusun berdasarkan nilai terkecil sampai terbesar
sehingga
Z1
≤
...
≤
Zn.
Setelah
itu
membuat
plot
1 1
sin q1 , Z1 ,..., sin q n , Z n . Jika data mengikuti sebaran von Mises, plot
2 2
mengikuti garis lurus (0,0) dengan kemiringan 450 (Fisher 1993).
Sebuah data akan mudah dianalisis apabila dapat digambarkan dalam
sebuah grafik. Menurut Fisher (1993), representasi data sirkular dalam bentuk
grafis sangat penting dalam analisis data sirkular. Bentuk grafis yang biasa
digunakan untuk data sirkular adalah:
Gambar 2 Diagram
Pancar
Gambar 3 Histogram
Siklik
Gambar 4 Diagram
Mawar
Untuk menganalisis data sirkular ada dua fungsi trigonometri yang
digunakan sebagai dasar yaitu sinus dan cosinus. Kedua fungsi dasar trigonometri
ini digunakan untuk membantu menentukan posisi suatu data. Kedua fungsi
tersebut digunakan untuk menyelaraskan dua sistem koordinat. Jammalamadaka
dan SenGupta menyatakan posisi yang berupa arah dapat ditentukan oleh
koordinat polar atau koordinat kartesius. Pada koordinat kartesius titik P
dinyatakan sebagai nilai (X, Y) atau sebagai nilai (r,θ) pada koordinat polar di
mana r merupakan jarak titik P dari titik pusat O. Koordinat polar dapat di rubah
menjadi koordinat kartesius dengan menggunakan persamaan trigonometri
berikut:
x r cos , y r sin
Gambar 5 Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat polar
Dalam analisis sirkular yang diperhatikan adalah arah dan bukan besaran
vektor, sehingga untuk kemudahan diambill vektor-vektor ini menjadi vektor unit,
yaitu vektor yang mempunyai panjang satuan dengan r = 1. Setiap arah
berhubungan dengan sebuah titik P dalam keliling suatu lingkaran. Kebalikannya,
titik ini dalam keliling suatu lingkaran dapat dinyatakan sebagai sudut. Jika titik P
terletak dalam keliling lingkaran, perubahan koordinat polar dan koordinat
kartesius adalah
(1, ) ( x cos , y sin )
Arah rata-rata dari contoh pada data sirkular diperoleh dengan menghitung
resultan vektor dari vektor-vektor unit masing-masing contoh. Arah dari resultan
vektor-vektor menyatakan arah rata-rata dari contoh data dan panjang rata-rata
dari resultan tiap contoh menyatakan konsentrasi dari data terhadap arah rata-rata.
Misalkan ada contoh �1 , �2 , … , � dengan n observasi sirkular yang dinyatakan
dalam sudut. Diketahui transformasi koordinat polar ke koordinat kartesius untuk
setiap observasi sebagai berikut,
(1, i ) ( x cos i , y sin i ), i 1,2,..., n
diperoleh vektor resultan dari vektor-vektor unit dengan menjumlahkan masingmasing komponennya, yaitu
n
n
R=
cos , sin
i 1
i
i 1
i
= C, S
dengan,
LR = R = � 2 + � 2 , 0 ≤ LR ≤ n
LR menyatakan panjang dari vektor resultan R.
LR
R=
,0 ≤ R ≤ 1
n
dengan R menyatakan panjang rata-rata dari vektor resultan dan juga
menunjukkan ukuran konsentrasi dari data terhadap arah rata-rata.
Arah dari resultan vektor R merupakan arah rata-rata sirkular yang
dinotasikan dengan dan didefinisikan,
cos α0 =
C
S
, sin α0 =
LR
LR
Untuk lebih eksplisitnya diberikan inverse ―quadrant-spesifik‖ dari tangen,
arctan S / C
/ 2
S
0 arctan* arctan S / C
C
arctan S / C 2
tidakterdefinisi
jika C.0, S 0
jika C 0, S 0
jika C 0
jika C 0, S 0
jika C 0, S 0
Apabila semua sudut titik menyatakan arah yang sama, maka data tersebut
terkonsentrasi dan R mendekati nilai n. Sebaliknya jika data menyebar di seluruh
lingkaran, maka data tidak terkonsentrasi dan LR mendekati nilai 0
(Jammalamadaka & SenGupta 2001). Mardia (1976) mendefinisikan ragam
contoh sirkular adalah V = 1 - R . Semakin kecil nilai ragam sirkular maka data
semakin terkonsentrasi ke suatu titik tertentu.
Regresi Sirkular
Persamaan regresi untuk data sirkular dibagi menjadi tiga jenis
(Jammalamadaka & Sarma 1988), yaitu:
1. Regresi Sirkular-Linier: analisis regresi dengan peubah bebas adalah peubah
sirkular dan peubah tak bebas adalah peubah linier.
2. Regresi Linier-Sirkular: analisis regresi dengan peubah bebas adalah peubah
linier dan peubah tak bebas adalah peubah sirkular.
3. Regresi Sirkular-Sirkular: analisis regresi dengan peubah bebas maupun
peubah tak bebas adalah peubah sirkular.
