yang memenuhi mm yang memenuhi mm

Sol usi Olimpiade Mat emat ika Tk Provinsi 2004 Bagian Kedua SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST 5. Misal x ij adal ah j arak t it ik P i dan P j dal am arah sumbu X dan Misal y ij adal ah j arak t it ik P i dan P j dal am arah sumbu Y. Jika x ij dan y ij keduanya genap, maka dapat dipast ikan bahwa sekurang-kurangnya sat u t it ik l et is sel ain t it ik P i dan P j akan t erl et ak pada ruas garis P i P j , yait u pada pert engahan ruas garis P i P j yang akan berj arak 2 1 x ij pada arah sumbu X dan 2 1 y ij pada arah sumbu Y t erhadap t it ik P i maupun P j dengan 2 1 x ij dan 2 1 y ij adal ah j uga bil angan bul at . Sif at penj uml ahan berikut j uga akan membant u menj el askan : Bil angan Genap − Bil angan Genap = Bil angan Genap Bil angan Ganj il − Bil anagn Ganj il = Bil angan Genap. Kemungkinan j enis koordinat dal am bahasa l ain disebut parit as suat u t it ik l et is pada bidang hanya ada 4 kemungkinan yait u genap, genap, genap, ganj il , ganj il , ganj il dan ganj il , genap. Jika 2 t it ik l et is mempunyai parit as yang sama maka sesuai sif at penj uml ahan maka dapat dipast ikan kedua t it ik l et is memil iki j arak mendat ar dan j arak vert ikal merupakan bil angan genap yang berart i koordinat t it ik t engah dari garis yang menghubungkan kedua t it ik l et is t ersebut j uga merupakan bil angan genap. Karena ada 5 t it ik l et is sedangkan hanya ada 4 parit as t it ik l et is maka sesuai Pigeon Hol e Principl e PHP maka dapat dipast ikan sekurang-kur angnya ada dua t it ik let is yang memiliki parit as yang sama. ∴ Dari penj elasan di at as dapat dibukt ikan bahwa j ika P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 adalah lima t it ik let is berbeda pada bidang maka t erdapat sepasang t it ik P i , P j , i ≠ j , demikian, sehingga ruas garis P i P j memuat sebuah t it ik let is selain P i dan P j . 106 SELEKSI TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2005 OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2004 PEKAN BARU RIAU, 24 – 29 AGUSTUS 2004 Bidang Mat emat ika Har i Per t ama Wakt u : 180 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH UMUM TAHUN 2004 107 OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2004 24 – 29 AGUSTUS 2004 PEKAN BARU, RIAU BI DAN G : MAT EMAT I KA HARI PERT AMA WAKTU : 180 MENIT 1. Berapa banyaknya pembagi genap dan pembagi ganj il dari 5 6 − 1 ? 2. Sebuah bak bila diisi dengan keran air dingin akan penuh dalam 14 menit . Unt uk mengosongkan bak yang penuh dengan membuka l ubang pada dasar bak, air akan kel uar semua dal am wakt u 21 menit . Jika keran air dingin dan air panas dibuka bersamaan dan l ubang pada dasar bak dibuka, bak akan penuh dal am 12, 6 menit . Maka berapa l amakah wakt u yang diperl ukan unt uk memenuhkan bak hanya dengan keran air panas dan l ubang pada dasar bak dit ut up ? 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Berapa carakah unt uk menyusun deret an t ersebut dengan menggant i menggant i t anda ekspresi “ ” dengan t anda “ +” at au “ − “ sehingga j uml ahnya menj adi 29 ? 4. Lingkaran yang berbeda bent uk disusun sebagai berikut : Bukt ikan bahwa ada l ingkaran yang mel ewat i keempat t it ik singgung keempat l ingkaran. 