6
BAB II STUDI PUSTAKA
Studi pustaka dilakukan meliputi berbagai kajian dalam model spatio-temporal, khususnya kajian model Generalisasi Space Time Autoregresi Orde 1,
GSTAR1;1 dan teknik ordinary kriging untuk studi pengembangan teori berupa model GSTAR-Kriging.
2.1 Model STAR dan GSTAR
Pfeifer 1980 memberikan model
1 N
1 STAR
:
K ,
2 ,
1 s
, s
t t
E ,
t t
E ,
t E
, t
1 t
1 t
t
t 2
t 11
10
= =
+ σ
= =
+ −
φ +
− φ
=
ε Z
I ε
ε ε
ε WZ
Z Z
2.1
dengan W adalah matriks bobot lokasi ukuran
N N
×
. Model
1 N
1 STAR
dapat dituliskan sebagai model linier:
t 1
t 1
t t
ε Φ
WZ Z
Z +
− −
=
2.2 dengan
t 11
10
φ φ
= Φ
dan t=1,2,….,T. Taksiran kuadrat terkecil dari parameter model
Φ
adalah:
γ γ
γ γ
γ γ
≅
−
Ζ −
− −
− −
− −
− −
=
− =
= −
= =
= =
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
1 ˆ
1 ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
t 1
t t
1 t
1 t
1 t
1 t
1 t
1 t
1 t
1 t
1 t
ˆ
10 00
1 11
10 10
00 T
1 t
t T
1 t
t 1
T 1
t t
T 1
t t
T 1
t t
T 1
t t
Z W
Z Z
WZ W
Z WZ
Z WZ
Z Z
Z Φ
t t
2.3
dengan
s ˆ
k l
γ
adalah space time autokorelasi, dinyatakan:
∑
− =
+ −
= γ
s T
1 t
t k
s t
t s
T N
1 s
ˆ WZ
W Z
t
l
2.4
7 Karena model STAR dari Pfeifer 1980 hanya dapat digunakan untuk lokasi-
lokasi yang serba homogen, dengan mengasumsikan parameter autoregresi dan parameter space time adalah sama untuk setiap lokasi, maka untuk lokasi-lokasi
yang heterogen, Ruchjana 2002 mengembangkan model STAR nmenjadi model GSTAR.
Untuk model yang umum, misalnya orde p dalam time dan orde l=0,1,…, λ
k
dalam space, notasi GSTARp;l dituliskan sebagai:
1
t k
t t
l kl
p k
l
k
e z
W z
+ −
Φ =
∑ ∑
= =
λ
2.5 Untuk model orde 1, baik dalam space maupun time, GSTAR1;1 dinyatakan
oleh:
1 ,
, 1
, ,
1 1
1 11
1 11
10 1
10 1
1 1
1 11
1 10
1
t t
diag t
diag t
t t
t
N N
Nx Nx
NxN NxN
Nx NxN
Nx
e z
W z
e z
W z
z
+ −
+ −
= +
− Φ
+ −
Φ =
φ φ
φ φ
L L
2.6
dengan: ,
,
10 1
10 N
diag
φ φ
L : matriks diagonal parameter autoregresi lag time 1
, ,
11 1
11 N
diag
φ φ
L
: matriks diagonal parameter space-time lag spasial 1 dan lag time 1
W : matriks bobot seragam ukuran NxN
zt : vektor acak waktu t
et
iid
~
N0,
σ
2
I
N
Model GSTAR1;1 merupakan kasus khusus dari model Vektor Autoregresi, VAR1, sehingga model GSTAR1;1 juga dapat dinyatakan sebagai model
linier, dan penaksiran parameter model tersebut dapat dilakukan menggunakan metode kuadrat terkecil.