Model Regresi Sirkular(2)-Linier antara peubah respon Y dengan dua
peubah bebas sirkular α dapat ditulis (Mardia 1976):
E ( X ) A0 A1 cos(1 01 ) A2 cos( 2 02 )
Persamaan ini dapat diuraikan,
misalkan Bk1 Ak cos 0k dan Bk 2 Ak cos 0k maka dapat ditulis:
E ( X ) A0 B11 cos 1 B12 sin 1 B21 cos 2 B22 sin 2
Bentuk model regresi Sirkular(2)-Linier ini dapat ditulis sebagai berikut:
Y A0 B11 cos 1 B12 sin 1 B21 cos 2 B22 sin 2
Pendugaan Koefisien Regresi
Koefisien regresi A0 , B11, B12 , B21, B22 akan diduga dengan menggunakan
Metode Kuadrat Terkecil. Metode Kuadrat terkecil memilih nilai parameter
sedemikian sehingga nilai Jumlah Kuadrat Galat (JKG) minimum. Solusi dari
sistem persamaan adalah dugaan kuadrat terkecil, yaitu Aˆ 0 , Bˆ11, Bˆ12 ,, Bˆ p1 , Bˆ p 2
(Jammalamadaka & Sarma 1988).
Model regresi Sirkular(2)-Linier bila ditulis dalam bentuk matriks adalah
Y Z
dengan
a0
b
11
b12
y1
y
y 2 ; b1m
b21
yn
b
22
b2 m
1 � ��11 �� �11
1 � ��21 �� �21
�=
1 � ��
1
�� �
1
1
2
n
� �
� �
� �
�11 ��
�21 ��
�
1
��
�11 � � �12 �� �12
�21 � � �22 �� �22
�
1
� ��
2
�� �
2
� �
� �
� �
�12 ��
�22 ��
�
2
��
�12
�22
�
2
dengan,
y = vektor pengamatan berukuran (nx1)
Z = matriks berukuran (nx(1+4m))
= vektor koefisien regresi berukuran ((1+4m)x1)
ε = vektor random error berukuran (nx1)
kemudian dicari vektor penduga kuadrat terkecil � yang meminimimkan fungsi
kuadrat galat L.
(2.1)
L=
� = �′ � = � − �� ′ � − �� = � ′ � − �′�′��
�
sehingga vektor dugaan adalah
(2.2)
� = �′� − �′�
Jumlah Kuadrat Galat (JKG) diperoleh dengan mensubtitusikan (2.2) ke
persamaan (2.1), sehingga
� = � ′ � − �� ′ �
Pengurangan Jumlah Kuadrat Galat (JKG)
Hal paling penting dalam menentukan pangkat pada regresi polinomial
adalah mengurangi JKG ketika m bertambah. Keputusan diambil pangkat
polinomial trigonometri ke-(m+1) dengan menambahkan kolom-kolom. Dengan
persamaan Jumlah Kuadrat Galat,
� = � ′ � − �� ′ �
Dalam menentukan apakah mengambil pangkat (m+1), pertama kita
hitung pengurangan JKG. Jika pengurangan itu secara nyata besar maka kita
putuskan untuk memasukkan pangkat (m+1) (Jammalamadaka & Sarma 1988).
3. METODE
Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data simulasi dan data
sekunder. Peubah Bebas γ dan data simulasi diperoleh dengan menggunakan
rvm (60,0,1) pada software R.3.0.1 (Lund & Agostinelli 2010).
Data sekunder diperoleh dari Badan Meteorologi, Klimatologi, dan
Geofisika (BMKG) Kota Bogor, data merupakan hasil pengamatan arah angin (γ)
yang diperoleh dari pengukuran manual, arah awan ( ) yang diperoleh dengan
menggunakan alat anenometer digital, dan curah hujan (Y) yang diukur dengan
menggunakan alat raingauge pada bulan Februari 2014 dan Maret 2014.
Metode Analisis
Prosedur-prosedur yang dilakukan untuk mencapai tujuan penelitian ini:
Tahap 1:
Membuat analisis deskriptif statistika sirkular untuk masing-masing
peubah arah angin ( ) dan arah awan (δ).
Representasi grafis data sirkular untuk masing-masing peubah
dan peubah δ dengan diagram pancar dan diagram Mawar.
Grafik kecocokan sebaran von Mises.
Arah rata-rata sirkular dan linier untuk masing-masing peubah
dan peubah δ
jika C 0, S 0
arctan S / C
/ 2
jika C 0, S 0
arctan S / C jika C 0
arctan S / C 2 jika C 0, S 0
tidakterdefinisi
jika C 0, S 0 .
Panjang vektor rata-rata sirkular untuk masing-masing peubah
dan peubah δ
R
R , dimana R C 2 S 2 .
n
Ragam data pada statistika sirkular dan statistika linier untuk
masing-masing peubah dan peubah δ
V = 1 - R , dengan inteval V berada pada [0,1].
Tahap 2:
Analisis regresi linier berganda dan regresi sirkular(2)-linier untuk
peubah dan peubah δ sebagai peubah bebas terhadap peubah linier Y
sebagai peubah tak bebas.
Persamaan regresi sirkular sirkular - linier untuk pangkat m=1,
diketahui
Y A0 B11 cos 1 B12 sin 1 B21 cos 2 B22 sin 2
.