108 SELEKSI TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2005 OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2004 PEKAN BARU RIAU, 24 – 29 AGUSTUS 2004 Bidang Mat emat ika Har i Kedua Wakt u : 180 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH UMUM TAHUN 2004 109 OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2004 24 – 29 AGUSTUS 2004 PEKAN BARU, RIAU BI DAN G : MAT EMAT I KA HARI KEDUA WAKTU : 180 MENIT 5. x 1 + 4x 2 + 9x 3 + 16x 4 + 25x 5 + 36x 6 + 49x 7 = 1 4x 1 + 9x 2 + 16x 3 + 25x 4 + 36x 5 + 49x 6 + 64x 7 = 12 9x 1 + 16x 2 + 25x 3 + 36x 4 + 49x 5 + 64x 6 + 81x 7 = 123 Berapakah nil ai S j ika S = 16x 1 + 25x 2 + 36x 3 + 49x 4 + 64x 5 + 81x 6 + 100x 7 6. Persamaan kuadrat x 2 + ax + b + 1 = 0 dengan a, b adal ah bil angan bul at , memil iki akar-akar bilangan asl i. Bukt ikan bahwa a 2 + b 2 bukan bil angan prima. 7. Bukt ikan bahwa suat u segit iga ABC siku-siku di C dengan a menyat akan sisi dihadapan sudut A, b menyat akan sisi di hadapan sudut B, c menyat akan sisi di hadapan sudut C memil iki diamet er l ingkaran dal am = a + b − c. 8. Sebuah lant ai berluas 3 m 2 akan dit ut upi ol eh karpet dengan bermacam bent uk sebanyak 5 buah dengan ukuran 1m 2 . Tunj ukkan bahwa ada 2 karpet yang t umpang t indih dengan l uasan t umpang t indih l ebih dari 1 5 m 2 . 110 SELEKSI TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2005 OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2004 PEKAN BARU RIAU, 24 – 29 AGUSTUS 2004 Prestasi itu diraih bukan didapat SOLUSI SOAL Bidang Mat emat ika Disusun oleh : Eddy Hermant o, ST 111 Solusi Olimpiade Sains Nasional 2004 Bidang : Mat emat ika SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST 1. 5 6 − 1 = 5 3 + 15 3 − 1 = 126 ⋅ 124 5 6 − 1 = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ⋅ 31 5 6 − 1 = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 7 ⋅ 31 Misalkan M = p 1 d1 ⋅ p 2 d2 ⋅ p 3 d3 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ p n dn dengan p 1 , p 2 , p 3 , ⋅⋅⋅ , p n adalah bil angan prima maka banyaknya pembagi posit if dari M adalah d 1 + 1d 2 + 1d 3 + 1 ⋅⋅⋅ d n + 1 Banyaknya pembagi disebut j uga f akt or dari 5 6 − 1 adalah 3 + 12 + 11 + 11 + 1 = 48 Misal K = 3 2 ⋅ 7 ⋅ 31. Mengingat bahwa bilangan ganj il hanya didapat dari perkalian bilangan ganj il maka semua pembagi dari K past i ganj il. Banyaknya pembagi dari K adalah 2 + 11 + 11 + 1 = 12 Banyaknya pembagi dari K sama dengan banyaknya pembagi ganj il dari 5 6 − 1 ∴ Banyaknya pembagi ganj il dari 5 6 − 1 adalah 12. Banyaknya pembagi genap dari 5 6 − 1adalah 48 − 12 = 36 Cat at an : Ke-48 pembagi 5 6 − 1 adalah : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18, 21, 24, 28, 31, 36, 42, 56, 62, 63, 72, 84, 93, 124, 126, 168, 186, 217, 248, 252, 279, 372, 434, 504, 558, 651, 744, 868, 1116, 1302, 1736, 1953, 2232, 2604, 3906, 5208, 7812, 15624 2. Misalkan v d = kelaj uan air keluar dari keran air dingin v p = kelaj uan air keluar dari keran air panas v b = kelaj uan air keluar dari lubang di dasar bak X = volume bak 14 X v d = 21 X v b = 6 12, X v v v b p d = − + Dari ket iga persamaan di at as didapat : 63 5 21 14 X X v X p = − + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + = 2 1 3 1 9 5 7 X v p 18 X v p = ∴ Wakt u yang diperlukan unt uk memenuhkan bak hanya dengan keran air panas dan lubang pada dasar bak dit ut up adalah 18 menit 112 Solusi Olimpiade Sains Nasional 2004 Bidang : Mat emat ika SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST 3. Misalkan S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 Jika + k kit a gant i dengan − k maka S akan berkurang sebanyak 2k. Karena 55 − 29 = 26 maka bil angan yang yang bert anda “ − ” harus berj umlah 13. Jika ada 4 bilangan yang bert anda “ − ” maka j umlah minimum bilangan t ersebut = 2 + 3 + 4 + 5 = 14 13. Maka banyaknya bi langan yang bert anda “ − ” harus kurang dari 4. • Unt uk 2 bilangan yang bert anda “ − ” maka pasangan yang mungkin adal ah 3, 10, 4, 9, 5, 8, 6, 7. • Unt uk 3 bilangan yang bert anda “ − ” maka t ripel yang mungkin adalah 2, 3, 8, 2, 4, 7,