8 Representasi model linier GSTAR1;1 dituliskan:
e X
y
+ =
β
r
2.7 Untuk lokasi i
∈ {1,2,…,N}, pengamatan GS-TAR 1;1 pada waktu t dinyatakan:
1 1
11 10
t e
t z
w t
z t
z
i i
j j
ij i
i i
i
∑
≠
+ −
+ −
=
φ φ
2.8 Model GSTAR1;1 dapat dinyatakan dalam model VAR1
t 1
t t
ε ΦZ
Z +
− =
Persamaan 2.8 untuk t=2,3,…,T memberikan model linier lokasi i :
i i
i i
e X
y
+ =
β
r
2.9 Dalam 2.9 N model linier dihubungkan melalui variabel penjelas
. 1
~ −
t z
i
Regresi simultan untuk semua lokasi dinyatakan dengan:
+
− =
3 e
2 e
] 1
~ [
diag 1]
- diag[
] 2
~ [
diag 2]
diag[ ]
1 ~
[ diag
] 1
[ diag
3 z
2 z
T x
T T
T e
z z
z z
z z
z
M r
M M
β
2.10
Pada 2.10, diag[z] menyatakan matriks dengan elemen-elemen diagonal berupa vektor z dan vektor parameter adalah:
. ,
, ,
; ,
, ,
11 2
11 1
11 10
2 10
1 10
N N
φ φ
φ φ
φ φ
β
L L
r =
Kuadrat terkecil parameter
β r
diberikan oleh persamaan:
y X
X X
ˆ
1 −
=
β
r
2.11
diengan y adalah zt dan X = [diag[zt-1] diag[
1 ~ −
t z
] ]. Model
1 N
1 GSTAR
untuk N lokasi, dinyatakan:
t 1
t 1
t t
11 10
ε WZ
Φ Z
Φ Z
+ −
+ −
=
2.12
9 Untuk N = 2 sumur, model
1 2
1 GSTAR
dapat dituliskan:
ε
+ −
φ +
φ =
ε +
− φ
+ −
φ =
t ,
s 1
t ,
s Z
s t
, s
Z s
t ,
s Z
t ,
s 1
t ,
s Z
s 1
t ,
s Z
s t
, s
Z
2 2
2 10
1 2
11 2
1 2
1 11
1 1
10 1
2.13
Model GSTAR1;1 untuk 3 sumur, dinotasikan GSTAR
3
1;1 dituliskan:
ε ε
ε +
− −
−
φ
φ φ
φ φ
φ φ
φ φ
=
t
, s
t ,
s t
, s
1 t
, s
Z 1
t ,
s Z
1 t
, s
Z t
, s
Z t
, s
Z t
, s
Z
3 2
1 3
2 1
33 32
31 23
22 21
13 12
11 3
2 1
2.14
− −
−
φ
φ φ
φ φ
φ +
φ φ
φ =
− −
−
φ
φ φ
+
φ
φ φ
=
1 t
, s
Z 1
t ,
s Z
1 t
, s
Z s
4 .
s 6
. s
3 .
s 7
. s
4 .
s 6
. s
s s
1 t
, s
Z 1
t ,
s Z
1 t
, s
Z 4
. 6
. 3
. 7
. 4
. 6
. s
s s
s s
s t
, s
Z t
, s
Z t
, s
Z
3 2
1 3
11 3
11 2
11 2
11 1
11 1
11 3
10 2
10 1
10 3
2 1
3 11
2 11
1 11
3 10
2 10
1 10
3 2
1
atau
− φ
+ −
φ +
− φ
= −
φ +
− φ
+ −
φ =
− φ
+ −
φ +
− φ
= 1
t ,
s Z
s 1
t ,
s Z
s 4
. 1
t ,
s Z
s 6
. t
, s
Z 1
t ,
s Z
s 3
. 1
t ,
s Z
s 1
t ,
s Z
s 7
. t
, s
Z 1
t ,
s Z
s 4
. 1
t ,
s Z
s 6
. 1
t ,
s Z
s t
, s
Z
3 3
10 2
3 11
1 3
11 3
3 2
11 2
2 10
1 2
11 2
3 1
11 2
1 11
1 1
10 1
2.15
Hasil taksiran parameter GSTAR melalui metode kuadrat terkecil akan digunakan sebagai input model kriging, khususnya Ordinary Kriging OK. Metode
Ordinary kriging atau OK merupakan suatu metode berbentuk linier karena penaksir-penaksirnya dipengaruhi oleh kombinasi linear data. Model kriging dapat
dituliskan: z
= Σ λ
i
z
i
2.16 dengan
λ adalah bobot kriging yang dalam penelitian ini berupa taksiran kuadrat terkecil GSTAR1;1, dan z
i
adalah pengamatan produksi di sumur ke-i, sehingga z
merupakan prediksi parameter GSTAR1;1 pada sumur-sumur yang belum tersampel yang akan digunakan untuk prediksi produksi.
Model GS-TAR pada 2.8 dapat pula dinyatakan:
∑
≠
+ −
+ −
=
i j
i j
j i
i i
i i
t s
t s
Z s
s w
s t
s Z
s t
s Z
, 1
, ,
1 ,
,
11 10
ε φ
φ 2.17
10 dengan
} ,
, 2
, 1
{ N
s
i
K ∈
dan }
, ,
2 ,
1 {
T t
L ∈
. Dengan metode kuadrat terkecil, diperoleh nilai parameter
11
s φ
pada N titik sampel yang diketahui, dan permasalahan adalah bagaimana memprediksi pada suatu titik lokasi baru s
. Taksiran
ˆ
11
s φ
adalah kombinasi linier dari N nilai.yang diketahui.
∑ ∑
∈ ∈
= =
=
s s
I i
s i
I i
i i
N I
s s
} ,
, 2
, 1
{ ,
1 ,
ˆ
11 11
L λ
φ λ
φ 2.18
Dalam pengembangan teori ini, dipilih parameter
11
φ sebagai input untuk model
kriging, karena mewakili parameter space dan time. Untuk menyingkat penulisan, indeks 11 ditiadakan, sehingga penulisan model kriging dengan input taksiran
GS-TAR menjadi lebih sederhana, yaitu:
∑ ∑
∈ ∈
= =
s s
I i
i I
i i
i
s s
1 ,
ˆ λ
φ λ
φ 2.19
2.2 Kajian model korelasi spasial, semivariogram
Kategori