Tahap 3:
Penentuan pangkat m dari regresi sirkular(2)-linier polinomial.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Statistik Deskriptif Data Simulasi Peubah Sirkular γ dan Peubah Sirkular δ
Terlihat arah rata-rata pada Tabel 1 dengan statistika sirkular adalah
350.73 . Sedangkan untuk arah rata-rata dengan statistika linier adalah 203.470.
Pada Tabel 1 juga bisa dilihat panjang resultan sebesar 30.7 dan panjang rata-rata
resultan sebesar 0.51 hal ini menunjukkan konsentrasi yang cukup besar dari data
terhadap arah rata-rata sirkular peubah . Nilai ragam pada statistika sirkular data
adalah 0.49, hal ini menunjukkan sebaran datanya kecil. Namun nilai ragam pada
statistika linier data sebesar 17738.73, hal ini menunjukkan sebaran data sangat
besar.
0
Tabel 1 statistik deskriptif data simulasi dari Peubah Sirkular dan Peubah Sirkular δ
Peubah
Peubah γ
Peubah
Jumlah pengamatan
60
60
Arah rata-rata sirkular
350.730
12.970
Arah rata-rata linier
203.470
174.070
Panjang resultan
30.7
28.75
Panjang rata-rata resultan
0.51
0.48
Ragam sirkular
0.49
0.52
Ragam linier
17738.73
17006.5
Untuk peubah δ terlihat arah rata-rata dengan statistika sirkular adalah
12.97 . Sedangkan untuk arah rata-rata δ dengan statistika linier adalah 174.070.
Juga bisa dilihat pada peubah δ panjang resultan sebesar 28.75 dan panjang ratarata resultan sebesar 0.48 hal ini menunjukkan konsentrasi yang cukup kecil dari
data terhadap arah rata-rata pada statistika sirkular peubah δ. Nilai ragam pada
statistika sirkular data adalah 0.52, hal ini menunjukkan sebaran datanya kecil.
Namun nilai ragam pada statistika linier data sebesar 17006.5, hal ini
menunjukkan sebaran data sangat besar.
0
Grafik Kecocokan Sebaran von Mises Data Simulasi
Hasil uji kecocokan sebaran von Mises yang dilakukan dengan von Mises
Q-Q plot pada peubah α dan peubah δ dapat dilihat pada Gambar 6 dan Gambar 7,
pada Q-Q plot untuk data peubah dan peubah δ menunjukkan sebaran data
mengikuti garis lurus (0,0) dengan kemiringan 45 o maka dapat dikatakan data
peubah dan peubah δ mengikuti sebaran normal sirkular atau von Mises.
se
ba
ra
n
e
m
pi
ris
se
ba
ra
n
e
m
pi
ris
sebaran von Mises
Gambar 6
Grafik
Q-Q
plot
kecocokan sebaran von
Mises pada Peubah
sebaran von Mises
Gambar 7
Grafik
Q-Q
plot
kecocokan sebaran von
Mises pada Peubah δ
Representasi Grafik Data Simulasi
Diagram pancar dan diagram mawar pada Gambar 8 dan Gambar 9,
terlihat bahwa garis lurus merah adalah arah rata-rata statistika sirkular dari
peubah sebesar 350.730 berarti peubah dengan statistika sirkular mempunyai
kecenderungan ke arah utara dan garis lurus putus-putus warna hitam adalah arah
rata-rata statistika linier dari peubah sebesar 203.470 berarti peubah dengan
statistika linier mempunyai kecenderungan ke selatan.
Gambar 8 Diagram pancar peubah γ
Gambar 9 Diagram mawar peubah
γ
Hal ini menunjukkan perbedaan perhitungan arah rata-rata data antara
statistika sirkular yang berada pada sebaran data dengan statistika linier yang
menjauh dari sebaran data.
Gambar 10 Diagram pancar peubah
Gambar 11 Diagram mawar peubah
Diagram pancar dan diagram mawar pada Gambar 10 dan Gambar 11
terlihat bahwa garis lurus merah adalah arah rata-rata statistika sirkular dari
peubah sebesar 12.970 berarti peubah dengan statistika sirkular mempunyai
kecenderungan ke arah utara dan garis lurus putus-putus warna hitam adalah arah
rata-rata statistika linier dari peubah sebesar 174.070, berarti peubah dengan
statistika linier mempunyai kecenderungan ke arah selatan. Hal ini menunjukkan
perbedaan perhitungan arah rata-rata data antara statistika sirkular yang berada
pada sebaran data dengan statistika linier yang menjauh dari sebaran data.
Regresi Linier Berganda dan Regresi Sirkular(2)-Linier Pada Data
Simulasi
Nilai koefisien determinasi regresi linier berganda pada Tabel 2 sebesar
33.4%, artinya sebesar 33.4% keragaman dari peubah Y dapat dijelaskan oleh
peubah dan peubah δ dalam hubungan linier, dan sisanya dipengaruhi oleh
faktor lain. Sedangkan nilai koefisien determinasi pada regresi sirkular(2)-linier
pada Tabel 2 sebesar 95.1% untuk pangkat 1 dan 95.3% untuk pangkat 2, artinya
sebesar 95.1% lebih keragaman dari peubah linier Y dapat dijelaskan oleh peubah
sirkular γ dan peubah sirkular δ, dan sisanya dipengaruhi oleh faktor lain. Terlihat
bahwa regresi sirkular(2)-linier memiliki hasil yang jauh lebih baik dari regresi
linier berganda untuk melihat pengaruh peubah sirkular γ dan peubah sirkular δ
terhadap peubah linier Y.