2, 5, 6, 3, 4, 6 ∴

Banyaknya kemungkinan seluruhnya ada 8. Cat at an : Ke-8 kemungkinan t ersebut adalah : 1 + 2 − 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 − 10 1 − 2 − 3 + 4 + 5 + 6 + 7 − 8 + 9 + 10 1 + 2 + 3 − 4 + 5 + 6 + 7 + 8 − 9 + 10 1 − 2 + 3 − 4 + 5 + 6 − 7 + 8 + 9 + 10 1 + 2 + 3 + 4 − 5 + 6 + 7 − 8 + 9 + 10 1 − 2 + 3 + 4 − 5 − 6 + 7 + 8 + 9 + 10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 − 6 − 7 + 8 + 9 + 10 1 + 2 − 3 − 4 + 5 − 6 + 7 + 8 + 9 + 10 4. Misalkan A, B, C dan D adalah keempat pusat lingkaran dan E, F, G dan H adalah t it ik singgung keempat lingkaran. Maka persoalan t ersebut dapat digambarkan sebagai berikut : ∆ AEH, ∆ BEF, ∆ CFG dan ∆ DGh semuanya adalah segit iga sama kaki. Misalkan ∠ A menyat akan ∠ DAC ∠ B menyat akan ∠ ABC ∠ C menyat akan ∠ BCD ∠ D menyat akan ∠ CDA ∠ EHA = ∠ AEH = 90 o − ½ ∠ A ∠ BEF = ∠ BFE = 90 o − ½ ∠ B ∠ CFG = ∠ CGF = 90 o − ½ ∠ C ∠ D = 360 o − ∠ A − ∠ B − ∠ C ∠ DGH = ∠ DHG = ½ 180 o − 360 o − ∠ A − ∠ B − ∠ C = ½ ∠ A + ∠ B + ∠ C − 90 o ∠ HEF = 180 o − ∠ AEH − ∠ BEF = ½ ∠ A + ∠ B ∠ HGF = 180 o − ∠ DGH − ∠ CGF = 180 o − ½ ∠ A + ∠ B ∠ HEF + ∠ HGF = 180 o Karena ∠ HEF + ∠ HGF = 180 o maka segiempat EFGH adalah segiempat t ali busur yang berart i t it ik E, F, G, dan H t erlet ak pada sat u lingkaran. ∴ Terbukt i bahwa ada lingkaran yang melewat i keempat t it ik singgung keempat lingkaran. 113 Solusi Olimpiade Sains Nasional 2004 Bidang : Mat emat ika SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST 5. x 1 + 4x 2 + 9x 3 + 16x 4 + 25x 5 + 36x 6 + 49x 7 = 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 4x 1 + 9x 2 + 16x 3 + 25x 4 + 36x 5 + 49x 6 + 64x 7 = 12 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 9x 1 + 16x 2 + 25x 3 + 36x 4 + 49x 5 + 64x 6 + 81x 7 = 123 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3 Kurangkan 2 dengan 1, 3x 1 + 5x 2 + 7x 3 + 9x 4 + 11x 5 + 13x 6 + 15x 7 = 11 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 Kurangkan 3 dengan 2, 5x 1 + 7x 2 + 9x 3 + 11x 4 + 13x 5 + 15x 6 + 17x 7 = 111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 Kurangkan 5 dengan 4, 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 2x 5 + 2x 6 + 2x 7 = 100 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 Jumlahkan 5 dengan 6, 7x 1 + 9x 2 + 11x 3 + 13x 4 + 15x 5 + 17x 6 + 19x 7 = 211 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 Jumlahkan 3 dengan 7, 16x 1 + 25x 2 + 36x 3 + 49x 4 + 64x 5 + 81x 6 + 100x 7 = 334 ∴ 16x 1 + 25x 2 + 36x 3 + 49x 4 + 64x 5 + 81x 6 + 100x 7 = 334 6. Misalkan x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan x 2 + ax + b + 1 = 0 maka : x 1 + x 2 = − a x 1 x 2 = b + 1 b = x 1 x 2 − 1 a 2 + b 2 = x 1 + x 2 2 + x 1 x 2 − 1 2 a 2 + b 2 = x 1 2 + x 2 2 + 2x 1 x 2 + x 1 x 2 2 − 2 x 1 x 2 + 1 a 2 + b 2 = x 1 x 2 2 + x 1 2 + x 2 2 + 1 a 2 + b 2 = x 1 2 + 1 x 2 2 + 1 Karena x 1 dan x 2 keduanya adalah bilangan asl i maka x 1 2 + 1 dan x 2 2 + 1 keduanya adalah bilangan asl i lebih dari 1. Maka a 2 + b 2 adal ah perkalian dua bilangan asl i masing-masing 1 yang mengakibat kan a 2 + b 2 adalah bukan bilangan prima. ∴ Terbukti a 2 + b 2 bukan bilangan prima. 7. Misalkan d adalah diamet er lingkaran dalam segit iga dan r adalah j ej ari lingkaran dalam maka : Alt ernat if 1 : ½ r a + b + c = Luas segit iga d a + b + c = 4 ⋅ Luas segit iga d a + b + c = 2ab d a + b + c = a + b 2 − a 2 + b 2 Karena ABC adalah segit iga siku-siku di C maka : d a + b + c = a + b 2 − c 2 d a + b + c = a + b + c a + b − c d = a + b − c ∴ Terbukti bahwa diamet er lingkaran dalam segit iga t ersebut adalah a + b − c. 114