Nilai-p pada regresi linier berganda sebesar 0.000, sehingga dengan
tingkat kesalahan α = 0.1,maka Nilai-p (0.000) < α (0,1). Hal ini dapat diartikan,
model regresi linier berganda signifikan untuk melihat pengaruh peubah γ dan
peubah δ terhadap rata-rata peubah Y dengan tingkat kepercayaan 90%. Pada
regresi sirkular(2)-linier, dengan tingkat kesalahan α = 0.1, maka Nilai-p (0.000) <
α (0.1). Hal ini dapat diartikan model regresi sirkular(2)-linier pangkat 1 dan 2
signifikan untuk melihat pengaruh peubah sirkular γ dan peubah sirkular δ
terhadap rata-rata peubah linier Y dengan tingkat kepercayaan 90%.
Tabel 2
Regresi linier berganda dan regresi sirkular(2)-linier pada data simulasi
untuk melihat pengaruh peubah sirkular dan peubah sirkular terhadap
peubah Y
Model Regresi
Linier Berganda
JKG
61.959
R2(%)
33.4
Nilai-p
0.000
Sirkular(2)-Linier
Pangkat 1
Pangkat 2
4.557
4.395
95.1
95.3
0.000
0.000
Salah satu cara untuk menentukan model terbaik dengan pengurangan nilai
JKG. Nilai JKG pangkat 1 – JKG pangkat 2 = 0.162 hal ini menunjukkan bahwa
pengurangan dari JKG sangat kecil, sehingga model regresi sirkular(2)-linier
pangkat 1 lebih baik dari pada pangkat 2. Sehingga model yang terbaik untuk
melihat pengaruh peubah sirkular γ dan peubah sirkular δ terhadap peubah Y pada
data simulasi adalah Yˆi = 10.0 + 0.970 cos i + 1.04 sin i + 1.02 cos i + 1.01
sin i + .
Y14
12
10
8
6
4
2
0
data
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59
Gambar 12
Grafik perbandingan dugaan Y simulasi data, data simulasi Y, dan
galat pada regresi linier berganda.
Y14
12
10
8
6
4
2
0
data
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59
Gambar 13
Grafik perbandingan dugaan Y simulasi data, Y data simulasi, dan galat
pada regresi sirkular(2)- linier.
Grafik Y duga pada regresi linier berganda Gambar 12 menunjukkan
kurang mendekati nilai Y sesungguhnya, sehingga menghasilkan galat yang
tinggi. Gambar 13 menunjukkan grafik Y duga pada regresi sirkular(2)-linier
sangat mendekati nilai Y sesungguhnya. Jadi regresi sirkular(2)-linier memiliki
hasil yang lebih baik dari pada regresi linier berganda pada data simulasi.
Statistik Deskriptif Arah Angin ( ) dan Arah Awan (δ)
Arah rata-rata arah angin (γ) dengan statistika sirkular pada tabel 3 adalah
332.56 . Sedangkan untuk arah rata-rata arah angin (γ) dengan statistika linier
adalah 284.190. Pada Tabel 3 juga bisa dilihat panjang resultan sebesar 51.76 dan
panjang rata-rata resultan sebesar 0.89 hal ini menunjukkan konsentrasi yang
sangat besar dari data terhadap arah rata-rata pada statistika sirkular arah angin
(γ). Nilai ragam pada statistika sirkular data adalah 0.11, hal ini menunjukkan
sebaran datanya kecil. Namun nilai ragam pada statistika linier data sebesar
11539.53, hal ini menunjukkan sebaran data sangat besar.
0
Tabel 3
Statistik deskriptif Arah Angin (γ) dan Arah Awan (δ) pada bulan Februari
2014 dan Maret 2014 di Kota Bogor
Peubah
Arah Angin (γ) Arah Awan (δ)
Jumlah pengamatan
58
58
Arah rata-rata sirkular
332.560
313.700
Arah rata-rata linier
284.190
304.890
Panjang resultan
51.76
48.47
Panjang rata-rata resultan
0.89
0.83
Ragam sirkular
0.11
0.16
Ragam linier
11539.53
2906.91
Arah awan (δ) terlihat arah rata-rata dengan statistika sirkular adalah
313.700. Sedangkan untuk arah rata-rata arah awan (δ) dengan statistika linier
adalah 304.890. Juga bisa dilihat pada arah awan (δ) panjang resultan sebesar
48.47 dan panjang rata-rata resultan sebesar 0.83 hal ini menunjukkan konsentrasi
yang sangat besar dari data terhadap arah rata-rata pada statistika sirkular arah
awan (δ). Nilai ragam pada statistika sirkular data adalah 0.52 hal ini
menunjukkan sebaran datanya kecil. Namun nilai ragam pada statistika linier data
sebesar 17006.5 hal ini menunjukkan sebaran data sangat besar.
Grafik Kecocokan Sebaran von Mises Arah Angin ( ) dan Arah Awan (δ)
Uji kecocokan sebaran von Mises dilakukan dengan von Mises Q-Q plot
pada arah angin ( ) dan arah awan (δ) dapat dilihat pada Gambar 8 dan Gambar 9,
pada Q-Q plot untuk data arah angin ( ) dan arah awan (δ) menunjukkan sebaran
data mengikuti garis lurus (0,0) dengan kemiringan 45 o maka dapat dikatakan data
arah angin ( ) dan arah awan (δ) mengikuti sebaran normal sirkular atau von
Mises.
Se
ba
ra
n
e
m
pi
ris
Se
ba
ra
n
e
m
pi
ris
sebaran von Mises
sebaran von Mises
Gambar 14
Grafik
Q-Q
plot
kecocokan sebaran von
Mises pada arah angin
()
Gambar 15
Grafik
Q-Q
plot
kecocokan
sebaran
von Mises pada arah
awan (δ)
Representasi Grafik Data Simulasi Peubah Arah Angin (γ) dan Peubah
Arah Awan (δ)
Gambar 16 dan Gambar 17 pada diagram pancar dan diagram mawar
terlihat bahwa garis lurus merah adalah arah rata-rata statistika sirkular dari arah
angin (γ) sebesar 332,560 berarti arah angin (γ) dengan statistika sirkular
mempunyai kecenderungan ke arah barat laut dan garis lurus putus-putus warna
hitam adalah arah rata-rata statistika linier dari arah angin ( ) sebesar 284,190
berarti, arah angin (γ) dengan statistika linier mempunyai kecenderungan ke arah
barat. Hal ini menunjukkan perbedaan perhitungan arah rata-rata data dengan
statistika sirkular berada pada sebaran data, sedangkan statistika linier sedikit
menjauh dari sebaran data.
Gambar 16 Diagram pancar arah
angin ( )
Gambar 17 Diagram mawar arah
angin (γ)
Diagram pancar dan diagram mawar pada Gambar 18 dan Gambar 19
terlihat bahwa garis lurus merah adalah arah rata-rata statistika sirkular dari arah
awan ( ) sebesar 313.700 dan garis lurus putus-putus warna hitam adalah arah
rata-rata statistika linier dari Arah Awan ( ) sebesar 304.890, berarti arah awan ( )
dengan statistika sirkular dan statistika linier mempunyai kecenderungan ke arah
barat laut.
Gambar 18 Diagram pancar arah awan
( )
Gambar 19 Diagram mawar arah awan
( )
Regresi Linier dan Regresi Sirkular-Linier Untuk Melihat Pengaruh
Arah Angin ( ) Terhadap Curah Hujan (Y)
Pada Tabel 4, nilai koefisien determinasi pada regresi linier sebesar 1.5%,
artinya sebesar 1.5% keragaman dari curah hujan (Y) dapat dijelaskan oleh arah
angin ( ) dalam hubungan linier, dan sisanya dipengaruhi oleh faktor lain.
Sedangkan nilai koefisien determinasi pada regresi sirkular-linier pada tabel 4
sebesar 5.5% untuk pangkat 1 dan 16.6% untuk pangkat 5, artinya sebesar 5.5%
lebih keragaman dari curah hujan (Y) dapat dijelaskan oleh arah angin ( ), dan
sisanya dipengaruhi oleh faktor lain. Terlihat bahwa regresi sirkular-linier
memiliki hasil yang jauh lebih baik dari regesai linier untuk melihat pengaruh
arah angin ( ) terhadap curah hujan (Y).
Tabel 4
Regresi Linier dan Regresi Sirkular-Linier Untuk Melihat Pengaruh Arah
Angin (γ) terhadap Curah Hujan (Y) Bulan Februari 2014 dan Maret 2014 di
Kota Bogor
Model Regresi
Linier
JKG
10261.2
R2(%)
1.5
Nilai-p
0.359
Sirkular-Linier
Pangkat 1
Pangkat 2
Pangkat 3
Pangkat 4
Pangkat 5
9845.0
9816.4
9523.0
8763.3
8685.2
5.5
5.8
8.6
15.9
16.6
0.211
0.523
0.576
0.344
0.508
Nilai-p pada regresi linier sebesar 0.359, sehingga dengan tingkat
kesalahan α = 0.25, maka Nilai-p (0.359) > α (0.25). Hal ini dapat diartikan,
model regresi linier tidak signifikan untuk melihat pengaruh arah angin ( )
terhadap rata-rata curah hujan (Y) dengan tingkat kepercayaan 75%. Pada regresi
sirkular-linier, dengan tingkat kesalahan α = 0.25, maka Nilai-p (0.211) < α
(0.25). Hal ini dapat diartikan, model regresi sirkular-linier pangkat 1 signifikan
untuk melihat pengaruh Arah Angin ( ) terhadap rata-rata Curah Hujan (Y)
dengan tingkat kepercayaan 75%.
Pada pengurangan nilai JKG, nilai JKG pangkat 1 – JKG pangkat 2 = 28.6.
Hal ini menunjukkan bahwa pengurangan dari JKG sangat kecil, sehingga model
regresi sirkular-linier pangkat 1 lebih baik dari pada pangkat 2. Selain itu model
regresi sirkular-linier pangkat 2 tidak signifikan pada α = 0.025 (Nilai-p = 0.523).
Jadi model yang terbaik untuk melihat pengaruh arah angin ( ) terhadap curah
hujan Y adalah Yˆi = 22.8 – 13.2 cos i + 4.40 sin i + .
Regresi Linier dan Regresi Sirkular-Linier Untuk Melihat Pengaruh
Arah Awan (δ) Terhadap Curah Hujan (Y)
Nilai koefisien determinasi Pada Tabel 5 untuk regresi linier sebesar 0.5%,
artinya sebesar 0.5% keragaman dari curah hujan (Y) dapat dijelaskan oleh arah
awan (δ) dalam hubungan linier, dan sisanya dipengaruhi oleh faktor lain.
Sedangkan nilai koefisien determinasi pada regresi sirkular - linier pada tabel 5
sebesar 3.5% untuk pangkat 1 dan 33.8% untuk pangkat 5, artinya sebesar 3.5%
lebih keragaman dari curah hujan (Y) dapat dijelaskan oleh arah awan (δ), dan
sisanya dipengaruhi oleh faktor lain. Terlihat bahwa regresi sirkular-linier
memiliki hasil yang jauh lebih baik dari regesai linier untuk melihat pengaruh
arah awan (δ) terhadap curah hujan (Y).
Tabel 5
Regresi Linier dan Regresi Sirkular-Linier Untuk Melihat Pengaruh Arah
Awan (δ) terhadap Curah Hujan (Y) Bulan Februari 2014 dan Maret 2014 di
Kota Bogor
Model Regresi
Linier
Sirkular - Linier
Pangkat 1
Pangkat 2
Pangkat 3
Pangkat 4
Pangkat 5
JKG
10411.4
R2(%)
0.1
Nilai-p
0.851
10048.8
3.5
0.371
9700.4
8993.1
7043.2
6901.2
6.9
13.7
32.4
33.8
0.426
0.254
0.009
0.022
Nilai-p pada regresi linier sebesar 0.851, sehingga dengan tingkat
kesalahan α = 0.1, maka Nilai-P (0.851) > α (0.1). Hal ini dapat diartikan, model
regresi linier tidak signifikan untuk melihat pengaruh arah awan (δ) terhadap ratarata curah hujan (Y) dengan tingkat kepercayaan 90%. Pada regresi sirkular-linier,
dengan tingkat kesalahan α = 0,1, maka Nilai-p (0.009) < α (0.1). Hal ini dapat
diartikan, model regresi sirkular-linier pangkat 4 sangat signifikan untuk melihat
pengaruh arah awan (δ) terhadap rata-rata curah hujan (Y) dengan tingkat
kepercayaan 90%.
Pada pengurangan nilai JKG, nilai JKG pangkat 4 – JKG pangkat 5 = 142,
hal ini menunjukkan bahwa pengurangan dari JKG kecil, sehingga model regresi
sirkular-linier pangkat 4 lebih baik dari pada pangkat 5. Jadi model yang terbaik
untuk melihat pengaruh arah awan (δ) terhadap curah hujan Y adalah Yˆi = - 357 -
186 cos i - 665 sin i + 462 cos (2 i ) - 241 sin (2 i ) + 177 cos (3 i ) + 258
sin (3 i )- 95,3 cos (4 i ) + 45,1 sin (4 i )+ .
Regresi Linier Berganda dan Regresi Sirkular(2)-Linier Untuk Melihat
Pengaruh Arah Angin ( ) dan Arah Awan (δ) Terhadap Curah
Hujan(Y)
Nilai koefisien determinasi regresi linier berganda pada Tabel 6 sebesar
1.7%, artinya sebesar 1.7% keragaman dari curah hujan (Y) dapat dijelaskan oleh
arah angin (γ) dan arah awan (δ) dalam hubungan linier dan sisanya dipengaruhi
oleh faktor lain. Sedangkan nilai koefisien determinasi pada regresi sirkular(2)linier sebesar 9% untuk pangkat 1 dan 49% untuk pangkat 5, artinya sebesar 9%
lebih keragaman dari curah hujan (Y) dapat dijelaskan oleh arah angin (γ) dan
arah awan (δ), dan sisanya dipengaruhi oleh faktor lain. Terlihat bahwa regresi
sirkular(2)-linier memiliki hasil yang jauh lebih baik dari regesai linier berganda
untuk melihat pengaruh arah angin (γ) dan arah awan (δ) terhadap curah hujan
(Y).
Tabel 6
Regresi Linier Berganda dan Regresi Sirkular(2)-Linier Untuk Melihat
Pengaruh Arah Angin (γ) dan Arah Awan (δ) terhadap Curah Hujan (Y) Bulan
Februari 2014 dan Maret 2014 di Kota Bogor
Model Regresi
Linier Berganda
JKG
10244.8
Sirkular(2)-Linier
Pangkat 1
Pangkat 2
Pangkat 3
Pangkat 4
Pangkat 5
9480.5
9141.6
8094.1
5423.9
5290.9
R2(%)
1,7
Nilai-p
0.630
9.0
12.3
22.3
47.9
49.2
0.278
0.560
0.401
0.014
0.061
Pada regresi linier berganda nilai Nilai-p sebesar 0.630, sehingga dengan
tingkat kesalahan α = 0,1, maka Nilai-p (0.630) > α (0.1). Hal ini dapat diartikan,
model regresi linier berganda tidak signifikan untuk melihat pengaruh arah angin
(γ) dan arah awan (δ) terhadap rata-rata curah hujan (Y) dengan tingkat
kepercayaan 90%. Pada regresi sirkular(2)-linier, dengan tingkat kesalahan α =
0.1, maka Nilai-p (0.014) < α (0.1). Hal ini dapat diartikan, model regresi
sirkular(2)-linier pangkat 4 sangat signifikan untuk melihat pengaruh arah angin
(γ) dan arah awan (δ) terhadap rata-rata curah hujan (Y) dengan tingkat
kepercayaan 90%.
Pada pengurangan nilai Jumlah Kuadrat Galat, nilai JKG pangkat 4 – JKG
pangkat 5 = 133, hal ini menunjukkan bahwa pengurangan dari JKG sangat kecil,
sehingga model regresi sirkular(2)-linier pangkat 4 lebih baik dari pada pangkat 5.
Jadi model yang terbaik untuk melihat pengaruh arah angin (γ) dan arah awan (δ)
terhadap curah hujan (Y) adalah Yˆi = - 16975 + 31092 cos i - 1516 sin i - 256
cos i + 421 sin i - 20433 cos 2 i + 4283 sin 2 i - 236 cos 2 i - 346 sin 2 i +
7738 cos 3 i - 3940 sin 3 i + 259 cos 3 i - 41 sin 3 i - 1149 cos 4 i + 1192 sin
4 i - 32,6 cos 4 i + 74,3 sin 4 i + .
60 hujan
curah
50
40
30
20
10
0
1 3 5 7 9 111315171921232527293133353739414345474951535557
Gambar 20
hari
Grafik perbandingan dugaan curah hujan, curah hujan, dan galat
pada regresi linier berganda antara arah angin (γ) dan arah awan
( ) terhadap curah hujan (Y).
60
curah
hujan
50
40
30
20
10
0
hari
1 3 5 7 9 111315171921232527293133353739414345474951535557
-10
Gambar 21
Plot perbandingan dugaan curah hujan, curah hujan, dan galat
pada regresi sirkular sirkular – linier antara arah angin (γ) dan
arah awan ( ) terhadap curah hujan (Y).
grafik Y duga Gambar 20 pada regresi linier berganda tidak mendekati
nilai Y sesungguhnya, sehingga menghasilkan galat yang sangat tinggi. Gambar
21 menunjukkan grafik Y duga pada regresi sirkular(2)-linier mendekati nilai Y
sesungguhnya. Jadi regresi sirkular(2)-linier memiliki hasil yang lebih baik dari
pada regresi linier berganda untuk melihat pengaruh arah angin dan arah awan
terhadap curah hujan di Kota Bogor bulan Februari dan Maret 2014.
SIMPULAN
Diagnosa data sebelum melakukan regresi merupakan tahap awal yang
harus dilakukan untuk mengetahui jenis regresi yang sesuai. Jenis data yang
bersatuan arah (arah angin, arah navigasi, arah awan) dan waktu (hari, bulan,
tahun, jam) merupakan jenis data sirkular. Data sirkular yang dianalisis
menggunkan regresi linier berganda menghasilkan model regresi yang kurang
baik, jika dibandingkan dengan model regresi yang dihasilkan oleh regresi
sirkular(2)-linier.
Penerapan regresi sirkular(2)-linier pangkat m pada peubah sirkular γ dan
peubah sirkular terhadap peubah linier (Y), untuk melihat pengaruh arah angin
(γ) dan arah awan (δ) terhadap curah hujan (Y) pada bulan Februari 2014 dan
Maret 2014 di Kota Bogor menghasilkan model yang terbaik adalah regresi
sirkular(2)-linier dengan pangkat 4, dilihat dari aspek Jumlah Kuadrat Galat
(JKG) dan R2 dengan persamaannya Yˆi = - 16975 + 31092 cos i - 1516 sin i 256 cos i + 421 sin i - 20433 cos 2 i + 4283 sin 2 i - 236 cos 2 i - 346 sin 2
i + 7738 cos 3 i - 3940 sin 3 i + 259 cos 3 i - 41 sin 3 i - 1149 cos 4 i +
1192 sin 4 i - 32,6 cos 4 i + 74,3 sin 4 i + .
DAFTAR PUSTAKA
Aziz A. 2011. Pengaruh Pemilihan Arah Acuan 00 Dan Arah Rotasi Pada
Analisis Korelasi Dan Regresi Linier-sirkular. Departemen Statistika.
Bogor: IPB
Batscheled E. 1981. Circular Statistics in Biology. Academic Press, Switzerland.
Brunsdon, Corcoran. 2006. Using Circular statistics to analyse time patterns in
crime incidence. Computers, Environment and Urban Systems 30:300-319.
Conover WJ. 1980. Practical Nonparametric Statistics. Jhon Wiley and Sons,
Inc., Texas.
Fisher NI. 1993. Statistical Analysis of Circular Data. Cambridge: Cambridge
University Press.
Jammalamadaka SR, SenGupta A. 2001. Topics in circular Statistics. London:
World Scientifics Publishing.
Jammalamadaka SR, Sarma YR. 1988. A Correlation Coefficient for Angular
Variables. In Matusita, K. editor, Statistical Theory and Data Analysis II,
pages 349—364. North Holland, Amsterdam.
Johnson RA, Wehrly TE. 1977. Measures and models for angular correlation and
angular-linier correlation. Jurnal of Royal Statistics Society, 39, 222-229.
Juanda B. 2009. Permodelan dan Pendugaan. Bogor : IPB Press.
Lund U, Agostinelli C. 2010. Package „circular‟. Repository CRAN-R.
Mardia. 1976. Linier-Circular Correlation Coefficients and rythmometry.
Biometrika, 63, 403-405.
Mardia, Jupp. 2000. Directional Statistics. New York: Jhon Wiley & Sons.
Martin GK. 2008. Circular Statistics. Article Alley. http://www.articlealley.com/
circular-statistics-657388.html [17 Februari 2014].
Novianti P. 2012. Kajian statistik deskriptif circular pada data yang berupa arah
dan sudut. Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Bengkulu, Bengkulu.
Putri E. 2011. Kajian Perbandingan Arah Rata-Rata Sirkular. Departemen
Statistika. Bogor: IPB.
Suhaeni C. 2011. Pendugaan Selang Kepercayaan Bootstrap Bagi Ukuran
Pemusatan Data Sirkular. Departemen Statistika. Bogor: IPB.
Lampiran 1
ANOVA DATA SIMULASI
1. ANOVA dari analisis regresi linier berganda pada data simulasi γ dan
terhadap Y
Model
: Yˆ = 12.5 – 0.00390 γ – 0.00406 +
R-square : 33.4%
JUMLAH KUADRAT
SUMBER
DB
F HITUNG
KUADRAT TENGAH
REGRESI
2
31. 024
15. 512
14. 27
GALAT
57
61. 959
1. 087
TOTAL
59
92. 983
NILAI-p
0. 000
2. ANOVA dari analisis regresi sirkular(2)-linier pangkat 1 pada data simulasi γ
dan terhadap Y
Model
: Yˆ = 10.0 + 0.970 cos γ + 1.04 sin γ + 1.02 cos + 1.01 sin +
R-square : 95.1%
JUMLAH KUADRAT
SUMBER
DB
F HITUNG NILAI-p
KUADRAT TENGAH
REGRESI
4
88. 426
22.107
266.82
0.000
GALAT
55
4. 557
0.083
TOTAL
59
92. 983
3. ANOVA dari analisis regresi sirkular(2)-linier pangkat 2 pada data simulasi γ
dan terhadap Y
: Yˆ = 10,0 + 0.992 cos γ + 1.04 sin γ + 0.965 cos + 1.03 sin 0.0312 cos 2 γ + 0.0093 sin 2 γ + 0.0857 cos 2 – 0.0235
sin 2 +
R-square : 95.3%
JUMLAH KUADRAT
SUMBER
DB
F HITUNG NILAI-p
KUADRAT TENGAH
REGRESI
8
88.589
11.074
128.51
0.000
GALAT
51
4.395
0.086
TOTAL
59
92.983
Model
Lampiran 2 ANOVA DATA BMKG
PENGARUH ARAH ANGIN
TERHADAP CURAH HUJAN
DAN
ARAH
AWAN
1. ANOVA dari analisis regresi linier berganda pada arah angin (γ) dan arah
awan ( ) terhadap curah hujan (Y)
Model
: Yˆ = 18.1 – 0.016 γ – 0.01 +
R-square : 1.7%
JUMLAH KUADRAT
SUMBER
DB
F HITUNG
KUADRAT TENGAH
REGRESI
2
173.3
86.7
0.47
GALAT
55
10244.8
186.3
TOTAL
57
10418.1
NILAI-p
0.630
2. ANOVA dari analisis regresi sirkular(2)-linier pangkat 1 pada arah angin (γ)
dan arah awan ( ) terhadap curah hujan (Y)
Model
: Yˆ = 26.1 – 12.3 cos γ + 6.36 sin γ – 5.81 cos – 0.20 sin +
R-square : 9%
JUMLAH KUADRAT
SUMBER
DB
F HITUNG NILAI-p
KUADRAT TENGAH
REGRESI
4
937. 6
234. 4
1. 31
0. 278
GALAT
53
9480. 5
178. 9
TOTAL
57
10418. 1
3. ANOVA dari analisis regresi sirkular(2)-linier pangkat 2 pada arah angin (γ)
dan arah awan ( ) terhadap curah hujan (Y)
: Yˆ = 0.3 – 5.2 cos γ + 7.2 sin γ – 3.42 cos - 38 sin – 3.5 cos
2 γ + 0.32 sin 2 γ + 16.2 cos 2 + 5.98 sin 2 +
R-square : 12.3%
JUMLAH KUADRAT
SUMBER
DB
F HITUNG NILAI-p
KUADRAT TENGAH
REGRESI
8
1276.5
159.6
0.86
0.560
GALAT
49
9141.6
186.6
TOTAL
57
10418.1
Model
4. ANOVA dari analisis regresi sirkular(2)-linier pangkat 3 pada arah angin (γ)
dan arah awan ( ) terhadap curah hujan (Y)
Model
: Yˆ = -185 + 671 cos γ + 58.2 sin γ – 26.4 cos + 284 sin –
414 cos 2 γ + 10.6 sin 2 γ - 172 cos 2 – 27.3 sin 2 + 110
cos 3 γ – 29.3 sin 3 γ + 24.9 cos 3 – 57.2 sin 3 +
R-square : 22.3%
JUMLAH KUADRAT
SUMBER
DB
F HITUNG NILAI-p
KUADRAT TENGAH
REGRESI
12
2324. 0
1